Устойчивые случайные величины и векторы с комплексным индексом устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Алексеев Иван Алексеевич

• Алексеев Иван Алексеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Алексеев Иван Алексеевич

1.3. Предельные теоремы

1.4. Устойчивые процессы Леви и отвечающие им полугруппы операторов

1.5. Моделирование

2. Устойчивые случайные величины с комплексным индексом устойчивости. Общий случай

2.1. Определение а-устойчивой случайной величины

2.2. Свойство алгебраической устойчивости

2.3. Характеризационное свойство

2.4. Предельные теоремы

2.5. Устойчивые процессы Леви и отвечающие им полугруппы операторов

2.6. Комплексно-устойчивые случайные величины

3. Устойчивые случайные векторы с комплексным индексом устойчивости

3.1. Определение а-устойчивого вектора

3.2. Предельные теоремы

3.3. Устойчивые процессы Леви и отвечающие им полугруппы операторов

3.4. Комплексно-устойчивые случайные векторы

3.5. Устойчивость относительно кватернионов

4. Вероятностное приближение оператора типа Римана-Лиувилля с индексом

устойчивости больше двух

4.1. Несимметричный случай

4.2. Симметричный случай

Заключение

Приложение. Операторно-устойчивые случайные векторы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые случайные величины и векторы с комплексным индексом устойчивости»

Введение

Целью настоящей работы является определение устойчивых случайных величин и векторов с комплексным индексом устойчивости а, удовлетворяющим условию |а —1| < 1, и исследование их свойств.

Напомним, что в вещественном случае случайная величина £ называется устойчивой, если для всех Ь1, Ь2 > 0 существуют константы Ь > 0 и а Е К такие, что Ь1£1 + Ь2£2 = Ь£ + а (знаком = мы всегда будем обозначать равенство по распределению), где £1, £2 — независимые копии £. Распределения устойчивых случайных величин также называются устойчивыми. Если для всех Ь1, Ь2 константа а = 0, то такую случайную величину называют строго устойчивой. Известно (см. напр., [7]), что для всякой устойчивой случайной величины найдется параметр а Е (0, 2] такой, что константы Ь1, Ь2 и Ь связаны соотношением

Ьа + Щ = Ьа.

Одномерные устойчивые распределения хорошо изучены (см. [5], [7], [8], [11], [24], [27]). В частности, Полем Леви (см. [24]) было доказано, что устойчивые распределения и только они являются пределами по распределению для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с вещественными центрированием и нормированием. В настоящей работе (см. §2.6) результат П. Леви будет почти дословно обобщен на комплексный случай, именно, будет доказано, что построенные устойчивые случайные величины и только они будут пределами по распределению для сумм независимых одинаково распределенных комплекснозначных случайных величин с комплексным центрированием и нормированием.

Известно, что характеристическая функция одномерного устойчивого распределения имеет следующий вид

Ееы = ехр{гра — С|р|а(1 — iвsgn(p)ш(p,а))}, р Е К, (1)

p, P = 0; I tg Па, a = 1;

где a E R, C ^ 0, 0 < a ^ 2, -1 ^ в ^ 1, sgn(p) = { |p| , w(p,a) =

0, P = 0 I— П log |p|, a = 1.

При a =1 в случае строгой устойчивости a = 0.

Классические a-устойчивые распределения определены только для значений a E (0, 2] и зависят от двух параметров C > 0 и в E [—1,1] (в случае a = 2 параметр в = 0). При других значениях a можно рассматривать устойчивость только для мер, причем невероятностных. В частности, А.М. Вершиком с соавторами и М.А. Лифшицем (см. [2], [12]) были построены a-устойчивые распределения для a = 0. В работах [18], [29] были построены невероятностные аналоги a-устойчивых распределений для случаев a E (2,4) U (4, 6). Затем в работе [14] М.В. Платоновой этот метод был обобщен на случай a > 2. При помощи построенных a-устойчивых распределений были получены вероятностные представления решений задачи Коши для эволюционных уравнений с оператором Римана-Лиувиля.

Аналогичным образом определяются a-устойчивые вектора. Случайный вектор £ называется устойчивым, если для всех bi, b2 > 0 существуют константы b > 0 и a E R1 такие, что + b2£2 = b£ + a, где £1, £2 — независимые копии £. Многомерные устойчивые распределения также хорошо изучены (см. [22], [27]). В частности, известна полная характеризация a-устойчивых векторов. В случае, когда a E (0, 2) случайные векторы являются безгранично делимыми и их мера Леви Л равна

оо

Л(Б) = / / 1б (г ■ s) r+a

Sl 0

где B — борелевское множество на R1, S1 — единичная сфера в R1, A(ds) — некоторая конечная мера на S1.

