Устойчивость и тепловые эффекты в кристаллических материалах при больших деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Панченко Артем Юрьевич

• Панченко Артем Юрьевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Панченко Артем Юрьевич

2.2 Поджатие связей

2.3 Энергия системы

2.4 Релаксация энергии

2.5 Алгоритм исследования устойчивости методом молекулярной динамики

2.6 Области устойчивости треугольной решетки

2.7 Физический смысл границ областей устойчивости треугольной решетки

2.8 Релаксация структуры после потери устойчивости

2.9 Трехмерные кристаллические структуры

2.10 Физический смысл границ областей устойчивости ГЦК решетки

2.11 Выводы

3 Уравнение состояния идеальных кристаллов

3.1 Исследование термодинамических параметров двумерных кристаллических структур

3.2 Зависимость компонент тензора (А & А &) от параметров моделирования

3.3 Корреляционный тензор

3.4 Детерминированная задача определение корреляций перемещений частиц в идеальной решетке

3.5 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение Актуальность темы

Развитие технологических методов создания искусственных наноразмерных структур, таких как фуллерены, нанотрубки, нановолокна, графен, наноалма-зы и т.п., приводит к необходимости описывать и проводить предсказательное моделирование поведения таких структур при различных термомеханических воздействиях. Важным методом, позволяющим детально изучить процессы на микро- и папоуровне, является метод молекулярной динамики. Круг задач, которые удается описать с помощью данного метода, ограничен прежде всего размером моделируемой системы, в особенности это справедливо для ab initio методов. Для решения этой проблемы применяются эмпирические потенциалы взаимодействия, уменьшающие вычислительную сложность алгоритмов, и моделирование континуальными методами отдельных областей системы, в которых не нарушается сплошность материала. Для применения методов сплошной среды в этом качестве необходимо составить уравнения состояния дискретной системы и определиить условия нарушения сплошности или изменения структуры материала. На данном масштабном уровне монокристаллические элементы наноструктуры являются практически бездефектными, в связи с этим актуальным является исследование термомеханических свойств идеальных кристаллических структур, проведенное в данной работе. Отсутствие дефектов в монокристаллах существенно увеличивает их прочность, а устойчивость структуры может нарушаться до достижения критических напряжений вдоль пути деформирования, вследствие произвольных малых флуктуаций.

В настоящей работе проводится апробация и уточнение уравнения состояния и выражения для вычисления термомеханических напряжений в дискретной системе, частицы которой взаимодействуют посредством парного силового потенциала, что позволяет не только предсказывать поведение кристаллов и использовать аналитические методы для описание сред с микроструктурой, но и может применяться для определения параметров потенциалов. Примене-

ние метода молекулярной динамики для определения областей устойчивости в пространстве деформаций дало возможность сравнить полученные области с результатами аналитических расчетов и исследовать двухфазные состояния материала после потери устойчивости.

Таким образом, определение и предсказание термомеханических параметров материалов с дискретной структурой, а также границ устойчивости материала и параметров двухфазных состояний являются актуальными задачами механики деформируемого твердого тела.

Методика исследований

Исследования в данной диссертационной работе проводятся методами механики сплошной среды и методом молекулярной динамики. Движение частиц описывается законами классической механики. Определение макроскопических параметров системы проводится с использованием выражений, являющихся дискретными аналогами уравнений механики сплошной среды. Объектом исследования является идеальная кристаллическая решетка, в двумерном случае — треугольная и квадратная, в трехмерном — гранецентрированная и объемно-центрированная кубические решетки. Взаимодействие между частицами описывается парными силовыми потенциалами. Проводится сравнение результатов молекулярно-динамического моделирования с аналитическими выражениями, полученными путем перехода с помощью длинноволнового приближения от дискретной системы к эквивалентному континууму и использования методов механики сплошной среды.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и тепловые эффекты в кристаллических материалах при больших деформациях»

Цель работы

Целью данной работы является уточнение и получение области применимости аналитических выражений, связывающих макроскопические параметры сплошной среды (коэффициента Грюнайзена и области устойчивости кристаллической структуры) с параметрами межчастичного взаимодействия.

