Вербально замкнутые подгруппы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Мажуга, Андрей Михайлович

• Мажуга, Андрей Михайлович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мажуга, Андрей Михайлович

Содержание

Введение

1 Общие и вспомогательные результаты

1.1 Основные определения, свойства и обозначения

1.2 Об определении алгебраической замкнутости

1.3 О связи между алгебраически замкнутыми

подгруппами и ретрактами групп

1.4 Сильно вербально замкнутые группы

2 Почти свободные сильно вербально замкнутые группы

2.1 Ведение

2.2 Примеры

2.3 Доказательство теоремы 1

2.3.1 Подгруппа Н есть почти циклическая группа

2.3.2 Подгруппа Н не является почти циклической группой

3 Достаточные условия сильной вербальной замкнутости группы

3.1 Ведение

3.2 Примеры и следствия

3.3 Доказательства теорем 2 и 3

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вербально замкнутые подгруппы»

Введение

Диссертация подготовлена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В Ломоносова. В диссертации затрагивается ряд вопросов, относящихся к теории групп.

Актуальность темы. В диссертации изучаются понятия вербальной и алгебраической замкнутости подгрупп конкретных групп (не классов групп). Основные результаты связаны с установлением условий, при которых эти понятия эквивалентны. В основном изучаются подгруппы, строение которых в том или ином смысле близко к строению свободных групп (например, почти свободные группы, свободные произведения групп, фундаментальные группы замкнутых поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой).

Алгебраически замкнутые объекты играют важную роль во многих (вероятно, всех) разделах современной алгебры. Чтобы исключить терминологическую путаницу, мы сразу приведем определение понятия алгебраической (а также экзистенциальной) замкнутости, которое сначала сформулируем в общем виде на языке теории моделей, а потом «переведем» его на групповой язык, которым и будем пользоваться в дальнейшем.

Пусть K есть класс структур в языке первого порядка L без реляционных символов, тогда структура А Е K называется алгебраически замкнутой в классе K, если для каждой позитивной экзистенциальной формулы <р{х\,... ,хп) языка L с константами из А из того, что ф выполняется в некоторой структуре В Е K, содержащей А, следует, что ф выполняется в А. Если в приведенном определении вместо позитивных экзистенциальных формул рассматривать произвольные экзистенциальные формулы, то мы получим определение экзистенциально замкнутой структуры класса K. Общие факты об алгебраически замкнутых системах достаточно полно представлены в монографии Ходжеса (Hodges) [1]. Если L есть язык теоретико-групповой сигнатуры, а K есть некоторый класс групп, то мы говорим, что группа Н алгебраически замкнута в классе групп K, если любая конечная система уравнений с коэффициентами из Н, имеющая решение в группе G Е K, содержащей Н в качестве подгруппы, имеет решение в Н.

Понятие группы, алгебраически (экзистенциально) замкнутой в классе групп, было вве-

дено Скоттом (Scott) для класса всех групп в работе [2] и Селе (Szele) для класса всех абелевых групп в работе [3]. Активное изучение экзистенциально замкнутых структур приходится на начало 70-х годов 20-го века [4,5]. Однако, алгебраические свойства алгебраически и экзистенциально замкнутых структур изучались лишь для немногих классов групп. В 1970-80-е большого прогресса в этом направлении удалось достичь для класса всех групп, см., например, работы Белеградека [6,7], Циглера (Ziegler) [8], а также монографию Хигмана (Higman) и Скотта (Scott) [9]. В настоящее время достаточно много известно об алгебраической структуре алгебраически и экзистенциально замкнутых групп в классе K, где K состоит, например, из определенных типов нильпотентных [10,11], разрешимых [12,13] или локально конечных [14,15] групп.

Об алгебраически замкнутых подсистемах конкретных систем (не классов) известно мало. Говорят, что подгруппа Н алгебраически замкнута в группе G, если если любая конечная система уравнений с коэффициентами из Н, имеющая решение в G, имеет решение в Н. Ясно, что ретракт любой группы (то есть образ такого эндоморфизма р, что р о р = р) является алгебраически замкнутой подгруппой. При определенных ограничениях на Н и G (см. утверждение 4) верна обратная импликация, позволяющая при изучение алгебраически замкнутых подгрупп применять относительно хорошо разработанную технику, связанную с изучением ретрактов групп [16-20].

