Вероятностно-геометрические свойства случайных множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Берлинков, Артемий Геннадьевич

• Берлинков, Артемий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Берлинков, Артемий Геннадьевич

Введение

0.1 Случайные рекурсивные конструкции.

0.2 Сведения из теории меры.

0.3 Обзор результатов.

0.4 Дальнейшие обозначения.

1 Законы нуля или единицы ф 2 Размерности случайных рекурсивных множеств

3 Упаковочные меры случайных рекурсивных множеств

3.1 Оценка упаковочной меры в размерности множества.

3.2 Оценка точной упаковочной размерности сверху.

3.3 Оценка точной упаковочной размерности снизу.

4 Деревья Гальтона-Ватсона

5 Случайно порожденные вероятностные распределения

6 Примеры 65 Заключение 73 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вероятностно-геометрические свойства случайных множеств»

В данной диссертации рассматриваются случайные фракталы общего типа и некоторые вопросы размерности и мер, связанные с ними. Прежде различные авторы изучали свойства случайных фракталов относительно мер Хаусдорфа, определенных еще в начале XX века. В середине 80-х годов были определены упаковочные меры как в некотором смысле двойственные мерам Хаусдорфа. Мы проводим исследование свойств случайных фракталов с точки зрения упаковочных мер. Данная тема обсуждалась в литературе в значительно меньшей степени.

0.1 Случайные рекурсивные конструкции

Рассматриваемые случайные фракталы возникают в результате случайной рекурсивной конструкции, впервые определенной в работе Молдина и Ви-льямса ([37]). Простым примером случайного фрактала является случайное кантпоровское множество. Для его получения независимо выбираются два случайных числа согласно равномерному распределению на интервале [0,1], и из трех образовавшихся интервалов берутся правый и левый, а средний отбрасывается. В каждом из полученных интервалов процедура повторяется в соответствующем масштабе и т. д. Случайное канторовское множество определяется как множество точек, принадлежащих сохраняемым интервалам после каждого шага конструкции. Случайный фрактал получается с помощью процедуры, аналогичной процедуре построения канторовско-го множества, причем механизм сохранения частей исходного множества на каждом шаге носит более общий характер. Сейчас будет дано точное определение этой конструкции.

Пусть п € IN U {оо}, п > 2, А = {1,2,., п}, если п в IN, и А = IN,

00 если п = оо, А* = (J А-7 является множеством всех конечных последовало тельностей элементов А, а дК множеством всех их бесконечных последовательностей. Результат составления из двух последовательностей а и г из А* одной путём выписывания их соответствующем порядке обозначается а * т. Длина конечной последовательности а обозначается \а\. Если к £ IN и а является последовательностью длины не меньше к, то последовательность, составленная из первых к элементов <7, обозначается а\к.

Случайная рекурсивная конструкция состоит из семейства J = {Ja\a £ А*} случайных компактных подмножеств lRd, заданных на некотором вероятностном пространстве (Q, Р). При этом параметризующее множество последовательностей естественно рассматривать как дерево. При п < оо мы будем говорить о конечном ветвлении, при п — оо о бесконечном. Начальное множество Jg — J предполагается фиксированным и таким, что J = Cl(Int( J)). Без потери общности мы предполагаем, что diam( J) = 1.

Данные семейства случайных множеств должны удовлетворять следующим свойствам: i. Отображения ш —> Ja{ш) измеримы относительно Е, и. Множества Ja, если они не являются пустыми, геометрически подобны J, 1 iii. Ja*i является собственным подмножеством Ja для всех а £ А* и i £ А при условии, что Ja ф 0, iv. Конструкция удовлетворяет условию случайного открытого множества: если а и г являются двумя последовательностями одинаковой длины, то Int(Jff) П Int(Jr) = 0, v. Существует последовательность независимых случайных векторов

То- — • • • > & £ А , таких что выполнено соотношение diam(JCT*j) = diam(JCT)TCT*j. При этом вектора Тст условно независимы при условиях, что Ja ^ 0, и при этом же условии имеют то же распределение, что и Т0 = (Ti,., Тп). Иными словами, для любого конечного множества S С А* и любого набора борелевских множеств В8 С [0,1]А, s £ S,

P(TS £ BsVs £ S\J, ф 0 Vs € S) = ДР(Т, £ BS\JS ф 0), seS lA, В С IRd геометрически подоб1ш, если существуют S : Itd —► lRd и г > 0, такие что для любых х, у G lRd dist(S(z), S(y)) = г dist(x, у) и 5(A) = В, при этом S называется отображением подобия. и для любого a G Д* и любого борелевского множества В С Нл

Р(та е в| 0) = Р(т0 е Б).

