Устойчивые численные методы математического моделирования задачи восстановления искаженных изображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Экземпляров, Роман Алексеевич

• Экземпляров, Роман Алексеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Экземпляров, Роман Алексеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИСКАЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1 Изображения, приборы регистрации, типы искажений изображений

Изображения и их типы. Классы чисел. Приборы регистрации изображений. Объекты. Искажения изображений. Соглашение о координатах.

1.2 Методы моделирования процессов смазывания изображений

Смазанное изображение. Математическое моделирование процесса формирования смазанного изображения в прямой задаче.

1.3 Методы моделирования процессов дефокусирования изображений

Пример дефокусированного изображения. Математическое моделирование процесса формирования дефокусированного изображения в прямой задаче. Типы функции рассеяния точки.

1.4 Методы доопределения изображений, альтернативные способы

«усечения» и «размытия» изображений

Граничные условия. Способ усечения изображения. Понижения эффекта Гиббса способом размытия краев изображения.

1.5 Зашумление смазанных/дефокусированных изображений

Известные модели шумов. Гауссов шум. Импульсный шум. Моделирование шумов на полутоновых и цветных изображениях.

1.6 Выводы по главе 1

Глава 2 НОВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ВОССТАНОВЛЕНИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПОДАВЛЕНИЕ ШУМОВ

Формулировка обратной задачи.

2.1 Решение одномерных интегральных уравнений в задаче устранения

смазывания

Набор одномерных интегральных уравнений в обратной задаче устранения смазывания. Метод инверсной и псевдоинверсной фильтрации. Метод преобразования Фурье с регуляризацией Тихонова. Метод параметрической фильтрации Винера. Метод квадратур с регуляризацией Тихонова. Быстрые алгоритмы восстановления смазанных изображений. Техническая реализация алгоритмов.

2.2 Решение двумерного интегрального уравнения в задаче устранения

дефокусирования

2.3 Способы выбора параметров а и К и оценка погрешности

при восстановлении изображений

Первый способ (способ подбора). Второй способ (точного изображения). Третий способ (обучающих изображений).

2.4 Метод оценки параметров смазывания и дефокусирования

Спектральный метод оценки параметров ФРТ. Оценка параметров смазывания. Оценка параметра дефокусирования.

2.5 Метод подавления мультиполярного шума

Зашумленность изображений. Преобразование модели биполярного импульсного шума в мультиполярную модель. Обработка мультиполярного импульсного шума.

2.6 Выводы по главе 2

Глава 3 ПРАКТИЧЕСКАЯ МЕТОДИКА УСТРАНЕНИЯ СМАЗА ИЛИ ДЕФОКУСИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ПОДАВЛЕНИЯ ШУМОВ

3.1 Постановка задачи

Комбинированный расчет.

3.2 Правила восстановления изображений при расчете различных моделей

процессов формирования искажений изображений

Правило расчета модели смазывания изображения подвижного объекта в присутствии несмазанного шума. Правило расчета неопределенной модели искажения изображения и зашумления. Правило расчета модели дефо-кусирования изображения в присутствии дефокусированного шума. Правило расчета модели смазывания изображения с крупными и мелкими деталями в условиях несмазанного шума.

3.3 Программное обеспечение

Головные Ма1ЬаЬ-программы и т-функции.

3.4 Выводы по главе 3

Глава 4 ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБРАБОТКИ ИСКАЖЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ИЗЛОЖЕННОЙ МЕТОДИКЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ

4.1 Результаты расчета модели смазывания изображения подвижного

объекта (самолета) в присутствии несмазанного шума

Зашумление. Смаз. Анализ погрешностей. Винеровская фильтрация. Обработка других изображений.

4.2 Результаты расчета неопределенной модели искажения изображения

объекта (земной поверхности) и зашумления

Пример с неопределенной моделью искажения. Спектральный способ. Оценки параметров смаза. Оценки параметров дефокусирования. Восстановление изображений. Подавление шума.

4.3 Результаты расчета модели дефокусирования изображения объекта

(Луны и бактерий) в присутствии дефокусированного шума

Изображение Луны. Изображение бактерий.

4.4 Результаты расчета модели смазывания изображения объекта (Сатурна)

с мелкими деталями в условиях несмазанного шума

4.5 Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивые численные методы математического моделирования задачи восстановления искаженных изображений»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Диссертация посвящена разработке новых регуля-ризованных (устойчивых) численных методов и алгоритмов решения интегральных уравнений (ИУ) I рода в задаче восстановления изображений по

1 2 смазанным , дефокусированным и/или зашумленным изображениям в рамках математических моделей процессов формирования изображений.

Задача восстановления и фильтрации изображений является одной из актуальных задач прикладной математики. Изображения различных объектов (людей, технических деталей, самолетов, астрономических объектов, бактерий и т.д.), полученные с помощью устройств регистрации изображений (УРИ) - цифровых фотоаппаратов, видеокамер, телескопов, микроскопов, томографов и т.д., могут быть искажены (смазаны, дефокусированы, за-шумлены) [5, 14, 15, 18, 17-25, 28, 29, 31-34, 36, 37, 39-42, 44, 45, 47-60, 6377, 79-83, 85]. Эти искажения можно устранить не только технически (исключить сдвиг фотоаппарата, установить правильный фокус, выполнить измерения в условиях пониженного шума), но и путем математико-компьютерной обработки изображений. Такая обработка нужна, в том числе, когда искаженный снимок невозможно и сложно повторить в лучших условиях. К таким случаям относятся исторические снимки, снимки проведенных экспериментов, снимки разовых событий и инцидентов. Разрешающая способность устройств (редукционная проблема Рэлея) также может быть улучшена при помощи обработки изображений.

