Вероятностные модели диверсификации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Целищев Михаил Андреевич

• Целищев Михаил Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Целищев Михаил Андреевич

1.4. Меры риска

1.4.1. Квантильная функция

1.4.2. Когерентные меры риска

1.4.3. Спектральные меры риска

1.5. Необходимое условие сравнимости и свойства

1.6. Достаточное условие сравнимости

1.7. Контрпример

2. Отношение диверсификации

в случае абстрактного вероятностного пространства

2.1. Случай конечного числа независимых одинаково распределённых активов

2.1.1. Уменьшение дисперсии

2.1.2. Увеличение энтропии

2.1.3. Мажорирование весовых векторов

2.1.4. Продолжение отношения ^ с Лп на Лп

2.2. Отношение диверсификации

2.2.1. Некоторые свойства

2.3. Первое обобщение. Стохастическая доминация

2.4. Замыкание отношения в пространстве распределений на прямой

2.4.1. Метрика Канторовича

2.4.2. Свойства

2.4.3. Связь с мерами риска, критерий построенного отношения

2.5. Функции полезности и связь между различными способами сравнения портфелей

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные модели диверсификации»

Введение

Термин «диверсификация», согласно толковому словарю [2], имеет несколько значений. В области финансов и управлении инвестиционными портфелями он означает «включение в портфель инвестиций ценных бумаг широкого круга компаний с целью избежать серьёзных потерь в случае спада, охватившего лишь один из секторов экономики». В реальном же секторе экономики под диверсификацией понимается «расширение сферы производства или торговли производителем или торговцем за счет включения в неё новых продуктов». Хотя первое из предложенных определений вполне согласуется с темой настоящей работы, представляется разумным несколько расширить его, используя понятие риска, а именно принять следующее определение.

Диверсификация — это один из способов управления риском, связанный с его распределением по различным источникам с целью предотвращения такой ситуации, в которой одно неблагоприятное событие приводит к катастрофическим последствиям.

Актуальность темы и степень ее разработанности. Применительно к финансовой математике, термин диверсификация был впервые использован Г. Марковицем в середине XX века. Его статья [64] стала первой работой, посвящённой математической теории диверсификации инвестиций и сыграла важнейшую роль в развитии современной теории управления инвестиционными портфелями и финансовой математики в целом.

Марковиц рассматривает так называемую одношаговую задачу, в которой инвестор имеет возможность распределить свой капитал между различными активами на фиксированный промежуток времени. Инвестора интересуют будущие прибыль или убыток (РпЬ) такого выбора. Доходы от вложения всего капитала в каждый из активов можно считать случайными величинами ... , определёнными на некотором вероятностном пространстве. При этом считается, что известны как маргинальные, так и совместные распределения этих величин. Это могут быть предположения, построенные на анализе истории рыночных данных, либо

на основе каких-либо других ожиданий инвестора.

Задача, согласно Марковицу, состоит в отыскании оптимального среди всех допустимых портфелей, т. е. среди всех выпуклых линейных комбинаций активов (в случае, когда разрешена короткая продажа допустимыми являются все линейные комбинации с действительными коэффициентами, сумма которых равна 1). По Марковицу, инвестор при выборе коэффициентов должен максимизировать математическое ожидание и одновременно минимизировать дисперсию портфеля. Такой компромисс между ожидаемой доходностью и риском типичен и встречается во многих разделах финансовой математики. Портфели, оптимальные по Парето в смысле увеличения математического ожидания и уменьшения дисперсии, Марковиц называет эффективными. Задача инвестора состоит в поиске эффективных портфелей, удовлетворяющих допустимому риску.

В условиях допустимости короткой продажи, явная форма множества эффективных портфелей может быть получена решением задачи минимизации дисперсии портфеля при фиксированном ожидании а :

ш|п{£Т Ер | ¡3тр = а , /3т 1 = 1},

где ^ и Е — вектор средних и ковариационная матрица случайного вектора (£ь...,£п), а [3 Е Кга — вектор весов. Решение этой задачи методом неопределённых множителей Лагран-жа можно найти, например, в монографиях [32] и [52]. В случае невырожденной матрицы Е, множество эффективных портфелей представляет собой ветку параболы на графике ожидания-дисперсии.

п

Выражение для дисперсии допустимого портфеля ц = ^ имеет следующий вид:

г=1

п п

й V = /3тЕР = ^ /ЗгагзР3 = ^ Р?а? + 2 ^ Рф3агз,

г,]=1 г=1

где а^ = ац = й Одним из следствий, вытекающих из теории Марковица, является рекомендация распределять вложения между попарно отрицательно коррелированными активами для уменьшения общей дисперсии портфеля. Однако, хотя на практике можно найти пару активов, корреляция которых близка к -1, и составить из них портфель с близкой к нулю дисперсией, но математическое ожидание такого портфеля будет также очень малым, поскольку почти наверное покупка одного из этих активов неявно сопряжена с короткой

позицией по другому. Подробности можно найти в соответствующей главе [17].

