Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Слепухин, Александр Сергеевич

• Слепухин, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Слепухин, Александр Сергеевич

Введение

1 Существование коциклов и их глобальных ^-аттракторов

1.1 Основы теории коциклов

1.2 Коциклы, порожденные обыкновенными дифференциальными уравнениями

1.3 Рассматриваемые классы задач.

1.4 Изучаемые классы возмущений.

1.5 Существование коциклов для иссследуемых классов задач

1.6 Понятие глобального Б-аттрактора для коцикла.

1.7 Существование глобальных /3-аттракторов коциклов

2 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных неавтономных множеств и глобальных В-аттракторов коциклов

2.1 Понятие размерности Хаусдорфа для неавтономного множества коцикла.

2.2 Теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных /^-аттракторов коциклов

2.3 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных ^-аттракторов коциклов, порождённых обыкновенными дифференциальными уравнениями

2.4 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного неавтономного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с гладким по времени возмущением

2.5 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа глобального В-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с квазипериодическим возмущением.

2.6 Обобщение неравенства Лиувилля с помощью матричных неравенств Ляпунова.

2.7 Использование матричных неравенств Ляпунова для модификации обобщённой теоремы оценки размерности

3 Численный анализ зависимости глобального 23-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с непрерывными по времени возмущениями, от класса таких возмущений и параметра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов»

Теория коциклов является мощным инструментом в различных областях теории динамических систем [1, 5, б, 7, 8, 16, 19, 20, 27, 29]. В частности, коциклы можно рассматривать в качестве обобщённых динамических систем и эффективно использовать для исследования неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений [13, 16, 31, 32, 33, 38]. Эта теория даёт возможность для широкого класса неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений получить результаты аналогичные результатам для автономного случая: например, условия существования глобального аттрактора и его свойства [16, 17].

Важными результатами на пути развития теории коциклов и их аттракторов были работы М. В. Бебутова [41], Р. К. Миллера и Д. Р. Сел-ла [26], Д. Р. Векмана [38], П. Е. Клоедена и Б. Шмалфуса [16] и другие.

Основная идея построения коцикла заключается в следующем. Для заданного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения, используя топологический поток Бебутова, строится расширение этого уравнения на новое фазовое пространство. На языке полученного расширения появляется возможность получить обычные групповые или полугрупповые свойства динамической системы. То есть, используя такой приём расширения возможно, при некоторых технических предположениях, интерпретировать неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение как обычную динамическую систему (систему расширения).

На язык коциклов распространяется целый ряд понятий из теории динамических систем, таких как, инвариантные множества и аттракторы, а также появляются новые понятия: поглощающее при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) absorbing] множество, притягивающее при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) attracting] множество, аттрактор при вытягивании вперёд (назад) [forward (pullback) attractor] [1, 13, 16].

В представленной работе изучаются неавтономные системы, полученные из автономных с помощью внешнего возмущения. Особенно выделяются следующие классы функций возмущения: почти периодические функции, рекуррентные функции и, в общем случае, ограниченные и равномерно непрерывные по времени функции. Для таких возмущений можно построить функциональное пространство (оболочку) [41, 38], которое позволяет рассматривать семейство уравнений в расширенном фазовом пространстве.

Один из важных вопросов изучения аттракторов динамических систем — вопрос их размерности (например, размерности Хаусдорфа) [3, 7, 10, 14, 22, 28, 35, 42, 45, 46, 52]. Впервые общие верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов конечномерных динамических систем были получены А. Дуади и Д. Оэстерле в [10]. Г. А. Леонов и В. А. Бойченко в [22, 45] впервые ввели функции ля-пуновского типа в оценки размерности Хаусдорфа. Дальнейшее развитите эти подходы получили в [3, 21]. Некоторые из результатов [10] были обобщены на бесконечномерные динамические системы [37]. Используя понятие коцикла, также можно расматривать случайные динамические системы и соотвествующие случайные аттракторы. Элементы теории оценки размерности Хаусдорфа случайных аттракторов были развиты в [8, 20].

Для аттракторов коциклов вопрос верхней оценки размерности также рассматривается для различных классов систем [5, б, 7, 8, 20, 29]. Во всех этих работах предлагаются общие методы верхней оценки размерности без использования функций ляпуновского типа.

