Устойчивость нулевого решения релейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Лосев Андрей Александрович

• Лосев Андрей Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Лосев Андрей Александрович

Введение

Общая характеристика работы

Основное содержание диссертации

Глава 1. Вводные определения и замечания

Глава 2. Доопределение приведённой системы на гиперплоскостях разрыва и

на их пересечении

2.1 Существование движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения

2.2 Уравнения движений на гиперплоскостях разрыва вне их пересечения

2.3 Существование движения на пересечении гиперплоскостей разрыва

2.4 Уравнения движения на пересечении гиперплоскостей разрыва

Глава 3. Устойчивость нулевого решения приведённой системы

3.1 Достаточные условия устойчивости

3.2 Достаточные условия неустойчивости

3.3 Суммирование полученных достаточных условий устойчивости и неустойчивости

3.4 Заключительные выводы о механизмах устойчивости и неустойчивости

Заключение

Таблица 1. Сводная таблица результатов исследования устойчивости нулевого решения приведённой системы, полученных в настоящей работе

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость нулевого решения релейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле»

Общая характеристика работы

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Диссертация является исследованием в области теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. В ней изучается устойчивость нулевого решения (определения см. ниже) системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле вида

n

yi = Pi sgn yi + qi sgn У2 + rij Vj , i = 1,...,n, (1)

j=i

при различных значениях параметров pi,... ,pn, qi,... , qn, rij, 1 ^ i, j ^ n, этой системы. Здесь n ^ 2; yi(t),... ,yn(t) - неизвестные функции времени t; yi обозначает производную dyi/dt, i = 1,... , n; (pi,... ,pn)T и (qi,... , qn)T - заданные постоянные n-мерные векторы (символ T обозначает транспонирование); (rij)i^i, - заданная постоянная (n х ^-матрица.

Математические основы теории устойчивости были заложены А. М. Ляпуновым в цикле работ [18, 19, 20, 32]. В настоящее время в силу своей актуальности для современной теории дифференциальных уравнений и для приложений теория устойчивости включается в программы курсов дифференциальных уравнений для математических, физических и инженерных специальностей [22]. Дифференциальные уравнения, рассматриваемые в работах А. М. Ляпунова, имеют непрерывные правые части. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями рассматривалась, в частности, в [5, 6].

Однако физические законы могут выражаться разрывными функциями, например, разрывная зависимость силы трения от скорости в случае сухого трения [33]. Кроме этого, дифференциальные уравнения с разрывной правой частью получаются из дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью при предельных переходах по параметру [27, §8, п. 3]. Библиография по вопросу устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями также весьма обширна. Для примера упомянем [13, 25, 29, 30].

Релейные системы, то есть системы дифференциальных уравнений, правые части которых содержат выражения вида sgn(f (yi,... , yn)), где f - гладкая функция, изучались в связи с задачами теории автоматического управления начиная с середины 20 века (см., например,

[8, 9, 10, 11, 12, 21, 23, 31]).

Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский [7] и Д. В. Аносов [4] изучали релейную систему, аналогичную (1), но с одним реле, имеющую вид

n

= Pi sgn yi + rij yj, i =l,...,n, (2)

j=i

с точки зрения устойчивости её нулевого решения. Полное исследование вопроса было первоначально проведено Л. С. Понтрягиным и В. Г. Болтянским. Д. В. Аносову удалось найти более простое решение задачи.

Пользуясь обозначением d для оператора дифференцирования, релейную систему (2) можно записать в виде

n

dyi - rij yj = Pi sgn yi, i =1,...,n. j=i

Исключая отсюда y2,... , yn, получим

K(d)yi + ML(d) sgn yi = 0, (3)

где M - вещественное число, K(d) и L(d) - многочлены:

K(d) = dn + aidn-i + ..., L(d) = dn-r + eidn-r-i + ...

(не исключено L(d) = 0). Заметим, что само по себе соотношение (3) не имеет смысла, так как функция sgn yi разрывна и недифференцируема при yi = 0. Поэтому, когда пишут уравнение (3), то имеют в виду, что рассматривается система (2) и что (3) есть формальная запись этой системы.

В работе Д. В. Аносова доказаны следующие необходимые, а также достаточные условия устойчивости нулевого решения системы (2).

