Вероятностно-статистический анализ максимумов временных рядов с псевдостационарным трендом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Кудров, Александр Владимирович

• Кудров, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудров, Александр Владимирович

1 Введение.

2 О максимумах частичных выборок случайных последовательностей с псевдостационарным трендом.

2.1 Определения и результаты.

2.2 Доказательство основного результата.

3 Максимум частичных выборок в гауссовских последовательностях с псевдостационарным трендом.

3.1 Определения и результаты.

3.2 Вспомогательные леммы.

3.3 Доказательство основного результата.

4 Верификация полученных аппроксимаций методом стохастического моделирования.

4.1 Случай области притяжения Гумбеля.

4.2 Случай области притяжения Фреше.

4.3 Случай области притяжения Вейбулла.

5 Обработка реальных данных.

5.1 Температуры в Центральной Англии.

5.2 Потребление электроэнергии в России.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностно-статистический анализ максимумов временных рядов с псевдостационарным трендом»

Настоящая работа является диссертацией на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Она посвящена статистическому анализу экстремумов стационарных временных рядов с добавленным переменным трендом, обобщающим сезонную составляющую. При этом допускаются пропуски наблюдений, что существенно влияет на выбор методики в силу наличия статистической зависимости между членами временного ряда. Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и библиографии. В первой главе изучается предельное поведение распределения экстремального значения произвольного стационарного временного ряда с добавленным малым исевдостационарным трендом, в условиях случайного прореживания, при неограниченном росте числа наблюдений. При этом на временной ряд налагаются условия слабой зависимости далекоотстоящих экстремумов (условие перемешивания типа Лидбеттера). Это условие не всегда легко проверяемо, в силу этого во второй главе рассмотрены гауссовские временные ряды, для которых условие слабой зависимости может быть выражено в терминах поведения корреляционной функции на бесконечности. Вторая глава посвящена исследованию предельного распределения экстремума гауссовской стационарной последовательности с малой "почти сезонной "составляющей в условиях детерминированного прореживания. Вместо условия перемешивания требуется определенная степень стремления корреляций к нулю для далекоотстоящих наблюдений. В третьей главе рассматриваются примеры обработки реальных данных с периодической структурой но методике, основанной на результатах первых двух глав. Эти результаты сравниваются с результатами, полученными на основании классической статистической теории экстремальных значений.Также проводится сравнение классической о предлагаемой методик для данных, полученных методом стохастического моделирования.Традиционно теория экстремальных значений используется для оценки функций распределения экстремумов выборок или отрезков временного ряда. Это позволяет оценить квантили высокого уровня. Например, около 40% территории Нидерландов находится ниже уровня моря.Поэтому для того, чтобы обезопасить от морских стихий территории, расположенные вдоль побережья, необходимо сооружать дамбы. Правительство, балансируя между стоимостью и надежностью, определило, что дам3 бы должны быть такой высоты, чтобы вероятность наводнения (вероятность того, что уровень морской воды превысит высоту дамбы) в течение года равнялась Ю- 4. Возникает вопрос, какой в этом случае должна быть высота дамбы, чтобы соответствовать этому требованию. Помочь ответить на этот вопрос может теория экстремальных значений.Оценка вероятностей редких или экстремальных событий является важной задачей в управлении рисками финансовых портфелей. Теория экстремальных значений позволяет использовать некоторые фундаментальные результаты, необходимые для статистического моделирования таких событий и вычисления мер экстремального риска. Последние несколько лет финансовые рынки характеризовались значительной неустойчивостью. Это привело роде к определенной критике существующей системы управления рисками, что явилось мотивацией поиска более адекватных методологий описания редких событий.Обычным вопросом, на который каждый хотел бы получить ответ состоит в том, что: "Если ситуация начнет развиваться нестандартным образом, насколько неточны могут быть используемые модели. "Таким образом, проблема состоит в том, чтобы понять, как моделировать редкие события, которые лежат вне промежутка доступных наблюдений. В такой ситуации кажется важным полагаться на основательные методологии.Теория экстремальных значений (ТЭЗ) дает теоретические основания, на базе которых мы можем построить статистические модели, описывая экстремальные события.Во многих областях современной науки, инженерии и страхования, теория экстремальных событий хорошо разработана (см., например, [Embrechts et al. (1999)], [Reiss, Thomas (1977)]). Сейчас существует различные исследования, направленные на анализ экстремальных изменений, возникающих на финансовых рынках (например, кризис валютных рынков, экстремальные события на фондовых рынках, кредитные дефолты).