Вероятностные критерии оптимальности в линейных управляемых системах и их применение к моделям с временными предпочтениями экономических агентов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Паламарчук, Екатерина Сергеевна

• Паламарчук, Екатерина Сергеевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Паламарчук, Екатерина Сергеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Линейные системы управления и критерии оптимальности на бесконечном интервале времени

1.1 Вероятностные критерии и проблематика стохастической оптимальности

1.2 Описание модели и основные предположения

1.3 Свойства линейных систем управления

1.4 Линейные стохастические дифференциальные уравнения с экспоненциально устойчивой матрицей

Глава 2. Стохастическая оптимальность в линейных системах

с возмущениями

2.1 Линейно-квадратический регулятор с ограниченными параметрами возмущений

2.2 Линейно-квадратический регулятор с нарастающим возмущением

2.3 Дополнение: анализ критерия долговременного среднего в случае переменных параметров возмущений

Глава 3. Применение вероятностных критериев к исследованию линейных систем с дисконтированием

3.1 Дисконтирование как отражение временных предпочтений экономических агентов

3.2 Стохастическая оптимальность линейных систем управления с дисконтированием

3.3 Анализ результатов применения оптимальных стратегий

управления: стабилизация траекторий

Глава 4. Анализ некоторых экономических моделей

4.1 Модель управления ценой в экономике с аддитивной неопределенностью

4.2 Модель управления ценой в экономике с мультипликативной неопределенностью

4.3 Модель управления выбросами вредных веществ

Заключение

Литература

150

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностные критерии оптимальности в линейных управляемых системах и их применение к моделям с временными предпочтениями экономических агентов»

Введение

Актуальность темы исследования. Линейные управляемые системы широко применяются при моделировании различных явлений и процессов в области экономики. Необходимость оценки качества управляющих воздействий приводит к использованию целевого функционала, который часто имеет интегральный квадратичный вид и учитывает динамическую природу функционирования системы в виде наличия в нем дисконтирующей функции. Линейные системы с таким критерием обычно называет линейно-квадратическим регулятором и его экономическим приложениям посвящены работы таких исследователей, как H. M. Amman, M. Aoki, M. Athans, G. C. Chow, С. C. Holt, D. A. Kendrick, F. Modigliani, R. S. Pindyck, T. J. Sargent, J. K. Sengupta, H. Theil, S. J. Turnovsky.

При анализе поведения управляемых экономических систем на больших интервалах планирования одной из важнейших задач является оценка долгосрочных последствий применения выбранных стратегий управления. Основная трудность здесь связана с тем, что на динамику системы влияют неконтролируемые (случайные) факторы. Поэтому теоретической основой указанного анализа могут являться исследования стохастических динамических систем управления на бесконечных интервалах времени. Тема диссертационного исследования относится к проблематике так называемой стохастической оптимальности, или оптимальности с точки зрения вероятностных критериев в линейных управляемых системах. Стохастическая оптимальность для динамических систем изучалась в работах Т. А. Белкиной, V. S. Borkar, P. Dai Pra, G. В. Di Masi, M. Ghosh, Ю. M. Кабанова,

A. Leizarowitz, P. Mandl, A. В. Назина, A. С. Позняка, Э. Л. Пресмана,

B. И. Ротаря, M. Taksar, В. Trivellato. Вероятностные критерии, в отличие от традиционно принятых в стохастической оптимизации критериев, основанных на математических ожиданиях (м.о.) целевых функционалов,

учитывают поведение управляемого процесса не просто в среднем по всему множеству реализаций, но и поведение на отдельно взятой траектории случайного процесса. Точнее, вероятностные критерии основаны на изучении асимптотического вероятностного поведения целевых функционалов для разных управлений (почти наверное, по вероятности и т.д.). Кроме того, при постановке задачи управления экономической системой на большом интервале планирования в условиях неопределенности, в частности, при выборе адекватного критерия оптимальности, может возникать необходимость учета временных предпочтений экономических агентов в структуре критерия, а также степени влияния случайных факторов. Традиционный критерий, применяемый в задачах с бесконечным горизонтом, так называемое долговременное среднее, во многих моделях, рассматриваемых в данной работе, оказывается неэффективным и даже лишенным смысла. В частности, к ним относятся исследуемые задачи управления линейной системой с затухающими (вырождающимися со временем) или, наоборот, бесконечно нарастающими возмущениями, а также задачи с дисконтированием. Дисконтирующая функция в рассматриваемых моделях выражает временные предпочтения экономических агентов. В зависимости от вида временных предпочтений (положительные, отрицательные или нулевые) эта функция может убывать, возрастать или же быть постоянной. Известные результаты по стохастической оптимальности для линейных систем либо оказываются неприменимы для таких моделей, либо, как выяснилось в результате проведенных в диссертационной работе исследований, основаны на слишком грубой нормировке целевых функционалов при анализе их асимптотического вероятностного поведения. Постановка проблемы оценки качества управления в моделях указанного вида требует построения критериев, учитывающих в своей структуре такие факторы, как изменение параметров возмущающего процесса или влияние дисконтирующей функции на асимптотическое поведение целевого функционала. При использовании таких критериев возникает задача выявления взаимосвязи между системами с дисконтированием и системами с той или иной спецификой

возмущений. Это позволяет получить ряд новых результатов, обобщающих известные как при исследовании оптимальности в среднем на бесконечных временных интервалах, так и при исследовании стохастической оптимальности для линейных управляемых систем и применить эти результаты к моделям с временными предпочтениями экономических агентов.

Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы состоит в получении результатов по стохастической оптимальности для линейных управляемых систем с квадратичным целевым функционалом при использовании различных вероятностных критериев и их последующем применении к анализу моделей с временными предпочтениями экономических агентов.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Разработать критерий оптимальности в среднем на бесконечном интервале времени для систем с переменными параметрами возмущений, учитывающий возможность наличия особенностей шумовых воздействий в системе (их затухание или неограниченный рост), который бы обобщал критерий долговременного среднего, и определение вида управления, являющегося решением задачи оптимизации с таким критерием.

2. Определить оптимальность полученного закона управления с точки зрения вероятностных критериев, основанных на изучении асимптотического вероятностного поведения процесса дефекта, определяемого как разность целевых функционалов на оптимальном в среднем и произвольном допустимом управлении, и найти вид верхней функции для семейства процессов дефекта.

3. Построить критерий оптимальности в среднем и почти наверное для модели с различными дисконтирующими функциями.

4. Выявить связь между линейными управляемыми системами с дисконтированием в целевом функционале и системами с переменными

параметрами возмущений.

5. Применить результаты, полученные для систем с возмущениями, для исследования стохастической оптимальности управления в моделях с дисконтированием.

6. Применить общие результаты по определению оптимальности в линейных экономических системах с временными предпочтениями к анализу некоторых экономических моделей.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует пункту 1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании» специальности 08.00.13 — Математические и инструментальные методы экономики паспорта специальности ВАК РФ.

Объектом исследования является стохастическая линейная управляемая система с квадратичным целевым функционалом, допускающая наличие дисконтирующей функции, затухание или неограниченный рост случайных возмущений.

Предмет исследования - оптимальность управляемой системы с точки зрения асимптотических вероятностных критериев.

Методы исследования включают методы стохастического анализа, теории вероятностей и теории стохастического управления.

Научная новизна. В работе были предложены новые критерии оптимальности для линейной управляемой системы на неограниченных интервалах времени, основанные как на значениях м.о. целевых функционалов, так и на сравнении их асимптотического вероятностного поведения. К ним относятся, в частности, критерии минимизации обобщенного долговременного среднего, а также обобщенного стохастического долговременного среднего. Указанные понятия, в отличие от их традиционных аналогов,

имеющих дело со средними по времени значениями целевых функционалов или их м.о., используют нормировку, которая может быть функцией, растущей быстрее или медленнее горизонта планирования в зависимости от скорости роста (или убывания) параметров возмущения или дисконтирующей функции. С точки зрения новых критериев была исследована оптимальность так называемого установившегося (при стремлении горизонта планирования к бесконечности) оптимального (в смысле м.о.) управления, хорошо известного для задачи с конечным временным горизонтом. Использование нормировок общего вида позволило рассматривать более широкий класс задач и при исследовании стохастической оптимальности, определяемой как асимптотическая неположительность нормированного процесса дефекта оптимального управления. Процессом дефекта называется разность функционалов на оптимальном в среднем и произвольном управлениях, рассматриваемых на всех конечных временных интервалах. Подходящие нормировки при этом определяются видом верхних функций для семейства процессов дефекта. В работе были получены новые результаты о виде верхних функций, обобщающие известные и улучшающие их для случаев затухания возмущений и убывающей дисконтирующей функции. Кроме того, получены соответствующие результаты для случаев неограниченного возрастания возмущений или дисконтирующей функции, для которых известные до сих пор результаты были неприменимы.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты исследования в целом носят теоретический характер и могут быть использованы в качестве аналитического средства при изучении различных моделей, формулируемых в виде линейных стохастических управляемых систем в экономике.