При a = 2 векторы являются гауссовскими и, соответственно, однозначно определяются вектором математических ожиданий m и матрицей ковариации Q.

В многомерном пространстве, в отличие от одномерного, класс устойчивых законов гораздо шире чем класс a-устойчивых законов. Так, например, в [15] вводится понятие устойчивости относительно некоторой группы матриц M. Более точно, случайный вектор £, со значениями в R1, называется устойчивым, если для любых M1, M2 E M существует M E M и m E R1 такие, что

Mi£i + M2£2 = M£ + m,

где £1, £2 — независимые копии случайного вектора £.

В [28] вводится равносильное понятие операторно-устойчивых законов, которые являются пределами для сумм независимых одинаково распределенных векторов с матричной нормировкой и векторным центрированием. В [25] было доказано, что для всех таких законов существует экспонента, то есть существует вещественная матрица Е Е К1х1 такая, что для любого п Е N найдется тп Е К1 такой, что

£ e(k) = nE е+■

п £ + тп к=1

где £(к) — независимые копии вектора £. Матрица пЕ Е определяется как

к

nE = ein= ^0^E_. (3)

k=0 '

Класс построенных в настоящей работе а-устойчивых случайных величин оказывается значительно шире, чем класс двумерных а-устойчивых случайных векторов и, одновременно, является подклассом операторно-устойчивых двумерных векторов, но с ним не совпадает. В §2.2 мы явно выпишем их экспоненту, которая однозначно определяется числом а.

Поясним здесь основную идею построения устойчивых случайных величин, соответствующих комплексным а. Для простоты ограничимся здесь аналогами односторонних устойчивых величин и случаем

|а - 1/21 < 1/2. (4)

Хорошо известно, что устойчивые величины могут быть заданы стохастическим интегралом по пуассоновской случайной мере (см. напр., [27]). Напомним, что если Y — пуассоновское случайное поле с некоторой мерой интенсивности n(dy) (см. напр., [10]), то ему отвечает пуас-соновская случайная мера, задаваемая формулой v(А) = card(X П А). При этом,

Ev (A) = П(А).

Для задания односторонних устойчивых случайных величин обычно используется пуассо-новское случайное поле Y и отвечающая ему пуассоновская случайная мера vi(dy) на (0, то) с мерой интенсивности nl(dy) = yßa. Известно, что а-устойчивая случайная величина с параметрами C = сов(па/2)Г(-а), а = 0, и ß =1 (параметры определены (1)) задается следующим стохастическим интегралом (см. напр., [27])

6 = yvi(dy) = ^2 у. (5)

о

Рассмотрим отображение у = ж-1/а. По теореме об отображении (см. [10], стр. 33), множество X = {у-а : у Е У} является пуассоновским полем с мерой интенсивности Ev(¿ж) = 1 ¿ж, где V — отвечающая полю X, пуассоновская случайная мера. Делая замену переменной, получаем

те те

У yv1(dy) = J ж-1/^(¿ж). о о

Так как устойчивые случайные величины при умножении на вещественную константу остаются устойчивыми, то одностороннюю а-устойчивую случайную величину можно задавать следующим стохастическим интегралом

те

£ = / ж-1/°^ (¿ж) = ^ ж-1/а, (6)

0 хех

где X — пуассоновское поле на (0, то) с мерой интенсивности Ev(¿ж) = ¿ж. Здесь V — отвечающая полю X, пуассоновская случайная мера.

Рассмотрим теперь комплексное число а, удовлетворяющее (4). В этом случае а-устойчивую случайную величину будем определять как стохастический интеграл по пуассоновской случайной мере. Для определения устойчивой случайной величины формула (5) не подходит (мера интенсивности не может быть комплексной), поэтому вместо нее мы будем использовать формулу (6). При этом, с точностью до мультипликативной константы случайная величина, определенная (6) по распределению совпадает со следующим стохастическим интегралом

те

£1 = У же*71пxv(¿ж) = ^ же*71пх, (7)

о хеХх

где а-1 = а + Ы, 7 = Ь/а, X! — пуассоновское поле на (0, то) с мерой интенсивности

П(^ж)

йх

с1 + 1 /а ■

В случае |а — 1/2| < 1/2 представление (7) задает комплексную случайную величину, которую будем одновременно интерпретировать и как двумерный случайный вектор. Такая случайная величина является комплексным аналогом односторонней случайной величины. Распределение а-устойчивых случайных величин будет двумерным безгранично делимым, с мерой Леви, сосредоточенной на кривой

Го = {ж1+*7 : ж > 0} = {же*71пх : ж > 0}.