В более поздней монографии [65] Марковиц предлагает уменьшать дисперсию портфеля за счёт большого числа некоррелированных активов. Действительно, если дисперсии каждого из активов г = 1, 2,..., ограничены в совокупности, а сами активы некоррелированы, то в силу предельных теорем теории вероятностей можно выбрать так много активов N, что при равномерном распределении капитала между ними можно построить портфель со сколь угодно малой дисперсией. В реальности же этот подход снова сталкивается с проблемой, так как подавляющее большинство инструментов (например, акции компаний) имеют строго положительную корреляцию. И хотя такой подход позволяет редуцировать так называемый несистематический риск (то есть риск, связанный с одним инструментом по отношению ко всему рынку), риск систематический, или рыночный, не может быть уменьшен, и с этим приходится мириться.

Теория Марковица отличается достаточной простотой, поскольку оперирует только с первыми двумя моментами, но в то же время это обстоятельство является и серьёзным недостатком. Если случайный вектор (£1,... ,£га) имеет гауссовское распределение, то всякий допу-

п

стимый портфель ^ ^^ распределён нормально, и его дисперсия действительно полностью

г=1

описывает риск инвестора. Однако реальные наблюдения показывают, что даже изменения цен простых активов (акций) имеют отклонения от нормальных (и логнормальных) распределений из-за наблюдаемых тяжёлых хвостов, а также эффектов скошенности и островершинности (см. [49], [36], [42], [43], [29], [58], [59], [60], [61], [62], [69], [26], [50], [63]). Изменения цен на производные инструменты (например, опционы) даже и близко не могут быть описаны гауссовским законом в силу своей структуры. Иначе говоря, стандартное отклонение изменения цен для многих финансовых инструментов не является адекватной мерой риска.

Термин «диверсификация», предложенный Марковицем, очень удачно вписался в экономическую среду своего времени и остаётся популярным в настоящее время. Однако примечателен тот факт, что ни труды Марковица, ни другие работы его современников ([75], [41], [54], [37], [76]) не дают строгого математического определения этого понятия. Стоит заметить, что было бы неправильным называть портфель диверсифицированным, если он просто является невырожденной выпуклой линейной комбинацией активов. Действительно, если бы доходы по одному из активов были бы почти всюду больше доходов по остальным, то лю-

бая невырожденная линейная комбинация активов давала бы почти всюду меньший доход, чем этот актив. Конечно, в силу безарбитражности, такая ситуация на рынке невероятна, но этот простой пример всё равно подсказывает, что в определении диверсификации нужна некоторая осторожность и аккуратность.

Современные научные работы по финансовой математике и риск-менеджменту (например, [46], [31]) пользуются термином «диверсификация» в следующем смысле. Мера риска р удовлетворяет принципу диверсификации, если выполнено условие её выпуклости, а именно

р(аХ + (1 - а)У) ^ ар(Х) + (1 - а)р(У)

для всех портфелей X,У и действительного числа а Е (0,1), т.е. риск выпуклой линейной комбинации группы портфелей не должен превосходить линейной комбинации (с теми же коэффициентами) рисков отдельных портфелей. Такое свойство объявляется желательным, т. е. разумные меры риска должны ему удовлетворять.

В настоящей работе диверсификация определяется как некоторое бинарное отношение предпочтения на множестве допустимых инвестиционных портфелей. Стоит заметить, что идея сравнивать случайные величины (или их распределения) далеко не нова. Так, подход, основанный на теории полезности (см. [11], [4], [14]), ставит в соответствие каждому случайному доходу X число и(X) = Е и(Х), называемое ожидаемой полезностью этого дохода, и постулирует, что случайный доход X предпочтительнее случайного дохода V (в терминах функции полезности и), когда и (X) > и (У). Несколько более современный подход (см. [35], [33], [24], [25], [19], [20], [21], [34], [22], [23]), основанный на уже упомянутых мерах риска, т.е. функциях р, ставящих в соответствие будущему случайному доходу (или потерям) X число р(Х), снова вводит упорядоченность на множестве случайных доходов: для сравнения X и У можно сравнивать их риски р(Х) и р(У). Конечно, от функционала р нужно требовать выполнения определённых свойств, чтобы такое сравнение не противоречило здравому смыслу.

Цели и задачи работы. Построить экономически адекватное и математически строгое определение понятия «диверсификации», исследовать его свойства, в том числе построить критерии сравнимости портфелей в терминах диверсификации.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят

в следующем: 1) предложено несколько способов формализации понятия «диверсификации» как отношения предпочтения на множестве инвестиционных портфелей; 2) описаны свойства построенных определений, доказаны критерии предложенных отношений на некоторых подклассах инвестиционных портфелей.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Основная значимость работы состоит в исследовании предложенных фор-мализаций и их тесной связи с когерентными (и спектральными) мерами риска, вогнутыми функциями полезности и отношением стохастической доминации.

