Вариационно-подобные неравенства и их приложения к задачам равновесия и коррекции несовместных систем неравенств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Шамрай, Наталья Борисовна

• Шамрай, Наталья Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шамрай, Наталья Борисовна

Список используемых обозначений

Введение

1 Вариационно-подобные неравенства

1 1 Посыновка тдачи

12 Сущее пювание решения

13 Единс 1 венноеп> решения

2 Методы решения вариационно-подобных неравенств

2.1 Проективные1 методы . . 40 2 11 Вариационно-подобное неравенство как задача нахождения неподвижной точки

2 12 Проек1ивный меч од для решения вариационноподобных неравенс ib . . 44 2 13 Экс ipai радиенгный меч од для решения вариационноподобных неравенсib

2 2 Meiоды с пуска по оценочной функции

2 2 1 Оценочная функция для вариационно-подобных неравенс i в . . 51 2 2 2 Локальная выпуклая мажорант оценочной функции 58 2 2 3 Метод локальных выпуклых мажорант для решения вариационно-подобных неравеш ib

2 3 Численный пример

3 Параметрическая коррекция несовместных систем неравенств

3 1 Компромиссные решения для несовмес iпых сис хем неравенс ib 71 3 2 Применение вариационно-подобных неравенс ib для парамечрической коррекции несовмес шых еиаем неравечн ib

3 3 Чж шпиля коррекция шчовмеиных сисюм неравеж ih

4 Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия

4 1 Задача ipanenopinoio ценового равновесия 87 4 2 Вариационно-подобное неравеш ibo для задачи ipancnopinolo ценового равновесия . 91 4 3 Модельный пример

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационно-подобные неравенства и их приложения к задачам равновесия и коррекции несовместных систем неравенств»

Данная ди( («чнационная работа посвящена исследованиям в облаем и вариационных неравенс ib и их обобщений Вариационные неравенс 1ва пред-счавляю: собой унифицированный ainiapai для изучения многих задач из различных облас юй знаний, например, ыких как механика, физика, экономика, исследование операций и тк далее Широкий спектр возможных приложений вызываеч ишерес к вариационным неравенствам у мнем их исследований, чю привемю к формированию юории вариационных нера-венечв как самое юя юл ыюго раздела прикладной математики

Задача решения вариационного неравенства сое iohi в поиске ючки х* £ X 1акой, чю

С(.т*),х-т+)>0 УхеХ, (0.1) где1 X непус юе замкнуюе выпуклое нодмножеччво прое iрампва М", G : X — заданное отображечше Обозначим Э1у задачу как VI(G, X) Геч)мсчриче1ски условие (0 1) означает, чю в ючке х* векюр-функция G(x*) должна еоетавляП) ое 1рый уюл со всеми допуиимыми вежюрами-направлечшями, исходящими из х* Иначе, пуечь К(х*,Х) — конус допу-С1имых направлений в точке х* G X и К*(х*,Х) — конус, сопряженный к К(х\Х) Век юр х* являекя решением VI(G,X) тогда и только км да, когда G{x*) G К*{х*,Х).

Оюбражение G в неравенстве (0 1) можечбьпьи мноюзначным, то ecib G : X —> 2е" Тогда получаем задачу решения обобщенного вариационною неравенспза, коюрая еое тои1 в поиске ючки х* G X такой, чю

3д* G G{x*), (д*,х- х*) >0 Vr е X. (О 2)

Обозначим 3iy задачу как GVI(G, X)

Впервые1 вариационные1 неравенс пза появились в мате'ма^чеч-кой фи зи-ке1 в начале1 шее 1идсчя1ых юдов ирошлою е юлечия, где рассматривались в качес пзе обобщений вариационных принципов многих физических задач Пионерскими рабсмами в ^юй облас1и являются труды G Fichera [100] и G Stampacchia [130] Дальнейшие исследования вариационные неравенства получили, например, в pa6oiax F Е Browder [94], Р Гловински, Ж -JI Лионе, Р Тремольер, Г Дюво [7, 9), Д Киндерлерер и Г Стампаккья [12], К Байокки и А Капело [1]

С разви1ием 1сории вариационных неравенс1в было ус ыновлено, что помимо задач маюмашчсской с})изики в терминах VI(G,X) и GVI(G,X) можно ыкже -записать задачи дополнительности, поиска седловых и неподвижных ючек, равновесия и ык далее. Эю oiкрыло новые облас 1и нри-ложений вариационных неравенств, например, таких как экономика, исследование операций, сш 1емы ipancnopia и связи, социальные науки Теоретические основы в эюм направление4 были заложены, например, такими известыми учеными как К J Arrow, G Debreu [86, 31], J В Rosen [128], X Никайдо [17], S Karamardian [109], С И Зуховицкий, P.A Поляк, M Е Примак [55], В Ф Демьянов, А Б Певный [53], Э Мулен [1С], J -S Pang, РТ Harker [105, 123, 104, 106], Э Р Смоляков [28], S Dafermexs [95]

Кроме1 классической попановки VI(G,X) сущес :вую: и ишенсивпо изучаюкя задачи, обобщающие вариационное неравенс1во (0 1) К подобным обобщениям oi носятся, например, смешанные вариационные неравен-с пза, квашвариационные перавенс нза, общие вариационные неравенс i на, вариационно-подобные неравенс 1ва, коюрые позволяют более адекватно описать некеморые исследуемые проблемы