В работе [21] (см. также [22,23]) было введено понятие вербально замкнутой подгруппы группы. А именно, подгруппа Н вербально замкнута в группе G, если любое расщепимое уравнение, имеющее решение в G, имеет решение в Н. На первый взгляд свойство вербальной замкнутости слабее свойства алгебраической замкнутости. И это действительно так в общем случае (см. лемму 1 или [[23], см. пример 14]). Естественным образом возникают вопросы о том, при каких дополнительных ограничениях на подгруппу Н и группу G вербальная замкнутость эквивалентна алгебраической замкнутости, и когда алгебраически замкнутая подгруппа Н группы G является ретрактом G.

В работе [21] была установлена следующая теорема, показывающая, что в конечно порожденных свободных группах вербально замкнутые подгруппы, алгебраически замкнутые подгруппы и ретракты — это одно и то же.

Теорема Мясникова-Романькова [[21], теорема 1.2]. Вербально замкнутые подгруппы конечно порожденных свободных групп являются рет,ракт,ами.

Этот результат позволил ввести в работе [21] для свободных групп понятие вербального замыкания подмножества, доказать ряд утверждений алгоритмического характера, а также установить, что пересечение произвольного семейства вербально замкнутых подгрупп конечно порожденной свободной группы есть вербально замкнутая подгруппа (что неверно

в общем случае, см. следствие 1 или [[23], см. пример 15]). Теорема, аналогичная теореме Мясникова-Романькова, была установлена в работе [22] для случая конечно порожденных свободных нильпотентных групп.

Теорема Романькова-Хисамиева [[22], теорема 2.1]. Вербально замкнутая подгруппа свободной нильпотентной группы Ыг,с ранга г ^ 1 и ступени нильпотентности с ^ 1 является ретрактом группы Ыг>с.

Цель работы. Основной целью данной работы является изучение условий, которые надо наложить на группу Н для того, чтобы она была сильно вербально замкнутой группой (группа Н сильно вербально замкнута, если она является алгебраически замкнутой подгруппой в любой группе, содержащей Н в качестве вербально замкнутой подгруппы).

Основные положения выносимые на защиту. Основными результатами, полученными в настоящей диссертации, являются:

- доказательство сильной вербальной замкнутости всех почти свободных групп, не имеющих нетривиальных нормальных конечных подгрупп (пункт 1) теоремы 1);

- доказательство сильной вербальной замкнутости фундаментальных групп всех замкнутых поверхностей, за исключением бутылки Клейна (пункт 1) теоремы 2);

- доказательство сильной вербальной замкнутости всех свободных произведений групп

вида * Нг, где I есть любое множество, содержащие хотя бы два элемента, и Н.\ суть *

нетривиальные группы, удовлетворяющие нетривиальным тождествам (возможно, разным) (пункт 2) теоремы 2);

- доказательство достаточных условий сильной вербальной замкнутости для групп, являющихся расширениями неабелевой свободной группы при помощи группы, удовлетворяющей нетривиальному тождеству (теорема 3).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

- научно-исследовательском семинаре по алгебре под руководством профессора И.В. Ар-жанцева, профессора В.А. Артамонова, профессора Е.И. Буниной, профессора Э.Б. Вин-берга, профессора Е.С. Голода, профессора А.Э. Гутермана, профессора М.В. Зайцева, профессора В.Н. Латышева, профессора А.В. Михалева, профессора А.Ю. Ольшанского, профессора Ю.Г. Прохорова и профессора Ю.П. Размыслова (механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2017, 2018);

- на семинаре «Теория групп» под руководством профессора А.Ю. Ольшанского, доцента А.А. Клячко и доцента О.В. Куликовой (механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2013-2018, неоднократно);

- на семинаре «Кольца, модули и матрицы» под руководством профессора Е.С. Голода, профессора А.Э. Гутермана, профессора В.Н. Латышева, профессора А.В. Михалева, доцента В.Т. Маркова и доцента О.В. Марковой (механико-математический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, 2018);

- международной алгебраической конференция памяти А.Г. Куроша, 2018;

- международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2017»;

- международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2018».

Основные методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы настоящей работы могут найти применение в теории групп.

Публикации. Результаты данной диссертации опубликованы в 4 статьях [47-50] и 2 тезисах [52,53], из них 4 работы [47-50] опубликованы в научных журналах из списка, рекомендованного ВАК. Работы [47-50] соответствуют пункту 2.3. положения о присуждении ученых степеней в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова.

Работа [49] написана в соавторстве с А.А. Клячко, работа [50] написана в соавторстве с А.А. Клячко и В.Ю. Мирошниченко.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 53 наименований. Общий объем диссертации составляет 68 страниц.

Краткое содержание диссертации.