Первая глава представленной диссертационной работы посвящена общей теории коциклов, в частности порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В ней исследуются вопросы существования коциклов и их глобальных аттракторов.

В разделе 1.1 приведены общие определения коцикла. Далее, в разделе 1.2 показано, как связано понятие коцикла с изучением неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений и каким образом такие уравнения могут порождать коциклы. Для такой интерпритации исходного уравнения в виде коцикла в основном используется метод построения расширнения исходного уравнения на оболочку. Подробное описание этого метода изложено в разделе 1.2. Далее приведено описание классов задач (раздел 1.3) и классов неавтономных функций (раздел 1.4), которые в данной работе рассматриваются как приложение развиваемой теории, а также некоторые их важные свойства.

Затем обсуждается вопрос существования коциклов, в том числе, для рассматриваемых классов задач. В разделе 1.5 приведена общая теорема о существовании коцикла, и с её помощью получены теоремы существования коциклов для задач из раздела 1.3.

Главным объектом, изучаемым в первой главе, является глобальный В-аттрактор коцикла. Для построения этого аттрактора в разделе 1.6 изложены все необходимые определения. Завершается первая глава изучением вопроса существования глобальных Б-аттракторов для рассматриваемых классов задач из раздела 1.3. В разделе 1.7 изложены результаты этого анализа.

Вторая глава полностью посвящена вопросам верхней оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных аттракторов коциклов, в том числе, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Сначала, в разделе 2.1 определено понятие размерности Хаусдорфа для неавтономных множеств коциклов. Затем, в разделе 2.2 сформулирована и доказана теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантах множеств коциклов для общего случая. Теорема приводится в двух формулировках: для локальных и глобальных коциклов.

Далее, как приложение общей теоремы оценки размерности, в разделе 2.3 сформулирована и доказана теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств коциклов, порождённых неавтономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, включающая функции ляпуновского типа. Теорема так же сформулирована для локальных и глобальных коциклов.

В качестве примера в разделе 2.4 с помощью доказанной в разделе 2.3 теоремы об оценке размерности для порождённых коциклов получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с гладким по времени возмущением. Затем, в разделе 2.5 получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа глобального /3-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с квазипериодическим возмущением.

Для эффективной оценки сингулярных чисел в полученных теоремах об оценке размерности из разделов 2.2, 2.3 в разделе 2.6 доказано обобщение неравенства Лиувилля на случай коциклов. Благодаря этому методу оценки сингулярных чисел в разделе 2.7 получена модификация теоремы оценки размерности из раздела 2.2, использующая матричные неравенства Ляпунова.

В третьей главе приводятся результаты численных экспериментов по локализации глобальных ^-аттракторов коциклов, порождённых системой Лоренца с различными непрерывными возмущениями. По этим результатам можно проследить зависимость таких аттракторов от класса функции возмущения и параметров.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Слепухин, Александр Сергеевич

Основные результаты работы представлены в работах [23, 24, 34, 47,

Заключение

Диссертационная работа посвящена исследованию коциклов, в частности порождённых неавтономными дифференциальными уравнениями, а также изучению аттракторов таких коциклов и оценке их размерности по Хаусдорфу.

В работе применяются современные методы исследования обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью общей теории коциклов и их глобальных аттракторов, а также обобщаются на случай коциклов методы оценки размерности по Хаусдорфу инвариантных множеств динамических систем.

В представленной работе получены новые теоремы существования глобальных аттракторов коциклов, порождённых некоторыми классами дифференциальных уравнений с непрерывными возмущениями. Основными результатами работы являются теоремы о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств общих коциклов, а также коциклов, порожднных неавтономными дифференциальными уравнениями. Кроме того, в работе представлены эффективные методы проверки условий этих теорем и, в частности, с их помощью получена верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного множества коцикла на примере системы Рёсслера с гладким по времени возмущением.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Слепухин, Александр Сергеевич, 2012 год

1. BoichenkoV. A., LeonovG.A. Lyapunov functions, Lozinskii norms, and the Hausdorff measure in the qualitative theory of differential equations // American Mathematical Society Translations Series 2. 1999. V. 193. P. 1-26.