Математическое устранение смазывания или дефокусирования изображений сводится в диссертации к решению интегральных уравнений (ИУ) Фредгольма I рода одномерных и двумерных соответственно в зависимости

1 Под смазанным изображением подразумевается изображение, полученное при относительном движении объекта и регистрирующего устройства (фотоаппарата и др.) за время экспозиции.

2 Эффект дефокусирования получается при неправильной установке фокуса устройства.

от модели процесса формирования смазывания/дефокусирования. Задача решения таких уравнений является некорректной., а именно, решение может не существовать или быть неединственным, или/и быть неустойчивым.

А именно, малым погрешностям измерений интенсивностей на искаженных изображениях и неточностям знания параметров искажений (величины смаза и др.), т.е. неточностям аппаратной функции (или ядра интегрального уравнения, или функции рассеяния точки) могут соответствовать сколь угодно большие погрешности восстановления изображений. Поэтому для численного решения уравнений в работе используются устойчивые методы - регуляризации Тихонова, параметрической винеровской фильтрации. При этом смазанные или дефокусированные изображения могут быть зашум-лены, причем шумы могут быть различных типов (импульсный, гауссов и др.) и различного происхождения (внешние шумы, аппаратурные шумы и др.) [17-21, 28, 29, 33, 47, 51, 57, 68, 75], в связи с чем в диссертации рассматриваются методы их подавления в зависимости от типа шумов.

Однако методы восстановления изображений, даже устойчивые (Тихонова, Винера), весьма чувствительны к погрешностям знания параметров искажений, поэтому необходима разработка специального эффективного метода оценки параметров искажений. Кроме того, такая модель шума, как биполярный импульсный шум, недостаточно адекватно (слишком упрощенно) описывает реальный импульсный шум и необходимо преобразовать модель биполярного шума в более адекватную модель. Наконец, необходимо выяснить, какая очередность (последовательность, порядок) подавления шума (предшествующая или последующая по отношению к устранению СД) дает меньшую погрешность восстановления изображения. Перечисленные вопросы недостаточно проработаны в мировой литературе (не получены численные оценки параметров искажений, не использован шум, более адекватный, чем биполярный импульсный шум, не рассмотрен вопрос о порядке устранения СД и шума и т.д.) и диссертация посвящена их разработке.

Устойчивым методам решения интегральных уравнений Фредгольма I рода, как и методам подавления шумов посвящено большое число публикаций [3, 10-12, 15, 17-24, 35, 39, 45-62, 67, 70-74, 76, 80, 82]. Однако недостаточное внимание уделено случаям, когда шум присутствует на искаженном (смазанном/дефокусированном) изображении. При этом сам шум может быть также смазанным/дефокусированным (или не быть таковым), гауссовым или импульсным и т.д. Этому соответствуют различные типы помехо-сигнальной ситуации. Зашумление вносит дополнительную неустойчивость.

Возникают следующие вопросы: достаточно ли использования таких методов, как методы регуляризации по Тихонову (метод преобразования Фурье с РТ или метод квадратур с РТ) и метод параметрической винеровской фильтрации в задаче рефокусирования (в обратной задаче дефокусирова-ния/смазывания) с присутствующими шумами на обрабатываемых изображениях; улучшается ли обработка изображений, если методы с регуляризацией по Тихонову или другие устойчивые методы объединить (скомбинировать) с методами подавления шумов, такими как метод медианной фильтрации Тью-ки, метод адаптивной фильтрации Винера и др.; различается ли эффективность вышеперечисленных методов для различных моделей шума.

Важными являются также вопросы о подавлении эффекта Гиббса (характерные для восстановленных изображений «звоны» или «ложные волны»), о так называемых «граничных условиях» доопределения изображения за его границами (являющихся способами экстраполяции интенсивностей изображений), о быстром (в реальном времени) восстановлении изображений. Однако эти вопросы уже рассмотрены в диссертациях Дайнеко М.В. и Кирьянова К. А., поэтому в данной диссертации они рассмотрены кратко.

В разработку методов решения некорректных интегральных уравнений, в том числе, применительно к задаче восстановления изображений, а также в проблему подавления шумов на изображениях внесли большой вклад А. Л. Агеев, Т. В. Антонова, А. С. Апарцин, М. В. Арефьева, Д. Г. Арсеньев,

А. Б. Бакушинский, Р. Бейтс, И. В. Бойков, Г. И. Василенко, В. В. Васин, П. Вендайкер, А. Ф. Верлань, Ю. Е. Воскобойников, Р. Вудс, Р. Гонсалес,

