Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Джумабаева, Алия Амангельдиевна

• Джумабаева, Алия Амангельдиевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Джумабаева, Алия Амангельдиевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ

ОДНОВРЕМЕННОМ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ

РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

§1.1. Об устойчивости периодической системы при однократном

резонансе четвертого порядка

§ 1.2. Устойчивость периодических систем при наличии нескольких

независимых резонансов четвертого порядка

§ 1.3. Устойчивость периодических систем при взаимодействии

резонансов четвертого порядка

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСОВ

ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

§ 2.1. Нелинейная нормализация периодических гамильтоновых

резонансных систем

§ 2.2. Случай независимых резонансов

§ 2.3. Взаимодействие резонансов по одной частоте

§ 2.4 Случай взаимодействия при наличии общей многочастотной

компоненты

ГЛАВА 3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В

СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ - ЛУНА ПОСРЕДСТВОМ ПОСТОЯННОГО

ПО МОДУЛЮ МАЛОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ

§ 3.1. Постановка задачи. Уравнения поступательно-вращательного

движения

§ 3.2. Положения относительного равновесия

§ 3.3. Необходимые условия устойчивости центра масс ОС

§ 3.4 Достаточные условия устойчивости ориентации спутника

резонансов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе»

ВВЕДЕНИЕ

Поскольку большинство задач механики описывается неинтегрируемыми системами дифференциальных уравнений, то исследование на устойчивость различных частных решений этих систем приобретает особый интерес. Как известно, теория устойчивости, созданная в основном выдающимся русским механиком A.M. Ляпуновым, наиболее полно разработана для установившихся и периодических движений, которые во многих задачах механики и техники представляют особый интерес.

Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых новых направлений в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматривается критический случай таких систем

x = A(t)x + X(t,x), xeRN (0.1)

где ю-периодическая матрица A(t) такова, что все характеристические показатели линейной части системы - чисто мнимые, а вектор-

функция X(t,x) представляет собой совокупность нелинейных членов

системы, представляющая собой абсолютно сходящийся ряд.

Такие системы представляют особый интерес, поскольку в первом

приближении они описывают некоторый колебательный процесс широко распространенный в природе и технике. В теории устойчивости эти системы соответствуют критическому случаю, в котором задача устойчивости решается структурой нелинейных членов.

Рассмотрим систему (0.1) в вариациях.

В своей работе A.M. Ляпунов [30] показал, что с помощью линейного преобразования, задаваемого матрицей

Bt

- нормированная фундаментальная матрица) систему можно привести к линейной системе с постоянными коэффициентами. При этом корни характеристического уравнения приведенной системы будут являться характеристическими показателями исходной системы. Перейдем к новой переменной по формуле

х = Ф(0£

Тогда система (0.1) примет вид

£ = zA£+S(£,0, S (£,/ + а>) = 3(£0,

где Щ^эО " совокупность нелинейных членов,

г К — idiag(Z1,..., Я^ Я^ ) . Переменные ,..., S,2N разобьем на 2N

комплексно-сопряженных переменных z = N) и z = , тогда

получим следующую систему с нормализованной линейной частью:

z — iAz + Z(z, z, t), z = -iAz + Z(z,z,t), (0.2)

в которой Z(z,z,t) и Z(z,z,t) представляют собой комплексно-сопряженные

О) -периодические по t вектор-функции, разложения которых в ряды по степеням z, z начинаются с форм не ниже второго порядка.

Начиная с работ A.M. Ляпунова [30], стало ясно, что решение задачи

устойчивости для систем (0.2) зависит от арифметических свойств ±Я , а

s

именно от того, удовлетворяет ли они соотношению 2 л

рД) = — q, g = 0+1+2,..., (0.3)

а

где р — - вектор, компоненты которого взаимно-простые целые

числа, Х = (Лг...РЯп) (n<N).

При выполнении (0.3) говорят, что в системе имеет место внутренний

резонанс порядка к, где к

Р,

+ ...+

Р

г п

>1.

В сложных многопараметрических системах могут одновременно возникать несколько резонансных соотношений вида (0.3). Тогда говорят, что в системе имеет место многократный резонанс.