В случае r =1 для устойчивости необходимо, чтобы было M > 0 и чтобы многочлен L(d) не имел корней справа от мнимой оси и достаточно, чтобы сверх того все корни многочлена L(d) находились слева от мнимой оси.

В случае r = 2 к этим необходимым условиям добавляется ещё условие а1 ^ въ а к достаточным - условие а1 > вь

В случае r ^ 3 или L(d) = 0 всегда имеет место неустойчивость. В своей статье Д. В. Аносов рассматривает систему

n

yi = Pig(y ъ N) + rij yj, i = 1..., n j=i

где g = g(yi, N) - непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1) д(уь N) = -1 при у1 ^ ) < 0, д(Ш, N) = 1 при Ш ^ ) > 0;

2) на отрезке [а^), в^)] функция д монотонно возрастает и удовлетворяет соотношению |Дд| ^ К(^Ду^, где К(N) ^ при N ^

Неформально говоря, функция g(y1,N) - это непрерывное приближение к sgn у1, тем лучшее, чем больше N. Осуществляя предельный переход в последней системе при N ^ Д. В. Аносов получает систему (2) (вместе с доопределением этой системы на гиперплоскости у1 = 0). Здесь речь идёт лишь о предельном переходе в некоторой окрестности гиперплоскости у1 = 0. Также Д. В. Аносов показывает, что любой конечный (в смысле времени) отрезок фазовой траектории приближается при N ^ к некоторой кривой, которая оказывается отрезком траектории системы (2).

А. Ф. Филиппов изучал [28, 27, §20, п. 3] двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых являются суммами двух кусочно непрерывных слагаемых, одно из которых разрывно на одной гладкой линии, другое - на другой, и эти линии пересекаются под ненулевым углом. Если сделать замену переменных так, чтобы эти две линии стали осями координат, то система примет вид

у = /г(У1 ,У2)+ дДуъЫ, г = 1 2; (4)

функции /% разрывны только на оси Оу2, дг - только на Оу1. На линиях разрыва используется простейшее выпуклое доопределение по Филиппову (см. [26] и определение 1.1 ниже). Исследуется поведение решений системы (4) вблизи точки пересечения линий разрыва. Рассматриваемая нами релейная система (1) при п = 2 является частным случаем системы (4) (можно взять /¿(У1,У2) = Р% sgnу1 + гауь д»(уьу2) = 4% sgnУ2 + ^2, г = 1, 2). Из результатов [27, §20, п. 3] и [28] получается полный ответ на вопрос об устойчивости нулевого решения двумерной релейной системы (1), параметры которой принадлежат открытому всюду плотному множеству в пространстве параметров этой системы, указанному в формулировке утверждения 3.1. (При п = 2 исходная релейная система (1) уже является приведённой, определение приведённой системы см. ниже.) Вышеуказанные результаты А. Ф. Филиппова дают в частном случае при п = 2 утверждения случаев (1)—(у) теоремы 3.1, случаев (!)—(11) теорем 3.2 и 3.3, а также утверждение теоремы 3.4.

В работах Р. И. Алидемы [2, 3] рассматривалась двумерная система обыкновенных

дифференциальных уравнений вида

у/1 = а + Ь sgn + о sgn у2 ,

//2 = й + е sgn/1 + f sgn/2,

где а, Ь,... , f - непрерывно дифференцируемые в окрестности начала координат функции от /1,/2. На линиях /1 = 0 и /2 = 0 разрыва правых частей уравнений системы (5) используется простейшее выпуклое доопределение по Филиппову. Р. И. Алидема исследовал устойчивость нулевого решения системы (5) в случаях, когда коэффициенты рядов Тейлора функций а, Ь,... , f с центром в начале координат удовлетворяют некоторым условиям типа равенств. Рассматриваемая нами релейная система (1) при п = 2 является частным случаем системы (5) с а(/ь/2) = гп/1 + Г12У2, Ь(/1, /2) = Р1, 0(^1,^2) = 91, й(уь/2) = Г21/1 + Г22У2, е(/1,/2) = р2, f (/1,/2) = 92. Результаты Р. И. Алидемы [3] дают в частном случае при п = 2 утверждение случая (111) теоремы 3.2 и часть утверждения случая (ш) теоремы 3.3.

Цель работы. Целью работы является изучение устойчивости нулевого решения системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле вида (1) при различных значениях параметров р1,... ,рп, 91,... , 9п, г3, 1 ^ г, ] ^ п, п ^ 2, этой системы.

