Вариационный метод расчета трехмерных конструкций на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Сахбиев Олег Миргасимович

• Сахбиев Олег Миргасимович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Сахбиев Олег Миргасимович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Краткий обзор развития метода конечных элементов

ГЛАВА 2. Вариационный метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных упругих конструкций в декартовой системе координат

2.1. Основные соотношения теории упругости для декартовой системы координат

2.2. Построение аппроксимирующих функций для трехмерных шестигранных областей с криволинейными гранями

2.3. Вариационный метод расчета трехмерных конструкций сложной формы в декартовой системе координат

2.4. Особенности численной реализации

2.4.1. Решение систем уравнений

2.4.2. Вычисление производных

2.4.3. Вычисление интегралов

2.4.4. Формирование матрицы жесткости

2.5. Нумерация неизвестных постоянных в аппроксимирующей функции

2.6. Порядок нумерации узлов подобластей

2.7. Построение аппроксимирующих функций для трехмерных областей с плоскими гранями

ГЛАВА 3. Вариационный метод определения напряженно-

деформированного состояния трехмерных упругих конструкций в

криволинейной системе координат

3.1. Основные соотношения теории упругости в криволинейной

системе координат

2

3.2. Построение аппроксимирующих функций для трехмерных

областей в криволинейной системе координат

3.3. Вариационный метод расчета трехмерных конструкций в криволинейной системе координат

3.4. Особенности численной реализации

3.4.1. Решение систем уравнений

3.4.2. Вычисление производных

3.4.3. Вычисление интегралов

3.5. Частные случаи использования криволинейных систем координат

3.5.1. Цилиндрическая система координат

3.5.2. Сферическая система координат

3.6. Учет ортотропии материала при расчете конструкций

ГЛАВА 4. Тестовые примеры и результаты расчетов

4.1. Декартовая система координат

4.2. Криволинейная система координат

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Современные технические сооружения должны отвечать требованиям безопасности, надёжности и долговечности. Для разработки сложных технических изделий также очень важна стоимость разработки и время создания. Выполнение этих требований для многих отраслей промышленности, например, таких как строительство, химическая промышленность, машиностроение, авиастроение, ракетостроение, подразумевает под собой расчеты элементов конструкции и всей конструкции на прочность. Такое положение вещей обуславливает постоянное совершенствование методов расчета на прочность. Среди множества различных методов расчета на прочность широкое распространение получил численный метод конечных элементов (МКЭ), основанный на различных формулировках. Одними из главных преимуществ по сравнению с другими методами является его универсальность, эффективность, простота и удобство при численной реализации.

В настоящее время предложено большое количество реализаций метода конечных элементов, которые по способам получения основных соотношений можно отнести к трем видам [53]: прямой, вариационный, основанный на принципе стационарности функционала энергии, и резидуума, основанный на вариантах математических методов взвешенных невязок.

Бурное развитие МКЭ началось, по существу, с появлением компьютеров. С развитием вычислительной техники и языков программирования возможности метода постоянно расширялись, также расширялся и класс решаемых задач. Появились формулировки МКЭ на основе вариационных принципов, которые, в отличие от прямого метода, одинаково успешно применяется как к элементам простого, так и сложного видов.

Самым распространенным и универсальным является подход, основанный на использовании энергетических принципов, вытекающих из закона сохранения энергии: принцип возможных изменений напряженного

состояния, принцип возможных перемещений, принцип возможного изменения напряженно-деформированного состояния.

Принципу возможных перемещений соответствует вариационный принцип Лагранжа. При такой реализации МКЭ неизвестными величинами являются перемещения узловых точек, которые подлежат определению, и на основании которых определяются деформации и напряжения с помощью известных соотношений.

Принципу возможных изменений напряженного состояния соответствует принцип минимума дополнительной энергии или вариационный принцип Кастильяно. В этом случае в качестве узловых неизвестных используются усилия [11, 26, 95, 96, 118].

Принципу возможного изменения напряженно-деформированного состояния соответствуют гибридные и смешанные принципы Рейсснера, Ху-Васидзу и др. В этой реализации МКЭ узловыми неизвестными конечных элементов являются перемещения, усилия или напряжения [8, 11, 41 - 44, 46, 54, 78, 81, 93, 120, 144, 145, 149, 151, 159, 162, 164, 169 - 171, 173, 177, 181].

В подавляющем большинстве работ по МКЭ, как правило, метод используется в вариационной форме метода перемещений, в котором используется функционал Лагранжа [9 - 11, 28 - 30, 34, 39, 49, 56, 60, 65, 68, 73, 74, 79, 80, 83, 94, 96, 98, 100, 111 - 113, 122 - 128, 133, 135, 136, 139, 146, 148, 150, 152, 153, 155, 157, 158, 160, 161, 163, 167, 168, 172, 175, 180, 182].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационный метод расчета трехмерных конструкций на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями»

Актуальность исследования.

В настоящее время методы расчета на прочность сложных конструкций являются достаточно развитыми. Однако, в силу того, что создаются новые материалы, составленные из неоднородных компонентов, проектируются все более сложные конструкции, возникают новые вычислительные возможности и т.п., возникает необходимость совершенствования методов расчета.

Особое место в расчетах на прочность занимает расчеты на прочность тонкостенных конструкций, что обусловлено широким использованием тонкостенных элементов в технике. Достаточно очевидны преимущества использования таких элементов: благодаря своей конфигурации с одной стороны они являются достаточно легкими, с другой стороны они обладают достаточной прочностью и жесткостью, что в конечном итоге делает их использование технически и экономически обоснованным.

Классические теории тонких оболочек и пластин разработаны достаточно полно. Основные положения теории тонкостенных конструкций можно найти в работах и монографиях [6, 18, 19, 22, 25, 37, 40, 69, 71, 82, 85, 88 - 91, 115, 117], основные положения теории тонкостенных прямолинейных и криволинейных стержней отражены в [20, 23, 110, 114, 119].

Для расчета тонкостенных элементов конструкций сложной формы практически невозможно применять разрешающие уравнения теории тонкостенных конструкций. Возможность получать аналитические решения существует в основном только для некоторых видов конструкций сложной формы при простых случаях нагружения, поэтому для решения прикладных задач используются обычно приближенные или численные методы.

Существует достаточно много численных методов расчета тонкостенных конструкций. Отметим, что наиболее распространенными из них являются: вариационные методы (Бубнова-Галеркина, метод Ритца, наименьших квадратов, метод конечных элементов и др.), метод коллокации, метод граничных элементов, метод конечных разностей.

В вариационных методах для нахождения решения вводят аппроксимирующие функции с неопределенными коэффициентами, часть коэффициентов находят из граничных условий, а оставшиеся находят из уравнений, которые следуют из вариационных соотношений. Однако выбор аппроксимирующих функций для тонкостенных конструкций сложного очертания является сложной [134], а часто практически невозможной задачей.

В методе коллакации дифференциальные уравнения удовлетворяются точно, а краевые условия дискретно. Метод коллокации предполагает произвольность в выборе точек коллокации, что является безусловным недостатком этого метода.

