Устойчивость течения термовязких жидкостей в плоском канале с линейным профилем температуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Низамова Аделина Димовна

• Низамова Аделина Димовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Низамова Аделина Димовна

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Течение жидкости с температурной зависимостью вязкости

1.2 Классическая гидродинамическая устойчивость

1.3 Устойчивость течения термовязкой жидкости

Глава 2. Постановка задачи об устойчивости течения термовязкой

жидкости

Глава 3. Методы и подходы, используемые для решения задачи

3.1 Конечно-разностный метод

3.2 Спектральный метод

3.3 Тест решения классической задачи Орра-Зоммерфельда

Глава 4. Результаты численного моделирования и их анализ

4.1 Анализ устойчивости течения модельной жидкости

4.1.1 Линейная зависимость вязкости от температуры

4.1.2 Экспоненциальная зависимость вязкости от температуры

4.2 Анализ устойчивости течения реальной жидкости

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость течения термовязких жидкостей в плоском канале с линейным профилем температуры»

Введение

Устойчивость течения жидкости является актуальной проблемой гидродинамики. Хорошо известно, что существует два режима течения жидкостей: ламинарный и турбулентный. Характер течения зависит от числа Рейнольдса. При малых значениях этого числа наблюдается ламинарный режим течения. Однако, начиная с некоторого определенного значения, называемого критическим числом Рейнольдса, течение приобретает турбулентный характер. Критическое значение зависит от конкретного вида течения.

Как известно, с увеличением скорости ламинарное течение теряет устойчивость, и начинают развиваться возмущения, которые приводят либо к установлению вторичного нелинейного режима, сохраняющего основные свойства ламинарного течения, либо к турбулизации потока. Потеря устойчивости связана с передачей энергии от основного течения к возмущениям. Поток, ограниченный твердыми стенками, теряет устойчивость с последующей турбулизацией при весьма высоких числах Рейнольдса (порядка нескольких тысяч). Поэтому на практике реализуются как чисто ламинарные, так и турбулентные ограниченные потоки. В то же время течения со свободной поверхностью (типа пленочных) теряют устойчивость уже при числах Рейнольдса примерно равных единице. В результате почти всегда на свободной поверхности формируется волновое движение, в связи с чем вопрос об устойчивости таких течений становится особенно актуальным.

В общем случае проблема устойчивости течений не исчерпывается линейным анализом. Течение, устойчивое в линейной постановке, может быть неустойчиво к конечно-амплитудным возмущениям. Именно такая ситуация наиболее явно проявляется при течении в трубах, когда линейная теория предсказывает большое значение критического числа Рейнольдса, а на опыте, как известно, оно равно примерно 2300. Нелинейная теория гидродинамической устойчивости значительно сложнее линейной задачи. И прогресс в этой области в

значительной мере обусловлен развитием численных методов и применением мощных ЭВМ.

Исследованию гидродинамической устойчивости течения жидкости с постоянной вязкостью посвящено множество работ Орра В., Зоммерфельда А., Сквайера Б. , Лакина В., Каплана Р., Гроша С. (Orr W., Squire H.B., Lakin W.D., Kaplan R.E., Grosch C.E.) и др. В настоящее время накоплен достаточный задел по изучению особенностей устойчивости течения однородных жидкостей. При решении вопросов, связанных с устойчивостью течения, обстоятельством возможных перепадов температур при течении жидкостей, как правило, пренебрегают. Однако, вязкость жидкости является параметром, определяющим закономерности течения, и весьма чувствительна к изменениям температуры. Современное состояние исследования устойчивости течения жидкости с переменной вязкостью состоит из работ Релея Л., Джефри Х., Их С.С., Поттера М.С., Пирсон Дж.Р.А. (Rayleigh L., Jeffrey H., Yih C.S., Potter M.C., Pearson J.R.A.) и т.д. Зависимость вязкости от температуры в большинстве этих работ имеет монотонный характер и называется моделью аррениусовского типа.

В настоящей работе была исследована устойчивость течения термовязких жидкостей с постоянной, линейной и экспоненциальной зависимостями вязкости от температуры. Понятие термовязкой жидкости введено в связи с необходимостью учета изменения вязкости от температуры в рассматриваемых процессах. Указанные выше зависимости были выбраны для возможности вычисления аналитических профилей скорости течения в канале и для сравнения полученных результатов каждой зависимости задачи устойчивости течения термовязких жидкостей.

Таким образом, актуальность темы исследования связана с необходимостью развития гидродинамической устойчивости течения термовязких жидкостей в каналах, встречающихся как в промышленных устройствах, так и в природе.

Целью настоящей работы является исследование гидродинамической устойчивости течения термовязких жидкостей с монотонными температурными зависимостями вязкости и поиск параметров, характеризующих режимы течений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Найдены аналитически профили скоростей течения жидкости с линейной и экспоненциальной температурными зависимостями вязкости.

2. Получено обобщенное уравнение Орра-Зоммерфельда для исследования устойчивости течения термовязких жидкостей.

3. Исследованы спектры собственных значений, собственные функции, возмущения поперечной скорости течения жидкостей при изменении функциональной зависимости вязкости от температуры.

4. Построены области неустойчивости течения жидкостей в канале с подогревом сверху.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Влияние учета переменной вязкости жидкости на устойчивость течения.

2. Зависимость критического волнового числа от параметра термовязкости жидкости.

3. Зависимость критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости жидкости.

4. Влияние вида зависимости вязкости жидкости от температуры на результаты решения задачи об устойчивости течения термовязкой жидкости.

5. Влияние вида зависимости вязкости жидкости от температуры на спектры собственных значений течения термовязких жидкостей.

Научная новизна:

1. Исследована устойчивость течения термовязких жидкостей с линейной и экспоненциальной зависимостями вязкости от температуры.

2. Обнаружена зависимость критического волнового числа от параметра термовязкости.

3. Представлена зависимость критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости.

4. Показано, что на результат решения задачи об устойчивости течения термовязких жидкостей влияет выбранная температурная зависимость вязкости жидкости.

5. Установлена зависимость спектров собственных значений от значений параметра термовязкости.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты носят теоретический характер, являются развитием теории гидродинамической устойчивости и представляют интерес для специалистов в области гидродинамики. Полученные результаты также являются практически значимыми - позволяют изучать процессы и явления, происходящие в технологических аппаратах, используемых в различных отраслях промышленности. В частности, результаты устойчивости течения термовязкой жидкости могут быть использованы при проектировании систем отопления и промышленного кондиционирования и их эксплуатации.

