Вариационный метод синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием регуляризации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Дерябкин, Игорь Владимирович

• Дерябкин, Игорь Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Дерябкин, Игорь Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

1.1 Анализ методов идентификации параметров динамических систем

1.2 Математическая постановка задачи динамической идентификации

1.3 Выводы

2 СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА -ОСТРОГРАДСКОГО И МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

2.1 Необходимое условие минимума функционала невязки в решении задачи идентификации параметров динамических систем с использованием принципа Гамильтона - Остроградского

2.2 Выражение для градиента расширенного функционала и алгоритм поиска

Ё точки экстремума на основе итерационной регуляризации

* 2.3 Синтез уравнений непрерывной последовательной идентификации параметров динамических систем на основе метода инвариантного погружения

2.4 Дискретный алгоритм идентификации параметров динамических систем с использованием конечно - разностной аппроксимации

2.5 Выводы

3 АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РАЗРАБОТАННОГО АЛГОРИТМА НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОЦЕНКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЗАТРАТ

3.1 Анализ качества функционирования алгоритма идентификации параметров на примере динамической системы второго порядка

3.2 Сравнительный анализ разработанного алгоритма идентификации и расширенного фильтра Калмана по объему вычислительной трудоемкости

3.3 Исследование устойчивости алгоритма идентификации параметров динамических систем при воздействии шумов наблюдения

3.4 Оценка зависимости точности определения параметров от числа итераций

процедуры идентификации разработанного алгоритма

3.5 Выводы по разделу

4 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ТИПОВЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ПРИМЕНЕНИЮ

4.1 Критерии эффективности функционирования САУ

4.2 Связь показателей качества с параметрами модели САУ

4.3 Математическое моделирование процессов идентификации параметров в типовых системах автоматического регулирования

4.3.1 Линейные системы автоматического регулирования

4.3.2 Нелинейные системы автоматического регулирования

4.3.3 Анализ полученных результатов

4.4 Научно-обоснованные рекомендации по практическому применению алгоритма

4.5 Устройство идентификации параметров систем управления на основе цифрового многокаскадного фильтра

4.5.1 Моделирование режимов работы устройства при к=Ъ

4.5.2 Моделирование режима работы устройства при итеративной оценок параметра

4.5.3 Моделирование режима работа устройства идентификации параметров системы с нелинейной упругостью

4.6 Выводы по разделу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Вариационный алгоритм параметрической идентификации для системы

механического типа (MathCAD v. 14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Вариационный алгоритм параметрической идентификации для системы термоэлектрического типа (MathCAD v. 14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Вариационный алгоритм параметрической идентификации для системы магнитоэлектрического типа (MathCAD v. 14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Модель функционирования САУ подвески транспортного средства (MathCAD

v.14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Модель функционирования САУ асинхронного электродвигателя постоянного

тока (MathCAD v.14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Модель функционирования САУ с использованием механического акселерометра

(MathCAD v.14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

Модель функционирования САУ типа математического маятника (MathCAD

v.14.0 MathsoftEngineering&Education)

ПРИЛОЖЕНИЕ 8

Модель функционирования ФАПЧ (MathCAD v.14

MathsoftEngineering&Education)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационный метод синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием регуляризации»

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития науки и техники увеличивается число задач, для решения которых используют информационно-управляющие системы. К таким задачам можно отнести управление различными технологическими линиями или процессами, двигательными и генераторными установками, летательными аппаратами, контроль и измерение параметров, реализацию сложных научных экспериментов в астрофизике и ядерной физике. Развитие информационных технологий и элементной базы также способствует широкому применению информационно-управляющих систем [109].

На их эффективность влияет множество факторов. Например, показатели и параметры управляемой системы, которые характеризуют качество и устойчивость процессов управления и поэтому должны оцениваться как.во время проектирования, так и непосредственно в процессе функционирования в различных реальных условиях: при строго определенных детерминированных воздействиях, при действии внешних и внутренних случайных факторов, в том числе, и при имитации ситуаций, на которые система должна реагировать в соответствии со своим назначением [90]. Однако объект управления является частью технологического процесса, и изменение его статических и динамических характеристик далеко не всегда возможно. Поэтому чтобы достичь высокого качества регулирования технологических процессов, часто прибегают к приемам рационального выбора параметров закона управления, регулирующего органа с учетом особенностей характеристик объекта управления, оптимального размещения измерительных преобразователей и их характеристик, фильтрации результатов измерений и коррекции динамических погрешностей [106, 8].

Как известно [17, 43], качество информационно-управляющих систем оценивается с использованием большого числа разнообразных критериев эффективности, которые характеризуют их работу в переходном и установившемся режимах. При этом между параметрами системы управления и критериями эффективности существует зависимость. Часто ее получают с

использованием гипотезы о приближенной эквивалентности динамических свойств замкнутой системы регулирования произвольного порядка свойствам колебательного звена второго порядка [124].

Несмотря на разную конструкцию и принцип действия, дифференциальными уравнениями второго порядка описываются большинство динамических звеньев информационно-управляющих систем. Это связано с тем, что в основе процедуры построения математической модели динамической системы лежат физические законы, определяющие ее поведение. Так, например, для механических систем справедлив вариационный принцип Гамильтона-Остроградского, из которого следует уравнение Лагранжа второго рода. В тоже время Максвеллом была показана возможность применения этого уравнения к электрическим цепям, если за обобщенные координаты принять величину количество электричества. - _

Выбор в качестве обобщенных координат различных механических и электрических физических величин позволяет свести к уравнению Лагранжа второго рода математические модели различных динамических систем с сосредоточенными параметрами. Необходимо отметить, что высокие порядки уравнений состояния получаются, как правило, в результате комбинаций различных звеньев информационно-управляющих систем или применения искусственных математических приемов, например, обеспечивающих компактную запись сложных динамических систем [124, 68].