В методе конечных разностей при решении системы дифференциальных уравнений осуществляется замена производных разностными схемами. Для расчетной области строится сетка. Точность полученного решения полностью зависит от степени измельчения сетки, однако при стремлении шага сетки к нулю также к нулю стремится и определитель разрешающей системы. Кроме того, учет граничных условий очень часто является громоздкой и трудно программируемой задачей.

В методе граничных элементов (МГЭ) производится переход от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. МГЭ предполагает дискретизацию лишь границы области, что снижает на единицу геометрическую размерность исходной задачи. К недостаткам этого метода также можно отнести чрезмерная зависимость от выбора сетки вблизи углов. Например, решая задачу о длинной балке в двумерной постановке результаты «скачут» при выборе другой сетки вблизи угловых точек [101, 108]. Фактически для двух разных сеток получаются, существенно, разные решения, причем сгущение сетки не приводит к сходимости. Кроме того, отсутствует критерий, по которому можно определить какая из сеток является более предпочтительной. Данный факт делает практическое использование данного метода для многих задач малоэффективным.

Расчет составных конструкций, производится в основном вариационными методами, в частности методом конечных элементов. Как уже было сказано выше, в настоящее время МКЭ является наиболее распространенным.

В последние десятилетия по вопросам разработки новых конечных элементов, в частности трехмерных, опубликовано достаточно много работ.

Для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкостенных конструкций методом конечных элементов используются два подхода. При первом подходе решение задачи строится на основе теории оболочек, определяющие уравнения в которой получаются с использованием некоторых упрощающих гипотез. В этом случае задача становится двумерной, и для ее решения используются различные двумерные конечные элементы [2, 32, 33, 122 - 128, 135], либо одномерной в случае расчета стержней [110]. При втором подходе построение конечных элементов производится на основе трехмерных уравнений теории упругости [41, 102, 103, 129 - 132]. Повышение размерности задачи, конечно, усложняет ее решение. Однако это позволяет получать более точные результаты в зонах концентрации напряжений, поскольку часто там возникают пластические деформации и использование упрощающих гипотез о недеформировании нормали становится неприемлемым. Во многих случаях использование трехмерных конечных элементов фактически является безальтернативным.

В настоящее время существует множество конечных элементов, но не существует универсального конечного элемента одинаково хорошего для расчетов самых различных задач.

Поэтому совершенствование МКЭ в трехмерной постановке и разработка новых трехмерных конечных элементов для расчетов тонкостенных элементов конструкций является актуальным и представляет практический интерес.

Цель исследования заключается в разработке вариационного метода определения напряженно-деформированного состояния упругих тел, основанного на использовании функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации, позволяющего производить расчеты как трехмерных конструкций, так и тонких оболочек сложной формы. Как известно расчет тонких оболочек трехмерными конечными элементами в декартовой системе координат происходит неудовлетворительно, поэтому для таких расчетов ставилась цель решения этих задач в криволинейной системе координат. Представленный метод, также как и МКЭ, использует

аппроксимации в пределах подобласти (конечный элемент). Отличия предложенного метода от МКЭ состоят в том, что не все константы в аппроксимирующих функциях имеют физический смысл. Предполагалось создание нового трехмерного конечного элемента, который реализуется как в декартовой, так и криволинейной системах координат.

Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Получены разрешающие уравнения в декартовой системе координат для новых трехмерных аппроксимирующих функций произвольного порядка. Таким образом, предложен принципиально новый трехмерный шестигранный конечный элемент. При решении этой задачи использовалась дополнительная криволинейная система координат, которая связывалась с декартовой системой специальными соотношениями.

2. Получены разрешающие уравнения в криволинейной системе координат для новых аппроксимирующих функций произвольного порядка. Новый конечный элемент реализован в криволинейной системе координат, что сделало возможным проводить расчеты тонких оболочек. Рассчитаны на прочность цилиндрические и сферические тонкие оболочки.

3. Решена задача о расчете произвольных сложных трехмерных тонкостенных ортотропных конструкций.

4. Решена задача о расчете многослойных тонкостенных ортотропных конструкций.

Предмет исследования: Напряженно-деформированное состояние при линейном деформировании тел.

Методы исследования - теория механики деформируемого твердого тела, методы аппроксимации, вариационные методы, методы тензорного анализа, методы линейной алгебры, вычислительные методы математики, методы объектно-ориентированного программирования.

На защиту выносятся:

1. Способ аппроксимации перемещений твердых тел в трехмерной декартовой и криволинейной системах координат на основе функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации.

2. Способ построения трехмерного криволинейного шестигранного конечного элемента на основе предложенной аппроксимации.

3. Алгоритм формирования матриц жесткости объемных конечных элементов на основе предложенного метода.

4. Методика определения напряженно-деформированного состояния тонких изотропных и ортотропных оболочек на основе трехмерных уравнений теории упругости без использования упрощающих гипотез о недеформировании нормали.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

1. Предложен алгоритм построения аппроксимирующих функций произвольного порядка для трехмерного тела в виде шестигранника с гладкими криволинейными гранями в декартовой и криволинейной системах координат.

2. Предложен вариационный метод определения напряженно -деформированного состояния трехмерных конструкций на основе функций с конечными носителями произвольного порядка.

3. Разработана методика использования нового трехмерного шестигранного конечного элемента для расчета тонкостенных конструкций без упрощающих гипотез о недеформировании нормали как в декартовой, так и в криволинейной системах координат.

4. Предложено аппроксимировать перемещения в локальной трехмерной криволинейной системе координат конечного элемента, что позволило использовать один и тот же алгоритм вычисления производных и интегралов для шестигранных конечных элементов вне зависимости от формы поверхностей произвольной формы.

5. Предложен алгоритм расчета трехмерных ортотропных оболочек с помощью представленного метода.

Практическое значение исследования.

1. Разработан вариационный метод, основанный на использовании аппроксимирующих функций с конечными носителями произвольного порядка, позволяющий производить расчеты трехмерных конструкций, элементами которых могут быть подобласти в виде шестигранников с криволинейными гранями. Предложенный метод позволяет определять НДС трехмерных тел, в том числе: составных сложных конструкций, тонкостенных элементов конструкций (пластин и оболочек), ортотропных многослойных конструкций, тонких стержневых систем.

2. На основании предложенных алгоритмов были разработаны программные модули (Fortran, Java), которые могут быть использованы в инженерных расчетах конструкций и сооружений, в особенности при наличии зон концентрации напряжений (отверстия, стыки, угловые вырезы), где НДС является существенно объёмным, и использование упрощающих гипотез о недеформировании нормали является нецелесообразным.