A. В. Гончарский, А. В. Горшков, И. С. Грузман, И. П. Гуров, М. Донателли,

B. Дьяконов, И. М. Журавель, А.Г. Коробейников, М. Кристиансен,

A. С. Леонов, Д. С. Лим, М. Мак-Доннелл, В. В. Манойлов, А. В. Меженин,

B. А. Морозов, Д. Наги, А. Нюбауер, В. Н. Остриков, С. Ошер, Ю. П. Петров, К. Т. Протасов, У. Прэтт, Ю. П. Пытьев, Л. Рудин, Д. Русс, Д. Н. Сидоров, А. А. Сирота, В. А. Сойфер, Г. Н. Солопченко, В. М. Старков, А. Н. Тихонов, А. Ю. Тропченко, Е. Фатеми, С. Фарсиу, Т. Ю. Фисенко, М. Ханке, П. Хансен, Г. Хермен, Т. Хуанг, А. К. Цыцулин, Г. Ю. Шлихт, С. Эддинс, Г. В. Энгл, Г. Эндрюс, А. Г. Ягола, Л. Ян, Б. Яне, Л. П. Ярославский и другие.

Предметом исследования работы являются методы и алгоритмы устойчивого решения интегральных уравнений в применении к математическому моделированию процессов формирования искаженных (смазанных/ дефокусированных) изображений в условиях зашумления.

Целью диссертационной работы является исследование и численная реализации моделей процессов формирования искаженных изображений, разработка новых устойчивых методов и алгоритмов решения интегральных уравнений для восстановления изображений и создание комплекса программ для реализации новых подходов.

Задачи исследования. Решались следующие задачи для достижения поставленной в диссертации цели:

1. Разработка математического описания моделей процессов формирования изображений с учетом их смазывания/дефокусирования (СД) и влияния мультиполярного импульсного шума для повышения адекватности моделирования процесса формирования изображений в реальных условиях наблюдений.

2. Разработка численных методов устойчивого решения интегральных уравнений (ИУ). Разработка методики оценки параметров искажений изо-

бражений по Фурье-спектру искаженного изображения (спектральный метод определения функции рассеяния точки и ядра ИУ) с целью повышения устойчивости решения ИУ и понижения погрешности восстановления изображения; разработка методики выбора параметра регуляризации с целью понижения погрешности восстановления и получения ее оценки.

3. Проведение вычислительных экспериментов по определению последовательности устранения СД и шума на изображении с целью снижения погрешностей решения ИУ.

4. Создание комплекса программ, реализующего новые подходы, предложенные в диссертационной работе, повышающие адекватность моделирования процесса формирования изображений и понижающие погрешность численного решения интегральных уравнений.

Методы исследования. В работе использованы методы математического и численного моделирования, методы вычислительного эксперимента, методы решения ИУ с регуляризацией, методы статистического и спектрального анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модель процесса формирования изображений с учетом влияния муль-типолярного шума, адекватно учитывающая особенности регистрируемых реальных изображений в условиях помех.

2. Повышение точности3 и устойчивости4 решения 1- и 2-мерных ИУ I рода при наличии дестабилизирующего фактора в виде мультиполярного импульсного шума; достигается на СД-изображении при комбинировании методов решения ИУ с регуляризацией (МРТ, МПФВ) и специального адаптивного метода подавления мультиполярного импульсного шума (модификация АМФГ).

3 Повышение точности в смысле уменьшения СКО от точного решения.

4 Под повышением устойчивости понимается снижение чувствительности к неточности в исходных данных в окрестностях оптимального значения с точки зрения СКО.

3. Численная методика решения 1- и 2-мерных ИУ I рода включающая оценку ядра ИУ по форме линий на Фурье-спектре СД-изображения (спектральный метод), а также выбор параметра регуляризации а и получение оценки погрешности восстановления изображения е без знания точного изображения по серии модельных примеров (способ обучающих изображений).

Научная новизна работы:

1. Разработаны математические описания моделей процессов формирования изображений с учетом их смазывания/дефокусирования (СД) при наличии на них ранее не учитываемых видов шума. Описаны модели смазывания изображения, а также модели дефокусирования изображения. Исследована и реализована новая модель процесса формирования изображений с учетом влияния мультиполярного импульсного шума, более адекватно описывающая реальный процесс формирования изображений.

2. Разработаны новые устойчивые методы и алгоритмы численного решения интегральных уравнений (ИУ) I рода (некорректная задача) в математических моделях смаза, дефокусирования и зашумления изображений. Разработана новая методика использования спектрального метода для численной оценки параметров искажения изображения (оценки ФРТ, или ядра ИУ). Спектральный метод существенно повышает точность восстановления изображений при решении ИУ. Разработана новая методика выбора параметра регуляризации и оценки погрешности регуляризованного решения без знания точного решения (способ обучающих изображений), что ранее считалось невозможным при решении некорректных задач.

3. Предложен новый алгоритм «предшествующего» и «последующего» подавления шумов на СД-изображениях, показывающий, что «правильный» порядок (последовательность) устранения СД и подавления шума может существенно (до 2-3 раз) понизить погрешность восстановления изображений

по сравнению с «неправильным» порядком5 путем решения интегральных уравнений.

Достоверность научных результатов диссертации подтверждается адекватностью использованных математических моделей описания процессов искажения изображений (смазывания, дефокусирования и зашумления), применением устойчивых методов при решении ИУ в задаче восстановления изображений, соответствием разработанных теоретических положений и результатов численных экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в разработке методики восстановления изображений по искаженным изображениям. Предложенные в работе устойчивые усовершенствованные методы и алгоритмы реконструкции изображений применимы в задаче повышения разрешающей способности различных устройств регистрации изображений, что подтверждено практическим использованием методики при обработке ряда как модельных, так и реальных изображений.