Следовательно, чтобы обеспечить высокую эффективность современных информационно-управляющих систем необходимо точно знать уравнения состояний динамических звеньев. Часто построение их на основе измерительного эксперимента является мерой необходимой, но не достаточной. Это связано с тем, что внешние условия, как и свойства самих динамических звеньев, могут не соответствовать расчётным, изменяться с течением времени или быть неизвестными заранее. Например, со временем в электрических цепях конденсаторы высыхают, а механические преобразователи подвержены коррозии, образованию трещин и другим факторам. В таких случаях для получения точного

математического описания используют различные методы, основанные на решении задач идентификации систем управления.

Идентификация параметров информационно-управляющих систем позволяет увеличить их срок службы, уменьшить затраты на переоборудование и многое другое. Своевременное определение изменений в параметрах позволяет предотвратить возможные ошибки и сбои в работе систем управления.

Систематическому изложению теоретических и практических вопросов идентификации посвящена книга одного из основоположников теории идентификации профессора Эйкхоффа П. [123]. В книге даны основные понятия модели, постановки задач идентификации, изложены базовые подходы к решению задач построения моделей для различных классов объектов, способов их описания, используемых сигналов при разных подходах и алгоритмах идентификации. Данная работа содержит многие аспекты теории идентификации и по настоящее время используется при изучении проблем построения и всестороннего анализа моделей процессов или систем.

Также среди значимых работ по идентификации динамических систем, следует отметить книги следующих авторов: Гропа Д. [28], Сэйджа Э.П. и Мелса Дж. Л. [106,107], Льюнга Л. [88], а среди отечественных Цыпкина Я.З. [118,119], Райбмана Н.С. [100], Штейнберга Ш.Е. [119] и др.

Несмотря на наличие большого числа исследований по проблемам идентификации, требования по построению современных систем управления часто не выполняются во многих практически важных случаях поскольку задачи идентификации даже линейных динамических систем, в конечном итоге приводят к необходимости решения нелинейной экстремальной задачи.

При этом следует отметить важную особенность моделей систем управления - они, как правило, удовлетворяют уравнениям Лагранжа второго рода, которые являются следствием фундаментального принципа Гамильтона -Остроградского. Используемые на практике иной раз модели динамических систем в виде динамических звеньев первого порядка являются лишь уместным для частных случаев приближением Лагранжевых систем.

Необходимо отметить, что в последние годы получило распространение новое направление исследований, основанное на использовании инвариантных свойств динамических систем в виде вариационных принципов, на основе которого успешно решены многочисленные экстремальные задачи оценки, управления и идентификации [10, 30-35, 39, 53, 54, 56, 58, 62, 72-82]. Подход получил в литературе наименование объединенный принцип максимума.

Анализ результатов полученных на основе объединенного принципа максимума позволяет утверждать, что решение экстремальной задачи обладает свойствами точности, устойчивости и высокой скорости сходимости в сравнении с традиционными методами.

Особенность задачи идентификации обусловлена тем, что она относится к классу обратных задач [18, 26], которые, как правило, решаются в целях интерпретации полученных в эксперименте измерений, и в силу этого является некорректной [18, 111]. Поэтому возникают известные проблемы обеспечения требуемой точности, однозначности и устойчивости решения задачи идентификации под действием различных факторов некорректности. В связи с этим возникает задача использования положительных характеристик различных методов.

Таким образом, можно констатировать, что в настоящее время:

1) Требования к построению информационно - управляющих систем, часто не выполняются из-за недостаточно высокой эффективности решения задач идентификации динамических систем;

2) Существует положительный опыт применения методологии объединенного принципа максимума, позволяющего увеличить точность, устойчивость и скорость идентификации, при уменьшении вычислительных затрат;

3) Необходимость обеспечения однозначности и устойчивости решения задач идентификации требует использование методов регуляризации.

Анализ данных факторов позволяет сделать заключение об актуальности задачи разработки нового метода идентификации на основе методологии

объединенного принципа максимума (анализа вариации расширенного функционала) [10, 30-35, 39, 53, 54, 56, 58, 62, 72-82] и метода регуляризации [111, 114].

Цель исследования - повысить точность, скорость сходимости и устойчивость параметрической идентификации информационно-управляющих систем в сравнении с традиционными методами.

»

Научная задача исследования заключается в разработке вариационного метода синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием регуляризации, обеспечивающего повышение точности, устойчивости и скорости сходимости оцениваемых параметров.

Объект исследования - динамические модели информационно-управляющих систем.

Предмет исследования - процесс идентификации параметров-динамической модели информационно-управляющих систем.

Решение поставленной научной задачи исследования требует рассмотрения ряда частных задач:

- получение необходимого условия минимума целевого функционала, характеризующего точность оценки параметров;

- получение уравнения параметрической идентификации динамических систем с использованием инвариантного погружения;

- разработка метода параметрической идентификации параметров динамических систем на основе объединенного принципа максимума и итерационной регуляризации;

- анализ качества функционирования алгоритма идентификации параметров информационно-управляющих систем;

- оценка эффективности применения разработанного метода идентификации параметров информационно-управляющих систем и выработка практических рекомендации по его применению.