Достоверность научных положений и результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается использованием основных соотношений теории упругости в рамках разработанных алгоритмов, использованием проверенных численных методов и подтверждается сравнениями с результатами решения тестовых задач, полученных другими авторами. В представленных тестовых примерах выполнялись численные исследования сходимости вычислительных процессов при различных порядках аппроксимирующих функций и количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались

на:

- Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения» (КФУ, г. Казань) в 2014 г.;

- XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (КФУ, г. Казань) в 2015 г.;

- заседании кафедры «Теоретической механики и сопротивления материалов» в Казанском национальном исследовательском технологическом университете (г. Казань) в 2017 г.;

- X Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела в Самарском государственном техническом университете в 2017 г.;

- научном семинаре кафедры «Теоретической механики» в Казанском федеральном университете в марте 2018 г.;

- научном семинаре кафедры «Механики» в Казанском государственном архитектурно-строительном университете в марте 2018 г.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, опубликованы в 7 научных статьях, из которых 4 в журналах из перечня периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций, из которых 1 в журнале, включенный в международную реферативную базу данных Скопус (Scopus).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка используемой литературы (182 наименований), изложена на 159 страницах машинописного текста, содержит 59 рисунков и 23 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность исследований по методикам расчета деформируемых трехмерных тел, в том числе тонкостенных конструкций (пластин и оболочек), находящихся в различных условиях нагружения при упругом состоянии материала. Отмечаются недостатки существующих методов расчета. Кратко излагаются варианты реализации МКЭ. Описываются подходы в расчетах тонкостенных конструкций на прочность МКЭ с упрощающими гипотезами о недеформировании нормали и без дополнительных гипотез. В заключительной части формулируется цель

исследования, новизна, практическая ценность работы, приводится общая структура диссертации.

В первой главе

Приведен краткий обзор развития за последние десятилетия численного метода конечных элементов в исследованиях трехмерных конструкций. Описаны новые трехмерные конечные элементы, в том числе тонкостенные, выполненные российскими и зарубежными учеными.

Во второй главе

На основе соотношений теории упругости и вариационного принципа Лагранжа представлен вариационный метод определения напряженно -деформированного состояния трехмерных изотропных упругих конструкций, основанный на использовании аппроксимирующих функций с конечными носителями произвольной степени аппроксимации. В представленном методе вводится новый трехмерный криволинейный шестигранный конечный элемент, в котором используется криволинейная локальная система координат. Приводятся соотношения, которые связывают локальную криволинейную систему координат с глобальной декартовой системой координат и функциями, которые описывают геометрию конечного элемента. Описан алгоритм получения разрешающей системы уравнений, который включает в себя вычисление производных и интегралов для произвольного криволинейного шестигранника. В качестве частного случая рассмотрена локальная декартовая система координат, в которой определяющие уравнения являются наиболее простыми. Приведены аналитические вычисления производных и Якобианов для частного случая, когда грани конечного элемента (шестигранника) представляет собой плоскости. Описан способ нумерации неизвестных в пределах конечного элемента и способы стыковки конечных элементов.

В третьей главе

На основании соотношений теории упругости для криволинейной системы координат получен алгоритм использования представленного метода для криволинейной системы координат. Записаны соотношения, связывающие

локальную криволинейную систему координат с глобальной криволинейной системой координат. Описаны методики вычислений длин дуг, производных, интегралов, кривизн, коэффициентов Ляме, направляющих косинусов и компонент метрического тензора в криволинейной системе координат. Приведены формулы вычисления направляющих косинусов, кривизн и коэффициентов Ляме для конкретных криволинейных систем координат -цилинрической и сферической.

В этой же главе приводится алгоритм для ортотропного случая, который отличается от изотропного только матрицей упругости и дополнительными константами в матрице упругости.

В четвертой главе

Приводятся тестовые примеры решения в декартовой системе координат, криволинейной системе координат, для ортотропных и изотропных тел. Рассмотрены задачи решения тонкостенных элементов конструкций (пластинки и оболочки). Приведены таблицы, показывающие сходимость представленного метода, графики, которые показывают распределение напряжений вблизи зон концентраций напряжений. Приводится сравнительный анализ с результатами, полученными другими авторами.

В заключении подчеркивается эффективность представленного метода.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно - исследовательских работ Казанского национального исследовательского технологического университета.

ГЛАВА 1

КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Зарождение МКЭ уходит своими корнями в глубокое прошлое. Еще во второй половине 19-го века работы Максвелла [165], Кастильяна [154] и Мора [166] оформили теорию анализа стержневых конструкции. Концепции об элементах конструкций, выраженные в этих работах, вполне можно отнести к началу развития МКЭ в прямой формулировке.

В МКЭ исследуемая область разбивается на конечные элементы (подобласти), в пределах которых искомые функции описываются определённым образом по заданным правилам. Отметим, что словосочетание «конечный элемент» было впервые использовано в работе [178] при расчетах напряженно - деформированного состояния инженерных конструкций.

Появление компьютеров особенно благоприятствовало развитию МКЭ. В 60-х годах 20-го века появляется вариационная формулировка МКЭ, основанная на методе Ритца. В этой формулировке так же, как и в методе Ритца, путём минимизации функционала задача сводится к системе линейных уравнений, из решения которой находятся неизвестные постоянные в аппроксимации решения. На сегодняшний день широкое распространение получила вариационная формулировка МКЭ, основанная на минимизации функционала Лагранжа, и которая является, по сути, обобщением и продолжением метода Ритца. В отличие от метода Ритца в МКЭ используется аппроксимация в пределах подобластей (конечных элементах), что позволяет использовать этот метод для расчета сложных составных конструкций.

Более подробный обзор развития метода и описание основных видов конечных элементов можно найти в работах зарубежных и отечественных авторов [3, 12, 26, 31, 41, 51, 52, 70, 87, 96, 104, 123].

В вышеупомянутых работах рассмотрены вопросы расчета, как трехмерных конструкций, так и тонкостенных - пластин и оболочек.

Как уже было сказано во введении, одним из подходов в решении задач расчета тонкостенных элементов конструкций является использование упрощающих гипотез о недеформировании нормали.

В настоящее время при решении задач расчета пластин и оболочек широко применяется гипотеза Кирхгофа-Лява [9 - 11, 24, 27, 28, 29, 32, 33, 35, 39, 45, 49, 56, 59, 63, 66, 67, 73, 74, 79, 80, 83, 84, 94, 99, 100, 105, 112, 135, 136, 143, 146, 148, 150, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 168, 179] и гипотеза Тимошенко [32 - 34, 98, 106, 110, 112, 123, 126, 127, 138], которая учитывает деформации поперечного сдвига. Стоит отметить, что гипотеза Кирхгофа-Лява предполагает использование производных высокого порядка от перемещений, поэтому в этом случае возникает необходимость выполнять условие непрерывности не только для исходных функций, но и их производных, что часто трудновыполнимо. По этой причине для расчета пластин и оболочек было создано множество несогласованных конечных элементов, основанных на несогласованных аппроксимациях. Гипотеза Тимошенко, учитывающая поперечный сдвиг, использует производные меньшего порядка по сравнению с гипотезой Кирхгофа-Лява, поэтому снижается требование к гладкости решения, которое должно быть лишь непрерывным. Это обстоятельство существенно облегчает процесс построения соответствующих аппроксимаций.