Реализация работы. Результаты исследований в рамках данной диссертации и ее материалы были использованы при написании двух учебных пособий, в учебном процессе при проведении лабораторных работ и лекций по дисциплинам «Прикладная математика», «Системы компьютерной обработки изображений», «Теория интегральных уравнений», «Обратные прикладные задачи», а также в научно-исследовательских работах в НИУ ИТМО по теме № 33481 под грант РФФИ № 13-08-00442 и в НИР № 617026 по гранту МФ КТУ ИТМО. Об этом свидетельствует акт использования результатов диссертации.

Апробация работы. Положения диссертации были представлены на нижеперечисленных конференциях: международных научно-практических

5 Под «правильным» порядком устранения шума и СД подразумевается решение обратной задачи в последовательности, противоположной прямой задаче (подробности - в гл. 4).

конференциях «XXXIX Неделя науки СПбГПУ», «XL Неделя науки СПбГПУ» и «XLI Неделя науки СПбГПУ (диплом 2-й степени)» (2010, 2011 и 2012 гг.); XL, XLI, XLII, XLIII и XLVII научных и учебно-методических конференциях СПб НИУ ИТМО (2011, 2012, 2013, 2014, 2018 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, 2 из них - в журнале, индексируемом в Scopus и WoS, 2 - в журналах из перечня ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад соискателя. В публикациях [1-8] Экземплярову Р.А. принадлежит участие в постановках задач, их математическом описании, разработке методов моделирования и численных алгоритмов, разработке программного обеспечения, выполнении численных (компьютерных) экспериментов и интерпретации результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 86 наименований. Объем работы составляет 125 страниц, 3 таблицы и 48 рисунков.

Глава 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ИСКАЖЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В данной главе приведены краткие сведения о цифровых изображениях, приборах регистрации изображений и типах искажений изображений, а также дан обзор методов численного расчета прямой задачи моделирования процессов формирования искаженных (зашумленных со смазыванием или дефокусированием) изображений.

1.1 Изображения, приборы регистрации, типы искажений изображений

Изображения и их типы. В работе рассматриваются оцифрованные растровые изображения. В цифровом растровом виде изображение представляется в виде массива точек, каждая из которых, пиксель6, несет информацию о интенсивности и/или цвете изображения.

Для изображений используются следующие типы их представлений в цифровом виде [22, 28, 47, 51, 68].

• Полутоновые (серые, gray) изображения, содержащие информацию о интенсивности каждого пикселя в виде суммы трех цветов R, G и B (красного, зеленого и синего), причем если R = G = B, то в этом случае интенсивность каждого пикселя представлена одним числом.

• Цветные RGB-изображения - каждый пиксель описывается вектором, задающим цвет в соответствующем цветовом пространстве, причем, вообще говоря, R Ф G Ф B. В диссертации рассматриваются в основном gray- и RGB-изображения.

• Монохромные (ч/б, бинарные, logical, bw) изображения, содержащие информацию лишь о наличии или отсутствии освещенности в пикселе.

6 Пиксель (pixel) - это точка на дискретной 2Б-сетке изображения.

Другие типы изображений в диссертации не рассматриваются.

Классы чисел [22, 28, 47, 57, 68]. В диссертации используются числовые типы из языка системы MatLab:

• double (число двойной точности) - восьмибайтовое представление числа с плавающей запятой со знаком (1 бит), 11-битным порядком и 52-

битной мантиссой (приблизительный диапазон [10-308 * 10308]),

• uint8 (беззнаковое целое число) - 8-битное число со значениями [0,1,... ,255].

Класс double будет использоваться для математических операций, а uint8 для интенсивностей на изображениях.

Приборы регистрации изображений. Полагаем, что изображение регистрируется в цифровых устройствах с ПЗС-матрицей . Прибором регистрации изображений может быть фотоаппарат, видеокамера, телескоп, микроскоп, сканер, томограф и т.д., а также вычислительные устройства. Изображение m х n пикселов (будем кратко писать: пкс) может быть представлено в виде матрицы интенсивностей, состоящей из m строк и n столбцов.

Объекты. Объектами, изображения которых будут фиксироваться и обрабатываться, могут быть:

• люди, животные, растения и другие объекты природы,

• тексты, рисунки, картины,

• детали механических и электронных устройств,

• планеты, звезды, галактики, туманности и другие астрономические объекты, наблюдаемые в телескоп,

• вирусы и бактерии, наблюдаемые в микроскоп,

• подвижные объекты (самолет, автомобиль),

7 Сенсор - это элемент (например, фотодиод), преобразующий освещенность в напряжение [21, с. 90], а ПЗС - полупроводниковый прибор с зарядовой связью, осуществляющий перенос заряда от элемента к элементу [12, 21, 68].

• поверхность Земли, наблюдаемая из космоса,

• томограммы, получаемые в томографах.