Методы исследования: в диссертационной работе теоретические исследования проведены с использованием методов вариационного анализа,

итерационной регуляризации. При проведении экспериментальных исследований использовались численные методы машинного моделирования и вычислительного эксперимента с использованием языков высокого уровня программирования.

По итогам исследований получены следующие новые научные результаты: представлена новая форма постановки задачи параметрической

идентификации динамических систем, удовлетворяющих принципу Гамильтона>

Остроградского (с. 32-36);

разработан новый вариационный метод синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием регуляризации (с. 37-42);

- синтезирован новый алгоритм параметрической идентификации динамических систем, обеспечивающий повышение точности, устойчивости и

- ~ скорости сходимости оцениваемых параметров (с. 42-51); ---

- получено новое техническое решение, представляющее собой цифровой фильтр оценки параметров динамических систем (с. 98-111).

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

- представлена новая форма постановки задачи параметрической идентификации динамических систем, удовлетворяющих принципу Гамильтона-Остроградского, отличающаяся использованием интегральных ограничений в виде действия по Гамильтону;

разработан новый вариационный метод синтеза алгоритмов идентификации параметров динамических систем с использованием итерационной регуляризации, отличающийся от известных применением оригинальной формы анализа вариации расширенного функционала и явной формой выражения для градиента расширенного функционала;

- получены уравнения нового алгоритма идентификации параметров информационно-управляющих систем, обеспечивающие повышение точности и быстродействия идентификации и отличающиеся от известных наличием дифференциальных уравнений функции чувствительности;

- получены научно-обоснованные рекомендации по практическому применению алгоритма идентификации параметров и техническое решение, представляющее собой устройство цифрового многокаскадного фильтра и отличающееся от известных возможностью получения уточняемых оценок идентифицируемых параметров.

Обоснованность полученных в работе результатов подтверждается положительными заключениями экспертов на работы автора, опубликованные по исследуемой проблеме в журналах, рекомендованных ВАК для кандидатских диссертаций, полученным патентом на оригинальное техническое решение и свидетельствами на программы для ЭВМ, положительными отзывами специалистов на доклады на Всероссийских и Международных конференциях, корректным использованием теории вариационного исчисления и итерационной регуляризации.

Достоверность результатов подтверждается обоснованным выбором исходных данных и допущений, непротиворечивостью основных теоретических выводов широко известным, достаточно полным анализом публикаций по исследуемой проблеме, а так же согласованностью результатов имитационного моделирования и теоретических положений.

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в развитии теории идентификации динамических систем.

Практическая значимость результатов состоит в том, что применение разработанных алгоритмов позволяет:

- повысить точность идентификации параметров динамических систем по совокупности результатов модельных примеров в среднем на 3-5%;

- увеличить скорость сходимости к идентифицируемым параметрам с применением разработанного алгоритма в среднем в 1,3 - 2 раза;

- снизить вычислительные затраты в среднем в 1,5 - 1,7 раз;

- довести до уровня защищенного патентом технического решения полученные на основе вариационных принципов алгоритмы идентификации параметров динамических систем.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

- вариационный метод параметрической идентификации динамических систем на основе использования итерационной регуляризации, обеспечивающий повышение точности и скорости сходимости оцениваемых параметров к их действительным значениям при снижении в сравнении с известными методами вычислительных затрат (с. 37-42);

- алгоритм параметрической идентификации на основе разработанного метода, обеспечивающий высокую точность и устойчивость процедуры идентификации (с. 42-51);

- применение разработанного алгоритма идентификации позволяет повысить эффективность функционирования САУ в сравнении с традиционным алгоритмом Калмана по интегральному критерию в среднем на 8% и по быстродействию в среднем на 7,2% (с. 96); '

- научно-обоснованные рекомендации по практическому применению разработанного алгоритма и новое техническое решение, представляющее собой устройство цифрового многокаскадного фильтра (с. 98-111).

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планом научной работы Донского Государственного Технического Университета.

Всего по теме диссертации опубликовано 18 научных трудов:

статей - 5 [36,29,30,32,39];

патентов - 1 [96];

программы для ЭВМ - 4 [103, 104, 105,102];

тезисов докладов - 6 [38,31,35,33,37,34];

отчетов о НИР - 2 [94, 95]; из них в издательствах по перечню ВАК по теме диссертации опубликовано 5 работ.

Работа выполнялась в соответствии с грантами Рособразования:

- № 2012-1.4-12-000-2017-3122, от 14.11.2012 г. «Механико-математический синтез оптимальных информационных, управляющих и навигационных систем» [94]

- № «2012-1.4-12-000-2004-001, от 17.08.2012г. «Поиск путей создания и исследования smart - технологий для доступа к широкополосным мультимедийным услугам» [95].

- № 14.В37.21.0781, «Разработка архитектурных, технологических и схемотехнических основ проектирования специализированных микросхем для обработки сигналов фотоприемников нового поколения и мостовых резистивных датчиков» ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- плановых научно-технических конференциях ЮРГУЭС (г. Ростов-на-Дону, 2009-2013 г.);

- 3-й МНК «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Ростов^1 на" Дону, 2010г.) [38,31,35];

- МНК "Высокие технологии, исследования, промышленность" (г. Санкт-Петербург, 2010г.) [33, 37];

- 3-й МНПК «Современные проблемы радиоэлектроники» (г. Ростов — на — Дону, 2012г.) [34].