Характер хвостов финансовых рядов анализировался, помимо прочего, в работах [Koedijk et al. (1990)], [Dacorogna et al. (1995)], [Loretan, Phillips (1994)], [Longin (1996)], [Danielsson, de Vries (2000)], [Kuan, Webber (1998)], [Straetmans (1998)], [McNeil (1999)], [Jondeau, Rockinger (1999)], [Rootzen, Kluppelberg (1999)], [Neftci (2000)], [McNeil, Frey (2000)], [Gencay et al. (2003b)]. Интересная дискуссия относительно потенциала теории экстремальных значений в управлении рисками дана в работе [Diebold et al. (1998)].В основе классической теории экстремальных значений лежит фундаментальная теорема о предельном распределении максимума Мп = тах(Хх,...,Хп) п независимых одинаково распределенных случайных величин. Этот результат впервые изложен в работе [Fisher R., Tippet L. (1928)] и получил полное математическое обоснование в работе [Gnedenko В. (1943)]. Терема Фишера-Типпета-Гнеденко описывает все возможные предельные формы распределения М„ при линейных нормализациях.Теорема 1. (Гнеденко, Фишер, Типпет).Обозначим через F(x) функцию распределения случайной величины Хи тогда Р(Мп <х)= Fn{x), и (1.1) можно переписать в виде lim Fn(anx + bn) = Н(х). (1.2) п—>оо Если для некоторых ап > 0, Ьп выполнено (1.2), то функцию распределения F(-) называют м^^ш^еХплГ'устойчивой. Если Н{х) с точностью до линейного преобразования аргумента совпадает с одной из Ни(х), где v = 1,2,3, тогда говорят, что F(-) принадлежит области притяжения Dv, и пишут F(-) € Dv. Параметр /3 называют экстремальным индексом. Важнейшей задачей статистического анализа экстремальных значений является задача оценивания экстремального индекса р. В классическом случае выборки независимых одинаково распределенных случайных величин оценки для Р были предложены в работах [Pickands J. (1975)], [Hill В. (1975)], [Dekkers A., de Haan L. (1989)], свойства этих оценок изучены во многих работах, смотри например [Masson D. (1982)], [Hall P. (1982)], [Hausler E., Teugels J. (1985)], [Davis R., Resnick S. (1984)], [Smith R. (1994)], [Beirland J., Teugels J. (1989)]. Современное состояние статистического анвлиза экстремумов в классической постановке, включая векторные выборки и выборки, состоящие из траекторий случайных процессов, изложено в монографии [De Haan L., Ferreira A. (2006)]. Оценки экстремального индекса в случае зависимых выборок также достаточно полно изучйены, см. монографию [Embrechts P., Mikosch Т., Kluppelberg (1997)] и библиографию в ней, а также [Hsing Т. (1991)], [Mladenovic' P., Piterbarg V. (2008)].Известны критерии, дающие необходимые и достаточные условия принадлежности функции распределения F(-) к той или иной области притяжения ([Leadbetter М., Lindgren G. Rootzen Н. (1983)]). Следует отметить, что существуют функции распределения, для которых (1.2) не выполняется ни при каких ап > 0, Ьп. В этом случае линейно нормированный максимум Мп не имеет невырожденной предельной функции распределения. Таким свойством обладает, например, распределение Пуассона (доказательство этого утверждения см. на стр. 38 в работе [Leadbetter М., Lindgren G. Rootzen Н. (1983)].Обобщение классической теории экстремальных значений происходило по двум направлениям: 1-ое напр. расширение результатов классической теории на случай зависимых стационарных временных рядов 2-ое напр. расширение результатов классической теории на случай неоднородных выборок и нестационарных последовательностей Основные результаты развития теории по первому направлению представлены в работах [Loynes R. (1965)], [Leadbetter М. (1983)], [Watson G. (1954)], [Berman S. (1964)]; по второму направлению - [Cramer H. (1966)], смотри также монографии [Leadbetter M., Lingren G. Rootzen H. (1983)] и [Embrechts P., Mikosch Т., Kluppelberg С (1997)] и библиографии в них. Заметим, что ограничения на зависимость между далеко отстоящими друг от друга элементами используются таким образом, что предельный закон для линеаризованных максимумов остается такими же, как если бы исходная последовательность была бы последовательностью независимых случайных величин. При этом предлагаемые ограничения на зависимость значительно слабее, чем ограничения, связанные с доказательством центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин, как например условие зависимости Розенблатта (см. [Rozenblatt М. (1956)]).Предложенные ограничения на зависимость формулируются следующим образом: обозначим Fllt...>in{xu...,xn) = P(Xtl < xu...,Xin < хп), где (Хп) - стационарная в узком смысле случайная последовательность.То есть, если последовательность удовлетворяет этому условию, то всякое событие А, относящееся к прошлому вплоть до момента р, "почти не зависит" от любого события В, относящегося к будущему, начиная с момента р + к + 1, когда значение к велико.Для гауссовских стационарных случайных процессов и последовательностей условие перемешивания можно заменить на условие достаточно быстрого убывания корреляции к нулю при неограниченном росте временного аргумента. Первой работой в этом направлении является работа [Berman S. (1964)], в которой доказана предельная теорема о сходимости к распределению Гумбеля для распределения максимума гауссовской стационарной последовательности (Хп), при условии, что lim„_>00r(n) logn = О, где r(n) = cov(Xi,Xn+i). Далее это направление интенсивно развивалось для непрерывного времени, для гауссовских случайных полей с непрерывным и дискретным временем, имеются результаты и для более медленного убывания корреляции, получено также необходимое и достаточное условие сходимости к распределению Гумбеля в терминах поведения корреляции ([Питербарг В. И. (1981)]). Основополагающий вклад в это направление принадлежит В. И. Питербаргу. Подробное изложение этих и других фактов асимптотичской теории гауссовских процессов имеется в монографиях [Питербарг В. И. (1988)] и [Piterbarg V. (1996)].