Устойчивость тонких подкрепленных пластин с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Грудцына Ирина Евгеньевна

• Грудцына Ирина Евгеньевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Грудцына Ирина Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФОРМ ВЫПУЧИВАНИЯ

1.1 Основные исследования теории устойчивости упругих консервативных систем

1.2 О равновесиях механических систем

1.3 Сингулярные точки

1.4 Геометрическое представление сингулярных точек

1.5 Исследования влияния начальных геометрических несовершенств в задачах устойчивости упругих систем

1.6 Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия собственных форм в задачах устойчивости тонких подкрепленных пластин

1.7 О возможных решениях задач устойчивости систем, составленных из пластин

ГЛАВА 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФОРМ

2.1 Геометрически нелинейные уравнения равновесия подкрепленной пластины

2.2 Решение линейных задач на собственные значения

2.3 Решение характеристического уравнения для местной формы волнообразования и формы выпучивания по общему прогибу

2.4 Численное решение задачи устойчивости с помощью МКЭ

2.5 Использование МКЭ для решения задачи устойчивости в геометрически нелинейной постановке

2.6 Решения геометрически нелинейных уравнений итерационными методами

2.7 Метод Ланцоша для решения линейных задач устойчивости

2.8 Создание модели с начальными геометрическими несовершенствами

ГЛАВА 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА РАВНОВЕСИЯ РЕГУЛЯРНОГО Т - ОБРАЗНОГО ФРАГМЕНТА

3.1 Введение

3.2 Решение задачи устойчивости на собственные значения

3.3 Геометрические представления диаграмм равновесия и критические точки в задаче устойчивости подкрепленных пластин

3.4 Прямые сингулярных точек

3.5 Связь между появлением сингулярных точек и рангом расширенной матрицы Гессе

3.6 Несвязанные решения (решения в плоскости общего прогиба)

3.7 Несвязанные решения с предельной точкой

3.8 Связанные послебифуркационные решения

3.9 Связанные решения с предельной точкой

3.10 Численный анализ устойчивости Т— образного фрагмента подкрепленной пластины

3.11 Представление подхода к построению диаграмм равновесных состояний с целью снижения чувствительности к начальным

несовершенствам для задачи устойчивости Т—образного фрагмента подкрепленной пластины

3.12 Выводы по главе

ГЛАВА 4 ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКИХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ НАЧАЛЬНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ

4.1 Постановка задач исследования устойчивости подкрепленных пластин с не кратными критическими нагрузками

4.2 Равновесие подкрепленных пластин с не кратными критическими нагрузками

4.3 Влияние начальных геометрических несовершенств на величину максимальной критической нагрузки для подкрепленных пластин с не кратными критическими нагрузками

4.4 Двукратная полусимметричная точка бифуркации. Омбилические катастрофы

4.5 Гомеоклинная точка бифуркации катастрофы гиперболической омбилики

4.6 Влияние начальных геометрических несовершенств на двукратную критическую нагрузку подкрепленной пластины

4.7 Антиклинная точка бифуркации катастрофы эллиптической омбилики

4.8 Влияния начальных несовершенств на потерю устойчивости подкрепленной пластины с двукратной критической нагрузкой

4.9 Выводы по главе

ГЛАВА 5 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕБРИСТОЙ ПЛИТЫ ПРОЕЗЖЕЙ ЧАСТИ МОСТОВОГО ПРОЛЕТНОГО СТРОЕНИЯ

5.1 Линейный анализ напряженно-деформированного состояния пролетного строения путепровода №2 через реку Волга в Ульяновске

5.2 Линейный анализ напряженно-деформированного состояния поперечной балки, входящей в конструкцию путепровода №2 через реку Волга в Ульяновске

5.3 Численные расчеты устойчивости фрагмента ребристой плиты пролетного строения, входящей в конструкцию путепровода №2 через реку Волга в Ульяновске

5.4 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость тонких подкрепленных пластин с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания»

Актуальность темы исследования.

Тонкостенные конструкции обладают способностью рационально использовать механические свойства материала. Поэтому они все чаще используются во многих отраслях промышленности и строительства.

Одним из видов тонкостенных конструкций являются подкрепленные пластины. Использование подкрепленных пластин началось в девятнадцатом и начале двадцатого века при строительстве стальных мостов, корпусов судов и некоторых фрагментов летательных аппаратов.

На сегодняшний день тонкие подкрепленные с одной стороны пластины используют в машиностроении, промышленном и гражданском строительстве, аэро — и судостроении. В качестве примеров можно привести фюзеляжи и крылья самолетов, несущие конструкции крыш больших цехов и складов, палубные панели кораблей, элементы пролетных строений мостов и путепроводов. В мостах со стальными коробчатыми балками нижняя и верхняя часть коробки могут быть подкрепленными пластинами, представляя собой ортотропные стальные плиты.

Конструкции подкрепленных пластин могут быть изготовлены из изотропных материалов (например, сталь, алюминий), а также анизотропных и ортотропных (различные виды композитных материалов, или многослойных волокнистых композитов).

Функционально тонкостенные подкрепленные пластины имеют ряд важных преимуществ, таких как:

1. простота установки;

2. размерное разнообразие;

3. относительно простая технология изготовления;

4. рациональное распределение материала в поперечном сечении;

5. легкость и экономия материала;

6. эстетичный внешний вид.

Современные представления о важных свойствах конструкции, которая может потерять устойчивость первоначального равновесия, связаны с определением влияния начальных несовершенств на величину критической нагрузки. Для этого необходимо оценить характер начального послебифуркационного равновесия. Если это равновесие неустойчивое, то система будет чувствительна к начальным несовершенствам и действительная критическая нагрузка в предельных точках может оказаться много меньше бифуркационной. Исследование упомянутых вопросов возможно только при использовании геометрически нелинейной постановки задачи.

Другая важная проблема в теории устойчивости - исследование влияния взаимодействия форм выпучивания (например, общей и местной) особенно, когда соответствующие критические нагрузки близки или являются кратными. Это взаимодействие, если одна форма провоцирует выпучивание по другой форме, в конечном счете, как правило, приводит к резкому снижению несущей способности тонкостенной конструкции.

Все вышеперечисленные системы исчерпывают свою несущую способность не за счет превышения допустимых напряжений, а вследствие потери устойчивости.

Результаты исследования закритического равновесия, особенностей изменения критической нагрузки тонкостенных подкрепленных пластин с начальными геометрическими несовершенствами, а также влияния взаимодействия собственных форм потери устойчивости дают важные знания проектировщикам.

Исходя из вышеизложенных положений, тему настоящей диссертационной работы следует считать актуальной.

Степень разработанности темы исследования.

Развитием теории устойчивости упругих систем на протяжении более ста лет занимались: А.В. Александров [1,2] , Н.А. Алфутов [3], М.М. Бегичев

[8], В.В. Болотин [15,16], В. Будянский [17,133], Е. Бысков [135], Д. Бушнелл [18], В.З. Власов [20,21,22], А.С. Вольмир [27,25], И.И. Ворович [28,29], В.И. Гуляев [44], Э.И. Григолюк [36,37], А. Гримальди [154], Ж. Грондин [155], И.Д. Грудев [39], Г.Ю. Джанелидзе [45], Л. Доннел [46], С. Дим [145], В.Г. Зубчанинов [56], В.Б. Зылев [58,59], Т. Карман [167], В.Т. Койтер [169,173,174,175], В.И. Климанов [63], Т. Кубиак [176], В.В. Лалин [69,70],

A.И. Маневич [75], Г.А. Мануйлов [177—180, 76 — 81], А. ван дер Нейт [227], Я.Л. Нидельман [89], Новожилов [90], Д. Олман [126], Я.Г. Пановко [93], П.Ф. Папкович [94], А.В. Перельмутер [96], М. Пиньятаро [191], И.М. Рабинович [102], Ю.Н. Работнов [103], Д. Рурда [195],В. Саусвел [202], В. Саппл [209], А.Ф. Смирнов [106], В.И. Сливкер [96], М. Сьюелл [199], В. Твергард [111], С.П. Тимошенко [112,219,113,114], Дж. Томпсон [212,216,100,115], Дж. Хант [164,212,117,117], Дж. Хатчинсон [166], Д. Хо [157,158], К. Хусейн [165], Г. Циглер [119], В.Ф. Чен [136], А. Чилвер [137],

B.Г. Чудновский [121], В.И. Шалашилин [122], С. Шридхаран [203], Л. Эйлер [146], М.Н. Яценко [29] и другие ученые.

Исследование задачи устойчивости тонкостенных подкрепленных пластин с учетом взаимодействия форм представлено в работах: А. Алберга [125], И. Шейх, А.Е. Элви и Г.Ю. Грондин [201], У. Витрика [231], Ю.И. Дударькова , М.В. Лимонина и А.В. Шевченко [49], В.Т. Койтера [170,171], Х. Кокса и Дж. Риддела [140], А. ван дер Нейта [226,227], Р. Маквои и К. Массонетта [182], А.И. Маневича [73,74,75], Г.А. Мануйлова и С.Б. Косицына [76,77,85,86], Ж. Талка и А. Уолкера [222], Дж. Томпсона [212,115] и Дж. Ханта [164,162,212,117], В. Твергарда [223,224], А. Тоакли и Д. Вильямса [220], В. Фока, Дж. Родса и А. Уолкера [148], И.С. Хансена [156], О.Ф. Хаджеса [159] и других.