Наиболее важными научными работами являются:

1. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B. Итеративные регуляризированные алгоритмы обработки измерительной информации. // Вестник компьютерных и информационных технологий, №11, 2010 г. - С. 3 - 9. (Лично автору принадлежат результаты моделирования алгоритма обработки измерительной информации в информационно-измерительных и управляющих системах) [29].

2. Дерябкин И.В. , Андрашитов Д.С. Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B. Синтез алгоритма автономного управления математическим маятником на основе объединенного принципа максимума. // Известия высших учебных заведений. Северо - Кавказский регион. Технические науки, 2010, №3(155), С. 9-15 (Лично автору принадлежит обзор и анализ методов и

алгоритмов управления динамическими системами и результаты моделирования) [30].

3. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С. Костоглотов A.A., Оруджева A.A. Оценка индекса трендового прогнозирования на основе итерационной регуляризации. // Научный вестник МГТУ ГА, 2011, № 169 (7), С. 26-32. (Лично автору принадлежит математическая модель индекса прогнозирования и моделирование процесса его оценки) [36].

4. Дерябкин И.В. , Андрашитов Д.С. Костоглотов A.A., Лазаренко C.B. Вариационный метод многопараметрической идентификации динамических систем на основе итерационной регуляризации. // Радиотехника, № 5, 2012. (Лично автору принадлежит математическое обоснование вариационного метода синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием регуляризации) [32]. ~ ~

5. Дерябкин И.В. , Костоглотов A.A., Лазаренко C.B., Чеботарев A.B., Ценных Б.М. Метод идентификации параметров динамических систем на основе совмещенного с физическими принципами синтеза. // Нелинейный мир, 2012, №11, С. 801 - 809 (Лично автору принадлежит численное моделирование алгоритма идентификации параметров динамических систем на основе совмещенного с физическими принципами синтеза) [39].

Научные результаты и практические рекомендации реализованы в ФГБОУ ВПО «МГУТУ имени К.Г.Разумовского», ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», ФГАОУ ВПО «Донской государственный технический университет».

Диссертационная работа содержит введение, четыре главы, заключение, список литературы и 8 приложений.

В первой главе проведен обобщенный анализ задачи управления информационно-измерительными системами и выявлена проблема повышения эффективности процесса получения достоверной модели поведения объекта в предполагаемых условиях эксплуатации или при проведении тестов систем управления и экспериментов с ними. Предложено в качестве путей разрешения

данной проблемы использовать параметрическую идентификацию, показано, что задача такого рода является обратной и некорректной. Поэтому при ее решении возникают проблемы связанные обеспечением устойчивости процесса идентификации, что ограничено возможностями существующих методов параметрической идентификации при необходимости обеспечения высокой точности и скорости сходимости оцениваемых параметров к действительным значениям.

Выполненный обзор и проведенный анализ получивших распространение методов решения обратных некорректных задач позволил обоснованно выбрать математический аппарат для идентификации параметров динамических систем, в виде совместного использования аппарата объединенного принципа максимума и итерационной регуляризации.

-----На основе анализа- современных-публикаций показано,- что использование

естественных, природных свойств объекта в виде вариационного принципа Гамильтона-Остроградского, позволяет получить устойчивое решение обратной задачи с высокой точностью и скоростью сходимости оцениваемых параметров к их действительным значениям [53, 56, 58]. Применение при решении обратных некорректных задач итерационной регуляризации позволяет за счет последовательного уточнения [52, 59] повысить точность оцениваемых параметров при рациональных вычислительных затратах,.

Совместное использование данных методов предполагает создание нового устойчивого метода идентификации, обладающего высокой точностью, устойчивостью и скоростью сходимости оцениваемых параметров к действительным значениям [32, 39].

В заключение главы сформулирована математическая постановка задачи.

Вторая глава диссертации посвящена разработке нового метода параметрической идентификации динамических систем. В его основе классическая постановка экстремальной задачи с позиций системного подхода. При этом новизна постановки экстремальной задачи и ее решения в форме решения задачи синтеза заключается в построении расширенного функционала,

учитывающего ограничение на возможные решения в плане динамики процесса идентификации в виде действия по Гамильтону [62, 87] и стабилизирующего функционала А.Н.Тихонова [111]. Критерием качества выступил целевой функционал, характеризующий минимум погрешностей измерений.

Поиск необходимого условия его минимума потребовал определения стационарной точки, в которой градиент расширенного функционала равняется нулю. При этом исследуется приращение функционала в зависимости от игольчатого варьирования возмущения по состоянию системы и возмущения по параметрам системы, откуда следует необходимое условие минимума функционала в форме двухточечной краевой задачи (ДТКЗ). Применение метода инвариантного погружения [106] к такой ДТКЗ позволило получить уравнения нового вариационного метода синтеза алгоритмов параметрической идентификации динамических систем с использованием ретуляризации.

В соответствии с разработанным методом получены уравнения, и синтезирован алгоритм последовательной идентификации математических моделей динамических систем.

В третьей главе проведена оценка качества разработанного алгоритма с использованием математического моделирования.

Приведены результаты сравнительного анализа вычислительной трудоемкости разработанного алгоритма и расширенного фильтра Калмана.

Исследована устойчивость фильтра Калмана и разработанного алгоритма при воздействии шумов наблюдений различной интенсивности, что позволило сделать заключение о преимуществах последнего.