Методы исследования. В работе используются методы теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, методы качественной теории систем дифференциальных уравнений и теории устойчивости.

Основные результаты диссертации. Если А := р1д2 — р2д1 = 0, то, вычитая из всех уравнений системы (1), начиная с третьего, первые два с подходящими коэффициентами, её можно привести к виду

' п

Х 1 = а1 sgn х1 + Ь1 sgn х2 + ^^ оу х3-,

3 = 1

п

< х2 = а2 sgn Х1 + Ь2 sgn Х2 + ^ 023Ху , (6)

3=1

п

Хг = ^^ 0^3Ху, г = 3,... , п (если п = 2, то этих уравнений нет).

3=1

При этом хк = , ак = , Ьк = , к =1, 2, А = а1Ь2 — а2Ь1. Релейную систему вида (6) мы будем называть приведённой. Если п = 2, то рассматриваемая система (1) изначально имеет вид (6), т.е. является приведённой.

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) Полностью исследована устойчивость нулевого решения приведённой системы для открытого всюду плотного множества в пространстве параметров а1, 61, а2, Ь2, е^, 1 < г,3 < п, этой системы, заданного неравенствами Д = 0, а1 + Ь1 = 0, —а1 + Ь1 = 0, а2 + Ь2 = 0, —а2 + Ь2 = 0 и, если |а1| < |Ь1|, |Ь2| < |а2|, а261 < 0, то дополнительно г := а1|а2| + Ь2|Ь1| = 0 (случаи (1)—(у) теоремы 3.1, случаи (1)—(11) теорем 3.2 и 3.3, теорема 3.4, утверждение 3.1).

2) Частично решён вопрос об устойчивости нулевого решения для множества приведённых систем, параметры которых принадлежат одной из следующих граничных гиперповерхностей вышеупомянутого открытого всюду плотного множества: |а1 + Ь1 = 0}, {—а1 + Ь1 = 0}, |а2 + Ь2 = 0}, {—а2 + Ь2 = 0} (случаи (у1)—(1х) теоремы 3.1, теорема 3.2, теорема 3.3).

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно, обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами.

Результаты диссертации являются обобщением результатов Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского [7] и Д. В. Аносова [4] на случай релейной системы с двумя реле, а также результатов А. Ф. Филиппова [28, 27, §20, п. 3] и Р. И. Алидемы [2, 3] на случай произвольной размерности системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями вида (1).

Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся основные результаты диссертации:

1) Полностью исследована устойчивость нулевого решения приведённой системы для открытого всюду плотного множества в пространстве параметров а1, Ь1, а2, Ь2, е^-, 1 < г,3 < п, этой системы, заданного неравенствами Д = 0, а1 + Ь1 = 0, —а1 + Ь1 = 0, а2 + Ь2 = 0, —а2 + Ь2 = 0 и, если |а1| < |Ь1|, |Ь2| < |а2|, а261 < 0, то дополнительно г := а1|а2| + Ь2|Ь1| = 0 (случаи (1)—(у) теоремы 3.1, случаи (1)—(11) теорем 3.2 и 3.3, теорема 3.4, утверждение 3.1).

2) Частично решён вопрос об устойчивости нулевого решения для множества приведённых систем, параметры которых принадлежат одной из следующих граничных гиперповерхностей вышеупомянутого открытого всюду плотного множества: {а1 + Ь1 = 0},

{—а1 + Ь1 = 0}, {а2 + Ь2 = 0}, {—а2 + Ь2 = 0} (случаи (у1)-(1х) теоремы 3.1, теорема 3.2, теорема 3.3).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Все полученные в диссертации результаты сформулированы в виде строгих математических утверждений и обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами. Результаты работы могут использоваться в исследованиях устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, в том числе возникающих в прикладных задачах. Результаты диссертации могут также найти применение при чтении специальных курсов по дифференциальным уравнениям и теории устойчивости для студентов, магистрантов и аспирантов математических, физических и инженерных специальностей.