Обоснованность и достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, обеспечиваются: корректной постановкой задачи, которая основана на законах сохранения механики сплошных сред; выведенным обобщенным уравнением гидродинамической устойчивости течения термовязкой жидкости, которое имеет в частном случае предельный переход и сводится к классическому уравнению Орра-Зоммерфельда; использованием математических методов их исследования; точностью вычислительного метода и удовлетворительным согласованием тестовых численных расчетов с известными решениями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации, были представлены на следующих конференциях:

• The Summer Workshop on «Dynamics of Dispersed Systems» (Уфа, 22-28

июня 2014 г.);

• V международная научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 25-28 ноября 2014 г.);

• Международная конференция «Потоки и структуры в жидкостях» (Калининград, 23-26 июня 2015 г.);

• XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 20-24 августа 2015 г.);

• Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», посвященная 90-летию со дня рождения члена-корр. РАН, д.т.н., проф. Р.Р. Мавлютова (Уфа, 21-24 марта 2016 г.);

• VI Российская конференция «Многофазные системы: модели, эксперимент, приложения» и школы молодых ученых «Газовые гидраты -энергия будущего» (Уфа, 26-30 июня 2017 г.);

• Вторая Всероссийская летняя школа-конференция «Физико-химическая гидродинамика: модели и приложения» (Уфа, 25-30 июня 2018 г.);

• Международная школа-конференция для студентов, аспирантов, и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 16-20 октября 2018 г.);

• IX международная научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва, 05-07 декабря 2018 г.).

Кроме того, результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в ФГБНУ ОСП Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УФИЦ РАН.

Методы исследования. Для получения научных результатов в диссертационной работе использованы методы и уравнения механики сплошных сред. Разработанные программные продукты реализованы на языках Fortran 90 и MATLAB.

Личный вклад. Автор принимал участие в постановке задачи, разработке алгоритмов решения. Автором получено обобщенное уравнение Орра-Зоммерфельда; разработан программный код, основанный на псевдоспектральном

методе по полиномам Чебышева; выполнен ряд вычислительных экспериментов и проведен анализ полученных результатов, которые были представлены в опубликованных работах.

Публикации. Результаты по теме диссертации опубликованы в следующих работах [43-65; 92-94; 104-108], 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [47, 63].

Объем и структура работы. Диссертация содержит введение, четыре главы и заключение. Полный объем диссертации составляет 111 страниц с 41 рисунком и 9 таблицами. Список литературы содержит 130 наименований.

Во введении показана актуальность темы, выполняемой в диссертационной работе, поставлены цели, сформулированы научная новизна, обоснованность и достоверность результатов, значимость работы в различных областях науки и практики и представлена краткая структура работы.

В первой главе проведен обзор литературы, посвященной изучению устойчивости течения жидкостей с различными видами температурной зависимости вязкости. Представлено классическое уравнение Орра-Зоммерфельда исследования устойчивости течения жидкости с постоянной вязкостью в плоском канале.

Во второй главе получено обобщенное уравнение Орра-Зоммерфельда для изучения устойчивости течения термовязких жидкостей в плоском канале с неоднородным температурным полем, которое состоит из системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений и в случае изотермического течения сводится к классическому уравнению Орра-Зоммерфельда.

В третьей главе подробно описаны методы и подходы, используемые для численного решения обобщенного уравнения Орра-Зоммерфельда для исследования устойчивости течения термовязких жидкостей. Проведено сравнение тестовых расчетов с использованием разработанного программного кода для численного моделирования с известными численными решениями для

течения жидкости с постоянной вязкостью. Тестовые расчеты показали удовлетворительную точность вычислений.

В четвертой главе численно исследуется устойчивость течения термовязких жидкостей в плоском канале с неоднородным температурным полем. Рассмотрены модельные жидкости и реальная жидкость с линейными и экспоненциальными температурными зависимостями вязкости. Показано влияние учета температурной зависимости вязкости на устойчивость течения жидкости.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе выполнения работы и выносимые на защиту.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Урманчееву С.Ф. за постановку задачи; научному консультанту к.ф.-м.н. Кирееву В.Н. за консультации при проведении численных экспериментов и анализ полученных результатов работы, д.ф.-м.н. Хабирову С.В. и д.ф.-м.н. Житникову В.П. за полезное обсуждение результатов работы, ценные советы и оказанную поддержку. Автор выражает признательность Налобиной Е.А. за огромный труд по редактированию и подготовке диссертации к печати.

Работа выполнена при содействии Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 17-41-020999-р_а) и по госзаданию на 2019-2022 гг. «Численные, аналитические и экспериментальные методы в многофазных, термовязких и микродисперсных системах газогидродинамики» (№ 0246-20190052).

Глава 1. Обзор литературы

1.1 Течение жидкости с температурной зависимостью вязкости

При решении вопросов, связанных с устойчивостью течения, обстоятельством возможных перепадов температур при течении жидкостей, как правило, пренебрегают. Однако, вязкость жидкости является параметром, определяющим закономерности течения, и она весьма чувствительна к изменениям температуры.

Работа Лейбензона Л.С. [36] относится к одним из первых исследований, посвященным изучению течения жидкости в канале. В данной работе рассматривается течение жидкости с температурной зависимостью вязкости в трубе, с внешней средой с постоянно поддерживаемой температурой Т, а температурная зависимость вязкости имеет следующий вид:

где а, в - параметры, являющиеся постоянными.

Надкритичные конвективные течения в жидкости исследовал Пальм Е. [111]. В этом случае зависимость вязкости от температуры имела вид:

Множество моделей, которые описывают температурную зависимость вязкости, имеют экспоненциально убывающий вид и называются моделями аррениусовского типа [75]. Френкелем Я.И. была получена зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры на основании молекулярно-кинетической теории:

v(T) = а - вт и v(T) = —— ,

в + T

v = vо + Y • cosp(T - To),

2

где v0, у, ц - параметры жидкости, при этом (y/v0) << 1.

где Т - температура; Ж - энергия активации; т0 - периодичность колебаний вблизи точки равновесия; 5 - атомарное расстояние; а - радиус частицы; к - постоянная Больцмана.

Простая линейная зависимость, предложенная Шерманом Ф. в работе [116], позволяет описать изменение вязкости от температуры для разных жидкостей:

ц(Т) = Ь(Т - Т*/), где Ь > 0 - постоянная, зависящая от свойств выбранной жидкости; цГ£/- вязкость при температуре Т/ = 293 К. Также им получена другая модель:

Г "Г ( т

Ц(Т) = Ц гв/

Тгв/

■ ехр

В

V

Т Тгв/

где Ь, В - некоторые постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.

Зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры, полученная из спектров деполяризованного молекулярного рассеяния света, представлена в работе [73]. Формула Фогеля-Фулчера-Таммана является наиболее распространенной и учитывает температурное изменение вязкости для неорганических веществ:

В

1п ц (Т) = А +-,

Т - Т*

где А, В, Т* -коэффициенты, являющиеся эмпирическими.

В работах [5 и 6] применялась обратная линейная зависимость вязкости от температуры вида:

Кб) = , 1 + хе

где X - положительный параметр при охлаждении и отрицательный при нагревании жидкости; ц0 - вязкость в начальном состоянии; 0 - температура.

В этих работах были приведены различные гидродинамические особенности стационарных течений между двумя параллельными неподвижными плоскостями при наличии перепада давления в области.

Близкая зависимость вязкости жидкости от температуры применяется в работе Янг Ван-цзу [10]. Им была решена аналитически задача конвективного тепломассопереноса при ламинарном течении жидкости в трубе с круглым сечением.

Ряд вопросов течения жидкостей с переменной вязкостью был затронут в монографии Гольдштика М.А., Штерна В.Н., Яворского Н.И. [15]. В этой книге обсуждаются как общие вопросы и уже известные наиболее существенные парадоксы динамики вязкой жидкости, так и показываются парадоксальные свойства автомодельных решений уравнений Навье-Стокса из двух обширных классов - конических течений, в которых скорость убывает с удалением от начала координат, и течений, в которых скорость линейно растет, а последняя глава посвящена необычным свойствам неавтомодельных струй. В данной работе был предпринят подход к моделированию возникновения турбулентности в струйных течениях жидкости, вязкость которой зависит от температуры в то время, как плотность остается постоянной, как и в модели Обербека-Буссинеска, принятой в теории тепловой конвекции.

В работе Фогельсона Р.Л. [74] рассматривается экспоненциальное температурное изменение вязкости:

" Е ' к (Т + То) _

Ввиду того, что при течении могут возникать отличия реальных условий от идеальных, в функциональной зависимости было предложено добавочное слагаемое Т0.

В работе [117] Ригатос А. и Чараламбакис Н. исследовали асимптотическую устойчивость течения в двумерном пространстве между двумя параллельными плоскостями с подвижной верхней границей, а вязкость жидкости имеет вид:

Т

ц(Т) = ц о ехр

( г

ц (Т) = ц 0

где а > 0 - эмпирическая постоянная.

V Т0 у

Стекание слоя жидкости с температурной зависимостью вязкости с учетом поля силы тяжести исследовали Уилсон С. и Даффи Б. [130]. В этой работе рассматривались следующие температурные зависимости вязкости:

1. линейная - ц(Т) = ц 0 + х(Т - Т0);

2. экспоненциальная - ц(Т) = ц 0 ехр

х (Т - То)

ц0

3. модель Эйринга - ц(Т) = ц 0 ехр

ХТп Г 1

ц0

Т Т0 у

Лихачевым Е.Р. в его работе [38] была получена зависимость вязкости от двух параметров - температуры и давления:

ц(Т) = ц 0 ехР

ар +

Е - вр

Я (Т + Т0 - ур)

где р - давление; а, в, у - постоянные параметры.

В статье [82] исследуются стационарные режимы течений жидкостей при учете химических реакций вблизи полубесконечной плоскости для жидкости с гиперболической моделью температурного изменения вязкости:

1

— [1 + а(Т - Тх)],

ц (Т ) ц

где а - фиксированный параметр.

Выше описаны работы, в которых исследовались различные особенности тепломассообмена сред с монотонной зависимостью вязкости от температуры. Однако, по причине процессов полимеризации и деполимеризации, некоторые вещества имеют немонотонную температурную зависимость вязкости. К таким веществам относятся растворы полимеров, жидкая сера, аномально вязкие нефти.

Урманчеевым С.Ф. и др. был положен задел в области численного моделирования течения жидкости с аномальной вязкостью [70]. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [20, 21, 24-31, 72, 88-91, 128]. Представлены результаты численного моделирования задачи о течении несжимаемой жидкости с температурной аномалией вязкости в плоском канале с

1

неоднородным температурном полем. В этой работе рассматривалась температурная зависимость вязкости следующего вида:

ц (Т) = Ц т

О

-Д | Т ~Т*%

1 + VAT

где Т* = (Т1 + Т2У2 - средняя температура; ЛТ = Т2 - Ть А = (Цшах/Цшт) - 1 -параметр аномалии жидкости; В - параметр аномалии жидкости, характеризующий степень заполненности заданного температурного интервала, при его увеличении происходит сужение диапазона температур, на котором происходит немонотонное изменение вязкости.

Результаты исследований подтверждают многообразие возможных гидродинамических эффектов. Установлено, что основной особенностью термогидродинамики аномально вязких сред является образование локализованной области, которая существенно влияет на расходные характеристики и всю структуру потока.

В работе Топольникова А.С., Болотновой Р.Х., Бузиной В.А., Агишевой У.О. [67] представлено моделирование нестационарного течения многофазного потока, содержащего нефть, воду и свободный газ, в пласте и нефтедобывающей скважине при запуске, остановке, изменении производительности и периодической работе насоса. При этом течение считалось в пласте однофазным и плоскорадиальным, учитывалось относительное движение компонентов многофазной системы, тепло- и массообмен и режим течения при описании течения. В этой работе приводились примеры использования разработанной модели для описания нестационарных эффектов, которые возникают в процессе добычи нефти.

Аналогичную температурную зависимость вязкости Урманчеева С.Ф. рассматривал Кулешов В.С. в работе по исследованию особенностей конвективных течений аномально термовязких жидкостей [34]. В этой работе было изучено влияние параметров аномалии на характер конвективного течения

жидкости. Установлено влияние «вязкого барьера» на структуру течения при фиксированных параметрах задачи.

Данное направление получило развитие в работах Моисеева К.В. [39, 40]. Исследовались особенности конвективного теплопереноса в двумерной полости жидкостей и влияние угла наклона ячейки на режимы течений. Рассматривались модельные жидкости с монотонными:

р 1 (т) = р

( р

Г"8ир

Р *

т-т1 Ч-Г1

Р 2 (Т) = р

8ир

( р

Г^ир

Р *

Т-Т2 Т2 -Т1

Рз(Т)= р*

( \ р *

V р suP у

Р 4 (Т) = Р *

( .. 'А Р*

Р inf

( Т-Т1 ^

Т-Т2 Т2 -Т1

и немонотонными температурными зависимостями вязкости:

-2

+ Р * ,

Р 5 (Т) = 4(р sup - Р

Т - Т0 >

Р6(Т) = 4(р* - Р

sup

Р 7 (Т) = 4(Р М - Р * )

Р 8 (Т) = 4(Р * - Р М

V Т2 - Т

Т - Т0 ]

Т2 -

Г Т - Т*

V Т2 - Т1

Т - Т* ^

2

+ Р

sup

Т2 - Т1

+ р *,

+ р М .