Проведена оценка скорости сходимости идентифицируемых параметров динамической системы механического типа [51, 124]. Сравнение осуществлялось с фильтром Калмана, при этом было установлено, что он уступает по точности и скорости сходимости оцениваемых параметров к их истинным значениям разработанному алгоритму.

Исследована устойчивость ФКБ и разработанного алгоритма при различном уровне белого гаусовского шума в модели наблюдения. Исследуемая

система представляет собой динамическую систему второго порядка термоэлектрического типа. Анализ полученных зависимостей позволил сделать выводы:

1. Использование второй итерации разработанного алгоритма позволяет увеличить точность идентификации при скорости сходимости к действительным параметрам примерно соответствующей скорости сходимости оценок фильтра Калмана

2. Первая итерация разработанного алгоритма менее подвержена воздействию шумов, чем вторая и фильтр Калмана, что может быть использовано при построении слабо чувствительных к шумам (робастных) алгоритмов идентификации.

Решение тестовой задачи идентификации при двух итерациях оценок параметров математической модели динамической Системы второго'порядка, показало, что точность оценки параметров на второй итерации по отношению к первой увеличилась.

В четвертой главе проведена оценка эффективности применения разработанных алгоритмов идентификации в типовых системах автоматического управления, выработаны научно-практические рекомендации по их применению.

Представлены результаты проведенного анализа используемых критериев эффективности функционирования систем автоматического управления (далее САУ) и их связей с параметрами математической модели, что говорит о существенной зависимости качества процессов управления от точности идентификации параметров, что подтверждается результатами математического моделирования.

На основе численного моделирования показано, что алгоритмы идентификации обеспечивают увеличение эффективности управления динамической системой даже в случае, когда параметры математических моделей непосредственно не входят в синтезированную обратную связь.

С использованием математического моделирования проведена оценка качества разработанной алгоритма (2.12) в задачах идентификации параметров

линейных и нелинейных систем управления по критериям точности идентификации на основе интегральной оценки (4.5) и длительности процесса регулирования. Установлено, что качество процессов управления в линейных и нелинейных динамических системах существенно зависит от точности идентификации параметров математической модели. Проведенный анализ показал, что применение разработанного алгоритма идентификации. позволяет повысить эффективность функционирования САУ в сравнении с традиционным алгоритмом Калмана по интегральному критерию в среднем на 8% и по быстродействию в среднем на 7,2%.

Выработанные на основе анализа результатов моделирования научно-практические рекомендации по применению алгоритма идентификации в контуре системы управления и общая структура схема устройства цифрового многокаскадного фильтра позволяют сделать вывод о практической реализуемости предлагаемых алгоритмов на базе ЦВМ, обеспечивающих повышение точности идентификации параметров динамических систем и скорости их сходимости в сравнении с ФК. Рассмотрены различные режимы работы представленного устройства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дерябкин, Игорь Владимирович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Atencia М. A..Estabilidad en SistemasNeuronalesRealimentados. Aplicaci'on al Control. PhD thesis, Departamento de Tecnolog'iaElectr'onica, Universidad de M'alaga, 2004.

2. Aviation Week and Space Technology, 2000, 17/VII, vol. 153. N3. p. 70 -

71.

3. Bar-Shalom Y., Chang K.C., Tracking a maneuvering target using input estimation versus the interacting multiple model algorithm // IEEE Trans.- 1989,- Vol. AES 25, № 2.

4. Berg R.F., Estimation and prediction for maneuvering target trajectories // IEEE Trans..- 1983.- Vol. AES 28, № 3.

5. EftekharAzam, S., Ghisi, A. and Mariani, S. Parallelized sigma-point Kalman filtering for structural dynamics, Computers and Structures, 92-93, pp. 193— 205 (2012).

6. Farooq M., Bruder S. Comments on tracking a maneuvering target using input estimation // IEEE Trans..- 1989.- Vol. AES 25, № 2.

7. Geering, H.P. Optimal Control with Engineering Applications, Springer, 2007. ISBN 978-3-540-69437-3

8. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME J, Series D, J. Basic Eng., 1960, v. 82D. pp. 34 - 45.

9. Kostoglotov A.A. and Taran V.N. The use of predictive model method to solve inverse problems of gas dynamics. - J. Appl. MathsMechs., 1994. Vol. 58, No. 5. pp.865-871

10. Kostoglotov A.A. Solution of Fuller's problem on the basis of the joint Pontryagin - Hamilton - Ostrogradskii principle - Automatic Control and Computer Sciences, 2007, Vol. 41, No. 4. pp. 179 - 187.

11. Malatkar, P. and Nayfeh, A. A parametric identification technique for single-degreeof-freedom weakly nonlinear systems with cubic nonlinearities,Journal of Vibration and Control, 9, pp. 317-336 (2003).

12. RobertF. Stengel. OPTIMAL CONTROL AND ESTIMATION // PrincetonUniversity, 2012 - URL: http://www.princeton.edu/~stengeyOptConEst.html

13. Sinkiewicz J.S. Low-cost inertial systems and fibre optic gyroscopes//4th Saint Petersburg Inter. Conf. on Integrated Navigation System, May 26-28, 1997. -СПб: ЦНИИ «Электроприбор», 1997. -P.398-409.

14. Uras S, Girosi F., Verri A., and Torre V., "A computational approach to motion perception", Biological Cybernetics, 1988.

15. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. M.: Высш. шк., 1989. 263 с.