Математическая теория особенностей гладких отображений (теория катастроф) встречается в задачах устойчивости тонкостенных подкрепленных пластин при условии кратности критических нагрузок.

Основные положения данной теории изложены в работах: В. И. Арнольда [6], Е. Зимана [233], Р. Тома [210], Постона и Я. Стюарта [98], Р. Гилмора [32].

Исследование двойных полусимметричных точек бифуркации представлено в работах: З. Гаспара [150], Г. А. Мануйлова, С.Б. Косицына [76,85], П. Самуэльса [196], Дж. Томпсона [211,214,215,217,218] и Дж. Ханта [160,161,162,164,211], Дж. Томпсона, Дж. Тана и К. Лима [217], А. Чилвера [137] и других.

Метод конечных элементов (МКЭ) является одним из основных средств численного исследования докритического и послекритического равновесия тонкостенных конструкций. Основы МКЭ представлены в работах авторов: Дж. Аргириса [4], А. В. Александрова [1], К. Бате [7], А. М. Белостоцкого [9,11,13], Е. Вилсона [7], Р. Галлагера [31], А. С. Городецкого [33], О. К. Зенкевича [234,235,53], А.Б. Золотова [55], Р. Клафа [138,139], С. Б. Косицына [66], Д. Норри [91], Дж. Одена [92], В. А. Постнова [97], М. Секуловича [105], Г. Стренга [109], Ф. Сьярле [110], С. И. Трушина [116] и других.

Цель диссертационной работы заключается в разработке и совершенствовании методов и алгоритмов исследования устойчивости докритического и послекритического равновесий упругих тонких подкрепленных пластин в геометрически нелинейной постановке с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания.

Задачи исследования.

1. Разработка методик полуаналитического и численного решений задачи устойчивости тонких подкрепленных пластин с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания и влияния начальных геометрических несовершенств. Сравнительный анализ полученных результатов.

2. Разработка классификации видов решений нелинейной задачи устойчивости подкрепленных пластин с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания.

3. Исследование коэффициентов матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функции потенциальной энергии, представление уравнений «бифуркационной прямой» и «прямой предельных точек» в плоскости общего прогиба.

4. Качественные представления видов диаграмм равновесных состояний тонких подкрепленных пластин с различными геометрическими параметрами и определение координат сингулярных точек.

5. Качественное и количественное представление поверхностей чувствительности критических нагрузок по отношению к различным сочетаниям начальных несовершенств (для случаев двукратных критических нагрузок).

6. Разработка и представление подхода к построению диаграмм равновесных состояний подкрепленных пластин (перенос точек бифуркации по местной форме волнообразования) с целью снижения чувствительности критических нагрузок к различным амплитудам начальных несовершенств.

7. Разработка алгоритма приближенной оценки устойчивости ребристой плиты проезжей части пролетного строения реального мостового сооружения.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Разработаны и реализованы методики полуаналитического и численного решений задач устойчивости тонких подкрепленных пластин, основанные на пространственных расчетных моделях. Проведены расчеты критических нагрузок и форм потери устойчивости. Получены кривые чувствительности критических нагрузок к влиянию начальных несовершенств и кривые равновесия для различных сочетаний геометрических параметров. Выполнен сравнительный анализ результатов.

2. Разработана классификация нелинейных решений задачи устойчивости тонких подкрепленных пластин на основании исследования уравнений равновесия и коэффициентов матрицы вторых производных (матрицы Гессе) функции потенциальной энергии.

3. Получены выражения для «бифуркационной прямой» и «прямой предельных точек», а также уравнения для определения:

- координат точек бифуркации волнообразования (в пластине и подкрепляющих ребрах);

- координат предельных точек в плоскости общего прогиба;

- координат предельных точек пространственных кривых равновесий, построенных с учетом влияния начальных несовершенств.

4. Представлены виды диаграмм равновесных состояний совершенной системы и системы с начальными геометрическими несовершенствами.

5. Построены поверхности чувствительности критических нагрузок к различным амплитудам начальных несовершенств для пластин с двукратными критическими нагрузками.

6. Разработан и представлен подход к построению диаграмм равновесных состояний подкрепленных пластин (перенос точек бифуркации по местной форме волнообразования) с целью снижения чувствительности критических нагрузок к различным амплитудам начальных несовершенств.

7. Разработан и реализован алгоритм приближенной оценки устойчивости ребристой плиты проезжей части пролетного строения реального мостового сооружения.

Теоретическая и практическая значимость работы.

1. Разработанная классификация нелинейных решений задачи устойчивости тонких подкрепленных пластин и полученные уравнения для определения вида равновесных траекторий и координат сингулярных точек также могут быть применены в исследованиях связанного выпучивания также некоторых тонкостенных пространственных систем, например, тонкостенных стержней открытого профиля.

2. Разработанные методики, основанные на пространственных расчетных моделях подкрепленной плиты, могут быть использованы при проектировании элементов пролетных строений мостов, элементов конструкций самолетов и других ответственных инженерных сооружений.

3. Показанный подход к построению диаграмм равновесных состояний подкрепленных пластин (перенос точек бифуркации по местной форме волнообразования) позволяет снизить чувствительность критических нагрузок подкрепленных пластин к начальным несовершенствам.

Методология и методы исследования.

Для решения поставленных в диссертационной работе задач применен метод конечных элементов в перемещениях (построение расчетных моделей рассматриваемых систем, их численные линейный и геометрически нелинейный анализы) в сочетании с полуаналитическим методом.

Положения, выносимые на защиту.

1. Методики полуаналитического и численного решений задач устойчивости тонких подкрепленных пластин, расчетные модели для определения критических нагрузок и форм потери устойчивости с учетом их возможного взаимодействия.

2. Оригинальные решения системы нелинейных уравнений равновесия для получения координат сингулярных точек равновесных траекторий сжатых упругих тонких подкрепленных пластин.

3. Качественно новые представления равновесных траекторий в докритическом и послекритическом состояниях равновесия пластины.

4. Представление поверхностей чувствительности критических нагрузок к амплитудам начальных несовершенств при совпадении собственных форм.

5. Представление подхода к построению диаграмм равновесных состояний подкрепленных пластин (перенос точек бифуркации по местной форме волнообразования) с целью снижения чувствительности критических нагрузок к различным амплитудам начальных несовершенств.

6. Алгоритм приближенной оценки устойчивости ребристой плиты проезжей части пролетного строения реального мостового сооружения.

Степень достоверности результатов работы обеспечена корректностью постановок задач, сформулированных и решенных на основе общих теоретических положений строительной механики и механики

деформируемого твердого тела, применением известного численного метода конечных элементов (МКЭ), реализованного в широко используемом во всем мире программном комплексе MSC PATRAN — NASTRAN, согласованностью результатов численного анализа с полученным полуаналитическим решением модельной задачи.

Апробация результатов.

Основные положения диссертации доложены на следующих научно-технических конференциях:

1. VIII и IX Международные научные конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»). Москва, РААСН 2020 и 2021 г.

2. Международная конференция «Modelling and methods of structural analysis». Москва, МГСУ 2019 г.

3. 78, 79 и 80 Международные научно-методические и научно-исследовательские конференции МАДИ. Подсекция «Строительная механика машин и конструкций». Москва, МАДИ 2020, 2021 и 2022 г.

4. Конференции «Неделя науки. Наука МИИТа - транспорту». Москва, Российский университет транспорта (РУТ МИИТ) 2019, 2020, 2021 г.

5. III Международная научно — техническая конференция «Проектирование, строительство и эксплуатация мостов, тоннелей и метрополитенов», чтения, посвященные памяти Лавра Дмитриевича Проскурякова 2022 г.

6. Секция строительной механики и надежности конструкций имени профессора Н.К. Снитко (Дом Ученых им. Горького) 2022 г.

7. 54—й Межвузовский научный семинар РУДН «Геометрия и расчет тонких оболочек неканонической формы» 2022 г.

Автор выражает глубокую благодарность к.т.н., доценту кафедры «Строительная механика» РУТ (МИИТ) Г.А. Мануйлову за оказанную помощь и научные консультации в процессе работы над диссертационным исследованием.

ГЛАВА 1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФОРМ ВЫПУЧИВАНИЯ.

1.1 Основные исследования теории устойчивости упругих консервативных систем

Общая теория устойчивости упругих систем существует более двухсот лет, однако, детальное рассмотрение закритического равновесия, позволяющего прогнозировать чувствительность к начальным геометрическим несовершенствам и определять границы потери несущей способности таких систем, получило свое развитие значительно позднее, только в середине двадцатого века.