Течения газожидкостных смесей в каналах широко исследуется в работах Мусакаева Н.Г. [41]. Им приведено математическое описание процесса диссоциации газового гидрата при закачке в залежь, насыщенную в начальном состоянии метаном и его гидратом, теплого (с температурой, большей исходной

2

2

температуры пласта) газа. Изучено влияние различных факторов на протекание данного процесса. Показано, что диссоциация газового гидрата в пористой среде при нагнетании в пласт теплового газа происходит на фронтальной границе.

1.2 Классическая гидродинамическая устойчивость

С математической точки зрения система линейно устойчива, если энергия начальных бесконечно малых возмущений не растет неограниченно во времени или пространстве. Но этот подход мало что дает для практики в силу отсутствия общих методов решения. Общепринятый подход для анализа линейной устойчивости заключается в том, что ищется частное решение в виде гармонического сигнала с начальной бесконечно малой амплитудой. Течение будет устойчиво, если все гармоники с ограниченно растущей амплитудой. Для довольно общего случая плоскопараллельного течения анализ устойчивости проводят на основе уравнения Орра-Зоммерфельда [109, 123]:

= о,

IV 2 „ , , 4 „

р - 2к р + к р - 1К Ке

2

(ио - с)(р" - к р) - и0оР

с граничными условиями

р(-1) = р(1) = 0, ((-1) = р'(1) = о, где р(у) - амплитуда возмущения поперечной скорости; и0 = и0(у) - профиль

™ 1

скорости в невозмущенном состоянии; г - мнимая единица; с = — - фазовая

к

скорость волны вдоль оси канала (собственное значение); w - частота; к -проекция волнового вектора на ось канала (волновое число); Ие - число Рейнольдса.

При решении этого уравнения обычно применяют временной подход, исследуя растущие возмущения с течением времени, т.е. задавая действительные значения к и считая фазовую скорость комплексной: с = сг + ¡ег с неизвестными значениями сг, сг.

Таким образом, для решения задачи об устойчивости течения жидкости необходимо найти все собственные значения с, которым соответствуют нетривиальные собственные функции <(у). Тогда критерием неустойчивости, очевидно, будет условие с > 0: если существует хотя бы одно собственное значение c положительной мнимой частью, то течение является неустойчивым при заданных параметрах числа Рейнольдса и волновом числе. Если же все собственные значения имеют неположительную мнимую часть, то течение -устойчивое при заданных параметрах. Этот факт объясняется тем, что при существовании хотя бы одного собственного значения, мнимая часть которого отрицательна, возмущения в виде бегущей волны примут вид:

и(у) = <(у). вгк(х-с') =<(у) • в1к(х--^) =<(у) • вЫг*- гк(х-сг') = = <(у) • в^^ • (шз( к(х - сгг)) - г 8т(к(х - сгг)))

Отметим, что возмущения будут увеличиваться за счет быстрого роста множителя в'1 .

Заметим, что если основной поток и0(у) является четной функцией и0(у) = аУ + с, то решения <(у) уравнения Орра-Зоммерфельда обладают свойством четности или нечетности. Когда же скорость основного потока и0(у) является нечетной функцией, вещественной на отрезке у е [-1;1]: и0(у) = Ьу, ^(Ь) = 0, то собственные значения и функции также имеют определенную симметрию. Так, если имеется собственное значение 10 и соответствующая ему собственная функция <0(у) , то, используя комплексное сопряжение для уравнения

Орра-Зоммерфельда, убеждаемся, что значение I1 и функция <1(у):

* *

х 1 =- х 0, <1( у ) = <0( - у ),

также являются собственными. Таким образом, в случае нечетности основного потока и0(у) собственные значения обладают симметрией относительно мнимой оси [66].

Условие с = 0 дает нейтральную кривую, на которой возмущения не растут и не затухают, и которая описывается соотношением Re = Re (к). Минимальное

значение числа Рейнольдса на нейтральной кривой называется критическим числом Рейнольдса Яесг.

Стоит отметить, что решение уравнения Орра-Зоммерфельда можно распространить на трехмерный случай. Это означает, что для нахождения критического числа Рейнольдса достаточно рассмотреть двумерную задачу (в рамках принятых ограничений), на что впервые указано в работе [124]. В соответствии с теоремой Сквайера именно плоские возмущения являются самыми «опасными», так как трехмерное возмущение представляет собой волну, которая распространяется под некоторым углом к направлению основного течения, а на возмущение влияет только компонента течения, соответствующая направлению волнового вектора.

Основные трудности решения обобщенного уравнения Орра-Зоммерфельда связаны с наличием малого параметра при старшей производной (так как обычно большие числа Яе) и необходимостью решать краевую задачу на собственные значения для уравнения высокого порядка. Наиболее распространенными методами решения линейной задачи являются [76], прямой метод Галеркина, метод конечных разностей, асимптотический метод и метод сведения к задаче Коши. Работа Уилкинсона Дж. [69] посвящена алгебраической проблеме собственных значений. Важную роль в уравнении также играют вязкие члены, хотя они малы для больших чисел Яе, ими нельзя пренебрегать вблизи стенки и в окрестности критического слоя ус, определяемого из условия и0(ус) - с = 0. Соответствующий механизм потери устойчивости называют вязкой неустойчивостью, а возникающие при этом возмущения - волнами Толмина-Шлихтинга [19].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Низамова Аделина Димовна, 2019 год

• /

• • л

• •

•

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Рис. 9. Спектры собственных значений: а) аь = 0.1; б) аь = 0.2; в) аь = 0.5

параметрах числа Рейнольдса и волновом числе для рассмотренных значений параметра термовязкости течение всегда является неустойчивым.

На рис. 10 показаны вещественная и мнимая части собственной функции, соответствующей первому собственному значению с1. Рис. 11 является иллюстрацией вещественных частей возмущений поперечной скорости течения жидкости для с1 и различных временных значений I. По полученным результатам видно, что при рассмотрении неустойчивого собственного значения с1 с течением времени ? возмущения скорости начинают расти, что приводит к турбулизации течения. Вещественная и мнимая части собственной функции, соответствующей второму собственному значению, представлены на рис. 12, а возмущения поперечной скорости - на рис. 13. Второе собственное значение является устойчивым и по графикам видно, что с течением времени возмущения поперечной скорости затухают. Также стоит отметить, что собственные функции и возмущения поперечной скорости не обладают признаком симметрии, это следует из того, что профиль скорости в невозмущенном состоянии тоже не обладает симметрией (п. 1.2). Максимальные значения собственных функций и возмущений поперечных скоростей смещены вправо от оси у = 0, что соответствует тому, что возмущения возникают и интенсивно растут вблизи горячей стенки. Интенсивности роста (рис. 14 (а)) возмущений для первого собственного значения и затухания возмущений для второго собственного значения (рис. 1 4 (б) показаны на рис. 14. Видно, что для неустойчивого собственного значения возмущения возрастают с течением времени, а для устойчивого - затухают.