Изучению нерезонансного случая были посвящены работы Г.В.Каменкова [16], И.Г. Малкина [32], Ь. 8а1уаёоп[59], В.Г. Веретенникова [6] и др. В этих работах нерезонансный случай был изучен практически полностью. В появившихся многочисленных исследованиях А.Л. Куницына [19], А.П. Маркеева [33], В.Н. Тхая [46], Л.Г. Хазина [48] и других удалось

установить ряд интересных свойств резонансных систем связанных с порядком и кратностью резонансов. Это связано с тем, что порядок и кратность резонансов влияют на структуру нормальной формы, правые части, которой до членов заданного порядка проще, чем в исходной системе.

Идея указанного преобразования восходит еще к работам А.Пуанкаре [38] и A.M. Ляпунова [30]. Более детально его свойства применительно к нерезонансному случаю изучались Дж. Биркгофом [4] и Дюлаком [54]. В последнее время ряд важных результатов по нормализации был получен в работах А.Д. Брюно [5]. Для гамильтоновых систем, в работах Депри [52] и Хори [56], разработан метод, основывающейся на каноничности преобразования фазового пространства.

В работах А.Л. Куницына [20], А.П. Маркеева [33], Л.Г. Хазина [50], В.Э. Жавнерчик [13,14] подробного исследованы однократные и многократные резонансы третьего порядка. Обстоятельный обзор результатов по исследованию устойчивости в резонансных случаях дан А.Л.Куницыным и А.П. Маркеевым [23]. Проведенный в этих работах анализ показывает, что результаты по устойчивости гамильтоновых систем могут вытекать как частный случай из результатов, получаемых для систем общего вида (0.1), если в системе имеет место однократный или многократные, но независимые резонансы третьего порядка. Иначе обстоит дело когда в системе имеет место взаимодействие резонансов третьего порядка (А.П.Маркеева [33], В.Н. Тхая [47], Л.Г. Хазина [48,49]). Для многократного

резонанса четвертого порядка ситуация становится еще более сложной.

В настоящей работе рассматриваются вопросы устойчивости периодических систем при наличии нескольких резонансов четвертого порядка.

Глава первая посвящена исследованию устойчивости периодических систем общего вида. В §1.1 изложены некоторые вопросы устойчивости периодических систем при однократном резонансе четвертого порядка, рассмотренные в работах А.Л. Куницына и Л.Т. Ташимова [27], и используемые в следующих параграфах главы.

В §1.2 и §1.3 рассматриваются неизученные случаи многократного резонанса четвертого порядка для периодических систем общего вида. При этом, здесь и далее неустойчивость доказывается при помощи существования неустойчивого частного решения в виде инвариантного луча.

Во второй главе рассматривается задача устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. В §2.1 представлены некоторые результаты, полученные ранее для гамильтоновых систем при резонансе четвертого порядка в работах В.И.Арнольда [1], А.П. Маркеева [33], Ю. Мозера [35], Л.Г. Хазина [49].

В §2.2 рассматривается неизученный случай независимых резонансов четвертого порядка. Здесь и далее устойчивость доказывается при помощи интегралов системы, из которых строится знакоопределенная функция Ляпунова. В отличие от результатов, полученных для резонансов третьего

порядка, устойчивость гамильтоновых систем при резонансе четвертого порядка возможна в двух случаях, в связи с чем вводится понятие слабого резонанса в смысле Айв смысле Б. Получены достаточные условия устойчивости и достаточные условия неустойчивости модельной системы при различных сочетаниях сильных и слабых резонансов.

В §2.3 и §2.4 рассматривается задача устойчивости при взаимодействии резонансов, т.е. когда резонансные соотношения содержат общие частоты. Как известно [50], в этом случае задача значительно усложняется. Среди разнообразных случаев взаимодействия резонансов рассмотрен один из наиболее типичных, когда в каждое резонансное соотношение входят одни и те же общие частоты.

В §2.3 исследуется взаимодействие резонансов по одной частоте. В отличие от независимых резонансов, условие устойчивости модельной системы зависит от вида взаимодействующих резонансов, а также от величин и знаков величин, представляющих компоненты резонансного вектора для общих частот.

Взаимодействие резонансов более общего вида, когда общей компонентой является вектор, рассматривается в §2.4. Получены достаточное условие неустойчивости, когда один из резонансов сильный, и достаточное условие устойчивости, когда каждый из взаимодействующих резонансов слабый в смысле А.

Третья глава посвящена исследованию устойчивости поступательно-

вращательного движения орбитальной станции (ОС) в системе Земля-Луна.