Во введении приведена краткая история вопроса и перечислены основные результаты диссертации.

В главе 1 вводятся основные обозначения, определения, устанавливается ряд общих и вспомогательных результатов.

В разделе 1.1 вводятся основные обозначения и даются ключевые для данной работы определения вербально и алгебраически замкнутой подгруппы:

- подгруппа Н группы С называется вербально замкнутой (в С), если любое уравнение вида 1и(х1,... ,хп)к-1 = 1, где /ш(х1,... ,хп) € Еп(х\,... ,хп) и к € Н, имеющее решение в С, имеет решение в Н;

- подгруппа Н группы С называется алгебраически замкнутой (в С), если любая система уравнений вида:

(х1,... ,хп,Н) = 1 | г = 1,... ,т), (1)

где Wi (х1,..., хп, Н) € Рп(х1,..., хп) * Н, I = 1,... ,т, имеющая решение в С, имеет решение в Н.

Также в этом разделе перечисляются основные свойства вербально и алгебраически замкнутых подгрупп, в частности:

- доказывается, что вербально замкнутая подгруппа может не быть алгебраически замкнутой подгруппой (лемма 1);

- доказывается, что пересечение двух вербально замкнутых подгрупп может не быть вербально замкнутой подгруппой (следствие 1);

- устанавливаются достаточные условия, при которых гомоморфный образ вербально (алгебраически) замкнутой подгруппы вербально (алгебраически замкнут) (лемма 2).

В разделе 1.2 мы напоминаем известный факт о том, что в определении алгебраически замкнутой подгруппы достаточно рассматривать лишь системы уравнений, состоящие из расщепимых уравнений определенного вида (см. утверждение 3).

В разделе 1.3 рассматривается вопрос о том, при каких условиях, наложенных на Н и С, алгебраически замкнутая подгруппа Н группы С является ретрактом С (то есть является образом такого эндоморфизма р группы С, что р о р = р).

Группу Н называют нетеровой по уравнениям, если каждая система уравнений с коэффициентами из Н и конечным числом неизвестных эквивалентна (то есть имеет такое же множество решений в Н) своей конечной подсистеме. Говорят, что группа С конечно порождена над своей подгруппой Н, если С = {X, Н) для некоторого конечного множества X С С.

Основными фактами, установленными в данном разделе, являются следующие пункты утверждения 4:

- если группа С конечно порождена над Н и Н есть нетерова по уравнениям алгебраически замкнутая подгруппа в С, то Н является ретрактом группы С;

- нетерова по уравнениям подгруппа Н группы С алгебраически замкнута в С тогда и только тогда, когда она является ретрактом каждой конечно порожденной над Н подгруппы группы С.

В разделе 1.4 вводится еще одно ключевое для данной работы определение — определение сильно вербально замкнутой группы:

группа Н сильно вербально замкнута, если Н является алгебраически замкнутой подгруппой в любой группе, в которой она является вербально замкнутой подгруппой.

Также в этом разделе устанавливаются достаточные условия, при которых прямое произведение сильно вербально замкнутых групп является сильно вербально замкнутой группой. А именно, мы доказываем следующие два утверждения.

Запись Сс(Х) обозначает централизатор подмножества X С б в группе С.

Утверждение 5. Пусть сильно вербально замкнутые группы А и В таковы, что существуют такие элементы Е А и и^ Е В, ] = 1,...,к, что [)^=1Са() = {1} и П^=1 Св(и) = {1}. Тогда группа Н = А х В сильно вербально замкнута.

Утверждение 6. Пусть А есть абелева группа, В есть сильно вербально замкнутая группа и существуют такие элементы и^ Е В, ] = 1,..., к, что Р|^=1 Св (и) = {1}. Тогда группа Н = А х В сильно вербально замкнута.

В главе 2 устанавливается сильная вербальная замкнутость почти свободных групп, не имеющих нетривиальных конечных нормальных подгрупп.

В разделе 2.1, являющимся введением к главе 2, формулируется основной результат данной главы — теорема 1.

Группа Н называется почти свободной группой, если в Н существует свободная подгруппа конечного индекса.

Теорема 1. Пусть Н есть почти свободная группа, не имеющая нетривиальных нормальных конечных подгрупп. Тогда:

1) группа Н сильно вербально замкнута;

2) если группа С конечно порождена над Н и подгруппа Н вербально замкнута в С, то Н является ретрактом группы С.