Методология и методы диссертационного исследования. При доказательстве основных результатов диссертации использовались методы теории меры (автоморфизмы пространства Лебега), теории вероятностей (предельные теоремы, метрики в пространстве вероятностных распределений), а также теории риска (функции полезности, меры риска).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, насчитывающего 78 наименований. Общий объем диссертации составляет 94 страниц(ы).

Результаты и положения, выносимые на защиту.

• Предложены определения отношения и оператора диверсификации в случае, когда инвестиционные портфели заданы на вероятностном пространстве Лебега, доказана их непосредственная связь.

• Построен критерий сравнимости портфелей с ограниченными прибылями и убытками, а также контрпример, показывающий важность условия ограниченности прибылей и убытков.

• Построен критерий мажорируемости весовых векторов в случае конечного числа независимых (или хотя бы симметрично зависимых) одинаково распределённых активов.

• Предложено альтернативное определение отношения диверсификации в пространстве вероятностных распределений на действительной прямой. Построено замыкание этого отношения по произвольной метрике.

• Доказаны свойства замыкания отношения диверсификации по метрике Канторовича. Построены критерии сравнимости портфелей с конечными первыми моментами.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертационной работы опубликованы в 3 статьях [18],[15],[16] в журналах, входящих в список ВАК, а также в сборнике тезисов [10]. В работе [18] Д. О. Яковенко принадлежит идея операторного подхода. В работе [15] Л. В. Назарову принадлежит постановка задачи. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах «Теория риска и смежные вопросы» на факультете ВМК МГУ (руководители: профессор Бенинг В. Е., профессор Королев В. Ю.) и «Исследование асимптотического поведения и устойчивости стохастических моделей» на механико-математическом факультете МГУ (руководители: профессор Афанасьева Л. Г., доц. Баштова Е. Е.), а также на ежегодной научной конференции «Тихоновские чтения» (Москва, 26-29 октября 2015 года) и на заседании научно-учебной лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту факультета экономики ВШЭ (заведующий лабораторией: профессор Смирнов С. Н.) (7 апреля 2016 года).

Краткое содержание

Во введении излагается историческая справка по теме диссертации, обосновывается актуальность этой темы, формулируется цель работы, указываются положения, выносимые на защиту.

В первой главе (Оператор диверсификации в случае пространства Лебега) предлагается определение диверсификации как отношения предпочтения на множестве случайных величин, заданных на вероятностном пространстве Лебега. Раздел 1.1 содержит основное определение и простой пример.

Определение 1.1. Будем говорить, что портфель £ является результатом диверсификации портфеля ц (и обозначать это обстоятельство как £ ^ г/), если для произвольного е > 0 существуют случайные величины щ,... , ,... , ^п-1 и числа а\,... ,ап Е [0,1], такие что

По = V ,

VI = VI, 2 = 0,... ,п — 1 , щ = а^-1 + (1 — а!гК-1, г =1,...,п,

(1)

(2)

(3)

и ^ ^ Цп — £ п. в.

(4)

В разделе 1.2 указаны свойства пространства Лебега, используемые в следующих разделах главы. Наибольшую ценность представляет лемма 1.9, гарантирующая существование автоморфизма пространства Лебега, сколь угодно близко аппроксимирующего почти всюду одну из случайных величин другой, при условии что они распределены одинаково:

Лемма 1.9. Пусть случайные величины £ и rq одинаково распределены. Тогда для всякого £ > 0 существует преобразование Т£ е T, такое что | £ — rjTe | < е п. в.

Раздел 1.3 содержит определение оператора диверсификации:

Определение 1.10. Оператором диверсификации Da,т, где а е [0,1], Т е T будем называть оператор, действующий на пространстве случайных величин по следующему закону:

Da,T i = at + (1 — a) .

Некоторые свойства операторов диверсификации представлены в утверждениях 1.11, 1.12 и 1.13. Теорема 1.14 показывает прямую связь между предложенными отношением диверсификации и операторами диверсификации:

Теорема 1.14. Портфель £ является результатом диверсификации портфеля rq тогда и только тогда, когда для произвольного £ > 0 существует последовательность операторов диверсификации = Dai,Tl, ..., Dn = Dan,Tn, где щ е [0,1], Ti е T, г =1.. .п, такая что £ ^ Dn ...D\rq — £ п. в.

В разделе 1.4 перечислены широко используемые классы мер риска, которые можно выразить через квантильные функции (VaR, когерентные и спектральные меры риска), а также представлены некоторые их свойства со ссылками на источники.

Раздел 1.5 содержит необходимое условие сравнимости портфелей в смысле диверсификации:

Теорема 1.25. Если £ ^ rq, то р(£) ^ p(rq) для всякой инвариантной по распределению слабокогерентной меры риска р.