Задача решения смешанною вариационного неравенс пза (mixed variational mentality) с ос юи1 в поиске точки х* € X такой, чю

G{x*), х-х*) + f{x) - f{x*) >0 Ух € X, (0 3) где / . X —> R — некоюрая заданная выпуклая с{)ункция Неравенс:ва вида (0 3) были изучены, например, в работах [114, 94, 122, 84, 57, 46, 113] Очевидно, что если f(x) = 0, ю неравенс пза (0 1) и (0 3) совпадают

Задача решения квазивариационною неравенства (quasi-variational inequality) (()( iohi в поиске ючки х* G У(т*) такой, чю

G{x*),x-x*) >0 WeY{x*), (0 4) здесь Y . М" —* К" — неко горос4 оюбражение В отличии от классичеч кем о вариационною неравенс гва (0 1) допус 1имая область в (0 4) являете я подвижной Квазивариационным неравенствам посвящены, например, фуды [1, 4, 116, 138, 1, 4, 120, 131]

Задача решения общею вариационною неравенс 1ва (general variational inequality) coctohi в поиске ючки х* G IRn 1акой, что F(x*) G X и

G{x*), F{x) - F(x*)) > 0 VF(r) G X, (0 5) где1 G, F 1R" —> W1 Здесь решение x* выбираемся из всею пространства IR", однако образы F(x) не1 должны В1>1Х0ДИ1Ь за допусчимую облае п, X Общие вариационные неравенс пза изучались, например, в [118, 58, 115, 133] Если F(x) юждсспзенное оюбражение, ю неравенечва (0 1) и (0 5) еовпадаю! Кроме юю, если в (0 4) оюбражение Y(x) = X + f{x), где f(x) : Е" —> М" некоюрое заданное оюбражение1, а в (0 5) оюбражение F(x) = х — f{x), ю квазивариациоиное неравенс ibo еовиадасч с общим

Задача решения вариационно-подобною неравенства (vanational-like inequality) сос юиг в поиске1 ючки х* G X ыкой, что

G{x*),7i{x,T*))>t) VxGX, (0 6) где1 Т] • X х X —> Е" Вариационно-подобные не1равенс пза впервые были вве'дены в рабою [124] и далее изучены, например, в [85, 97, 119, 121, 129] Лсчко видеть, что еч-ли rj(x,x*) = х — £*, ю неравенс пза (0 1) и (0.6) совпадают, а если г/(х,х*) — F(x) — F(x*) и F(X) = X, где F(X) — образ множеччва X при оюбражечши F, то совпадают неравенс 1ва (0 6) и (0 5) Вариационные1 неравенс пза и их обобщения можно о шее т к подклассам 1ак называемых задач равновесия Задача равновесия (ociohi в поиске ючки х* £ X такой, чю

Цх*,у) > 0 УуеХ, (0 7) где X С R" — ненусчое замкну юе выпуклое множество, Ф : X х X —> RU { Ьоо} — заданная бифункция 1акая, чю Ф(а:,а;) = 0 Данная нос ыновка впервые была предложена в pa6oiax X Никайдо [117, 17]. Значительный вклад в 1еорию равновесия 1акже внесли, например, К Fan [107, 108], Ж -П Обен [21], Л. Ниренберг [18], Е Blum [91, 92]

В нас юящее время существуем значиюльное количеспзо pa6oi, посвященных развшию п'ории сущсч пзования решений у задач равновесия, вариационных неравенс ш и их обобщений Общее направление в построении этой юории сое юи1 в получении условий сущееч новация на ограниченном и нсчн раниченном допус i имых множее пзах Для вариационных неравенсi в (0 1) и (0 2) вопросы сущсч пювания обсуждались, например, в рабсмах [8, 14, 21, 35, 25, 34, 105, 99, 135, 136] Условия сущее пювания решений у задач равновесия приведены, например, в iрудах [1, 35, 128). Сфемление ослаби1ь критерии разрешимое 1и исследуемых задач привело к появлению свойс iв обобщенной моноюнносми и разных форм выпуклекчи, в предположении которых, например, в работах |89, 36, 90] доказывается существование решения у задач равновесия

Классическими мемодами решения VI(G,X) и GVI(G,X) счма-юкя проективный мемод, меюд Ныотона и ею модис])икации (см , наир , [14, 23, 26, 29, 105, 106]) Ныоюновские меч оды предполаыкн (суб)дифференцируемоеть соображения, входящею в вариационное неравенство и обладаю i дос laievmo высокой скороечью с ходи мое i и, однако требуют старта е хорошей начальной точки Проемивные метод1>1 используют взаимосвязь вариационного неравенс пза с задачей нахождения неподвижных ючек проективного соображения, имеют линейную скоросчь сходимости, которая обсч'иечиваечея с войсками сильной моноюннос 1И и линшице-вос in отображений Оелабип» ограничение сильной моноюпноечи иозволяют меч оды -же ipai радиеншою 1ипа, предложенные ГМ. Корпелсвич [СО] и А С Аш ипиным [43] и далее1 изученные, например, в рабспах [71, 67, 132] Для решения задач равновесия наиболее разработаны меюды поиска (едловых точек выпукло-вогнушх (функций (см., напр , [41, 42, 51, 53, 10, 54, 66]) Методы решения для игровых постановок задач равновесия предлагались, например), в pa6oiax [3, 43, 44, 45, 24, 68, 69, 49, 50, 55]