Одним из важных направлений развития статистической теории экстремумов является исследование прореженных последовательностей, что соответствует ситуации пропущенных наблюдений при статистической обработке данных. Для гауссовских последовательностей первыми работами в этом направлении являются [Mittal Y. (1978)] для дискретного времени и [Piterbarg V. (2004)] для непрерывного времени, где получены предельные распределения для совместного распределения максимумов по прореженным и полным данным. Задачи статистического оценивания параметров распределения экстремумов в условиях наличия пропущенных наблюдений впервые поставлены и частично решены в [Mladenovic' P., Piterbarg V. (2008)], где доказана состоятельность модифицированных оценок Хилла (определение см. ниже) экстремального индекса в условиях пропущенных наблюдений. Отметим также статьи [Ольшанский К. А. (2004)] и [Ольшанский К. А. (2004а)], где изучено поведение оценки показателя кластеризации экстремумов для полной и прореженной последовательностей.Следующей после модели с прореживанием важной моделью в исследовании распределения экстремальных значений для неоднородных выборок является переход к выборкам и случайным последовательностям с добавленным непостоянным трендом, например, при наличии сезонной составляющей. Насколько нам известно, первой работой в этом направлении является статья [Кузнецов Д. (2005)], где рассмотрена модель стандартной статистической выборки с добавленным малым почти периодическим математическим ожиданием. В этой работе впервые получена форма предельного распределения максимума и указано, насколько малым должен быть нестационарный тренд, чтобы существовало невырожденное предельное распределение. Этот подход является несомненно очень важным при обработке данных, в которых имеется, например, сезонная составляющая.Как сезонная составляющая, так и наличие пропущенных наблюдений, являются важными атрибутами статистического анализа временных рядов, таких как экономические и финансовые ряды, ряды, описывающие динамику изменения окружающей среды, погоды, другие. Таким образом, представляется, что разработка методов и методик статистического анализа распределений экстремальных значений стационарных временных рядов с добавленным малым трендом типа сезонного и при наличии пропущенных наблюдений, является важной и актуальной задачей статистики временных, в частности экономических, рядов.Перейдем к подробному изложению содержания настоящей диссертации.Обозначим и\ = апх + Ьп, и^ — апу + Ьп, ип = max(u*, и2).Условие D2(ull,ufl,an, {mk}k=i,...,n) гарантирует перемешивание (слабую зависимость) далеко отстоящих больших значений временного ряда (1.3).Вводится также дополнительное условие для случайной последовательности {Xi, г = 1,2,...} - условие D (ип — тап): lim l imsupn \ . Р{Х\ > ип — тап; Xj > ип — тап} = О, К •'ОО Т7 Ю*) 2<j<n/fc Это условие гарантирует отсутствие кластеров экстремумов, аналогично случаю независимых Xi, подробности см. в [Leadbetter R., Lindgren G. et al. (1983)].Пусть имеется случайная последовательность из нулей и единиц {Si, г = 1,2,...}, где событие {5i = 0} символизирует пропуск наблюдения Xi.Для 7] = 0,1 введем "выборочные функции распределения "значений тренда для пропущенных и наблюдаемых Yi, пп/ \ _ # 0 : mi<x,Si=T], 1<г<п} г] = 0,1, знак ф обозначает число элементов множества.Функции Ll/(a;, G,,) участвуют в формулах для предельного распределения вектора Мп,Мп. Заметим, что при выполнении условия 2 лишь L2(x,Gv) не обязательно конечно.Во втором параграфе первой главы представлены вспомогательные леммы и их доказательства. Среди них - аналог теоремы Лидбеттера для последовательности {Y/ , п = 1,2, ...,г = 1,2,...} и двух пороговых уровней.Во втором параграфе доказан основной результат первой главы предельная теорема для случайного вектора С^*-, ^ ^ ) > 'ЪЯ£Мп = max{Xj+mjan; г = 1, ...,п} и Мп — max.{Xi-\-mian\ г = 1, ...,п, 8^ = 1} при неограниченно растущем п.2v /2hmV ; Отметим, что последовательности (ап), (Ьп) являются нормирующими последовательности в предельной теореме для максимума последовательности независимых гауссовских случайных величин (1.1), см. [Berman S. (1964)], [Leadbetter М., Lindgren G., Rootzen, H. (1983)].Отметим, что С(х) — не обязательно вероятностная функция распределения, то есть, С(+оо) не обязательно равно 1. Мы предположим, что {rrii : г Е Nn} , так же как {тп* : г £ Gn}, п = 1,2,..., псевдостационарные последовательности с функциями распределениями N(x) и G(x), соответственно. Заметим, что если к = 1, тогда G(x) = N(x).Во втором параграфе доказываются вспомогательные леммы, а также дана формулировка обобщенного неравенства Бермана, введенного и доказанного В. И. Питербаргом, [Питербарг В. И. (1988)], которое состоит в следующем: пусть имеется два гауссовских вектора X = (Xi, ...,Хп) и Y = (Y"i, ..., Y„) с нулевыми средними и ковариациями rx(k,l) and ro(k,l), соответственно, причем гх(к,к) = гу(к,к) = 1. Пусть имеется набор действительных чисел {и0(к) < ... < им{к), к = 1, ...,п}. Обозначим через U алгебру подмножеств Rn, порожденную всеми параллелепипедами вида x"=1[u;(i), ui+i(i)].