16. Александров В.М., Нестеров A.A. Применение оптимального управления для улучшения характеристик аналоговых измерительных приборов // Автометрия. 1967. №6. С. 105 - 111.

17. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, УДК 519.6, - 223 с.

18. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

19. Баскаков. Радиотехнические цепи и сигналы. М, 1988. 466с.

20. Бессонов А. А., Загашвили Ю.В., Маркелова А. С. Методы и средства идентификации динамических объектов // JI: Энергоатомиздат, 1984,280 е.

21. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана - Бьюси. М.: Наука, 1982.

210 с.

22. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.400 с.

23. Водовозов A.M., Елюков A.C. Идентификация параметров асинхронной машиныв установившихся режимах // Вестник ИГЭУ, 2010 г., №3. С. 1-3.

24. Воронов A.A. Теория автоматического управления. Т. 2. - М. В.шк.,

1977.

25. Воронова A.A. Теория автоматического управления. В двух частях. М.: Высшая школа, 1986. - 844 с.

26. Воскобойников Ю.Е. Устойчивые методы решения обратных измерительных задач. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2007. 184 с.

27. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954. 492 с.

28. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. 302 с.

29. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С, Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B. Итеративные регуляризированные алгоритмы обработки измерительной информации// Вестник компьютерных и информационных технологий. 2010. №11. С. 3 - 9.

30. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С, Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B., Синтез алгоритма автономного управления математическим маятником на основе объединенного принципа максимума// Известия высших учебных заведенийг Северо Кавказский регион. Технические наукиг2010. № 3(155). С. 9-15.

31. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И., Лазаренко C.B. Аналитическое конструирование оптимального по энергетическим затратам регулятора с использованием объединенного принципа максимума. // Сборник трудов 3 МНК «Современные проблемы радиоэлектроники», Ростов - на - Дону, 2010, С. 134 - 136.

32. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Лазаренко C.B. Вариационный метод многопараметрической идентификации динамических систем на основе итерационной регуляризации. // Изд-во «Радиотехника», Успехи современной радиоэлектроники № 6, 2012. С. 67 — 72.

33. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Лазаренко C.B. Метод комплексной оценки параметров измерительных процессов на основе объединенного принципа максимума // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: Доклад. Сборник трудов 9 международной НПК. С. - Петербург. 2010. Т.1. С. 111 - 114.

34. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Лазаренко C.B. Алгоритм идентификации параметров состояния сложных технических систем на

основе объединенного принципа максимума и итерационной регуляризации.// Сборник трудов 4 МНПК «Современные проблемы радиоэлектроники», Ростов -на-Дону, 2012, С. 218-221.

35. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Лазаренко C.B., Чеботарев A.B. Синтез алгоритмов комплексной оценки параметров измерительных процессов на основе объединенного принципа максимума. // Сборник трудов 3 МНК «Современные проблемы радиоэлектроники», Ростов - на -Дону, 2010, С. 144-150.

36. Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Оруджева И.В., Оценка индекса трендового прогнозирования на основе итерационной регуляризации // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 169 (7). С.26-32.

37. Дерябкин И.В., Дмитренко Г.Н., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A. Адаптивный алгоритм оценки параметров динамических систем на основе метода-минимальных ошибок // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности: Доклад. Сборник трудов 9 международной НПК. С.-Петербург. 2010. Т. 1. С. 141 - 145.

38. Дерябкин И.В., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко С.В.Регуляризированные алгоритмы обработки измерительной информации на базе градиентных методов. // Сборник трудов 3 МНК «Современные проблемы радиоэлектроники», Ростов - на - Дону, 2010, С. 116-118.

39. Дерябкин И.В., Костоглотов A.A., Лазаренко C.B., Ценных Б.М. Метод идентификации параметров динамических систем на основе совмещенного с физическими принципами синтеза. // Нелинейный мир №11, 2012. С. 801-809.

40. Дилигенская А.Н. Идентификация объектов управления. Самара. 2009. 136с.

41. Дорф Р. Бишоп Р. Современные системы управления // Лаборатория базовых знаний - 2002

42. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Сов. радио, 1978. 384 с.

43. Желтиков О.М. Основы теории управления. Конспект лекций. -Самара, СГТУ, 2008. - URL: http://www.jelomak.ru/pager.htm.

44. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984г. 541с.

45. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.576 с.

46. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1984.-752 с.

47. Катаргин М. Ю. Алгоритм среднеквадратичной оценки ориентации космических аппаратов и его погрешности // Космические исследования. - 1986. -т. 14. - №6

48. Катковник В .Я. Непараметрическая идентификация // М.: Наука, 1985,

336с.

49. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатомиздат, 1994.

50. Колос М.В. Методы оптимальной линейной фильтрации/ под ред. Морозова В.А. М.: МГУ, 2000г. 102с.

51. КоптеваЮ.Н., Датчики теплофизических и механических параметров: справ. В 3 т. Т. I (кн. 1); М.: ИПРЖР, 1998. 508 с.

52. Костоглотов A.A. Интеллектуализация измерительных процедур // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Доклад. 3-я Международная конференция. 2000. Том 2. Москва С. 142 - 148.

53. Костоглотов A.A. Метод идентификации параметров голономных систем на основе аппарата асинхронного варьирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 2. С. 86-92.

54. Костоглотов A.A. Метод идентификации параметров Лагранжевых систем // Автоматика и вычислительная техника. - 2001. № 5 — С.41-48.