Создание долговременных орбитальных станций в окрестностях точек либрации системы Земля-Луна занимает важное место в программе освоения околоземного космического пространства [18,33,56,58]; при этом вопрос об устойчивости положений относительного равновесия ОС становится одним из главных. В проводимых ранее исследованиях задача эта, как правило, решалась в ограниченной постановке: ОС либо считалась материальной точкой [59,33,57], либо предполагалось, что нахождение центра масс ОС (рассматриваемой как твердое тело или гиростат) в точке либрации априори обеспечивается специальными управляющими силами [40], природа которых и законы управления не обсуждались. В данной работе показывается возможность одновременной стабилизации, как самих точек либрации, так и положений относительного равновесия ОС посредством сообщаемого ей постоянного по модулю малого реактивного ускорения. Возможны две схемы реализации стабилизирующего ускорения. В первой реактивный двигатель жестко связан с корпусом ОС, и, следовательно, его ориентация вследствие вращательного движения ОС относительно центра масс не остается постоянной. Поступательное и вращательное движения ОС в этом случае тесно связаны между собой, что существенно осложняет математическое исследование задачи. В такой постановке задача рассматривалась в диссертационной работе Д.А Бименова. Вторая же схема, когда двигатель малой тяги установлен на корпусе ОС, например, с помощью карданова подвеса и имеет автономную систему стабилизации, следовательно не участвует во вращательном движении ОС. В этом случае оказывается вся система уравнений поступательно-вращательного движения допускает запись в гамильтоновой форме. В такой постановке задача решалась для автономных систем в диссертационной работе A.A. Туякбаевым. Рассмотрена вторая схема стабилизации реактивного ускорения для эллиптической задачи.

В §3.2 из условия стационарности измененной потенциальной энергии получены уравнения относительного равновесия ОС в круговой задаче и найдены их решения. Показано, что для любой точки пространства однозначно определяются величина и ориентация реактивного ускорения, обеспечивающие относительное равновесие центра масс ОС, независящие от ориентации ее корпуса. При этом каждой фиксированной величине реактивного ускорения, соответствует целое семейство точек либрации, окружающих классическую коллинеарную точку, и множество равных ускорений будут представлять трехосные эллипсоиды с центрами в указанных точках. Найдена зависимость ориентации корпуса от координат центра масс станции, когда она расположена в плоскости орбит основных тел.

В §3.3 исследуется область выполнения необходимых условий устойчивости центра масс. Эта область ограничена двусвязанной поверхностью.

Для полученной области в §3.4 рассматривается вопрос об устойчивости ориентации корпуса ОС. Найдена область вековой устойчивости ориентации

ОС.'

В §3.5 показывается, что при учете эллиптичности орбиты Луны построенная область устойчивости стационарного движения будет при малых значения эксцентриситета практически совпадать с областью устойчивости периодического движения за исключением множества точек приводящих к параметрическому резонансу. В области близкой к классической залу иной точке либрации построены кривые параметрических резонансов. Кроме того, проведен нелинейный анализ устойчивости при наличии внутренних резонансов. Для исследования устойчивости используются результаты второй главы настоящей работы и ранние результаты диссертационной работы А.А.Туякбаева.

Основные результаты работы отражены в публикациях автора [812,21,22].

Результаты, полученные в диссертации, докладывались: на всероссийской конференции «Проблемы небесной механики» (Санкт-Петербург, 1997г.); на всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование физико-механических процессов» (Пермь, 1997г.); на научной конференции «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики» (Москва, 1997г.); на XXXIV научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (Москва, 1998г.); на семинаре по аналитической механике и теории устойчивости движения в МГУ (руководитель - член-корр. АН РФ профессор В.В. Румянцев) в 1998 году; на семинаре кафедры теоретической механики МАИ в 1998 году.

Пользуясь возможностью автор выражает свою искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А.Л. Куницыну за всестороннюю помощь и советы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Джумабаева, Алия Амангельдиевна

Основные результаты, полученные в диссертационной работе сводятся к следующему:

1. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости многомерных периодических систем общего вида при многократном резонансе четвертого порядка.

Рассмотрены как случаи независимых так и взаимодействующих резонансов.

2. Впервые получены достаточные условия устойчивости и неустойчивости гамильтоновых периодических систем при одновременном существовании нескольких резонансов четвертого порядка.

3. В системе Земля - Луна найдены положения относительного равновесия в поступательно-вращательном движении орбитальной станции, рассматриваемой как тело переменного состава с твердой оболочкой, в предположении, что на ней установлен реактивный двигатель, создающий малое и постоянное по модулю реактивное ускорение.