Рис. 10. Вещественная и мнимая части собственной функции первого собственного значения с1 для жидкости с линейной зависимостью вязкости и

параметрами Яе = 104, к = 1, ас = 0.2

15000 10000

>

^ 5000

о

■5000

а)

!

Шж ЩШ .................. /

■1 -0.5 0 0.5

> <и

•1

\

ЯГ .......

ЖV '

1 -0.5 0 0.5

б)

в)

г)

Рис. 11. Вещественная часть возмущений поперечной скорости первого собственного значения с1 для жидкости с линейной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аь = 0.2: а) г = 0; б) г = 103; в) г = 104; г) г = 105

Рис. 12. Вещественная и мнимая части собственной функции второго собственного значения с2 для жидкости с линейной зависимостью вязкости и

параметрами Яе = 104, к = 1, аь = 0.2

Рис. 13. Вещественная часть возмущений поперечной скорости второго собственного значения с2 для жидкости с линейной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аь = 0.2: а) г = 0; б) г = 103; в) г = 104; г) г = 105

а) б)

Рис. 14. Интенсивность роста (затухания) возмущений поперечной скорости с течением времени: а) первое собственное значение; б) второе собственное значение

Областью неустойчивости течения жидкости является область внутри нейтральной кривой. Нейтральные кривые для течения жидкости с постоянной вязкостью и жидкости с линейной зависимостью вязкости представлены на рис. 15. Видно, что течение жидкости с температурной зависимостью вязкости является неустойчивым, в то время как изотермическое течение жидкости при этих же фиксированных параметрах будет устойчивым. Стоит отметить, что с ростом параметра термовязкости область неустойчивости увеличивается и всегда содержит область неустойчивости течения жидкости с постоянной вязкостью.

Рис. 15. Нейтральные кривые течения жидкости с постоянной вязкостью (1) и с линейной зависимостью вязкости от температуры: аь = 0.05 (2), аь = 0.1 (3), аь = 0.2 (4)

На рис. 16 показано изменение критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости. Из полученных результатов можно видеть, что с увеличением значений параметра аь критическое число Рейнольдса Яесг уменьшается и течение становится неустойчивым. Поэтому учет температурной зависимости вязкости существенным образом влияет на анализ устойчивости течения термовязких жидкостей.

6000 5000

и

ЛООО 3000

20000 0.1 02 03 0.4 0.5

а1

Рис. 16. Изменение критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости

На рис. 17 показано изменение критического волнового числа от параметра термовязкости. Можно отметить, что с увеличением значений критическое волновое число также увеличивается и всегда будет превышать критическое волновое число изотермического течения жидкости.

Зависимость критических параметров течения от параметра термовязкости представлена на рис. 18. При уменьшении параметра термовязкости критическое значение волнового числа уменьшается, а критическое число Рейнольдса -увеличивается, при этом для очень малых значений параметра термовязкости критические волновые числа и критические числа Рейнольдса для течения термовязкой жидкости и изотермического течения жидкости совпадают (ксг = 1.02, Яесг = 5772).

1.25 1.2 1.15

u

1.1 1.05

1 llll ,

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

aL

Рис. 17. Изменение критического волнового числа от параметра термовязкости

1.25 г-

!0 1500 3000 4500 6000

Re

Рис. 18. Изменение критического волнового числа и критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости

4.1.2 Экспоненциальная зависимость вязкости от температуры

Рассмотрим течение жидкости с экспоненциальной температурной зависимостью вязкости (рис. 19):

рЕ (Г) = ехр( -аЕТ),

где а Е > 0 - параметр термовязкости или с помощью (19):

РЕ (У) = ехР(-аЕ (1 + У)) .

Рис. 19. Экспоненциальная зависимость вязкости

Первое уравнение (17) перепишем следующим образом:

а и

0 ~ ^ = Ке-. ехр (аЕ (1 + У)). ау ах

ау

Решим однородное дифференциальное уравнение:

а2ип &ып 0 а Е—0 = 0

ау

2

ау

Характеристическое уравнение имеет вид:

к2 - аек = 0, ^ " = 0, к2 = аЕ , а решением однородного дифференциального уравнения является функция:

иобщ = С1во.у + с2еаг'У = с1 + С2еаг'* .

Частное решение уравнения будем искать в следующем виде:

и0аст =(Лу + В уг'(1+У).

Тогда, подставляя выражения первой и второй производных частного решения

(ич0аап )' =(Л + аЕ (Лу + В))еаЕ<1+у), (ич0аст )" = (2аЕЛ + а\ (Лу + В))еаг<1+у) в искомое дифференциальное уравнение, получим частное решение:

и част = _ . ¿Е0 . у . е а г •(1+У)

а г ¿х

У • е

А общим решением уравнения является функция:

и0 = С1 + С 2 е

а г ■У _ . . у . е а е '(1+У) а г ¿х

Далее необходимо найти постоянные С1 и С2 из граничных условий (18) для скорости:

\ и о(1) = 0, |и о(_1) = 0;

С1 + С2е

аЕ-1 _ • ¿Ео • 1 • е аЕ •(1+1) = 0, аг ¿х Яе ¿Е0

С1 + С2 е ае (_1) _ ^. ^. (_1). е ае *(1_1) = 0; аг ¿х

С =

Яе ¿Е0 а г ¿х

1 + е 2а е

_ 1

_ е

С? =

Яе ¿е 0

а е ¿х е

2е а Е

_ е

Тогда решением является функция (рис. 20):

2ехр (аг) _ (1 + ехр (2аг))• ехр (аг У)

^ Яе ¿е 0

и 0 (У) =--—

а г ¿х

ехр (_аг) _ ехр (аг)

_ у • ехр (а г (1 + У))

(21)

По результатам можно видеть, что при небольших значениях параметров термовязкости аь << 1, аЕ << 1 линейная и экспоненциальная зависимости вязкости от температуры очень близки. Однако, при увеличении значений параметров аь, аЕ - экспоненциальная зависимость вязкости от температуры лучше описывает вязкость реальных жидкостей, чем линейная.