55. Костоглотов A.A. Метод последовательных приближений в задачах фильтрации // Автоматика и вычислительная техника. 2000. №3.

56. Костоглотов A.A. Объединенный принцип максимума. // Цифровая обработка сигналов и ее применение: Доклад. 3-я Международная конференция. 29 ноября - 1 декабря 2000 г. Том 1. Москва, Россия. - С. 94 - 98.

57. Костоглотов A.A. Цифровая интеллектуальная измерительная процедура // Измерительная техника. 2001. №1. С - 8-14.

58. Костоглотов A.A., Костоглотов А.И., Дерюшев В.В. Идентификация параметров динамических систем на основе объединенного принципа максимума. // Известия вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. 2004. № 2. С. 16 -23.

59. Костоглотов A.A., Кузнецов A.A. Итеративная измерительная процедура оценки параметров групповой меры. // Научная мысль Кавказа. Приложение. 2003. №7 (48). С.98 - 106.

----------------------60 Костоглотов АтАг, Кузнецов A.A. "Синтез^ алгоритма оценки

параметров движения летательного аппарата на основе метода скорейшего спуска. // Автоматика и вычислительная техника. 2004. №4. С.53-62.

61. Костоглотов A.A., Таран В.Н. Субоптимальная оценка параметров динамических систем// А и Т. 1997. №4.

62. Костоглотов А.И., Костоглотов A.A. Динамика конструкций и сооружений: учебник. Ростов-на-Дону: МО РФ, УМО, 2004. 472 с.

63. Красовский А. А. Проблемы физической теории управления // А и Т, 1990. № 11

64. Красовского A.A. Справочник по теории автоматического управления; М.: Наука, 1987.712 с.

65. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988.

66. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: учеб. для студентов университетов и вузов в 3 т. Т. 3. М.: Высш. шк., 1989. 352 с.

67. Кузнецов A.A., Костоглотов A.A. Синтез интеллектуальной измерительной процедуры на основе метода минимальных ошибок. // Измерительная техника. 2005. №7. С.8-13.

68. Костоглотов А.И., Попов О.С., Шевцова JI.A. Теория транспортного оборудования. Учебное пособие. МО 1992

69. Кузнецов Б.Ф. Стохастические модели и методы анализа информационно - измерительных систем АСУ ТП - Архангельск 2007, 180 с.

70. Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. - М.: Радио и связь, 1986.-272 с.

71. Куропаткин П.В. Теория автоматического управления. - М.: Высшая школа, 1973. - 527 с.

72. Лазаренко С.В.,Абдрашитов Д.С., Костоглотов A.A. Алгоритм обработки результатов траекторных измерений маневрирующего летательного аппарата // Современные проблемы создания, испытания и эксплуатации сложных технических систем ракетных комплексов. Сборник научных трудов. Известия

------251,2012, С. 498-503. ; ------------------------------------------

73. Лазаренко С.В.,Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И. Оптимальное управление и параметрическая идентификация механических систем на основе объединенного принципа максимума // Современные проблемы создания, испытания и эксплуатации сложных технических систем ракетных комплексов. Сборник научных трудов. Известия 251, 2012, С. 493 -498.

74. Лазаренко С.В.,Абдрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Кузнецов А. А.,Многопараметрическая идентификация конструктивных параметров методом объединенного принципа максимума // Вестник компьютерных и информационных технологий, №11, 2010, С. 3 - 9.

75. Лазаренко С.В.,Абдрашитов Д.С., Костоглотов А.А.,Пинчук A.B., Шупляк Д.Е. Алгоритм идентификации параметров динамических систем с использованием принципа Гамильтона-Остроградского // Известия ВА РВСН им. Петра Великого, №248, 2012. С. 315 - 321.

76. Лазаренко С.В.,Абдрашитов Д.С., Орлов Н.Н.Синтез оптимального управления объектом для задачи попадания в точку с использованием объединенного принципа максимума; // Известия ВА РВСН им. Петра Великого, №248, 2012. С. 21-26.

77. Лазаренко C.B.,АндрашитовД.С.,Костоглотов А.А Алгоритм идентификации параметров состояния технических систем ракетных комплексов на основе объединенного принципа максимума и итерационной регуляризации. // Современные проблемы создания, испытания и эксплуатации сложных технических систем ракетных комплексов. Сборник научных трудов. Известия 251,2012, С. 488-493.

78. Лазаренко C.B., Костоглотов A.A., Пугачев И.В., Чеботарев A.B.Синтез оптимальной по быстродействию системы фазовой автоподстройки частоты на основе объединенного принципа максимума Десятая юбилейная МНПК «Актуальные вопросы современной техники и технологии», Липецк, 2013, С. 84-86.

79. Лазаренко C.B., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И. Объединенный принцип максимума ~ в задачах "оценки" параметров движения маневрирующего летательного аппарата // Радиотехника и электроника, 2009. №4 (54). С. 450 -457.

80. Лазаренко C.B., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И. Объединенный принцип максимума в задаче синтеза оптимального управления нелинейными системами // Автоматика и вычислительная техника, 2007, №5, С. 52-62.

81. Лазаренко C.B., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И. Шевцова Л.А. Синтез оптимального управления на основе объединенного принципа максимума // Известия высших учебных заведений. Северо - Кавказский регион. Технические науки, 2010, №2, С. 31 - 37.