Искажения изображений. При измерении изображений могут иметь место их искажения. Будем рассматривать следующие типы искажений:

• смазывание (сдвиг, смещение, smearing, blurring) в результате сдвига устройства регистрации изображения (УРИ), например, фотоаппарата или самого объекта, например, самолета;

• дефокусирование (defocusing) в результате неправильной установки фокуса УРИ;

• зашумление (noising), причем шумы могут быть внешние, например, пыль в атмосфере, через которую проходит излучение от объекта, а также внутренние (инструментальные), например, шум, обусловленный выходом из строя фоточувствительных элементов ПЗС-матрицы.

Эти типы шумов, а именно, их наложение на изображение (прямая задача) и их устранение (обратная задача) рассмотрены в диссертации. Другие типы искажений (царапины, неудачная яркость и контраст, вытянутость по горизонтали или по вертикали и т.д.) [5] в диссертации не рассматриваются.

Заметим, что в работе [40] используется термин замутнение (а также размытие и зашумление).

Соглашение о координатах. Будем отсчитывать координаты на изображениях в пикселях: номер столбца i (а также координаты x и £) - от левого верхнего угла горизонтально направо, а номер строки j (а также координаты y и п) - вертикально сверху вниз, считая, что начальный пиксель изображения имеет номера i = j = 1. Будем называть такую систему координат горизонтально-вертикальной (гв-системой). Такая система координат обычно используется в системе MatLab. При этом в непрерывном случае будем обозначать интенсивность на изображении через g (x, y), т.е. первым аргументом

ставить горизонтальную координату, а в дискретном случае писать: g (у,/), т.е. вначале ставить номер строки у, как принято.

Будем также использовать систему координат под углом, направляя ось х и £ вдоль смаза изображения, а ось у и п - перпендикулярно смазу. На рис. 1.1 представлены гв-система и система под углом. Отметим также, что изображение будем представлять матрицей т х п, где т и п - число строк и столбцов соответственно, при этом у = 1,..., т, / = 1,..., п.

^ X, \

Рисунок 1.1. Смазанное изображение. Красным цветом - гв-система координат, черным цветом - система координат под углом

1.2 Методы моделирования процессов смазывания изображений

Смазанное изображение. На рис. 1.1 представлено смазанное под углом полутоновое портретное изображение (файл girl.jpg), часто используемое в

качестве тестового изображения [19, 21]). Смазывание могло произойти в результате сдвига регистрирующего устройства за время экспозиции.

Математическое моделирование процесса формирования смазанного изображения в прямой задаче. При движении устройства-регистратора во время экспозиции кадра относительно регистрируемого объекта возникает смазывание его изображения. Эффект наблюдается как при движении регистрирующего устройства, так и при движении регистрируемого объекта. Рассматривая модель процесса равномерного прямолинейного смазывания, можно допустить двумерность регистрируемого объекта, что подходит для случаев, когда расстояние до объекта намного больше размеров самого объекта.

Рассмотрим случай, когда регистрируемый объект, линза регистрирующей оптической системы и светочувствительная поверхность регистрирующей оптической системы (например, пленка фотоаппарата или ПЗС-матрица) находятся в параллельных плоскостях. Примем за /1 и /2 расстояния от линзы до объекта и до светочувствительной поверхности соответственно, а фокусное расстояние линзы за/ (рис. 1.2), при этом будет выполняться:

— + — = —, /1 > /, (1.1)

/1 /2 /

За время экспозиции регистрирующая оптическая система совершила прямолинейное и равномерное смещение относительно регистрируемого объекта на расстояние А в плоскости, параллельной плоскости линзы. Рассматриваемый случай является моделью равномерного и прямолинейного процесса сдвига. Направим ось £ вдоль вектора смещения. Оптическая система зарегистрирует изображение с объектом, смазанным вдоль

Смазанная интенсивность g в некоторой точке (х, у) ПЗС-матрицы равна (в непрерывном виде, когда А полагается, вообще говоря, нецелым)

1 х+А

g(х, у) =д \ у) ^, (1.2)

х

где ш - интенсивность на неискаженном изображении.

Рисунок 1.2. Модель процесса формирования смазанного изображения в регистрирующем устройстве

Соотношение (1.2) можно записать иначе:

х+Д

gy (х) = Д I шу (£) ^ . (1.3)

х

Запись (1.3) означает вычисление g построчно, а именно, в каждой у-строке в функции х. При этом у играет роль параметра. Такой способ вычисления g более удобен и адекватен, чем способ (1.2) (см. далее). В дискретном виде (Д полагается целым, например, 20 пкс)

7 +Д

1

gJ{

1 7 +Д

(7) =-У ш,(к), у = 1,...,т, 7 = 1,...,п,

Д +1 ^

(1.4)

где у - номер строки, 7 (и к) - номер столбца, т и п - число строк и столбцов на изображении соответственно.

Выражения (1.2) и (1.3) описывают моделирование процесса равномерного и прямолинейного смазывания изображения в прямой задаче в виде численного алгоритма. Данная модель позволяет построчно (отдельно для каж-

дой j-й строки) сформировать смазанное по оси £ изображение g для заданного исходного изображения w и расстояния А, на которое произошло смазывание в масштабе изображения.

Примеры смазанных изображений - на рис. 1.1 и далее в гл. 3 и 4.