Отметим, что Го — логарифмическая спираль, определяемая в полярных координатах следующим уравнением

Кривая Г0 обладает свойством замкнутости относительно умножения на элементы Г0. Кроме того, важную роль играет следующее соотношение

где dS — дифференциал дуги кривой. То есть, с точностью до мультипликативной константы, х является натуральным параметром.

В вещественном случае (7 = 0) эта кривая вырождаются в положительную полуось.

Введенные комплекснозначные случайные величины обладают обычным условием устойчивости, но с заменой положительной полуоси на логарифмическую спираль Г0. Именно, если £1, £2 — независимые копии а-устойчивой случайной величины £ (определенной (7) ) с комплексным а, то для всех А, В Е Г0 существует С Е Г0 такое, что

Комплексные числа А, В, С при этом связаны соотношением Аа + Ва = Са.

Результаты диссертации.

Глава 1 посвящена изучению свойств а-устойчивой случайной величины, задаваемой (7), и ее двусторонних аналогов, зависящих, как и в вещественном случае (см. напр., [8]), от параметров с+ ^ 0, с- ^ 0, с+ + с- > 0. В §1.1 будет показано, что для а, удовлетворяющих (4), ряд (7) сходится абсолютно с вероятностью единица. Также в §1.1 выводятся формулы для характеристической функции устойчивого распределения, в §1.2 исследуется свойство устойчивости, в §1.3 доказывается теорема о сходимости сумм независимых случайных величин. В §1.4 строятся аналоги устойчивых процессов Леви, а также находится генератор соответствующей полугруппы операторов.

Глава 2 посвящена построению случайных величин, удовлетворяющих условию (8), но, возможно, с комплексным сдвигом. Распределения построенных случайных величин будем называть а-устойчивыми с комплексным параметром а. Множество значений параметра а будет

71п г =

А£1 + В£2 = С£.

а

(8)

расширено до области

|а — 1| < 1. (9)

Отметим, что при а, удовлетворяющих (4), введенный в Главе 2 класс распределений будет шире, чем класс, рассматриваемый в Главе 1. Случайные величины будут зависеть не от параметров с+, с-, а от некоторой конечной меры на единичной окружности и параметра сдвига. При 7 = 0 (то есть при а Е К) введенный класс распределений будет совпадать с классом всех двумерных а-устойчивых законов.

Для вещественных а в качестве определения устойчивости берется соотношение (8). Хорошо известно (см. напр., [27]), что всякую негауссовскую (а < 2 ) случайную величину можно задать как стохастический интеграл по пуассоновской случайной мере. Для комплексных а нам будет удобнее сразу (как и в главе 1) определять устойчивую случайную величину как интеграл по пуассоновской случайной мере, а уже потом доказывать, что для построенных случайных величин справедливо (8).

В §2.1 определяются комплекснозначные а-устойчивые случайные величины для а, удовлетворяющих (9), находятся представления для их характеристических функций, и показывается, что построенные распределения являются безгранично делимыми. В §2.2 исследуется свойство устойчивости и показывается, что построенные случайные величины удовлетворяют (8), но, возможно, с комплексным сдвигом д. Также условие устойчивости переписывается в матричных терминах и доказывается, что распределения, рассматриваемые как двумерные, являются операторно-устойчивыми и находится их экспонента (в смысле работы [25]). Далее, в §2.3, показывается, что свойство устойчивости (8) является характеризационным для построенного класса случайных величин. В §2.4 формулируются и доказываются достаточные условия для принадлежности к области притяжения комплекснозначных а-устойчивых случайных величин. Далее, в §2.5 вводятся а-устойчивые процессы Леви, строятся соответствующие полугруппы операторов и находятся их генераторы. Параграф 2.6 посвящен описанию множества предельных распределений в схеме суммирования комплексных н.о.р. случайных величин с комплексными нормировкой и центрированием. Для вещественных случайных величин соответствующий результат был получен Полем Леви в начале 1930-х годов [24]. Леви была доказана теорема, о том, что если частичные суммы последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин после соответствующей нормировки имеют слабый предел, то этот предел обязательно является устойчивым с некоторым индексом устойчивости а Е (0, 2], причем это

условие является необходимым и достаточным.