2. BoichenkoV.A., LeonovG.A., ReitmannV. Dimension Theory for Ordinary Differential Equations. Wiesbaden: Vieweg-Teubner Verlag, 2005. 444 p.

3. Burkinl. M., LeonovG.A., Shepeliavij A. I. Frequency Methods in Oscillation Theory. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 1996. 410 p.

4. CaraballoT., LangaJ.A., Valero J. The dimension of attractors of non-autonomous partial differential equations // ANZIAM Journal. 2003. V. 45. P. 207-222.

5. Chepyzhov V. V., Vishik M. I. A Hausdorff dimension estimate for kernel sections of non-autonomous evolution equations // Indiana University Mathematics Journal. 1993. V. 42, № 3. P. 1057-1076.

6. Chepyzhov V. V., VishikM. I. Attractors of non-autonomous dynamical systems and their dimension // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1994. V. 73, № 3. P. 279-333.

7. CrauelH., FlandoliF. Hausdorff dimension of invariant sets for random dynamical systems // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. V. 10. P. 449-474.

8. DoeringC.R., Gibbon J. D. On the shape and dimension of the Lorenz attractor // Dynamical Systems. 1995. V. 10, № 3. P. 255-268.

9. DuadyA., OesterléJ. Dimension de Hausdorff des attracteurs // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris Série A. 1980. № 290. P. 1135 1138.

10. Ermakovl. V., Kalinin Yu. N., Reitmann V. Determining modes and almost periodic integrals for cocycles // Differential Equations. 2011. V. 47, № 13. P. 1837-1852.

11. FabbriR., Johnson R., Nünez C. On the Yakubovich frequency theorem for linear non-autonomous control processes // Discrete and Contirmoius Dynamical Systems. 2003. V. 9, № 3. P. 677-704.

12. GruneL., KloedenP. E., SiegmundS., WirthF. Lyapunov's second method for non-autonomous differential equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A. 2007. V. 18, № 2-3. P. 375-403.

13. HausdorffF. Dimension und äußeres Maß // Mathematische Annalen. 1919. V. 79, № 1-2. P. 157-179.

14. Horn R. A., Johnson C. R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. 608 p.

15. KloedenP. E., SchmalfufiB. Nonautonomous systems, cocycle attractors and variable time-step discretization // Numerical Algorithms. 1997. V. 14, № 1-3. P. 141-152.

16. KloedenP. E., Stonier D. Cocycle attractors in nonautonomously perturbed differential equations // Dynamics of Discrete, Continuous and Impulsive Systems. 1998. № 4. P. 221-226.

17. LedrappierF. Some relations between dimensions and Lyapunov exponents // Communications in Mathematical Physics. 1981. V. 81, № 2. P. 229-238.

18. LadyzhenskayaO. Attractors for Semi-Groups and Evolution Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. 74 p.

19. LangaJ.A., SchmalfufiB. Finite dimensionality of attractors for non-autonomous dynamical systems given by partial differential equations // Stochastics and Dynamics. 2004. V. 4, № 3. P. 385-404.

20. LeonovG.A. Strange Attractors and Classical Stability Theory. Saint-Petersburg: St. Petersburg University Press, 2008. 162 p.

21. LeonovG. A., Boichenko V. A. Lyapunov's direct method in the estimation of the Hausdorff dimension of attractors // Acta Applicandae Mathe-matica. 1992. V. 26. P. 1-60.

22. LeonovG.A., Reitmann V., Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 5th International Conference "PhysCon", September 5-8, 2011, Leon, Spain. 2011.

23. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Joural of the Atmospheric Sciences. 1963. V. 20. P. 130-141.

24. Miller R. K., SellG. R. Existence, uniqueness and continuity of solutions of integral equations // Annali di Mathematica Pura ed Applicata. 1968. V. 80. P. 135-152.

25. PilyuginS.U. Introduction to Structurally Stable Systems of Differential Equations. Basel: Birkhäuser Verlag, 1992. 184 p.

26. Reitmann V., Schnabel U. Hausdorff dimension estimates for invariant sets of piecewise smooth maps // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 2000. V. 80. Iss. 9. P. 623-632.