В разделе 2.2 рассматривается ряд примеров, показывающих, что теорема 1 неулучшаема в некотором смысле. В частности, мы показываем, что, с одной стороны, условие отсутствия в Н нетривиальных конечных нормальных подгрупп нельзя отбросить в формулировке теоремы 1, а с другой стороны, это условие не является необходимым.

Раздел 2.3 посвящен доказательству теоремы 1. Основная сложность здесь заключается в доказательстве первого пункта, тогда как второй пункт достаточно легко выводится из первого пункта и известных результатов. Наше доказательство пункта 1) теоремы 1 разделено

на две части. В первой части мы рассматриваем случай почти циклической группы Н, во второй части случай не почти циклической Н.

В подразделе 2.3.1, являющимся первой частью доказательства пункта 1) теоремы 1, мы рассматриваем случай почти циклической группы Н. Основную трудность здесь представляет доказательство сильной вербальной замкнутости бесконечной диэдральной груп-

пы

, — {&,Ъ | а2,Ь2) , которую мы выводим из пункта И.4) утверждения 4 и леммы 6,

представляющей отдельный интерес как своего рода критерий вербальной замкнутости для подгруппы Б^.

Также в этом разделе мы доказываем сильную вербальную замкнутость всех абелевых групп (см. утверждение 7) и устанавливаем критерий вербальной замкнутости для абелевой подгруппы (см. следствие 2).

В подразделе 2.3.2, являющимся второй частью доказательства пункта 1) теоремы 1, мы рассматриваем случай не почти циклической группы Н.

В начале подраздела мы вводим понятие С -тестового слова Ли [24]:

С-тестовым словом Ли от т переменных для свободной группы Рг ранга г называют

такой элемент Ьт(г1,... , гт) € Рт(г1,... , гт), что одновременно выполнены условия:

1) если Ьт(д1,...,дт) = Ьт(д'1 ,...,д'т) = 1 в Рг, то элементы д[ € Рг получаются из элементов д^ € Рг одновременным сопряжением, то есть для некоторого в € Рг имеют место равенства д[ = д? для всех г = 1,... ,т;

2) Ьт(д\,..., дт) = 1 тогда и только тогда, когда элементы д\,...,дт группы Рг лежат в одной циклической подгруппе.

На основании существования С -тестовых слов Ли для всех т,г ^ 2 мы доказываем (см. лемму 8) существование универсального С-тестового слова Ли от т ^ 2 переменных, то есть такого элемента Ь(г\,...,гт) € Рт, что свойства 1) и 2) выполняются во всех свободных группах.

Далее мы приводим доказательство пункта 1) теоремы 1 для случая не почти циклической группы Н. Наше доказательство опирается на существование универсального С-тестового слова Ли для любого т ^ 2.

В главе 3 мы продолжаем изучение сильно вербально замкнутых групп. Основной результат этой главы — это доказательство достаточных условий сильной вербальной замкнутости для групп, являющихся расширениями неабелевой свободной группы при помощи группы, удовлетворяющей нетривиальному тождеству (см. теорему 3). Используя эти условия и полученные ранее результаты, мы также устанавливаем сильную вербальную замкнутость некоторых типов групп (см. теорему 2).

В разделе 3.1, являющимся введением к главе 3, формулируются теорема 2 и теорема 3 — основной результат главы 3.

Теорема 2 устанавливает сильную вербальную замкнутость некоторых типов групп.

Пусть 1(х1,... , хг) = 1 есть элемент свободной группы Рг (х1,... , хг) с базисом х1,... ,хг, тогда мы говорим, что группа С удовлетворяет нетривиальному тождеству I, если для всех д1,..., дг Е С мы имеем 1(д 1,... , дг) = 1 в С.

Теорема 2. Сильно вербально замкнутыми являются:

1) фундаментальные группы всех замкнутых поверхностей, за исключением, возможно, бутылки Клейна;

2) все свободные произведения * Н.где I есть любое множество, содержащие хотя бы

*1

два элемента, и Нг суть нетривиальные группы, удовлетворяющие нетривиальным тождествам (возможно, разным).

Теорема 3 устанавливает достаточные условия, при которых группа, являющаяся расширением неабелевой свободной группы при помощи группы, удовлетворяющей нетривиальному тождеству, является сильно вербально замкнутой. Прежде чем сформулировать эту теорему, введем необходимые понятия.