Степень достоверности и апробация результатов работы. Результаты диссертации являются достоверными, обоснованы строгими и подробными математическими доказательствами, опубликованы в четырёх печатных работах автора [14, 15, 16, 17], из них две [16, 17] - в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, две [14, 15] - в тезисах международных конференций. Работ, написанных в соавторстве, автор не имеет.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Международная конференция «Системы Аносова и современная динамика», посвящён-ная 80-летию со дня рождения Д. В. Аносова (г. Москва, 19-23 декабря 2016 г.);

• Международная школа-конференция «Соболевские чтения» (г. Новосибирск, 18-22 декабря 2016 г.);

• Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика и управление» (МГУ им. М. В. Ломоносова, 2016 г.);

• Семинар «Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление» под руководством акад. РАН С. В. Емельянова (кафедра нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М. В. Ломоносова, 2016 г.);

• Семинар отдела математической физики Математического института им. В. А. Стек-лова РАН под руководством чл.-корр. РАН И. В. Воловича (2016 г.);

• Семинар «Проблемы математической теории управления» под руководством чл.-корр. РАН С. М. Асеева, д. ф.-м. н., проф. М. С. Никольского (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2015 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх печатных работах автора [14, 15, 16, 17], из них две [16, 17] - в журналах, входящих в перечень рецензируемых научных изданий ВАК, две [14, 15] - в тезисах международных конференций. Работ, написанных в соавторстве, автор не имеет.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и списка иллюстративного материала. В заключении имеется таблица 1, в которой сведены результаты исследования устойчивости нулевого решения приведённой системы, полученные в настоящей диссертации. Все теоремы, леммы, следствия, утверждения, а также занумерованные замечания и определения в диссертации имеют двойную нумерацию. Первое число (1, 2 или 3) обозначает номер главы, второе - номер соответствующего утверждения или определения внутри главы. Формулы в настоящей работе нумеруются следующим образом. Во введении и в заключении используется одинарная нумерация, в основном тексте - двойная. Первое число (1,2 или 3) обозначает номер главы, второе - номер формулы внутри главы. Список литературы содержит 33 наименования. Список иллюстративного материала содержит 1 наименование (таблицу 1). Общий объём текста - 99 страниц.

Основное содержание диссертации

Работа посвящена изучению устойчивости нулевого решения системы вещественных обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле вида (1) при различных значениях параметров р1,... ,рп, 91,..., 9п, гг3-, 1 ^ г, ] ^ п, этой системы.

Во введении даётся общая характеристика диссертации и излагается основное содержание работы, кратко раскрывающее содержание глав диссертации.

В главе 1 излагаются три наиболее часто используемые способа доопределения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями в точках разрыва правых частей уравнений такой системы - простейшее выпуклое

доопределение по Филиппову (см. [26] и определение 1.1 ниже), доопределение методом эквивалентного управления (см. [24] и определение 1.2 ниже) и общее доопределение по Айзер-ману — Пятницкому (см. [1] и определение 1.3 ниже). В изложении этих доопределений мы следуем книге А. Ф. Филиппова [27]. Каждое из этих доопределений может быть изложено следующим образом. Система дифференциальных уравнений в векторной записи у = / (у) с кусочно непрерывной вектор-функцией /(у) заменяется дифференциальным включением вида у е F(у).

Рассмотрим систему в векторной записи

у = / (у), (7)

где вектор-функция /(у) кусочно непрерывна в области С С Ега; у е С, у = М —

множество (меры нуль) точек разрыва функции /. Для каждой точки у е С указывается множество F(у) С Кга. Если в точке у функция / непрерывна, то множество F(у) состоит из одной точки, совпадающей со значением функции / в этой точке. Если у — точка разрыва функции /, то множество F(у) задаётся тем или иным способом. Например, в простейшем выпуклом доопределении по Филиппову (см. [26]) F(у) — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции /(у*), когда у* е М, у* ^ у.

Определение. Решением дифференциального включения у е F(у) называется абсолютно непрерывная вектор-функция у(£), определённая на интервале или отрезке I, для которой почти всюду на I у(£) е F(у(£)).

Определение. Решением системы (7) называется решение дифференциального включения

у е F(у).

В главе 1 устанавливаются связи между тремя вышеуказанными способами доопределения. В ней также показывается, что для доопределения рассматриваемой системы (1) на гиперплоскостях у1 = 0 и у2 = 0 разрыва правых частей уравнений этой системы и на пересечении этих гиперплоскостей применимы все три вышеизложенные способа, причём для системы (1) все три доопределения совпадают. С помощью простейшего выпуклого доопределения по Филиппову доказывается, что при любых значениях параметров р1,... ,рп, д1,... , дга, Гу, 1 ^ г,3 ^ п, релейной системы (1) набор функций уг(£) = 0, г = 1,..., п, является решением этой системы.