Развитием теории устойчивости упругих систем занимались отечественные и зарубежные ученые: А.В. Александров [1,2] , Н.А. Алфутов [3], М.М. Бегичев [8], В.В. Болотин [15,16], В. Будянский [17,133], Е. Бысков [135], Д. Бушнелл [18], В.З. Власов [20,21,22], А.С. Вольмир [27,25], И.И. Ворович [28,29], В.И. Гуляев [44], Э.И. Григолюк [36,37], А. Гримальди [154], Ж. Грондин [155], И.Д. Грудев [39], Г.Ю. Джанелидзе [45], Л. Доннел [46], С. Дим [145], В.Г. Зубчанинов [56] В.Б. Зылев [58,59], Т. Карман [167], В.Т. Койтер [169,173,174,175], В.И. Климанов [63], Т. Кубиак [176], В.В. Лалин [69,70], А.И. Маневич [75], Г.А. Мануйлов [177—180, 76 — 81], А. ван дер Нейт [227], Е.Л. Я.Л. Нидельман [89], Новожилов [90], Д. Олман [126], Я.Г. Пановко [93], П.Ф. Папкович [94], А.В. Перельмутер [96], М. Пиньятаро [191], И.М. Рабинович [102], Ю.Н. Работнов [103], Д. Рурда [195],В. Саусвел [202], В. Саппл [209] А.Ф. Смирнов [106], В.И. Сливкер [96], М. Сьюелл [199], В. Твергард [111], С.П. Тимошенко [112,219,113,114], Дж. Томпсон [212,216,100,115], Дж. Хант [164,212,117,117], Дж. Хатчинсон [166], Д. Хо [157,158], К. Хусейн [165], Г. Циглер [119] В.Ф. Чен [136], А. Чилвер [137],

В.Г. Чудновский [121], В.И. Шалашилин [122], С. Шридхаран [203], Л. Эйлер [146], М.Н. Яценко [29] и другие.

1900 -1940 г.г. ознаменовались выводом нелинейных уравнений и разработкой методов решения задач прочности подкрепленной обшивки летательных аппаратов и кораблей в работах И.Г. Бубнова, С.П. Тимошенко, П.Ф. Папковича, Т. Кармана был введением термина редукционного коэффициента, позволяющего приближенно рассматривать соединение обшивки и подкрепляющих элементов. Классические книги А.С. Вольмира [27] содержали решения задач устойчивости стержневых систем, пластин и оболочек, а также подкрепленных плит.

Среди публикаций по общей теории устойчивости иностранных авторов выделяются докторская диссертация В.Т. Койтера 1945 года [219] и фундаментальные книги М. Т. Томпсона и Дж. Ханта [216]. Все дальнейшие изыскания исследователей были основаны на данных работах. В общей теории упругой устойчивости М. Томпсона и Дж. Ханта показаны равновесные траектории упругих систем, дана классификация сингулярных (критических) точек и рассмотрены случаи кратных критических нагрузок, а также влияние на критические нагрузки начальных геометрических несовершенств. Консервативная система описана функцией полной потенциальной энергии ПЭ(^Д;-,Я) где представляют собой

обобщенные координаты, а Я — параметр нагрузки. Равновесие и устойчивость рассмотрены при различных значениях параметра нагрузки Я, таким образом, в конкретных приложениях данный параметр входит в энергетическую функцию, влияние которой на систему в данный момент исследуется. Статическое равновесие и его устойчивость рассматривается с точки зрения двух основных аксиом. Первая утверждает, что стационарное значение полной потенциальной энергии относительно обобщенных координат необходимо и достаточно для равновесия системы, вторая — что для устойчивости равновесного состояния системы необходим и достаточен

относительный минимум полной потенциальной энергии по обобщенным координатам. Привязывая к базисным переменным ^¿Ду и Я, декартовую систему координат, авторы определяют ряд равновесных траекторий в пространстве, исследуя их форму и направление развития. Для конкретной системы описывается процесс потери устойчивости по мере того, как она «нагружается» увеличением Я из начального устойчивого состояния равновесия, которое принимается за начало координат.

Теория катастроф [32, 6] и бифуркаций в задачах устойчивости [62] представляют собой две независимо разработанные, но связанные между собой теории, развивающие анализ задач об устойчивости упругих систем. В последней трети двадцатого века произошло самое плодотворное взаимодействие между упомянутыми теориями. В своих публикациях отечественные и зарубежные авторы показали, что теория катастроф, применительно к многим прикладным наукам, всегда будет служить прочной математической основой для обсуждения неустойчивости значительного числа систем, управляемых «потенциальной функцией». Основные положения данной теории изложены в работах: В. И. Арнольда [6], Е. Зимана [233], Р. Тома [210], Постона и Я. Стюарта [98], Р. Гилмора [32].

С развитием темы классификации кратных собственных форм и соответствующих критических сил опубликованы работы, в которых нелинейные решения геометрически представлялись в виде поверхностей сингулярных точек [62]. Основой исследований М.Т. Томпсона, Дж. Ханта и других авторов было создание более тонкой классификации катастроф [164,211,217], сделанной топологами (в частности Г. Вассерманном [229]), а также в работах М. Голубицкого и Д. Шэффера [151,152,153]. Типы особенностей, представленные в данных исследованиях, основывались на решениях задачи устойчивости подкрепленных пластин и их чувствительности к начальным геометрическим несовершенствам. В частности, авторы [211] обнаружили, что полученная катастрофа

гиперболической омбилики реализуется в одном из трех вариантов: моноклинная — одна ветвь новых равновесий, гомеоклинная - три новых ветви, и так называемое «ветвление в вершине холма», когда двукратная критическая точка есть точка пересечения в предельной точке кривой исходных равновесий и кривой «новых» равновесий (симметричной и неустойчивой). Впервые исследовал катастрофу гиперболической омбилики в варианте гомеоклинной точки применительно к задачам устойчивости подкрепленной пластины В. Твергард. Он подробно рассмотрел ситуацию, когда критическая нагрузка «общего прогиба» (по типу выпучивания эйлерова стержня) совпадала с критической нагрузкой волнообразования в сжатой пластине.

Дж. Хант использовал результаты В. Твергарда [161] для построения поверхностей чувствительности к начальным несовершенствам (нижний лист на рис.) Д. Хо [157,158] указала, что в случае двукратных критических нагрузок наихудшее начальное несовершенство определяется формой кривой неустойчивого равновесия, наиболее круто падающей из точки бифуркации. Применительно к поверхности, построенной Дж. Хантом, эта кривая есть линия наибольшего ската. Ее проекция дает соотношение между амплитудами начальных несовершенств общего прогиба и местного волнообразования в пластине. Дж. Хант [162] высказал предположение о том, что в случае совпадения критических нагрузок общего прогиба и волнообразования в ребрах двукратная точка бифуркации есть антиклинная, соответствующая катастрофе эллиптической омбилики. Проверка данного высказывания проведена автором данной работы. Она подтвердила предположение Дж. Ханта, и, действительно, в случае упомянутого совпадения критических нагрузок развивается антиклинная точка бифуркации. Это подтверждено вычислениями в данной диссертации.

Взаимодействие общей и местной форм потери устойчивости в случае кратных нагрузок описывалось парой катастроф — гиперболической и эллиптической омбилики. Пространственные поверхности

чувствительности, показанные в виде «лепестков» сингулярного множества, построенные Дж. Хантом [162], расширяют диапазон применения асимптотического анализа и дают возможность понимания наихудшего сценария развития потери устойчивости при влиянии начальных геометрических несовершенств.

Исследование двойных полусимметричных точек бифуркации представлено в работах: З. Гаспара [150], Г. А. Мануйлова, С.Б. Косицына [76,85], П. Самуэльса [196], Дж. Томпсона [211,214,215,217,218] и Дж. Ханта [160,161,162,164,211], Дж. Томпсона, Дж. Тана и К. Лима [217], , А. Чилвера [137] и других.

1.2 О равновесиях механических систем

Согласно известным теоретическим представлениям [62], невырожденные критические точки гладких многообразий - это такие точки, в которых первый дифференциал равен нулю, а второй (квадратичная форма) не вырождена.

Если ПЭ(^Ду,А) - потенциальная энергия консервативных систем, как функция обобщенных координат представляет собой гладкое многообразие, то невырожденные «критические точки» (соответствует состояниям

невырожденного равновесия (первые производные ^Пр = 0,1 = 1,2,...п, а

вторые (частные и смешанные) образуют невырожденную квадратичную форму с матрицей Гессе (Н q, д), йе1(Н) ^ 0. Проекции критических точек потенциальной энергии - есть точки равновесия системы в конфигурационном пространстве обобщенных координат. Для этих точек равновесия гессиан потенциальной энергии многообразия больше нуля, или меньше нуля, но он не может быть равным нулю.

Невырожденные критические точки гладких функций, согласно лемме Сарда [62], образуют множество меры нуль (то есть это множество состоит

из изолированных друг от друга точек). Следовательно, и невырожденные равновесия образуют точечное множество меры нуль. Каждое такое равновесие можно окружить окрестностью, в которой других равновесий нет. Невырожденное изолированное равновесие устойчиво, если полная потенциальная энергия достигает локального минимума при этом равновесии. Другими словами, устойчивая механическая система находится на дне потенциальной ямы. Признак этого - положительная определенность квадратичной формы с матрицей Гессе (Я д, д) > 0 при всех ц, следовательно при любом отклонении системы от положения равновесия ее полная потенциальная энергия должна увеличиваться.