Объектом изучения в данной диссертации является случайное рекурсивное множество, или предельное множество случайной рекурсивной конструкции (фрактал)

00 к(и) = п U ш е а

1 <теД*

Все эти конструкции интересны только тогда, когда получающиеся множества К(ш) нетривиальны с положительной вероятностью. Для этого необходимо, чтобы среднее число "потомков" было больше одного. Данное условие будет предполагаться выполненным на всем протяжении диссертации. Следует заметить, что в случайных рекурсивных конструкциях допускается случайное расположение множеств Ja*i внутри Ja. Таким образом случайные рекурсивные множества включают в себя в качестве частного случая случайные самоподобные множества, которые были определены независимо Молдиным и Вильямсом в [37] и Графом в [18]. В последней статье они впервые были подвергнуты тщательному изучению.

Чтобы напомнить понятие случайного самоподобного множества, которое было введено в статье [37], обозначим ст-алгебру, порожденную отображениями ш н-» где |<т| < р € 1ST, через Jp. Пусть cr G Др, P{Ja ф 0) > 0, и отображение Fa : х J —*■ IRd удовлетворяет следующим свойствам:

1. Fa измеримо относительно а-алгебры Jv х B(J), где B{J) обозначает а-алгебру борелевских подмножеств J,

2. при условии, что Jc(ljj) Ф 0, Fa(u, J) — Ja(uj) для почти всех и

3. Fa является отображением подобия почти наверное.

Определим Ja = {Защ\п € А*} равенством Ja-,n — F0(uj, -)~l{Ja*ri(u)). Тогда при условии, что Ja ф 0, J<r будет случайной рекурсивной конструкцией, элементы связанные с которой будут обозначаться значком"! Распределения векторов Т0 и Tfl будут совпадать.

Будем говорить, что J стохастически геометрически самоподобная конструкция, если для каждого <т € А* существует Fa, удовлетворяющее свойствам 1, 2, 3, такое что если S является конечным подмножеством Др, В € J\a\, a Bs, s € 5, борелевскими подмножествами [27]д*, то

Примеры 6.1-6.5 обладают этим свойством. Предельное множество стохастически геометрически самоподобной конструкции называется случайным самоподобным множеством.

0.2 Сведения из теории меры

Для удобства напомним различные понятия мер и размерностей, которые будут в дальнейшем использоваться. Данные размерности и меры описываются Фальконером в [12], Маттилой в [32], Тэйлором в [43] и [44] и Тэйлором и Трико в [45].

Функция ip : [0, +оо) —> [0, +оо) называется калибровочной функцией, если она является неубывающей функцией, такой что у?(0) = 0.

-приближение меры Хаусдорфа множества А относительно калибровочной функции ip обозначается Tig (А) и определяется так:

Мера Хаусдорфа относительно функции ip обозначается НУ (А) и определяется как

Н«{А) = \\тт{А).

5—»0

Мы будем писать Щ = Щ и W = W когда 0 < s < оо и (p(r) = rs,r> 0. Размерность Хаусдорфа множества А, dim# А, определяется как

Говорят, что калибровочная функция ср дает точную размерность, если мера относительно нее положительна и конечна.

Далее дадим определение упаковочных мер относительно функции ср. Эти меры возникли естественным образом в двух различных областях. Они p(ja e BsVse s\Ja ф 0 Vs 6 S и в) = Y[p{3 е д).

И$(А) = inf Uu diamЩ < 5 dimНА = mf{s\?is(А) = 0} = sup{s|fts(.A) - оо}. были определены Д. Салливаном в [40] с целью анализа некоторых проблем динамики, и независимо Тэйлором и Трико в [45]. В последней статье были определены не только упаковочные меры и размерности, но и подсчитана точная упаковочная размерность для броуновской траектории.