При использовании гипотезы Кирхгофа-Лява для тонкостенных конструкций не учитываются деформации сдвига, в то время как при использовании гипотезы Тимошенко они учитываются приближенно. Для корректного учета сдвиговых деформаций необходимо пользоваться трехмерными соотношениями теории упругости.

Ниже приводятся работы, в которых предлагаются новые конечные элементы на основе трехмерных соотношений теории упругости. Можно отметить работы, которые посвящены развитию конечно-элементных аппроксимаций высокого порядка.

Особого внимания заслуживает монография [176], в которой предлагаются целое семейство трехмерных конечных элементов высокой степени аппроксимации. В указанной работе даются алгоритмы построения тетраэдральных, призматических и параллелепипедных конечных элементов. В качестве аппроксимации используются полиномы Лежандра и полиномы Якоби произвольного порядка. Однако указанная работа при всей ее полезности, к сожалению, не подразумевает использование криволинейной системы координат для выражения деформаций и напряжений, что не дает возможности ее использования для расчета тонких оболочек.

Эрмитовые кубические сплайны не остались без внимания исследователей в последние десятилетия. Так, например в [140 - 142] трехмерные конечные элементы в виде параллелепипеда представляются с помощью Эрмитового трехмерного кубического сплайна. На основании идеи параметризации рассматриваемой области параметрами единичного куба получены пространственно-искривленные согласованные трехмерные конечные элементы.

В работе [36] при расчете тонкостенных элементов конструкции вводится аппроксимация на основе трехмерных соотношений теории упругости, но закладывается линейная аппроксимация перемещений по толщине трехмерного тонкостенного элемента, что эквивалентно использованию гипотезы о линейном распределении перемещений по толщине с учетом обжатия. Работы [13, 16] посвящены построению новых трехмерных конечных элементов для расчета оболочек средней толщины на основе модификации элемента сплошной среды. Предложенные конечные элементы позволяют проводить стыковку элементов различной структуры в единую модель расчета. Предложен алгоритм, который позволяет проводить расчеты комбинированных оболочечных конструкций, которые состоят из различных элементов трехмерных подконструкций и многослойных оболочек, на устойчивость. В [15] представлена методика построения комбинированного конечного элемента, который можно использовать для определения напряженно-деформированные

состояния (НДС) конструкций существенно переменной толщины. В работе [14] предложена методика построения ортотропного многослойного конечного элемента (КЭ) на основе изотропного трехмерного восьмиузлового КЭ оболочки [36], в котором используются трехмерные уравнения теории упругости в криволинейной системе.

В [62] для расчета многослойных оболочек вращения при произвольном нагружении предложено использовать шестигранный конечный элемент с узловыми неизвестными в виде перемещений и их производных, при этом для получения разрешающих уравнений авторы использует функционал Лагранжа. В [48, 64] на аналогичном принципе представлен объемный конечный элемент в виде призмы с треугольным основанием. В этом элементе за узловые варьируемые параметры также выбирались компоненты вектора перемещений и их первые производные. В [61] этот же конечный элемент используется для решения геометрически нелинейных задач при шаговом нагружении. Вышеуказанные работы отмечают эффективность использования объемных конечных элементов при расчетах на прочность достаточно тонких оболочек, что позволяет учитывать сдвиговые и поперечные деформации без привлечения упрощающих гипотез.

Особенный интерес представляют работы [47], где для расчетов тонкостенных элементов конструкций в декартовой, а затем и в криволинейной системе координат [41], разработан объемный шестигранный конечный элемент в смешанной формулировке МКЭ без использования упрощающих гипотез о недеформировании нормали. Важным результатом этих работ является подтверждение того факта, что при расчете оболочек в криволинейной системе координат даже при использовании аппроксимаций небольшого порядка получаются удовлетворительные результаты. Предложенные конечные элементы позволяют проводить прочностной расчет твердых тел, в том числе пластин и оболочек переменной толщины при различных видах нагружения в линейной и нелинейной постановках.

Вопросам применимости различных призматических конечных элементов к задачам нелинейной теории упругости для тел из слабо сжимаемых эластомеров посвящена работа [121].

Смешанная формулировка метода конечных элементов также использована в [75], где предлагается новый конечный элемент на основе соотношений трехмерной теории упругости с использованием ортогональных финитных функций. Для получения разрешающих уравнений использовались соотношения обобщенного закона Гука с учетом термоупругости.

Модификация гибридных плоских треугольных конечных элементов с пятью степенями для расчетов анизотропных оболочек средней толщины была предложена в работе [137].

Для моделирования оболочечных конструкций, которые обладают переменной схемой армирования, в [57] предлагается новый изопараметрический конечный элемент.

Для исследования процессов нелинейного деформирования и разрушения пространственных многослойных систем в [38] разработан восьмиузловой многослойный конечный элемент.

В работе [123] представлен вариационный метод расчета тонкостенных конструкций сложной формы на основе использования аппроксимирующих функций произвольного порядка с конечными носителями. Предложены новые двухмерные четырехугольные и треугольные конечные элементы, при построении которых вводилась гипотеза Тимошенко. Указанная работа явилась основой для методики расчета, которая представлена в текущей диссертации. Фактически текущая работа расширяет методику [123] на трехмерную теорию упругости и делает возможным рассчитывать тонкие пластины и оболочки трехмерными конечными элементами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сахбиев Олег Миргасимович, 2018 год

ЛИТЕРАТУРА

[1] Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука. - 1978. - 288 с.

[2] Агапов В. П. Четырехугольный многослойный конечный элемент для расчета пластинок и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. -1986. - Т. 1. - С. 74 - 76.

[3] Александров А.В., Лащенков Б.Я., Шапошников Н.Н. Под ред. А.Ф. Смирнова. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы.

- М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.

[4] Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. - Москва: Издательство «Наука» 1968.

- 912 с.

[5] Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М., Машиностроение. 1984. - 264 с.

[6] Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1974.

- 448 с.

[7] Амосов А.А., Аубинский О.А., Копченова К.В. Вычислительные методы для инженеров. - Москва: «Высшая школа» 1994. - 544 с.

[8] Арьков Д.П., Гуреева Н.А. Применение смешанного метода конечных элементов для прочностных расчетов силосов, предназначенных для хранения зерна // Изв. Нижневолжск. агроунив. комплекса: Наука и высш. проф. образ. -2011. - № 1. - С. 189 - 196.

[9] Бандурин Н.Г., Николаев А.П., Апраксина Т.И. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36х36 к расчету непологих произвольных оболочек // Проблемы прочности. - 1980. - Т. 5. - С. 104 - 108.

[10] Бартоломей М.Л., Труфанов Н.А., Шардаков И.Н. Конечно-элементное моделирование процессов формирования зон растрескивания в трехмерной пластине // Изв. Самар. науч. центра РАН. - 2011. 13, - № 4. - С. 1062 - 1068.

[11] Бате К. Ю. Методы конечных элементов / Пер. с англ. В.П. Шидловского под ред. Л.И. Турчака. - М.: Физматлит, 2010. - 1024 с.