В третьем параграфе второй главы доказана предельная теорема для предельного совместного распределения случайных величин Мп(Х) = max{Xi -f rriidn} и Мп>к{Х) = тах{Х* + т^п}.В частности, можно предполагать г{п) произвольной на "редких" множествах R С Z, таких что \{к : к G R, к = 1,..., n} | = 0(n/(L(n) Inn)) для любого L(n) —> оо при п —> оо.Все результаты, полученные для максимумов Мп, очевидным образом переносятся на минимумы, так как справедливо следующее соотношение: тп = min{Xi,...,Xn} = -max.{-Xi,...,-Xn}.Задача оценки функции распределения максимумов вАборок случайных последовательностей с псевдостационарным трендом играет важную роль при определении резервов, прогнозировании пиков потребления (например, потребления электроэнергии), в прогнозировании экстремальных погодных явлении (например, высоких температур) и др. К решению этих задач можно подходить как с позиции результатов классической теории экстремумов, так и с позиции результатов, являющихся расширением классической теории экстремумов, с учетом сезонности данных. Рассматриваемые данные обрабатываются с помощью этих двух подходов.В третьей главе при помощи методов стохастического моделирования, проведено сравнение классическим подхода (без учета тренда) оценки функции распределения максимума и подхода с учетом псевдостационарного тренда, основанного на результатах из главы 1. А именно, проведено сравнение качества подходов на примере смоделированных прореженных выборок из некоторых случайных последовательностей, каждый элемент которых представим в виде суммы стационарной последовательности {Xi,i = 1,2,...}, где Xi имеет функцию распределения F(x), которая максимум-устойчива, и добавочной псевдостационарной составляющей a„sin(27ri/3), где последовательность (ап) такая, что выполняется (1.2). Рассмотрены случаи, когда элементы стационарной последовательности имеют гауссовское распределение, распределение Коши и равномерное на отрезке [0; 1] распределение, и в которых элементы стационарной последовательности являются независимыми случайными величинами, так и случаи, в которых элементы стационарной последовательности являются 2-зависимыми. Прореживание моделируется при помощи последовательности (Si): J 1, с вероятостью ^ ; 1 0, с вероятостью -^, {Si} - последовательность независимых случайных величин, не зависящих от {Xi, г = 1,2,...}.Пусть {Xi} удовлетворяет условиям основного результата главы 1.Применим этот результат к Мп(Х) = max{Xj + ansin(27ri/3); г G N„, 6{ = 1}.Во всех рассмотренных случаях видно, что функция распределения К\{х) приближает эмпирическую функцию распределения нормированных максимумов прореженной выборки лучше, чем функция распределения К2(х).В четвертой главе проведена обработка реальных данных о потреблении электроэнергии в России и температуре воздуха в Центральной Англии. Полученные результаты также сравнены с результатами, полученными с помощью классического подхода.В первом параграфе четвертой главы представлены результаты обработки реальных данных, представляющих собой выборку, состоящую из ежедневных максимумов температур воздуха в Центральной Англии, взятых за период с 1 января 1878 по 31 декабря 1998 года, для которых описана процедура построения функции распределения годовых максимумов температур в этом регионе на основании классической теории экстремальных значений, на основании результатов главы 1 и сравним каждую из полученных функций распределения с эмпирической функцией распределения.Во втором параграфе четвертой главы исследуются данные о почасовом потреблении электроэнергии в России за период с 7 июня 2005 года по 22 июля 2005 года. Визуальный анализ изменения потребления электроэнергии позволяет сделать вывод о периодичности потребления за сутки. Более того, можно увидеть, что имеется периодичность, связанная с днями недели, и годичная периодичность (однородность по сезонам). При полном исследовании экстремальных значений потребления необходимо учитывать и годичный тренд. Задача полного исследования в работе не ставится.В нашем случае, такой период взят как пример однородности по сезону. Были взяты только данные со вторника по четверг каждой недели, так как максимумы потребления в течение недели за рассматриваемый период достигаются только в эти дни и для этих дней наблюдается похожая структура потребления.Для обоих примеров данных схема оценки функции распределения максимумов на основе результатов главы 1 одна и та же: пусть (Yi) - это выборочные значения случайного ряда (Yi), представимого в виде суммы некоторой детерминированной периодической составляющей (pi) и стационарного временного ряда PQ), то есть: Yt = Xi+pi.Далее, положим, что детерминированная периодическая составляющая имеет период равный г.Пусть Xi = fi-pu 1<г<гК. Обозначим j-ът элемент первой и второй подпоследовательностей через Т*, Х^ (1 < j < (2s + l)K), соответственно, а j'-ый элемент (1 < j < 2s +1) третьей подпоследовательности - p*j .Возьмем максимум элементов на каждом интервале индексов \(т — l)(2s + l),m(2s + 1)], где т = 1,.., К для ряда (Y*) и ряда (Х^), получим: МХ,...,МК, М[,...,М'К. Схема оценки функции распределения максимумов на основе результатов классической теории экстремумов следующая: Возьмем вариационный ряд последовательности ( M j ) ^ : Мк,к < Мк^к < ... < Щк.Глава 2 О максимумах частичных выборок случайных последовательностей с псевдостационарным трендом.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Кудров, Александр Владимирович