Для случая суммирования комплексных случайных величин было известно только достаточное условие принадлежности к классу предельных законов. Действительно, всякую комплексную случайную величину можно рассматривать как двумерную, и, значит, при использовании только вещественной нормировки мы заведомо получим в качестве пределов класс всех двумерных устойчивых случайных векторов (см. напр., [22]). Индекс устойчивости а двумерных случайных векторов, как и в одномерном случае, может принимать значения только из интервала (0, 2]. В §2.6 мы покажем, что необходимым и достаточным условием принадлежности к классу предельных распределений в комплексном случае является а-устойчивость с некоторым комплексным а. При этом, число а или равно 2 (двумерный гауссовский вектор), или удовлетворяет (9), что означает, что результат П. Леви почти дословно переносится на комплексный случай. В частности это означает, что класс предельных комплексных случайных величин значительно шире, чем класс двумерных а-устойчивых векторов с вещественным а.

В главе 3 мы обобщим понятие комплексной устойчивости на случай случайных векторов со значениями в С1.

В §3.1 определяются комплекснозначные а-устойчивые случайные векторы для а, удовлетворяющих (9), показывается, что построенные распределения являются безгранично делимыми и находится их мера Леви. В §3.2 формулируются и доказываются достаточные условия для принадлежности к области притяжения комплекснозначных а-устойчивых случайных векторов. Далее, в §3.3 вводятся а-устойчивые процессы Леви, строятся соответствующие полугруппы операторов, и находятся их генераторы. Параграф 3.4 посвящен описанию множества предельных распределений в схеме суммирования комплексных н.о.р. случайных векторов с комплексными нормировкой и центрированием. В §3.5 рассматривается еще одно обобщение с комплекснозначных случайных величин на кватернионно-значные случайные величины. Для них также вводится понятие устойчивости и показывается, что всякая кватернионно-устойчивая случайная величина получается линейным преобразованием из двумерного а-устойчивого комплексного вектора с некоторым параметром а.

В Главе 4 вводится оператор типа Римана-Лиувилля для случаев д Е и^1(4к, 4к + 1) и (4к +1, 4к + 2), который является обобщением введенных в Главах 1 и 2 генераторов полугрупп.

Более точно, будет рассматриваться оператор

(L/)(x1,x2) = |a|y (/(x - y) - g j^D/(x1,x2)[y1 y^ где y = (УъУ2^

Го j=0

Dn/Ы =( dXiyi + ») (У1'У2) = g d/ ■ j

n

d / . „,Kj~k

n

k=0 dx1dx2

Оператор L будем называть оператором типа Римана-Лиувилля. В случае, когда q Е (0,1) U (1, 2), то такой оператор является генератором полугрупп, рассматриваемых в главах 1 и 2. В случае, когда y = 0 (т.е. кривая Г0 вырождается в положительную полуось) с точностью до константы оператор L является оператором дробной производной. Рассмотрим следующую задачу Коши

du

— = Lu, u(0,x) = <^(x), (10)

где функция <^(x) принадлежит пространству L2(R2).

В работе [14] строятся вероятностные приближения для задачи Коши (10) в случае y = 0. Аналогично вещественному случаю в §4.1 будут построены вероятностные приближения задачи Коши (10) в случае, когда y Е R и q Е (J^=1(4fc, 4k + 1) U (4k + 1, 4k + 2). В §4.2 вводится симметричный оператор типа Римана-Лиувилля Ls для параметров q Е (J^=1 (4k, 4k + 2), y Е R и также будет получено вероятностное приближение задачи Коши

du

— = Lsu, u(0,x) = <^(x), (11)

где функция <^(x) принадлежит пространству L2(R2).

Для удобства читателя, в приложении приведены основные результаты об операторно-устойчивых случаайных векторах, необходимых для данной диссертации.

Результаты по теме диссертации докладывались автором на международной конференции «New Trends in Mathematical Stochastic» (Санкт-Петербург, сентябрь 2021), на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистики под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, сентябрь 2021 г., март 2022 г.), на конференции «XXXII Крымская Осенняя Математическая Школа» (Алушта, сентябрь, 2021 г.), на семинаре «Вероятность и математическая статистика» (Санкт-Петербург, Москва, Новосибирск, октябрь 2021, май 2022), на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ

(Москва, ноябрь 2021), на международной конференции «St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physic» (Санкт-Петербург, декабрь 2021), на семинаре «Вероятность и аппроксимация » (Смоленск, апрель 2022), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (Санкт-Петербург, май 2022), на XXIII Международной научной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, май 2022), на международной конференции «Branching processes, random walks and probability on discrete structures» (Москва, июнь 2022).