Теорема 1.25 справедлива, в частности, для меры риска Expected Shortfall любого уровня. Последнее обстоятельство позволяет доказать тот факт, что построенное отношение диверсификации действительно сравнивает портфели (с конечными математическими ожиданиями):

Теорема 1.26. Бинарное отношение «^» является псевдочастичной упорядоченностью на множестве портфелей с конечным первым моментом, то есть оно

1) рефлексивно: £ ^ £ ;

2) транзитивно: £ ^ rq ^ ( ^ £ ^ ( ;

3) псевдоантисимметрично: £ ^ rq, ц ^ £ ^ £ = ^ .

В разделе 1.6 доказано, что в случае ограниченных п. в. портфелей, условие на сравнимость мер риска Expected Shortfall является достаточным для их сравнения в смысле диверсификации:

Теорема 1.30. Пусть £ и rq — почти всюду ограниченные случайные величины. Тогда если ES7(£) ^ ES7(rj) для всех 7 Е (0,1], то £ ^ г/.

В разделе 1.7 показано, что условие ограниченности в последней теореме существенно. А именно, приведён пример двух таких неограниченных портфелей £ и что ES7 (£) ^ ES7 (rq) при всех 7 Е (0,1], но при этом £ ^ rj.

Во второй главе (Отношение диверсификации в случае абстрактного вероятностного пространства ) предлагается альтернативная формализация понятия диверсификации. В разделе 2.1 рассмотрено несколько подходов распределения капитала внутри группы активов в простейшем случае (когда доходы по всем активам независимы и одинаково распределены), а именно принципы уменьшения дисперсии, увеличения энтропии, а также хорошо известное отношение мажорирования весовых векторов (определение 2.2). Предложены критерии последнего отношения (теоремы 2.4, 2.5, 2.11), последний из которых особенно важен, т.к. на его основе строятся основные определения главы:

Теорема 2.11. Пусть Е Лп. Тогда

т

а ^ [3 ^ 3р(1),...,р(т) - [3 и 39 =(6ъ...,6т) Е Лт, т.ч. а = ^ 03 [3(j) .

3 = 1

Раздел 2.2 содержит определение отношения диверсификации в пространстве вероятностных распределений на действительной прямой:

Определение 2.12. Будем говорить, что инвестиционный портфель £ является диверсифи-

Шу

кацией инвестиционного портфеля ц (и обозначать это отношение как £ ^ ц ), если существует многомерное распределение (гц1,^2,... ,^п), такое что все маргинальные распределения компонент этого вектора совпадают с распределением г/, а распределение £ совпадает с распределением некоторой выпуклой линейной комбинации компонент этого вектора, т. е.

а .

Щ = V , г = 1.. .п ,

и

С = ^111 , где ^ 0 и ^ а^ = 1.

г=1 г=1

Также будем говорить, что в этом случае портфель £ менее рискован (не хуже) в смысле

Шу

диверсификации, чем портфель г/. Само бинарное отношение ^ будем называть отношением диверсификации.

Здесь же представлены некоторые свойства этого отношения. В частности, необходимое условие сравнимости портфелей сильнее необходимого условия из первой главы (лемма 2.18),

ШУ

а само отношение ^ является частичной упорядоченностью на 'Р1 — множестве распределений на прямой с конечными первыми моментами (теорема 2.20).

В разделе 2.3 предложено первое обобщение отношения диверсификации, использующее отношение стохастической доминации первого порядка ^ :

Определение 2.25. Будем говорить, что инвестиционный портфель £ является диверсификацией инвестиционного портфеля ц с положительной добавкой (и обозначать это отношение

ШУ+ 1 Бё ШУ

как £ ^ ^ ), если существует такое распределение £0, что £ ^ £0 ^ Ц.

Отношение ^ остаётся частичной упорядоченностью на 'Р1 (теорема 2.29), а необходимым условием сравнимости оказывается сравнимость сразу всех инвариантных по распределению монотонных выпуклых мер риска (утверждение 2.32).

В разделе 2.4 строится обобщение отношения диверсификации с положительной добавкой как замыкание последнего по произвольной метрике й в пространстве вероятностных распределений на действительной прямой V.

Определение 2.34. Будем говорить, что £ ^ ц (и называть при этом отношение ^ замыканием отношения диверсификации с положительной добавкой ^ по метрике й), если

существуют такие две последовательности распределений {£ra}raeN и {^ra}raeN, что -— £, Vn Л (где под сходимостью понимается сходимость вероятностных мер по метрике d, то

div+

есть сходимость в метрическом пространстве (V ,d) ) и £п ^ цп для всех п Е N.