В работе получены важные аппроксимации для функции распределения максимума стационарной случайной последовательности с добавленным псевдостационарным трендом: • получена предельная теорема для совместного распределения мак симума отрезка стационарного временного ряда с добавленным малым псевдо-стационарным трендом и максимума но тому же отрезку, но с про пущенными наблюдениями. С этой целью введено понятие перемешивания высоких экстремумов при наличии тренда, обобщающее введенные ранее условия типа Лидбеттера.— с целью конкретизации условия перемешивания, рассмотрен слу чай гауссовского временного ряда. Оказалось, что если корреляционная функция г{п) исходного гауссовского стационарного ряда ведет убывает к нулю быстрее, чем 1/lnn, то предельный закон распределения макси мума совпадает с законом, полусенным в условиях перемешивания. Если же где г(п) убывает к нулю пропорционально 1/Inn, то предельный закон уже отличается, он основан не на пуассоновском распределении высоких экстремумов, а на смеси иуассоновских - на процессе Кокса. То есть, най ден пример временного ряда, не удовлетворяющего введенному условию перемешивания, для которого, тем не менее, получено предельное распре деление максимума.Эти аппроксимации позволяют оценивать высокопроцентные кван тили распределения и вероятности высоких максимумов с большой точ ностью.При помощи методов статистического моделирования проведено сравнение точности приближения распределения максимума, основанное на полученных в данной работе предельных теоремах и точности, осно ванной на классических приближениях, когда рассматриваются лишь се зонные максимумы. Поскольку в новых приближениях задействованы не только сезонные максимумы, но и близкие к ним другие значения времен ного ряда, новые приближения оказываются точнее.На основании полученных предельных теорем в диссертации раз работаны методы статистического оценивания распределения параметров максимума отрезка временного ряда в условии наличия пропущенных на блюдений и сезонной составляющей. Проведена сравнительная статисти 95 ческая обработка данных классическим и новым методом. Новый метод в данной модели дает безусловно лучшие результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудров, Александр Владимирович, 2009 год

