Устойчивость упругих систем при действии неконсервативных внешних нагрузок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат технических наук Тумашик, Глеб Александрович

• Тумашик, Глеб Александрович
• кандидат технических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тумашик, Глеб Александрович

1. Введение. Обзор сопре.мсппого состоянии проблемы устойчивости нскопссрвагпвных систем

1.1. Эволюция задач теории устойчивости нсконссрватнвных систем

1.2. Методы повышении устойчивости нсконссрпатпвпмх систем

1.3. Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы

2. Дннамичсскаи постановка задачи и основные уравнении устойчивости консольного стержни

2.1. Численные .методы решении задачи устойчивости

2.2. Точное решение задачи устойчивости консольного стержня

2.3. Устойчивость консольного стержни с запаздыванием без учета сил сопротивлении

3. Влнннис внешнего и внутреннего сопротивлений на устойчивость консольного стержни при действии слсдищсй силы

4. Устойчивость упруго заделанного стсржни, лежащего па упругом основании п опертого на yupyiyio опору, под действием слсдищсй сжимающей силы

4.1. Оценка влпиппи па устойчивость стсржни упругой опоры п заделки па заделанном конце

4.2. Устойчивость консольного стсржни, лежащего на упругом осповапнп, II опертого па упругую опору, под действием следящей сжимающей силы.

5. Оценка влиянии деформаций поперечного сдвига и инерции вращении на устойчивость консольного стержни.

6. Оптимизации консольного стержня из условии нолучеппи максимального значении критической силы при условии сохранении его первоначальной массы

6.1. Основные уравнении оп гпмнзацнонпого алгоритма

6.2. Результаты оптимизации с условием контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньше критическом

6.3. Результаты оптимизации при отсутствии контроля частотного спектра при значениях нагрузки меньше критической. Учет сил сопротивления.

7. Стабилизация консольного стержня путем введения высокочастотной гармонической силы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость упругих систем при действии неконсервативных внешних нагрузок»

ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ НЕКОНСЕРВЛТИВНЫХ СИСТЕМ. Теория упругой устойчивости в случае действия потенциальных нафузок предполагает, что при достаточно малых нафузках равновесие упругой системы устойчиво, и что оно остается таковым вплоть до нафузки, соответствующей появлеиию новых форм равновесия, когда исходная форма равновесия становится неустойчивой. В этом случае, при рассмотрении устойчивости в малом, критическая нагрузка определяется как наименьшее значение нагрузки, при котором наряду с исходной фор,\юй равновесия имеют место смежные, близкие к ней иные равновесные формы (бифуркационная постановка или метод Эйлера). В рамках энергетической постановки критическая нафузка определяется из условия "неминимальности" потенциальной энергии, соответствующей исходной форме равновесия. Статический подход сводит задачу устойчивости упругих систем к отысканию лщнимальных собственных значений краевых задач. Статический метод, однако, оказывается неприменимым для широкого класса задач. Первым на это обратил внимание Е.Л. Николаи. Рассматривая устойчивость стержня под действием следящего крутяш,сго момента [161, 163] он обнаружил, что согласно методу Эйлера стержень устойчив при любых значениях .\юмента. Такой результат был истолкован как признак того, что метод Эйлера пеприменим к данной задаче и должен быть заменен более общим методом исследования устойчивости «методом малых колебаний». В дальнейшем было установлено, что применимость статического подхода связана с наличием у внешних сил потенциала. Он применим, если внешние силы обладают потенциалом, и в общем случае неприменим при его отсутствии, т.е. в случае действия нсконсервативных сил, зависящих не только от начального и конечного состояний системы, но и от тина перехода от одного состояния к другому [12, 119, 121, 122, 162, 188]. 1.1. Эволюц11и задач теории устойчивости ископсервативпых систем. Основные систем положения теории устойчивости в неконсервативных фундаментальных достаточно подробно рассмотрены монографиях Н.Л. Ллфутова [129], В.В. Болотина, [135, 136] Я.Г. Пановко и Губановой [164], Г.Циглера [188]. В таких системах может иметь место неустойчивость двух типов: статическая (дивергенция) и динамическая (флаттер), В первом случае потеря устойчивости сопровождается появлением смежных состоян1и1 равновесия, как и при действии консервативной нагрузки. При флаттере потеря устойчивости проявляется в возникновенги! колебаний с увеличивающейся амплитудой. Если для исследования дивергенции может быть использован статический подход, то в случае флаттера должен быть использован динамический метод, основанный на рассмотрении колебаний систСхМЫ вблизи возмущенного положения равновесия. При этом для неконсервативных сил в общем случае не выполняется принцип взаимности работ, т.е. работа таких сил, обусловленных каким-либо одним возможным движением, переводящим систему из начального состояния в конечное, на перемещениях другого возможного движения не равна работе сил второго движения на перемещениях первого [12, 195]. В результате проблема устойчивости систем, подверженных действию неконсервативных сил, сводится к обобщенной проблеме собственных значений для несамосопряженных дифференциальных уравнений движения. При переходе от континуальных систем к системам с конечным числом степеней свободы это приводит к формированию матриц жесткости, масс и сопротивления, часть из которых, соответствующая неконсервативным нагрузкам, является антисимметричной.Можно выделить несколько основных групп неконсервативных задач устойчивости. Прежде и и всего, это вопросы взаимодействия крыльев при конструкций с потоком жидкости или газа. Речь идет, в частности, о проблемах дивергентной изгибных флаттерной и крутильных неустойчивости панелей, форм (аэродинамических взаимодействием поверхностей) обусловленных колеба1Пи"1 "набегании" на них потока газа или жидкости [17, 27, 31, 107, 150, 187]. К неконсервативным задачам устойчивости относится также устойчивость вранщющихся Особенностью скоростях систем, таких, этих задач например, роль как вращающиеся валы. в ее является первой внутреннего трения неустойчивости подобных систем. Способствуя затуханию колебаний при вращения меньших критической, в случае превышения силы внутреннего трения оказываются направленными не против враищтельного движения, а по направлению движения. И тем самым способствуют перекачке части энергии вращательного движения в энергию поперечного, что и люжет приводить к возбужден1ПО незатухающих колебаний [68, 69, 89, 107, 110, 118, 168]. Необходимо также упомянуть проблему устойчивости трубопроводов при протекании по ним жидкости, неконсервативность которой обязана возникновению в системе кориолисовых нагрузок [11, 82, 183, 186]. Еще одна группа задач связана с проблемами устойчивости конструкций, взаимодействующих со струями жидкости или газа. За небольшими устойчивости. Большое значение для моделирования неконсервативного нагружсния получило понятие следящей нагрузки, введенное В.В. Болотиным [136]. Такая нагрузка «оставаясь постоянной по величине и перемещаясь вместе с телом, поворачивается таким образом, что углы, составляемые нагрузки с координатными векторами лагранжевого базиса, исключениялш и эти задачи оказываются существенно потери неконсервативны предполагают наличие динамической остаются неизменными». Нсконсервативный характер следящей нагрузки следует из рассмотрения различных мыслимых способов перевода системы из начального положения в конечное. Типичным примером такой нагрузки, является сжимаюнщя сила, приложенная к консольному стержню на его конце и направленная при изгибе вдоль дефор\н1рованной оси стержня. Физическая природа и Бoзюжнocть существования следящих нафузок и, особенно, их связь с вопросами устойчивости реальных конструкций по сей день остается предметом оживленных дискусс1и"1 [12, 28, 46, 101]. Вместе с тем, следящие нагрузки и соответствующие им модельные задачи наиболее часто рассматриваются в работах, посвященных исследованию принщшиальных эффектов устойчивости неконсервативных систем. Ряд таких модельных задач приведен далее. Наиболее простой моделью является предложе1Н1ЫЙ Г. Циглером [119, 188] двойной обращенный маятник, звенья которого соединены упругими шарнирами, нафуженный тангенциальной силой (рис. 1а). Маятник Циглера широко использовался в литературе в исследованиях о В И Ш И на устойчивость сил сопротивления. Именно для этой модели был ЛЯ 1 впервые обнаружен эффект дестабилизации резкого падения критических сил ({шаттера при введении малого внутреннего трения вязкости в ншрнирах. В дальнейших исследованиях усложнение модели осуществлялось постановкой упругой опоры на верхнем конце и учетом запаздывания следящей силы от поворота верхнего звена [92, 138, 157]. Отметим, что введение запаздывания фактически приводит к рассмотрению задачи с одновременным действием неконсервативной и консервативной нафузок. Такая модификация позволяет получать в зависимости от запаздывания и жесткости Циглера опоры находит как флаттерную, так и дивергентную в в работах, потерю устойчивости верхнего положения маятника. В настоящее время маятник широкое применение посвященных вопросам нелинейному ана1шзу устойчивости, частности, послекритического поведения неконсервативных систем [48, 49, 50, 70, 71, 92, 138, 157, 160, 166, 167]. Переходя к континуальным моделям, нельзя еще раз не упомянуть о решении Е.Л. Николаи [161, 162, 163] об устойчивости стержня под действием следящего крутящего момента [рис. 16]. Здесь в случае стержня круглого сечения прямолинейная форма равновесия оказывается неустойчивой при любом значении момента. В случае же рассмотрения стержня с неравными изгибными жесткостями имеет место критическое значение момента, до достижения которого прямолинейная форма остается устойчивой. Позднее модель Е.Л. Николаи использовалась рядом автором [76, 145, 194], в частности, в приложении к устойчивости валов авиационных турбин. Г. Циглером [120] было рассмотрено запаздывание следящего момента, и было показано, что для момента, вектор которого более чем в два раза отстает от поворота дефор\н1рованной оси стержня, наблюдается дивергентная потеря устойчивости. Касаясь вопроса лпюгообразия люделей, используемых в задачах неконсервативной устойчивости, следует упомянуть о модели В.И. Реута стержень, заделанный одним концом и нагруженный на свободном краю сжимающей силой с постоянной линией действия. аОг, р шшшш 77Ш Рис. 1. Типичные модели со слоляии1МИ иа|рузками, испол1.-5уюии1еся в псследовамиях устойчивости нскоиссрвативиых систем.Достаточно широкое распространение в литературе получили людели стержней под действием сжимающих тангенциальных нафузок [рис. 1в]. Так Г. Лейнхольцсм [60] была введена в расслютрение модель консольного стержня иод действием равномерно распределе1П1ых сжнмаюп1их сил. В. Хогер [36] исследовал вопрос устойчивости стержня с различными граничными условиями под действием равномерных и л1Н1ейно изменяющихся по длине следящих сил. В последующих работах проблема устойчивости была распространена на случай одновременного действия консервативных и следящих распределенных нагрузок при различных граничных условиях [75, 100]. Значительное количество работ связано с уже упо\п1навшейся задачей об устойчивости консольного стержня, нафужениого на свобод1Юм конце тангенциальной сформулированной Л. Пфлюгером и В.И. ФеодосьевЕлм силой, [85, 185]. Критическая сила для стержня постоянного сечения с равномерным распределением массы была найдена М. Беком [10], К.С. Дейнеко и М.Я. EJ Леоновым [141] и оказалась равна 7;.„ 20.05- где I и EJ длина и изгибная жесткость стержня соответственно. В [86, 141] был также установлен факт влияния распределения масс на критическую силу. Устойчивость стержня при запаздывании следящей силы для случая сосредоточенной на конце массы была расслютрена Г.Ю. Джанелидзе [146]. Введенный параметр запаздывания а при своем варьировании от О до 7 позволил расслютреть случаи изменения нагрузки от постоянной по направлению консервативной силы до следящей без запаздывания, неконсервативной силы. Было показано, что при значениях параметра запаздывания, меньших 0.5, неустойчивость стержня имеет дивергентный характер, и статический метод исследования устойчивости, несмотря на иеконсервативность задачи, приводит к тем же результатам, что и динамический. При значениях параметра запаздывания, больших 0.5, стержень теряет устойчивость путем флаттера, и статический метод не 8