Результаты и положения, выносимые на защиту. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Для систем с возмущением введен новый критерий оптимальности в среднем на бесконечном интервале времени, обобщающий традиционное понятие долговременного среднего и учитывающий степень

влияния шумовых воздействий на динамику линейной управляемой системы, так называемое обобщенное долговременное среднее.

2. Показано, что вид управления, оптимального по этому критерию, совпадает с хорошо известным установившимся оптимальным законом управления в виде линейной обратной связи по состоянию в задаче со стандартными условиями на параметры возмущений и найдены достаточные условия существования этого управления, ослабляющие ранее известные требования.

3. Найдены условия на параметры возмущающего процесса, при которых имеют место другие виды оптимальности в среднем, определяемые как асимптотическая неположительность математического ожидания процесса дефекта при наличии (или отсутствии) нормировки, в последнем случае такой вид оптимальности носит название overtaking оптимальности в среднем.

4. Для семейства процессов дефекта оптимального в среднем управления (по новому критерию) получен вид верхней функции, обобщающий и улучшающий ранее известные оценки; с использованием результатов о верхних функциях процесса дефекта доказана оптимальность с точки зрения вероятностных критериев, включающих соответствующие нормировки.

5. Получен результат об асимптотическом поведении решения линейного стохастического дифференциального уравнения с экспоненциально устойчивой матрицей и с помощью него уставновлена асимптотическая оптимальность управления в смысле обобщенного стохастического долговременного среднего.

6. Для линейных управляемых систем с дисконтированием предложены критерий основанный на верхнем пределе от ожидаемых потерь на единицу накопленного дисконта и его стохастический аналог.

7. Показано, что путем линейной замены переменных система, включающая временные предпочтения, может быть приведена к линейной управляемой системе с изменяющимися параметрами возмущений, но постоянными матрицами в целевом функционале; при этом соответствующие критерии, включающие нормировку в виде накопленного дисконта, преобразуются в стохастическое обобщенное долговременное среднее или его стохастический аналог;

8. С учетом указанной взаимосвязи между системами управления двух различных видов, а также полученных результатов для линейной системы с переменными параметрами возмущений, получены соответствующие результаты для систем с дисконтированием, а именно: определено оптимальное в среднем управление на бесконечном интервале времени, найден вид верхней функции для семейства процессов дефекта и установлена оптимальность с точки зрения обобщенного стохастического долговременного среднего в задаче с дисконтированием .

9. Разработаны и исследованы с точки зрения вероятностных критериев три экономические модели, представимые в виде линейных управляемых систем.

Достоверность полученных результатов подтверждена строгими математическими выводами.

Личный вклад автора. Результаты диссертации получены автором лично, участие Т. А. Белкиной в совместной публикации [1] заключалось в описании проблематики работы и общем научном руководстве.

Связь работы с крупными научными программами и проектами. Диссертационное исследование выполнялось в рамках плана НИР Лаборатории 1.07 ЦЭМИ РАН и грантов РФФИ «Управляемые случайные процессы» (проект 10-01-00767, 2010-2012 г.; проект 13-01-00784, 2013-2015 г.).

Апробация работы. Основные положения диссертационной рабо-

ты докладывались на Международной конференции "Теория вероятностей и ее приложения", посвященной столетию со дня рождения Б.В. Гнеденко (МГУ, г. Москва, 26-30 июня 2012 г.), Шестой международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" MLSD 2012' (ИПУ РАН, г. Москва, 1-3 октября 2012 г.), конференции "Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах" УТЭОСС-2012 (Концерн "ЦНИИ Электроприбор", г. Санкт-Петербург, 911 октября 2012 г.), Научно-практической конференции "Системный анализ в экономике-2012" (Финансовый Университет при Правительстве РФ, г. Москва, 27-28 ноября 2012 г.), Втором Российском Экономическом Конгрессе (г. Суздаль, 18-22 февраля 2013 г.), Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (МГУ, г. Москва 8-12 апреля 2013 г.), Седьмой международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" MLSD 2013' (ИПУ РАН, г. Москва, 30 сентября-2 октября 2013 г.), Семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" (ЦЭМИ РАН, г. Москва), Семинаре отдела "Математическое моделирование экономических систем" (ВЦ РАН, г. Москва), HIM Trimester Seminar (Hausdorff Research Institute for Mathematics, г. Бонн, Германия).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ общим объемом 5,46 п.л. (вклад автора - 4,86 п.л.), из них 2 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК, объемом 2,32 п.л. (вклад автора -1,72 п.л.).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 175 страниц машинописного текста и включает 3 таблицы. Список использованной литературы содержит 220 наименований.

Глава 1. Линейные системы управления и критерии оптимальности на бесконечном интервале времени

В этой главе проводится обзор основных подходов к определению стохастической оптимальности для линейных управляемых систем на базе различных вероятностных критериев, описывается проблематика этой области. Также определяются системы управления, исследуемые в работе. Далее изучаются два основных вопроса этой главы: существование так называемого установившегося закона управления на бесконечном интервале времени и поведение процесса на этом управлении. Формулируются основные предположения, обеспечивающие существование такого управления. Для выявления связи этих предположений с хорошо известными свойствами динамических систем проводится исследование таких характеристик как управляемость, восстанавливаемость, стабилизируемость, вы-являемость и устойчивость. Получены достаточные условия (теорема 1.3), выполнение которых влечет за собой справедливость основных предположений. Эти требования сформулированы в терминах стабилизируемости и выявляемости и ослабляют ранее приводимые в [12], что иллюстрируется на примере (пример 1.1). Для линейного стохастического дифференциального уравнения с экспоненциально устойчивой матрицей доказано утверждение о нормировке его решения, достаточной для асимптотического стремления п.н. к нулю (теорема 1.4). Уравнение подобного вида, в частности, описывает процесс на оптимальном в среднем управлении в задаче линейного регулятора. Полученный результат используется при изучении так называемой оптимальности почти наверное для такой задачи, это исследование проводится в следующей главе.

1.1 Вероятностные критерии и проблематика стохастической оптимальности

Для пояснения смысла описанных во Введении проблем, связанных с изучением вероятностных критериев оптимальности, обратимся сначала к общей теории линейных оптимальных систем управления [2].

Пусть на полном вероятностном пространстве {Г^бГ, Р} задан п-мерный случайный процесс Xt, Ь > 0, описываемый уравнением

где начальное состояние х неслучайно, и)1, £ > 0, - (¿-мерный стандартный винеровский процесс, £7$, £ > 0, - допустимое управление, или /г-мерный случайный процесс, согласованный с фильтрацией = в <

£}, такой что уравнение (1.10) имеет решение; £ > 0, - ограниченные

матричные функции времени таких размерностей, при которых (1.1) имеет смысл. В стандартных предположениях матрица параметров возмуща-юшего процесса также ограничена. Множество допустимых управлений обозначим через П.

Качество управления, применяемого на интервале [0, Т], оценивается с помощью квадратичного целевого функционала

где 11 = {и^<т ~ допустимое управления и £ И на интервале [0, Т], Qt, -йг, I > 0, - ограниченные симметричные матричные функции времени, неотрицательно определенная и положительно определенная соответственно, ря! (' - знак транспонирования, рц> 0 - некоторая константа, запись А> В для матриц означает, что разность А — В неотрицательно определена, I - единичная матрица).

Для детерминированных линейных систем (т.е. при 6^ = 0, 0 - нулевая матрица) может быть использован критерий минимизации квадратичного интегрального функционала, определенного на бесконечном интервале времени. Для той же системы при наличии случайных возмуще-

<ЗХг = АъХьдЛ + Вда£ + й^ь, Х0 = ж,

(1.1)

■т

(1.2)

ний значение функционала представляет собой случайную величину, а в задачах стохастической динамической оптимизации обычно предлагается рассматривать вместо самого функционала его математическое ожидание (м.о.). Также отметим, что при стремлении горизонта планирования Т к бесконечности часто рассматриваются управляемая система (1.1-1.2) с постоянными параметрами. Но в таком случае соответствующий критерий (будем называть его «критерием м.о.») лишен смысла, т.к. за счет влияния случайных факторов он обращается в бесконечность при любом допустимом управлении. Поэтому для функционала, определенного на каждом временном интервале, используется нормировка, отражающая накопление случайных факторов за соответствующее время. В обычной ситуации, когда параметры возмущений ограничены во времени, эта нормировка представляет собой длину интервала. Тогда в соответствии с критерием, называемым иногда в литературе долговременным средним, предлагается минимизировать верхний предел среднего по времени значения м.о.

EJT{U)

lim sup——-->• inf . (1.3)

Т^ 00 T Ueu

Однако в задачах управления линейной системой с затухающими (вырождающимися со временем) или, наоборот, бесконечно нарастающими возмущениями, долговременное среднее оказывается неподходящим критерием. Точнее, он будет неэффективным в том смысле, что либо будет давать нулевое значение для целого множества управлений, либо будет обращаться в бесконечность для всех допустимых управлений. В этих ситуациях требуется введение более общей нормировки, которая учитывала бы каким-то образом влияние возмущений. В данной работе такая нормировка предлагается в виде дисперсии накопленных шумовых воздействий, что в далыпейшем позволяет получить основные результаты диссертации. Критерий оптимальности с обобщенной нормировкой такого рода можно

назвать обобщенным долговременным средним.