Научная новизна

Новизну работы составляют следующие положения, выносимые на защиту:

1. Методом динамики частиц определены области устойчивости треугольной решетки в пространстве конечных деформаций при парном силовом взаимодействии. Показано, что области устойчивости кристаллической решетки соответствуют областям сильной эллиптичности уравнений равновесия эквивалентной сплошной среды.

2. Исследована микроструктура неоднородных состояний после потери устойчивости треугольной решетки, в том числе, при структурном переходе из треугольной в квадратную решетку. Выявлены механизмы релаксации энергии при структурном переходе.

3. Получены уточненные коэффициенты тензорного уравнения состояния Ми-Грюнайзена. Выяснена их зависимость от параметров моделирования, температуры и деформаций в устойчивых точках пространства конечных деформаций.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов достигается путем сравнения с экспериментальными данными, использованием апробированных методик моделирования, сравнения с аналитическими оценками для случаев, допускающих аналитическое исследование. Полученные в работе области устойчивости идеальной кристаллической решетки при парном силовом взаимодействии полностью соответствуют аналитически определенным областям сильной эллиптичности уравнений равновесия эквивалентного континуума в пространстве деформаций. Двухфазные состояния, образующиеся после потери устойчивости, хорошо согласуются с оценками теории фазовых переходов. Полученное в работе уравнение состояния основано на широко используемом в механике деформи-

руемого твердого тела уравнении состояния Ми-Грюнайзена. Показано соответствие функции Грюнайзена, полученной из макропараметров атомарной системы, аналитической оценке в широком интервале температур и напряженно-деформированных состояний.

Практическая значимость работы

Результаты данной работы могут быть использованы для идентификации параметров аналитических моделей в рамках механики деформируемого твердого тела и разработки эмпирических моделей, описывающих поведение дискретных систем. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными позволяет оценить предполагаемые результаты молекулярно-динамического моделирования и определить применимость модели для описания системы, а в случае достаточной точности модели определить параметры потенциалов. Результаты работы могут быть использованы в пакетах прикладных программ, включающих в себя определение и задание граничных условий в теплофизиче-ских процессах, как дополнение выражений, позволяющих адаптировать элементы сплошной среды, описываемых континуальными уравнениями, с дискретной системой. Сравнение областей устойчивости кристаллической решётки при парном силовом взаимодействии и областей устойчивости реальных кристаллов позволяет упростить определение параметров потенциала (в частности в методе погруженного атома) для описания структурных переходов из плотноупакованной гранецентрированной кубической в объемноцентрирован-ную кубическую решетку. Таким образом, результаты представленной работы могут быть использованы в разработке и создании оригинальных композитных материалов, обладающими высокими эксплуатационными характеристиками в широком диапазоне температур.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры Теоретическая механика СПбПУ,

Института гидродинамики им. Лаврентьева (Новосибирск), Физического факультета университета г. Севилья (Испания), а также на всероссийских и международных конференциях: Advanced Problems in Mechanics (г. Санкт-Петербург, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016), Международная научная конференция по механике Шестые Поляховские чтения (г. Санкт-Петербург, 2012), 8th European Solid Mechanics Conference (Австрия, г. Грац, 2012), European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes (Испания, г. Севилья, 2013), Euromech 2014 Colloquium 563 (Италия, г. Чистерна-Ди-Латина, 2014), Advances in Micromechanics of Materials (Польша, г. Жешув, 2014), «Физическая мезоме-ханика многоуровневых систем, Моделирование, эксперимент, приложения» (г. Томск, 2014), XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Казань, 2015), 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Канада, г. Монреаль, 2016).

Исследования автора на различных этапах работы поддерживались: Министерством образования и науки Российской Федерации в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы», Мероприятие 1.2., Соглашение о предоставлении субсидии № 14.575.21.0146 от 26.09.2017, уникальный идентификатор ПНИ: RFMEFI57517X0146 (глава 2); грантами президента РФ (исполнитель МК-4873.2014.1, исполнитель МК-1820.2017.1), РФФИ (руководитель 12-01-31297-мол_а, исполнитель 13-01-12076-офи_м, 14-01-00802-а, 14-01-31487-мол_а) (глава 3).

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав и заключения. Работа содержит 105 страниц, 55 рисунков, список литературы содержит 122 наименований.