Пусть А С IRd и 6 > 0. Множество {(х{, г$)}™=1 называется ^-упаковкой множества А, если Х{ 6 A, S > 2rt- > 0, и гг- + rj < dist(a:i, Xj) для г, j = 1,., п, г Ф j. В этом случае замкнутые шары с центрами в точках хг-и радиусами Г{ не пересекаются. Для начала определим J-приближение к упаковочному объему PqS и упаковочный объем Pq следующим образом:

Поскольку Pq не обладает свойством счетной полуаддитивности, для получения внешней меры необходим дополнительный стандартный прием. Упаковочная мера относительно функции (р определяется для подмножества А С IRd так:

Тогда Vv является борелевской регулярной внешней мерой. Если ip(r) = rs, то V^ обозначается Vs. По аналогии с размерностью Хаусдорфа упаковочная размерность определяется с помощью упаковочных мер:

Следует отметить, что данное двухступенчатое определение упаковочной меры технически усложняет работу с ней по сравнению с мерой Хаусдорфа. В некотором смысле это усложнение невозможно обойти. Вычислительная сложность упаковочных мер была проанализирована в статье Молдина и Маттилы [34]. Например, там доказывается что размерность Хаусдорфа является функцией второго бэровского класса на пространстве компактных подмножеств ]Rd, в то время как упаковочная размерность, хоть и являющаяся измеримой относительно сг-алгебры, порожденной аналитическими множествами, не является измеримой по Борелю функцией на пространстве компактных подмножеств. г=1 тРА = mf{s|P3(4) = 0} = sup{s|Pe(^) = оо}.

Наконец, рассмотрим верхнюю и нижнюю размерности Минковского. Если К является ограниченным подмножеством IRd, и S > 0, обозначим Ns(K) наименьшее число открытых шаров радиуса 5, которыми можно покрыть К. Верхняя размерность Минковского множества К, обозначаемая dimмК, определяется как dimjtfK = lim — logNs(K)/log6 — lim logN2-j(K)/(jlog2), (5—>0 j-*oo а нижняя размерность Минковского, dimMK, как dimМК — lim — log NS(K)/ log 6 = l|m log N2-j(К)/(j log 2).

5-+0 j—>oo

Вместо наименьшего количества открытых шаров радиуса 5 в определении размерностей Минковского можно использовать наибольшее коли-ф чество замкнутых шаров того же радиуса с центрами, расположенными во множестве К. Весьма полезным является тот факт, что упаковочная размерность множества может быть вычислена с использованием верхней размерности Минковского: dimpК = mil supdimMKi\K С |JKh K\ С Hd компактно >.

I * i=l ^

Также имеются несколько других зависимостей между размерностями множества: dirn/f К < dimp К < dim^K, dimя К < dimМК < dimмК-> ШМК = Ы{(3\Т(!(К) = 0} = sup{/5| vg(K) = оо}. 0.3 Обзор результатов

В данном разделе основные результаты диссертации рассматриваются в контексте смежных результатов, полученных ранее другими авторами. Для случайных рекурсивных конструкций Малдин и Вильяме нашли в статье [37] размерность Хаусдорфа случайного рекурсивного множества К{ш) даже в случае бесконечного ветвления следующим образом. При условии, что

К(ш) ф 0, размерность Хаусдорфа почти наверное равняется а, где а = Ы<(3:Е < 1

Заметим, что в случае конечного ветвления имеет место равенство

Гацурас в [16] доказал, что размерность Минковского множества К (и) совпадает с его размерностью Хаусдорфа. В теореме 2.2 приводится другое краткое доказательство данного факта. Это доказательство в теореме 2.3 распространяется на случайные фракталы, изучавшиеся Дряхловым и Тем-пельманом в [И]. Таким образом при конечном ветвлении все четыре стандартные размерности изучаемых конструкций - верхняя и нижняя размерности Минковского, Хаусдорфа и упаковочная размерность - совпадают. При бесконечном ветвлении размерность Минковского и упаковочная размерность могут превосходить размерность Хаусдорфа, даже если рекурсия носит детерминистический характер, см. [35], теорема 2.11.