Пт вир

Т-> оо

(1.4)

т

иеи

№И2<Й

о

Действительно, критерий в (1.3) является частный случаем (1.4) при Gt = Сг. Указанные недостатки долговременного среднего как критерия оптимальности, а именно, его излишняя чувствительность к выбору управления (в случае одной специфики возмущений) или же полная нечувствительность (при другой), относятся к общей проблеме для систем управления, важность решения которой подчеркивается в [3].

Вместе с тем, в настоящее время динамично развивается тематика, связанная с исследованием так называемой стохастической оптимальности. В отличие от традиционного подхода м.о. при определении стохастической оптимальности рассматриваются критерии, основанные на изучении асимптотического поведения самих функционалов - в том или ином вероятностном смысле. Основным средством исследования стохастической оптимальности являются различные мартингальные версии законов больших чисел и предельных теорем теории вероятностей, в соответствии с которыми определяются типы оптимальности - по вероятности [4-6] почти наверное (п.н.) [4-7], по распределению ([8, 9]) и т.д. В связи с обилием различных результатов, полученных для тех или иных моделей систем управления (для систем с дискретным временем отметим подробный обзор в [10], а также одно из первых исследований по оптимальности с вероятностью единица [11]), далее остановимся только на имеющих отношение к линейно-квадратическому регулятору.

Очевидно, что критерии, основанные на математическом ожидании функционалов, не дают уверенности в том, что соответствующее оптимальное управление (так называемое оптимальное в среднем) будет достаточно хорошим с точки зрения значения самого функционала на отдельно взятой траектории случайного процесса. Для этого предлагается оценить «дефект» последнего, точнее скорость роста этого дефекта со временем.

Под дефектом в текущий момент времени мы понимаем разность значений функционалов при оптимальном в среднем и произвольном управлении, рассматриваемую на интервале до этого момента, таким образом можно говорить о процессе дефекта и о возможной скорости его роста как оценке риска в задаче стохастической динамической оптимизации.

Определение 1.1 ([12]) Пусть U* - управление, определяемое как оптимальное в среднем на бесконечном интервале времени. Тогда процессом дефекта для управления U* при управлении U Е 1С называется процесс

AT(U) := JT(U*) - JT{U), Т > 0.

Выбирая всевозможные U EU, будем иметь семейство процессов {At(U)}uzU- Для изучения оптимальности управления U* с точки зрения оценок скорости роста процесса дефекта в [13] было сформулировано следующее определение

Определение 1.2 ([13]) Пусть дт - положительная невозрастаю-щая функция. Управление U* называется д-оптимальным почти наверное, если для любого допустимого U Eli

limsup дгД;г(£/) < 0 77.. н.

Т—+00

Управление U* называется g-оптимальным по вероятности, если для любого допустимого U Ell и любого е > 0

рт = р(gTAT(UT) > б) 0 при Т —> оо .

С исследованием процесса дефекта также связано понятие д-оптимальности в среднем, которое формулируется по аналогии с определением 1.2

Определение 1.3 Управление U* называется д-оптимальным в среднем, если для любого допустимого U Eli

lim sup дтЕАТ(и) < 0 .

Т—>оо

Это определение при дт = 1 приводит к хорошо известному понятию overtaking оптимальности в среднем, см. [14] для общего случая диффузионных процессов.

В следующем ниже обзоре результатов по стохастической оптимальности U* определяется из решения задачи минимизации долговременного средного. Если дт = 1, то говорят об overtaking оптимальности п.н., доказанной в [15] для автономной задачи линейно-квадратического регулятора при существенном ограничении на множество допустимых управлений (марковские управления, обеспечивающие ограниченность второго момента соответствующего им процесса). В других работах (см. [12, 13, 16, 17]) такое ограничение не накладывалось и было проведено последовательное уточнение вероятностных оценок асимптотического поведения процесса дефекта. Доказанная в [16] оптимальность п.н. и оптимальность по вероятности с весовой функцией дт = 1/Т в одномерной задачи затем была обобщена на многомерный случай в [13] с выявлением 1/Т1у/2+<5-оптимальности п.н. для любого S > 0 и 1/Т1/2-ио вероятности. Оказалось, что порядок дт существенно улучшается, если исследовать представление для процесса дефекта, полученное в [17], где найдено дт = 1/Т6 в критерии п.н., при этом достаточно выбрать дт — о(1) для соответствующей оптимальности по вероятности. Развитие методов из [17] привело к использованию в [12] понятия верхней функции для семейства процессов дефекта {A^^Olc/eic в качестве более точной асимптотической оценки.

Определение 1.4 ([12]) Неубывающая функция Нт является верхней функцией для семейства процессов дефекта {Ar(Z7)}[/eu; если для любого U £ Н существует почти наверное конечный момент времени То, такой что At{U) < hr почти наверное для Т > Tq.

Очевидно, что если найдена верхняя функция Ит, то для д— оптимальности п.н. управления U* достаточно положить дт — o(l/hr)-Для стандартных линейных управляемых систем с квадратичными функционалами вид Нт был получен в [12]. Там было показано, что верхней функцией для всего семейства процессов дефекта управления, оптималь-

ного в смысле долговременного среднего, будет логарифмическая функция Нт = binТ (Ь > 0 - некоторая константа), не улучшаемая в рамках обычных предположений. Однако, как будет показано в настоящей работе, в некоторых важных для приложений случаях результат, полученный в [12], может быть существенно улучшен. Допустимо высказать предположение о том, что сама функция hr также может зависеть от параметров возмущающего процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Паламарчук, Екатерина Сергеевна, 2013 год

Литература

1. Паламарчук, Е. С. О стохастической оптимальности для линейного регулятора с затухающими возмущениями / Т. А. Белкина, Е. С. Паламарчук // Автоматика и телемеханика. - 2013. - № 4. - С. 110-128.

2. Квакернаак, X. Линейные оптимальные системы управления / X. Ква-кернаак, Р. Сиван ; пер. с англ. - М. : Наука, 1977. - 650 с.

3. Schochetman, I. Е. Optimality criteria for deterministic discrete-time infinite horizon optimization / I. E. Schochetman, R. L. Smith // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. - 2005. - No. 1. - P. 57-80.

4. Белкина, Т. А. Об условиях асимптотической оптимальности по вероятности и почти наверное в модели управляемого диффузионного процесса / Т. А. Белкина, В. И. Ротарь // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 2. - С. 46-56.

5. Dai Pra, P. Almost sure optimality and optimality in probability for stochastic control problems over an infinite horizon / P. Dai Pra, G. B. Di Masi, B. Trivellato // Annals of Operations Research. - 1999. - Vol. 88. - P. 161-171.

6. Dai Pra, P. Pathwise optimality in stochastic control / P. Dai Pra, G. B. Di Masi, B. Trivellato // SIAM Journal on Control and Optimization. -2000. - Vol. 39, No. 5. - P. 1540-1557.

7. Dai Pra, P. Pathwise optimality for benchmark tracking / P. Dai Pra, W. J. Runggaldier, M. Tolotti // IEEE Transactions on Automatic Control. -2004. - Vol. 49, No. 3. - P. 386-395.

8. Mandl, P. Asymptotic ordering of probability distribution for linear controlled systems with quadratic cost / P. Mandl // Stochastic Differential Systems: Lecture Notes in Control and Information Sciences / edited by N. Christopeit [et al.]. - New York : Springer-Verlag, 1986. - P. 277-283.

9. Белкина, Т. А. Асимптотически оптимальные по распределению управления для линейной стохастической системы с квадратичным функционалом / Т. А. Белкина, Э. JI. Пресман // Автоматика и телемеханика. - 1997. - № 3. - С. 106-115.

10. Rotar, V. I. Some Retrospective Remarks on Pathwise Asymptotic Optimality / V. I. Rotar // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series B: Applications & Algorithms. - 2012. - Vol. 19, No. 1/2. - P. 207-224.

11. Назин, А. В. Адаптивный выбор вариантов: Рекуррентные алгоритмы // А. В. Назин, А. С. Позняк. - М. : Наука, 1986. - 288 с.

12. Белкина, Т. А. О стохастической оптимальности для линейно-квадратического регулятора / Т. А. Белкина, Ю. М. Кабанов, Э. JI. Пресман // Теория вероятностей и ее применения. - 2003. - Т. 48, № 4. - С. 661-675.

13. Di Masi, G. В. On sensitive probabilistic criteria in the linear regulator problem with the infinite horizon / G. B. Di Masi, Yu. Kabanov // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1998. - Т. 5, Вып. 2. - С. 410-422.