Публикации по теме исследования

а) Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК:

1. Панченко, А.Ю., Подольская, Е.А., Кривцов, A.M. Анализ уравнения состояния и определение функции Грюнайзена двумерных кристаллических решеток / А.Ю.Панченко, Е.А.Подольская, А.М.Кривцов // Доклады академии наук. - 2017. - Т. 473. - №. 2. - С. 159-162.

2. Podolskaya, Е.А., Panchenko, A.Yu., Freidin, А.В., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Acta Mecha-nica. - 2016. - V. 227. - I. 1. - P. 185-201.

3. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E. A. Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // Surface Effects in Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. No 30. - Springer Berlin Heidelberg, 2013. - P. 123-133.

4. Подольская, E.A., Кривцов, A.M., Панченко, А.Ю. Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях / Е.А.Подольская, А.М.Кривцов, А.Ю.Панченко // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - №. 3. - С. 123-128.

5. Подольская, Е.А., Кривцов, A.M., Панченко, А.Ю., Ткачев, П.В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки / Е.А. Подольская, А.М.Кривцов, А.Ю.Панченко, П.В.Ткачев // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 442. - №. 6. - С. 755-758.

6. Podolskaya, Е.А., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, K.S.Bukovskaya // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 3. - P. 60-64.

7. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 2. - P. 84-90

б) Другие публикации:

1. Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Analysis of Mie-Griineisen equation of state for two-dimensional crystal lattices / A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM 2016), Monreal, Kanada. - 2016.

2. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. On stability of planar square lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Advanced Seminar Generalized Continua as Models for Materials with Multi-scale Effects or under Multi-field Actions. Magdeburg, Germany. - 2015.

3. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, А.В., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices. №483. / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of 9th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2015), Leganes-Madrid, Spain. - 2015.

4. Berinskii, I.E., Panchenko, A.Yu., Podolskaya, E.A. Modeling of elastic properties of molybdenum disulfide using a torque interaction potential. P. 49-50 // I.E.Berinskii, A.Yu.Panchenko, E.A.Podolskaya // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2015. - P. 124.

5. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, А.В., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of Advances in Micromechanics of Materials, Rzeszow, Poland. - 2014.

6. Panchenko, A.Yu., Kuzkin, V.A., Krivtsov, A.M. Analytical and numerical investigation of thermal expansion in crystal lattices / A.Yu.Panchenko, V.A. Kuzkin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of Advances in Micromechanics of Materials, Rzeszow, Poland. - 2014.

7. Panchenko, A.Yu. On stability of 2D lattices under finite strain within moment interaction approach using molecular dynamics / A.Yu.Panchenko // Book of abstracts of EUROMECH-Colloquium 563, Cisterna di Latina, Italy. - 2014.

8. Panchenko, A.Yu., Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M. MD modeling of structural transitions in solids with FCC and BCC crystal lattice with defects at nonzero temperature / A.Yu.Panchenko, E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov // CD-ROM Book of abstracts of European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes «EUROMAT 2013», Seville, Spain. - 2013.

9. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // CD-ROM Book of abstracts of 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria. - 2012.

10. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Structural transitions in 2D and 3D ideal crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // Book of abstracts of XL Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2012. - P. 70.

11. Подольская, E.A., Кривцов, A.M., Паичеико, А.Ю. Исследование устойчивости и фазового перехода в ГЦК решетке при больших деформациях / Е.А.Подольская, А.М.Кривцов, А.Ю.Панченко // Тезисы докладов Международной научной конференции по механике «Шестые Поляховские чтения», Санкт-Петербург. - 2012. - С. 241-242.

12. Podolskaya, Е.А., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, K.S.Bukovskaya // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2011. - P. 358-363.

13. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Kriv-

tsov // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg. - 2011. - P. 350-357.

Эпиграф

Законы термодинамики легко могут быть получены из принципов ст,ат,ист,ической механики, неполным, выражение которых они являются, но сами они являются, пожалуй, несколько слепым проводником, в наших поисках этих законов.