Пусть 1(х1,... , хг) есть элемент свободной группы Рг (х1,... , хг) с базисом х1,... ,хг, тогда вербальной подгруппой группы С, порожденной словом I, 1(С), мы называем группу 1(С) = ({I(д 1,... , дг) | д1,... , дг Е С}) . Например, символы I((х)те) и 1(Н) обозначают вербальные подгруппы бесконечной циклической группы (х)те и группы Н, порожденные словом I, соответственно. Нормальным замыканием подмножества X С Н в группе Н, Xн, мы называем (нормальную) подгруппу Хн = ({К-1хК | х Е X, К Е Н}) группы Н (например, символ 1(Н(я) обозначает нормальное замыкание 1(Н) в группе (х)те * 1(Н)). Мы называем группу С делимой группой, если С абелева, и для любого д Е С ип Е 2\{0} в С разрешимо уравнение хп = д. Для подгрупп Н и и группы С, где и нормальна в С, символ Н • и обозначает подгруппу {Ки | К Е Н, и Е и} в С. Короткой точной последовательностью групп мы называем последовательность групп вида:

1 ДС2 ДСэ ^ 1,

где (1 — мономорфизм, р2 — эпиморфизм, и образ совпадает с ядром р2. Символы Z(Н) и Н' обозначают центр и коммутант группы Н соответственно.

Теорема 3. Если группа Н такова, что существует,:

Т1) короткая точная последовательность групп вида 1 ^ Е ^ Н ^ А ^ 1, где Р есть неабелева свободная группа, и А есть группа, удовлетворяющая нетривиальному тождеству 1а;

Т2) делимая подгруппа Ц группы Н такая, что С X(Н) и П Н' = {1};

Т3) порождающее множество и = и-1 группы Н такое, что для любого и € и существуют такие элементы Еи>к (х,1а (Н)) € 1а( {х)ж) • 1а(Н *1а (н\ к = 1,...,пи, что (относительно х) система уравнений:

{Еи,к(х, 1а (Н)) = Еи,к (и,1А (Н)) | к = 1,...,пи)

имеет единственное решение в факторгруппе Н/Ц, то Н есть сильно вербально замкнутая группа.

Также в этом разделе устанавливается следующее утверждение, аналогичное, в определенном смысле, пункту 2) теоремы 1.

Утверждение. Если Н есть фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от бутылки Клейна, то Н есть ретракт любой конечно порожденной над Н группы С, содержащей Н в качестве вербально замкнутой подгруппы.

В разделе 3.2 мы приводим ряд примеров и следствий, демонстрирующих применение теоремы 3. В частности, в этом разделе мы, по сути, доказываем теорему 2 при дополнительных предположениях о том, что в пункте 2) индексирующее множество I конечно, и Н — {а,Ь | а2, Ь2) (см. лемму 12 и следствие 4).

Также в этом разделе мы устанавливаем следующее следствие, являющуюся «упрощенной версией» теоремы 3.

Следствие 3. Пусть 1 ^ Е ^ Н ^ А ^ 1 есть такая короткая точная последовательность групп, что Е есть свободная неабелева группа, а группа А удовлетворяет нетривиальному тождеству 1а. Тогда, если X(Н) есть делимая группа, X(Н)ПН' = {1} и найдутся такие элементы ¡1,...,$т € 1а(Н), что Сн (/ь..., /т) = % (Н), то Н есть сильно вербально замкнутая группа.

Раздел 3.3 посвящен доказательству теорем 2 и 3. Основную трудность здесь представляет доказательство теоремы 3, тогда как теорема 2 легко выводится из теоремы 3 и уже установленных фактов. Ключевую роль при доказательстве теоремы 3 играет следующая лемма, где символ х обозначает кортеж вида х1,... ,хп, а Е(х) есть свободная группа с базисом х1,..., хп.

Лемма 14. Пусть 1(Н) и I(Р(х^ суть вербальные подгруппы групп Н и Р(х), порожденные словом I соответственно. Если 1(Н) есть неабелева свободная группа, и Н есть вербально замкнутая подгруппа в группе С, то каждая система уравнений (относительно переменных х) вида:

{т^х, 1(Н)) = 1 | г=1,...,т}, (2)

где т^х, 1(Н)) Е 1(Р(х)) • 1(Н)Е(^)*1(н), имеющая решение в С, имеет решение в Н.

Доказательство леммы 14, как и доказательство пункта 1) теоремы 1 для случая не почти циклической группы Н, основано на использовании универсальных С -тестовых слов Ли.

В заключении перечисляются основные результаты работы, приводятся ряд результатов, которые планируется установить в дальнейшем, и формулируются некоторые открытые вопросы.