14. Leizarowitz, A. Controlled Diffusion Processes on Infinite Horizon with the Overtaking Criterion / A. Leizarowitz // Applied Mathematics and Optimization. - 1988. - Vol. 17, No. 1. - P. 61-78.

15. Leizarowitz, A. On almost sure optimization for stochastic control systems / A. Leizarowitz // Stochastics. - 1988. - Vol. 23, No. 2. - P. 85-107.

16. Presman, E. Optimality in probability and almost surely. The general scheme and a linear regulator problem / E. Presman, V. Rotar, M. Taksar // Stochastics and Stochastic Reports. - 1993. - Vol. 43, No. 3/4. - P. 127-137.

17. Пресман, Э. JI. Оптимальность почти наверное и по вероятности для стохастического линейно-квадратического регулятора / Э. JI. Пресман // Теория вероятностей и ее применения. - 1997. - Т. 42, № 3. - С. 627632.

18. Borkar, V.S. Ergodic Control of Diffusion Processes / V. S. Borkar, A. Arapostathis, M. K. Ghosh. - Cambridge, MA : Cambridge University Press, 2012. - 343 p.

19. Neck, R. Optimal Stabilizing and Destabilizing "Stabilization" Policies / R. Neck // Cybernetics and Systems' 86: proceedings of the Eighth European Meeting on Cybernetics and Systems Research, organized by the Austrian Society for Cybernetic Studies, held at the University of Vienna, Austria, 1-4 Apr. 1986 / edited by R. Trappl. - Berlin : Springer-Verlag, 1986. - P. 449-456.

20. Kushner, H. J. Optimal discounted stochastic control for diffusion processes / H. J. Kushner // SIAM Journal on Control and Optimization.

- 1967. - Vol. 5, No. 4. - P. 520-531.

21. Дэвис, M. X. А. Линейное оценивание и стохастическое управление / М. X. А. Дэвис ; пер. с англ. - М. : Наука, 1984. - 208 с.

22. Kalman, R. Е. Mathematical Description of Linear Dynamical Systems / R. E. Kalman // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics Series A Control. - Vol. 1, No. 2. - 1963. - P. 152-192.

23. Kalman, R. E. Contributions to the Theory of Optimal Control / R. E. Kalman // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. - 1960. - Vol. 5.

- P. 102-119.

24. Silverman, M. L. Controllability and Observability in Time-Variable Linear Systems / M. L. Silverman, H. E. Meadows // SIAM Journal on Control. - 1967. - Vol. 5, No. 1. - P. 64-73.

25. Willems, J.C. Controllability, observability, pole allocation, and state reconstruction / J. C. Willems // IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. 16, No. 6. - 1971. - P. 582-595.

26. Hendricks, E. Linear Systems Control: Deterministic and Stochastic Methods / E. Hendricks, O. Hannerup, P. H. Sorensen. - Berlin : SpringerVerlag, 2008. - 555 p.

27. Калман, P. Очерки по математической теории систем / P. Калман, П. Фалб, М. Арбиб ; пер. с англ. - М. : Мир, 1971. - 340 с.

28. Zabczyk, J. Mathematical Control Theory: An Introduction / J. Zabczyk. - Boston : Birkhauser, 2008. - 260 p.

29. Rugh, W.J. Linear System Theory/ W. J. Rugh. - 2nd ed. - New Jersey : Prentice Hall, 1996. - 581 p.

30. D'Angelo, H. Linear time-varying systems: Analysis and Synthesis / H. D'Angelo. - Boston : Allyn and Bacon, 1970. - 346 p.

31. Hinrichsen, D. Mathematical Systems Theory I. Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness / D. Hinrichsen, A. J. Pritchard. -Berlin : Springer-Verlag, 2005. - 804 p.

32. Zhou, B. Stabilization of time-varying linear systems via Lyapunov differential equations / B. Zhou, G.-B. Cai, G.-R. Duan // International Journal of Control. - Vol. 86, No 2. - 2013. - P. 332-347.

33. Беллман, P. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений / Р. Беллман ; пер. с англ. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1954. - 215 с.

34. Harris, С. J. Stability of linear systems: Some aspects of kinematic similarity / C. J. Harris, J. F. Miles. - New York : Academic Press, 1980. -236 p.

35. Sastry, S. Nonlinear Systems: Analysis, Stability and Control / S. Sastry.

- New York : Springer, 1999. - 667 p.

36. Gil, M. I. Explicit Stability Conditions for Continuous Systems: A Functional Analytic Approach / M. I. Gil. - Berlin : Springer-Verlag, 2005.

- 189 p.

37. Адрианова, JI. В. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений: учебное пособие / J1. В. Адрианова. - СПб. : Изд-во

C.-Петерб. ун-та, 1992. - 240 с.

38. Ilchmann, A. Sufficient Conditions for Stability of Linear Time-varying Systems / A. Ilchmann, D. H. Owens, D. Pratzel-Wolters // Systems & Control Letters. - Vol. 9, No 2. - 1987. - P. 157-163.

39. Solo, V. On the stability of slowly time-varying linear systems / V. Solo // Mathematics of Control, Signals and Systems. - 1994. - Vol. 7, No. 4.

- P. 331-350.

40. Malek-Zavarei, M. The stability of linear time-varying systems / M. Malek-Zavarei // International Journal of Control. - Vol. 27, No. 5. - 1978. - P. 809-815.

41. Aeyels, D. Uniform asymptotic stability of linear time-varying systems /

D. Aeyels, J. Peuteman // Open Problems in Mathematical Systems and Control Theory: Communications and Control Engineering / edited by V. D. Blondel [et al.]. - London : Springer, 1999. - P. 1-5.

42. Ichikawa, A. Linear Time Varying Systems and Sampled-data Systems / A. Ichikawa, H. Katayama. - London : Springer, 2001. - 361 p.

43. Dragan, V. Mathematical Methods in Robust Control of Linear Stochastic Systems / V. Dragan, T. Morozan, A.-M. Stoica. - New York : Springer, 2006. - 308 p.

44. Dragan, V. Stabilization of Linear Systems / V. Dragan, A. Halanay. -New York : Springer, 1999. - 308 p.

45. Hijab, 0. Stabilization of Control Systems / O. Hijab. - New York : Springer-Verlag, 1987. - 129 p.

46. Anderson, B. D. 0. New results in linear system stability / B. D. O. Anderson, J. B. Moore // SIAM Journal on Control. - 1969. - Vol. 7, No. 3. - R 398-414.

47. Silverman, L. M. Controllability, Observability and Stability of Linear Systems / L. M. Silverman, B. D. O. Anderson // SIAM Journal on Control. - 1968. - Vol. 6, No. 1. - R 121-130.

48. Ikeda, M. Stabilization of linear systems / M. Ikeda, H. Maeda, S. Kodama // SIAM Journal on Control. - 1972. - Vol. 10, No. 4. - R 716-729.

49. Wonham, W. M. On a Matrix Riccati Equation of Stochastic Control / W. M. Wonham // SIAM Journal on Control. - 1968. - Vol. 6, No. 4. - P. 681-697.

50. Komornik, J. Asymptotic behavior of solutions of nonautonomeous Riccati equations / J. Komornik // Optimization Techniques: proceedings of the 9th IFIP Conference on Optimization Techniques, Warsaw, Sept. 4-8, 1979 / edited by K. Iracki [et al.]. - Berlin : Springer-Verlag, 1980. - P. 318-323.

51. Ravi, R. Normalized coprime factorizations for linear time-varying systems / R. Ravi, A. M. Pascoal, P. P. Khargonekar // Systems & Control Letters. - 1992. - Vol. 18, No. 6. - P. 455-465.

52. Halanay, A. Advances in linear control theory and Riccati equations / A. Halanay // Rendiconti del Seminario Matemático Universita e Politécnico di Torino. - 1990. - Vol. 48, No. 3. - P. 251-350.

53. Липцер, Р. Ш. Теория мартингалов / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. -М. : Наука, 1986. - 512 с.

54. Buldygin, V. V. On the Asymptotic Properties of Solutions of Linear Stochastic Differential Equations in Rd / V. V. Buldygin, V. 0. Koval' // Ukrainian Mathematical Journal. - 2000. - Vol. 52, No. 4. - P. 13341345.

55. Паламарчук, E. С. Об усиленном законе больших чисел для решения стохастического дифференциального уравнения / Е. С. Паламарчук // Международная конференция "Теория вероятностей и ее приложения" , посвященная столетию со дня рождения Б.В. Гнеденко, Москва, 26-30 июня 2012 года: тезисы докладов / под ред. А. Н. Ширяева, А. В. Лебедева. - М. : ЛЕНАНД, 2012. - С. 57-58.

56. Крамер, Г. Стационарные случайные процессы. Свойства выборочных функций и их приложения / Г. Крамер, М. Лидбеттер ; пер. с англ. -М. : Мир, 1969. - 400 с.

57. Karatzas I. Brownian Motion and Stochastic Calculus / I. Karatzas, S. Shreve. - 2nd ed. - New York : Springer-Verlag, 1991. - 470 p.