Одним из широко используемым подходом к исследованию и решению вариационных неравенств и задач равновесия являемся построение1 экви-валешной опт ими зационной задачи и дальнейшее применение мемодов ма-тема1ичеч'ке)П) прсмраммирования для ее решения. Важную роль в таком преобразовании шрают оценочные е])ункции (см , напр ,[125, 126, 127, 87, 101, 102]), характеризующие меру енклонения ог решения рассмафивае-мой задачи Подобные1 подходы обычно носят название мемодов спуска но оценочной функции. Для вариационных неравенс ib и задач равновесия такие мемоды описаны, например, в рабспах [14, 70, 87, 101, 127, 59, 134]

Данная диссертционная рабена посвящена одной из форм обобщений вариационною неравечкпза (0 1) — вариационно-подобным неравенс там (0 6) вида

G(x*),F(x)-F(x*)) > 0 VxGX, (0 8) где X 6 R" — замкнутое выпуклое1 множество, G,F X —> Mm заданные однозначные оюбражения Обозначим эту задачу как VLI(G, F, X)

Очевидно, чю если F(x) — х и in = п, то VT(G,X) и VLI(G, F,X) совпадают Неравенс ibo (0 8) весьма схоже с общим вариационным неравенс пзом (0 5), за исключением того, чю (0 8) выполнено для всех х е X и т ф п, а (0 5) для вее'х F{x) £ X Если определил» бифункцию b{x\x) = {G{x*),F{x)-F{x*))> то VLI(G, F, X) можно рассма1ривап> как задачу равновесия (0 7)

Хсня VLI{G, F, X) и имеем свя зь с сущес пзующими постановками вариационных неравечн из и задачами равновесия, она обладает определенной спецификой и мо/kci служип> самое юяюльным обьекюм для исследований

Побуди пильным мо1Ивом к изучению VLI(G, F, X), в часгнсхли, служи! возможное и» преобразования исходною вариационного неравенс пза (О 1) в вариационно-подобное (0 8) с целыо сокращения размерное ш и/или упрощения допус 1имой обласчи исходной 'задачи или применение иных преобразований с целыо улучшения вычисли юльных свойспз исходной 'задачи [64, 83] Кроме юю, при помощи вариационно-подобных неравенств (0.8) можно проводин» полную или час!ичную парамсчрическую коррекцию несовместных сис icm неравенс ib, чю позволясч получиib обобщенные решения рассма1риваемых некоррекшых еисчем [72, 73, 74, 75, 76, 56] В юрминах VLI(G, F, X) естеч пзечшым образом записывакнся условия равновесия экономических сис icm [78, 79, 80, 81, 82]

Основная цель работы cociohi в изучении свойспз вариационно-подобных неравенс пз вида (0 8), получении условий сущесчвования и един-спзенности решений в условиях обобщенной выпуклосчи и моноюнносчи, разработке и нч [ировании численных методов решения VLI{G,F,X). Примени ib полученные результаты для поиска обобщенных решений несовмес тых сис icm неравенств и точек равновесия в экономических системах

Научная новизна работы cociohi в построении вариационно-подобною неравенс 1ва вида (0 8) и усыновлении взаимосвязи с уже сущсч 1вующими постановками, в получении условий существования решений у вариационно-подобных неравенсi в (0 8) на ограниченном и неси раниченном допус iимых множествах в предположениях свойс ib квазивыпуклости и 0-диа1 опальной выпуклое iи, в получении условий существования и единственноеги решения в условиях сильной /''-монотонное i и, (квази, О-диаюналыюй) выпуклое i и, липшицевосчи оюбражений А ыкже, в применении ехем проек1ивною и же фаградиентною мечодов к решению вариационно-подобных неравенств, в разрабо1ке меч ода локальных выпуклых мажорат для решения вариационно-подобных неравсчк ib, основанного на минимизации выпуклой мажорашы оценочной с|)ункции в окресшо-счи приближенного речнечшя В применении вариационно-подобных неравенс ib для параметрической коррекции несовмеччных систем неравенств, а также для решения задач ipaiicnopiHom ценовою равновесия

Достоверность результатов обеспечиваемся строгими маюматче-скими доказате\льс пзами с использованием аппарата выпуклою и функциональною анализа, математическою npoi{)аммирования, юории задач дополни юльности, классической юории задач решения вариационных не>ра-венств и задач равновесия Результат, полученные в процессе проведения числечшых экснерименюв, ыкже подюерждают теоретические выкладки Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная ра-6oia носиi в основном юоречичеекий харакюр Полученные результат расширяю1 тео1)ию сущес пзования решечшй для вариационно-подобных неравенс из Пос iроенные алюршмы вносяi вклад в развюие численных методов решения вариационно-подобных неравечк из Показано, чю при помощи annapaia вариационно-подобных нс1равсчк ib (0 8) можно проводин» полную или часчичную коррекцию несовмесчных систем неравенс ib, экви-валешно переформулировав вариационные неравенс пза с целыо уменьшения размерное 1и и улучшения других вычислительных свойств задачи Структура диссертационной работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка ли1ера1уры

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шамрай, Наталья Борисовна

Заключение

Диссертционная работ посвящена исследованию вариационно-подобных неравенс ib — одному из обобщений задач решения классических вариационных неравенс ib