82. Лазаренко C.B., Костоглотов A.A., Костоглотов А.И., Чеботарев A.B. Метод механико-математического синтеза при построении оптимального управления механическими системами. // Современные проблемы науки и образования. 2012. № 6. С. 16 - 23.

83. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений. М,: Физматгиз, 1962. 320 с.

84. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука, 1974. - 696 с.

85. Лукас В.А. Теория автоматического управления. - М.: Недра, 1990. -

416 с.

86. Лукьянов Д.П., Корниенко A.A., Рудницкий Б.Е. Оптические адаптивные системы. - М.: Радио и связь, 1989. - 240 с.

87. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 453 с.

88. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М. .: Наука, 1991.432 с.

89. Льюнг Л. Идентификация систем—теория для пользователя // М.: Наука, 1991,432 е.

90. Малевинский М.Ф. Математические методы и алгоритмы обработки информации при идентификации динамических систем, дис. д-ра техн. наук: 05.13.01/ Малевинский Михаил Федорович - Тверь72004. 309с.

91. Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1989. -312 с.

92. Новосельцева Ж. А. Априорная информация в задачах оптимальной фильтрации // Автоматика и телемеханика. - 1968. - №6.

93. Новые концепции общей теории управления: Сборник научных трудов / Под ред. А. А. Красовского. Москва-Таганрог: ТРТУ, 1995.

94. НТО по НИР АВЦП Рособразования «Механико-математический синтез оптимальных информационных, управляющих и навигационных систем». РАСЮРГУЭС, 2012. «№ 2012-1.4-12-000-2017-3122», от 14.11.2012 г. Дерябкин И.В., Безуглов Д.А., Костоглотов A.A. и др., всего 15 чел. - 2012г. 261с.

95. НТО по НИР АВЦП Рособразования «Поиск путей создания и исследования smart - технологий для доступа к широкополосным мультимедийным услугам». РАСЮРГУЭС, 2012. «2012-1.4-12-000-2004-001», от 17.08.2012 г. Дерябкин И.В., Безуглов Д.А., Костоглотов A.A. и др., всего 15 чел. -2012г. 105с.

96. Патент №2436228. Россия. 2011. Цифровой интеллектуальный

многокаскадный фильтр. // Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B., Чеботарев A.B.

97. Понтрягин Л.С. - Принцип максимума в оптимальном управлении -М.: Едиториал УРСС, 2004 - 67 с.

98. Прэтт У. Цифровая обработка изображений, т.1,2 - М.: Мир,1981

99. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. - М.: Наука, 1985. - 560 с.

100. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1970. 118 с.

101. Репин В.Г., Таратаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. - М.: Сов. Радио, 1977.

102. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. «Алгоритм многопараметрической идентификации параметров динамических

систем на основе комплексного использования методов вариационного анализа и---

инвариантного погружения»//Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A., Лазаренко C.B. (РФ).- Свидетельство № 2011619236 от 30.11.2011.

103. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. «Итеративный алгоритм оценки параметров измерительных процессов на основе метода минимальных ошибок»/ Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Безуглов Д.А., Костоглотов A.A., Кузнецов A.A. (РФ)- Свидетельство № 2010616572 от 01.10.2010.

104. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. «Итеративный алгоритм оценки параметров измерительных процессов на основе метода скорейшего спуска»/ Дерябкин И.В., Дмитренко Г.Н., Безуглов Д.А., Костоглотов A.A., (РФ).- Свидетельство № 2010616568 от 01.10.2010.

105. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. «Цифровой фильтр на основе объединенного принципа максимума»/ Дерябкин И.В., Андрашитов Д.С., Безуглов Д.А., Костоглотов A.A. (РФ).- Свидетельство № 2011613980 от 23.05.2011.

106. Сейдж Э.П., Мелса Дж. JI. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. 248 с.

107. Сейдж Э.П., Мелса Дж. JI. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. 248 с.

108. Снайдер Д. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи. М.: Энергия, 1973.

109. Сурков Д.М. Помехоустойчивые методы идентификации информационно-измерительных и управляющих систем. : дис. канд. техн. наук: 05.11.16 / Сурков Денис Михайлович - Астрахань. 2006. 140 с.

110. Таран, В.Н. Пространственно-временная фильтрация состояния распределенных систем / В.Н. Таран; Ростов-на-Дону: РВВКИУ РВ, 1998. - 224 с.

111. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

112. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983.

113. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. 608с.

114. Тихонов, А.Н. Статистическая обработка результатов экспериментов / А.Н. Тихонов, М.В. Уфимцев. М.: Изд. МГУ, 1988. 206 с.

115. Фалькович С.Е., Пономарев В.И., Шкварко Ю.В. Оптимальный прием пространственно-временных сигналов в радиоканалах с рассеянием. - М.: Радио и связь, 1989.

116. Фарина А., Студер Ф. Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение целей: Перевод с англ. М.: Радио и связь, 1993. 319с.

117. Харкевич A.A. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 275с.

118. Цыпкин Я.3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1970. 399 с.

119. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984. 320 с.

120. Цыпкин Я.З. Основы теории обучающихся систем. - М.: Наука, 1970.

121. Шахгильдян B.B. Ляховкин A.A. Системы фазовой автоподстройки частоты М.: Связь, 1972

122. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления - М.: Энергоатомиздат, 1987, 80 с.

123. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.-686с.

124. Яблонский H.A., Норейко С.С. Курс теории колебаний: учеб. пособие для студентов втузов, изд. 3-е, испр. и доп. М.: Высшая школа, 1975. 248 с.