[12] Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

[13] Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К. Трехмерный конечный элемент для расчета оболочек средней толщины. Вестник Казанского технологического университета. - 2013. Т. 16. № 9. - С. 256-261.

[14] Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К., Голованов А.И. Многослойный ортотропный конечный элемент оболочек средней толщины // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. Т. 3. № 1. -С. 9-19.

[15] Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К., Саченков А.А. Расчет комбинированных конструкций методом конечных элементов // Научно-технический вестник Поволжья. - 2012. № 4. - С. 13-16.

[16] Бережной Д.В., Сагдатуллин М.К., Саченков А.А. Универсальный конечный элемент для расчета комбинированных конструкций // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. Т. 15. № 17. - С. 150-157.

[17] Бермант А. Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина. - М.: Физматгиз, 1958. - 306 с.

[18] Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика. - М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

[19] Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. - 375 с.

[20] Бычков Д.В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. - М.: 1962 - 476 с.

[21] Вахнина О.В. Анализ НДС оболочки вращения на основе треугольного конечного элемента с множителями Лагранжа // Стратегическое развитие АПК

143

и сельских территорий РФ в современных международных условиях. Материалы международной научно-практической конференции. -Волгоград, 03-05 февраля 2015 года. Том 17, №3. - С.506-510.

[22] Власов В. З. Общая теория оболочек и её приложение в технике. -Гостехиздат, 1949. - 784 с.

[23] Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни. - М.: Физматгиз. 1959. - 574 с.

[24] Гайджуров П.П., Исхакова Э.Р., Билинейный четырехузловой конечный элемент для решения двумерных задач теории упругости // Изв. вузов. Сев. -Кав. регион. Техн. н. - 2011. - № 7. - с. 7 - 13.

[25] Галимов К. З., Паймушин В. Н. Теория оболочек сложной геометрии. -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1985. - 208 с.

[26] Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. -М.: Мир, 1984. - 428 с.

[27] Гинесин Л.Ю., Стратонова М.М., Берне А.Л. Применение метода конечных элементов к расчету тонких пологих оболочек // Тр. Центр. института авиац. Моторостроения. - 1982. - № 996. - С. 39 - 50.

[28] Голованов А. И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Классификация и основные требования // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов. -Горький, 1990. - С. 89 - 96.

[29] Голованов А. И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. - Ниж. Новгород, 1991. - С. 58 - 65.

[30] Голованов А. И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии // Проблемы механики оболочек. - Калинин, 1988. - С. 33 - 40.

[31] Голованов А. И., Бережной Д. В. Метод конечных элементов в механике деформируемого твердого тела. - Казань: «ДАС», 2001. - 300 с.

[32] Голованов А. И., Корнишин М. С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. - Казань: Казанс. физ.-техн. ин-т, 1989. - 270 с.

[33] Голованов А. И., Красновский И.Ю. Расчет композитных оболочек на основе гипотезы Тимошенко и метода конечных элементов // Прикладная механика. - 1992. Т. 28, №8. - С. 53-57.

[34] Голованов А. П., Тюленева О. Н., Шигабутдинов А. Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 392 с.

[35] Голованов А.И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами // Строительная механика и расчет сооружений. - 1992. - № 2. - С. 51 - 55.

[36] Голованов А.И., Сагдатуллин М.К. Трехмерный конечный элемент для расчета тонкостенных конструкций // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. - 2009. Т. 151.№ 3. - С. 121-129.

[37] Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976. -512 с.

[38] Гондлях А.В. Уточненный многослойный конечный элемент пользователя для моделирования в среде АБАриБ нелинейных процессов деформирования и разрушения композитных пространственных систем // Инженерные системы: Труды Международного форума - Москва. - 2012. - С. 127-144.

[39] Горшков А.П., Колесников И.Ю. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов // Изв. АН. МТТ. - 1998. - № 1. - С. 116 -128.

[40] Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки. -М.: Машиностроение, 1988. - 288 с.

[41] Гуреева Н.А. Анализ линейного и нелинейного деформирования тел в криволинейных координатах на основе смешанного метода конечных элементов. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Волгоград - 2016. - с. 381.

[42] Гуреева Н.А. Гибридный конечный элемент нагруженных тел // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. Технические науки. - №1. - 2007. - С. 31 - 33.

[43] Гуреева Н.А., Клочков Ю. В., Николаев А.П. Расчет оболочки вращения при произвольном нагружении с использованием МКЭ на основе функционала Рейсснера // Вычислит. технологии. - 2008. - Т. 13. - № 4. - С. 51 - 59.

[44] Гуреева Н.А., Клочков Ю. В., Николаев А.П. Расчет произвольно нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2010. - № 3. - С. 7 - 10.

[45] Гуреева Н.А., Клочков Ю.В. Об инвариантности векторной аппроксимации перемещений относительно систем координат // Вестник ВолгГАСУ. Сер. Технические науки. - 2006. - Вып.6 (20). - С. 84 - 88.

[46] Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Реализация смешанного функционала в МКЭ при тензорной аппрокимации искомых величин // Строит. мех. и расчет. сооружений. - 2013. - № 1 (246). - С. 45 - 52.

[47] Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Трехмерный конечный элемент для расчета произвольных оболочек при учете геометрической нелинейности // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. - 2011. № 12. С. 83-86.

[48] Джабраилов А.Ш., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Конечно-элементный расчет оболочек вращения с ветвящимся меридианом // Из. вузов. Авиационная техника. 2009. №1. - С. 15-19.

[49] Длугач М.И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями // Прикл. Механика. - 1973. - Т. 11. - № 11. - С. 35 - 41.

[50] Емельянов И.Г., Кузнецов А.В. Применение виртуальных элементов при определении напряженного состояния оболочек вращения // Вычислительная механика сплошных сред. - 2014. - Т. 7, №3. - С. 245-252.

[51] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 511 с.

[52] Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 318 с.

[53] Игнатьев А.В. Основные формулировки метода конечных элементов в задачах строительной механики // Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (Москва). Вестник МГСУ .№1 2015. -С. 16-26

[54] Игнатьев А.В., Поляков А.В. Применение МКЭ в смешанной форме для расчета тонких пластинок // Вестник Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии. Сер. Естественные науки. - Волгоград: ВолгГАСА, 2002. - Вып. 2 (6). - С. 251 - 255.

[55] Ильюшин А.А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. - М., Физматгиз, 1959. - 373 с.

[56] Кабанов В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета // Вопр. прочности и долговечности элементов авиац. констр. - Куйбышев. - 1979. - № 25. - С. 35 - 43.

[57] Каледина И.В. Конечный элемент для моделирования конструкций из композиционных материалов с переменной анизотропией // Краевые задачи и математическое моделирование: Тематический сборник научных статей. Т. 2. -Кемерово, 2010. - С. 162-170.

[58] Канторович З.Б. Основы расчета химических машин и аппаратов. - М., Машгиз, 1960. - 744 с.

[59] Каюмов Р.А. К решению задач неоднородной теории упругости методом конечных элементов // Матем. моделир. и краев. задачи. - 2007. - № 1. - С. 119 - 121.