В работе [60] рассмотрена более сложная модель ФРТ, а именно, модель процесса неравномерного и непрямолинейного смазывания. Также смазывание по произвольной траектории с произвольной динамикой рассматривается в методе blind deconvolution («слепая деконволюция»). Однако в данной диссертации неравномерное и непрямолинейное смазывание не рассматривается.

1.3 Методы моделирования процессов дефокусирования изображений

Пример дефокусированного изображения. На рис. 1.3 приведено изображение Луны (файл moon.tif [27, 78]), дефокусированное и зашумленное импульсным шумом. Дефокусирование могло произойти в результате неправильной установки фокуса камеры телескопа (или из-за сферической аберрации линзы или зеркала телескопа), а шум является внешним, поэтому он также дефокусирован, причем настолько, что на снимке практически не виден (подробности - в п. 4.3).

Математическое моделирование процесса формирования дефокусированного изображения в прямой задаче. Рассмотрим прямую задачу процесса формирования дефокусирования изображений [3-5, 10, 17, 19-25, 29, 34, 36, 47-52, 68, 69, 71, 80, 83].

Как сказано, дефокусирование изображения появляется на регистрируемом изображении вследствие некорректной установки фокуса регистрирующего устройства [21, с. 384], а также из-за сферической аберрации оптической системы регистрирующего устройства [47, с. 73] или из-за остаточной сферической аберрации, как в случае с зеркалом телескопа «Хаббл» [81].

Рисунок 1.3. Дефокусированное изображение и дефокусированный шум

На рис. 1.4 дана схема формирования дефокусирования изображения.

Идеальная / Реальная

фотопленка / фотопленка ("в фокусе") /("не в фокусе")

Рисунок 1.4. Модель процесса формирования дефокусированного изображения в регистрирующем устройстве

Рассмотрим моделирование процесса дефокусирования в рамках прямой задачи. Возьмем случай, когда в параллельных плоскостях находится линза регистрирующей оптической системы, регистрируемый объект и светочувствительная поверхность регистрирующей оптической системы (матрица или

фотопленка). Вернемся к соотношению (1.1), где за/1 и / приняты расстояния от линзы до объекта и до светочувствительной поверхности соответственно, а за / - фокусное расстояние линзы. При выполнении соотношения (1.1) в результате регистрации будет получено изображение объекта без эффекта дефокусирования. Примем за 5 величину ошибки фокусировки изображения, такую что расстояние от линзы до светочувствительной поверхности будет равно /2 +5. Таким образом, получается численное выражение степени дефокусирования. При этом, для отличной от нуля 5 светочувствительная поверхность будет находится вне фокуса линзы и, в таком случае, каждая точка А истинного сфокусированного изображения будет отображена в двумерную область (наблюдаемую как размытое пятно), форма и интенсивности точек которой определяется функцией рассеяния точки (ФРТ).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Экземпляров, Роман Алексеевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Антонова Т.В. Методы идентификации параметра в ядре уравнения первого рода типа свертки на классе функций с разрывами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2015. Т. 18. № 2. С. 107120.

2. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы. - Новосибирск: Наука. 1999. 192 с.

3. Арефьева М.В., Сысоев А.Ф. Быстрые регуляризующие алгоритмы цифрового восстановления изображений // Вычислительные методы и программирование. 1983. Вып. 39. С. 40-55.

4. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. - М.: Изд-во МГУ. 1989. 199 с.

5. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. - М.: Мир. 1989. 336 с.

6. Бойков И.В. Приближенное решение уравнений в свертках и их применение. Учеб. пособие. - Пенза: Изд-во ППИ, 1985. 65 с.

7. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли. - М.: Мир, 1990. 175 с.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. - М.: Наука. 1986. 544 с.

9. Бурлов Д.И., Меженин А.В., Немолочнов О.Ф., Поляков В.И. Автоматизация выбора метода сжатия цифрового видео в интеллектуальных системах железнодорожного транспорта // Вестник РГУПС. 2014. № 1(53). С. 35-40.

10. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. - М.: Сов. радио. 1979. 272 с.

11. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. - М.: Радио и связь. 1986. 304 с.

12. Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. - СПб.: БХВ-Санкт-Пе-тербург. 1998. 240 с.

13. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. - Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993. 263 с.

14. Верлань А.Ф., Горошко И.О., Карпенко Е.Ю., Королев В.Ю., Мосен-цова Л.В. Методы и алгоритмы восстановления сигналов и изображений. - Киев: Изд-во ИПМЭ НАН Украины, 2011. 368 с.

15. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. - Киев.: Наук.думка. 1986. 544 с.

16. Верлань А.Ф., Сизиков В.С., Мосенцова Л.В. Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии // Электронное моделирование. 2011. Т. 33. № 2. С. 3-12.

17. Воскобойников Ю.Е. Комбинированный нелинейный алгоритм восстановления контрастных изображений при неточно заданной аппаратной функции // Автометрия. 2007. Т. 43. № 6. С. 3-16.

18. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Регуляризирующий алгоритм непараметрической идентификации при неточных исходных данных // Научный вестник НГТУ. 2005. № 2 (20). С. 33-45.

19. Воскобойников Ю.Е., Литасов В.А. Устойчивый алгоритм восстановления изображения при неточно заданной аппаратной функции // Автометрия. 2006. Т. 42. № 6. С. 3-15.