Эти результаты содержатся в 3 работах [30]—[32], опубликованных в ведущих научных журналах из списка, рекомендованного ВАК.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Основные результаты работы сформулированы в виде теорем. Вспомогательные утверждения сформулированы в виде лемм.

Общий объем диссертации составляет 98 страницы. Список литературы содержит 37 наименований.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Наталии Васильевне Смородиной, за постановку интересных задач, постоянное внимание и поддержку, полезные обсуждения и ценные советы, замечания и комментарии.

Основные обозначения и определения

В рамках настоящей работы рассматриваются значения а, удовлетворяющие условию

|а - 1| < 1. (12)

На комплексной плоскости такие а лежат в круге, изображенном на рисунке

У / / / " V \ N

/ — // а \ \ \

0 \\. И \ б 1 0 1 б 2 / / .0 2.

N \ \ ч / / / ✓

Вместо комплексного параметра а оказалось удобнее использовать пару вещественных параметров (д, 7), определяемых по а следующим образом

а = И,е а ; Ь = 1т а ; д = 1/а; 7 = Ь/а.

13)

Параметр д будем называть параметром устойчивости, параметр 7 — параметром комплексности. Для вещественных а параметр д = а, а 7 = 0.

Параметры д, 7 однозначно определяют параметр а. Именно, верно следующее равенство

а

д

1 + ¿7

14)

Аналогично вещественному случаю выделим 3 различных случая: д Е (0,1), д =1 и д Е (1, 2).

1.0г

0. бг

0.0

б

-0.5г

-1.0г

На комплексной плоскости данные условия переписываются в следующем виде

д € (0,1) тогда и только тогда, когда |а — 1/2| < 1/2;

д =1 тогда и только тогда, когда |а — 1/2| = 1/2, а = 0;

д € (1, 2) тогда и только тогда, когда |а — 1| < 1, |а — 1 /21 > 1/2.

Отметим, что все условия на а формулируются только в терминах параметра д, а параметр 7 является любым вещественным.

Зафиксируем 7 € К и введем семейство Г^ логарифмических спиралей на комплексной плоскости, зависящее от параметра ^ € [0, 2п), полагая

Г^ = |ж1+г7вгф : ж> 0}. (15)

Приведем несколько простых свойств кривых Г^. Для начала отметим, что кривые Г^ получаются поворотом Г0 на угол Именно,

Г^ = ег^ ■ Го.

Кривая Г0 в полярных координатах задается уравнением

71п г =

где г — полярный радиус, ^ — полярный угол.

Рассмотрим биективное отображение 3 : (0, то) ^ Г0 вида

3: жи- ж1+гт, ж> 0.

Заметим, что для всех ж1, ж2 > 0 выполнено

3(Ж1 ■ Ж2) = 3(Ж1) -3(Ж2). (16)

В дальнейшем мы часто будем отождествлять комплексные числа с двумерными векторами. При таком отождествлении умножение на комплексное число будет соответствовать умножению вектора на матрицу. В частности, для любого й > 0 умножение комплексного числа у1 + гу2 на

комплексное число й1+г7 соответствует умножению вектора на матрицу

, ео8(71п й) — вт(71п й) ,

И1 (й) = й | и 1 и ^ | . (17)

в1п(71п й) 003(71п й) 14

Более точно,

У1 I = М7(й) I 1 I тогда и только тогда, когда + гу2 = й1+г7(ж1 + гх2). (18)

\х2 у/

Введем множество матриц 2 х 2

М7 = |М7(й): й> 0}. (19)

Отображение й ^ М7 (й) есть гомоморфизм групп. Значит М7 — группа по умножению, изоморфная группе положительных чисел по умножению.