Невырожденные изолированные равновесия — неустойчивые, если полная потенциальная энергия для этого равновесия не есть минимум (А. Пуанкаре [193], А.М. Ляпунов [72], Н.Г. Четаев [120]). В этом случае квадратичная форма (Я д, д) не является положительно определенной. Это значит, что найдется хотя бы одна комбинация обобщенных координат (^1, ^2... 9п), для которой квадратичная форма отрицательна (Я д*, д*) < 0.

Вырожденные критические точки (то есть вырожденные равновесия механической системы (й^(Я) = 0), как правило, неизолированные. Устойчивость или неустойчивость вырожденного равновесия механической системы определяется первыми ненулевыми членами разложения полной потенциальной энергии. Если в разложении потенциальной энергии наинизшие, не равные нулю члены — кубические, то вырожденное равновесие неустойчивое. Если же кубические члены разложения равны нулю, а первыми ненулевыми членами являются члены четвертой степени, то устойчивость или неустойчивость вырожденного равновесия зависит от того, будет ли положительно определенной для этого равновесия квартичная

форма ((Щ^ЛуЛ^Лг,) > 0 при всех д или нет).

Если квартика положительно определенная, то при упомянутых выше условиях вырожденное равновесие устойчивое; если же форма

не положительно определенная, то вырожденное равновесие

неустойчивое.

Если состояния равновесия зависят от одного параметра, то они образуют некоторую кривую. Зависимость от двух параметров порождает двумерную поверхность и так далее.

Монотонно растущая по параметру кривая соответствует устойчивым равновесиям. Когда на этой кривой появляется точка перегиба с горизонтальной касательной, то такая точка соответствует моменту рождения неустойчивых равновесий. Иногда эту точку называют двойной предельной точкой, поскольку при изменении других геометрических параметров она расщепляется на две «простые» предельные точки А и В (рисунок 1.1)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Грудцына Ирина Евгеньевна, 2023 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров, А.В. Методы расчета стержневых систем, пластинок и оболочек с использованием ЭВМ / А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников, В. А. Смирнов; под. общ. ред. А. Ф. Смирнова. -М.: Стройиздат, 1976. - 248 с.

2. Александров, А.В. Основы теории упругости и пластичности: учеб. для строит. спец. вузов / А. В. Александров, В. Д. Потапов. - М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

3. Алфутов, Н.А. Устойчивость движения и равновесия: Учеб. для вузов / Н.А. Алфутов, К.С. Колесников. - М.: Изд-во МГТУ. - 2003 - 253 с.

4. Аргирис, Дж. Вычислительные машины и механика / Дж. Аргирис // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - М.: Мир, 1979. - С. 15 - 99.

5. Арнольд, В.И. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. - М.: Наука - 1986. - 216 с.

6. Арнольд, В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. - М.: Наука. Глав. ред. физ. - мат. лит. - 1990. - 128 с.

7. Бате, К. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон. - М.: Стройиздат, 1982. - 512 с.

8. Бегичев, М. М. Численный анализ устойчивости стержневых систем и оболочек при упругих и пластических деформациях с учетом начальных несовершенств: дис. ... канд. тех. наук: 05.23.17 / Бегичев Максим Михайлович. - Москва, 2013. - 229 с.

9. Белостоцкий, А. М. Верификационный отчет по программному комплексу ANSYS Mechanical. Т. 1 / А. М. Белостоцкий, С. И. Дубинский, А. А. Аул, А. И. Нагибович, И. Н. Афанасьева, О. А. Козырев, А. С. Павлов. -Москва, 2009. - 638 с.

10. Белостоцкий, А. М. Научно-исследовательский центр СтаДиО. 25 лет на фронте численного моделирования / A. М. Белостоцкий, П. А. Акимов //

International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - 2016. - Vol. 12. - Issue 1. - Pp. 8 - 45.

11. Белостоцкий, А. М. Построение эффективных пространственных моделей для статического и динамического расчета систем «сооружение -основание» / А. М. Белостоцкий // Труды ЦНИИСК им. Кучеренко. - М., 1990. - С. 175 - 180.

12. Белостоцкий, А. М. Расчетное обоснование механической безопасности стадионов к чемпионату мира по футболу 2018 года /

A. М. Белостоцкий, П. А. Акимов, А. А. Аул, Д. С. Дмитриев, Ю. Н. Дядченко, А. И. Нагибович, К. И. Островский, А. С. Павлов // Academia. Архитектура и строительство. - 2018. - № 3. - С. 118 - 129.

13. Белостоцкий, А. М. Суперэлементные алгоритмы решения пространственных нелинейных статических и динамических задач большой размерности. Реализация в программном комплексе СТАДИО и опыт расчетных исследований / А. М. Белостоцкий, М. В. Белый // Труды XVIII Международной конференции BEM&FEM-2000. - СПб., 2000. - С. 65 - 69.

14. Белостоцкий, А.М. Научно-исследовательский центр СтаДиО. 25 лет на фронте численного моделирования / A. М. Белостоцкий, П. А. Акимов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering / Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - 2016. - Vol. 12. - Issue 1. - p. 8 - 45.

15. Болотин, В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости / В.В. Болотин // Проблемы механики твердого деформируемого тела. - Л.: Судостроение. - 1973. - С.83 - 88.

16. Болотин, В.В. О понятии устойчивости в строительной механике/

B.В. Болотин // Проблемы устойчивости в строительной механике. -М.: Стройиздат. - 1965. - С.6 - 27.

17. Будянский, Б. Замечания по нелинейной теории оболочек / Б. Будянски // Прикладная механика. Труды ASME. Серия Е. - 1968. - Том 35, №4. - С.357-367.

18. Бушнелл, Д. Потеря устойчивости и выпучивание оболочек -ловушка для проектировщика / Д. Бушнелл // AIAA Journal. - 1981. - Vol. 19, №9. - С.1183-1226.

19. Виленкин, В.Я. Функциональный анализ / Е.А. Горин, А.Г. Костюченко, М.А. Красносельский, С.Г. Крейн, В.П. Маслов, Б.С. Митягин, Ю.И. Петюнин, Я.Б. Рутицкий, В.И. Соболев, В.Я. Стеценко, Л.Д. Фаддеев, Э.С. Цитланадзе - М.: Наука. - 1964. - 424 с.

20. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. - М.: Физматгиз, 1960. - 491 с.

21. Власов, В. З. Избранные труды в 3-х томах / В. З. Власов. - М.: Изд-во академии наук СССР, 1962 - 1964.

22. Власов, В. З. Общая теория оболочек и ее применение в технике / В. З. Власов. - М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

23. Возлинский, В.И. О численной оценке области асимптотической устойчивости. Вопросы устойчивости точек ветвления равновесия / В.И. Возлинский // Сборник: теория устойчивости и ее применение. -Новосибирск: Наука. СО АН СССР. - 1977. - С.94-100.

24. Возлинский, В.И. Об устойчивости точек ветвления равновесий / В.И. Возлинский // ПММ. - Том 42. - 1978. - С.259-267.

25. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. -М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

26. Вольмир, А.С. Сборник задач по сопротивлению материалов: учебное пособие для втузов / А. С. Вольмир, Ю. П. Григорьев, А. И. Коданев, В. А. Марьин, В. В. Новицкий. - М.: Наука, 1984. - 407 с.

27. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / A.C. Вольмир. - М.: Наука, 1967. - 984 с.

28. Ворович, И.И. Математические проблемы нелинейной теории оболочек / И.И. Ворович. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1989. - 376 с.

29. Ворович, И.И., Яценко, М.Н. Об одной форме потери устойчивости цилиндрической панели // В сб. «Теория оболочек и пластин». Труды VIII Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Ростов-Дон 1971. -М.: Наука, 1973. - 259-262 с.

30. Галеркин, Б.Г. Стержни и пластинки / Б.Г. Галеркин // Собрание Сочинений. Т.1. - М.: изд-во АН СССР. - 1952. - 391с.

31. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. -М.: Мир. - 1984. - 428 с.

32. Гилмор, Р. Прикладная теория катастроф / Р. Гилмор // Пер. с англ. — М.: Мир. - 1984. — 285с.

33. Городецкий, А. С. Метод конечных элементов в проектировании транспортных сооружений / А. С. Городецкий, В. И. Зоворицкий, А. И. Лантух-Лященко, А. О. Рассказов. - М.: Транспорт, 1981. - 143 с.

34. Городецкий, А. С. Расчет пространственных тонкостенных конструкций методом конечного элемента / А. С. Городецкий // ЭВМ в исследованиях и проектировании объектов строительства. - Киев: Будивельник, 1972. - С. 75 - 86.

35. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М. Таблицы Интегралов, Сумм, Рядов И Произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик.

36. Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. - М.: Наука. Физматлит. - 1997. -272 с.

37. Григолюк, Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука. - 1988. -250 с.