Последнее определение обладает рядом хороших свойств, если использовать метрику Канторовича к (в пространстве Pi). В частности, математическое ожидание любого портфеля оказывается не хуже самого портфеля:

div(^)

Теорема 2.38. Если E < то, то E rq ^ г/.

div(«)

Кроме того, утверждения 2.39 и 2.40 показывают, что отношение ^ сохраняется при умножении на константу и при добавлении стохастически независимой случайной величины. До-

div(«)

казан критерий отношения ^ , связанный с мерой риска Expected Shortfall: Теорема 2.45. Пусть E |£| < то, E < то. Тогда

div(«)

£ ^ v ^ es7(0 ^ ES7(v) V7 Е (0,1].

В отличие от определения отношения диверсификации, построенного в первой главе, здесь удаётся доказать справедливость критерия для портфелей с конечными первыми моментами, а не только для п. в. ограниченных портфелей.

div(«)

В разделе 2.5 показано, что построенное отношение ^ эквивалентно хорошо известному отношению стохастической доминации второго порядка, а также находит своё место в теории полезности:

Теорема 2.48. Для произвольных Е Р1 следующие утверждения эквивалентны:

1) E и(£) ^ E u(rj) для всякой неубывающей вогнутой функции и : R — R, такой что математические ожидания имеют смысл ;

2 sd

2) с > v ;

3) ES7 (£) ^ ES7 (rq) для всех уровней 7 Е (0,1] ;

4) Mv (£) ^ Mv (rq) для всех спектральных мер риска Mv ;

div(«)

5) i ^ ц .

В заключении сформулированы все основные результаты, выносимые на защиту, а также описаны возможные направления для дальнейших исследований.

Благодарности. Автор диссертации глубоко признателен своему научному руководителю к.ф.-м.н. Назарову Леониду Владимировичу и выпускнику факультета ВМК МГУ гроссмейстеру Яковенко Дмитрию Олеговичу за постановку задачи, внимание к работе, помощь и ценные дискуссии по ходу выполнения работы.

Глава 1.

Оператор диверсификации в случае пространства Лебега

В этой главе все случайные величины определены на вероятностном пространстве Лебега (П,Т, P), то есть на полуинтервале П = [0,1) с сигма-алгеброй лебеговских множеств Т и мерой Лебега P = Выбор конкретного вероятностного пространства не случаен. С одной стороны, пространство Лебега вполне «осязаемо», и удобно пользоваться известными его свойствами, не все из которых присущи абстрактным вероятностным пространствам. С другой стороны, такой выбор не накладывает слишком строгих ограничений. К примеру, пространство Лебега достаточно богато, чтобы построить на нём винеровский процесс с помощью функций Хаара (см. [8]). Более того, на пространстве Лебега можно построить последовательность случайных величин со сколь угодно сложным совместным распределением, поскольку вероятностное пространство (RN, 0(RN), P), пополненное относительно произвольной вероятностной меры P, является стандартным, то есть изоморфным (mod 0) пространству Лебега (возможно, с добавлением не более чем счётного числа атомов) (см. [12],[3],[53],[74]).

Под портфелями в этой главе понимаются случайные величины, описывающие доход в фиксированный будущий момент времени Т от вложения всего капитала инвестора в нулевой момент времени в некоторый актив или группу активов.

Большая часть результатов настоящей главы опубликована в статье [18]. Следует, однако, учитывать, что в приведённой статье рассматриваются будущие возможные потери инвестора, а не его доход. Поэтому результаты статьи совпадают с результатами, представленными ниже, с точностью до знаков случайных величин.

1.1. Определение

Определение 1.1. Будем говорить, что портфель £ является результатом диверсификации портфеля ц (и обозначать это обстоятельство как £ ^ г/), если для произвольного е > 0 существуют случайные величины щ,... ,... , л'п-1 и числа а1,... ,ап, такие что

0 ^ щ ^ 1, г =1,...,п, (1.1)

'По = V , (1.2)

Щ == ц'г, Ъ = 0,... ,п — 1 , (1.3)

щ = ^Щ-х + (1 — а,гУп'г-1, г =1,...,п, (1.4)

и £ ^ Цп — £ п. в. (1.5)

Пример 1.2. Пусть Х1, Х2, Х3 — независимые одинаково распределённые случайные вели-

3

чины (портфели). Рассмотрим портфель вида ц = р1Х1 + р^Х2 + р3Х3, р^ ^ 0, ^р1 = 1,

г=1

и покажем, что портфель £ = (1/3)Х1 + (1/3)Хг + (1/3)Х3 является результатом диверсификации портфеля г/. Без ограничения общности считаем, что 0 ^ р1 ^ Р2 ^ р3 ^ 1 и р1 < 1/3 (случай, когда все Pi = 1/3, неинтересен в силу тривиальности). Определим

'По = V = Р1Х1 + Р2Х2 + Р3Х3, (1.6)

1]'о = Р3Х1 + р2Х2 + Р1Х3 (1.7)

(^0 = Vо, т.к. Х1, Х2, Х3 — независимы и одинаково распределены),

Р3 — 1/3 п а1 =--(1.8)

Р3 — Р1

(0 < а1 < 1 в силу предположений на Р1,Р2,Р3). Тогда

т = + (1 — = (1/3)Х1 + р2Х2 + (2/3 — р2 )Х3. (1.9)

Теперь определим

й = (1/3)Х1 + (2/3 - р2)Х2 + р2Х3, (1.10)

«2 = 1/2. (1.11)

Тогда

Ш = а2гц + (1 - а2)г,11 = (1/3)^1 + (1/3)^2 + (1/3)*а = С ^ С + е (1.12)

для произвольного е > 0. Тем самым, согласно введённому определению, £ ^ г/.