В дальнейшем мы испольуем более удобный вид системы (1), к которому она сводится линейной заменой координат. Именно, если А := р1д2 — р2д1 = 0, то, вычитая из всех уравнений системы (1), начиная с третьего, первые два с подходящими коэффициентами, её можно привести к виду (6). При этом хк = ук, ак = рк, Ьк = , к =1, 2, А = а1Ь2 — а2Ь1. Релейную систему вида (6) мы называем приведённой. Если п = 2, то рассматриваемая система (1) изначально имеет вид (6), т.е. является приведённой. В конце главы 1 указаны некоторые симметрии, которые не меняют вид приведённой системы, и описано, как меняются матрицы А := (а, ь1) и С := (ог3при каждой из этих симметрий.

Глава 2 посвящена доопределению приведённой системы на гиперплоскостях х1 = 0 и х2 = 0 разрыва правых частей уравнений системы и на пересечении этих гиперплоскостей. В ней даётся определение существования (отсутствия) движения в приведённой системе всюду на некотором множестве.

Определение. В приведённой системе всюду на множестве У С Еп существует движение, если через каждую точку множества У проходит решение приведённой системы, движущееся по этому множеству в течение некоторого промежутка времени.

В приведённой системе нигде на множестве X С Еп не существует движения, если не существует решения приведённой системы, которое в течение некоторого промежутка времени двигалось бы по множеству X.

В леммах 2.1 и 2.2 изучается наличие или отсутствие движений в приведённой системе в достаточно малых окрестностях начала координат на гиперплоскостях соответственно х1 = 0 и х2 = 0 разрыва правых частей уравнений системы вне пересечения этих гиперплоскостей. В лемме 2.5 указаны некоторые значения параметров а1, Ь1, а2, Ь2, ог3-, 1 ^ г,] ^ п, приведённой системы, при которых в этой системе всюду в достаточно малой окрестности начала координат на пересечении гиперплоскостей х1 = 0 и х2 = 0 разрыва правых частей уравнений системы существует движение. В леммах 2.3, 2.4, 2.6 дан вывод уравнений движений в приведённой системе на множествах {х1 = 0,х2 = 0}, {х1 = 0,х2 = 0}, {х1 = 0,х2 = 0} соответственно, если такие движения существуют. Ради удобства мы пользуемся доопределением методом эквивалентного управления (см. доказательства лемм 2.3 и 2.6). В условиях следствия 2.3 (из леммы 2.6) в достаточно малой окрестности начала координат на множестве {х1 = 0,х2 = 0} движение в приведённой системе описывается системой линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов (0г3)з<г,кп. Для формулировки результатов об устойчивости этого движения на языке матриц

в главе 2 вводится определение устойчивости квадратной матрицы. Определение. Комплексная квадратная матрица Б называется

• асимптотически устойчивой, если вещественные части всех её собственных значений отрицательны;

• устойчивой, если вещественные части всех её собственных значений неположительны и для каждого чисто мнимого её собственного значения все соответствующие жордановы клетки имеют размер 1;

• неустойчивой, если у неё существует собственное значение с положительной вещественной частью или чисто мнимое собственное значение, для которого хотя бы одна из соответствующих жордановых клеток имеет размер ^ 2.

Вводимые термины для устойчивости матрицы Б отвечают тому же типу устойчивости нулевого решения соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Х — Бх.

При выполнении условий следствия 2.3 устойчивость движения в приведённой системе в достаточно малой окрестности начала координат на множестве {х1 = 0,х2 = 0} совпадает с устойчивостью подматрицы (су )з^,Кп.

В главе 3 изучается устойчивость нулевого решения приведённой системы при различных значениях параметров а1, Ь1, а2, Ь2, су, 1 ^ г,3 ^ п, этой системы. В начале главы даётся определение устойчивости решения дифференциального включения вида хГ е F(х).

Определение. Решение х = ¿0 ^ Ъ < дифференциального включения хГ е F(х) называется

• устойчивым, если для каждого е > 0 существует такое 8 > 0, что для каждого такого ж0, что |жо — ^(¿0)| < 8, каждое решение ж(Ъ) с начальным условием ж(Ъ0) = ж0 при ¿0 ^ Ъ < существует и удовлетворяет неравенству |ж(Ъ) — < е, ¿0 ^ Ъ <

• асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, ж(Ъ) — ^ 0 при

В теореме 3.1 рассматриваются некоторые значения параметров приведённой системы, при которых в случае п = 2 нулевое решение приведённой системы асимптотически устойчиво, а в случае п ^ 3 устойчивость нулевого решения приведённой системы совпадает с устойчивостью подматрицы (су )3^,кп.

