Вейвлет-анализ временной структуры космических магнитных полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Галягин, Денис Константинович

• Галягин, Денис Константинович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галягин, Денис Константинович

Введение.,,.

1 Методы анализа вариаций космических магнитных полей

1.1. Космические магнитные поля.

1.1.1. Магнитные поля планет

1.1.2. Магнитные поля звезд.

1.2. Методы анализа временных рядов.

1.2.1. Спектральный анализ

1.2.2. Непрерывное вейвлет-преобразование

2 Анализ магнитной активности астрофизических объектов

2.1. Солнечная активность.

2.1.1. Исходные данные (число групп солнечных пятен)

2.1.2. Общая структура солнечной активности 1610

2.1.3. Свойства основного цикла.

2.1.4. Анализ минимума Маундера.

2.2. Магнитная активность звезд солнечного типа.

2.2.1. МВО НК проект: данные наблюдений.

2.2.2. Адаптивные вейвлеты.

2.2.3. Анализ магнитной активности звезд.

2.2.4. Алгоритм Фостера и адаптивные вейвлеты . 80 2.3. Выводы по главе.

3 Вариации геомагнитного поля

3.1. Инверсии поля (шкала геомагнитной полярности)

3.2. Характеристики вектора напряженности геомагнитного поля.

3.2.1. Частота инверсий геомагнитной полярности.

3.2.2. Шкала геомагнитной полярности.

3.2.3. Модуль напряженности.

3.2.4. Вариации модуля напряженности геомагнитного поля.

3.2.5. Суммарная амплитуда вариаций направления.

3.2.6. Совместный анализ.

3.3. Локальные вариации напряженности геомагнитного поля за последние 4000 лет.

3.3.1. Археомагнитные данные.

3.3.2. Результаты анализа.

3.3.3. Корреляция коэффициентов вейвлет-разложения

3.4. Выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вейвлет-анализ временной структуры космических магнитных полей»

Актуальность проблемы. Магнитные поля играют важную роль в формировании структуры космических объектов. Современное представление о структуре и эволюции космических магнитных полей связано с понятием магнитогидродинамического динамо. МГД динамо - это явление генерации магнитного поля движущейся проводящей средой, возникающее при значительных магнитных и гидродинамических числах Рейнольдса и приводящее к сложной пространственно-временной структуре возникающих полей. В последние десятилетия были получены фундаментальные теоретические результаты, позволяющие описать процесс генерации крупномасштабного магнитного поля. Отсутствие экспериментов, позволяющих рассмотреть действие МГД динамо в лабораторных условиях, делает наблюдения за космическими магнитными полями практически единственным источником информации, состявляющим базу для теоретических работ по МГД-динамо.

В настоящее время накоплен значительный объем данных наблюдений за магнитной активностью Земли и Солнца. Развитие техники измерений позволили получить ряды данных о полярности магнитного поля, описывающих историю изменения геомагнитного поля на временнах, сравнимых с возрастом нашей планеты. К сожалению, значительно меньший отрезок времени обеспечен данными по величине и точной ориентации напряженности магнитного поля. Возрастающий интерес к астрофизическому динамо вызвал появление работ, посвященных реконструкции архивных данных, что позволило значительно увеличить длину временных рядов, касающихся в основном наблюдений за Солнцем. С другой стороны, происходит увеличение количества наблюдаемых объектов. В обсерватории Маунт Вильсон (США) в течении последних 30 лет производят наблюдения за 111 звездами солнечного типа.

Характерной чертой большинства астрофизических наблюдений являются сильная зашумленность, непродолжительность и наличие пробелов во временных рядах данных, связанных с сезонностью наблюдений, характером движения небесных тел, условиями наблюдения и т.д. Влияние этих факторов становится особенно существенным при анализе спектральных свойств сигналов и их изменчивости на временах, сопоставимых с длительностью временных рядов. Все это делает необходимым как улучшение качества набдюдений, так и поиск новых методов обработки данных и интерпретации результатов. Среди методов обработки сигналов наиболее распространен Фурье-анализ. Однако, его возможности ограничены при исследовании нестационарных квазипериодических сигналов, когда интерес представляет именно изменчивость спектральных свойств. В последнее десятилетие широкое развитие получил вейвлет-анализ, основанный на разложении исследуемого сигнала по функциям, локализованным как в физическом, так и в фурье-пространствах (идея метода была сформулирована в работе А.Гроссмана и Ж.Морле в 1984). В отличие от Фурье, вейвлет-разложение проецирует одномерный сигнал на полуплоскость время-частота, что позволяет разделять разномасштабные события и исследовать зависимость спектральных характеристик от времени.