Построены области устойчивости положений относительного равновесия центра масс ОС в пространстве: в этой области найдены достаточные условия вековой устойчивости равновесных ориентаций станции.

4. В области выполнения необходимых условий устойчивости вблизи классической залунной коллинеарной точки либрации построены всевозможные резонансы четвертого порядка. Проведен нелинейный анализ устойчивости при наличии многократных резонансов четвертого порядка на основе общих результатов исследования, проведенного в первых двух главах

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Джумабаева, Алия Амангельдиевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. -УМН, 1963, т. 18, вып.6, с.91-192.

2. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. -ДАН, 1964, т. 156, №1, с.9-12.

3. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.:Наука, 1965, с.416.

4. Биркгоф Д. Динамические системы. M.-JL: Гостехиздат, 1941, с.320.

5. Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона. - Матам, заметки, 1967, т.1, вып.З, с.325-330.

6. Веретенников В.Г. Об устойчивости движения в случае трех пар чисто мнимых корней. -Тр.Ун-та Дружбы народов им. Патриса Лумумбы. 1966, №15, с.166-179.

7. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.:физматгиз, 1960.

8. Джумабаева A.A., Куницын А.Л. Периодические движения орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тез. докл. Всероссийской конф. «Проблемы небесной механики». С.-Петербург, 1997.

9. Джумабаева A.A., Куницын А.Л Об устойчивости квазиавтономных гамильтоновых систем при многократном резонансе,- Тез. докл. VII четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань, 1997.

10.Джумабаева A.A. Об устойчивости поступательного периодического

движения орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тез. докл. Всероссийской конф. молодых ученных «Математическое моделирование физико-математических процессов». Пермь, 1997.

Н.Джумабаева A.A., Куницын А.Л. Стабилизация точек либрации в системе Земля-Луна.- Тез. докл. конф. «Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики». Москва, 1997.

12.Джумабаева A.A., Куницын А.Л Об устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. -ПММ, 1998, т.62, вып.5. с.

13.Жавнерчик В.Э. Об устойчивости автономных систем при наличии нескольких резонансов. - ПММ, 1979, т.43, вып.2, с.229-234.

14.Жавнерчик В.Э. К вопросу об устойчивости при наличии многократного резонанса нечетного порядка. - ПММ, 1980, т.44, вып.6, с.971-976.

15.3игель К.Л. Лекции по небесной механике. М.:Из-во иностр. лит., 1959.

16.Каменков Г.В. Избранные труды. М.:Наука, т.1, 1971, с.260.

17.Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. - ДАН СССР, 1954, т.98, №4, с.527-530.

18.Красильников П.С. Стабилизация некоторых стационарных движений КЛА в обобщенной ограниченной задаче трех тел. - Тр. Научных чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идеи К.Э.Циалковского. секция «Механ. косм, полета», Калуга, 1978, с.181-189.

19.Куницын A.JI. Нормальная форма и устойчивость периодических ситем при внутреннем резонансе. ПММ, 1976, т.40, вып.З, с.431-438.

20.Куницын А.Л. Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней при внутреннем резонансе. ПММ, 1971, т.35, вып.1, с.164-167.

21.Куницын А.Л, Джумабаева A.A.. О стабилизации коллинеарных точек либрации в системе Земля-Луна.- Тез. докл. XXXIV науч.конф. факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов, Москва, 1998.

22.Куницын А.Л, Джумабаева A.A.. Об устойчивости поступательно-вращательных движений орбитальной станции в системе Земля-Луна.- Тр. Международной конф. «Математика в индустрии», Таганрог, 1998.

23.Куницын А.Л., Маркеев А.П. Устойчивость в резонансных случаях // Итоги науки и техники. Общая механика. М.: ВИНИТИД979. т.4. с.58-139.

24.Куницын А.Л., Медведев C.B., Тхай В.Н. Разработка алгоритма и составление программы для решения на ЭВМ некоторых резонансных задач устойчивости динамических систем,- В кн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением. Новосибирск:Наука, 1979, с.53-63.

25.Куницын А.Л., Муратов A.C. Об устойчивости одного класса квазиавтономных периодических систем при внутреннем резонансе. ПММ, 1993, т.57, вып.2.

26.Куницын АЛ, Пережогин A.A. Об устойчивости нейтральных систем при наличии многократного резонанса четвертого порядка. ГТММ, 1985, т.49, вып. 1.