0

_ а

е

е

_ а

к

е

е

а

е

е

Также, как и для линейной зависимости вязкости при малых значениях параметра аЕ, профили скорости течения жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры в невозмущенном состоянии аналогичны профилю Пуазейля.

Рис. 20. Профили скорости: а Е = 0,75 (сплошная линия), аЕ = 1 (штриховая),

а Е = 1,5 (штрих-пунктирная)

В табл. 5 представлены первые 10 собственных значений течения жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры с параметром аЕ = 1. По второму столбцу можно видеть, что существует собственное значение с положительной мнимой частью, а значит течение теряет устойчивость при фиксированных параметрах.

Таблица 5. Собственные значения течения жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости от температуры с параметром аЕ = 1

№ Собственное значение

с, С

С1 0.238850617913367 0.008042187242072

С2 1.378787489495885 -0.024695632643149

сз 1.380011385335148 -0.025193515282760

С4 1.358584744724979 -0.044517355951307

С5 1.360194737708699 -0.045157198714598

Сб 0.229626988575914 -0.060527667173706

С7 1.338406733504912 -0.064330546834551

С8 1.340344456066392 -0.065083032915719

С9 1.318240843987531 -0.084130217515741

с10 1.320472319488893 -0.084977117642175

Спектры собственных значений течения жидкости с экспоненциальной температурной зависимостью вязкости для нескольких значений аЕ представлены на рис. 21. По полученным результатам можно сделать вывод о том, что при выполненных предположениях спектр собственных значений для малых параметров аЕ (рис. 21 (а), (б)) качественно соответствует спектру собственных значений изотермического течения жидкости. Собственные значения стремятся к оси вещественных частей, группируясь в вертикальную ветвь, а при приближении к нулевым мнимым частям - делятся на отдельные ветви. С увеличением значений параметра аЕ спектр имеет значительные изменения: вертикальная ветвь начинает делиться на несколько отдельных ветвей (рис. 21 (в)). Стоит отметить, что существует собственное значение с мнимой частью большей нуля (рис. 21), а это соответствует неустойчивости течения при фиксированных параметрах волнового числа и числа Рейнольдса.

а)

б) 0.2

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

в) 0.2

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

. ----(----!----- -

N. : : /

-г*/

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1,2 1.4

г

♦ 1

4

/

/

♦ ♦ » ♦ I

♦ ♦ * ♦♦ ♦ ♦ Д

---, ♦♦ ♦ <

: : ♦ : ♦

____^____;_____г _ ^___I

■ ■ ? ■

1

♦ 1 ж Ч»

J_I_I_I_I_I_

I *

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1,2 1.4

Рис. 21 . Спектры собственных значений при Яе = 104, к = 1

для а Е = 0,01 (а), а Е = 0,5 (б), аЕ = 1 (в).

На рис. 22 представлены графики вещественной Яе <р и мнимой 1т <р частей собственной функции, соответствующей первому собственному значению с1. Рис. 23 является иллюстрацией вещественных частей возмущений поперечной скорости течения жидкости для с1 и различных временных значений г. По полученным результатам видно, что при рассмотрении неустойчивого собственного значения с1 с течением времени г возмущения скорости начинают расти, что приводит к турбулизации течения. Вещественные части собственной функции, соответствующей второму собственному значению показаны на рис. 24, а возмущения поперечной скорости - на рис. 25. Второе собственное значение является устойчивым и по графикам можно видеть, что с течением времени возмущения поперечной скорости затухают.

Интенсивность роста и затухания возмущений поперечной скорости течения для первого и второго собственных значений показаны на рис. 26. Видно, что с течением времени для первого собственного значения возмущения возрастают, а для второго - затухают.

На рис. 27 представлены области неустойчивости для течения термовязкой жидкости с профилем скорости (21) для различных значений параметра аЕ и изотермического течения жидкости с профилем Пуазейля. Область неустойчивости увеличивается с ростом значения параметра термовязкости аЕ.

Рис. 22. Вещественная и мнимая части собственной функции первого собственного значения с1 для жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аЕ = 1.0

Рис. 23. Вещественная и мнимая части возмущений поперечной скорости первого собственного значения с1 для жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аЕ = 1:

а) г = 0; б) г = 103; в) г = 104

Рис. 24. Вещественная и мнимая части собственной функции второго собственного значения с2 для жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аЕ = 1.0

> о

Он

-2

-...............Г ..................1............ ■ 1..............

1 -0.5 0 0.5 1

8

> <и

1

0.5

О

-0.5 -1

-1.5

:10'

■107

а)

I

I

1 -0.5 0 0.5

б)

в)

г)

Рис. 25. Вещественная часть возмущений поперечной скорости второго собственного значения с2 для жидкости с экспоненциальной зависимостью вязкости и параметрами Яе = 104, к = 1, аЕ = 1:

а) г = 0; б) г = 103; в) г = 104; г) г = 105

а) б)

Рис. 26. Интенсивность роста и затухания возмущений поперечной скорости: а) первое собственное значение; б) второе собственное значение

Рис. 27. Нейтральные кривые течения жидкости с постоянной вязкостью (1) и термовязкой жидкости: аЕ= 0.25 (2), аЕ= 0.5 (3), аЕ= 0.75 (4)

Изменение критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости для течений термовязкой жидкости представлено на рис. 28. Аналогично результатам для жидкости с линейной зависимостью вязкости можно видеть, что при увеличении значений параметра термовязкости жидкости критическое число Рейнольдса стремится в сторону меньших значений, т.е. течение становится менее устойчивым. На рис. 29 показано изменение критического волнового числа от параметра термовязкости. Аналогично результатам для жидкости с линейной зависимостью вязкости - критическое волновое число возрастает с увеличением параметра термовязкости. Изменения критического волнового числа и критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости для течений жидкости с постоянной вязкостью и термовязкой жидкости представлены на рис. 30.

6000 5000 4000

и

^3000

с*

2000 1000

°0 0.5 1 1.5 2

аг.

Рис. 28. Зависимость критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости

Рис. 29. Зависимость критического волнового числа от параметра термовязкости

Рис. 30. Изменение критического волнового числа и критического числа Рейнольдса от параметра термовязкости

4.2 Анализ устойчивости течения реальной жидкости

В качестве незамерзающей жидкости широко применяются водные растворы гликолей - этиленгликоля С2Н602 и пропиленгликоля С3Н802.