58. Оксендалъ, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль ; пер. с англ. - М. : Мир, 2003. - 408 с.

59. Паламарчук, Е. С. On the strong law of large numbers for some stochastic processes [Электронный ресурс] / E. С. Паламарчук // Международный молодежный научный форум "ЛОМОНОСОВ-2013": материалы / отв. ред. А. И. Андреев, А. В. Андриянов [и др.]. - М. : МАКС Пресс, 2013. - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM) ; 12 см. - Систем, требования: ПК с процессором 486+ ; Windows 95 ; дисковод DVD-ROM ; Adobe Acrobat Reader.

60. Паламарчук, E. С. О стохастической оптимальности в задаче линейного регулятора с вырождающимся возмущением / Е. С. Паламарчук

// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. - Т. 18, Вып. 5. - С. 795-796.

61. Паламарчук, Е. С. Об оптимальности в среднем и почти наверное в задаче линейного регулятора с возможным затуханием случайных возмущений / Е. С. Паламарчук // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD 2012'). Шестая международная конференция: материалы в 2 т. / под общ. ред. С. Н. Васильева, А. Д. Цвиркуна. -М. : ИПУ РАН, 2012. - Т. 2. - С. 331-333.

62. Chan, D. An 'excursion' approach to an annealing problem / D. Chan, D. Williams // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1989. - Vol. 105, No. 1. - P. 169-176.

63. Borkar, V. S. Controlled diffusion processes / V. S. Borkar // Probability Surveys. - 2005. - Vol. 2. - P. 213-244.

64. Паламарчук, E. С. Оценка риска в линейных экономических системах при отрицательных временных предпочтениях / Е. С. Паламарчук // Экономика и математические методы. - 2013. - Т. 49, № 3. - С. 99-116.

65. Паламарчук, Е. С. Стохастическая оптимальность для линейного регулятора с нарастающим возмущением / Е. С. Паламарчук // Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах (УТЭОСС-2012): материалы науч. конф. / под ред. С. Н. Васильева, О.В. Каляева, Д. А. Новикова, Г. Г. Себрякова. - СПб. : ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ Электроприбор», 2012. - С. 305-307.

66. Wang, J.-д. A law of the iterated logarithm for stochastic integrals / J.-g. Wang // Stochastic Processes and their Applications. - 1993. - Vol. 47, No. 2. - P. 215-228.

67. Wu, J. Propagators and time-dependent diffusion coefficients for anomalous diffusion / J. Wu, К. M. Berland // Biophysical journal. -2008. - Vol. 95, No. 4. - P. 2049-2052.

68. Sengupta, J. К. Control Theory Methods in Economics / J. K. Sengupta, Ph. Fanchon. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 258 p.

69. Aoki, M. Optimal control and system theory in dynamic economic analysis / M. Aoki. - Amsterdam : North Holland, 1976. - 400 p.

70. Seierstad, A. Optimal Control Theory with Economic Applications / A. Seierstad, K. Sydsaeter. - 3rd ed. - Amsterdam : Elsevier-North Holland, 1987. - 445 p.

71. Sethi, S.P. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics / S. P. Sethi, G. L. Thompson. - 2nd ed. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2000. - 504 p.

72. Applications of Control Theory to Economic Analysis / edited by J. D. Pitchford, S. J. Turnovsky. - Amsterdam : North Holland, 1977. - 363 p.

73. Паламарчук, E. С. Вероятностные свойства оптимального управления для линейного регулятора с дисконтированием / Е. С. Паламарчук // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2010. - Т. 17, Вып. 3. - С. 372-373.

74. Паламарчук, Е. С. О стохастической оптимальности в модели линейного регулятора с дисконтирующей функцией / Е. С. Паламарчук // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17, Вып. 5,- С. 754-755.

75. Berndsen, М. Time is on my side: Optimism in intertemporal choice / M. Berndsen, J. Van der Pligt // Acta Psychologica. - 2001. - Vol. 108, No. 2. - P. 173-186.

76. Loewenstein, G. Negative time preference / G. Loewenstein, D. Prelec // American Economic Review. - 1991. - Vol. 81, No. 2. - P. 347-352.

77. Bell, D. E. Descriptive, normative, and prescriptive interactions in decision making / D. E. Bell, H. Raiffa, A. Tversky // Decision Making: Descriptive,

Normative, and Prescriptive Interactions / edited by D. E. Bell [et al.]. -Cambridge, MA: Cambridge University Press, 1988. - P. 9-30.

78. Ok, E. A. A theory of (relative) discounting / E. A. Ok, Y. Masatlioglu // Journal of Economic Theory. - 2007. - Vol. 137, No. 1. - P. 214-245.

79. Fishburn, P. C. Time preference / P. C. Fishburn, A. Rubinstein // International Economic Review. - 1982. - Vol. 23, No. 3. - P. 677-694.

80. Wladarsch, E. Time-Health-Culture: cultural time concepts and health-related time preferences in Burkina Faso / E. Wladarsch. - Berlin : Reimer Verlag, 2005. - 268 p.

81. Gafni, A. Risk attitude and time preference in health / A. Gafni, G. W. Torrance // Management Science. - 1984. - Vol. 30, No. 4. - P. 440-451.

82. Samuelson, P. A. A note on measurement of utility / P. A. Samuelson // The Review of Economic Studies. - 1937. - Vol. 4, No. 2. - P. 155-161.

83. Koopmans, T. C. Stationary Ordinal Utility and Impatience / T. C. Koopmans // Econometrica. - 1960. - Vol. 28, No. 2. - P. 287-309.

84. Strotz, R. H. Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization / R. H. Strotz // The Review of Economic Studies. - 1955/1956. - Vol. 23, No. 3. - P. 165-180.

85. Ainslie, G. Specious reward: a behavioral theory of impulsiveness and impulse control / G. Ainslie // Psychological Bulletin. - 1975. - Vol. 82, No. 4. - P. 463-496.

86. Thaler, R. Some empirical evidence on dynamic inconsistency / R. Thaler // Economics Letters. - 1981. - Vol. 8, No. 3. - P. 201-207.

87. Herrnstein, R. J. Self-control as response strength / R. J. Herrnstein // Quantification of steady-state operant behaviour / edited by C. M. Bradshaw [et al.]. Amsterdam : Elsevier-North Holland Biomedical Press, 1981. - P. 3-19.

88. Loewenstein, G. Anomalies in intertemporal choice: Evidence and an interpretation / G. Loewenstein, D. Prelec // The Quarterly Journal of Economics. - 1992. - Vol. 107, No. 2. - P. 573-597.

89. Fisher, I. The Theory of Interest, As Determined by Impatience to Spend Income and Opportunity to Invest It / I. Fisher. - New York : Macmillan, 1930. - 566 p.

90. Prelec, D. Decreasing Impatience: A Criterion for Non-stationary Time Preference and "Hyperbolic Discounting" / D. Prelec // The Scandinavian Journal of Economics. - 2004. - Vol. 106, No. 3. - P. 511-532.

91. Takeuchi, K. Non-parametric test of time consistency: Present bias and future bias / K. Takeuchi // Games and Economic Behavior. - 2011. -Vol. 71, No. 2. - P. 456-478.

92. Loewenstein, G. Anticipation and the valuation of delayed consumption / G. Loewenstein // The Economic Journal. - 1987. - Vol. 97, No. 387. - P. 666-684.

93. Gerber, A. Risk and preference reversals in intertemporal choice / A. Gerber, K. I. M. Rohde // Journal of Economic Behavior & Organization. - 2010. - Vol. 76, No. 3. - P. 654-668.

94. Lucci, C. R. Time, self, and intertemporal choice / C. R. Lucci // Frontiers in neuroscience. - 2013. - Vol. 7. - doi: 10.3389/fnins.2013.00040

95. Herrnstein, R. J. Rational choice theory: Necessary but not sufficient / R. J. Herrnstein // American Psychologist. - 1990. - Vol. 45, No. 3. - P. 356-367.

96. Takahashi, T. Loss of self-control in intertemporal choice may be attributable to logarithmic time-perception / T. Takahashi // Medical Hypotheses. - 2005. - Vol. 65, No. 4. - P. 691-693.

97. Kim, B.K. Perception of Anticipatory Time in Temporal Discounting / B. K. Kim, G. Zauberman // Journal of Neuroscience, Psychology and Economics. - 2009. - Vol. 2, No. 2. - P. 91-101.

98. Kinari, Y. Time discounting: Declining impatience and interval effect / Y. Kinari, F. Ohtake, Y. Tsutsui // Journal of Risk and Uncertainty. - 2009. Vol. 39, No. 1. - P. 87-112.

99. Zauberman, G. Discounting time and time discounting: Subjective time perception and intertemporal preferences / G. Zauberman, B. K. Kim, S. A. Malkoc, J. R Bettman // Journal of Marketing Research. - Vol. 46, No. 4. - P. 543-556.

100. Ebert, J. E. J. The fragility of time: Time-insensitivity and valuation of the near and far future / J. E. J. Ebert, D. Prelec // Management Science. - 2007. - Vol. 53, No. 9. - P. 1423-1438.