1. ГАЛАМБОШ Я. (1984). Асимптотическая теория экстремальныхпорядковых статистик. Изд. Наука, Главная редакция физикоматематической литературы.

2. КУДРОВ А. В. ( 2 0 0 8 А ) . О максимумах частичных выборок случайных последовательностей с псевдостационарным трендом. Стат. методы оценив, и проверки гипотез, межфакультетский сборник Перм.Гос.Унив. (в печати).

3. КУДРОВ А. В. (2008в). Оценка функции распределения максимумов выборок стационарных последовательностей с псевдостационарным трендом. Прикладная эконометрика,

4. КУЗНЕЦОВ Д. (2005). Предельные теоремы для максимума случайныхвеличин. Вестник МГУ, Сер. Матем. Механ., 3, 6-9.

5. Л И Д Б Е Т Т Е Р М., Л И Н Д Г Р Е Н Г., РОТСЕН X. (1989). Экстремумы случайных последовательностей и процессов. Изд. Мир.

6. МЕЙЗЛЕР Д.Г. (1950). О предельном распределении максимального члена вариационного ряда. ДАН УССР, 1, 1950, 3-10.

7. ОЛЬШАНСКИЙ К.А. (2004). Об экстремальном индексе прореженногопроцесса авторегрессии. Вестник МГУ, Сер. Матем. Механ., 3, 17 23.

8. ФАНТАЦЦИНИ Д. (2008). Управление операционным риском. Прикладнаяэконометрика,

9. ARTZNER P., DELBAEN F., E B E R J.M., HEATH D. (1999). Coherentmeasures of risk.Math. Finance, 9, 203-228.

10. BALKEMA A.A., DE HAAN L. (1974). Residual lifetime at great age. Ann.1. Probab., 2, 792-804.

11. BEIRLANT J., TEUGELS J.L.(1989). Asymptotic normality of Hill'sestimator. In: Lecture Notes in Statistics, 51, 148-155, eds. J. Husler and

13. BEIRLANT J., TEUGELS J.L., VYNCKIER P. (1996). Practical Analysis of

14. Extreme Values. Leuven University Press, Leuven.

15. BERMAN S. M. (1964). Limit theorems for the maximum term in stationarysequences. Ann. Math. Statist, 35, 2, 502-516.

16. BORKOVEC M. (2000). Extremal behavior of the autoregressive process with

17. ARCH(l) errors. Stoch. Proc. Appl, 85, 189-207.

18. CASTILLO E. (1988). Extreme Value Theory in Engineering. Academic Press,1. Boston.

19. CHRISTOPH G. AND W O L F W. (1992). Convergence Theorems with a Stable1.mit Law. Akademie Verlag. Berlin.

20. CLEVELAND W.S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press, New Jersey.

21. COLES S. (2001). An Introduction to the Statistical Modeling of Extreme1. Values. Springer, London.

22. COLES S. G., J. A. TAWN (1996). A Bayesian analysis of extreme rainfalldata. Applied Statistics, 45, 463-478.

23. COHEN J. P. ( 1 9 8 2 A ) . The penultimate form of approximation to normalextremes. Adv. Appl. Prob., 14, 324-339.

24. COHEN J. P. ( 1 9 8 2 B ) . Convergence rates for the ultimate and penultimateapproximations in extreme value theory. Adv. Appl. Prob., 14, 833-854.

25. Cox D. R., D. V. HINKLEY (1974). Theoretical Statistics. London: Chapman& Hall.

26. CRAMER H. (1966). On the intersections between the trajectories of a normalstationary stochastic processes and a high level. Arkiv. Mat, 6, 337-349.

27. DAVIS R.A., RESNICK S. I. (1984). Tail estimates motivated by extremevalue theory. Ann. Statist, 13, 1050-1077.

28. DAVIS R.A., RESNICK S. I. (1989). Basic properties and prediction of max

29. ARMA processes. Ann. Appl. Probab., 21, 781-803.

30. DAVISON A. C , SMITH R. L. (1990). Models for exceedances over highthresholds (with discussion). J.R. Statist. Soc. B, 52, 393-442.

31. DAYKIN C D . , PENTIKAINEN Т., PESONEN M. (1994). Practical Risk Theoryfor Actuaries. Chapman & Hall, London

32. DEKKERS A.L.M., HAAN DE L. (1989). On the estimation of the extremevalue index and large quantile estimation. Ann. Statist, 17, 1795-1832.