Теорема 3.1. Пусть п ^ 2 и выполнена хотя бы одна из следующих систем условий:

(I) |Ь11 < —аь |а21 < —Ь2;

(II) А > 0, |Ь11 > —а1, |а2| < —Ь2;

(III) |а 11 < Ьь |Ь21 < —а2, г := а^| + 1| < 0; (1у) А > 0, |Ь11 < — аь |а2| > —Ь2;

(у) |а 11 < —Ь1, |Ь21 < а2, г < 0;

(у1) а1 + Ь1 = 0, —а1 + Ь1 > 0, справедливо одно из двух неравенств: |а2| < —Ь2 либо |Ь2| <

< —а2, и, кроме того, при п ^ 3 с12 = 0 или (с12,..., с1п) = (0,..., 0) (при п = 2 это условие тривиально);

(у11) —а1 + Ь1 = 0, а1 + Ь1 < 0, справедливо одно из двух неравенств: |а21 < —Ь2 либо |Ь2| < а2, и, кроме того, при п ^ 3 с12 = 0 или (с12,..., с1п) = (0,..., 0) (при п =2 это условие тривиально);

(у111) а2 + Ь2 = 0, —а2 + Ь2 < 0, справедливо одно из двух неравенств: |Ь1| < —а1 либо |а11 <

< —Ь1, и, кроме того, при п ^ 3 с21 = 0 или (с21 , с23,с24,..., с2п) = (0,..., 0) (при п = 2 это условие тривиально);

(1х) —а2 + Ь2 = 0, а2 + Ь2 < 0, справедливо одно из двух неравенств: |Ь1| < —а1 либо |а1| < Ь1, и, кроме того, при п ^ 3 с21 = 0 или (с21, с23, с24,..., с2п) = (0,..., 0) (при п = 2 это условие тривиально).

Тогда при п = 2 нулевое решение приведённой системы асимптотически устойчиво, а при п ^ 3 устойчивость нулевого решения приведённой системы совпадает с устойчивостью подматрицы (с^-)3^,^п.

Доказательство основано на развитии идей Д. В. Аносова. В работе Д. В. Аносова [4] используется функция Жа(ж1,... , хп) = а|х1| + ^Д/хгх^, а > 0. Для наших целей нужно обобщить конструкцию, учитывая два слагаемых а|х1|, а > 0, и в|х21, в > 0. Мы будем рассматривать функцию (х1,... ,хп) := а|х1| + в|х21 + ^!=3 х| (при п = 2 - функцию (х1,х2) := а|х1| + в|х2|). Отметим, что (0,... , 0) = 0. Если а > 0, в > 0, то > 0 на множестве Кп \ {(0,... , 0)}. При выполнении любой из систем условий, указанных в

формулировке теоремы 3.1, существует решение (а0,в0) системы неравенств (относительно переменных а, в) а(а1 + Ь1) + в(«2 + Ь2) < 0, а(а1 — Ь1) + в(—а2 + Ь2) < 0 такое, что а0 > 0, во > 0. Поэтому во всех случаях (1)—(1х) найдётся такая окрестность К начала координат, что на множестве К П {х1 = 0,х2 = 0} производная функции Wa0,lз0 в силу приведённой системы отрицательна и отделена от нуля константой. Далее доказывается, что существует такая окрестность W начала координат и такие множества </, К, Ь, М, что:

1) W1 := W П{х1 = 0,х2 = 0} С 3 и К1 (допускается, что одно из объединяемых множеств пусто), где Л := 3 П {х1 = 0,х2 = 0}, К := К П {х1 = 0,х2 = 0}, в приведённой системе всюду на множестве ,11 есть движение, в котором производная функции Wao,в0 отрицательна и отделена от нуля константой, нигде на множестве К не существует движения;

2) W2 := WП{х1 = 0, х2 = 0} С Ь2иМ2 (допускается, что одно из объединяемых множеств пусто), где Ь2 := Ь П {х1 = 0,х2 = 0}, М2 := М П {х1 = 0,х2 = 0}, в приведённой системе всюду на множестве Ь2 есть движение, в котором производная функции Wao,в0 отрицательна и отделена от нуля константой, нигде на множестве М2 не существует движения.