[60] Каюмов Р.А., Шакирзянов Ф.Р., Гаврюшин С.С. Моделирование процесса деформирования и оценка несущей способности системы грунт - тонкостенная конструкция // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2014. № 6 (651). - С 20-24.

[61] Киселев А.П. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности с учетом геометрической нелинейности // Известия высших учебных заведений. Строительство. Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) 2007. № 11. - С. 35-40.

[62] Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента // Известия Волгоградского государственного технического университета. - 2010. Т. 4. № 4. - С. 125-128.

[63] Киселев А.П., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Применение криволинейного треугольного элемента с матрицей жесткости 54х54 для расчета тонкостенных элементов конструкций мелиоративных систем // ВГСХА. Вестник АПК, ВГСХА. - Волгоград, 1997. - № 9. - С. 9.

[64] Киселев А.П., Николаев А.П. Объемный конечный элемент в виде треугольной призмы с первыми производными узловых перемещений // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2006. № 1. - С. 13-18.

[65] Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В. Использование множителей Лагранжа при формировании матрицы жесткости треугольного конечного элемента // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. -М.: РУДН. - 2009. - № 2. - С. 38 - 43.

[66] Клочков Ю.В., Николаев А.П., Гуреева Н.А. Сравнение различных способов аппроксимации перемещений на треугольном элементе в расчетах оболочек // Вычислительные технологии. - Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 2005. - № 3. - С. 47 - 55.

[67] Клочков Ю.В., Николаев А.П., Киселев А.П. Конечно - элементная формулировка уравнений произвольных непологих оболочек с учетом смещений как жесткого целого // Теория оболочек и пластин. Труды межд. конф. - Саратов, 1997. - Т. 3. - С. 95 - 100.

[68] Клочков Ю.В., Николаев А.П., Марченко С.С., Шубович А.А. Сравнительная оценка вариантов интерполяции полей перемещений на примере задачи осесимметрично нагруженной оболочки вращения // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2011. - № 1.- С. 50 - 57.

148

[69] Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М., Высшая школа, 1972. - 296 с.

[70] Корнеев В.Г. Схемы конечных элементов высоких порядков точности. - Л., Издательство ленинградского университета. 1977. - 208 с.

[71] Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. - 192 с.

[72] Коробко В.И., Коробко А.В. Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил. Методическое пособие. - Орел. - 2007. - 55 с.

[73] Косицин С.Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения // Исследования по строительным конструкциям и их элементам. - М.: ЦНИИСК, 1982. - С. 17 - 27.

[74] Куранов Б.А., Турбаивский А.И. Исследование устойчивости подкрепленных оболочек методом конечных элементов // Строит. механика и расчет сооруж. - 1980. - № 3. - С. 38 - 41.

[75] Лавыгин Д.С. Смешанный метод конечных элементов в трехмерных задачах теории упругости // Современные проблемы науки и образования. -2013. № 5. С. 143.

[76] Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. - М., Гостехиздат, 1947. - 355с.

[77] Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. -416 с.

[78] Ли С.В., Пиан Т. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода// Ракетная техника и космонавтика. - 1978.- Т.16, 1. - С.38-53.

[79] Мануйлов Г.А., Косицын С.Б., Бегичев М.М. Исследование устойчивости упругих пластин и оболочек при помощи конечно-элементного моделирования // Строит.мех.инж.конструкций и сооруж. - 2011. - № 1. - с. 58 - 65.

[80] Мебейн П., Стирклин Дж. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. - 1971. - № 2. - С. 206 - 208.

[81] Милейковский И.Е., Л.А. Трайнин К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера // Строит. механика и расчет сооружений. - 1977. - № 4. - С. 21 - 27.

[82] Муштари Х. М., Галимов К. З. Нелинейная теория упругости оболочек. -Казань: Таткнигоиздат, 1957. - 432 с.

[83] Николаев А. П., Бандурин Н. Г. К расчету оболочек методом конечного элемента // Строительная механика и расчет сооружений. - 1980. - Т. 5. - С. 21 - 25.

[84] Николаев А.П., Бандурин Н.Г. К расчету напряжений в зоне пересечения непологих оболочек методом конечных элементов // Строит. мех. и расчет сооруж. - 1986. - № 4.- С. 18 - 22.

[85] Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1951. - 344 с.

[86] Новожилов В. В. Теория упругости. - Л.: Судпромгиз, 1958. - 371 с.

[87] Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

[88] Паймушин В.Н. Вариант нелинейной теории тонких оболочек типа Тимошенко // Прикл. механика. 1986. Т. 22, № 8. - С. 50-57.

[89] Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко в криволинейных координатах поверхности отсчета // Прикладная математика и механика. - 1978. Т.42, №4. - С. 762-772.

[90] Паймушин В.Н. Соотношения теории тонких оболочек типа Тимошенко при произвольных перемещениях и деформациях // Прикладная механика и техническая физика. - 2014. Т.55, №5. - С. 135-149.

[91] Паймушин В.Н. Теория тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, основанная на модифицированной модели Кирхгофа — Лява // Прикл. математика и механика. 2011. Т. 75, № 5. - С. 813-829.

[92] Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Издательство «Наукова думка», 1975. - 704 с.

[93] Покровский А.А. Смешанная форма МКЭ в расчётах стержневых систем и сплошной среды: дис. д-ра техн. Наук. Пенза: ПГСА, 2000. - 308 с.

[94] Постнов В. А., Трубачев М. И. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек сложной геометрии // Известия РАН. МТТ. - 1995. - №1. - С. 141 - 146.

[95] Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

[96] Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л., Издательство Судостроение. 1974. - 344 с.

[97] Работнов Ю.Н. Сопротивление материалов. - М., Физматгиз, 1962. - 456 с.

[98] Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига «ЗИНАТНЕ» 1988. - 284 с.

[99] Рукин Ю.Б., Радченко Н.Г., Чернышева Е.Ю. Исследование динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапециевидных конечных элементов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. -

2000. - № 4. - С. 3 - 11.

[100] Савельев Л.М. Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки // Вопр. прочности и долговеч. элементов авиац. конструкций. - Куйбышев, 1979. - № 5. - С. 58 - 63.

[101] Сахбиев О.М., Серазутдинов М. Н. Метод уточнения решения краевых задач на основе метода граничных элементов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды одиннадцатой межвузовской конференциии. - Самара.

2001. Часть 1. - С. 171 - 174.

[102] Сахбиев О.М., Хайруллин Ф.С. Метод и результаты расчетов трехмерных конструкций // Материалы X Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела. Т.2. - Самара. СамГТУ, 2017. -С. 184-186.

[103] Сахбиев О.М., Хайруллин Ф.С. Моделирование деформаций тонких оболочек на основе трехмерных функций с конечными носителями // Научному прогрессу - творчество молодых: Материалы XII международной молодежной

научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам. Часть. 1. - Йошкар-Ола. ПГТУ, 2017 - С. 127-129.

[104] Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. -392 С.