20. Воскобойников Ю.Е., Мухина И.Н. Локальный регуляризирующий алгоритм восстановления контрастных сигналов и изображений // Автометрия. 2000. № 3. С. 45-53.

21. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. - М.: Техносфера. 2006. 1072 с.

22. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде МЛТЬЛВ. - М.: Техносфера. 2006. 616 с.

23. Горшков А. В. Улучшение разрешения изображения при обработке данных физического эксперимента и нахождение неизвестной аппаратной функции по программам пакета КЫМЛОБ // Приборы и техника эксперимента. 1995. № 2. С. 68-78.

24. Грешилов А.А. Некорректные задачи цифровой обработки информации и сигналов. 2-е изд. - М.: Логос. 2009. 360 с.

25. Грузман И.С., Киричук В.С., Косых В.П., Перетягин Г.И., Спектор А.А. Цифровая обработка изображений в информационных системах. Уч. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2002. 352 с.

26. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. 7-е изд. - СПб.: Лань. 2009. 672 с.

27. Дьяконов В.П. Ма^аЬ 6.5 БР1/7/7 БР1 + БтиНпк 5/6. Работа с изображениями и видеопотоками. - М.: СОЛОН-Пресс. 2005. 400 с.

28. Дьяконов В., Абраменкова И. МЛТЬЛВ. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002. 608 с.

29. Журавель И.М. Краткий курс теории обработки изображений. 2008. http://matlab.exponenta.ru/imageprocess/book2/index.php

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1968. 720 с.

31. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010. 336 с.

32. Леонов А.С., Ягола А.Г. Адаптивные оптимальные алгоритмы решения некорректных задач с истокообразно представимыми решениями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2001. Т. 41. № 6. С. 855873.

33. Манойлов В.В., Новиков Л.В. Получение и обработка информации аналитических приборов. - СПб.: Университет ИТМО, 2014. 176 с.

34. Методы компьютерной обработки изображений / Под ред. В.А. Сой-фера. - М.: Физматлит, 2001. 784 с.

35. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. - М.: Наука, 1987. 240 с.

36. Обработка изображений и цифровая фильтрация // Под ред. Т. Хуанга. - М.: Мир, 1979. 320 с.

37. Остриков В.Н., Плахотников О.В. Идентификация функции рассеяния точки канала наблюдения по калибрующему изображению посредством метода наименьших квадратов // Оптический журнал. 2006. Т. 73. № 2. С. 26-30.

38. Петров Ю. П. Как получать надежные решения систем уравнений. -СПб.: БХВ-Петербург, 2009. 176 с.

39. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями. Уч. пособие. - СПб.: Политехника, 2003. 261 с.

40. Протасов К.Т. Математические методы и алгоритмы обработки данных аэрокосмического зондирования земных покровов. Автореф. дисс. ... докт. техн. наук. - Томск, 2005. 29 с.

41. Протасов К.Т., Белов В.В., Молчунов Н.В. Восстановление изображений с предварительным оцениванием функции рассеяния точки // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13. № 2. С. 139-145.

42. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В 2-х т. - М.: Мир. 1982. 790 с.

43. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М.: Мир, 1978. 835 с.

44. Сидоров Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013. 293 с.

45. Сизиков В.С. Математические методы обработки результатов измерений. Учебник для вузов. - СПб.: Политехника, 2001. 240 с.

46. Сизиков В.С. О способах невязки при решении некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43. № 9. С. 1294-1312.

47. Сизиков В.С. Обратные прикладные задачи и MatLab. - СПб.: Лань, 2011. 256 с.

48. Сизиков В.С. Интегральные уравнения и MatLab в задачах томографии, иконики и спектроскопии. - СПб.-Saarbrucken: LAP. 2011. 252 с.

49. Сизиков В.С. Прием "усечение-размытие-поворот" для восстановления искаженных изображений // Оптический журнал. 2011. Т. 78. № 5. С. 18-26.

50. Сизиков В.С. Спектральный способ оценки функции рассеяния точки в задаче устранения искажений изображений // Оптический журнал. 2017. Т. 84. № 2. С. 36-44.

51. Сизиков В.С. Прямые и обратные задачи восстановления изображений, спектроскопии и томографии с MatLab. - СПб.: Лань, 2017. 412 с.

52. Сизиков В.С., Белов И.А. Реконструкция смазанных и дефокусиро-ванных изображений методом регуляризации // Оптический журнал. 2000. Т. 67. № 4. С. 60-63.

53. Сизиков В.С., Кирьянов К.А., Экземпляров Р.А. Два быстрых алгоритма восстановления смазанных изображений // Изв. вузов. Приборостроение. 2013. Т. 56. № 10. С. 24-30.

54. Сизиков В.С., Кривых А.В. Восстановление непрерывных спектров методом регуляризации с использованием модельных спектров // Оптика и спектроскопия. 2014. Т. 117. № 6. С. 1040-1048.

55. Сизиков В.С., Римских М.В., Мирджамолов Р.К. Реконструкция смазанных и зашумленных изображений без использования граничных условий // Оптический журнал. 2009. Т. 76. № 5. С. 38-46.

56. Сизиков В.С., Степанов А.В., Меженин А.В., Бурлов Д.И., Экземпляров Р.А. Определение параметров искажений изображений спектральным способом в задаче обработки снимков поверхности Земли, полученных со спутников и самолётов // Оптический журнал. 2018. Т. 85. № 4. С. 19-27.