Ситуация с мерой Хаусдорфа в размерности а данных случайных фракталов сравнительно хорошо изучена. По закону нуля или единицы (см. теоремы 1.1, 1.2 и следующие за ними замечания) для некоторых классов множеств К (и) почти наверное выполнено одно из трех: мера Хаусдорфа в размерности а либо нулевая, либо бесконечная либо положительная и конечная. Граф в [18] показал, что для случайных самоподобных множеств К (и) мера Хаусдорфа в размерности а положительна и конечна при условии, что система случайных подобий почти детерминистичпа, а точнее, если

Граф и др. ([20]) распространили данный результат на общие случайные рекурсивные конструкции. Для упаковочной меры в размерности а ситуация аналогична. В теореме 3.3 доказывается, что при тех же двух условиях упаковочная мера в размерности а положительна и конечна почти наверное. п р Ti>8\Ti^ 0=1 для некоторого S > 0.

Далее Граф в [18] доказал, что если Р^ £ Т-* = lj < 1, то мера Хаусдорфа в размерности а случайного самоподобного множества почти наверное нулевая. В теореме 3.6 доказывается, что в данной ситуации при условии, п что Р(0 < ^ Т-* < 1) > 0 и выполнении усиленного условия случайного г=1 открытого множества, упаковочная мера в размерности а бесконечна.

Для многих случаев, когда мера Хаусдорфа в размерности а нулевая, была найдена точная размерность Хаусдорфа. В частности Граф и др. в [20] нашли калибровочную функцию (р, такую что 0 < 7i<p{K(uj)) < оо п.н., при условии, что К(со) ф 0. Эта калибровочная функция может быть найдена путем анализа функции распределения случайной величины X, которая является пределом некоторого положительного супермартингала. А именно, если для a G А* обозначить 1а(ш) = diam(Jcr(a>)), то супермартингалом будет последовательность ]Г] А: € IN. Данная запись означает а\=к суммирование по всем последовательностям длины к и будет часто использоваться в дальнейшем. При конечном ветвлении эта последовательность образует мартингал.

Соответствующая ситуация при нахождении точной упаковочной размерности сложнее и была не разрешена. В данной диссертации решение этой задачи сводится к проверке того, случаются ли бесконечно часто некоторые события с вероятностью единица. Проверка произведена для простейших классов конструкций, в которых % может принимать только одно значение за исключением нулевого и при некоторых других заметно менее ограничительных условиях.

Ранее вопрос о точной упаковочной размерности был выяснен для траекторий субординаторов и, как уже упоминалось ранее, броуновской траектории. Тэйлор в [44] доказал, что упаковочная мера траектории субординатора с индексом /3 относительно калибровочной фукнции (p(t) = t@g(t) нулевая, если J0+g2(t)dt/t < оо, и бесконечная, если f0+g2(t)dt/t = оо, т.е. точной упаковочной размерности не существует. Упаковочные меры траекторий субординаторов и связанных с ними процессов также изучались в работах Фенг и Ша ([14]), Фристедта и Тэйлора ([14]), Кс. Ху ([24],[25],[26]), Й. Ху ([27]). Во многих из них требовалось дополнительное условие на рассматриваемые калибровочные функции - Нт<^(2£)/<£>(£) < оо, называемое

4—>0 условием удвоения.

Стоит упомянуть, что Лю в [30] анонсировал нахождение точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона в случае, когда количество потомков по крайней мере два почти наверное, но сделал ошибку в доказательстве оценки снизу этой размерности . Связь между деревьями Гальтона-Ватсона и случайными рекурсивными конструкциями, а также эта ошибка обсуждаются в главе 4 и теореме 4.2. Также Ксяо в [47] доказал отсутствие точной упаковочной размерности границы дерева Гальтона-Ватсона при геометрическом распределении потомков.