Гиббс

Обзор литературы

Статистическая механика сформулированная в начале 20 века Гиббсом [69] позволила связать микроскопические характеристики материалов с макроскопическими термодинамическими параметрами. Дальнейшее развитие статистического подхода для неравновесных процессов было выполнено Боголюбовым [7] в 1946г. Через 10 лет благодаря развитию вычислительной техники стал развиваться альтернативный подход - численное интегрирование уравнений движения для отдельных частиц. Первые работы посвященные методу динамики частиц были направлены на исследование неравновесных процессов и продемонстрировали одно из основные преимуществ метода - естественное описание структурных изменений, Баррон в 1955 году исследовал фазовые переходы в гелии [45], Олдер и Вейнрайт в 1957 году получили фазовую диаграмму системы твердых сфер [39]. Можно выделить два параметра определяющих поведение системы частиц: структура материала и потенциал взаимодействия, в следствии чего было опубликовано множество работ по вычислению термодинамических и механических параметров виртуальных материалов. Одним из направлений развития метода динамики частиц было усложнение потенциалов взаимодействия от парных центральных к многочастичным. Следует выделить работу Руффа 1977г. [103] в которой были получена формула для коэффициента теплового расширения материала Морзе, и исследована зависимость упругих модулей от температуры. Коэффициент теплового расширения для Ne, Ar, Кг, and Хе при использовании потенциала Леннард-Джонса и сравнение с сомосо-гласованной фонноной теорией в [95], с учетом дефектов [50]. В работе Шаха

[107] проведено исследование структуры и фазовых переходов материала Морзе в широком диапазоне давлений и температур, было показано, что радиус обрезания потенциала существенно влияет на устойчивость структуры материала. Температурная зависимость коэффициента теплового расширения для ионных кристаллов (модель твердых ионов, обол очечная модель) определена в работе [115]. В работе [47] выполнено сравнение коэффициента теплового расширения для различных парных потенциалов без учета притяжения частиц. Тепловое расширения титана при использовании потенциала погруженного атома было вычислено в работе [79], кремния и германия в [110]. Сравнение коэффициентов теплового расширения MgO при высоком давлении для shell model (SM)(парный) и breathing shell model (BSM)(ne центральный) проведено в [108]. Расчет теплового расширения ZnSe для потенциала Терзофа в [42].

Получение уравнений состояния для молекулярно динамической системы на основе методов статистической физики и в частности свободной энергии Гельм-гольца было выполнено для парных центральных потенциалов, ограничиваясь только ближайшими соседями в работе [72]. Самосогласованная фононная теория позволила получить хорошее согласие с расчетами вплоть до точки плавления. Для ГЦК с парным центральным взаимодействием свободная энергия Гельмгольца вычислена в работе [92]. В работе [116] показана линейная зависимость между коэффициентом Грюнайзена и производной модуля объемного сжатия по давлению при учете взаимодействия с первой координационной сферой.

Теоретическая прочность одна из важнейших и фундаментальных свойств твердых тел поскольку она определяет локальную неустойчивость в кристалле. Локальное нарушение структуры, как показано в работе [1] оказывает существенное влияние на течение жидкости в наноканалах. В работе [122] устойчивость двумерной решетки для потенциала Ми определяется их анализа тензора жесткости. Однако отмечается возможность волновой неустойчивости. В работах Юмено [113] показана необходимость исследовать не только локаль-

ную, но и глобальную неустойчивость связанную с коллективным движением атомов. Определено влияние температуры и дефектов на локальную и глобальную неустойчивость, критическое сдвиговое напряжение линейно зависит от температуры, в отличии от критической деформации. Условием устойчивость является положительная определённость матрицы Гессиана [112]. В работе [13] методом молекулярной динамики исследовано влияние толщины пленки и температуры на фазовую стабильность ОЦК-циркония с использованием модели погруженного атома. В работах Псахье [34] для модели погруженного атома показано образование областей с локальным изменением структуры в условиях динамического нагружения и тепловых флуктуаций. В работе [83] исследовано зарождение дефектов в кристаллитах железа, ванадия и меди при высокоэнергетических воздействиях.

1 Обзор методов исследования устойчивости и описания термомеханических процессов в конденсированных сре-

1.1 Методы вычисления макроскопических параметров для системы взаимодействующих частиц

Введем выражения связывающие микроскопические параметры материала и параметры эквивалентной сплошной среды.