В рабою получены следующие основные результат

1. Для вариационно-подобных неравенств проведены теоретические исследования условий сущсч пювания и сдинс1вешюс1и решений Доказаны юоремы сущеспювания решений на ограниченном и neoi раниченном допустимых множествах в условиях квазивыпуклости и О-диагоналыюй выпуклости оюбражений Построено дуальное вариационно-подобное неравенство и установлена связь между множеством ею решений и множеством решений вариационно-подобною неравенства Получены условия единственности решения вариационно-подобною неравенс пза в предположениях (строюй, сильной) /'"-моноюннос iи, (квази-, О-диаюналыюй) выпуклости, липшице-вости оюбражений

2 Для решения вариационно-подобных неравенств предложены схемы проективного, экстраградиентного методов, метода локальных выпуклых мажорант и доказана их сходимость

3 Исследованы приложения вариационно-подобных неравенств для преобразования клаеч'ичес'ких вариационных неравенств в вариационно-подобные с целыо упрощения допустимой облае ш и/или сокращения размерности решаемых задач, для провс^дения полной или частичной параметрической коррекции несовместных еисюм неравенств и нахождения обобщенных решений этих систем Получены условия сущсч твования обобщенною решения

4 Проведена программная реализация предложенных мемодов и проделаны вычислительные эксперименты по сравнению эффективности рассматриваемых алюршмов.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы. Пос троенная теория iарантирует в определенных условиях существование и единственность решения у вариационно-подобных неравенств Для поиска решения можно использовать проективный и эксмра1 радиешный меюды, которые имеют глобальную сходи мое и», однако для этого необходимо выполнение весьма oi раничителытых предположениях о свойствах задачи. Предложенный мемод локальных выпуклых мажорант сходится к стационарным точкам введенной оценочной функции и в условиях хорошею начального приближения приводит к решению задачи Вариационно-подобные1 неравенства представляют собой удобный формализм исследования задач по-юковою равновесия и проведения параметрической коррекции несовместных систем неравенств Вычислиюльные экечнримечпы, проведенные на модельных примерах, позволяют надеяться на дек точно высокую (линейную) скорое н> сходимости предлатаемых алгоритмов

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шамрай, Наталья Борисовна, 2007 год

1. Байокки, К Вариационные и квазивариационные неравенства Приложения к задачам со свободной границей Текст] / К Байокки, А Капе-ло М. Наука, 1984. 29G с

2. Базара, М Нелинейное программирование Теория и алюритмы Текст] / М. Базара М., К Uleira М. Мир, 1982 - 583 с

3. Беленький, В.З. Июрагивные меюды в теории игр и программировании Tckci] / В.З Беленький, В А Волконский, С А Иванков и др — М Наука, 1974 240 с

4. Бенсусан, А Импульсное управление и квазивариационные неравенства Токе i] / А Бенсусан, Ж -Л Лионе М Наука, 1987 - 600 с

5. Борисович, К).Г. Мноюзначные оюбражения Tckci] / ЮГ Борисович, БД Гельман, АД Мышкис, В В Обуховскии // Икни науки и техники Mai ем анализ М • ВИНИТИ, 1982 Т.19 С 127-230

6. Булавский, В А Методы релаксации для систем неравенств Текст] учебное пособие / В А Булавский Новосибирск НГУ, 1981 — 84 с

7. Гловински, Р Численное исследование вариационных неравенств Текст] / Р Гловински, Ж-Л Лионе, Р Тремольер М Мир, 1979 576 с.

8. Голый 1сйн, Е Г Модифицированные функции Лагранжа Теория и меюды оптимизации Текст] / Е ГГолышейн, Н.В. Третьяков. — М Наука Гл ред с{)из-ма1 лиг, 1989 — 400 с.

9. Дюво, Г Неравенс пза в механике и с}жзике Текст] / Г Дюво, Ж-Л Лионе М Наука, 1980. 384 с.

10. Евтушенко, Ю Г Meiоды решения -ш 1ремальных задач и их применение в си( юмах онiимитации Текст] /ЮГ Евтушенко — М Наука, 1982. 432 с.

11. Карманов, В Г Маюмашческое upoi раммирование Tckci] / В Г. Карманов М Наука, 1986 288 с.

12. Киндерлерер, Д Введение в вариационные неравенства и их приложения Текс i] / Д Киндерлерер, Г Стампаккья — М Мир, 1983. — 256 с

13. Колмогоров, А Н Элементы теории функций и функциональною анализа Тексч] /АН Колмоюров, С В. Фомин М.: Наука, 1976 - 544 с

14. Коннов, И В Meiоды решения конечномерных вариационных неравенс ib Текс i]• курс лекции /ИВ Коннов — Казань Изд-во "ДАС 1998101 с

15. Левигин ЕС Теория возмущений в математическом программировании и ее приложения Текс i] / Е С Левитин М Наука, 1992. — 306 с.

16. Мулен, Э Теория игр с примерами из математической экономики Текс i] / Э Мулен М Мир, 1985. 200 с

17. Никайдо, X Выпуклые структуры и математическая экономика Текс i] / X Никайдо. М Мир, 1972 - 520 с

18. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу Текст] / Л Ниренберг, М Мир, 1977 - 232 с

19. Нурминский, Е А Численные методы решения детерминированных и стохастических минимакс ных задач Текс т] / Е А Нурминский — Киев Наук думка, 1979 — 160 с

20. Нурминский, ЕА Численные методы выпуклой отнимизации Текст] / Е А Нурминский М • Наука, 1991 168 с

21. Обен, Ж-П Нелинейный анализ и ею экономические приложения-Пер с франц / Ж -П Обен. М. Мир, 1988. - 264 е.