27.Куницын А.Л., Ташимов Л.Т. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем. Алма-Ата: Гылым, 1990, с. 195.

28.Куницын А.Л., Туякбаев A.A. Устойчивость гамильтоновых систем при многократном резонансе четвертого порядка. ПММ, 1992, т. 56, вып.4, с.672-675.

29.Куницын А.Л., Чудаков В.И. О стационарных движениях в обобщенной задаче трех тел при использовании дополнительного реактивного ускорения. Тематический сборник научных трудов. М.: МАИ, 1989.

30.Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. - Сбор. Соч., т.2, М.-Л., Из-во АН СССР, 1956.

31.Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.

32.Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

33.Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978, с.312.

34.Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.:Наука, 1987, с.304.

35.Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 68с.

36.Нехорошев H.H. Метод последовательных канонических замен переменных.

Добавление к книге Ю.Мозера «Лекции о Гамильтоновых системах». М.:Мир, 1973, с. 150-164.

37. Нехорошее H.H. О поведении гамильтоновых систем близких к интегрируемым. - Функц.анализ, 1971, т.5, вып.4, с.82-83.

38.Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1,2,. М.:Наука, 1971, 1972.

39.Рубановский В.Н. Об относительном равновесии спутника - гиростата в обобщенной ограниченной круговой задаче трех тел. ПММ, 1981, т.45, вып.З, с.494-503.

40.Рубановский В.Н. Устойчивость установившихся движений сложных механических систем. - Итоги науки и техники. ВИНИТИ, сер.общ. механика, 1982, т.5.

41.Румянцев В.В. Об управлении ориентации и о стабилизации спутника роторами в точках либрации. Publ.:math., 1974, 17(31), р.139-148.

42.Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.:ВЦ АН СССР, 1967, с.141.

43. Румянцев В.В. Об управлении ориентации спутника-гиростата в равновесных положениях в точках либрации. В кн.: "Избранные проблемы прикладной механики." М.:ВИНИТИ, 1974.

44.Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации динамически-симметричного спутника в точках либрации. -Известия АН СССР, Механика твердого тела, 1974, №2.

45.Сокольский А.Г., Хованский С.А. программа нормализации гамильтоновых

систем с тремя степенями свободы. М.:МАИ, 1981, деп. ВИНИТИ, с.40.

46.Тхай В.Н. Об устойчивости механических систем под действием позиционных сил. ПММ, 1980, т.44, вып. 1, с.40-48.

47.Тхай В.Н. Некоторые задачи об устойчивости обратимой системы с малым параметром. ПММ, 1994, т.58, вып. 1, с.3-12.

48.Хазин Л.Г. Вопросы устойчивости систем Гамильтона и резонансы. - ИПМ АН СССР, препринт №20,1969.

49.Хазин Л.Г. Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонанса. ПММ, 1971, т.35, вып.З, с.423-431.

50.Хазина Г.Г. К вопросу о взаимодействии резонансов. ПММ, 1976, т.40, вып.5, с.959-960.

51.Хазин Л.Г. Шноль Э.Э. Простейшие случаи алгебраической неразрешимости в задачах об устойчивости. - ДАН СССР, 1978, т.240, №6, с.1309-1311.

52.Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter. Celest. Mech., 1969, 1, №1, p.12-30.

53.Dusek H.M. Motion in the vicinity of libration points of a generalized restricted three - body model. AIIAA Paper, 1965, №682.

54.Dulac H. Sur les cycles limites. - Bulletin de la Societe Mathematique de la Franse. v.LI Paris, 1923.

55.Farquhar R.W. Station - keeping in the vicinity of collinear libration points with an Application to a lunar communication problem. - Space Flight mech. Denver, Colo. Wash., 1966.

56.Hori G.I. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables. J. Of Japan Astron Soc., 1966, v. 18, №4.

57.Krasilnikov P.S., Kunitsyn A.L. On the stabilization of the collinear libration points of the restzicted three - body problem. - Cel. Meek, 15,1977.

58.Kunitsyn A.L., Markeyev A.P. Stability in resonance. - cases.-Applied mechanics. Soviet reviews: V 1, Hemisphere, N.Y., 1989.

59.Salvadore L. Sulla ricerca di una funczione di Liapounoff per un sistema differentiale interessante la meccanica dei sistem olonomi. Ric. Mat., 1962, 11, №2, p.82-94.