38. Гришин В. И., Дзюба А. С., Дударьков Ю. И. Прочность и устойчивость элементов и соединений авиационных конструкций из композитов. М.: Физматлит. - 2013.

39. Грудев, И. Д. Устойчивость стержневых элементов в составе стальных конструкций / И. Д. Грудев. - М.: МИК, 2005. - 320 с.

40. Грудцына, И.Е Взаимодействие форм местного выпучивания ребер и общего выпучивания в задаче устойчивости подкрепленной пластины // Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции «Неделя науки - 2020» М. РУТ МИИТ, 2020. - С.2 - 52.

41. Грудцына, И.Е Исследование устойчивости сжатой подкрепленной пластины с учетом взаимодействия форм выпучивания // Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции «Неделя науки - 2019» М. РУТ МИИТ, 2019. - С.2 - 20.

42. Грудцына, И.Е Катастрофа эллиптической омбилики в задаче устойчивости подкрепленной пластины // Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции «Неделя науки - 2020» М. РУТ МИИТ, 2020. - С.2 - 54.

43. Грудцына, И.Е О влиянии взаимодействия форм на потерю устойчивости подкрепленной пластины // Сборник трудов всероссийской научно-практической конференции «Неделя науки - 2019» М. РУТ МИИТ, 2019. - С.2 - 21.

44. Гуляев, В. И. Устойчивость нелинейных механических систем / В. И. Гуляев, В. А. Баженов, Е. А. Гоцуляк. - Львов: Вища школа, 1982. -254 с.

45. Джанелидзе, Г.И. Устойчивость равновесия нелинейно-деформируемых систем / Г.И. Джанелидзе // Труды Ленингр. Политехн. Института. - 1955. - №178. - С.45-57.

46. Доннел, Л.Г. Балки, пластины и оболочки: / Л.Г. Доннел. Пер. с англ./Под. Ред. Э.И. Григолюка. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - 1982. - 568 с.

47. Дударьков, Ю. И. Применение метода конечных элементов к расчету несущей способности стрингерных панелей / Лимонин М. В. // Полет. - № 9. - 2012.

48. Дударьков, Ю. И. Расчетно-экспериментальные исследования закритического деформирования пластин с использованием нелинейного МКЭ / М. В. Лимонин, С. М. Наумов // Труды ЦАГИ. - Вып. 2698. - 2011.

49. Дударьков, Ю.И. Виртуальное моделирование эксперимента при статических испытаниях силовых панелей конструкции планера летательного аппарата / Лимонин М.В., Наумов С.М., Осипян Е.Э. // Исследования Наукограда. № 1 (11). - 2015. - С. 32 - 39.

50. Дударьков, Ю.И. Некоторые особенности оценки несущей способности стрингерных панелей из ПКМ / Е.А. Левченко, М.В. Лимонин // Механика композиционных материалов и конструкций. - Т. 25. - № 2. -2019. - С. 192 - 206.

51. Дударьков, Ю.И. Расчетные исследования влияния некоторых видов эксплуатационно-технологических повреждений на несущую способность стрингерных панелей из ПКМ / Левченко Е.А., Лимонин М.В., Шевченко

A.В. // Труды МАИ. - № 106. - 2019.

52. Жуков, К.А. Двусторонние оценки и приближения к наименьшему собственному значению рамной системы методом неособенных продолжений / К.А. Жуков, Г.А. Мануйлов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. - М.: МИИТ. - 1990. - С.88-99.

53. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. - 542 с.

54. Золотов, А.Б. Математические методы в строительной механике (с основами теории обобщенных функций) / А. Б. Золотов, П. А. Акимов,

B. Н. Сидоров, М. Л. Мозгалева. - М.: Издательство ACB, 2008. - 336 с.

55. Золотов, А.Б. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций / А. Б. Золотов, П. А. Акимов, В. Н. Сидоров, М. Л. Мозгалева. - М.: Издательство ACB, 2009. - 336 с.

56. Зубчанинов, В.Г. Устойчивость и пластичность. Т. 1. Устойчивость / В.Г. Зубчанинов. - М.: Физматлит. - 2007. - 448 с.

57. Зылев, В. Б. Расчет плоской стержневой системы на большие прогибы методом конечных элементов / В. Б. Зылев, Г. П. Соловьев // Расчет транспортных и строительных конструкций с применением ЭВМ. Межвузовский сборник. - М.: МИИТ, 1981. - С. 95 - 101.

58. Зылев, В. Б. Результаты исследования устойчивости арок при учете конечных перемещений / В. Б. Зылев, А. В. Штейн // Вычислительные методы в исследовании строительных конструкций. - М.: ЦНИИСК им. Кучеренко, 1987. - С. 101 - 106.

59. Зылев, В. Б. Устойчивость прямоугольного тонкостенного профиля при нагружении по схеме чистого изгиба / В. Б. Зылев, П. О. Платнов, И. В. Алферов // Качество. Инновации. Образование. - 2020. - № 2(166). -С. 41 - 45.

60. Ильюшин, А. А. Механика сплошной среды / А. А. Ильюшин. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

61. Ильюшин, А. А. Пластичность / А. А. Ильюшин. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

62. Йосс, Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. - Москва: Мир, 1983. - 300 с.

63. Климанов, В. И. Устойчивость стержневых и тонкостенных систем / В. И. Климанов // Урал. политехн. ин-т им. С. М. Кирова. - Свердловск: УПИ. -1988. - 78 с.

64. Корнишин, М.С. Гибкие пластины и панели / М. С. Корнишин, Ф. С. Исанбаева. - 1968. - 257 с.

65. Коробейников, С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел/ С.Н. Коробейников. Новосибирск: Издательство СОР АН. - 2000. - 262 с.

66. Косицын, С. Б. Неклассические криволинейные конечноэлементные модели в линейных и нелинейных задачах строительной механики: дис. ... д-ра техн. наук: 05.23.17 / Косицын Сергей Борисович - М., 1993. - 424 с.

67. Косицын, С. Б. Об одном численном методе решения геометрически нелинейных осесимметричных задач изгиба пологих оболочек /

С. Б. Косицын, Г. А. Мануйлов // Материалы по металлическим конструкциям. Выпуск 19. - М.: Стройиздат, 1977. - С. 192 - 204.

68. Красовский, В.Л. Экспериментальное изучение связанной неустойчивости панелей, подкрепленных тонкими ребрами / А.И. Маневич // Труды X Всес. конфер. по теории оболочек и пластин. - Кутаиси. - 1975. -Тбилиси: Мецниереба. - Т. I. - С 655 - 663.

69. Лалин, В.В. Геометрически нелинейное деформирование и устойчивость плоских упругих стержней с учетом жесткостей на растяжение

- сжатие, сдвиг и изгиб / Д.А. Кушова // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - Т. 9. - № 4. - 2013. -С.178-185.

70. Лалин, В.В. Пространственная задача устойчивости плоской формы равновесия упругого стержня. Аналитическое и численное решения / В.С. Ненашев, Я.Г. Утимишева // В сборнике: Материалы XXII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС «2021»). - Москва. - 2021 С. 242 - 243.

71. Лащенников, Б.Я. Применение матричных алгоритмов при решении некоторых задач с помощью интеграла Мора / Б.Я. Лащенников // Труды МИИТ «Строительная механика». - М.: МИИТ. - 1962. - С.143-159.

72. Ляпунов, А.А. Общая задача об устойчивости движения. - Харьков. Харьк. мат. о-во. - XII. - 251. - 1892. - 30с.

73. Маневич, А.И. Взаимодействие форм потери устойчивости, сжатой подкрепленной панели // Строит. механика и расчет сооружений - №5. -1981. - С.24 - 29.

74. Маневич, А.И. К теории связанной потери устойчивости подкрепленных тонкостенных конструкций // Прикл. Математика и механика

- №2. - 1982. - С.337 - 345.

75. Маневич, А.И. Нелинейная теория устойчивости подкрепленных пластин и оболочек с учетом взаимодействия форм выпучивания: дис. докт.

тех. наук: 01.02.04. / Маневич Аркадий Исаакович. - Днепропетровск. - 1986.

- С.423.

76. Мануйлов, Г.А. Влияние взаимодействия форм выпучивания на несущую способность подкрепленной пластины Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, И.Е Грудцына // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering (Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций) - 2020. - №16(2). - с.83 - 93.

77. Мануйлов, Г.А. Геометрически — нелинейный расчет на устойчивость подкрепленной пластины с учетом взаимодействия собственных форм выпучивания / / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, И.Е. Грудцына // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений

- 2021. - №17. - с.3 - 19.

78. Мануйлов, Г.А. Исследование устойчивости круговых двухшарнирных арок с учетом влияния начальных несовершенств / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Строительная механика и расчет сооружений. Научно-технический журнал. - 2009. - № 1. - С.17 - 23.

79. Мануйлов, Г.А. Метод неособенных продолжений в задачах устойчивости нелинейно деформируемых систем / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, К.А. Жуков // Строительная механика и расчет сооружений. - 1989.

- №5. - С.68 - 72.