При исследовании точной упаковочной размерности случайного рекурсивного множества мы различаем два случая - когда функция распределения случайной величины X убывает около нуля как полином, этот случай мы называем полиномиальным, и когда функция распределения убывает экспоненциально, тогда мы говорим об экспоненциальном случае. В теореме 3.12 найдена верхняя оценка точной упаковочной размерности общих случайных рекурсивных множеств, если коэффициенты подобия конструкции убывают к нулю не слишком быстро, а в теореме 3.28 при некоторых дополнительных предположениях доказывается, что найденная оценка верхней границы точной упаковочной размерности является наилучшей. Оказывается, что в полиномиальном случае точной упаковочной размерности не существует, т.е. упаковочная мера либо нулевая, либо конечная в зависимости от сходимости некоторого интеграла, а в экспоненциальном случае точная упаковочная размерность определяется размерностью множества и скоростью экспоненциального убывания к нулю функции распределения случайной величины X около нуля.

По материалам диссертации опубликовано 4 работы, они перечислены в списке литературы под номерами [1],[5],[7],[6]. Результаты диссертации докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством акад. И.А. Ибрагимова в 2005 г., на междисциплинарном математическом семинаре СПб-ГУ в 2005 г. на Симпозиуме по вещественному анализу в г. Дентон (США) в 2000 г., на Юго-западной конференции по динамике в Лос-Анджелесе (США) в 2000 г., на встрече Американского математического общества в г. Колумбус (США) в 2001 г., на семинаре по математическому анализу университета Ювяскюля (Финляндия) в 2002 г., на международной конференции по фрактальной геометрии и стохастике во Фридрихроде (ФРГ) и на семинаре по фрактальной геометрии университета г. Йена (ФРГ) в 2003 г.

0.4 Дальнейшие обозначения

В диссертации будут использоваться следующие обозначения - для конечной последовательности a G А* и последовательности г 6 A* U А14 запись а < т означает, что последовательность т начинается с сг, для оо

Г с A*, S? = £ 1%, для cr е А* множество Ка{и) = П U aer i=1 |r|=i

Г С А* называется антицепью, если для всех т, a G Г, а т и т (Т. Антицепь Г является максимальной, если для всех rj € А1* существует единственное & 6 IN, такой что rj\k € Г (rj\k будет обозначаться 7у|г), иными словами, максимальная антицепь является срезом дерева индексов. Особенно полезными для нас будут случайные антицепи вида Гг(и) = {ае А* 1>г,1а< г}.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Берлинков, Артемий Геннадьевич

В диссертации получены следующие результаты. 1. Доказан закон нуля или единицы для случайных самоподобных мно жеств, а также для случайных рекурсивных множеств, удовлетворя ющих условию невырождения "потомков" и независимости размеще ния "потомков" на каждом шаге конструкции. 2. Доказано совпадение размерности Хаусдорфа, верхней и нижней раз мерности Минковского и упаковочной размерности для широкого

класса множеств, включающего случайные рекурсивные множества,

а также для предельных множеств конструкции с "конечной памя тью" Дряхлова и Темпельмана,

3. Доказано, что при экспоненциальных ограничениях на концентрацию

множеств случайной рекурсивной конструкции сравнимого диаметра

упаковочная мера случайного рекурсивного множества в его размер ности с положительной вероятностью положительна. 4. Доказано, что для "почти детерминистической" случайной рекурсив ной конструкции мера предельного множества в его размерности по ложительна и конечна почти наверное. 5. Введено усиленное условие случайного открытого множества для слу чайных рекурсивных конструкций, при выполнении которого и при

недетерминистичности конструкции случайные самоподобные множе ства имеют бесконечную меру в их размерности

6. Получена оценка сверху точной упаковочной размерности случайных

рекурсивных множеств, в конструкции которых коэффициенты подо бия убывают к нулю не слишком быстро. 7. Получение оценки снизу точной упаковочной размерности случай ных рекурсивных множеств, совпадающей с оценкой сверху, сведено к проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются неко торые события с вероятностью единица. Проверка произведена для

некоторого класса конструкций. 8. Получена оценка упаковочной размерности некоторых случайно по рожденных вероятностных мер, совпадающая с оценкой их размер ности Хаусдорфа. В общем, работа доказывает давно выдвинутую гипотезу о точной упа ковочной размерности случайных рекурсивных множеств. При этом на рас сматриваемые калибровочные функции в случае отсутствия точной упако вочной размерности не накладывается никаких условий. Ответ состоит в

проверке выполнения того, бесконечно ли часто случаются некоторые со бытия с вероятностью единица, как упомянуто в предпоследнем пункте. Автор благодарен проф. Лифшицу М.А. за чтение диссертации и пред ложения по ее улучшению.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Берлинков, Артемий Геннадьевич, 2006 год

1. Верлишов А. Г. Размерности случайных рекурсивных множеств // Зап. научн. семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 20-26.

2. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972. - 416 с.3J Ширяев А. Н. Вероятность. М.: МЦНМО, ТТ. 1-2, 2004. - 927 с.

3. Athreya К. В., Ney P. Е. Branching Processes. Berlin-Heidelberg-New-York: Springer, 1972. - 294 pp.

4. Berlinkov A. On packing measure and dimensions of random fractals // Real Anal. Exch. 2000. - Vol. 24. - Pp. 91-52.

5. Berlinkov A. Exact packing dimension in random recursive constructions j I Probab. Th. Rel. Fields 2003. - Vol. 126. - Pp. 477-496.

6. Berlinkov A., Mauldin R. D. Packing measure and dimensions of random fractals /Д Theoret Probab, 2002, ~ Vol. 15., no, 3. - Pp. 695-713.

7. Biggins J. D., Bingham N. H. Large deviations in the supercritical branching process // Adv. Appl. Probab. 1993. - Vol. 25., no. 4. - Pp. 757-772.

8. Bingham N. H. On the limit of the supercritical branching process //J. Appl. Probab. 1988. -Vol. 25A. - Pp. 215-228.

9. Dubuc S. (1971): La densite de la loi-limite d'un processus en cascade expansif // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Vierw. Gebiete 1971. -Vol. 19. - Pp. 281-290.

10. Dryakhlov A. V., Tempelman, A. A. On Hausdorff dimension of random fractals//New York J. Math. 2001. - Vol. 7. - Pp. 99-115.

11. Falconer K. J. Fractal Geometry: Mathematical foundations and applications. New York: John Wiley, 1990. - 288 pp.

12. Feng D., Hua S., Wen Z. Some relations between packing premeasure and packing measure //Bull. London Math. Soc. 1999. - Vol. 31. - Pp. 665-670.

13. Feng J., Sha Z. Packing measure functions of subordinators sample paths //Science in China (Series A). 1998. - Vol. 41. - Pp. 505-509.

14. Fristedt В. E., Taylor S. J. . The packing measure of a general subordi-nator // Prob. Th. Rel. Fields. 1992. - Vol. 92. - Pp. 493-510.

15. Gatzouras D. Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets //Trans. Amer. Math. Soc. 2000. - Vol. 352., no.5. - Pp. 1953-1983.

16. Gatzouras D., Lalley S. P. Statistically self-affine sets: Hausdorff and box dimensions //J. Theoret. Probab. 1994. - Vol. 7. - Pp. 437-468.

17. Graf S. Statistically self-similar fractals // Prob. Th. Rel. Fields 1987. - Vol. 74. - Pp. 357-392.

18. GrafS., MauldinR. D., Williams S. C. Random homeomorphisms //Adv. Math. 1986. - Vol. 60. - Pp. 239-259.

19. Graf S., Mauldin R. D., Williams S. C. The exact Hausdorff dimension in random recursive constructions // Mem. Am. Math. Soc. 1988. - Vol. 381. -121 pp.

20. Hawkes J. Trees generated by a simple branching process // J. London Math. Soc. -1981 Vol. 24. - Pp. 378-384.

21. Hattori K. Exact Hausdorff dimension of self-avoiding processes on the multi-dimensional Sierpinski gasket // J. Math. Sci. Univ. Tokyo. ~ 2000. = Vol. 7, no. 1. Pp. 57-98.

22. Hattori K., Hattori T. Self-avoiding process on the Sierpinski Gasket //Prob. Th. Rel Fields. 1991. - Vol. 88. - Pp. 405-428.

23. Ни X. The exact packing measure for a random re-ordering of the Cantor set //Science in China (Series A).- 1996. Vol. 39. - Pp. 143.