Потенциальная и удельная потенциальная энергия вычисляется по определению:

где П — выбранный потенциал взаимодействия, Ак — модуль вектора, соединяющего центры пары частиц, N — количество частиц в системе.

Кинетическая и удельная кинетическая энергия определяется скоростями частиц относительно центра масс системы:

дах

(1)

п

где т — масса частиц, уп — модуль вектора скорости относительно центра масс системы частиц.

Тогда температура вводится, как мера средней кинетической энергии:

т -2К »

где кь — постоянная Больцмана.

Выражение для тензора напряжений Коши и тензора напряжений Пиолы дискретной системы при отсутствии теплового движения было получено в [23],

1

Т = 2У

F k, (4)

k

P = 2V0 Е akFk, (5)

k

и было показано, что т соответствует тензору напряженнй Коши, a P соответствует тензору напряжений Пиолы в эквивалентной сплошной среде, V0 и V — объем системы в отсчетной и актуальной конфигурации.

Задача определения тензора напряжений в дискретной системе при тепловом движении существенно сложнее, что привело к появлению различных подходов для расчета давления и тензора напряжений. Классическим считается выражение, полученное Р.Клазиусом [51] на основе теоремы о вириале, и обобщение выражения Клаузиуса, выполненное Д.Цайем [111].

2 ~ 1

ру = 3 <ЕшЬ + <А* Гк >*. (6)

к

где < >г осреднение по времени.

Видим, что при отсутствии движения (6) полностью совпадает со следом тензора (4). Данное выражение использовалось во многих классических работах [40, 78, 63] по моделированию методом молекулярной динамике и встроено в пакеты моделирования, в частности ЬАММРБ, ОГЮ.МЛОЗ и другие. Существенным вопросом, обсуждавшимся во многих работах, является вид выражения (6) для систем с периодическими граничными условиями, поскольку изначально выражение записано для образца с жесткими стенками. В работе [91]

показано, что для системы с периодическими граничными условиями необхо-

ят т

димо дополнительное слагаемое в правой части вида—ЗУ отвечающее изменению положения образов частиц при изменении объема. Вид этого слагаемого был определён Х.Беккером [46] для систем с парным потенциалом взаимодействия и А.Томсоном [109] для систем с многочастичным взаимодействием. В этих работах было показано, что в отличие от классического определения, где в сумме учитываются взаимодействия только тех частиц, что находятся внутри выбранного объема, нужно учитывать и взаимодействия с «образами» частиц, появляющимися в следствии периодических граничных условий.

Следующим широко используемым подходом является метод, разработанный Дж.Ирвином и Дж.Криквудом [80] с использованием уравнения Лиувиля для вычисления локально равновесного тензора напряжений в неравновесных задачах. Строгое математическое обоснование приводятся в работе В.Нолла [87]. Практическому применению данных выражений препятствовали ряд сложностей: 1) необходимо проводить усреднение по ансамблю; 2) использование в формулах бесконечных рядов для учета вклада потенциального взаимодействия; 3)необходимость аппроксимировать функцию Дирака. Все они были преодолены в работе Р.Харди [75], который предложил использовать в выражении (7) сглаживающую функцию ф(И — Ип), имеющую максимум в точки вычисления тензора напряжений И и нормированную на объем всей системы, коэффициенты В* определяют находится л и связь ] внутри выбранного объёма, данная сглаживающая функция заменила функцию Дирака в выражениях Ирвина и Кирквуда.

2 1

РУ = ^ (тУ2пФ(И — Кп))г + ^Е <А* Гк В* >*. (7)

п к

При вычисления среднего давления во всей системе формула Харди приводится к классическому выражению Клаузиуса и Цая.

Выражение для тензора напряжений, используемое в данной работе, получено В.Кузькиным и А.Кривцовым [24] и имеет ряд отличий от (6). Для сравнения

приведем вывод обоих уравнений. Для получения вириальной формулы, следуя работам [78] и [9], преобразуем выражение для кинетической энергии:

~ 1 2 1 ^п

пп 1 ^ ^ ^ 1 ^ О ^Рп

= 1 кп-рп—1Е Я • -р = (8)

пп 1 ^ 1 ^г» 1?

= 2'Рп — 2 Яп

пп

где рп — импульс частицы, Гп — суммарная сила действующая на частицу.