В частности, из установленных в работе результатов выводится следующая теорема. Теорема. Пусть:

1) Му есть множество всех почти свободных не почти циклических групп, не имеющих нетривиальных нормальных конечных подгрупп;

2) М/ есть множество всех групп вида * Вгде I есть любое множество, содержащие

*1

хотя бы два элемента, и Вг суть нетривиальные группы, удовлетворяющие нетривиальным тождествам (возможно, разным);

3) Мз есть множество всех фундаментальных групп замкнутых поверхностей c отрицательной эйлеровой характеристикой.

Тогда группа вида А х Н1 х • • • х Нп, где п ^ 0, А есть абелева группа, и все Нг Е Ми и М/ и Мв, сильно вербально замкнута.

Также в этом разделе мы приводим формулировки некоторых утверждений, которые планируется установить в дальнейшем. Помимо этого, мы формулируем несколько нерешенных проблем.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Антону Александровичу Клячко за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Общие и вспомогательные результаты

1.1 Основные определения, свойства и обозначения

В этом разделе мы фиксируем основные обозначения, вводим ряд ключевых для данной работы определений, а также устанавливаем ряд общих и вспомогательных утверждений.

Обозначения, которых мы придерживаемся, в целом стандартны. Если к Е 2, х и у суть элементы группы С, то записи ху, хку, х-у и х-ку обозначают элементы у-1ху, у-1хку, у-1х-1у и у-1х-ку группы С соответственно. Символы С' и Z(С) обозначают коммутант и центр группы С соответственно. Коммутатор, [х, у], элементов х и у группы мы определяем как х-1 у-1ху. Запись |С:Н| обозначает индекс подгруппы Н группы С. Если X есть подмножество группы С, то записи IX|, (X) и Сс^) обозначают соответственно мощность множества X, подгруппу группы С, порожденную множеством X и централизатор множества X в группе С. Записи (х)п, п Е N и (х)те обозначают соответственно циклическую группу порядка п и бесконечную циклическую группу, порожденную элементом х. Если А и В суть группы, то записи А * В, А * В, А х В и А х В обозначают соответственно свободное

С

произведение групп А и В, свободное произведение групп А и В с объединенной подгруппой С, полупрямое произведение групп А и В (где А есть нормальная подгруппа) и прямое произведение групп А и В. Символы Рп(х1,... ,хп) или Рп обозначают свободную группу ранга п (с базисом х1,... ,хп). Запись (Б | К) обозначает копредставление группы, заданное порождающим множеством Б и множеством определяющих соотношений между этими порождающими К. Символы ОЬга(Е) и ЯЬга(Е) обозначают полную линейную группу порядка п над полем Е и специальную линейную группу порядка п над полем Е соответственно. Иногда вместо записи вида х1,... ,хп мы используем запись вида х, записывая, например, т(х1,..., хп) как т(х), а Рп(х1,..., хп) как Р(х).

Перейдем к терминологии.

Пусть X = {Xi | г E N} есть счетное множество, элементы которого мы будем называть переменными (или неизвестными), а F(X) есть свободная группа с базисом X. Уравнением с неизвестными X\,... ,хп E X и константами (или коэффициентами) из Н мы будем называть произвольное выражение вида w(xl,... , хп, Н) = 1, где w(xl,... , хп, Н) есть слово в алфавите X U X-1 U Н (другими словами, w(xl,... ,хп, Н) есть элемент свободного произведения F(X) * Н групп F(X) и Н). Мы говорим, что уравнение w(xl,... ,хп, Н) = 1 имеет решение в группе G, если найдутся такие элементы Qi E G, i = 1,... ,п, что после подстановки xi ^ gi, г = 1,... ,п, мы имеем w(g l,..., дп, Н) = 1 в G.

Подгруппа Н группы G называется вербально замкнутой (в G) [21-23] (см. также [25], [47-51]), если любое уравнение вида w(х1,..., xn)h-1 = 1, где w(х1,..., хп) E Fn(х1,..., хп) и h E Н, имеющее решение в G, имеет решение в Н. Уравнения вида w(xl,... ,xn)h-1 = 1, где w(xl,...,xn) E Fn(xl,..., хп) и h E Н иногда называют расщепимыми (над Н), см., например, [23]; в дальнейшем вместо w(xl,... , хп)h-1 = 1 мы будем писать w(xl,... , хп) = h.

Подгруппа Н группы G называется алгебраически замкнутой (в G), если любая система уравнений вида:

[wi(xl, ... ,хп, Н) = 1 | i = 1,... ,т}, (1.1)

где wi (х1,... ,хп, Н) E Fn(xl,..., хп) * Н, i = 1,... ,т, имеющая решение в G, имеет решение в Н.