Отметим, что для любого й > 0 матрица М7(й) постоянным множителем отличается от унитарной матрицы и значит для нее корректно определено возведение в степень (см. напр., [3, Теорема. 2, стр. 117]). Для унитарных матриц возведение в вещественную степень означает возведение собственных чисел в данную степень. Воспользуемся этим соображением и получим, что матрица М"(й) соответсвует умножению на комплексное число

(й1+г7 у = ^(а+гЬ)а = ¿в,

что означает, что матрица М^й) есть диагональная матрица вида

МДО = I I . (20)

у 0

Из (16) следует несколько важных свойств логарифмических спиралей — свойства замкнутости и самоподобия. Именно, для любых — Е [0, 2п) и й > 0 выполнено

а (й) ■ г^ = г^ (21)

и

|х1+г7вгф : х > й} = а(й) ■ |х1+г7вгф : х > 1}. (22)

Для любого — Е [0, 2п) и для любых 0 ^ с < й ^ то естественным образом определяется понятие открытого интервала (с, й)на кривой Г^ как

(с, й)= |х1+г7ег^ : с < х < й}. (23)

Из (22) следует, что для любых 0 < с < й ^ то выполнено

(с, й) = а (с) ■ (М/с) .

Важную роль играет следующее соотношение

= УТГт2 йж, (24)

где — дифференциал дуги кривой Г0. Это означает, что с точностью до мультипликативной константы, ж является натуральным параметром кривой Г0. Отметим также, что является образом меры Лебега при отображении 3.

Доказательство равенства (24) производится прямым вычислением модуля градиента замены у1 = жсов(71пж), у2 = жвт(71пж), где ж > 0. Несложно видеть, что

( ¿Х, ¿Х) =(сой(71пж) — 7в1п(71пж))2+(вт(71пж) + 7003(71пж))2 = 1 + 72.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Утверждение 1. Для любого 7 € К множество Г0 х [0, 2п) изоморфно С \ {0}.

Доказательство Покажем, что любое комплексное число г = 0 можно единственным образом представить в виде й1+г7ег^, где й > 0, ф € [0, 2п).

Так как г = 0, то существуют единственные числа г > 0 и ^ € [0, 2п) такие, что г = гег^. Рассмотрим й = г и ф = (^ — 71п г) (mod 2п). Тогда

й1+г7ег^ = г . егТ 1п г+г(^-71п г) = гег^ = г

Осталось показать единственность. Пусть

г = й1+г7 е^1 = й2+г7 ег^2. (25)

В (25) рассмотрим модуль. Тогда имеем й1 = й2. Отсюда следует, что

(71пй1 + ф1) (mod 2п) = (71пй2 + ф2) (mod 2п). Так как ф1, ф2 € [0, 2п), то ф1 = ф2. □

Разложение комплексного числа из утверждения 1 назовем квази-полярным разложением. Так как при 7 = 0 спираль Г0 вырождается в положительную полуось, то такое разложение действительно обобщает классическое полярное разложение. Докажем одно свойство квази-полярного разложения.

Утверждение 2. Пусть f Е Ь1(Е2). Тогда для любого 7 Е К выполнено

2п те

У f (х,у)йхйу = J У г ■ f (г 003(71пг + —),г вт(71п г + —.

К2 0 0

Доказательство. Сделаем квази-полярную замену переменной х + ¿у = г1+г7ег^. Вычислим якобиан замены.

дх ду ду дх дг д— дг д—

д(г оов(71п г + —)) д(г в1п(71п г + —)) д(г вт(71п г + —)) д(г 003(71п г + —))

dr д— dr д—

= r( cos(7ln r + —) — ysin(Ylnr + -0)) cos(7ln r + —)

+ r( sin(7ln r + —) + 7 cos(7ln r + —)) sin(7ln r + —) = r. □ Сформулируем одно полезное следствие утверждения 2. Следствие 1. Пусть f^) Е Li(R2). Тогда для любого 7 Е R выполнено

2п те 2п те

У У f (r cos p,r sin (^)drd^ = У У f (h cos(7ln h + —),hsin(7ln h + —. (26)

00 00

Обобщим квази-полярное разложение на случай многомерного комплексного пространства

C1, l Е N. В пространстве C1 мы используем норму

||z||2 = £ |zfc |2, где z =(zi,...,zi)T

k=1

Зафиксируем 7 Е К и введем семейство Г кривых в /-мерном комплексном пространстве С1, зависящее от параметра в Е 5С, полагая

Г, = |х1+г7в: х > 0}. (27)

Здесь и далее, 5С = (г Е С1: ||г|| = 1} — единичная сфера в С1. Несложно видеть, что изоморфна единичной сфере в К21.

Отметим, что кривые Г, получаются умножением друг друга на элемент из 5С. Именно,

Г, = в ■ Го,

где Г0 С С определяется (15).