Усредним полученное выражение по времени и заметим, что в рассматриваемых нами стационарных состояния системы слагаемое Х^п<Яп'Рп>г обращается в ноль [9],[78].

(Еш>г — — 1 Е<*п-Гп>;. (9)

п

Выразим из вириальной функции — 2^п<Яп'Гп> слагаемое отвечающие за взаимодействие между частицами и слагаемое отвечающие за взаимодействие со стенками, предположим, что внешнее давление равномерно распределено по поверхности.

СЕкш>* — 1Р / гЯ — 1 ^(Яп-Гп^, (10)

2 ^ 2 п

где Я — ndS7 ^ элемент поверхности ограничивающей частицы, п — нормаль

Р

Используя теорему Гаусса, получим:

— 31

<якшЬ — 2 ру — 2 <Кп-Гп^ (11)

п

Перепишем сумму Кп-Еп, удвоив и разделив полную силу па сумму по отдельным взаимодействиям: Кп-Еп — к Ак^к

Окончательно вириальное давление определяется по формуле:

Р = ^ ^(Екш)* + 2 Е(Ак•Ек)*) . (12)

Приведём вывод выражения для тензора напряжений, выполненный В.Кузькиным [24]. Запишем уравнение движения для некоторой отсчетной частицы среды, поскольку рассматривается однородная система с периодическими граничными условиями все частицы эквивалентны и выбор частицы произволен:

тУп = Е Ек. (13)

к

Разделим движение на «быстро» осциллирующую компоненту и «медленное» движение к равновесному состоянию. Уравнение движения для «медленной» компоненты запишется в виде [61:

т(Уп )* = Е(Гк >*. (14)

к

Используя длинноволновое приближение [49]:

Ак = И(г + ак) - И(г) « ак • V И = И V •ак, (15)

о

где И V — деформационный градпент, ак — вектор между частицами в отчет-

Ак

И(г) — радиус-вектор частицы в актуальной конфигурации, имевшей радиус-г

зические величины мало меняются на расстояниях порядка межатомных, и используя длинноволновое приближение переходим от дискретного рассмотрения к непрерывным производным и уравнениям сплошной среды.

(Ек(г))* - (Ек(г - ак))* « ак• V (Ек(г))*. (16)

Разделим силу на две составляющих, используя третий закон Ньютона и (16) (Ек(г))* = 1 ((Ек(г))* - (Ек(г - ак))*) « 2ак• V (Ек(г))*, подставим в (14):

т<Уп>г - 2 Е ак• V <Гк(г)>; —V • ^2 Е ак<Гк(г)>^ . (17)

Сравним выражение (17) с уравнением баланса сплошной среды в форме Пиола [28]. Таким образом, дискретный аналог тензора Пиола определяется выражением:

Р — 2У0 Е ак<Гк(г)>*. (18)

к

Для вывода выражения для тензора Коши запишем уравнение (16) в актуальной конфигурации:

<Гк(г)> — <Гк(г — ак)>* - Ак • У<Гк(г)>^. (19)

Подставляя в (14), разделим обе части на актуальный объем и преобразуя производные, получим:

т1 У< п> 2У

77<^п> - 7^77 Е Ак • 7<Гк(г)>^

/ . к \ , А . (20)

— 7 • (2У Е Ак<Гк(г)>П — Е V • (Аук) <Гк(г)>4.

кк

С учетом (15) последнее слагаемое можно переписать в следующим виде, и в силу тождества Пиола [28] (V • Я V) = 0] будет равно нулю:

Е V • (АУ) <Гк(')>. — У2" Е V • (У0кV) ак<Гк(г)>( — 0. (21)

кк

Из требования эквивалентности уравнения движения (20) уравнению движения сплошной среды получим окончательное выражение тензора напряжений Коши.

Т — 2У Е Ак<Гк(г)>*. (22)

к

Выражения (12) и (22) имеют одинаковую форму, отличие состоит в методе усреднения: в вириальном выражении усредняются произведения <АкГк>г, а

в (22) каждое из слагаемых необходимо усреднять по отдельности, что приводит к ряду недостатков данного выражения — невозможность его использования в системе с часто меняющимися связями и существенный расход оперативной памяти компьютера для усреднения каждой связи в отдельности, с другой стороны, данное выражение более строгое и можно рассчитывать на большую точность.