80. Мануйлов, Г.А. О вычислении корней полиномов методом продолжений / Г.А. Мануйлов // Сборник Трудов МИИТа - 1971. - № 371. -с.133 - 147.

81. Мануйлов, Г.А. О критических и послекритических равновесиях в задачах устойчивости упругих систем / Косицын, С.Б., Бегичев, М.М. // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2015. -№5. - С.47-54.

82. Мануйлов, Г.А. О равновесии и устойчивости равновесия упругих стержневых систем с учетом влияния начальных несовершенств / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын // Труды Всероссийской научно-практической

конференции "Инженерные системы - 2008". Москва, 7 - 11 апреля 2008 г. -М.: РУДН. - 2008. - 380 с.

83. Мануйлов, Г.А. Особенности численного моделирования и решения задач устойчивости упругих пластин и оболочек / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010». - М.: РУДН. -2010. - С.227 -236.

84. Мануйлов, Г.А. Оценки собственных значений упругих систем на основе обобщенной теоремы Смирнова / Г.А. Мануйлов // Численные методы решения задач строительной механики транспортных сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. - М.: МИИТ. - 1991. - С.33-42.

85. Мануйлов, Г.А. Численный анализ критического равновесия гибкой подкрепленной пластины с учетом влияния начальных геометрических несовершенств / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, И.Е Грудцына // Строительная механика и расчет сооружений - 2020. -№1. - с.30 - 36.

86. Мануйлов, Г.А. Численный анализ устойчивости подкрепленных пластин с некратными критическими нагрузками / Г. А. Мануйлов, С. Б. Косицын, И. Е. Грудцына // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2020. - Т. 16. - № 1. - С.54 - 61.

87. Милейковский, И.Е. Расчет тонкостенных конструкций / И.Е. Милейковский, С.И. Трушин. - М.: Стройиздат. - 1989. - 200 с.

88. Морозов, Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости / Н.Ф. Морозов. - Л.: Изд-во Лен. Университета. - 1978. - 182 с.

89. Нидельман, Я.Л. Уточнение критерия, определяющего место заданного числа в спектре собственных частот и критических сил упругих систем / Я.Л. Нидельман, Л.С. Ляхович. // В сб. Исследования по строительным конструкциям. Тр. Томского инж-стр. института. Вып XIV. -Томск. - 1968. - С.8-98.

90. Новожилов, В.В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. - М.: ОГИЗ, 1948. - 211 с.

91. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М.: Мир, 1981. - 304 с.

92. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред / Дж. Оден. - М.: Мир, 1976. - 464 с.

93. Пановко, Я.Г. О типах потери устойчивости при статическом нагружении / Я.Г. Пановко // В сб. Строительная механика, посвящ. 80 лет член-корр. АН СССР И.М. Рабиновича. - М.: Стройиздат. - 1966. - С.118-125.

94. Папкович, П.Ф. Строительная механика корабля / П. Ф. Папкович. -М.: Судпромиздат, 1941. - 459 с.

95. Перельмутер, А.В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. - Киев: Сталь. - 2002. - 597 с.

96. Перельмутер, А.В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Том 1 / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. - М.: Издательство СКАД СОФТ - 2007. - 670 с.

97. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчете судовых конструкций / В. А. Постнов, И. Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974. -344 с.

98. Постон, Т. Теория катастроф и ее приложения / Т. Постон, И. Стюарт. - М.: Мир. - 1980. - 608 с.

99. Потапов, В.Д. Строительная механика. Статика упругих систем / В. Д. Потапов, А. В. Александров, С. Б. Косицын, Д. Б. Долотказин. - М.: Высшая школа, 2007. - Книга 1. - 512 с.

100. Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика / Под ред. Дж. Томпсона и Дж. Ханта. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 424 с.

101. Пратусевич, Я.А. Основы теории упругости. - Изд. МИИТ: Москва. - 1943. - 115 с.

102. Рабинович, И.М. Курс строительной механики Том II / И.М. Рабинович. - М.: Госстройиздат. - 1954. - 544 с.

103. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука - 1988. -712 с.

104. Решение задач нелинейной статики в MSC.NASTRAN: Руководство пользователя / MSC.Software Corporation. - 1999. - 86 с.

105. Секулович, М. Метод конечных элементов / М. Секулович. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

106. Смирнов, А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений / А.Ф. Смирнов. - М.: Государственное транспортное железнодорожное издательство. - 1947. - 308 с.

107. Смирнов, А.Ф. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений / А. Ф. Смирнов, А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

108. СП 35.13330.2011 Мосты и трубы. - М.: Стандартинформ, 2011. -446 с.

109. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. - И.: Мир. -1977. - 350 с.

110. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. - М.: Мир, 1980. - 512 с.

111. Твергард, В. Поведение пластинок и оболочек при выпучивании / В. Твергард // Теоретическая и прикладная механика. Труды международного конгресса IUTAM. - М.: Мир. - 1979. - С.495 - 527.

112. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - M.: Наука, 1966. - 635 с.

113. Тимошенко, С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С. П. Тимошенко. - М.: Наука, 1971. - 808 с.

114. Тимошенко, С.П. Устойчивость упругих систем / С. П. Тимошенко. - M.: Гостехтеориздат, 1955. - 568 с.

115. Томпсон, Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / Дж.М.Т. Томпсон. - М.: Мир. - 1985. - 254 с.

116. Трушин, С.И. Метод конечных элементов. Теория и задачи / С. И. Трушин. - М.: Издательство АСВ, 2008. - 256 с.

117. Хант Дж. Упругая устойчивость: исследования в области механики конструкций и прикладной математики // Потеря устойчивости и выпучивание конструкций: теория и практика. М.: Наука, 1991. - С. 105-123.

118. Хофф, Н. Дж. Прощелкивание несовершенных тонкостенных круговых цилиндрических оболочек конечной длины / Н. Дж. Хофф, К. У. Нарисимхан // Труды ASME, Серия E, Прикладная механика. - 1971. -№ 1. - С. 154 - 163.

119. Циглер, Г. Основы теории устойчивости конструкций / Г. Циглер. -М.: Мир. - 1971. - 192 с.

120. Четаев, Н. Г. Устойчивость движения. - 2- е изд., испр. - Москва: Гостехиздат. - 1955. - 207 с.

121. Чудновский, В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости упругих систем / В.Г. Чудновский. - Киев: изд-во АН УССР. - 1952. - 419 с.

122. Шалашилин, В.И. Проблемы нелинейного деформирования / Э.И. Григолюк. - М.:Наука. - 1988. - 233 с.

123. Шенли, Ф. Анализ веса и прочности самолетных конструкций / Ф. Шенли. - М.: Оборонгиз. - 1957. - 406 с.

124. Якупов, Н.М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н. М. Якупов, М. Н. Серазутдинов. - Казань: ИМН РАН. - 1993. - 206 с.

125. Aalberg, A. Stiffened Aluminium Panels Subjected to Axial Compression / M. Langseth, P.K. Larsen // Thin — Walled Structures. - Vol. 39. -2001. - Pp. 861 - 885.

126. Allman, D.J. On the general theory of the stability of equilibrium of discrete conservative systems / D.J. Allman // RAE Technical Report. - 86053. -1986. - Pp. 29 - 35.

127. Bauer, L. Multiple eigenvalues lead to secondary bifurcations / H.B. Keller, E.J. Reiss // SIAM Rev. - Vol. 17. - №1. - 1975. - Pp. 101 — 122.

128. Beg, D. Design of Plated Structures / D. Beg, U. Kuhlmann, L. Davaine, B. Braun // Eurocode 3: Design of Steel Structures. - Part 1-5 Design of Plated Structures. (ECCS Eurocode Design Manuals). - Ernst & Sohn. - 1 edition. -2010.

129. Bleich, F. Buckling strength of metal structures / F. Bleich // McGraw - Hill. - New York. - 1952.

130. Bloom, F. Handbook of thin plate buckling and postbuckling / F. Bloom,

D. Coffin // Chapman & Hall, Boca Raton, - 2001. - Pp. 786.

131. Bolotin, V.V. Non — Conservative Problems of the Theory of Elastic Stability / V.V. Bolotin // Pergamon Press. - Oxford. - 1963. - Pp. 324.

132. Braun, B. Stability of steel plates under combined loading / B. Braun // Dissertation. - Institute of Structural Design, University of Stuttgart. - 2010.

133. Budiansky, B. Buckling: progress and challenge / B. Budiansky, J.W. Hutchinson // Division of Applied Sciences, Harvard University // Cambridge, Massachusetts, USA. - Delft University Press, The Netherlands. - 1979. - Pp. 93 — 116.

134. Byklum, E. A. Semi-analytical model for global buckling and post buckling analysis of stiffened panels / E. Steen, J. Amdahl // Thin—Walled Struct. - 2004. - Pp. 701-17.

135. Byskov, E. Mode Interaction in axially stiffened cylindrical shells / E. Byskov, J.W. Hutchimon // AIAA Journal. - Vol. IS. - No.7. - 1977. - Pp. 941—948.

136. Chen, W.F. Structural stability, theory and implementation / W.F. Chen,

E.M. Lui // Elsevier, New York. - 1987. - Pp. 490.