Подгруппа Н группы G называется ретрактом (группы G), если G представима как полупрямое произведение нормальной подгруппы N и подгруппы Н (т.е. G = N х Н). Несложно видеть, что подгруппа Н группы G является ретрактом тогда и только тогда, когда существует эндоморфизм р: G ^ Н, называемый ретракцией, такой, что pop = р.

Из приведенных определений легко вывести следующие утверждения:

- ретракт группы является алгебраически замкнутой подгруппой;

- алгебраически замкнутая подгруппа является вербально замкнутой подгруппой;

- условия быть вербально замкнутой подгруппой, быть алгебраически замкнутой подгруппой и быть ретрактом группы т,ранзит,ивны;

- прямые и свободные сомножители группы являются ее ретрактами (а следовательно, алгебраически и вербально замкнутыми подгруппами), тогда как обратное неверно (см., например, [[21], лемма 3.1]).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мажуга, Андрей Михайлович, 2018 год

Список литературы

[1] Hodges W. Model theory. — Cambridge University Press, 1993.

[2] Scott W.R. Algebraically closed groups // Proc. Amer. Math. Soc. — 1951. — Vol. 2, № 1. -P. 118-121.

[3] Szele T. Ein Analogon der Korpertheorie fUr abelsche Gruppen // Journ. reine u. angew. Math. — 1950 — Vol. 1950, № 188. — P. 167—192.

[4] Eklof P.C., Sabbagh G. Model-completions and modules // Ann. Math. Logic. — 1971. — Vol. 2, № 3. — P. 251-295.

[5] Macintyre A. On Algebraically Closed Groups // Ann. of Math. — 1972. — Vol. 96, № 1. — P. 53-97.

[6] Белеградек О.В. Об алгебраически замкнутых группах // Алгебра и логика. — 1974. — Т. 13, № 3. — С. 239-255.

[7] Белеградек О.В. Элементарные свойства алгебраически замкнутых групп // Fund. Math. — 1978. — Т. 98, № 2. — С. 83-101.

[8] Ziegler M. Algebraisch abgeschlossene Gruppen, in S.I. Adian, W.W. Boone and G. Higman (eds.), Word Problems II, The Oxford Book, North-Holland, Amsterdam 1980, P. 449—576.

[9] Higman G., Scott E. Existentially Closed Groups. — Oxford University Press, 1988.

[10] Maier B.J. On existentially closed and generic nilpotent groups // Israel J. Math. — 1983. — Vol. 46, № 3. — P. 170-188.

[11] Maier B.J. Existentially Closed Torsion-Free Nilpotent Groups of Class Three //J. Symb. Logic. — 1984. — Vol. 49, № 1. — P. 220-230.

[12] Maier B.J. Existenziell abgeschlossene Gruppen in nilpotenten Gruppenklassen, Dissertation, Albert-Ludwigs-Universitat, Freiburg, 1981.

[13] Saracino D. Wreath products and existentially complete solvable groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1974. — Vol. 197. — P. 327-339.

[14] Leinen F. Uncountable existentially closed groups in locally finite group classes // Glasgow Math. J. — 1990. — Vol. 32, № 2. — P. 153-163.

[15] Leinen F. Existentially closed locally finite p-groups //J. Algebra. — 1986. — Vol. 103, № 1. — P. 160-183.

[16] Martino A., Ventura E. Examples of retracts in free groups that are not the fixed subgroup of any automorphism // J. Algebra. — 2003. — Vol. 269, № 2. — P. 735-747.

[17] Bergm,an G.M. Supports of derivations, free factorizations, and ranks of fixed subgroups in free groups // Trans. Amer. Math. Soc. — 1999. — Vol. 351, № 4. — P. 1531-1550.

[18] Voce D.A. Test words of a free product of two finite cyclic groups // Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1997. — Vol. 40. — P. 551-562.

[19] Turner E.C. Test Words for Automorphisms of Free Groups // Bull. London Math. Soc. -1996. — Vol. 28, № 3. — P. 255-263.

[20] O'Neill J.C., Turner E.C. Test Elements and the Retract Theorem in Hyperbolic Groups // New York J. Math. — 2000. — Vol. 6. — P. 107-117.

[21] Myasnikov A., Roman'kov V. Verbally closed subgroups of free groups //J. Group Theory. — 2014. — Vol. 17, № 1. — P. 29-40.

[22] Романьков В.А., Хисамиев Н.Г. Вербально и экзистенциально замкнутые подгруппы свободных нильпотентных групп // Алгебра и логика. — 2013. — Т. 52, № 4. — С. 502525.