Повышенная вязкость водного раствора пропиленгликоля в зоне отрицательных рабочих температур приводит к значительному возрастанию гидравлических потерь на трение в трубопроводах и на преодоление гидравлических сопротивлений во всех узлах системы охлаждения и промышленного кондиционирования. Значительное снижение теплоемкости раствора пропиленгликоля требует повышения скорости циркуляции тепло-хладоносителя в системе или других технических решений для обеспечения передачи (приема) необходимой тепловой мощности (энергии).

Все эти факторы, как следствие, приведут к особым, исключительным ситуациям (условиям) при эксплуатации инженерных систем в различных климатических условиях. И их следует учесть при проектировании и эксплуатации систем отопления и промышленного кондиционирования.

Теплофизические характеристики 45% водного раствора пропиленгликоля в зависимости от температуры представлены в табл. 6. Свойства водных растворов пропиленгликоля различных концентраций представлены в табл. 7.

Водный раствор пропиленгликоля обладает более высокой плотностью по сравнению с водой (на 5-8%) и плотность раствора повышается с увеличением концетрации пропиленгликоля. Теплоемкость уменьшается в пределах 20% с ростом концентрации пропиленгликоля и снижением температуры. Вязкость выше, чем у воды, и возрастает при повышении концентрации и понижении температуры.

График зависимости вязкости от температуры для 45% водного раствора пропиленгликоля представлен на рис. 31.

Таблица 6. Теплофизические свойства 45% водного раствора пропиленгликоля,

[http://himtermo.ru/teplonositeli/teplofiz_svoystva_vod_rastv_propylen/].

Температура раствора Т, °С Плотность р, кг/м3 Теплоемкость ср, кДж/(кг К) Теплопроводность к, Вт/(мК) Динамическая вязкость ц, *10-3[Нс/м2]

-30* 1066 3450 0,397 160

-20 1062 3490 0,396 74,3

-10 1058 3520 0,395 31,74

0 1054 3560 0,395 18,97

20 1044 3620 0,394 6,264

40 1033 3690 0,393 2,978

60 1015 3760 0,392 1,624

80 999 3820 0,391 1,1

100 984 3890 0,39 0,807

*температура кристализации -30°С.

Рис. 31. Зависимость вязкости от температуры для раствора пропиленгликоль 45%

Таблица 7. Теплофизические свойства водных растворов пропиленгликоля.

Концентрация раствора пропиленгликоля, % Плотность -5 р, кг/м Теплоемкость ср, кДж/(кгК) Динамическая вязкость ц,10-3[Нс/м2]

ТК 100° С ТК 100°С ТК 100°С

25 1032 979 3,93 4,08 10,22 0,509

37 1050 982 3,68 4,00 47,25 0,687

45 1066 984 3,45 3,89 160 0,807

ТК - температура кристализации.

К выбору вида зависимости вязкости от температуры. Для решения задачи об устойчивости течения пропилегликоля с использованием полученных в предыдущей главе результатов необходимо аппроксимировать зависимость вязкости от температуры с помощью одной из аналитических функций (постоянная, линейная, экспоненциальная). Хорошую аппроксимацию на всем диапазоне изменения температуры получить не удается, поэтому будем рассматривать определенные интервалы температур.

Рассмотрим два интервала температуры (рис. 32):

I - от -10°С до 20°С;

II - от 60°С до 100°С.

Можно сказать, что на I промежутке (рис. 33) происходит изменение вязкости примерно в 5 раз, в отличие от II промежутка (рис. 34) - примерно в 2 раза.

Уравнения аппроксимирующих функций и величины достоверности аппроксимации приведены на графиках (рис. 33, 34).

Рис. 32. Температурная зависимость вязкости водного раствора пропиленгликоля (45%)

36

Т, °С

Рис. 33. Аппроксимация температурной зависимости вязкости водного раствора пропиленгликоля (45%) на I интервале

Рис. 34. Аппроксимация температурной зависимости вязкости водного раствора пропиленгликоля (45%) на II интервале

Для возможности сопоставления результатов решения задачи об устойчивости течения реальной жидкости с модельной (п. 4.1) приведем уравнения аппроксимирующих функций к безразмерному виду. На интервале изменения температуры I:

2 М Т

1Ч 31.74 • (-10) +18.97 • 0 + 6.264 • 20

1) постоянная вязкость: цг = 1-=-1—--= 19.212;

2 Т -10 + 0 + 20

/

2) линейная зависимость: = - 0.8186 Т + 21.72.

Общий вид аппроксимирующей функции = а Т + Ь, а в безразмерном виде:

~ ь = -aL Т + 1, где аь = а (Тн - Тс)/(2 цс), а цс = - а Тс + Ь. Тогда цс = - 0.8186(-10) + 21.72 = 29.906,

аь = -0.8186 (20 - (-10))/(2-29.906) = -0.4106, ~ь = - 0.4106 Т + 1;

О 054 Т

3) экспоненциальная зависимость: цЕ = 18.653-е"' • . Общий вид аппроксимирующей функции цL = c-e-dT, а в безразмерном виде:

- _ - a T ~ e = е e ,

где aE = d-(Th - Tc)/2, а ц = c-edTc.

Тогда цс = 18.653-е-0054 (-10) = 32.0831, aE = 0.054 (20 - (-10))/2 = 0.81,

~ _ -0.81T ~ E = е .

Аналогичные преобразования проведем на интервале II. На интервале изменения температуры II:

1Л 1.624 • 60 + 1.1 • 80 + 0.807 • 100 11АОг,

1) постоянная вязкость: цг =- = 1.1089;

60 + 80 + 100

2) линейная зависимость: ^ = - 0.0204 T + 2.811, а ~L = - 0.2568-T + 1;

0 017-7 0 34 Т

3) экспоненциальная зависимость: цЕ = 4.5748-е-' • , а ~E = е ' .

Невозмущенный профиль скорости. Используя формулы (20) и (21) определим профили скорости течения в невозмущенном состоянии для каждого вида зависимости вязкости от температуры (рис. 35).

Из рис. 35 видно, что для постоянной вязкости на обоих интервалах изменения температуры скорость имеет профиль Пуазейля. На I интервале видно, что максимальные значения скоростей для линейной и экспоненциальной зависимостей вязкости разные, а на II интервале они схожи. Разница между ними составляет примерно 12%, что показывает значительное расхождение в корректности выбора зависмости вязкости от температуры на фиксированном температурном интервале. Это объясняется тем, что на интервале I изменение вязкости происходит почти в 5 раз (на II интервале только в 2 раза), и экспоненциальная аппроксимация зависимости вязкости корректнее описывает физический процесс.