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Тумашик, Глеб Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тумашик, Глеб Александрович, 2005 год

1. Anderson G.L. Application of a variational method to dissipative, non-conservative problems of elastic stability //Journal of Sound and Vibration, 27 (1973), K2 3, 279-

2. Anderson G.L. Optimal design of a cantilever subjected to dissipative and nonconservative forces //Journal of Sound and Vibration, 1974, V. 33, 2, 155-

3. Anderson G.L., Tadjbakhsh I.G. Stabilization of Zieglcrs pendulum by means of the vibrational control //J. Math. Anal. And Appl., 143 (1989), 1, 198-

4. Anifantis N., Dimarogonas A. Stability of columns with a single crack subjected to follower and vertical loads//Int. J. Solids and Structures, 1983, V. 19, 4, pp. 281-

5. Arafat II.N., Nayfeh А.Ы., Chin C.-M. Nonlinear nonplanar dynamics of parametrically excited cantilever beams //Nonlinear Dynamics, 15 (1998), J« 1, pp. 31- 6. Bailey CD. Hamilton, Ritz and Elastodynamics //ASME Journal of Applied Mechanics, 98 (1976), 684-

7. Bailey С D. The method of Ritz applied to the equation of Hamilton //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 7, 1976, 235-

8. Bailey С D., Haines J. L. Vibration and stability of non-conservative follower force systems //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 26, 1981, 1-

9. Barsoum R.S. Finite element method applied to the problem of stability of a nonconservative system //International Journal for numerical methods in engineering, 3 (1971)63-87.

10. Beck M. Die Knicklast des cinscitig eingespannten, tangentialen gedrucktcn Stabes Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik, 3 (1952), 225-228, 476-477.

11. Bendjamin T.B. Dynamics of a system of articulated pipes conveying fluid //Proceedings of Royal Society. Scr. A: Mathematical and Physical Sciences. L., 261 (1961), X-1307, 457-499.

12. Bolotin V.V. Dynamic instabilities in mechanics of structures //Applied Mechanic Review, 52 (1999), 1, R1-R9.

13. Bolotin V.V., Grishko A.A., Panov M.Yu. Effect of damping on the postcritical behaviour of autonomous non-conservative systems Int. Journal of Non-Linear mechanics, 37 (2002), 1163-1179.

14. Bolotin V.V., Zhinzhcr N.l. Effects of damping on stability of elastic systems subjected to non-conservative force Int. J. Solids and structures, 5 (1969). 9, 965-989.

15. Celep Z. On the vibration and stability of Becks column subjected to vertical and follower forces //Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanic, 57 (1977), 555-557.

16. Celep Z. Stability of Pre-Tvvisted Leipholz Column //Acta Mechanica, 60 (1986), 157-170.

17. Chamara P.A., Coller B.D. Double flutter in an aero-elastic system// AIAA Journal, 39 (2001), №6, 1206-1208.

18. Chen L.W., Ku D.M. Eigenvalue sensitivity in the stability analysis of Becks column with a concentrated mass at the free end //J. Sound and Vibration, 153 (1992), 403-411.

19. Claudon J.L. Characteristic curves and optimum design of two structures subjected to circulatory loads //Journal de Mecanique, 1975, V. 14, JT 3, pp. 531-543. Sy 136

20. Darabsch T.T., Genin J. Dynamic stability of viscoelastic columns loaded by a follower force //J. Mechanical Engineering Science, 218 (2004) Part C, 1091-1101. De Rosa М.Л. Franciosi C. The influence of an intermediate support on the stability behavior of cantilever beams subjected to a follower force //J. Sound and Vibration, 137 (1990), 107-

21. Detinko F.M. Lumped damping and stability of Beck column with a tip mass International Journal of Solids and Structures, 40 (2003), 4479-4486. 23.

22. Detinko F.M. On the clastic stability of uniform beams and circular arches under nonconservative loading //International Journal of Solids and Structures, 37 (2000), 5505-5515.

23. Detinko F.M. Some phenomena for lateral flutter of beams under follower load// Int. J. Solids and Structures, 39 (2002), 341-350. on

24. Done G.T.S., Damping configurations that have a stabilizing influence nonconservative systems Int. J. Solids and Structures, 9 (1973), 2, 203-215.