22. Оиойцев, В И Нелинейная сис юмосхаюка Текст] / В И Опойцев — М Наука, 1986 248 е

23. Орнча, Дж Июрационные меюды решения еис юм нелинейных уравнений со многими неизвестными Текст] / Дж Ортега, В Рейнболдг — М Мир, 1975 560 с

24. Поляк, Б Т Введение в ошимизацию Tckci] /ВТ Поляк — М Наука, 1983 384 с

25. Попов, JI Д Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополниiелышети Тежст] учеб пособие / Л Д Попов. — Ека-юринбур1 Изд-во Урал ун-ia, 2001 — 124 с.

26. Пшеничный Б Н. Численные меюды в экстремальных задачах Текст] / Б Н Пшеничный, Ю М Данилин М Наука, 1975 320 с

27. Пшеничный Б Н Необходимые условия экстремума Текст] / Б Н Пшеничный — М Наука, 1982 — 144 с

28. Смоляков, ЭР Равновесные модели при несовпадающих ишереч'ах участников Текст] /ЭР Смоляков М Наука, 1986. 244 с

29. Сухаре1», А Г Курс методов ошимизации Текс i] / А.Г. Сухарев, А В Тимохов, В.В Федоров М Наука, 1986 - 328 с

30. Тодд, М.Дж Вычисление неподвижных точек и приложения к экономике / Tckci] / М Дж Тодд М Наука, 1983 112 с

31. Arrow, К J General (4)inpetitive analysis Текс i) / К ,1 Arrow, F.H. Hahn // Mathematical Eeomoinies Te'xsts California- Holelen-Day, 1971 — 452 p

32. Conn, AR, Trust region methods Tckci] / AR Conn, NIM Gould, Ph L Toint. Philadelphia SI AM, 2000 - 959 p

33. Cottle, R W The linear complementarity problem TeKci]/ R W Cottle, .1 -S Pang, R T Stone New York. Academic press, 1992 7G2 p

34. Facchinei, F Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems Текст] / F Fac clnnei F, J -S Pang — Berlin Springer, 2001 728 p

35. Murty, Katta G Linear complementarity, linear and nonlinear Programming Internet Edition Элек! ровный ресурс] http: //юе. engin. umich. edu/people/f ac/books/murty

36. Nagurney, A. Network economics a variational inequality approach Текс i] / A. Nagurney — Norwell Kluver academ publ, 1993 326 p

37. Patriksson, M Nonlinear Programming and Variational Inequality Problems A Unified Appioach (Applied Optimization) Тексч] / M Patriksson--Berlin Springer, 200G — 356 p1. CiaibH

38. Ашипин, А.С Равновесное программирование проксимальные мею-ды Текст] / АС Ангипин // Авюма1ика и юлемеханика. — 1997. — т С 125-137

39. An iипин, А.С Об одном меюде отыскания седловой ючки модифицированной функции Ла1ранжа Текст] / АС Ашипин // Эконом и Mai ем меюды 1977 Т 13, №3. - С 560-565.

40. Ашипин, АС Градиентные и проксимальные управляемые процессы Текм] / АС Ашипин // Вонр кибернемики — 1992. — Вып 178 — С 32-67

41. Ашипин, А С О сходимос ю и оценках скорое ю сходимости проксимальных мемодов к неподвижным ючкам экстремальных оюбражений Текс i] / А.С. Ашипин // Ж вычисл маюм. и матем фи i — 1995 — Т 35, №5 С 688-704

42. Ашипин, А С Итеративные меюды upoi нснного юна для вычисления нсчюдвижных ючек -жсчремальных оюбражений Тексм] / АС Ашипин // Изв ВУЗов Математика 1995 - Ml - С 17-27

43. Ашипин, АС Вычисление неподвижных точек эксмремальных оюбражений при помощи методов 1радиентною шпа Текс i] / А С Ашипин //Ж вычисл маюм и маюм с}жз 1997 Т37, №1 С 42-53.

44. Бадрисчз, И Б Итерационные1 меюды решения вариационных неравенс ib второю рода с обратно сильно монотонными операторами Tckci] / И Б Бадриев, OA Задворнов // Изв ВУЗов Математика 2003 №6 С 20-28

45. Берщанский, Я М Течфия и мемоды ренкчтия задач дополнительности Tckci] / Я.М. Берщанский, М В Мееров // Автоматика и телемеханика 1983. - № - С 5-31

46. Воеводин В В Матрицы и вычисления Tckci] / В В Воегюдин, Ю А Кузнецов М Наука, 1984 320 с

47. Галиов, Ш И Направления убывания для минимакеиминных задач Тек(ч] / ШИ Галиов //Ж вычисл маюм. и матом, физ 19941. Т 34, №3 С 323-343

48. Галиов, Ш И Нахождение приближенных решений минимаксных задач Текст] / Ш И Галиов //Ж вычисл маюм. и маюм физ — 19941. Т 37, №12 С 1439-1448

49. Голыиюйн, Е Г Обобщенный градиентный метод отыскания (одловых ючек Тек(ч[ / ЕГ Голыиюйн // Эконом и маюм моюды — 19721. Т 8, №4 С 5G9-579