137. Chilver, A. Coupled modes of elastic buckling / A. Chilver // J. Mech. Solids. - Vol. 15. -1967. - Pp. 15 - 28.

138. Clough, G. W. Finite element analysis of advanced shield tunnelling in soils / G. W. Clough, T. Shirasuna, R. J. Finno // 5th Int. Conf. Num. Meth. Geomech. - 1985. - Vol. 2. - Pp. 1167 - 1174.

139. Clough, R. W. The finite element method in plane stress analysis / R. W. Clough // Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg. -1960. - Pp. 345 - 378.

140. Cox, H.L. Buckling of a longitudinally stiffened flat panel / H.L. Cox, J.R. Riddell // Aeronaut. -Vol.1. -1949. - Pp. 225 - 244.

141. Crisfield, M.A. An arc-length method including line searches and accelerations / M.A. Crisfield // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1983 - Pp. 1269-1289.

142. Croll, J. G. A. Elements of Structural Stability / A. C. Walker // London: Macmillan. - 1972.

143. De Saint — Venant, B. Of his discussion of Clebsch's Theory of Elasticity of Solid Bodies / B. de Saint - Venant. - 1883. - Pp. 704.

144. Dudarkov, Y.I. Some laminate deformation features / E.A. Levchenko, M.V. Limonin // 29th Congress of the International Council of the Aeronautical Sciences. - ICAS. - 2014.

145. Dym, C.L. Stability theory and its applications to structural mechanics / C.L. Dym // Noordhoff, Leyden. - 1974. - Pp. 208.

146. Euler, L. Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes (Appendix, De curvis elasticis). - Lausanne and Geneva: Marcum Michaelem Bousquet. - 1744.

147. European standard EN 1993 - 1 - 6. Eurocode 3 - Design of steel structures - Part 1-6: Strength and Stability of Shell Structures. - 2007.

148. Fok, W.C. Local buckling of outstands in stiffened plates / Rhodes J., WalKer A. C. // Aeronaut Q 27. - 1976. - Pp. 277 - 291.

149. Gallagher, R. H. The development and evaluation of matrix methods for thin shell structural analysis / R. H. Gallagher. - Bell Aerosystems, Buffalo, New York, Report No. 8500-902011, June, 1966.

150. Gaspar, Z. Buckling models for higher catastrophes / Gaspar, Z. // J. Sfruct. Mech. - 5(4). - 1977 - Pp. 357— 368.

151. Golubitsky, M. A Theory for Imperfect Bifurcation via Singularity Theory / D. Schaeffer // Communications on Pure and Applied Mathematics. -Vol. 32. - Pp. 21- 97.

152. Golubitsky, M. An analysis of imperfect bifurcation / D. Schaeffer // Annals. - New York Academy of Sciences Vol.316. - 1979. - p.127.

153. Golubitsky, M. Imperfect bifurcation in the presence of symmetry / D. Schaeffer // Comm. Pure Appl. Math. - Vol.67. - 1979. - p.205.

154. Grimaldi, A. Postbuckling behavior of thin-walled open cross-section compression members / M. Pignatoro // J. Struct. Mech. - Volume 7 (2). - 1979. -Pp. 143 - 159.

155. Grondin, G Y. Stiffened Steel Plates under Compression and Bending / Q. Chen, A. E. Elwi, J.J.R. Cheng // Journal of Constructional Steel Research. -Vol. 45. - No. 2. - 1998. - Pp. 125 - 148.

156. Hansen, I.S. Some two-mode buckling problems and their relation to catastrophe theory / I. S. Hansen/ / AIAA J. - 15(11). - 1977. - Pp. 1638 -1644.

157. Ho, D. Buckling load of nonlinear systems with multiple eigenvalues / D. Ho // Int. J. Solids Struct. - 1974. - Vol. 10. - Pp. 1315.

158. Ho, D. The influence of imperfections on systems with coincident buckling loads / D. Ho // Int. J. Non-linear Mech. - 1972. - Vol. 7. - Pp. 311.

159. Hughes, O.F. Improved Prediction of Simultaneous Local and Overall Buckling of Stiffened Panels / B. Ghosh // Communicated for publication in Thin -Walled Structures. - Pp. 827-856.

160. Hunt, G.W. An algorithm for the nonlinear analisys of compound bifurcation // Proc.R.Soc.Lond. - A. -300. - 1981. - Pp. 442 - 471.

161. Hunt, G.W. Imperfection - sensitivity of semi-symmetric branching / G. W. Hunt // Proc. R. Soc. London. - Ser. A 357. - 1977. - Pp. 193-211.

162. Hunt, G.W. Imperfections and near - coincidence for semi - symmetric bifurcations / G. W. Hunt / In Conference on Bifurcation Theory and Applications in Scientific Disciplines. - New York. - 1977. - Pp. 572 - 589.

163. Hunt, G.W. Local diffeomorphisms in the bifurcational manifestations of the umbilic catastrophes / N.A. Reya, T. Yoshimura // Proc.R.Soc.Lond. - A. -369. - 1979. - Pp. 47 - 65.

164. Hunt, G.W. Symmetries of elastic buckling / G.W. Hunt // Engeneering Structures. - 1982. - Vol. 4. - Pp. 21 - 28.

165. Huseyin, K. Nonlinear Theory of Elastic Stability / K. Huseyin // Noordhof. - Leyden. - 1974. - Pp. 220.

166. Hutchinson, J.W. Post - buckling theory / W.T. Koiter // Appl. Mech. Rev. - №23. - 1970. - 1353p.

167. Karman, Th. The buckling of this cylindrical shells under axial compression / Th. Karman, H.S. Tsien // J. Aeron. Sci. - 1941. - Vol. 8. - Pp. 303—312.

168. Kerr, A.D. The linearization of the pre-buckling state and its effect on the determined instability loads / A.D. Kerr, M.T. Soifer // Journal of applied mechanics. - 1969. - Vol. 36. - p. 775.

169. Koiter, W.T. Elastic stability and post-buckling behavior / W.T. Koiter // Univ. of Wisc. Press. Proc. Symp. Nonlinear Problems, edited by Langer R.E. -1963. - p. 257.

170. Koiter, W.T. General Theory for the interaction between Local and Overall Buckling of Stiffened Panels / M. A. Pignataro // WTHD Report - 83. Delft. - 1976. - Pp. 179 - 222.

171. Koiter, W.T. General Theory of Mode Interaction in Stiffened PIate and Shell Structures, Laboratory of Engineering Mechanics. - Rept. 590. - Delft, Holland. -1976.

172. Koiter, W.T. Interaction between local buckling and overall buckling in stiffened compression panels / A. Van der Neut // Thin-Walled Structures. - 1971. - part 1. Pp. - 51— 66. - part 2. — Pp. - 66— 86.

173. Koiter, W.T. Interventions. In: Comportement Post critique des plaques utilisees en construction metallique / M. Skaloud // Memoires de la Societe Royale

des Sciences de Liege. - 5me serie, tome VIII, fasc. 5. - 1962. - Pp. 64 - 68, 103, 104.

174. Koiter, W.T. On the Stability of Elastic Equilibrium. Dissertation. Delft / W.T. Koiter. — 1945.

175. Koiter, W.T. The interaction between local buckling and overall buckling on the behavior of built - up columns / Kuiken G. D. // Report WTHD - 23. Delft Laboratory. - 1971.

176. Kubiak, T. Static and Dynamic Buckling of Thin—Walled Plate Structures / T. KubiaK // Springer International Publishing Switzerland. - 2013. -p. - 188.

177. Manuilov, G.A. Features and computational differences of critical points on the equilibrium curve / S.B. Kosytsyn, M.M. Begichev, V.Y. PolyaKov // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - T. 12. - 2017. — Pp. 136 —146.

178. Manuylov, G.A. Geometric representations of equilibrium curves of a compressed stiffened plate / G.A. Manuylov, S.B. Kosytsyn, I.E. Grudtsyna // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2021. - № 17(3). - Pp. 83 - 93.

179. Manuylov, G.A. Numerical and analytical investigation of the stability of the reinforced plate / G.A. Manuylov, S.B. Kosytsyn, I.E. Grudtsyna // Communications - Scientific Letters of the University of Zilina. - 2021. - Volume 23(4). - Pp. 102 - 111.

180. Manuylov, G.A. Stability Investigation of a Stiffened Plate by Using Numerical Methods / G. A. Manuylov, S. B. Kosytsyn, I.E. Grudtsyna // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - Volume 1425(2020) 012031. - Pp. 1 - 10.

181. Maquoi, R. From thick to thin or from thin to thick? / J. Rondal // In IABSE Colloquium: Thin-Walled Metal Structures. - Stockholm. - 1986.

182. Maquoi, R. Interaction between local plate buckling and overall buckling in thin-walled compression members / C. Massonnet // New York Harvard University Theories and experiments in Proceedings of the IUTAM International Symposium on Buckling of Structures. - 1976. - Pp. 365 - 382.

183. Matkowsky, B.J. Multiple buckling states of rectangular plates / L.J. PutnicK // Int. J. Non-linear mech. - Vol.9. - 1974. - Pp. 89 -103.