25. Dowell E.H. Panel Flutter: A review of aero-elastic stability of plates and shells //А1АЛ Journal, 8 (1970), 3, pp. 385-399.

26. Elishakoff I. Elastic Stability: From Euler to Koiter there was none like Koiter Mcccanica 35 (2000) 375-380.

27. Elishakoff I., Impollonia N. Docs a partial elastic foundation increase the flutter velocity of a pipe conveying fluid //Journal of applied mechanics, 68 (2001), 206-212. 30.

28. Genin J. Static follower problem revisited III. Mechanical Engineering Science, 215 (2001) P a r t e 1

29. Genin J., Xu \V. Plate subjected to an out-of-plane follower force //J. Mechanical Engineering Science, 216 (2002) Part C, 913.

30. Glabisz W. Application of Hamiltons Low to the stability of double pendulum under nonconservative loads //Computers and Structures, 53 (1994), 1, 143-153.

31. Glabisz W. Vibration and stability of a beam with elastic supports and concentrated masses under conservative and nonconservative forces //Computers and Structures, 70 (1999), 305-313.

32. Gutkowski W., Mahrcnholz O., Pyrz M. Minimum weight design of structures under nonconservative forces //Optimization of large structural systems. Dortrecht: Kluwcr, 1993, pp.1087-1100.

33. Hanaoka M., Washizu K. Optimum design of Becks column //Computers Structures, 1980, V. 11, pp. 473-480.

34. Ilauger \V. Die Knicklasten elastischer Stabe unter gleichmafiig verteilten und linear veranderlichen, tangcntialen Driickkriiften Ingenieur-Archiv, 35 (1966), 221-229. 37. 38.

35. Ilerrman G., Jong l.-C. On the destabilizing effect of damping in nonconservative elastic systems //Trans. ASME. Ser. E.J. Applied Mech. 32 (1965) 3, 592-

36. Indeitsev D.A. Localization of vibration in a Bernulli-Euler beam //Proceedings of the 4th International Congress on Sound and Vibration. Vol. 1, 1996, pp.585-

37. Indeitsev D.A. Stability of the elastic beam a viscous incompressible slow //Journal of applied Mathematics and Mechanics. GAMM96. Vol. 78, 1997, pp. 516-522. 137

38. Jensen J.S. Articulated pipes conveying fluid pulsating with high frequency //Nonlinear Dynamics, 19 (1999), 2, pp. 173-193.

39. Jensen J.S. Buckling of an elastic beam with added high-frequency excitation //Int. Journal of Non-Linear mechanics, 35 (2000), 217-227.

40. Kagan-Rosenzwcig L.M. Quasi-static approach to non-conservative problems of the elastic stability theory //International Journal of Solids and Stnictures 38 (2001) 13411353. 44. Kar R.C. Influence of an elastic end support on the stability of a nonuniform cantilever subjected to dissipative and nonconscrvative forces// Computers Structures, 11 (1980), 337-341.

41. Keller J.B. The shape of the strongest column //Arch. Rational Mcch. Anal., 1960, V. 5., pp. 275-285.

42. Koiter W.T., Unrealistic follower forces //J. Sound and Vibration, 194 (1996), 4, 636638.

43. Kounadis A.N. Stability of elastically restrained Timoshcnko cantilevers with attached masses subjected to a follower force //J. Appl Mcch, 44 (1977), 731-736.

44. Kounadis A.N., Simitses G.J. Non-conservative systems with symmetrizable stiffness matrices exhibiting limit cycles //Int. Journal of Non-Linear mechanics, 32 (1997), JVij 3. 515-529.

45. Kounadis A.N., Gantes G.J., Bolotin V.V. An improved energy criterion for dynamic buckling of imperfection sensitive nonconscrvative systems //International Journal of Solids and Structures 38 (2001) 7487-7500.

46. Kovalchuk V.V., Lobas V.L. Divergent bifurcations of a double pendulum under the action of an asymmetric follower force //International Applied Mechanics, 40 (2004), 7,821-828.

47. Langthjcm NL Finite element analysis and optimisation of a fluid-conveying pipe /AFhe technical university of Denmark. Report No.

49. Langthjcm M. On dynamic stability of an immersed fluid-conveying technical university of Denmark. Report No.

51. Langthjcm M. On the influence of damping in a problem of dynamic stability optimization //Structural Optimization, 1994, 7, pp. 227-

52. Langthjcm M. On the influence of damping in a problem of dynamic stability optimization//The technical university of Denmark. Report No.

54. Langthjcm M., Sugiyama Y. Optimum design of cantilevered columns under the combined action of conservative and nonconscrvative loads. Part I: The undamped case //Computers Structures, 74 (2000), 385-398.

55. Langthjcm M., Sugiyama Y. Optimum design of canlilevercd columns under the combined action of conservative and nonconscrvative loads. Part II: The damped case //Computers Structures, 74 (2000), 399-408. 57. Lee LLP. Divergence and flutter of a cantilever rod with an intermediate spring support International Journal of Solids and Structures, 32 (1995), 10, 1371-1382. 138

56. Lcipholz I LI I.E. Die Knicklast des einseitig cingespannten, tangentialen gcdriickten Stabes mit gleichmaBig verteilter, tangentialer Liingsbelastung //Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Physik, 13 (1962), 581-589.