57. Сизиков В.С., Экземпляров Р.А. Последовательность операций при фильтрации шумов на искаженных изображениях // Оптический журнал. 2013. Т. 80. № 1. С. 39-48.

58. Сизиков В.С., Экземпляров Р.А. Предшествующая и последующая фильтрация шумов в алгоритмах восстановления изображений // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2014. № 1 (89). С. 112-122.

59. Сизиков В.С., Экземпляров Р.А. Предшествующая и последующая фильтрация шумов на смазанных и дефокусированных изображениях. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014616398 от 23.06.2014.

60. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В. Обратные задачи обработки фотоизображений // Некорректные задачи естествознания / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. - М.: Изд-во МГУ. 1987. С.185-195.

61. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В, Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. - М.: Наука. 1990. 232 с.

62. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. - М.: Наука. Физматлит, 1995. 312 с.

63. Тозик В.Т., Меженин А.В. 3ёБ Мах 9. Трехмерное моделирование и анимация. Уч. пособие. - СПб.: БХВ-Петербург. 2007. 1056 с.

64. Тропченко А.Ю. Аппаратные средства для цифровой обработки сигналов. Уч.-методич. пособие по дисциплине "Методы обработки сигналов и изображений". - СПб.: Изд-во СПбГУ ИТМО. 2005. 138 с.

65. Тропченко А.Ю., Тропченко А.А. Цифровая обработка сигналов, методы предварительной обработки. Уч. пособие по дисциплине "Теоретическая информатика". - СПб.: Изд-во СПбГУ ИТМО. 2009. 100 с.

66. Фисенко В.Т., Фисенко Т.Ю. Компьютерная обработка и распознавание изображений. Уч. пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУ ИТМО. 2008. 192 с.

67. Ягола А.Г., Кошев Н.А. Восстановление смазанных и дефокусиро-ванных цветных изображений // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9. С. 207-212.

68. Яне Б. Цифровая обработка изображений. - М.: Техносфера. 2007. 584 с.

69. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. -М.: Сов. радио. 1979. 312 с.

70. Christiansen M., Hanke M. Deblurring methods using antireflective boundary conditions, 2006.

http://www.numerik.mathematik.unimainz.de/hanke/ christiansen.pdf

71. Donatelli M., Estatico C., Martinelli A., Serra-Capizzano S. Improved image deblurring with anti-reflective boundary conditions and re-blurring // Inverse problems. 2006. Vol. 22. P. 2035-2053.

72. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. -Dordrecht: Kluwer. 1996. 328 pp.

73. Farsiu S., Robinson M.D., Elad M., Milanfar P. Fast and robust multiframe super resolution // IEEE Transactions on Image Processing. 2004. Vol. 13. No. 10. P. 1327-1344.

74. Hansen P.C. Discrete inverse problems: Insight and algorithms. - Philadelphia: SIAM, 2010. 213 pp.

75. Lim J.S. Two-dimensional signal and image processing. - New Jersey: Prentice Hall PTR, 1990. 694 pp.

76. Mesarovic V.Z., Galatsanos N.P., Katsaggelos A.K. Regularized constrained total least squares image restoration // IEEE Trans. Image Proc. 1995. V. 4. № 8. P. 1096-1108.

77. Nagy J.G., Palmer K.M., Perrone L. Iterative methods for image deblurring: A Matlab object oriented approach // Numer. Algorithms. 2004. Vol. 36. P. 73-93.

78. Package MATLAB, ver. 7.10 (R2010a). Image Processing Toolbox. 2010.

79. Palmer K., Nagy J., Perrone L. Iterative methods for image restoration: a Matlab object oriented approach, 2002. ftp://ftp.mathcs.emory.edu/pub/ nagy/papers/RestoreTools1.pdf

80. Petrov Yu.P., Sizikov V.S. Well-Posed, Ill-Posed, and Intermediate Problems with Applications. - Leiden-Boston: VSP. 2005. 234 pp.

81. Saisse M., Rousselet K., Lazarides E. Modeling technique for the Hubble Space Telescope wave-front deformation // Applied Optics. 1995. Vol. 34. No. 13. P. 2278-2283.

82. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control. - Singapore-London: World Sci. Publ., 2014. 243 pp.

83. Sizikov V.S., Ekzemplyarov R.A. Operating sequence when noise is being filtered on distorted images // Journal of Optical Technology. 2013. Vol. 80. No. 1. P. 28-34.

84. Sizikov V.S., Stepanov A.V. Method of training examples in solving inverse ill-posed problems of spectroscopy // Sci. Techn. J. Information Technologies, Mechanics and Optics. 2015. Vol. 15. No. 6. P. 1147-1154.

85. Sizikov V.S., Stepanov A.V., Mezhenin A.V., Burlov D.I., Eksemplyarov R.A. Determining image-distortion parameters by spectral means when processing pictures of the earth's surface obtained from satellites and aircraft // Journal of Optical Technology. 2018. Vol. 85. No. 4. P. 203-210.

86. Yan L., Lin H., Zhong S., Fang H. Semi-blind spectral deconvolution with adaptive Tikhonov regularization // Applied Spectroscopy. 2012. Vol. 66. No. 11. P. 1334-1346.