Для любого в Е ¿с и для любых 0 < с < й ^ то введем обозначение

(с, й)7>в = в : с < х < й}. (28)

Тогда из (22) следует, что

М)7>в = 3(с) ■ ГДМ/с).

Как и в одномерном случае, верно следующее утверждение.

Утверждение 3. Для любого 7 € К множество Г0 х ¿С изоморфно С1 \ {0}.

Аналогично предыдущему случаю назовем такое разложение квази-сферическое разложением.

В главе 3 мы будем отождествлять /-мерный комплексный вектор с (2/)-мерным вещественным вектором. Такое отождествление не единственно. Нам будет удобно выбрать отображение К: С1 ^ К21, определяемое следующим образом

¿1

(Яе ¿Л

1т ¿1

УЧ

(29)

у 1т ¿г

В главе 4 мы будем использовать преобразование Фурье в ¿2(К2). Прямое преобразование Фурье определяется как

£(Р1,Р2) = (¿2) Иш / ^(ж1,Ж2)вг(Р1Х1+Р2Х2 ^Ж^, м ^те ^

||х||<М

(30)

а, соответственно, обратное преобразование как

^(Х1,Х2) = (Ь2) МТсо / 4П2

||р||<М

,Р2 )в-г(Р1Ж1 +Р2Ж2)ф1 йр2.

Через Ж?(К2) буде м обозначать соболевское пространство функций, определенных на К2 и имеющих квадратично суммируемые обобщенные производные до порядка к включительно (см. [20], стр. 146). В пространстве (К2) выберем норму (эквивалентную стандартной (см. [20], стр. 190))

ж* (я) = (1 + 11-Н|2к )|^?(Р1,Р2)|2^Р1 Ф2.

Для ограниченного оператора А : (К2) ^ ^2(К2) через

||Ах||ш I

||А||шк = йиР ~п~~п 2 хеш*\{о} ||х||ш|

будем обозначать соответствующую операторную норму.

Через СЬ°(К2) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых функций с ограниченными производными любого порядка.

Глава 1.

1 Г и о у

Простейшие устойчивые случайные величины с комплексным индексом устойчивости.

1.1. Определение а-устойчивой случайной величины.

Рассмотрим комплексный параметр а. Будем рассматривать а, удовлетворяющий условию (4). Покажем, что в этом случае ряд (6) сходится абсолютно с вероятностью единица. Пусть

АЛ

£ = £1 + ¿£2, £1, £2 ^ К. Случайный вектор I I тоже является стохастическим интегралом

Ы

по пуассоновскому полю X на (0, то) с мерой интенсивности ^(^х) = ^х от вектор-функции (напомним, что а = И,е а-1.)

(х-а сов(&1п ж) ( )

—х а вт(61п х)

По теореме Кэмпбелла (см. напр., [10], стр. 44,45) получаем, что данный стохастический интеграл сходится абсолютно с вероятностью единица тогда и только тогда, когда

те те

У шт(|/(ж)|, 1)^(^х) = У шт(х-а, 1)^(^х) < то, о о

Это условие равносильно тому, что а > 1. Это в точности будут а для которых выполнено

условие (4).

Случайную величину, задаваемую (6) оказалось сложно обобщать на случай неодносторонних распределений. Чтобы справиться с этой проблемой немного модифицируем наше определение.

Рассмотрим случайный вектор | ^

х-а сов(&1пх) ,

; V(йх). (1.1)

0 —х-а в1п(61п х)

В стохастическом интеграле (1.1) сделаем замену переменной у = х-а. Пуассоновское поле X с мерой интенсивности Ev (йх) = йх перейдет в пуассоновское поле У с мерой интенсивности

ЖР(йу) - —^ -

1+е '

Получим

\ те / \ те / \

(' [ сад^а1п уН ... Г [ сад^1п уН ... = У г/(«У) = У\ г/(«У).

6/ 0 ^вт^а1п У^ 0 \81п(71п У)/

Последняя формула есть мотивация для введения следующего определения.

Определение 1. Устоичивои случайной величиной с комплексным индексом устойчивости а, удовлетворяющим (4) и параметрами с- ^ 0, с+ ^ 0 будем называть комплексную случайную величину С = + ¿С2, задаваемую как стохастический интеграл по пуассоновской случайной мере V(йф) с интенсивностью П(йх)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Алексеев Иван Алексеевич, 2022 год

Литература

[1] П. Биллингсли Сходимость вероятностных мер, Наука, Москва, 1977.