101. Read, D. Is Time-Discounting Hyperbolic or Subadditive? / D. Read // Journal of risk and uncertainty. - 2001. - Vol. 23, No. 1. - P. 5-32.

102. Jamison, D. T. Characterizing the amount and speed of discounting procedures / D. T. Jamison, J. Jamison // Journal of Benefit-Cost Analysis. - 2011. - Vol. 2, No. 2. - P. 1-56.

103. Ahlbrecht, M. Hyperbolic Discounting Models in Prescriptive Theory of Intertemporal Choice / M. Ahlbrecht, M. Weber // Zeitschrift fur Wirtschafts-und Sozialwissenschaften (ZWS). - 1995. - Bd. 115. - S. 535568.

104. McClure, S. M. Time Discounting for Primary Rewards / S. M. McClure, K. M. Ericson, D. I. Laibson, G. Loewenstein, J. D. Cohen // The Journal of Neuroscience. - 2007. - Vol. 27, No. 21. - P. 5796-5804.

105. Van den Bos, W. Towards a general model of temporal discounting / W. Van den Bos, S. M. McClure // Journal of the Experimental Analysis of Behavior. - 2013. - Vol. 99, No. 1. - P. 58-73.

106. Ekeland, I. The golden rule when preferences are time inconsistent / I. Ekeland, A. Lazrak // Mathematics and Financial Economics. - 2010. -Vol. 4, No. 1. - P. 29-55.

107. Ramsey, F. P. A mathematical theory of saving / F. P. Ramsey // The Economic Journal. - 1928. - Vol. 38, No. 152. - P. 543-559.

108. Islam, S. M. N. Intertemporal Environmental and Ecological Economics: Mathematical Modelling of Growth and Sustainability / S. M. N. Islam // Dimensions of Environmental and Ecological Economics / edited by Nirmal Chandra Sahu, Amita Kumari Choudhury. - Himayatnagar: Universities Press (India) Private Limited, 2005. - P. 128-155.

109. Шоломицкий, А. Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование риска / А. Г. Шоломицкий. - М. : Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2005. - 399 с.

110. Weitzman, М. L. A review of the Stern Review on the economics of climate change / M. L. Weitzman // Journal of Economic Literature. -2007. - Vol. 45, No. 3. - P. 703-724.

111. Newell, R. G. Discounting the distant future: how much do uncertain rates increase valuations? / R. G. Newell, W. A. Pizer // Journal of Environmental Economics and Management. - 2003. - Vol. 46, No. 1. -P. 52-71.

112. The Green Book: Appraisal and Evaluation in Central Government: Treasury Guidance / Great Britain H. M. Treasury. - London: TSO, 2003. - 114 p.

113. Weitzman, M. L. Gamma discounting / M. L. Weitzman // American Economic Review. - 2001. - Vol. 91, No. 1. - P. 260-271.

114. Axtell, R. A General Theory of Behavioral and Social Discounting: working paper / R. Axtell, G. McRae. - Washington, DC : Center on Social and Economic Dynamics, The Brookings Institution, 2006. - 31 p.

115. Bell, M. The Use of Multi-Criteria Decision-Making Methods in the Integrated Assessment of Climate Change: Implications for IA Practitioners / M. Bell, B. F. Hobbs, H. Ellis // Socio-Economic Planning Sciences. - 2003. - Vol. 37, No. 4. - P. 289-316.

116. Harvey, C. M. Value functions for infinite-period planning / C. M. Harvey // Management Science. - 1986. - Vol. 32, No. 9. P 1123-1139.

117. Streeten, P. What do we owe the future? / P. Streeten // Resources Policy. - 1986. - Vol. 12, No. 1. - P. 4-16.

118. Spash, C.L. Trying to Find the Right Approach to Greenhouse Economics. Some Reflections upon the Role of Cost-Benefit Analysis / C. L. Spash // Analyse & Kritik. - 1994. - Bd. 16, H. 2. - S. 186-199.

119. Cline, W. R. Discounting for the very long term / W. R. Cline // Discounting and intergenerational equity / edited by P. R. Portney, J. P. Weyant. - Washington, DC : Resources for the Future, 1999. - P. 131-140.

120. Chong, C. Restoring the rights of future generations / C. Chong // International Journal of Green Economics. - 2006. - Vol. 1, No. 1/2. -P. 103-120.

121. Daly, H. E. For the Common Good: Redirecting the Economy Toward Community, the Environment, and a Sustainable Future / H. E. Daly, J. B. Cobb Jr., C. W. Cobb. - 2nd ed. - Boston : Beacon Press, 1994. -534 p.

122. Dasgupta, P. Discounting Ecosystem Losses / P. Dasgupta // Our Planet. - 2005. - Vol. 16, No. 2. - P. 14-16.

123. Ciriacy-Wantrup, S. Private enterprise and conservation / S. Ciriacy-Wantrup // Journal of Farm Economics. - 1942. - Vol. 24, No. 1. - P. 75-96.

124. Bunce, A. C. Time preference and conservation / A. C. Bunce // Journal of Farm Economics. - 1940. - Vol. 22, No. 3. - P. 533-543.

125. Price, С. Discounting compensation for injuries / C. Price // Risk Analysis. - 2000. - Vol. 20, No. 6. - P. 839-850.

126. Hardaker, B. J. Guidelines for the integration of sustainable agriculture and rural development into agricultural policies / B. J. Hardaker. - Rome : FAO, 1997. - 68 p.

127. Fleurbaey, M. Climate policies deserve a negative discount rate / M. Fleurbaey, S. Zuber // Chicago Journal of International Law. - 2013. -Vol. 13, No. 2. - P. 565-595.

128. Roberts, J. International funding for the conservation of biological diversity: Convention on Biological Diversity / J. Roberts // Boston University International Law Journal. - 1992. - Vol. 10, No. 2. - P. 303-349.

129. Wunder, S. When Donors Get Cold Feet: the Community Conservation Concession in Setulang (Kalimantan, Indonesia) that Never Happened [Электронный ресурс] / S. Wunder, В. M. Campbell, P. Frost, J. A. Sayer, R. Iwan, L. Wollenberg // Ecology and Society. - 2008. - Vol. 13, No. 1. - Art. 12. - Режим доступа: http://www.ecologyandsociety.org/voll3/issl/artl2/ (дата обращения: 10.08.2012).

130. Muqorobin, М. Toward a New Perspective of Project Evaluation: An Islamic Outlook With Special Emphasis on Discounting Problem / M. Muqorobin // Journal of Islamic Economics. - 2003. - Vol. 4, No. 1. - P. 57-77.

131. Rawls, J. Theory of justice / J. Rawls. - rev. ed. - Cambridge, MA : Harvard University Press, 1999. - 538 p.

132. Pigou, A. C. The Economics of Welfare / A.C. Pigou. - 4th ed. - London: Macmillan, 1932. - 837 p.

133. Caney, S. Human rights, climate change, and discounting / S. Caney // Environmental Politics. - 2008. - Vol. 17, No. 4. - P. 536-555.

134. Gollier, C. Declining discount rates: Economic justifications and implications for long-run policy / C. Gollier, P. Koundouri, T. Pantelidis // Economic Policy. - 2008. - Vol. 23, No. 56. - P. 757-795.

135. Kenley. C. R. Discounting models for long-term decision making / C. R. Kenley, D. C. Armstead // Systems engineering. - 2004. - Vol. 7, No. 1. -P. 13-24.

136. Henderson, N. Empirical and public choice evidence for hyperbolic social discount rates and the implications for intergenerational discounting / N. Henderson, I. Bateman // Environmental and Resource Economics. - 1995. - Vol. 5, No. 4. - P. 413-423.

137. Brougham, R. R. Age Differences in Preventive Health Decisions / R. R. Brougham, R. S. John// Motivation of Health Behavior / edited by P. O'Neil. - New York : Nova Science Publishers Inc., 2007. - P. 49-63.

138. Behavioral Public Finance / edited by E. J. McCaffery, J. Slemrod. - New York : Russell Sage Foundation, 2006. - 403 p.

139. Jungermann, H. As time goes by: Psychological determinants of time preferences / H. Jungermann, F. Fleischer // The formulation of Time Preferences in a Multidisciplinary Perspective / edited by G. Kirsch [et al.]. - Aldershot : Gower Publishing Company Limited, 1988. - P. 81-99.

140. Medvecky, F. Valuing environmental costs and benefits in an uncertain future: risk aversion and discounting / F. Medvecky // Erasmus Journal for Philosophy and Economics. - 2012. - Vol. 5, No. 1. - P. 1-23.

141. Hardisty, D. J. Good or Bad, We Want it Now: Fixed-cost Present Bias for Gains and Losses Explains Magnitude Asymmetries in Intertemporal Choice / D. J. Hardisty, K. C. Appelt, E. U. Weber // Journal of Behavioral Decision Making. - 2012. - doi: 10.1002/bdm.l771

142. Dudley, S. E. Discounting risky environmental remediation costs / S. E.

Dudley // Environmental Claims Journal. - 1994. - Vol. 7, No. 2. - P. 69-75.