а)

б)

Рис. 35. Профили скорости для изотермического течения (штрих-пунктирная линия), течения жидкости с линейной (сплошная) и экспоненциальной (штриховая) зависимостями вязкости на I (а) и II (б) интервалах

Собственные значения задачи об устойчивости. Собственные значения для рассматриваемых зависимостей вязкости жидкости вычислим для фиксированных параметров Re = 1563, к = 1.05 (интервал I), Re = 3200, к = 1 (интервал II). Фиксированные волновое число и число Рейнольдса выбраны такие, чтобы для постоянной и линейной зависимостей течение было устойчивым, а для экспоненциальной - неустойчивым. В табл. 8 и табл. 9 представлены первые 10 собственных значений для постоянной, линейной и экспоненциальной зависимостей вязкости для I и II температурных интервалов.

В приведенных в таблицах данных выделено первое собственное значение для каждой зависимости вязкости. Для постоянной и линейной зависимости вязкости первые собственные значения имеют отрицательную мнимую часть, что означает устойчивость течения, а для экспоненциальной зависимости вязкости -положительную мнимую часть первого собственного значения, что означает неустойчивость течения при фиксированных параметрах числа Рейнольдса и волновом числе. Хотя в случае II профили скорости в невозмущенном состоянии для линейной и экспоненциальной зависмостей вязкости почти совпали, но результаты все равно различаются. Таким образом, важно отметить, что учет вида зависимости вязкости от температуры влияет на результат решения задачи об устойчивости течения термовязкой жидкости.

Таблица 8. Собственные значения течения жидкости на I интервале

№ Сг С1

Постоянная вязкость

С1 6,38183186765327 -0,454541805731502

С2 8,54989529751888 -1,58543337856210

С3 17,5315617968452 -1,65147761716231

С4 17,5345114552695 -1,65445763518831

С5 16,1819679310558 -2,96106356109671

С6 16,1905830265375 -2,96602444992467

С7 14,8511015735804 -4,27194083979761

С8 14,8169032245714 -4,32681864759637

С9 12,9120832783739 -4,48308494402507

С10 10,8617718925846 -4,50770165064994

Линейная зависимость вязкости

С1 0,228146843943659 -0,0199609290336892

С2 0,961832075016511 -0,0431733101161825

С3 0,965023440123306 -0,0445311289090801

С4 0,305439035409382 -0,0646175754323464

С5 0,926391095112074 -0,0775463646806208

С6 0,930535819161084 -0,0793196817312586

С7 0,890994091181149 -0,111956882700096

С8 0,895932198113201 -0,114094359345479

С9 0,855597704317762 -0,146390829984198

С10 0,861241652525531 -0,148877022978040

Экспоненциальная зависимость вязкости

С1 0,272170006428134 +0.000000821789882

С2 1,10217284504286 -0,0428441847460343

С3 1,10482535572034 -0,0439227942376362

С4 0,317123880419663 -0,0760743213482964

С5 1,06677596152454 -0,0771672225798468

С6 1,07028620496825 -0,0785553080838467

С7 1,03139922305029 -0,111441754269929

С8 1,03565457391402 -0,113085304065641

С9 0,996005668327565 -0,145657062524546

С10 0,433073115366786 -0,146063558047458

Таблица 9. Собственные значения течения жидкости на II интервале

№ Сг С

Постояннaя вязкость

С1 0,320668743673580 -0,00986555062153276

С2 1,03951026053147 -0,0686232825754721

С3 1,03958026658746 -0,0687159897752982

С4 0,418363234135700 -0,0742185576717753

С5 0,983861583418297 -0,123146970140515

С6 0,984093308594604 -0,123386243034421

С7 0,928043092712199 -0,177633121438730

С8 0,928575147911733 -0,178037076422314

С9 0,523944018748131 -0,212375267112704

С10 0,627430066364837 -0,214140515568234

Линейнaя зaвисимость вязкости

С1 0,177441352219027 -0,00168572463037485

С2 0,664880085378011 -0,0308278646378025

С3 0,665864867591475 -0,0312451829341949

С4 0,219875669268612 -0,0410128097582946

С5 0,639702990817754 -0,0554991064151425

С6 0,640982483253876 -0,0560487060549114

С7 0,614530324946908 -0,0801696520729491

С8 0,616054798819861 -0,0808379193573955

С9 0,589345828496208 -0,1048359184435790

С10 0,280431552168516 -0,1052154355664220

Экспоненциaльнaя зaвисимость вязкости

С1 0,179392164874277 +0.000035248292457

С2 0,673065673675550 -0,0308603655580142

С3 0,673975562700686 -0,0312365879441118

С4 0,220920764404358 -0,0418312064991746

С5 0,647885684651034 -0,0555137140753998

С6 0,649089688046488 -0,0560187601368284

С7 0,622719566602688 -0,0801519476830760

С8 0,624148802535419 -0,0807706468861261

С9 0,279193938167905 -0,1041851891380480

С10 0,597536322651146 -0,1047665725529800

Собственные значения. Спектры собственных значений для I (Яе = 1563, к = 1.05) и II (Яе = 3200, к = 1) интервалов приведены на рис. 36. По представленным графикам видно, что спектры качественно схожи для рассматриваемых интервалов. Для линейной и экспоненциальной зависимостей вязкости увеличивается количество собственных значений, т.е. больше нетривиальных решений задачи (ненулевые собственные функции) и, таким образом, появление дополнительных возмущений поперечной скорости течения. Существенное сходство спектров также можно наблюдать для II интервала для линейной и экспоненциальной сходимости.

Собственные функции. Вещественные и мнимые части собственных функций для первого собственного значения представлены на рис. 37 и 38 для двух рассматриваемых интервалов и каждой зависимости вязкости: а) постоянная вязкость; б) линейная зависимость вязкости; в) экспоненциальная зависимость вязкости.

Из представленных результатов видно, что собственные функции для различных температурных зависимостей вязкости имеют значительное качественное отличие. Также можно заметить, что собственная функция для течения с постоянной вязкостью обладает симметрией относительно вертикальной оси у = 0, а с линейной и экпоненциальной зависимостью вязкости - не обладают, т.к. профиль скорости в невозмущенном состоянии не имеет симметрии (п. 1.2).

II

Постоянная вязкость

Линейная зависимость

Экспоненциальная зависимость

0.2 0 -0.2 6" -0.4 -0.6 -0.8 -1

I

0.2 0 -0.2 6" -0.4 -0.6 -0.8 -1

0.2 0 -0.2 6" -0.4 -0.6 -0.8 -1

/

/

I и

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 с

т т тт \ т т 1 /

, 1 .....4..........|........|..........

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Т т

т Т / тт ' т У т %'/

1

1

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2 0 -0.2 б- -0.4 -0.6 -0.8 -1

▼ т /

/