33. EMBRECHTS P., KLUPPELBERG C , MIKOSCH T. (1997). Modelling

34. Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, New York.

35. EMBRECHTS P. (ED . ) (2000) Extremes and Integrated Risk Management.

37. FALK M., HUSLER J. AND REISS R.-D. (1994). Laws of Small Numbers:

38. Extremes and Rare Events. DMVSeminar Bd 23. Birkhi'auser, Basel.

39. FISHER R. A., T I P P E T T L. H. C. (1928). Limiting forms of the frequencydistributions of the largest or smallest member of a sample. Proc. Camb. 1. Phil. Soc, 24, 180-190.

40. GAMERMAN D. (1997). Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulationfor Bayesian Inference. Texts in Statistical Science, Chapman &; Hall/CRC 1. Press, Boca Raton.

41. GNEDENKO B. V. (1943). Sur la distribution limite du terme maximum d'unes'erie aleatoire. Ann. Math., 44, 423-453.

42. GRADY A. (2000). A Higher Order Expansion for the Joint Density of the

43. Sum and the Maximum with Applications to the Estimation of Climatological

44. Trends. Ph.D. dissertation, Department of Statistics, University of North1. Carolina, Chapel Hill.

45. GUMBEL E.J. (1958). Statistics of Extremes. Columbia Univ. Press, New1. York.

46. HAAN L. DE (1970). On Regular Variation and its Application to the Weak

47. Convergence of Sample Extremes. Math. Centre Tracts 32, Amsterdam.

48. HAAN L. DE, FERREIRA A. (2006). Extreme value theory. An introduction.

49. Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. Springer.

50. HAAL P. (1982). On some simple estimates of an exponent of regularvariation. Journal of the Royal Statistical Society, B44, 37-42.

51. HALL P., P E N G L., YAO Q. (2002). Moving-maximum models for extremaof time series. Journal of Statistical Planning and Inference, 103, 51-63.

52. HAUSLER E., TEUGELS J.L. (1985). On the asymptotic normality of Hill'sestimator for the exponent or regular variation. Ann. Statist, 13, 743-756.

53. HILL B.M. (1975). A Simple General Approach to Inference about the Tailof a Distribution. Ann. Statist., 3, 1163-1174.

54. HsiNG T. (1991). On tail index estimation using dependent data. Ann.1. Statist, 19, 1547-1569.

55. HsiNG T. (1993). Extremal index estimation for a weakly dependentstationary sequence. Ann. Statist., 21, 2043-2071.

56. HSING Т., HUSLER J., LEADBETTER M.R. (1988). On the exceedance pointprocess for a stationary sequence. Probab. Theory Related Fields, 78, 97-112.

57. HOGG R.V., KLUGMAN S.A. (1984). Loss Distributions. Wiley, New York.

58. JENKINSON A. F. (1955). The frequency distribution of the annual maximum(or minimum) values of meteorological events. Quarterly Journal of the

59. Royal Meteorological Society, 81, 158-172.

60. JOHNSON N.L., KOTZ S. (1970). Distributions in Statistics: Continuous

61. Univariate Distributions-1, -2. Houghton Mifflin, Boston.

62. JOHNSON N.L., KOTZ S. (1972). Distributions in Statistics: Continuous

63. Multivariate Distributions. Wiley, New York.

64. JORION P. (2001). Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market

65. Risk, (first edition 1997). McGraw-Hill, New York.

66. KlNNlSON R.P. (1985). Applied Extreme Value Statistics. Battelle Press,1. Columbus.

67. KLUPPELBERG C. (2004). Risk management with extreme value theory. In

68. Extreme Values in Finance, Telecommunications, and the Environment,

69. Finkenstadt, B. and Rootzen, H., Eds., CRC/Chapman & Hall, Boca Raton.

70. KLUGMAN S.A., PANJER H.H., WILLMOT G.E. (1998). Loss Models, From

72. KOTZ S., NADARAJAH S. (2000) Extreme Value Distributions. Theory and

73. Applications. Imperial College Press, London.

74. KUDROV A.V., PlTERBARG V.I. (2007) On maxima of partial samples ingaussian sequences with pseudo-stationary trends. Liet. matem. rink., 47, 1, 1-10.

75. YNES R. M. (1965). Extreme values in uniformly mixing stationarystochastic processes. Ann. Math. Statist, 36, 993-999.