143. Casari, M. Impatience, anticipatory feelings and uncertainty: A dynamic experiment on time preferences: working paper / M. Casari, D. Dragone. -Bologna : Dipartimento Scienze Economiche Universita di Bologna, 2011. -37 p.

144. Jungermann, H. Time Preferences: The expectation and evaluation of decision consequences as a function of time / H. Jungermann // Applied Behavioural Economics / edited by S. Maital. - New York : New York University Press, 1988. - Vol. 2. - P. 579-592.

145. Berns, C. S. Neurobiological substrates of dread / C. S. Berns, J. Chappelow, M. Cekic, C. F. Zink, G. Pagnoni, M. E. Martin-Skurski // Science. - 2006. - Vol. 312, No. 5774. - P. 754-758.

146. Lumpkin, G. T. Long-Term Orientation and Intertemporal Choice in Family Firms / G. T. Lumpkin, K. H. Brigham // Entrepreneurship Theory and Practice. - 2011. - Vol. 35, No. 6. - P. 1149-1169.

147. Nagin, D. S. Integrating Celerity, Impulsivity, and Extralegal Sanction Threats into a Model of General Deterrence: Theory and Evidence / D. S. Nagin, G. Pogarsky // Criminology. - 2001. - Vol. 39, No. 4. - P. 865-892.

148. Hofstetter, P. Perspectives in Life Cycle Impact Assessment: A Structured Approach to Combine Models of the Technosphere, Ecosphere, and Valuesphere / P. Hofstetter. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1998. - 484 p.

149. Fishburn, P. Discount-neutral utility model for denumerable time streams / P. Fishburn, W. Edwards // Theory and Decision. - 1997. - Vol. 43, No. 2. - P. 139-166.

150. Barokas, G. Selves Indifference, Bounded Irrationality, and The

Elicitation of Time Preferences: working paper / G. Barokas. - Tel-Aviv : The Foerder Institute for Economic Research, 2012. - 41 p.

151. Harvey, С. M. Proportional discounting of future costs and benefits / C. M. Harvey // Mathematics of Operations Research. - 1995. - Vol. 20, No. 2 - P. 381-399.

152. Ok, E. A. A general theory of time preferences: working paper / E. A. Ok, Y. Masatlioglu. - New York : New York University, 2003. - 43 p.

153. Carlson, D. A. Infinite horizon optimal control: deterministic and stochastic systems / D. A. Carlson, A. Haurie, A. Leizarowitz. - New York: Springer-Verlag, 1991. - 332 p.

154. Mitra, T. Some Results on the Optimal Depletion of Exhaustible Resources Under Negative Discounting / T. Mitra // Review of Economic Studies. - 1981. - Vol. 48, No. 3. - P. 521-532.

155. Bella, G. Shadow Bifurcations in a Model with Optimal Harvesting Natural Resources [Электронный ресурс] / G. Bella. - 2006. Режим доступа: http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.954396 (дата обращения: 28.01.2013).

156. Veinott Jr., A. F. Discrete Dynamic Programming with Sensitive Discount Optimality Criteria / A. F. Veinott Jr. // The Annals of Mathematical Statistics. - 1969. - Vol. 40, No. 5. - P. 1635-1660.

157. Stettner, L. On Some Stopping and Impulsive Control Problems with a General Discount Rate Criteria / L. Stettner // Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences. Probability and Mathematical Statistics. -1989. - Vol. 10, Fasc. 2. - P. 223-245.

158. Guéant, О. Mean Field Games and Applications to Economics: Thèse ... D. Sc. Math. Appl. / O. Guéant. - Paris, 2009. - 151 p.

159. Sengupta, J. K. Optimal Stabilization Policy with a Quadratic Criterion Function / J. K. Sengupta // The Review of Economic Studies. - 1970. -Vol. 37, No. 1. - P. 127-45.

160. Holt, C. G. Linear Decision Rules for Economic Stabilization and Growth / C. C. Holt // The Quarterly Journal of Economics. - 1962. - Vol. 76, No. 1. - P. 20-45.

161. Turnovsky, S. J. Macroeconomic Analysis and Stabilization Policy / S. J. Turnovsky. - Cambridge, MA : Cambridge University Press, 1977. - 399 p.

162. Trostel, P. H. A Theory of Time Preference / P. H. Trostel, A. Grant // Economic Inquiry. - 2001. - Vol. 39, No. 3. - P. 379-395.

163. Ayres, R. U. Time preference and the life cycle: The logic of long-term high risk vs. short-term low risk / R. U. Ayres, S. Mori // European journal of operational research. - 1989. - Vol. 38, No. 3. - P. 329-349.

164. Theil, H. A note on certainty equivalence in dynamic planning / H. Theil // Econometrica. - 1957. - Vol. 25, No. 2. - P. 346-349.

165. Sengupta, J. K. Optimum Economic Policy for Stabilization with a Quadratic Criterion Function / J. K. Sengupta // Zeitschrift fur die gesamte Staatswissenschaft. - 1965. - Bd. 121, H. 4. - S. 646-666.

166. Van der Weide, J. A. M. Renewal Theory with Discounting / J. A. M. van der Weide, J. M. van Noortwijk, S. Suyono // Advances in Mathematical Modeling for Reliability / edited by T. Bedford [et al.]. - Amsterdam : IOS Press, 2008. - P. 217-226.

167. Presman, E. Gittins Type Index Theorem for Randomly Evolving Graphs / E. Presman, I. Sonin // From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift / edited by Yu. Kabanov [et al.]. - Berlin : Springer-Verlag, 2005. - P. 567-588.

168. Duenyas, I. Heuristic scheduling of parallel heterogeneous queues with set-ups / I. Duenyas, M. P. van Oyen // Management Science. - 1996. -Vol. 42, No. 6. - P. 814-829.

169. Locatelli, A. Optimal Control: An Introduction / A. Locatelli- Basel : Birkhauser, 2001. - 294 p.

170. Паламарчук, E. С. Мониторинг решения задачи стабилизации линейных систем с дисконтированием / Е. С. Паламарчук // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD 2013'). Седьмая международная конференция: материалы в 2 т. / под общ. ред. С. Н. Васильева, А. Д. Цвиркуна. - М. : ИПУ РАН, 2013. - Т. 2. - С. 432-435.

171. Murata, Y. Optimal Control Methods for Linear Discrete-Time Economic Systems / Y. Murata. - Berlin : Springer-Verlag, 1982. - 202 p.

172. Ljungqvist, L. Recursive Macroeconomic Theory / L. Ljungqvist, T. J. Sargent. - 2nd ed. - Cambridge, MA : MIT Press, 2004. - 1082 p.

173. Aoki, M. Sufficient Conditions for Optimal Stabilization Policies / M. Aoki // The Review of Economic Studies. - 1973. - Vol. 40, No. 1. - P. 131-138.

174. Chow, G. C. Control Methods for Macroeconomic Policy Analysis / G. C. Chow // The American Economic Review. - 1976. - Vol. 66, No. 2. - P. 340-345.

175. Tumovsky, S. J. Optimal Stabilization Policies for Deterministic and Stochastic Linear Economic Systems / S. J. Turnovsky // The Review of Economic Studies. - 1973. - Vol. 40, No. 1. - P. 79-95.

176. Pindyck, R. S. Optimal Policies for Economic Stabilization / R. S. Pindyck // Econometrica. - 1973. - Vol. 41, No. 3. - P. 529-560.

177. Holt, С. C. A linear decision rule for production and employment scheduling / С. C. Holt, F. Modigliani, H. A. Simon // Management Science. - 1955. - Vol. 2, No. 1. - P. 1-30.

178. Joglekar, N. R. Product development resource allocation with foresight / N. R. Joglekar, D. N. Ford // European Journal of Operational Research. - 2005. - Vol. 160, No. 1. - P. 72-87.

179. Schneeweiss, C. A. Inventory-production theory: a linear policy approach / C. A. Schneeweiss. - Berlin : Springer-Verlag, 1977. - 116 p.

180. Silva Filho, O. S. Gerando pianos de produgao atraves de um problema linear quadratico Gaussiano com restrigoes nas variaveis de decisao / O. S. Silva Filho // Pesquisa Operacional. - 2010. - Vol. 30, No. 1. - P. 99-124.

181. Mazzaleni, P. An Actuarial and Financial Analysis for Ecu Insurance Contracts / P. Mazzaleni // Rivista di matematica per le scienze economiche e sociali. - 1989. - Vol. 12, No. 1. - P. 139-155.

182. Steffensen, M. Differential systems in finance and life insurance / M. Steffensen // Stochastic Economic Dynamics / edited by B. S. Jensen, T. Palokangas. - Copenhagen: Copenhagen Business School Press, 2007. - P. 317-360.

183. Adamski, A. Optimal dispatching control of bus lines / A. Adamski // Optimization Techniques: proceedings of the 9th IFIP Conference on Optimization Techniques, Warsaw, Sept. 4-8, 1979 / edited by K. Iracki [et al.]. - Berlin : Springer-Verlag, 1980. - P. 334-344.