57. Lcipholz H.H.E. On a generalization of the lower bound theorem for elastic rods and plates subjected to compressive follower forces //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 27, 1981, pp. 101-120.

58. Lcipholz H.H.E. On the application of the direct method to initial value problems //Acta Mcchanica, 58 (1986), pp. 239-249.

59. Leipholz ILII.E. Uber die erweiterung des Ilamiltonshcn prinzips auf lineare nichtkonservative probleme //Ing. Archive, 40 (1971), 55-67.

60. Leipholz H.H.E. Variational principles for non-conservative problems, a foundation for a finite element approach //Computer Methods in applied mechanics and engineering, 17/18, 1979, pp. 609-617.

61. Lobas L.G., Patricio L.D., Boruk I.G. Equilibrium of an inverted mathematical doublelink pendulum with a follower force International Applied Mechanics, 38 (2002), 3, 372-376.

62. Mahrenholtz O., Kounadis A.N. On the relation of static to dynamic bifurcation in nonlinear autonomous dissipativc or nondissipative structural systems //Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanic, 73 (1993), 3 131-140.

63. Manickarajah D., Xie Y.M., Steven G.P. Optimization of columns and frames against buckling//Computers and Structures 75 (2000), pp. 45-54.

64. Massey C, Van der Meer A.T. Stability of non-prismatic cantilever columns under tangential loading//Прикладная механика, 38 (1971), 1, 255-257.

65. Mazur E.F. Optimal staictural design under multiple eigenvalue constraints //Int. J. Solids and Structures, 1984, V. 20, 3, pp. 211-231. 75. McGill D.J. Column instability under weight and follower loads //Journal of the Engineering Mechanics Division, 97 (1971), 629-635.

66. Morris J. Torque and the fle.\ural stability of a canilevcr //Aircraft Engng, 23 (1951), 1951. 139

67. Nemat-Nasser S., Prasad S.N., Herrman G. Destabilizing effect velocity-dependent forces in non-conservetive continuous systems //Л1ЛЛ Journal, 4 (1966), 7, 1276

68. Nemat-Nasser S., Roorda J. On the energy concepts in the theory of elastic stability Acta Mechanica, 4 (1967), pp. 296-307.

69. Odeh F., Tadjbakhsh I. The shape of the strongest column with a follower load //J. Opt. Theory Appl, 1975, 15,pp.l03-118.

70. Olhoff N., Rasmussen S.H. On single and bimodal optimum buckling loads of clamped columns //Int. J. Solids and Structures, 1977, V. 13, 7, pp. 605-614.

71. Paidoussis M. P., Li G. X. Pipes Conveying Fluid: A Model Dynamical Problem //J. Fluids Structures, 7 (1993), 137-204.

72. Pedcrsen P. Design with several eigenvalue constraints by finite elements and linear programming //J. Struct. Mech., 1982-1983, V. 10, 3, pp. 243-271.

73. Pedersen P., Scyranian A.P. Sensitivity analysis for problems of dynamic stability //Int. J. Solids and Structures, 1983, V. 19, 4, pp. 315-335. 85.

74. Pfluger A. Stabilitiitsprobleme der Elastostatik //Sptinger, Berlin, Gottingen und Heidelberg, 1950,

75. Pfiuger A. Zur Stabilitat des tangential gedructen Stabes ZAMM, 35 (1955), X2 5, 191.

76. Plaut R.H. A new destabilization phcnomen in nonconservative systems //ZAMM. 51 (1971), №4 319-321.

77. Postnov V.A., Tumashik G.A. About one method for increasing stability of a nonconservative system //Proceedings of 20-th International Conference Mathematical Modeling in Solid Mechanics Boundary Finite Elements Methods, 2003, vol. 3, pp. 120-

78. Raman A., Hansen M.H., Mote C D A note on the post-flutter dynamics of a rotating disk //Journal of applied mechanics, 69 (2002), 864-

79. Ringertz U.T. On the design of Becks column //Structural Optimization, 1994, K 8, pp. 120-

80. Sankaran G.V., Rao G.V. Stability of tapered cantilever columns subjected to follower forces //Computer and Structures, 6 (1976), 217-

81. Scheidl R., Troger H., Zeman K. Coupled flutter and divergence bifurcation of a double pendulum //Int J. Non-Linear Mech., 19 (1984), 2, 163-

82. Schmitt J.M., Bayly P.V. Bifurcations in the mean angle of a horizontally shaken pendulum: analysis and experiment //Nonlinear Dynamics, 15 (1998), 1, pp. 1-

83. Seguchi Y., Tada Y., Kema K. Shape decision of nonconservative structural systems by the inverse variable principle //Proc. JSME, Series A, 1984, 679-

84. Sinha S.C., Tai Sheng Liu, Senthilnathan N.R. A new computational technique for the stability analysis of slender rods //Archive of Applied Mechanics, 62 (1992), 347-360. Si-Ung Ryu, Yoshihiko Sugiyama. Computational dynamics approach to the effect of damping on stability of a cantilevered colunni subjected to a follower force //Computers and Structures, 81 (2003), 265-271. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 140

85. Sugijama Y., Katajama K., Kinoi S., Flutter of cantilever column under rocket trust IIS. Aerospace Hng. 8 (1995), 1,9-15.

86. Sugijama Y., Katajama K., Kirijama K., Ryu B.J. Experimental verification of dynamic stability of vertical cantilevered columns subjected to a sub-tangential force IIS. Sound Vibr,236(1999),№2, 193-207.