Идеи, близкие идеям Гроссманна и Морле, использовались и в других областях науки. Так, с начала 80-х годов в ИМСС В.Зиминым и П.Фриком разрабатывались модели развитой турбулентности, основанные на представлении исследуемых полей по базисным функциям, локализованным в физическом и фурье-пространствах (по современной терминологии это вейвлет-базисы). С начала 90-х годов в лаборатории физической гидродинамики ИМСС начались работы по приложению вейвлет-анализа к исследованиям самых различных нелинейных гидродинамических систем. Первые попытки применения метода к анализу данных метеорологических наблюдений подтвердили его эффективность, но и выявили целый ряд специфических для обработки наблюдательных данных проблем [5].

Целью работы является адаптация методов вейвлет-анализа к задачам обработки данных наблюдений, разработка специальных алгоритмов для анализа данных с пробелами и их применение к обработке данных астро- и геофизических наблюдений.

Научная новизна

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразо-вания, предназначенный для спектрального анализа временных рядов с пробелами, не требующий предварительной подготовки (интерполяции) данных.

• Впервые проведен вейвлет-анализ вариаций характеристик геомагнитного поля. Проведен сравнительный анализ всех известных характеристик вектора напряженности магнитного поля

Земли за период времени, охватывающий 1700 млн.лет.

• Проведен вейвлет-анализ данных наблюдений солнечной активности за период 1610-1995 гг. Показано, что ослабление солнечной активности соответствует отрицательной производной вариаций периода основного солнечного цикла.

Научная и практическая ценность работы. Разработанный алгоритм адаптивных вейвлетов может быть использован в различных задачах спектрального анализа одномерных сигналов, содержащих пробелы. Также адаптивные вейвлеты могут применятся в случае коротких (в смысле отношения длины сигнала к основному периоду) сигналов.

Полученные результаты могут быть использованы при построении и верификации моделей МГД-динамо космических объектов.

Пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов, используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь; Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардском астрофизическом центре.

Работа выполнялась в рамках госбюджетной темы "Исследование развитой конвективной и магнитоконвективной турбулентности с reo- и астрофизическими приложениями" №ГР 01.960.011298, прек-тов РФФИ 94-01-00951-а, 95-02-16252-а и гранта CRDF №176100.

Достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и программ и сравнением полученых результатов, где это возможно, с результатами, полученными с помощью других методов.

Личный вклад автора. В работе [73] автору принадлежит разработка алгоритма непрерывного вейвлет-преобразования для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты, тестирование этого метода на модельных примерах и исследование его свойств. В работах [76, 81, 77] автором проведена вся вычислительная работа по вейвлет-анализу данных наблюдений. В работах [85, 82, 86, 87, 80, 83, 84, 74] вычисления выполнены совместно с М.Ю.Решетняком, а в работах [72, 79, 78, 75] с В.Г.Захаровым. Автором лично подготовлены использованные в работах алгоритмы и программы. Во всех работах автор принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации результатов.

Апробация работы. Основные результаты, приводимые в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинарах кафедры математического моделирования ПГТУ; на семинарах Института Механики Сплошных Сред, Пермь; на Х,Х1 и XII Зимней Школе по механике сплошных сред, Пермь, 1995,1997 и 1999; на конференции "Современные проблемы солнечной цикличности", С.Петербург, 26-30 мая 1997; на конференции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, 29 сент.-З окт. 1997; на конференции 17-th International Workshop SOLERS22, National Solar Observatory at Sacramento Peak, Sunspot, New Mexico, June 17-21, 1996.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Галягин, Денис Константинович

3.4. Выводы по главе

• Проведен вейвлет-анализ шкалы геомагнитной полярности для различных временных интервалов (170 млн.лет, 560 млн.лет, 1700 млн.лет). Полученные результаты дают возможность предположить, что пики в спектрах характеризуют времена релаксации