[23] Романьков В.А., Хисамиев Н.Г., Конырханова А.А. Алгебраически и вербально замкнутые подгруппы и ретракты конечно порожденных нильпотентных групп // Сиб. матем. журн. — 2017. — Т. 58, № 3. — С. 686-699.

[24] Lee D. On Certain C-Test Words for Free Groups // J. Algebra. — 2002. — Vol. 247, № 2. — P. 509-540.

[25] Roman'kov V.A. Equations over groups // Groups Complexity Cryptology. — 2012. — Vol. 4, № 2. — P. 191-239.

[26] Курош А.Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.

[27] Brauer R. On a Theorem of Frobenius // Amer. Math. Monthly. — 1969. — Vol. 76, № 1. — P. 12-15.

[28] Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: МЦНМО, 2011.

[29] Baumslag G., Myasnikov A., Roman'kov V. Two Theorems about Equationally Noetherian Groups // J. Algebra. — 1997. — Vol. 194, № 2. — P. 654-664.

[30] Гупта Ч.К., Романовский Н.С. Нётеровость по уравнениям некоторых разрешимых групп // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, № 1. — С. 46-59.

[31] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука, 1975.

[32] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.

[33] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic Geometry over Groups I. Algebraic Sets and Ideal Theory // J. Algebra. — 1999. — Vol. 219, № 1. — P. 16-79.

[34] Губа. В.С. Эквивалентность бессконечных систем уравнений в свободных группах и полугруппах конечным подсистемам // Матем. Заметки. — 1986. — Т. 40, № 3. — С. 321-324.

[35] Stallings J. Group theory and three-dimensional manifolds. — Yale University Press, 1971.

[36] Hoffman K., Kunze R. Linear Algebra (2nd Edition). — Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

[37] Robinson. D. A Course in the Theory of Groups. — Springer, 1995.

[38] Ivanov S.V. On Certain Elements of Free Groups // J. Algebra. — 1998. — Vol. 204, № 2. — P. 394-405.

[39] Lyndon R.C., Schupp P.E. Combinatorial Group Theory. — Springer-Verlag, 2001.

[40] Wise D.T. The residual finiteness of positive one-relator groups // Comment. Math. Helv. — 2001. — Vol. 76, № 2. — P. 314-338.

[41] Campbell C.M., Quick M.R., Robertson E.F., Smith G.C. Groups St Andrews 2005 Volume 1. — Cambridge University Press, 2007.

[42] Karrass A., Pietrowski A., Solitar D. Finitely generated groups with a free subgroup of finite index // J. Austral. Math. Soc. — 1973. — Vol. 16, № 4. — P. 458-466.

[43] Serre J.P. Trees. — Springer-Verlag, 1980.

[44] Gruenberg K.W. Residual Properties of Infinite Soluble Groups // Proc. Lond. Math. Soc. — 1957. — Vol. s3-7, № 1. — P. 29-62.

[45] Stillwell J. Classical Topology and Combinatorial Group Theory. — Springer-Verlag, 1995.

[46] Jaco W. On certain subgroups of the fundamental group of a closed surface // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1970. — Vol. 67, № 1. — P. 17-18.

Работы автора по теме диссертации

[47] Mazhuga A.M. Strongly verbally closed groups // J. Algebra. — 2018. — Vol. 493. — P. 171184.

См. также arXiv:1707.02464.

[48] Mazhuga A.M. On free decompositions of verbally closed subgroups of free products of finite groups // J. Group Theory. — 2017. — Vol. 20, № 5. — P. 971-986.

См. также arXiv:1605.01766.

[49] Клячко А.А., Мажуга А.М. Вербально замкнутые почти свободные подгруппы // Ма-тем. сб. — 2018. — Т. 209, № 6. — С. 75-82.

См. также arXiv:1702.07761.

[50] Klyachko A.A., Mazhuga A.M., Miroshnichenko V.Yu. Virtually free finite-normal-subgroup-free groups are strongly verbally closed //J. Algebra. — 2018. — Vol. 510. — P. 319-330.

См. также arXiv:1712.03406.

[51] Mazhuga A.M. Free products of groups are strongly verbally closed // См. arXiv:1803.10634 [34 pp.].

[52] Мажуга А.М. Вербально замкнутые подгруппы в свободных произведениях конечных групп // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2017» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2017. —

https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2017/data/ 10841/uid143582_report.pdf

[53] Мажуга А.М. Сильно вербально замкнутые группы // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2018» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2018. —

https://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2018/data/13558/72567uid143582_report.pdf