87. Sugiyama Y., Kawagoc H. Vibration and stability of elastic columns under the combined action of uniformly distributed vertical and tangential forces //Journal of Sound and Vibration, 38 (1975), 3, 341-355.

88. Sugiyama Y., Langthjem M.A. and Ryu B.-J., Realistic follower forces IIS. Sound and Vibration 225 (1999), 4, 779-782.

89. Sundararajan C. Influence of end support on the vibration and stability of Becks column //Int J. Mech. Sci, 18 (1976), 239-241.

90. Sundararajan C. Stability of columns on clastic foundations subjected to conservative and non-conservative forces IIS. Sound and Vibration, 37 (1974), №.1, 79-85.

91. Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest Columns and Isoperimetric Inequalities for Eigenvalues //Trans. ASME. Ser. E. J. Applied Mechanics, 1962, V. 29, 1, pp. 159164.

92. Takahazhi I. Vibration and stability of a non-uniform cracked Timoshenko beam subjected to a follower force //Computer and Structures, 71 (1999), 585-591.

93. Tchcrniak D., Thomsen J.J. Slow effects of fast harmonic excitation for elastic structures //Nonlinear Dynamics, 17 (1998), 3, pp. 227-246.

94. Theodorscn T. General theory of aerodynamic instability and mechanism of flutter NACA, Rep. 496, 1935.

95. Thompson J.M.T. Optimization as a generator of structural instability (Letter to editor) //Int. J. mech. Sci, 1972, V. 14, pp. 627-629.

96. Tumashik G.A. Stabilizing of a non-conservative system by introduction of high frequency harmonic force //Proceedings of XXXI Summer School Conference "Advanced Problems in Mechanics", 2004, pp. 279-285

97. Ulitin G.M. Stability of the column of a rotor-type drilling rig// Strength of Materials, Vol. 34 (2002) №1,94-98.

98. Vepa K. Generalization of an energetic optimality condition for non-conscrvalive systems IIS. Struct. Mech, 1973, 2, pp. 229-257.

99. Viola E., Marzani A. Crack effect on dynamic stability of beams under conservative and nonconservative forces// Engineering Fracture Mechanics 71 (2004)? 699-718.

100. Vitaliani R.V., Gasparini A.M., Sactta A.V. Finite element solution of the stability problem for nonlinear undamped and damped systems under nonconservative loading Int. J. Solids and Structures, 34 (1997), 19, 2497-2516.

101. Walker J.A. A note on stabilizing damping configurations for linear nonconservative systems //Int. J. Solids and Structures, 14 (1978), 12, 1543-1545.

102. Wang C.Y. Buckling of a rotating rod under axial force //Journal of applied mechanics, 71 (2004), 590-593. 141

103. Yeong-Bin Yang, Shyh-Rong Kuo, Jong-Dar Yau. Instability of lightly damped linear nonconservativc systems //Л1ЛЛ Journal, 35 (1997), 5, 901-908. 118. You H.H., Seo S., Huh K. The effect of a conccntrared mass on the modal characteristics of a rotating cantilever beam //J. Mechanical Engineering Science, 216 (2002) Parte, 151.

104. Ziegler II. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik //Ing.-Arch., 1952, Bd. 20, 1, pp. 49-56.

105. Ziegler II. Kritische drenzahlen unter torsion und druck //Ing.-Arch., 20 (1952), 6.

106. ZicglerH. Linear elastic stability//ZAMP. 4 (1953), pp. 89-121, 168-185.

107. Ziegler II. On the concept of elastic stability //Advn. appl. Mech., 4 (1956 351-403.

108. Zorii L. Chemukha Y.A. Influence of support conditions on the dynamic stability of elastic column //Prikl Mekh, 7, 134-136. 124. Zuo Q.H., Schreyer ILL. Flutter and divergence instability of nonconservativc beams and plates //International Journal of Solids and Structures, 33 (1996), 9, 1355-1367.

109. Агафонов A. О стабилизации движения неконсервативных систем посредством параметрического возбуждения //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1998, 2, 199-202.

110. Агафонов А. Об устойчивости и автоколебаниях двойного маят1П1ка с упруги.ми элементами, находящегося под действием следящей силы //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1992, Л 5, 185-190.

111. Агафонов А. Эффект стабилизации равновесия .маятника Циглера параметрическим возбуждением //Изв РАИ. Механика твердого тела, 1997, б, 36-40.

112. Агафонов А., Щеглов Г.Л. О стабилизации двойного маятника, находящегося иод действием следящей силы посредство.м параметрического возбуждения //Изв РАН. Механика твердого тела, 2003, 3, 38-47.

113. Алфутов II.Л. Основы Машиностроение, 1978. расчета на устойчивость упругих систем. М.:

114. Баничук И.В. Братусь А.С. О динамической устойчивости упругих распределенных систем при начичии .ман,1х диссипативпых сил //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1990, №5, 166-174.

115. Баиичук И.В. Введение

116. Баничук И.В., Братус! А.С, Мышкис А.Д. Об устойчивости упругих неконсервативных систем, допускающих дивергентные решения //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1992, 1, 134-143.

117. Баничук II.В., Братусь А.С, Мышкис А.Д. Об эффектах стабилизации и дестабилизации в неконсервативных системах //ПММ. Т. 53, 12 1989. С 206-214

118. Блехман И.И. Вибрационная механика. М., Наука, 1994.

119. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостсхиздат, 1956. 142

120. Болот1П1 В.В., Гртпко Л.Л., Петровский Л.П. О влиянии демифируюпи1х сил на послскритическое поведение сунхественно ]1епотенпиа;п.пых систем //Изв. РАН. MexaiHiKa твердого тела. 1995, 2,158-167.

121. Борук И.Г., Лобас Л.Г., IlaTpniuio Л.Д. О COCTOHIUIRX равновесия исрсвсри>того двойного маятника со следяи1ей силой па упруго заделанном верхнем конце Механика твердого тела, 2004, 5, стр. 16-22.

122. Валеев К.Г. Дппа.мичсская стабилизация неустойчивых систем //Изв ЛИ СССР, МТТ, 1971.Т.10,№2.

123. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных рсзопансов //Прикладная математика и механика, 1963. Т.27, 6.

124. Дейнеко К.С. Леонов М.Л. Диналшчсский метод исследования устойчивости сжатого стержня //Прикладная математика и механика, 19 (1955), б, 738-744.

125. Денисов Г.Г. Диссипация и устойчивость в механических системах //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1998. №2, 183-190.

126. Денисов Г.Г., Новиков В.В. Об устойчивости стержня, иагружениого следящей силой //Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1975, 1, 150-154.

127. Денисов Г.Г., Новиков В.В. Об устойчивости упругих систем с малым внутренним трением //Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1978, 3, 41-47.

128. Джанелидзе Г.Ю. К вопросу о форме равновесия сжатого и скрученного стсржня//Труда ЛПИ, 1 (1939) 3

129. Джанелидзе Г.Ю. 05 устойчивости стержня при действии следящей силы //Труды ЛПИ, №192, 1958. с. 21-27.

130. Жинжер И.И. Влияние диссипативпых сил с неполной диссипацией па устойчивость упругих систем //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994, 1, 149155.

131. Жинжер И.И. О дестабилизируюн1ем влиянии трсиия на устойчивость пекопсервативных упругих систем //Ипж. журнал. Механика твердого тела. 1968, 3, 44-47.

132. Жинжер Н.И. Об устойчивости неконсервативных упругих систем при на1Н1чии трсиия //Изв. вузов. Машииостроеиис. 1968, 4, 65-68.

133. Индейцев Д.Л., Родосский В.Л. Явление флаттера тонкой пластины в потоке сжимающей жидкости. Известия АИ СССР, Механика твердого тела, 1986, №6.

134. Каган-Розерншейг Л.М. Интерпретация результатов энергетического подхода к решению неконсервативных задач теории упругой устойч1ПК)сти Исследования по .механике строительных конструкций и материа.1ов: Межвуз. тс.мат. сб. тр., СПб ГАСУ, 1999.41-48.

135. Каган-Розеицвейг Л.М. О различии динамических и статических результатов апа:н1за устойчивости равновесия упругих систем Труды XX Международ1юй конференции «Математическое .моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2004, Т. 2, 221-227.

136. Картузов Н.И., Ростовцев Д.М. Основы теории управления гидроупругими колебаниями. Изд-во СПб ГМТУ, 1999, 176 стр. 143

137. Курбатов Л.М., Челомей СВ., Хро.мун1Кии Л.В. К вопросу о маятнике В.И. Чело.мея Нзв РАН. Механика твердого тела, 1986, б, 69-65.

138. Курдюмов Л.Л., Постиов В.Л. Применения алгоритма Гаусса для определения корней частотного уравпе1Н1я консервативнЕлх систем //Труды НТО Судпро.ма, Судпромгиз, 1961, 40, 4-14.

139. Лобас Л.Г., Лобас Л.Л. Бифуркаиии, устойчивость и катастрофы состояний равновесия двойного маятника иод воздействием асп.ммстрпчной следяпхей силы Механика твердого тела, 2004, 4, стр. 139-155.

140. Марченко Г.А. Метод Рптца в неконсервативных задачах теории упругой устойчивости //Известия Вузов. Авиационная техника, 1966, 3, 62-68.

141. Муллагулов М.Х. 0 5 эксперименталЕ>но.м исследовании устойчивости неконсервативной системы //Прикладная механика, т. 27 (1991), 3, 124-127.

142. Нсйи1тадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера Прикладная математика и механика, 61 (1997), 1, 18-29.

143. Николаи Е.Л. К вопросу об устойчивости скрученного стержня// Вестник механики и прикладной механики. 1, 1929. (См. Николаи Е.Л. Труды по механике. М. Гостехиздат, 1955. с. 388-406).

144. Николаи Е.Л. О критерии устойчивости упругих систем //Труды Одесского ии-та ииж. гражд. и ко.м.мунального стр-ва. Вып. 1, 1939.

145. Николаи Е.Л. Об устойчивости пря.молинейиой формы равновесия сжатого и скрученного стержня Изв. ЛИИ, 31. 1928. (См. Николаи Е.Л. Труды по механике. М. Гостехиздат, 1955. с. 356-387).

146. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебаний упругих систем. М.: Наука, 1967,420 стр.

147. Пановко Я.Г., Сорокин СВ.. О квазиустойчивости упруговязких систем со следяни1.ми спла.\н1 //Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1987, 5, 135-139.

148. Петровский А.В. Днна.мическое поведение oopaniennoro двухзвспного неортогонального маятника при ненотенинальпом нагружепии //Механика твердого тела, 2003, 5, стр. 137-146.