При рассмотрении последнего примера может сложиться впечатление, что наличие е в определении 1.1 избыточно. Однако предложенное определение, как будет видно на протяжении всей главы, является аналогом предельного перехода.

Последнее нестрогое неравенство (1.5) в определении 1.1 можно заменить на строгое.

Определение 1.3. Портфель £ является результатом строгой диверсификации портфе-

ля г/, если для произвольного £ > 0 существуют случайные величины г/0,... ,... , и числа а1,..., ап, такие что

0 ^ а{ ^ 1, г =1,...,п, (1.13)

щ = V , (1.14)

^г = ^, ъ = 0,...,п — 1 , (1.15)

^ = аг^г-1 + (1 — «О^ь г =1,...,п, (1.16)

и £ > Цп — £ п. в. (1.17)

Утверждение 1.4. Определения 1.1 и 1.3 эквивалентны.

Доказательство. Поскольку определение результата диверсификации является более слабым, то достаточно показать, что при выполнении условий определения 1.1 выполняются и все условия определения 1.3. Фиксируем произвольное £ > 0. По определению, для е/2 > 0 можно построить щ,... ,... , Vп-1 и ..., ®п, такие что выполнены все условия опре-

деления 1.1, в том числе и последнее: £ ^ цп — е/2 п. в. Следовательно, £ > цп — £ п. в., что и требовалось доказать. □

1.2. Некоторые свойства пространства Лебега

Определение 1.5. Взаимно-однозначное преобразование Т: П о П называется автоморфизмом, если оно измеримо вместе со своим обращением Т-1 и сохраняет меру, то есть если выполнено

Т-1(Т) СТ , (1.18)

Т(Т) С Т , (1.19)

P(T-1 А) = P(A) для всех А еТ . (1.20)

Замечание. В этом случае обратное отображение Т-1 тоже сохраняет меру (и поэтому является автоморфизмом):

P ((Т-1 )-1^ = P(TA) = P(T-1 ТА) = P(A) для всех А еТ , (1.21)

поскольку ТА Е Т.

Пример 1.6. Простейшим нетривиальным автоморфизмом является сдвиг полуинтервала П = [0,1) на произвольную константу а Е R :

Та(ш) = (ш + a) mod 1 , ш Е П . (1.22)

Класс всех автоморфизмов на пространстве Лебега будем обозначать за T. Легко проверяется, что суперпозиция автоморфизмов не выводит из класса автоморфизмов. Остановимся более подробно на свойствах автоморфизмов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Лемма 1.7. Автоморфизмы сохраняют распределения случайных величин, т. е. для произ-

Р ГТ1 _ ПТЧ d ГГ1

вольных случайной величины rq и автоморфизма 1 Е T имеем rq = ц! . Доказательство. Для произвольного В Е В имеем:

P(rfT Е В) = P ({и Е П : п(ТМ) Е В}) = P ({и Е П : Т(и) Е Г]-1(В)}) =

= P (Т-1 (V-1(B))) = P (V-1(B)) = P (V Е B) , (1.23)

где предпоследнее равенство выполнено в силу того, что Т сохраняет меру. Лемма доказана.

□

Лемма 1.8. Для любых двух лебеговских множеств одной меры Е,Е е Т, Р(Е) = Р(Е) существует автоморфизм Т е Т, такой что Р(ТЕ △ Е) = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Целищев Михаил Андреевич, 2016 год

Литература

[1] Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия под ред. Ю. В. Прохорова. Москва, 1999.

[2] БатлерБ., Джонсон Б., СидуэллГ. и др. Финансы. Толковый словарь. 2-е изд. (под ред. ОсадчейИ. М.). М.: «ИНФРА-М», изд-во «Весь Мир», 2000.

[3] Богачёв В. И. Основы теории меры. Том 2. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

[4] Де Гроот М. Оптимальные статистические решения. М.: Мир, 1974.

[5] Золотарев В. М. Метрические расстояния в пространствах случайных величин и их распределений // Матем. сб., 101(143):3(11) (1976), с.416-454.

[6] Золотарев В.М. Вероятностные метрики // Теория вероятностей и её применения, 28:2 (1983), с.264-287.

[7] Королёв В.Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011.

[8] Круглов В.М. Случайные процессы. М.: Академия, 2013.