1.0 г

0.2 0

0.8 0.6

Рис. 3.16. Модуль коэффициента корреляции вейвлет-разложений: 1 - Болгария-Грузия; 2 - Средняя Азия-Болгария; 3 - Средняя Азия-Грузия. системы. Приведены оценки фрактальных свойств шкалы геомагнитной полярности. Выявлен излом в интегральном вейвлет-спектре на масштабе о, ~ 1 млн.лет, отсекающий вариации с характерными временами, меньшими 1 млн.лет, обусловленными непосредственно процессами геодинамо, от более медленных вариаций геологического происхождения. С помощью модельных сигналов исследован вопрос о возможности получения информации об изменениях магнитного поля по шкале инверсий. Показано, что наклон спектра шкалы инверсий всегда больше наклона спектра самого сигнала и может совпадать с ним при относительно простой структуре сигнала (например, в модели динамо Рикитаке).

• Проведен вейвлет-анализ данных изменений характеристик магнитного поля Земли за 1700 млн.лет, полученным по палеомаг-нитным данным. Показано, что большинство пиков, регистрируемых в интегральных спектрах, обусловлено не выраженными периодическими процессами, а локальными событиями с соответствующим временным масштабом. Проведен совместный анализ характеристик поля: изменения его полярности, интенсивности и направления.

• С помощью вейвлет-анализа, исследованы ряды изменения напряженности магнитного поля Земли за 4000 лет, полученные по ар-хеомагнитным данным для Болгарии, Грузии и Средней Азии. Показано, что во всех трех временных рядах надежно выделяется 1 750—летнее колебание. По корреляциям между вейвлеткоэффициентами найдены сдвиги фаз между колебаниями этого периода в различных регионах, соответствующие волне с долготным ходом с востока на запад со скоростью ~ 0, 2°/год.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• Разработан новый алгоритм непрерывного вейвлет-преобразова-ния, предназначенный для анализа данных с пробелами - адаптивные вейвлеты. Показана эффективность алгоритма при обработке коротких рядов.

• Проведен анализ данных наблюдений магнитной активности Солнца и ряда звезд солнечного типа с использованием стандартного и адаптивного вейвлет-разложения. Показано, что уменьшению солнечной активности соответствует отрицательная производная вариаций периода основного солнечного цикла. Исследованы вариации периодов звездных циклов.

• Проведен совместный анализ различных характеристик магнитного поля Земли за 1700 млн.лет. Показано отсутсвие периодических изменений в вариациях крупномасштабного поля. Исследован вопрос о возможности получения информации о спектральных свойствах геомагнитного поля по шкале инверсий.

• По корреляциям между вейвлет-коэффициентами для локальной напряженности геомагнитного поля за 4000 лет получено значение скорости распространения волны « +0, 2°/год.

• Написан пакет прикладных программ, реализующий расчеты с использованием непрерывного вейвлет-преобразования, адаптивных вейвлетов и визуализации результатов. Программы используются в Институте Механики Сплошных Сред УрО РАН, Пермь;

Институте Физики Земли РАН, Москва; институте Радиоастрономии, Бонн; Гарвардском астрофизическом центре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галягин, Денис Константинович, 2000 год

1. Ануфриев А.П., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Хейда П. // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-Т.37.-N.2.-0.166-172.

2. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основные теории и примеры применения // Успехи Физических Наук.-1996.-Т.166.-N.11.-С.1145-1168.

3. Бурлацкая С.П. Археомагнетизм. Изучение древнего геомагнитного поля. // М.:Мир.-1987.-247с.

4. Диденко А.Н. О связи глубинных и приповерхностных процессов в палеозое // Известия РАН: Физика Земли.-1997.

5. Захаров В.Г., Фрик П.Г. Применение вейвлет-анализа к задачам исследования загрязнения окружающей среды // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1994.-N.2.-0.28-42.

6. Зимин В.Д. Иерархические модели турбулентности // Известия АН СССР. Физика атмосферы и 0KeaHa.-1981.-T.17.-N.12.-С.1265-1273.

7. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике // М.:Недра.-1985.-400с.

8. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика: пер. с англ. В.Г.Петрова // М.:Атомиздат.-1978.С.144.

9. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаке // М.:Мир. сб.Новое в зарубежной науке. Странные аттракторы.-1981.-К. 22.-С. 164-192.

10. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое течение // М.:Мир. сб.Новое в зарубежной науке. Странные аттракторы.-1981.-К. 22.-С.88-116.

11. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. // М.-1980.-С.340.

12. Начасова И.Е., Бураков К.С. Вариации геомагнитного поля в Средней Азии в последние две тысячи лет. Анализ мировых данных // Геомагнетизм и аэрономия.-1995.-К.6.-С.150.

13. Начасова И.Е., Бураков К.С. Вариации напряженности геомагнитного поля в последние четыре тысячи лет по мировым данным // Доклады академии наук.-1997.-Т.353.-К.2.-С.255.

14. Начасова И.Е., Бураков К.С. Напряженность геомагнитного поля в Средней Азии во втором — первом тысячелетии до нашей эры // Известия РАН: Физика Земли.-1997.-N.7.-СЛ.

15. Начасова И.Е., Бураков К.С. Изменчивость возмущенности напряженности геомагнитного поля в последние семь тысячелетий// Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-]М.6.-С.150.

16. Паркер Е. Космические магнитные поля // М.:Мир.-1982.-Ч.2,-470с.

17. Петрова Г.Н., Нечаева Т.Б. Поспелова Г.А. Характерные изменения геомагнитного поля в прошлом // М.:Наука.-1992.-С.176.

18. Печерский Д.М., Нечаева Т.Б. Вариации направления и величины геомагнитного поля в фанерозое // Геомагнетизм и аэрономия.-1998.-Т.28.-N.5.-0.820.

19. Печерский Д.М. Зависимость суммарной амплитуды палеовари-аций направления геомагнитного поля от широты в неогее // Геомагнетизм и аэрономия.-1996.-Т.36.-N.5.-0.130.

20. Печерский Д.М. Некоторые характеристики геомагнитного поля за 1700 млн.лет // Известия РАН: Физика Земли.-1997.-^5.-С.11.

21. Печерский Д.М. Поведение палеоинтенсивности и других характеристик палеомагнитного поля в неогее // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-N.5.-0.11.

22. Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д. Фрактальный анализ временной шкалы геомагнитной полярности // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-N.4.-С.132.

23. Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д. // Геомагнетизм и аэрономия.-1997.-Т.37.

24. Печерский Д.М. // Известия АН: Физика Земли.-1997.-С.Ю00-1005.

25. Рикитаки Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. // Л.: Недра.-1968.-С.332.

26. Степанов P.A. Двумерная вейвлет-томография галактических полей // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1999.-N.7.-С.86-91.

27. Фрик П.Г. Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности // Препринт ИМСС УрО РАН, Пермь.-1992.-35с.

28. Altarac S. Analyse Temps-Frequence de donnees astronomiques // Rapport de stage, Institut de Physique et chimie Industrielle.-1995.

29. Anufriev A., Sokolofï D. // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics.-1994.-V.74.-P. 207-213.

30. Baliunas S., Soon W. Are Variations in the Length of the Activity Cycle Related to Changes in Brightness in Solar-Type Stars? // Astrophysical Journal.-1995.-V.450.-P.896.

31. Baliunas S., Sokoloff D.D., Soon W. Magnetic Field and Rotation in Lower Main-Sequence Stars: an Empirical Time-dependent Magnetic Bode's Relation? // Astrophysical Journal.-1996.-V.457.P.L99.

32. Baliunas S., Nesme-Ribes E., Sokoloff D., Soon W. A Dynamo Interpretation of Stellar Activity Cycles // Astrophysical Journal.-1996.-V.460.-P.848.

33. Blackett P.M.S. // Nature.-1947.-V.159.-P.658.

34. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Stud. Math.-1964.-V.24.-P.113-190.

35. Carbonell M., Ballester J.L. Search algorithm for weak periodicities in definite time intervals // Astronomy and Astrophysics.-1991.-N.249.-P.295.-297.