184. Papageorgiou, M. Review of road traffic control strategies / M. Papageorgiou, C. Diakaki, V. Dinopoulou, A. Kotsialos, Y. Wang // Proceedings of the IEEE. - 2003. - Vol. 91, No. 12. - P. 2043-2067.

185. Louam, N. Optimization and performance enhancement of active suspensions for automobiles under preview of the road / N. Louam, D. A. Wilson, R. S. Sharp // Vehicle System Dynamics. - 1992. - Vol. 21, No. 1. - P. 39-63.

186. Cohen, Y. Identification and Control of Stochastic Linear Multispecies Ecosystem Models / Y. Cohen // Modeling and Management of Resources

under Uncertainty: proceedings of the Second U.S.-Australia Workshop on Renewable Resource Management held at the East-West Center, Honolulu, Hawaii, Dec. 9-12, 1985 / edited by T. L. Vincent [et al.]. - New York: Springer-Verlag, 1987. - P. 66-79.

187. Krawczyk, J.B. Controlling a dam to environmentally acceptable standards through the use of a Decision Support Tool / J. B. Krawczyk // Environmental and Resource Economics. - 1995. - Vol. 5, No. 3. - P. 287-304.

188. Blackwood, J. Cost-effective management of invasive species using linear-quadratic control / J. Blackwood, A. Hastings, C. Costello // Ecological Economics. - 2010. - Vol. 69, No. 3. - P. 519-527.

189. Fan, L. T. Dynamic analysis and optimal feedback control synthesis applied to biological waste treatment / L. T. Fan, P. S. Shah, N. C. Pereira, L. E. Erickson // Water Research. - 1973. - Vol. 7, No. 11. - P. 1609-1641.

190. Pineau, P. O. An Ethical Behavior Interpretation of Optimal Control / P. O. Pineau // Optimal Control and Differential Games: essays in Honor of Steffen Jorgensen / edited by G. Zaccour. - New York : Springer, 2002. - P. 53-70.

191. Altavilla, C. Designing the optimal length of working time: a counterfactual policy analysis / C. Altavilla, A. Garofalo, C. P. Vinci // International Journal of Manpower. - 2007. - Vol. 28, No. 7. - P. 627-648.

192. Halanay, A. Differential equations, discrete systems, and control: Economic models / A. Halanay, J. Samuel. - Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 357 p.

193. Ainslie, G. Derivation of 'Rational' Economic Behavior from Hyperbolic Discount Curves / G. Ainslie // American Economic Review. - 1991. -Vol. 81, No. 2. - P. 334-340.

194. Паламарчук, Е. С. Управление процессом сходимости цены к равновесному значению при наличии случайных факторов / Е. С. Паламарчук // Анализ и моделирование экономических процессов: сборник статей / под ред. В. 3. Беленького. - М. : ЦЭМИ, 2010. - Вып. 7. - С. 123-136.

195. Chen, X. Coordinating Inventory Control and Pricing Strategies with Random Demand and Fixed Ordering Cost: The Finite Horizon Case / X. Chen, D. Simchi-Levi // Operations Research. - 2004. - Vol. 52, No. 6. -P. 887-896.

196. Koekebakker, S. The value of an operating electricity production unit: working paper / S. Koekebakker, S. Sodal. - Kristiansand : Agder University College, 2001. - 19 p.

197. Wengler, J. Managing Energy Risk: A Nontechnical Guide to Markets and Trading / J. Wengler. - Tulsa : Pennwell Books, 2001. - 393 p.

198. Methods to analyse agricultural commodity price volatility / edited by I. Piot-Lepetit. - New York : Springer, 2011. - 300 p.

199. Cecchetti, S. G. The frequency of price adjustment: A study of the newsstand prices of magazines / S. G. Cecchetti // Journal of Econometrics. - 1986. - Vol. 31, No. 3. - P. 255-274.

200. Паламарчук, E. С. Управление динамикой равновесной цены в экономике с мультипликативной неопределенностью / Е. С. Паламарчук // Анализ и моделирование экономических процессов: сборник статей / под ред. В. 3. Беленького. - М. : ЦЭМИ, 2011. - Вып. 8. - С. 75-88.

201. Тигиеу, С. G. Market Structure and the Value of Agricultural Contingent Claims / C. G. Turvey, J. R. Stokes // Canadian Journal of Agricultural Economics. - 2008. - Vol. 56, No. 1. - P. 79-94.

202. Monahan, G. E The Dynamic Pricing Problem from a Newsvendor's

Perspective / G. E Monahan, N. C. Petruzzi, Wen Zhao // Manufacturing к Service Operations Management. - 2004. - Vol. 6, No 1. - P. 73-91.

203. Talluri, К. T. Theory and practice of revenue management / К. T. Talluri, G. Van Ryzin. - New York : Springer, 2004. - 712 p.

204. Akashi, H. Optimal sulfur dioxide gas discharge control for Osaka city, Japan / H. Akashi, H. Kumamoto // Automatica. - 1979. - Vol. 15, No. 3. - P. 331-337.

205. Chung-Min, L. An optimal feedback control strategy for waste disposal management in agro ecosystems / L. Chung-Min, L. Wen-Zer // Applied Mathematical Modelling. - 1997. - Vol. 21, No. 3. - P. 165-174.

206. Rajaoarisoa, L. H. Micro-climate optimal control for an Experimental Greenhouse Automation / L. H. Rajaoarisoa, N. K. M'Sirdi, J. Balmat // Communications, Computing and Control Applications (CCCA), 2012 : proceedings of 2nd International Conference. - Piscataway, NJ : IEEE, 2012. - P. 1-6.

207. Wright, C. Some political aspects of pollution control / C. Wright // Journal of Environmental Economics and Management. - 1974. - Vol. 1, No. 3. - P. 173-186.

208. De Spinadel, V. On Optimal Control / V. De Spinadel // Linear algebra and its role in systems theory: proceedings of the AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference held on Jul. 29 - Aug. 4, 1984 / edited by R. E. Brualdi [et al.]. - Providence : AMS, 1985. - P. 111-118.

209. Karp, L. Global warming and hyperbolic discounting / L. Karp // Journal of Public Economics. - 2005. - Vol. 89, No. 2/3. - P. 261-282.

210. Паламарчук, E. С. Об оценке риска в одной задаче экологической экономики / Е. С. Паламарчук // Системный анализ в экономике-2012: материалы науч.-практ. конф. - М. : ЦЭМИ, 2012. - Секция 2. -С. 130-133.

211. Global Climate Change: The Science, Economics and Politics / edited by J. M. Griffin. - Northampton : Edward Elgar Publishing, 2003. - 270 p.

212. Climate Change 2007 - Mitigation of Climate Change. Working Group III contribution to the Fourth Assessment Report of the IPCC. Intergovernmental Panel on Climate Change / edited by P. Bosch [et al.].

- Cambridge, MA : Cambridge University Press, 2007. - 851 p.

213. Lanza, A. Environmental and Economic Effects of the European Tax: the Italian Case / A. Lanza, G. Sammarco // The European Carbon Tax: An Economic Assessment / edited by C. Carraro, D. Siniscalco. - Norwell : Kluwer Academic Publishers, 1993. - P. 171-196.

214. Karp, L. Regulation with Anticipated Learning about Environmental Damages / L. Karp, J. Zhang // Journal of Environmental Economics and Management. - 2006. - Vol. 51, No. 3. - P. 259-279.

215. Xepapadeas, A. Stochastic Analysis: Tools for Environmental and Resource Economics Modeling / A. Xepapadeas // Research Tools in Natural Resource and Environmental Economics / edited by A. A. Batabyal, P. Nijkamp. - Singapore : World Scientific Publishing, 2011.

- P. 55-88.

216. Hasselmann, K. Optimizing Long-Term Climate Management / K. Hasselmann // Global Biogeochemical Cycles in the Climate System / edited by E. - D. Schulze [et al.]. - San Diego : Academic Press, 2001. -P. 333-343.

217. Kothari, D. R. Power System Optimization / D. R. Kothari, J. S. Dhillon.

- 2nd ed. - New Delhi : Prentice-Hall of India, 2010. - 732 p.

218. Wigley, T. M. L. Economic and Environmental Choices in the Stabilization of Atmospheric CO2 Concentrations / T. M. L. Wigley, R. Richels, J. A. Edmonds // Nature. - 1996. - Vol. 379. - P. 240-243.

219. Schwietzke, S. Relevance of emissions timing in biofuel greenhouse gases and climate impacts / S. Schwietzke, W. M. Griffin, S. H. Matthews // Environmental science & technology. - 2011. - Vol. 45, No. 19. - P. 81978203.

220. Kazantzis, N. Risk-relevant indices for the characterization of persistence of chemicals in a multimedia environment / N. Kazantzis // Journal of Loss Prevention in the Process Industries. - 2009. - Vol. 22, No. 6. - P. 830-838.