Из вышеизложенного следует, что в каждом из случаев (1)—(1х) любое решение приведённой системы, находящееся в начальный момент времени в достаточно малой окрестности начала координат, достигает множества {х1 = 0,х2 = 0} за конечное время. Таким образом, при п = 2 в каждом из случаев (1)—(1х) теоремы 3.1 нулевое решение приведённой системы асимптотически устойчиво. При п ^ 3 в каждом из случаев (1)—(1х) теоремы 3.1 в приведённой системе всюду в достаточно малой окрестности начала координат на множестве {х1 = 0,х2 = 0} существует движение (см. лемму 2.5 и замечание 2.1). Кроме того, при п ^ 3 в каждом из случаев (1)—(1х) теоремы 3.1 выполнены условия следствия 2.3, которое устанавливает, что устойчивость движения в приведённой системе в достаточно малой окрестности начала координат на множестве {х1 = 0, х2 = 0} совпадает с устойчивостью подматрицы (суИтак, при п ^ 3 в каждом из случаев теоремы 3.1 устойчивость нулевого решения приведённой системы совпадает с устойчивостью подматрицы (су

В теоремах 3.2, 3.3, 3.4 указаны некоторые значения параметров приведённой системы, при которых нулевое решение системы неустойчиво.

Если А = 0, то в достаточно малой окрестности начала координат основной вклад в

вектор фазовой скорости приведённой системы в любой из координатных четвертей {х1 > > 0,х2 > 0}, {х1 < 0,х2 > 0}, {х1 < 0,х2 < 0}, {х1 > 0,х2 < 0} вносят ненулевые постоянные слагаемые а1 sgn х1 + Ь1 sgn х2 и а2 sgn х1 + Ь2 sgn х2 из уравнений для хх 1 и хх2 соответственно. В теореме 3.2 приведены некоторые случаи, в которых решение приведённой системы с начальным значением на множестве {х1х2 > 0} (случаи (1), (111), (1у)) или на множестве {х1х2 < 0} (случаи (11), (у), (у1)), сколь угодно близким к началу координат, отходит от начала координат, двигаясь по соответствующему множеству. Поэтому в этих случаях нулевое решение приведённой системы неустойчиво.

Теорема 3.2. Пусть п ^ 2, А = 0 и выполнена хотя бы одна из систем условий:

(I) а1 + Ь1 > 0, а2 + Ь2 > 0;

(II) —а1 + Ь1 < 0, —а2 + Ь2 > 0;

(III) а1 + Ь1 = 0, а2 + Ь2 > 0, с12 > 0;

(1у) а2 + Ь2 = 0, а1 + Ь1 > 0, С21 > 0;

(у) —а1 + Ь1 = 0, —а2 + Ь2 > 0, С12 < 0; (у1) —а2 + Ь2 = 0, —а1 + Ь1 < 0, с21 < 0.

Тогда нулевое решение приведённой системы неустойчиво.

Если А = 0, существует открытое множество О (соответственно, ^) такое, что О1 э О (соответственно, э О), где О1 := О П {х1 = 0,х2 = 0} (соответственно, := ^ П {х1 = 0,х2 = 0}), в приведённой системе всюду на множестве О1 (соответственно, на множестве ) существует движение, то из леммы 2.3 (соответственно, из леммы 2.4) следует, что в достаточно малой окрестности начала координат основной вклад в вектор фазовой скорости в этом движении вносит постоянное слагаемое (А/a1)sgn х2 (соответственно, (А/Ь2) sgn х1) из уравнения для хх2 (соответственно, для хх 1). В теореме 3.3 собрано несколько случаев, в которых решение приведённой системы с начальным значением на множестве {х1 = 0,х2 = = 0} (случаи (1), (111), (1у)) или на множестве {х1 = 0,х2 = 0} (случаи (11), (у), (у1)), сколь угодно близким к началу координат, отходит от начала координат, двигаясь по соответствующему множеству. Следовательно, в этих случаях нулевое решение приведённой системы неустойчиво.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лосев Андрей Александрович, 2017 год

Список литературы

[1] Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II // Автомат. и телемех. 1974. Т. 35. № 7. С. 33-47; № 8. С. 39-61;