36. Clube S.V.M., Napier W.M. // Q.J.R.astr. Soc.-1996.-V.37.-P.617-642.

37. Cox A. A stochastic approach towards understanding the frequency and polarity bias of geomagnetic reversals // Phys. Earth. Planet. Int.-1981.-V.24.-P. 178-190.

38. Cox A. Length of geomagnetic polarity intervals // J.Gephys.Res.-1968.- V.73.-P.3247.

39. Daubechies I. Ten lectures on wavelet // SIAM, Philadelphia.-1992.

40. Donoho D.L., Wavelets: theory, Algorithms and Applications // ed. C.K. Chui, L. Montefusco and L. Puccio.-1994.-P.233.

41. Foster G. Wavelets for period analysis of unevently sampled time series // Astrophysical Journal.-1996.-V.112.-N.4.-P. 1709-1729.

42. Frick P., Grossmann A., Tchamitchian P. Wavelet analysis of signals with gaps // Journal of mathematical physics.-1998.-V.39.-N.8.-P.4091-4107.

43. Frick P., Nesme-Ribes E., Sokolof D.Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups and solar diameter data // Acta Astronomica et Geophisica Universitatis Comenianae XIX.-1997.-P. 113121.

44. Gafíin S. Phase difference between sea level and magnetic reversals rate // Nature.-1987.-V.329.-P.816-819.

45. Gabor D. Theory of communication //J. Inst. Electr. Eng.-1946.-V.93.-P.429-457.

46. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Numerical simulations of the geodi-namo // Acta Astronómica et Geophisica Universitatis Comenianae XIX.-1997.-P. 125-143.

47. Grossmann A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J. Math. Anal.-1984.-V.15.-N.4.-P.723-736.

48. Haar A. Zur Theorie der Ortogonalen Funktionensysteme // Gottingen.-1909.

49. Harland, W.B., Armstrong, R., Cox, A., Craig, L., Smith, A., Smith, D. A geologic time scale // NY: Cambridge University Press.-1989.-P.210.

50. Holschneider M. Wavelets: Tool of analysis // Oxford: Oxford University Press.-1995.-P.423.

51. Home J.H., Baliunas S.L. A prescription for period analysis of unevenly sampled time series // Astrophysical Journal.-1986.-V.302.-P.757-763.

52. Hoyt D.V., Schatten K.H. New information on solar activity, 17791818, from Sir William Herschel's unpublished notebooks // Astro-physical Journal.-1992.-V.384.-P.361.

53. Hoyt D.V., Schatten K.H. A new look at Wolf sunspot numbers in the late 1700's // Solar Physics.-1992.-V.138.-N.2.-P.387-397.

54. Hoyt D.V., Schatten K.H. Nesme-Ribes E. The one hundredth year of Rudolf Wolf's death: Do we have the correct reconstruction of solar activity? // Geophysical Research Letters.-1994.-V.21.-P.2067.

55. Irving E., Pullaiah G. Reversals of the geomagnetic field, magne-tostratigraphy and relative magnitude of paleosecular variation in the Phanerozoic // Earth Sci. Rev.-1976.-V.12.-P.35-64.

56. Jacobs, J.A. Reversals of the Earth's Magnetic Field // Cambridge: Cambridge University Press.-1994.-P.346.

57. Larmor Sir Joseph // Brit. Assoc. Rep.-1919.-P.159.

58. Lawrence J.K., Cadavid A.C., Ruzmaikin A.A. Turbulent and Chaotic Dynamics Underlying Solar Magnetic Variability // Astrophysical Journal.-1995.-V.455.-P.366.

59. Littlewood J., Paley P. Theorem on Fourier series and power series // Proc. London Mathematical Society.-1937.-V.42.-N.2.-P.52-89.

60. Lutz T.M., Watson G.S. Effects of long-term variation on the frequency spectrum of geomagnetic reversal record // Nature.-1988.-V.334.-P.240.

61. Marzocchi W., Mulargia F. The periodicity of geomagnetic reversals 11 Phys. Earth Planet Int.-1992.-V.73.-P.222-228.

62. Mazaud A., Laj C., de Seze L., Verosub K.L. 15-Myr periodicity in the frequency of geomagnetic reversals since 100 Myr // Nature.-1983.-V.304.-P.328.