[9] Лоэв М. Теория вероятностей. Москва, 1962.

[10] Назаров Л. В., Целищев М. А. Вероятностные модели диверсификации // Тезисы научной конференции «Тихоновские чтения», 2015, с. 70-70.

[11] Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

[12] Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Математический Сборник (Новая Серия), 1949, Т. 25 (67), с. 107-150.

[13] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 2. М.: Мир, 1967.

[14] Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978.

[15] Целищев М.А., Назаров Л. В. О формализации понятия диверсификации // Вестник ТвГУ, серия: Прикладная математика, 2013, № 15, с. 63-80.

[16] Целищев М.А. Об обобщении понятия диверсификации // Вестник ТвГУ, серия: Прикладная математика, 2014, № 3, с. 77-93.

[17] Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. Москва, 1998.

[18] Яковенко Д. О., Целищев М. А. Диверсификация и её связь с мерами риска // Информатика и её применения, 2011. Т.5. Вып.3. С.21-26.

[19] Acerbi C. Spectral Measures of Risk: a Coherent Representation of Subjective Risk Aversion // J. of Banking and Finance, 26(7), 2002, pp. 1505-1518.

[20] Acerbi C., Tasche D. On the Coherence of Expected Shortfall //J. Banking Finance. Vol. 26. No. 7, 2002, pp.1487-1503.

[21] Acerbi C., Tasche D. Expected Shortfall: a Natural Coherent Alternative to Value at Risk // Economic Notes, 2002, Vol. 31, Iss. 2, pp. 379-388.

[22] Acerbi C. Risk Aversion and Coherent Risk Measures: a Spectral Representation Theorem // Metodi Statistici per la Finanza e le Assicurazioni. Milano, 2003, pp. 9-28.

[23] Acerbi C. Coherent Representations of Subjective Risk Aversion // Risk Measures for the 21st Century (ed. by G. Szego), New York: Wiley, 2004, pp. 147-207.

[24] Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath, D. Thinking coherently // Risk, 10(11), 1997, pp.68-71.

[25] Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance, 1999, Volume 9, Issue 3, pp 203-228.

[26] Barnea A., Downes D.H. A Reexamination of the Empirical Distribution of Stock Price Changes // Journal of the American Statistical Association, 1973, 68(342), pp. 348-350.

[27] Bosmans K., Lauwers L., Ooghe E. A consistent multidimensional Pigou-Dalton transfer principle // Journal of Economic Theory, 2009, 144(3), pp. 1358-1371.

[28] Bellini F., Klar B., Muller A., Gianin E. R. Generalized Quantiles as Risk Measures // Insurance: Mathematics and Economics, Vol.54, 2014, pp. 41-48.

[29] Blattberg R. C., Gonedes N. A Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices // The Journal of Business, Vol. 47, No. 2, 1974, pp. 244-280.

[30] Bolley F. Separability and Completeness for the Wasserstein Distance // Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2008. Vol.1934. P.371-377.

[31] Cerreia-Vioglio S., Maccheroni F., Marinacci M., Montrucchio L. Risk Measures: Rationality and Diversification // Mathematical Finance, 2011, 21(4), pp. 743-774.

[32] Cochrane J. H. Asset pricing. Princeton University Press, rev. ed., 2005.

[33] Crouhy M., Galai D., Mark R. The Essentials of Risk Management // McGraw-Hill, 2014.

[34] Delbaen F. Coherent Risk Measures on General Probability Spaces // Advances in Finance and Stochastics, 2002, pp. 1-37.

[35] Dowd K. Measuring Market Risk // John Wiley & Sons, 2005.

[36] Eberlein E., Keller U. Hyperbolic distributions in finance // Bernoulli, 1995, vol. 1, no. 3, pp. 281-299.

[37] Elton E. J. Gruber M. J. Risk Reduction and Portfolio Size: An Analytical Solution // The Journal of Business, 1977, 50(4), pp. 415-437.

[38] Embrechts P. Extreme Value Theory: Potential and Limitations as an Integrated Risk Management Tool // Derivatives Use, Trading & Regulation, Vol. 6, No 1, 2000, pp. 449-456.

[39] Embrechts P., Hofert M. A Note on Generalized Inverses // Mathematical Methods of Operations Research, Vol. 77, Issue 3, 2013, pp. 423-432.

[40] Embrechts P., McNeil A. J., Straumann D. Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls // Risk Management: Value at Risk and Beyond (ed. by M. A. H. Dempster). Cambridge University Press, 2002, pp. 176-223.

[41] Evans J.L., Archer S. H. Diversification and the Reduction of Dispersion: An Empirical Analysis // The Journal of Finance, 1968, 23(5), pp. 761-767.

[42] Fama, E. F. The Behavior of Stock-Market Prices // The Journal of Business, 1965, 38(1), pp. 34-105.