27. Robinson J.C. A topological time-delay embedding theorem for infinite-dimensional cocycle dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series B. 2008. V. 9, № 3-4. P. 731-741.

28. Rössler O. E. Different type of chaos in two simple differential equations // Zeitschrift für Naturforschung A. 1976. V. 31. P. 1664-1670.

29. Sell G. R. Non-autonomous differential equations and topological dynamics, I. The basic theory // Transactions of the American Mathematical Society. 1967. V. 127. P. 241-262.

30. Sell G. R. Non-autonomous differential equations and topological dynamics, II. Limiting equations // Transactions of the American Mathematical Society. 1967. V. 127. P. 263-283.

31. Sell G. R. Lectures on Topological Dynamics and Differential Equations. London: Van Nostrand-Reinbold, 1971. 202 p.

32. Slepukhin A. S. Lyapunov functions in Hausdorff dimension estimates of cocycle attractors / Proceedings of the 2nd International Conference "Science and Progress", November 14-18, 2011, Saint-Petersburg, Russia. 2011.

33. Smith R. A. Some applications of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential equations // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1986. V. 104A. P. 235-259.

34. TakensF. Distinguishing Deterministic and Random Systems / Nonlinear dynamics and turbulence. Edited by G. I. Barenblatt, G. Jooss, D.D.Joseph. New-York: Pitman, 1983. P. 314-333.

35. TemamR. Infinite-Domensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. New York-Berlin: Springer, 1988. 648 p.

36. WakemanD.R. An application of topological dynamics to obtain a new invariance property for non-autonomous ordinary differential equations // Journal of Differential Equations. 1975. V. 17. Iss. 2. P. 259-295.

37. Wang U., ZhongC., ZhouS. Pullback attractors of nonautonomous dynamical systems // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series A. 2006. V. 16. Iss. 3. P. 587-614.

38. Yakubovich V. A. Dichotomy and absolute stability of nonlinear systems with periodically nonstationary linear part // Systems к Control Letters. 1988. V. 11. Iss. 3. P. 221-228.

39. БебутовМ.В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Бюллетень Механико-математического факультета МГУ. 1940. Т. 5. С. 1-52.

40. БойченкоВ. А., Леонов Г. А. Об оценках размерности аттракторов и глобальной устойчивости обобщённой системы Лоренца // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1990. Вып. 2, № 3. С. 7-13.

41. ЖабкоА. П., Кирпичников С. Н. Лекции по динамическим системам. Часть 3. Устойчивые по Пуассону, рекуррентные и почти периодические движения. Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского университета, 2004. 140 с.

42. ИльяшенкоЮ. С. О размерности аттракторов ^-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве // Вестник МГУ. Серия 1. Математика и механика. 1983. Т. 3. С. 52-59.

43. Леонов Г. А. Об оценках хаусдорфовой размерности аттракторов // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1991. Вып. 3. С. 41-44.

44. Леонов Г. А. Формулы ляпуновской размерности аттракторов Хенона и Лоренца // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 3. С. 155-170.

45. Леонов Г. А., РайтманнФ., СлепухинА. С. Верхние оценки хаусдорфо-вой размерности отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Доклады Академии Наук. 2011. Т. 439, № 6. С. 736-739.

46. ПлиссВ.А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1964. 304 с.

47. Райтманн Ф., СлепухинА. С. О верхних оценках размерности Хаусдор-фа отрицательно инвариантных множеств локальных коциклов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика, механика и астрономия. 2011. Вып. 4. С. 61-70.

48. Харасахал В.Х. Почти периодические решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Алма-Ата: Наука, 1970. 199 с.

49. ЧебанД. Н. Асимптотически почти периодические решения дифференциальных уравнений. Кишинёв: Издательский центр Молдавского университета, 2002. 230 с.

50. Чуешов И. Д. Конечномерность аттрактора в некоторых задачах нелинейной теории оболочек // Математический сборник. 1987. Т. 133, № 4. С. 419-428.

51. Якубович В. А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем. I // Сибирский математический журнал. 1986. Т. 27, № 4. С. 181-200.