1.2 Используемые потенциалы взаимодействия

В данной работе проводится исследование ансамблей частиц взаимодействующих посредством парных центральных потенциалов. Как следует из названия данные потенциалы должны зависеть только от модуля расстояние между частицами П(Ак), сила, действующая между частицами определяется как первая производная от потенциала (23), будем называть жесткостью связи вторую производную (23).

Расстояния, на которых обращаются в ноль сила взаимодействия и жесткость связи, обозначим как а и 6, и будем называть равновесным расстоянием и расстоянием разрыва связи соответственно.

Параболический или гармонический потенциал (24) является простейшим потенциалом с непрерывными производными и единственным минимумом. Б — глубина потенциальной ямы, коэффициенты в (24) выбраны так, чтобы жесткость связи соответствовала жесткости потенциала Леннард-Джонса (25) при Ак = а. Благодаря своей простоте данный потенциал часто используется в аналитических вычислениях, поскольку позволяет получать точные решения для ансамблей частиц. В молекулярной динамике потенциал может использоваться, если относительные смещения частиц малы, при некоторой модификации в

Пк = П(Ак)

^к = ^ (Ак)

Ск = С (Ак)

(23)

качестве угловой пружины между частицами для описания длинных органических молекул.

Р —

П 36В ( )2 .

Пк — —^ (а — Ак) — 1, а2

72В

а

2

(а — Ак), Ск —

72В

а2

(24)

Потенциал Леннард-Джонса (25) был предложен в 1924 г. [88] и успешно применяется для описания взаимодействия Ван-Дер-Ваальса, в частности кристаллов благородных газов. Правая ветка (а^) соответствУет взаимодействию

двух диполей, левая (а^) аппроксимирует силу отталкивания при сжатии. Данный потенциал весьма прост с вычислительной точки зрения и благодаря четным степеням не требует извлечения корня ^А|. Поскольку потенциал Леннард-Джонса является двуиириметрическим мы можем удовлетворить только одному макроскопическому параметру материала.

Пк — В

Р —

12В

Ск —

а

12В

а

2

а

а)

а

1а,

а

12

13

а

Ак)

а

1а

(25)

14

131 А) — 7 1

Дальнейшей модификацией (25) является потенциал Ми, где имеется 4 па-

раметра включая независимые показатели степени у ветвей потенциала I а

Основным потенциалом используемым в данной работе является потенциал Морзе (26), предложенный в 1929 г. Данный потенциал является трехпара-метрическим и позволяет выбрать два макроскопических параметра. Параметр аа позволяет контролировать ширину потенциальной ямы, а экспоненциальная форма потенциала удобна для получения аналитических решений. Одним из важных отличий от потенциала Леннард-Джонса является отсутствие асимптоты Ак — 0, и хотя моделирование классическими методами при столь боль-

6

7

8

т

к

п

к

ших давлениях не корректно, потенциал Морзе позволяет получить физически обоснованные результаты.

Пк = D

Fk = 2Da Ck = 2Da2

g2a(a-Afc) _ 2ea(a-Afc)

e2a(a-Afc) _ ea(a-Afc)

2g2a(a-Afc) _ ^а(а-Ай)

(26)

Ha рис.1 представлено сравнение трех описанных выше потенциалов, в данном случае для потенциала Морзе параметр аа = 6, при этом отличия от потенциала Леннард-Джонса минимальны. Следует отметить, что при моделировании для ускорения расчетов используется так называемый радиус-обрезания acut т.е. то расстояние за пределами которого взаимодействием частиц пренебрегают. Данную величину следует рассматривать как некоторый дополнительный параметр потенциала (подробнее в параграфах 2.2-2.4), который существенно влияет на результаты расчетов. Следует отметить, что при рассмотрении систем где происходит активная перестройка внутренней структуры использование acut приводит к нарушению закона сохранения энергии, решением данной проблемы является использование сглаживающих функций [23], таких, чтобы F (acut) = 0.