50. Голыиюйн, Е.Г Метод уровней, ею обобщения и приложения Текст] / Е.Г. Голыптейн, А С Немировекий, Ю Е Не( юров // Эконом и магем моюды 1995 Т 31, №3. - С 164-180

51. Демьянов, В Ф Численные моюды отыскания (одловых ючек Tckci] ВФ Демьянов, А Б Певный // Ж вычисл матом и маюм физ 1972 Т 12, №4 -С 1099-1127

52. Евтушенко, Ю Г Численные методы решения нокоюрых задач исследования операций Текс т] / Ю Г Евтушенко, В Г Жадан //Ж вычисл. маюм и маюм физ 1974 Т 14, №5. - С 1138-1149

53. Зуховицкий, СИ Два меюда отыскания ючек равновесия вогнутых шр 11 лиц Текст] / С И Зуховицкий, РА Поляк, М Е Примак // Доклады Академии наук СССР 1969 Т 185 , №1 - С 24-27

54. Зыкина, А В Проективный метод для систем неравенств [Текс т. / А В Зыкина, Н Б Шамрай // Доклады академии наук высшей школы России / Новосибирское оiделение АН ВШ 2005 JH(4) - С 36-43

55. Коннов, И В Об одном классе D-инюрвалытых функций для смешанных вариационных неравенств Токе i] / ИВ Коннов // Изв ВУЗов Маюмашка 1999 №12 С 60-64

56. Концов, И В Комбинированный релаксационный меюд для обобщенных вариационных неравенств Tckci] / ИВ Коннов // Изв. ВУЗов. MaieMai ика 2001 N 12 - С 46-54

57. Коннов, И В Метод спуска но интервальной функции для негладких задач равновесия Текст] /ИВ Коннов, О В. Пинягина // Изв ВУЗов MaieMai ика. 2003 - N 12 С 71-77

58. Корпелевич, ГМ Экстраградиентный меюд для отыскания еедловых точек и друтих задач Текст] / ГМ Корпелевич // Эконом и мат меюды 1976. - Т 1, ЛЧ - С 747-756

59. Нурминский, Е А Об одном классе методов выпуклою программирования Текст] / ЕА Нурминский //Ж вычисл маюм. и маюм. физ 1986 Т 26, №8 - С 1150-1159

60. Нурминский, ЕА О методе отделяющих плоскоеiей с ограниченной памятью Текст] / Е А Нурминский // Вычислительные меюды и программирование — 2006 Т 7 С 133-137

61. Нурминский, Е А. Метод локальных выпуклых мажорант для вариационно-подобных неравенств Текст] / Е А Нурминский, Н Б Шамрай // Ж вычисл маюм и маюм физ — 2007 — Т 47, N°3 С 355363

62. G5. Панин, В М Модели и методы конечномерных вариационных неравенств Тек( ij / В.М Панин, В В Скопецкий, ТВ Лаврина ТВ // Кибернетика и системный анализ. — 2000 — №6 С 47-G4

63. Попов, Л Д Модификация меiода Эрроу-Гурвица поиска еедловых точек Текс i] / Л Д Попов // Мат ем заметки 1980 Т 28, №5 - С 777-784

64. Попов, Л Д О схемах формирования ведущей последовательности в ре1уляризованном -же ipaiрадиенитом меюде решения вариационных неравенств Теки] / ЛД Попов // Изв ВУЗов. Математика 2004.1 С 70-79

65. Примак, М Е Об одном вычислительном процессе отыскания ючек равновесия Tckci] / М Е Примак // Кибернетика 1973. — №1 — С 91-96

66. Примак, М Е К вопросу об отыскании решения модели производс пза-обмена Tckci] / М Е Примак // Эконом и маюм меюды — 1979 — Т 15, № С 559-571

67. Пшеничный, Б Н Меюд решения вариационных неравенств Текст] / Б Н Пшеничный, М У Калжанов // Кибернетика и системный анализ 1992 №6 С 48-55

68. Хобоюв, Е Н О модификации экстраградиентного меюда для решения вариационных неравенств и некоюрых задач оптимизации Tckci] / EH Хобоюв //Ж высисл магем и маюм физ. — 1987. — Т 27, №10 С 1462-1473

69. Шамрай, НБ Два подхода к решению систем неравенств Tckci] / НБ Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин. Маюриалы IV Междунар науч -юхн коне}) , посвященной 60-летию ОмГТУ (Омск,12.14 ноября 2002 г) Омск Изд-во ОмГТУ, 2002 Кн 2 С 209212

70. Шамрай, Н Б О некоторых подходах к решению систем неравенств Тексм] / НБ Шамрай // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" / ОНЦ СО РАН — Омск Полиграфический цешр КАН, 2003. — С. 18-19

71. Шамрай, Н Б О двух подходах к решению сисмем неравенств Текст] / Н Б Шамрай // Омский научный вестник, 2003 N"3 (24) С 55-57.