[105] Семенов П.Ю. Конечно-элементное моделирование подкрепленных пластин. Int. J. Comput. Civ.and Struct. Eng.-2010. 6. - № 1 - 2. - с. 199 - 200.

[106] Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных открытого профиля // Вестник Казанского технологического университета. Т. 16, №5. Казань. 2013. - С. 216-223.

[107] Серазутдинов М.Н. Об использовании метода граничных элементов для получения конечно-элементных функций. // Межвузовский сборник научных трудов 1997. - С. 116-119.

[108] Серазутдинов М.Н., Сахбиев О.М. Метод граничных элементов и особенности его реализации при расчете напряженно-деформируемого состояния упругих тел. // Компрессорная и вакуумная техника. Машиноведение и детали машин. Механика жидкости и газа. Вопросы педагогики. Сб. научных трудов (юбилейный выпуск) ЗАО НИИтурбокомпрессор. - Казань. 2000. - 294 с.

[109] Серазутдинов М.Н., Сахбиев О.М. Построение равновесных конечных элементов с использованием непрямого метода конечных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды межд. конференции. -Казань, 2000. - С. 374 - 379.

[110] Серазутдинов М.Н., Убайдуллоев М.Н. Вариационный метод расчета прямолинейных и криволинейных тонкостенных стержней. - Казань. Издательство КНИТУ 2016. - 144 с.

[111] Серазутдинов Н.М., Колупаев В.А, Губаев Р.Р. Построение и использование конечно-элементной функции произвольной степени аппроксимации // Расчет пластин и оболочек в химическом машиностроении. Межвуз. тематич. сб. науч. трудов. - Казань: гос. Технол. Ун-т, 1994. - с. 114 -118.

[112] Серпик И.Н. Эффективный конечно-элементный анализ плит Тимошенко с исключением заклинивания изгибных деформаций // Изв. вузов. Строительство. - 2010. - № 10. - с. 8 - 17.

[113] Скопинский В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных криволинейных элементов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1983. - № 5. - С. 16 - 21.

[114] Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов. 2005. - 736 с.

[115] Терегулов И.Г. Изгиб и устойчивость пластин и оболочек при ползучести. - М.: Наука, 1969. - 206 с.

[116] Тимошенко С.П. Курс теории упругости. - Киев: Наук. думка, 1972. - 501 с.

[117] Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

[118] Тюкалов Ю.Я. Использование кусочно-постоянных напряжений для решения объемных задач теории упругости // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 2008. № 4. - С. 4-9.

[119] Уманский А.А. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. - М.: Оборониз. 1939. - 112 с.

[120] Филиппович А.П. Применение смешанного метода конечных элементов в задачах об изгибе пологих оболочек // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. Т. 13. №4. - С. 143-162.

[121] Фролов Н.Н., Захарюк А.М. Изопараметрический конечный элемент с 25-ю степенями свободы для решения задач нелинейной теории упругости слабо сжимаемого материала / депонированная рукопись № 1353-В2002 18.07.2002.

[122] Хайруллин Ф. С. О методе расчета рамно-оболочечных конструкций // Труды XI межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч.1. - Самара, 2001. - С. 188 - 191.

[123] Хайруллин Ф. С. Вариационные методы расчета тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций

произвольного порядка с конечными носителями. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. - Казань, 2007. - 267 с.

[124] Хайруллин Ф. С. О расчете тонких оболочек с ребрами жесткости // Труды XII межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч.1. - Самара, 2002. - С. 190 - 193.

[125] Хайруллин Ф. С. О расчете трехслойных оболочек с очень мягким заполнителем // Сборник докладов XIX Международной конференции «Механика оболочек и пластин». - Нижний Новгород, 2002. - С. 304 - 308.

[126] Хайруллин Ф. С. Об использовании теории оболочек типа Тимошенко для расчета толстых оболочек // Известия вузов. Авиационная техника. - Казань, 2005, № 3. - С. 67 - 69.

[127] Хайруллин Ф. С. Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями: монография. -Казань: издательство КНИТУ, 2012. - 176 с.

[128] Хайруллин Ф. С., Серазутдинов М. Н. Метод параметризации срединной поверхности тонкостенного элемента конструкции. // Известия вузов. Авиационная техника. - Казань, 2006, №4. - С. 14-16.

[129] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Метод определения напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций сложной формы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2016. № 1. -С. 36-42.

[130] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Моделирование деформаций трехмерных конструкций с плоскими граничными поверхностями // Вестник Казанского технологического университета. - 2016. Т. 19. № 20. - С. 161-163.

[131] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. О методе расчета трехмерных конструкций сложной формы // Вестник Казанского технологического университета. - 2014. т. 17. № 23. - С. 328-330.

[132] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Особенности реализации вариационного метода расчета трехмерных конструкций сложной формы // В сборнике: Х1

Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики сборник докладов. - Казань, 2015. - С. 3966-3968.

[133] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Расчет ортотропных конструкций вариационным методом на основе трехмерных функций с конечными носителями // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. № 2 - С. 195-207.

[134] Хайруллин Ф.С., Сахбиев О.М. Численный метод построения сглаживающих аппроксимирующих функций // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. № 8. - С. 239-244.

[135] Хайруллин Ф.С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций // Изв. вузов. Машиностроение. - 1992. - № 1- - 3. - С. 20 - 23.

[136] Шапошников Н.Н., Ожерельев В.А. Расчет пологих оболочек и пластин со сложным контуром по МКЭ с использованием прямоугольной ортогональной сетки // Численные методы и алгоритмы. - М., 1981. - С.54 - 55.

[137] Шерешевский М.Б. Разработка конечно-элементной модели для исследования напряженно-деформированного состояния оболочек средней толщины // Науч. техн. вестн. Поволжья. - 2013. - №4 - С. 65-74.

[138] Шлычков С.В. Методика расчета корпусных элементов музыкальных инструментов. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Йошкар-Ола. 2004 г. - 170 с.

[139] Якупов Н. М., Серазутдинов М. Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии. - Казань, 1993. - 206 с.

[140] Якупов Н.М., Галявиев Ш.Ш., Хисамов Р.З. Метод исследования напряженно-деформированного состояния конструкций сложной геометрии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Инженерные исследования. - 2002.№ 1. С. 27-31.

[141] Якупов Н.М., Киямов Х.Г., Якупов С.Н., Киямов И.Х. Моделирование элементов конструкций сложной геометрии трехмерными конечными элементами // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2011. Т. 17. № 1. С. 145-154.

[142] Якупов С.Н. , Киямов И.Х. Анализ НДС сферических оболочек трехмерными элементами // Строит. мех. инж. конструкций и сооруж. - 2014. -№2 - С. 76-80.

[143] Aditya A.K., Bandyopadhyany J.N. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method // Comp. and Struct. - 1989. - 32. - № 2. - p. 423 - 432.

[144] Alayliogly H., R. Ali A hybrid stress doubly curved shell finite element // Comput. And Struct. - 1977. - 7. - N 3. - P. 477 - 480.