184. Mises, R. Die Knicksicherheit von FachwerKen / R. Mies, I. Ratzerdorfer // ZAMM. - B.5. - H.3. - 1925.

185. MSC Nastran 2018. QuicK Reference Guide / MSC. Software Corporation. - 2017. - p. 3315.

186. MSC Patran 2016. User's Guide / MSC.Software Corporation. - 2016. -- p. 228.

187. MSC/NASTRAN Handbook for Nonlinear Analysis. Version 67. / The MacNeal-Schwendler Corporation, Los Angeles, CA. - March 1992.

188. Nakamura, T. The Secondary Buckling And Post-Secondary-Buckling Behaviours Of Rectangular Plates / K. Uetani // Int. J. Mech. Sci. - Vol. 21. - Pp. 265-286.

189. Narayanan, R. Plated Structures: Stability and Strength / Narayanan, R. // Applied Science Publishers Ltd., London and New York. - 1983.

190. Pignataro, M. Stability, Bifurcation and Postcritical Behaviour of Elastic Structures / N. Rizzi, A. Luongo // Elsevier Science. - Volume 39. - 1991.

191. Pignatoro, M. Phenomenological and Mathematical modelling of structural instability / V. Gioncu // Springer. - New York. - 2005. - p. 35.

192. Poincare, H. Oeuvres. - Paris: Gauthier-Villars. - 1951.

193. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'une mouvement de rotation. - Acta math. Vol. 7. - 1885. - 259 p.

194. Riks, E. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems / E. Riks // International Journal of Solids Structures. -15(7). -1979. - Pp. 529-551.

195. Roorda, J. Stability of Structures with Small Imperfections / J. Roorda // ASCE Journal Engineering Mechanics Division. - 1965. - Vol. 91. - Pp. 87—106.

196. Samuels, P. Bifurcation and limit point instability of dual eigenvalue third order systems. / P. Samuels // Int. J. Solids and Structures - Vol.16. - 1980. -Pp. 743-756.

197. Schaeffer, D. Boundary Conditions and Mode Jumping in the Buckling of a Rectangular Plate / D. Schaeffer, M. GolubitsKy // Commun. Math. Phys. 69.

- 1979. - Pp. 209 — 236.

198. Schafer, B.W., Pekoz, T. The Behavior and Design of Longitudinally Stiffened Thin-Walled Compression Elements / B.W. Schafer, T. Pekoz // Thin-Walled Structures. - Vol. 27. - No.1. - Pp. 65—78.

199. Sewel, M.J. A survey of plastic buckling / M.J. Sewel // Stability (Leipholz H., ed.). - Ontario: University Waterloo Press. - 1972. - Pp. 85—197.

200. Shanmugam, N.E. Local Buckling of Stiffened Plates in Offshore Structures / M.Arockiasamy // Journal of Constructional Steel Research. - Vol. 38.

- No. 1. - 1996. - Pp. 41— 60.

201. Sheikh, I.A. Stiffened steel plates under uniaxial compression / G.Y Grondin, A.E. Elwi // J. of Constructional Steel Research. - Vol.58. - 2002. — Pp. 1061 — 1080.

202. Southwell, V. On the General Theory of Elastic Stability / V. Southwell // Philosophical Transactions of the Royal Society. - A. - 1914. - Vol. 213. - Pp. 187—244.

203. Sridharan, S., Zeggane, M. Stiffened Plates and Cylindrical Shells under Interactive Buckling // Finite Elements in Analysis and Design. - Vol.38. - 2001. -Pp. 155—178.

204. Stein, M. Loads and deformations of bucKled rectangular plates / M. Stein // NASA technical report R-40. - 1959. - 32 p.

205. Stein, M. The phenomenon of change in bucKle pattern in elastic structures / M. Stein // NASA technical report R—39. - 1959. - 14 p.

206. Suchy, H. A Numerical Study of Mode Jumping of Rectangular Plates /Troger, H., Weiss, R // ZAMM 2. Angew. Math. u. Mech. - №86. - 1985. - p. 78.

207. Supple, W.J. Changes of wave-form of plates in the post-buckling range // Int. J. Solids Structures. - 1970. - Vol.6. - Pp. 1243-1258.

208. Supple, W.J. Coupled branching configurations if the elastic buckling of symmetric structural systems // Int. J. Mech. Sci. - Vol. 9. - 1967. - Pp. 97—112.

209. Supple, W.J. On the change in bucKle patterns in elastic structures // Int. J. Mech. Sci. - Vol. 10. - 1968. - Pp. 737—745.

210. Thom, R. Structural Stability and Morphogenesis / Thom, R // Massachusetts. - 1975.

211. Thompson, J. M. T. Towards a unified bifurcation theory / G. W. Hunt //J. Appl. Math. Phys. (Z.A.M.P.). - 26(5). - 1975. - Pp. 81— 604.

212. Thompson, J.M.T. A General Theory of Elastic Stability / J.M.T. Thompson, G.W. Hunt // London, Wiley. - 1973.

213. Thompson, J.M.T. An Experimental Study of Imperfection-Sensitivity in the Interactive Buckling of Stiffened Plates / J. M. T. Thompson, J. D. Tulk, A. C. Walker // University College London. - 1976. - Pp. 150— 159.

214. Thompson, J.M.T. Bifurcational aspects of catastrophe theory / J. M. T. Thompson // In Conference on Bifurcation Theory and Applications in Scientific Disciplines. - New York. - 1977. - Pp. 553—571.

215. Thompson, J.M.T. Catastrophe Theory and Its Role in Applied Mechanics / J. M. T. Thompson // Sectional Lecture at the 14th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. - Delft, August 1976; Theoretical and Applied Mechanics. - Vol. 2 (W. T. Koiter, ed.). - North Holland. Amsterdam. - 1977. - Pp. 411— 458.

216. Thompson, J.M.T. Elastic Instability Phenomena / G.W. Hunt // Chichester et al. - John Wiley & Sons. - 1984. - 209 p.

217. Thompson, J.M.T. On the Topological Classification of Postbuckling Phenomena // J.K.Y. Tan, K.C. Lim // Journal of Structural Mechanics Volume 6:4. -1978. - Pp. 383 - 414.

218. Thompson, M.T. A buckling model for the set of umbilic catastrophes / Z. Gaspar // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82. - 1977 - Pp. 497- 507.

219. Timoshenko, S. P. History of Strength of Materials / S. P. Timoshenko. - McGraw-Hill, New YorK. - 1953.

220. Toakley, A. R. The optimum design of stiffened panels subject to compression loading / D. G. Williams // Engineering Optimization. - 2:4. - Pp. 239 - 250.

221. Troitsky, M.S. Stiffened Plates: Bending, Stability and Vibrations, Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam. -The Netherlands. - 1976.

222. Tulk, J. D. Model studies of the elastic buckling of a stiffened plate / A. C. Walker // Journal Of Strain Analysis. - Vol.11. - № 3. - 1976. - Pp. 138 - 143.

223. Tvergaard, V. Imperfection sensitivity of a wide integrally stiffened panel under compression // Int. J. Solids Structures - 9. - 1973. - Pp. 177 - 192.

224. Tvergaard, V. Influence of post-buckling behavior on optimum design of stiffened panels. / V. Tvergaard // Int. J. Solids Structures. - Vol.9. - 1973. -p.1519.

225. Van, D.H.A. W.T. Koiter's elastic stability of solids and structures. / Cambridge Univ. Press. - 2009. - .230.

226. Van, D.N. A. Mode interaction with a stiffened panel // Harvard Proc. IUTAM Symp., Buckling of structures. - 1974. - Pp.117 - 132.

227. Van, D.N. The interaction of local buckling and column failure of imperfect thin-walled compression members / Technological University Delft. -Report VTH 149.

228. Von Mises, R. Die KnicKsicherheit von Fachwerken / R. von Mises, I. Ratzerdorfer // ZAMM. - 1925.

229. Wasserman, G. Stability of Unfoldings / G. Wasserman // Springer Lecture Notes in Mathematics. - № 393. Berlin: Springer. - 1975.

230. Wasserman, G. Stability of unfoldings in space and time / G. Wasserman // Acta Mathematica. - 135. - 1975. - P. 57.

231. Wittrick, W. H. A Unified Approach to the Initial Buckling of Stiffened Panels in Compression / W. Wittrick. - 1968. - Pp. 265 - 283.

232. Yu, W.W. Cold-Formed Steel Design. / W.W. Yu // John Wiley and Sons. - Second Edition. - New York. - 1990.

233. Zeeman, E.C. Catastrophe Theory / E. C. Zeeman // Selected Papers, Addison-Wesley. - London. - 1978. - p. 675.

234. Zienkiewicz, O. C. Finite Element Procedures in the Solution of Plate and Shell Problems / O. C. Zienkiewicz, Y. K. Cheung // Ch. 8 in: Stress Analysis. Wiley. - 1965.

235. Zienkiewicz, O.C. The finite element method / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. - 5-th edition. - Volume 2: Solid mechanics. - Butterworth—Heinemann. - 2000. - p. - 479.