[2] А.М.Вершик, И.М. Гельфанд, М.И. Граев Коммутативная модель представления группы токов 5Х(2, К)х, связанная с унипотентной подгруппой , Функциональный анализ и его приложения, 17(1983), 70-72.

[3] Ф.Р. Гантмахер Теория матриц, Наука, Москва, 1966.

[4] И.И. Гихман, А.В. Скороход Введение в теорию случайных процессов, Наука, Москва, 1977.

[5] Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГИТТЛ, Москва, Ленинград, 1949.

[6] М.А. Евграфов Аналитические функции, Наука, Москва, 1991.

[7] В.М. Золотарев Одномерные устойчивые распределения, Наука, Москва, 1983.

[8] И.А. Ибрагимов, Ю.В. Линник Независимые и стационарно связанные величины, Наука, Москва, 1965.

[9] Като Т. Теория возмущений линейных операторов, Мир, Москва, 1972.

[10] Дж. Кингман Пуассоновские процессы, Издательство МЦНМО, Москва, 2007.

[11] Дж. Ламперти Вероятность, Наука, Москва, 1973.

[12] М.А. Лишфиц Инвариантные меры, порождаемые случайными полями с независимыми значениями, Функциональный анализ и его приложения, 19(1985), 92-93.

[13] Е. Лукач Характеристические функции, ФИЗМАТЛИТ, Москва, 1979.

[14] М.В. Платонова Симметричные а-устойчивые распределения с нецелым а > 2 и связанные с ними стохастические процессы, Записки научных семинаров ПОМИ, 442(2015), 101-117.

[15] Г.Н. Сакович Многомерные устойчивые распределения. Диссертация, 1965.

[16] А.В. Скороход Случайные процессы с независимыми приращениями, Наука, Москва, 1964.

[17] Н.В. Смородина, М.М. Фаддеев Представление Леви-Хинчина одного класса знакопеременных устойчивых мер., Записки научных семинаров ПОМИ, 361(2008), 145-166.

[18] Н.В. Смородина, М.М. Фаддеев Теоремы о сходимости распределений стохастических интегралов к знакопеременным мерам и локальные предельные теоремы для больших уклонений, Записки научных семинаров ПОМИ, 368(2009), 201-228.

[19] Д.К. Фаддеев Лекции по алгебре, Наука, Москва, 1984.

[20] Д.К. Фаддеев, Б.З. Вулих, Н.Н. Уральцева Избранные главы анализа и высшей алгебры, Изд-во Ленингр. ун-та, Ленинград, 1981.

[21] П. Халмош Теория меры, Издательство иностранной литературы, Москва, 1953.

[22] E. Feldheim Etude de la stabilité des lois de probabilité, Thèses de l'entre-deux-guerres, 187(1937).

[23] D. Kremer, H-P. Scheffler Multi operator-stable random measures and fields, Stochastic Models, 2019, V. 35(4), P. 429-468.

[24] P. Levy Sur les integrales dont les elements sont des variables aleatoires independantes, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze, Scuola normale superiore, 2e serie, 3(1934) 337-366.

[25] Mark M. Meerschaert, Hans-Peter Scheffler Limit distributions for sums of independent random, vectors : heavy tails in theory and practice, Wiley, New York, 2001.

[26] E. Rvaceva On domains of attraction of multidimensional distributions, Select. Transl. Math. Stat. Prob., American Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2(1962), 183-205.

[27] K. Sato, Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions, Cambridge University Press, Cambridge, 2013.

[28] M. Sharpe Operator-Stable probability distributions on vector groups, Transactions of the American Mathematical Society, 136(1969), 51-65.

[29] N.V. Smorodina, M.M. Faddeev The Levy-Khinchin representation of the one class of signed stable measures and some its applications, Acta applicandae mathematicae, 110(2010), 12891308.

Работы автора по теме диссертации

[30] И.А. Алексеев Устойчивые случайные величины с комплексным индексом устойчивости, I., Теория вероятностей и ее применения, 67(2022), выпуск 3, 421-439.

[31] И.А. Алексеев Устойчивые случайные величины с комплексным индексом устойчивости. Случай |а - 1 /21 < 1/2., Записки научных семинаров ПОМИ, 505(2021), 17-37.

[32] И.А. Алексеев Об устойчивых случайных величинах с комплексным индексом устойчивости, Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 501(2021), № 1, 5-10.