[145] Altman W., Iguti F. A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation // Computers and Structures.- 1976.- V.6, № 2.- P.149-155.

[146] Anderheggen, E. A cjnforming triangular finite element plate bending solution // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1970. - 2. - P. 259 - 264.

[147] Ashwell D. G., Sabir A. B. A new cylindrical shell finite elements based on simple independent strain function // International Journal of Mechanical Sciences. -1972. - V. 14. - №3. - P. 171 - 183.

[148] Bathe K.-J., , E.N. Dvorkin A four-node plate bending element based on Mindlin Reissner plate theory and mixed interpolation // Int. J. Num. Meth. Eng. -1985.- V. 21. - № 2.- P. 367 - 383.

[149] Bathe K.-J., E.N. Dvorkin A formulation of general shell elements - the use of mixed interpolation of tensor components // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1986.- V. 22. -№ 3.- P. 69 7- 722.

[150] Bathe K.-J., S. Bolourchi A geometric and material non-linear plate and shell element // Comp. and Struct. - 1980. - 11. - N 1 - 2. - P. 23 - 48.

[151] Brezzi F., P.A. Raviart Mixed finite element methods for 4 - th - order elliptic equations // Topics in Numerical Analysis III, (J.J.H.Miller ed.), Academic Press, New-York. - 1976. - P. 315 - 338.

[152] Brezzi, F. Non-standart finite element for fourth order elliptic problems. -Energy Method Finite Element Anal., Chichester e.a.. - 1979. - p. 193-211.

[153] Cantin G., R.W. Clough A curved cylindrical shell finite element // AIAA. -1968. - N 6. - P. 1057 - 1062.

[154] Castigliano A. Theorie des 'Equilibre des Systemes Elastiques. - Turin, 1879.

[155] Chinosi C., Delia Crose L., T. Scapolla Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model // Int. J. Solids and Struct. - 1998. - 35. - N 16. - P. 1863 - 1880

[156] Dawe D. J. High-order triangular finite element for shells analysis // International Journal of Solids and Structures. - 1975. - V. 11 - № 10. - P. 1097 -1110.

[157] Dawe D. J. High-order triangular finite element for shells analysis // International Journal of Solids and Structures. - 1975. - V. 11 - № 10. - P. 1097 -1110.

[158] Dzygadio Z. Finite element strength analysis of relating shell - plate structures //J. Tech. Phys. - 1981. - 22. - N 3. - P. 243 - 257.

[159] Falk R.S., J.E. Osborn Error estimates for mixed methods // RAIRO Numer. Anal. - 1980. - v. 14. - № 3. - P. 249 - 277.

[160] Giamperi A., Perego U. An interface finite element for the simulation of localized membrane-bending deformation in shells / - Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 2011. - 200. - № 29 - 32.- P. 2378 - 2396.

[161] He Xiao-ting, Zheng Zhou-lian, Sun Jun-yi, Li Ying-min, Chen Shan - lin. Convergence analysis of a finite element method based of different module in tension and compression.- Int.J. Solids and Struct. - 2009. - 46. - № 20. - P. 3734 -3740.

[162] Henshell R.D., B.K. Neale, G.B. Warburton A new hybrid cylindrical shell finite element // Int. J. Sound and Vibration. - 1971. - V.16. - № 4. - P. 519 - 531.

[163] Kosmatka J.B. An accurate shear-deformable six-node triangular plate element for laminated composite structures // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. - 37. - N 3. -P. 431 - 455.

[164] Lee S.W., S.C. Wong, J.J. Rhin Study of a nine-node mixed formulation finite element for thin plates and shell // Computers and Structures. - 1985. - V. 21. - № 6. -P. 1325 - 1334.

[165] Maxwell J. C. On theCalculations of the Equilibrium and Stiffness of Frames. Philos Mag. - 1864. Vol 4, № 27, - P. 294-300.

[166] Mohr O Beitrag zur Theorie der Holz- und Eisen Konstruktionen. - Z. des Architekten und Ingenieur Verienes zu.- Hannover, 1868.

[167] Moore C.J., Yang T.Y., Anderson D.C. A new 48 D.O.F. quadrilateral shell element with variable - order polynomial and rational B-spline geometries with rigid body modes // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20. - 11. - P. 2121 - 2141.

[168] Nelson R.L. An algorithm for programming the element matrices of doubly curved quadrilateral shell finite elements // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1982. - 18. -N 3. - P. 421 - 434.

[169] Noor A.A. Error bound for mixed finite element methods // - Meth. Rept. Acad. Sci. Can. - 1980. - v. 2. - №5. - P. - 227 - 230.

[170] Oden J.T. Generalized conjugate function for mixed finite element approximations of boundary value We fifties problems // in The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations (A. K. Aziz, editor), Academic Press, New York, 1972 - P. 629-669.

[171] Prato C.A. Shell finite element method via Reissner's principle // Int. J. Solids and Structures. - 1969. - V. 5. - № 10. - P. 1119-1133.

[172] Rao K.S., Rao G.V., Raju J.S. A note on the cylindrical shell finite element // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1975. - 9. - N 1. - P. 245 - 250.

[173] Saleeb A.F., Chang T.Y., Craf W. A quadrilateral shell element using a mixed formulation// Computers and Structures. - 1987. - V. 26. - № 5. - P. 787 - 803.

[174] Samuel W. Key, Arne S. Gullerud, J. Richard Koteras. A low-order, hexahedral finite element for modelling shells // International journal for numerical methods in engineering. - 2004. -59 №7. - p. 923-944.

[175] Samuel W.K., The analysis of thin shells with a body curved arbitrary quadrilateral finite element // Comput. Struct. - 1972. - V. 2. - N 4 - P. 637 - 673.

[176] Solin P., Segeth K., Dolezel I. Higher-Order Finite Element Methods. - 2004 r. 388 p.

[177] Spilker R.L. Hybrid stress formulation for multilayer isoperimetric plate elements// Finite Element Methods for Plate and Shell Structures. V.1: Element Technology. - Swansea, UK. - 1986. - P. 175 - 199.

158

[178] Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C., Topp L. J. Stiffness and defection analysis of complex structures // J. Aero. Sci. - 1958. - 23. - №1. - p. 805 - 823.

[179] Wang Weizhuo Shape features and finite element model updating from full - f ield strain data / Wang Weizhuo, Mottershead John E., Sebastian Christopher M., Patterson Eann A. // Int.J.Solids and struct. - 2011. - 48. - № 11 - 12. - p. 1644 -1657.

[180] Wang Weizhuo, Mottershead John E., Sebastian Christopher M., Patterson Eann A. Shape features and finite element model updating from full - field strain data // Int.J.Solids and struct. - 2011. - 48. - № 11 - 12. - P. 1644 - 1657.

[181] Wolf J.P. Alternate hybrid stress finite element model // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1975. - V. 9. - № 3. - P. 601 - 615.

[182] Yang T.Y., A.M. Asce High order reotaangular shallow shell finite element // J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng. - 1973. - 99. - N 1. - P. 157 - 181.