63. Merrill R., McElhinny M.W. The Earth's Magnetic Field // Academic, San Diego, Calif.-1983.-P.401.

64. Meyer Y. Les ondelettes, algorithmes et applications // Armand Colin, Paris.-1992.

65. Nesme-Ribes E., Frick P., Sokoloff D., Zakharov V., Ribes J. C., Vigouroux A., Laclare F. Wavelet analysis of the Maunder minimum as recorded in solar diameter data // C. R. Acad. Sci. Paris.-1995.-V.321. Series IIb.-P.525-532.

66. Ochadlick A.R., Kritikos H.N., Giegengack R. Variations in the period of the sunspot cycle // Geophysical Research Letters.-1993.-V.20.-N.14.-P. 1471-1474.

67. Ribes E., Merlin Ph., Ribes J.C., Barthalot R. Absolute periodicities in the solar diameter, derived from historical and modern data // Annales geophysicae.-1989.-V.7.-P.321-329.

68. Scargle J.D. Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data // Astro-physical journal.-1982.-N.263.-P.835-853.

69. Torresani В. Analyse continue par ondelettes // Paris: Savoirs Actuels.-1995.

70. Wilcox J.Z., Wilcox T.J. Algorithm for extraction of periodic signals from sparse, irregularly sampled data // Astronomy and Astrophysics, Supplement series.-1995.-N.112.-P.395-405.

71. Wolf R., Naturf. Gesell. Bern. Mitt.-1851.-V.l.-P.89.

72. Галягин Д.К., Захаров В.Г., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ системы Лоренца // X Зимняя Школа по механике сплошных сред, Пермь.-1995.-С.68-69.

73. Галягин Д.К., Фрик П.Г. Адаптивные вейвлеты (Алгоритм спектрального анализа сигналов, известных с пробелами в данных) // Математическое моделирование систем и процессов, ПГТУ, Пермь.-1996.-N.4.-С. 10.

74. Frick P., Galyagin D., Pechersky D., Reshetnyak M., Sokoloff D., Tsaplina E. A statistical approach to geomagnetic polarity time scale // European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Part II, Supplement II to Volume 14.-1996.-P.635.

75. Frick P., Baliunas S.L., Galyagin D., Soon W.H. Wavelet analysis of stellar chromospheric activity variations // Astrophysical Journal.-1997.-V.483.-P.426.f

76. Frick P., Galyagin D., Hoyt D., Nesme-Ribes E., Shatten K., Sokoloif D., Zakharov V. Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups. // Astronomy and Astrophysics.-1997.-V.328.-N.12.-P.670-681.

77. Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Фрик П.Г., Соколов Д.Д. Стохастические модели шкалы инверсий геомагнитного поля //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1997.-С. 100.

78. Галягин Д.К., Балиунас СЛ., Фрик П.Г., Соколов Д.Д., Су-ун В.Ч. Вейвлет-анализ хромосферной активности звезд //XI Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1997.-С. 19.

79. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ геомагнитного поля в неогее // Тезисы конфеенции "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", Борок, Научный совет по геомагнетизму, М.-1997.-С.26.

80. Галягин Д.К., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Скей-линг геомагнитного поля и шкалы геомагнитной полярности. Доклады РАН.-1998.-Т.360.-N.4.-C.541-544.

81. Burakov К., Galyagin D., Frick P., Nachasova I., Reshetnyak M., Sokoloff D. Wavelet analysis of archeomagnetic data over the last 4000 years // Geologica Carpathica.-1998.-V.49.-N.3.-P.206.

82. Бураков К.С., Галягин Д.К., Начасова И.Е., Решетняк М.Ю., Соколов Д. Д., Фрик П.Г. Вейвлет-анализ вариаций напряженности геомагнитного поля за последние четыре тысячи лет // Известия РАН: Физика Земли.-1998.-Т.34.-К.9.-С.83-88.

83. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г. Спектральный анализ характеристик геомагнитного поля в неогее // XII Зимняя Школа по механике сплошных сред, Тезисы докладов, Пермь.-1999.-С.122.

84. Галягин Д.К., Печерский Д.М., Решетняк М.Ю., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Вейвлет-анализ магнитного поля в неогее // Известия РАН: Физика Земли.-2000.-Т.36.-1Ч.4.-С.82-89.