72. Шамрай, НБ Мсмод последовательных приближений для систем неравенс iв Tckci] / Н Б. Шамрай // Динамика систем, механизмов и машин • Матер V Междунар науч-юхн коне]) (16-18 ноябр 2004 г) / Омск • Изд-во ОмГТУ, 2004 Кн. 2 - С 351-355

73. Шамрай, Н Б Псевдообобщенное вариационное неравенство Текст] / Н Б Шамрай // Российская конференция "Дискрептый анализ и исследование операций" Материалы конференции (Новосибирск, 28 июня-2июля 2004) Новосибирск Изд-во Ин-та математики, 2004 С 137

74. Шамрай, Н Б Приложения вариационно-подобных неравенств Текст] / Н Б Шамрай // Военная техника, вооружение и юхнолении двойною применения . Материалы III Междунар технологии кошресса (Омск, 7-10 июня 2005 г) в 2 ч Омск ■ ОмГУ, 2005. Ч II - С. 146-148

75. Шамрай, II Б Применение1 вариационно-подобных неравенств для решения задач гране порiнемо ценового равновесия Теке i] / Н Б Шамрай // Информатика и сис 1емы управления 2006. — JVT01(11) — С 62-72

76. Шамрай, Н.Б. Применение1 вариационно-подобных неравенс тв для решения задач транспортного ценовою равновесия Тексч] / Н Б. Шамрай // Омский научный вес шик 2006 №4(38) С 71-74

77. Allevi, Е Partitionable mixed variational inequalities Текст] / E Allevi, A Gnudi, I V Konnov, E О Mazurkevich // Quaderm DMSIA 2003 №7 P1-13

78. Auchmuty, G Variational principles for variational inequalities Тек( г] / G Aiuhmuty // Numerical Functional Analysis and Optimization. 1989- V 10 , №9-10 P 8G3-874

79. Bertsekas, D. Projection methods for variational inequalities with application to the traffic assignment problem Текст] / D Bertsekas, E Gafni // Math Programming Study 1982 №17 P 139-159.

80. Bianchi, M Generalized monotone bifunctions and equilibrium problems Тек< i] / M Bianchi, S Schaible // J of Opt Theory and Appl 1996- V. 90, M. P 31-43

81. Bianchi, M. Equilibrium problems under generalized convexity and generalized monotonicity Текст] / M Bianchi, S Schaible // .Journal of Global Optimization 2004 V 30, Issue 2-3 P. 121-134.

82. Blum, E Variational principles for equilibrium problems Текст] / E Blum, W Oettli // Parametric Optimization and Related Topics III/ Edited by J Guddat, H Th Jongen, В Kummer, F Nozicka Frankfurt am Main Peter Lang, 1993 P 79-88

83. Blum, E From optimization and variational inequalities to equilibrium problem Текс i ] / E Blume, W Oettli / / The Mathematics Student -1994 V. 63 P 127-149

84. Brezis, H. A remark on Ky Fan's minimax principle Текст] / H Brezis, L Nirenberg, G Stampaechia // Bolletino della Unione Matematica Itahana- 1972 № P 293-300

85. Browder, F E On the unification of the calculus of variations and the theory of monotone nonlinear operators in Banach spaces Tckci] / F.E Browder // Prot Nat Acad Sei USA 1966 V 56. - P. 419-425

86. Dafermos, S Traffic equilibria and variational inequalities Текст] / S Dafermos // Transportation Science 1980 V 14, №1 P 42-54

87. Damilidis, A Characterization of nonsmooth semistrictly quasiconvex and strictly quasiconvex functions Текс i] / A Dannlidis, N Hadjisavvas // J of Opt Theory and Appl 1999 - V. 102 - P 525-536

88. Dion, N H Some remarks on variational-like and quasi-variational-like inequalities Tckci] / N H Dion // Bulletin of the Australian Mathematical Society 1992 V 46 P. 335-342

89. Fang, Y P Generalized nonlinear quasi-variational-like inequalities for set-valued mappings in Banadi spaces Tckci] / Fang Y P, Clio Y J , Huang N J , Kang S M // Mathematical Inequalities and Applications — 2003 — V 6 №2 P 331-337

90. Fang, S С Generalized variational Inequalities Тексг] / S С Fang, E L Petersen // ,1. of Opt Theory and Appl 1982 V 38 P. 363-383

91. Fichera, G Problomi elastostatui con vmsoli umlaterali ll problema di Signormo con ambiguo eondizioni al contorno Текст] / G Fichera // Atti A< с Naz Lmeei Mem Ser 1964 - V 8, №7 - P 91-140

92. Fukushuna, M Equivalent differentials optimization problems and dos(ont methods for asymmetric variational inequality problems Tow i] / M Fukushuna// Math Programming 1992 V.53, №1 -P 99-110

93. Fukushuna, M Merit functions for variational inequality and (omplementarity problems Текст] / M Fukushuna // Nonlinear Optimization and Applications / Edited by G.B Di Pillo, F Giannessi Now York Plenum Press, 1996 P. 155-170

94. Gailly, В A new resolution method for parametric linear complementarity problem Tckci] / В Gailly , M Installe, Y. Smeers // European Journal of Operational Research 2001. V. 128 - P 639-646

95. Harker, P.T. Newton's method for the nonlinear complementarity problem a B-differentiable equation approach Текст] / PT Harker, В Xiao // Math Programming 1990. - V 48, M. P 339-357.