76. ADBETTER M. R. ( 1 9 8 3 A ) . Extremes and local dependence in stationarysequences. Z. Wahrsch. v. Geb., 65, 291-306.

77. ADBETTER M.R., LINGREN G., ROOTZEN H. (1983). Extreme and relatedproperties of random sequences and precesses. Springer Statistics Series.

78. Berlin-Heidelberg-New York:Springer.

79. MASSON D.M. (1982). Laws of large numbers for sums or extreme values. Ann.1. Prob, 10, 754-764.

80. MEDOVA E. (2000). Measuring risk by extreme values. Risk, November 2000,20-26.

81. MEERSCHAERT M.M., SCHEFFLER P. (2001). Limit Distributions for Sumsof Independent Random Variables: Heavy Tails in Theory and Practice. 1. Wiley, New York.

82. MlKOSCH Т., STARICA C. (2000). Is it really long memory we see in financialreturns? In: Embrechts, P. (Ed.) Extremes and Integrated Risk Management, p. 149-168. Risk Books, London.

83. MITTAL Y. (1978). Maxima of partial samples in Gaussian sequences, Annalsof Probability, 6, 3, 421-432.

84. MLADENOVIYC P., PITERBARG V.I. (2006). On asymptotic distribution ofmaxima of complete and incomplete samples from stationary sequences.

85. Stochastic Processes and their Applications, 116, 1977-1991.

86. MLADENOVIYC P., PITERBARG V.I. (2008). On estimation of the exponentof regular variation using a sample with missing observations. Statistics and probability letters, 78, 4, 327-335.

87. NANDAGOPALAN S. (1990). Multivariate extremes and the estimation of theextremal index. Ph.D. dissertation, Department of Statistics, University of

89. O'BRIEN G. L. (1987). Extreme values for stationary and Markov sequences.

91. PlCKANDS J. (1975). Statistical inference using extreme order statistics. Ann.1. Statist, 3, 119-131.

92. PITERBARG V.I. (1996). Asymptotic methods in the theory of Gaussianprocesses and fields. AMS, Providence, Rhode Island.

93. REISS R.-D. (1989). Approximate Distributions of Order Statistics. Springer,1. New York.

94. RESNICK S.I. (1987). Extreme Values, Regular Variation, and Point

96. ROBERT С P., CASELLA G. (2000). Monte Carlo Statistical Methods.

97. Springer Texts in Statistics, Springer Verlag, New York.

98. ROBINSON M. E., TAWN J. A. (1995). Statistics for exceptional athleticsrecords. Applied Statistics, 44> 499-511.

99. ROOTZEN H., KLUPPELBERG C. (1999). A single number can't hedge againsteconomic catastrophes. Ambio 28, 6, 550-555. Royal Swedish Academy of 1. Sciences.

100. ROSENBLATT M. (1956). A central limit theorem and a strong mixingcondition. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 42, 43-47.

101. SERFLING R.J. (1980). Approximation Theorems of Mathematical Statistics.1. Wiley, New York.

102. SMITH R. L. (1986). Extreme value theory based on the r largest annualevents. J. Hydrology, 86, 27-43.

103. SMITH R. L. (1989). Extreme value analysis of environmental time series:

104. An application to trend detection in ground-level ozone (with discussion).

106. SMITH R. L. (1990). Extreme value theory. In Handbook of Applicable

107. Mathematics 7, edited by W. Ledermann. John Wiley, Chichester, 437-471.

108. SMITH R. L. (1997). Statistics for exceptional athletics records: Letter to theeditor. Applied Statistics, 46, 123-127.

109. SMITH R. L. AND GOODMAN, D. (2000). Bayesian risk analysis. Chapter 17of Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. Risk 1. Books, London, 235-251.

110. SMITH R. L. (2004). Statistics of Extremes with applications inenvironment, insurance, and finance, in Extreme Values in Finance,

111. Telecommunications, and the Environment,Finkenstddt, B. and Rootzen, H.,

112. Eds., CRC/Chapman & Hall, Boca Raton.

113. SMITH R. L., WEISSMAN I. (1994). Estimating the extremal index, ournalof the Royal Statistical Society, Ser. B, 56, 512-528.

114. TAWN J. A. (1988). An extreme value theory model for dependentobservations. J. Hydrology, 101, 227-250.

115. WATSON G. S. (1954). Extreme values in samples from m-dependentstationary processes. Ann. Math. Statist, 25, 798-800.

116. WEISSMAN I. (1984). Statistical estimation in extreme value theory. In J.

117. Tiago de Oliveira (Ed.), Statistical Extremes and Applications, pp. 109-115.1. Dordrecht: Reidel.