[43] Fama E. F. Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market // Management Science, 1965, 11(3), pp. 404-419.

[44] Fischer T. Risk Capital Allocation by Coherent Risk Measures Based on One-Sided Moments // Insurance: Mathematics and Economics, 32(1), 2003, pp. 135-146.

[45] Fleurbaey M. Social welfare, priority to the worst-off and the dimensions of individual well-being // Inequality and Economic Integration (Ed. by Farina F., Savaglio E.). Routledge, London, 2006, pp. 225-268.

[46] Follmer H., Schied A. Convex measures of risk and trading constraints // Finance and Stochastics, 2002, Vol. 6, Iss. 4, pp. 429-447.

[47] Föllmer H., Schied A. Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time. 3rd ed. De Gruyter, 2011.

[48] Gibbs A. L., Su F.E. On Choosing and Bounding Probability Metrics // International Statistical Review, 2002, 70(3), pp. 419-435.

[49] Guillaume D.M., Dacorogna M.M., Dave R.R., Muller U.A., Olsen R.B., Pictet O. V. From the bird's eye to the microscope: A survey of new stylized facts of the intra-daily foreign exchange markets // Finance and Stochastics, vol. 1, no. 2, 1997, pp. 95-129.

[50] Hagerman R. L. More Evidence on the Distribution of Security Returns // The Journal of Finance, 1978, 33(4), pp. 1213-1221.

[51] Halmos P. R. Lectures on Ergodic Theory. N.Y.: Chelsea Publishing Company, 1956.

[52] Ingersoll J. E., Jr. Theory of Financial Decision Making. Rowman & Littlefield, 1987.

[53] Ito K. An Introduction to Probability Theory. Cambridge University Press, 1984.

[54] Jacob N. L. A Limited-Diversification Portfolio Selection Model for the Small Investor // The Journal of Finance, 1974, 29(3), pp. 847-856.

[55] Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit, M. Modern Actuarial Risk Theory. Springer, 2002.

[56] Kingman J. F. C. Uses of Exchangeability // Annals of Probability, Vol. 6, No. 2, 1978, pp. 183-197.

[57] Kusuoka S. On Law Invariant Coherent Risk Measures // Advances in Mathematical Economics, Vol. 3, 2001, pp. 83-95.

[58] Mandelbrot B. The Pareto-Levy Law and the Distribution of Income // International Economic Review, 1960, 1(2), pp. 79-106.

[59] Mandelbrot B. The Stable Paretian Income Distribution when the Apparent Exponent is Near Two // International Economic Review, 1963, 4(1), pp. 111-115.

[60] Mandelbrot B. The Variation of Certain Speculative Prices // The Journal of Business, 1963, 36(4), pp. 394-419.

[61] Mandelbrot B. The Variation of Some Other Speculative Prices // The Journal of Business, 1967, 40(4), pp. 393-413.

[62] Mandelbrot B., Taylor, H. M. On the Distribution of Stock Price Differences // Operations Research, 1967, 15(6), pp. 1057-1062.

[63] Mantegna R. N., Stanley H. E. Scaling Behaviour in the Dynamics of an Economic Index // Nature, 1995, Vol. 376, pp. 46-49.

[64] Markowitz H. M. Portfolio Selection // The Journal of Finance, 1952, 7(1), p. 77-91.

[65] Markowitz H. M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. NY: John Wiley & Sons, 1959.

[66] Murray M. L. Empirical Utility Functions and Insurance Consumption Decisions // The Journal of Risk and Insurance, 1972, 39(1), p. 31-41.

[67] Nelsen R. B. An Introduction to Copulas. Second Edition. Springer, 2006.

[68] Niculescu C., Persson L.-E. Convex Functions and their Applications. A Contemporary Approach. Springer, 2006.

[69] Praetz P. D. The Distribution of Share Price Changes // The Journal of Business, 1972, 45(1), pp. 49-55.

[70] Prigent J.-L. Portfolio Optimization and Performance Analysis. CHAPMAN & HALL/CRC, 2007.

[71] Rachev S. Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models. John Wiley & Sons, 1991.

[72] Rachev S., Stoyanov S., Fabozzi F. A Probability Metrics Approach to Financial Risk Measures. John Wiley & Sons, 2011.

[73] Rudin W. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, 1987.

[74] Rudolph D. J. Fundamentals of Measurable Dynamics: Ergodic Theory on Lebesgue Spaces. Oxford, 1990.

[75] Samuelson P. A. General Proof that Diversification Pays // The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1967, 2(1), pp. 1-13.

[76] Statman M. How Many Stocks Make a Diversified Portfolio? // The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1987, 22(3), pp. 353-363.

[77] Sriboonchitta S., Wong W. K., Dhompongsa S., Nguyen H. T. Stochastic Dominance and Applications to Finance, Risk and Economics. Chapman & Hall/CRC, 2009.

[78] Villani C. Optimal Transport, Old and New. Springer, 2008.