96. Fan, К A generalization of Tychonoff's fixed-point theorem Текст] / К Fan // Math Annalen 1961 - V 142, №3 P. 305-310

97. Fan, К A monimax inequality and applications Tckci] / К Fan // Inequalities III / Achted by О Shisha New York Academic Press, 1972.- P 103-113

98. Karamardian, S An existence theorem for the complementarity problem Текст]/S Karamardian // Л of Opt Theory and Appl. 1976 - V 19- P 227-232

99. Konnov, IV On the generalized vector variational inequality problem Текст] / I V Korrnov, J С Yao // J of Math Analysis and Appl 1997. -V 206 - P 42-58

100. Konnov, IV On quasimonotonc variational inequalities Tckci] / IV Konnov // J of Opt Theory and Appl 1998 V.99 - P 165-181

101. Konnov, IV Duality for equilibrium problems under generalized monotomeity Tckci] / I.V. Konnov, S Sehaible // J of Opt Theory and Appl 2000 V. 104 - P 395-408

102. Konnov, I V. Mixed variational inequalities and economic equilibrium problems Tckci] / I V Konnov, E О Volotskaya // J of Appl Math — 2002. V. 2, №6 - P 289-314

103. Lescarret, С Gas d'addition des applications monotones maximales dan uii espace de Hilbert Tckci] / С Lescarret // С R Acad Sci , Paris — 19G5 V 261 - P 1160-1163

104. Luc, D.T. Local uniqueness of solutions of general variational inequalities Текст] / D T Luc, M A Noor // Л of Opt. Theory and Appl 20031. V 117, M P 103-119

105. Mosco, U Implicit variational problems and quasivariational inequalities Тек( i ] / U Most о // Lect Notes Math Berlin Springer-Verlag, 1976- V 543 P 83-156

106. Nikaido, H Note on noiicooporative convex games Текст] / H Nikaido, К Isoda // Pacific J Mathematics 1955 - V 5, M - P 807-815

107. Noor, MA General Variational Inequalities Текст] / MA Noor // Applied Mathematics Letters 1988 - V. 1, №. - P 119-121

108. Noor, MA Variational-like inequalities Tckci] / MA Noor // Optimization 1994 - V 30 - P 323-330.

109. Noor, M A Sensitivity analysis for quasi-variational inequalities Текст] / M A Noor // J of Opt Theory and Appl 1997 - V 95, №2 P 399-407

110. Noor, M A Mant func tion for variational-like inequalities Tckci] / M A Noor // Mathematical Inequalities and Applications — 2000 V 3 №1.- P 117-128

111. Noor, MA Nonconvex function and variational inequalities TckciJ / M A Noor // Л of Opt Theory and Appl 2002 V 115 - P 447-452

112. Pang, J -S Asymmetric variational inequality problems over product sets applications and iterative methods Tckci] / J-S. Pang // Math. Programming 1985 V 31, №2 P 206-219

113. Parida, J A variational-hke inequality problem Текст] / Л. Parida, M. Sahoo, A Kumar // Bulletin of the Australian Mathematical Society — 1989 V 39 P 225-231

114. Patriksson, M. A Class of Gap Functions for Variational Inequalities Tckci]/М Patriksson//Math Programming 1994 V 64, №1-3 -P 53-79

115. Patriksson, M Merit functions and descent algorithms for a class of variational inequality problems Теки] / M. Patriksson // Optimization1997 V 41, №1. P 37-55

116. Peng, Л -M. Equivalence of variational inequality problems to unconstrained minimization Текст] / J -M Peng // Math. Progr — 1997 V 78, №3 P 347-355

117. Rosen, Л В Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-person games Tckci] / Л.В Rosen // Ecomometrica — 1965 V 33, №3. P. 520-534.

118. Siddiqi, A N On variational-hke inequalities Текст] /AN Sidchqi, A Khaliq, Q H Ansari // Annales des Sciences Mathematiques du Quebec — 1994 V 18, №1 P. 95-104

119. Stampacchia, G Formes bilineaires coercitives sur le ensembles eonvexes Теки] / G Stampacchia // Coinp Rend Acad Sci Paris 1964 V 258, №18 P 4413-4416

120. Ton, В A Time-dependent quasi-variational inequalities and the Nash equilibrium Tckci] / В A Ton // Nonlinear Analysis 2000 V 41, №7-8 P 1057-1081

121. Tseng, P On linear convergence of iterative methods for the variational inequality problem Tckci] / P. Tseng // J. of Coinput and Applied Mathematics 1995 V CO, №1-2 - P 237-252

122. Xiu, N H Global projection-type error bounds for general variational inequalities Текст] / N H Xiu, Л Z Zhang // Л. of Opt Theory and Appl.2002 V. 112, №1 P 213-228

123. Yamashita N Unconstrained optimization formulations of variational inequality problems Tckci] / N Yamashita, K. Taji, M Fukushima // J of Opt Theory and Appl 1997 - V. 92, №3. - P 439-45G

124. Zangwill, W I Equilibrium programming the path-fllowmg approach and dynamics Текст] / W I Zangwill, С В Garcia// Math Programming — 1981 V 21 - P 2G2-289.

125. Zhou, ЛХ On diagonal convexity conditions for problems in convex analysis and quasi-variational inequalities Текст] / Л X Zhou, С Goong //Л of Math Analysis and Appl 1988 V 132, №1 P 213-2251. ЭлСКфОННЫР ррсурсы

126. Stanford Виыпеьь Software Inc. Электронный ресурс] http: 11 www. sbsi -sol-opt iraize. com/asp/solproductmmos. htm

127. Octave Home Page Элекфонный ресурс] http://www.octave.org.