149. Петровск1и"1 А.В. Устойчивость и послекритпческое поведение обращенного пространственного маятника при ненотенцпа;н,ном нагружепии //Механика твердого тела, 2002, 1, стр. 165-176.

150. Позняк Э.Л. Влияние сопротивления на устойчивость вращаюищхся валов //Проблемы прочности и .машиностроения, 1 (1958).

151. Постнов В.А. Динамические матрицы жесткости балочных эле.ментов и их использование в конечно-элементных процедурах//Труды МВТУ им Н.Э.Баумана, посвященные 75-летию кафедры прикладной механики, 2005, стр. 71-80.

152. Ностнов В.А. Дина.\Н1ческие матрицгл жесткости ба.точных элементов и их использование при расчете выиуж.тенных колебаний стержневых систем BecTiHiK гражданских инженеров, 2004, №2. В печати. 144

153. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1977,248 стр.

154. Постнов В.А., Ту.маишк Г.А. О методах повышения критических нагрузок для упругих систем при неконсервативном пагружснии //Труды Научно-технической конференции «Кораблестроительное образовать и наука 2003», 2003, т.1, стр. 384-389.

155. Постнов В.А., Туманшк Г.А. Оптимизация консольного призматического стержня но критической силе во флаттере //Нелинсйшлс проблемы механики и физики дефор.мируе.мого твердого тела. Труды научной школы акаде.\п1ка В.В. Новожилова. Вып. 5, 2002, стр. 45-58.

156. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Оптимизация консольного приз.матического стержня по критической силе флаттера //Проблемы прочности и пластичности. Межвузовский сб. трудов Нижегородского университета им. И.И. Лобачевского. Вып 63, 2001, стр. 104-111.

157. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Стабилизация некоисервативной системы при ввсдети! донолнителшой высокочастотной гармонической силы //М. РАП, «Математическое моделирование», 2004, т. 16, 6, стр. 7-12.

158. Постнов В.А., Тумаишк Г.А. Стабилизация пеконсервативной системы путем введения высокочастотной гармоническо!! силы //Вестник Нижегородского университета. Серия "Механика". Вып. 1(5), 2003, стр. 12-17.

159. Постиов В.А., Туманнш Г.А. Устойчивость консольного стержня, загруженного некоисервативной сжимаюн1ей силой, при учете деформаций ноиеречного сдвига// Труды Четвертой МсждународиоГ! конференции и выставки по морским интеллектуальным технологиям «Мориитех-2001», 2001, стр. 159-163.

160. Постнов В.А., Тумашик Г.А. Устойчивость консольного стержня, лежащего на упругом основании и опертого на конце на упругую опору, под действием следящей силы с запаздыванием //Труды XIX Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплоншых сред. Методы граничных и конечных элементов», 2001, т. 3, стр. 37-44.

161. Постиов В.А., Тумашик Г.А., Миронов М.Ю. Спектральный анагшз существуюци1х конечно-разностных методов решения задачи динамики инжснершлх конструкций //Трудгл Научно-технической конференции «Кораблестроительное образовать и наука 2003», 2003, т.1, стр. 389-395.

162. Привалова О.Г., СейраЕшн А.П. Закритическос поведение бимодальных оптимальных стержней //Механика твердого тела, 1999, 2, стр. 168-177.

163. Ролтиоиов А.А. Математические методы проектирования конструкцш"! судового корпуса. Л.: «Судостроение». 1990.

164. Свеглицкий В.А. Механика стержней. М.: Высш. шк., 1987. 184. СеГфаиян А.И. Об одной задаче Лагранжа //Механика твердого тела, 1984, 2, 101-111.

165. Фсодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалом. Гостехиздат, 1953. 145 онтима.тьных

166. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкиий. М.: Мир, 1971.

167. Челомей В.И. О возможности повышения устойчивости упругих систем при noMOHui вибрации //ДЛИ СССР. 1956, T.110, 3, 345-347.

168. Челомей В.II. Парадоксы в механике, вызыиаелнлс внбрацня.чн! //ДЛИ СССР. 1983,-T.270,Л 1,62-67

169. Чсло.мей СВ. Дииа.мическая устойчивость при высокочастотном пара.метрическом возбуждении //ДЛИ СССР. I98I. Т.257, 4, 853-857.

170. Чело.мей СВ. О дв>х задачах дина.\П1ческой устоГ1Чивости колебательных систе.м, поставленных академиками П.Л. Капицей и В.И. Челомесм //Изв РАН. Механика твердого тела, 1999, 6, 159-166.

171. Челомей СВ., Щеглов Г.А. О динамической устойчивости прямого трубопровода нагруженного переменной осевой силой при протекании через пего пульсирующей жидкости// Изв ЛИ СССР. Механика твердого тела, 1998, б, 175-184.

172. Шашков И.Е. Об устойчивости сжатого и скрученного стержня призматического стержня с произвольной формой поперечного сечения //Инж сборник, 7 (1950)

173. Шклярчук Ф.Н., Гриншнина Т.В. Колеба1Н1я нсконсервативиых систе.м. М.: Изд-во МАИ, 1989.

174. Шииро Г.С, Шпиро И.Г. О парадоксах дииа.мического метода исследовання устойчивости фор.м равновесия упругих систем //Изв. Вузов. Строительство и архитектура. 1989, 2, 115-118. 197. Яги Ю.И., Парипи! Л.К.. Экспериментальное изучения устойчивости стержня при сжатии следящей силой //Труды ЛПИ, 278, 1967, 52-54. 146