[2] Алидема Р.И. Исследование устойчивости системы с двумя линиями разрыва в критических случаях второго порядка. II // Вестн. ЛГУ. 1985. № 15. С. 3-10;

[3] Алидема Р.И. Исследование устойчивости системы с двумя линиями разрыва в критических случаях первого порядка // Publ. Inst. Math. 1979. V. 26 (40). P. 19-25;

[4] Аносов Д.В. Об устойчивости положений равновесия релейных систем // Автомат. и телемех. 1959. Т. 20, № 2. С. 135-149;

[5] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967;

[6] Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970;

[7] Болтянский В.Г., Понтрягин Л.С. Об устойчивости положения равновесия «релейной» системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды третьего всесоюзного математического съезда / Под ред. Никольского С.М. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 1. С. 217-218;

[8] Гришин С.А., Уткин В.И. О доопределении разрывных систем // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 2. С. 227-235;

[9] Емельянов С.В. Теория систем автоматического управления с переменной структурой: зарождение и начальный этап развития // Нелинейная динамика и управление. Сборник статей / Под ред. Емельянова С.В., Коровина С.К. М., 2004. Вып. 4. С. 5-16;

[10] Емельянов С.В., Уткин В.И., Таран В.А. и др. Теория систем с переменной структурой. М.: Наука, 1970;

[11] Изосимов Д.Б., Уткин В.И. Об эквивалентности систем с большими коэффициентами и систем с разрывными управлениями // Автомат. и телемех. 1981. Т. 42. № 11. С. 189-191;

[12] Леонов Г.А. Теория управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006;

[13] Лозгачев Г.И. Достаточные условия устойчивости одного класса разрывных систем // Сб. трудов ВНИИ систем. исслед. 1980. № 4. С. 21-24;

[14] Лосев А.А. Достаточные условия неустойчивости положений равновесия релейных систем // Тезисы докладов Международной конференции «Системы Аносова и современная динамика», посвящённой 80-летию со дня рождения Д. В. Аносова. Москва. 2016. С. 78-79;

[15] Лосев А.А. Достаточные условия устойчивости положений равновесия релейных систем // Тезисы докладов Международной школы-конференции «Соболевские чтения». Новосибирск. 2016. С. 114;

[16] Лосев А.А. Исследование устойчивости нулевого решения релейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53;

[17] Лосев А.А. Устойчивость нулевого решения релейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя реле // Тр. МИАН. 2015. Т. 291. С. 182-201;

[18] Ляпунов А.М. О постоянных движениях твёрдого тела в жидкости // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. 1888. Т. 1, № 1. С. 7-60;

[19] Ляпунов А.М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжёлого твёрдого тела, имеющего неподвижную точку // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. Сер. 2. 1894. Т. 4, № 3. С. 123-140;

[20] Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892; М.; Л.: Гостех-теориздат, 1950;

[21] Неймарк Ю.И. О скользящем режиме релейных систем автоматического регулирования // Автомат. и телемех. 1957. Т. 18. № 1. С. 27-33;

[22] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974;

[23] Уткин В.И. Короткий комментарий к методу А. Ф. Филиппова продолжения решения на границе разрыва // Автомат. и телемех. 2015. Т. 76. № 5. С. 165-174;

[24] Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981;

[25] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 10. С. 1814-1823;

[26] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью // Матем. сб. 1960. Т. 51 (93), № 1. С. 99-128;

[27] Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985;

[28] Филиппов А.Ф. Исследование системы дифференциальных уравнений с двумя пересекающимися линиями разрыва // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1979. № 6. С. 68-75;

[29] Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Матем. заметки. 1980. Т. 27. № 2. С. 255-266;

[30] Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 6. С. 1018-1027;

[31] Финогенко И.А. О дифференциальных уравнениях с разрывной правой частью // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3. № 2. С. 88-102;

[32] Liapounoff A.M. Sur une série dans la théorie des equations différentielles linéaires du second ordre a coefficients periodiques // Зап. Акад. наук по физ.-мат. отд. Сер. 8. 1902. Т. 13, № 2. С. 1-70;

[33] Painleve P. Leçons sur le frottement. Paris: Hermann, 1895. Русск. пер.: Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954.

Список иллюстративного материала

Таблица 1. Сводная таблица результатов исследования устойчивости нулевого

решения приведённой системы, полученных в настоящей работе ........ 86