а

С| 1

^ о к

-1 ■

1 -2

а г-'-1-■-1-■-1-1-1

70 60

^ 50

^ 40

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Панченко Артем Юрьевич, 2018 год

Список литературы

[1] Абрамян, А.К. и др. Влияние структуры ограничивающих стенок на течение жидкости в наноканалах / А.К.Абрамян // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2010. - №. 3. - С. 87-99.

[2] Альтенбах, X., Еремеев, В.А., Морозов, Н.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений / X.Альтенбах, В.А.Еремеев, Н.Ф.Морозов // Известия РАН. Механика твердого тела. -2010. Л'" 3. С. 30-44.

[3] Альтшулер, Л.В. Применение ударных волн в физике высоких давлений / Л.В.Альтшулер // Успехи физических наук. - 1965. - Т. 85. - №. 2. - С. 199-258.

[4] Ашкрофт, Н., Мермин, Н. Физика твердого тела. Т. 1, 2./ Н.Ашкрофт, Н.Мермин. - М.: Мир, 1979. - 399 с.

[5] Беринский, Н.Е., Иванова, Е.А., Кривцов, A.M., Морозов, Н.Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита / И.Е.Беринский, Е.А.Иванова, А.М.Кривцов, Н.Ф.Морозов // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2007. - №. 5. - С. 6-16.

[6] Блехманбб И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника / И.И.Блехман. - СПб.: Руда и металлы. 2013. - 640 с.

[7] Боголюбовб Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. / Н.Н.Боголюбов. - ОГИЗ. Гостехиздат, 1946. - 120 с.

[8] Борн, М. Динамика кристаллической решетки / М.Борн. - М., 1932.

[9] Васильев, Б.В., Любошиц, В.Л. Теорема вириала и некоторые свойства электронного газа в металлах / Б.В.Васильев, В.Л.Любошиц // Успехи физических наук. - 1994. - Т. 164. - №. 4. - С. 367-374.

[10] Гольдштейн, Р.В., Городцов, В.А., Лисовенко, Д.С. Мезомеханика многослойных углеродных нанотрубок и наноусов / Р.В.Гольдштейн, В.А.Городцов, Д.С.Лисовенко // Физическая мезомеханика. - 2008. - Т. 11. Л". 6. - С. 25-42.

[11] Гольдштейн, Р.В., Городцов, В.А., Устинов, К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице / Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, К.Б. Устинов // Физическая мезомеханика. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 127-138.

[12] Дмитриев, C.B., Баимова, Ю.А., Савин, A.B., Кившарь, Ю.С. Границы устойчивости плоского листа графена при деформации в плоскости / С.В.Дмитриев, Ю.А.Баимова, А.В.Савин, Ю.С.Кившарь // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2011. - Т. 93. - №. 10. - С. 632-637.

[13] Долгушева, Е.Б., Трубицын, В.Ю. Молекулярно-динамическое исследование структурной стабильности нанопленок ОЦК-циркония / Е.Б.Долгушева, В.Ю.Трубицын // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54. - №. 8. - С. 1549-1558.

[14] Еремеев, В.А., Зубов, Л.М. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения / В.А.Еремеев, Л.М.Зубов // Изв. АН. МТТ. - 1991. - №. 2. - С. 56-65.

[15] Еремеев, В.А., Зубов, Л.М. Об устойчивости упругих тел с моментными напряжениями / В.А.Еремеев, Л.М.Зубов // Изв. РАН. МТТ. - 1994. -№.3. - С. 181-190.

[16] Жарков, В.Н., Калинин, В.А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах / В.Н.Жарков, В.А.Калинин. - М.:Науки. 1968. - 311 с.

[17] Жирифалько, Л. Статистическая физика твердого тела / Л.Жирифалько.

- М.:Мир, 1975. - 382 с.

[18] Зельдович, Я.В., Райзер, Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений / Я.Б.Зельдович, Ю.П.Райзер -М.:Наука, 1966. - 688 с.

[19] Зубарев, В.Н., Вагценко, В.Я. О коэффициенте Грюнайзена / В.Н.Зубарев, В.Я.Вагценко // ФТТ. - 1963. - Т.5. - С. 886-891

[20] Зубов, Л.М., Рудев, А.Н. Критерий сильной эллиптичности уравнений равновесия изотропного нелинейно-упругого материала / Л.М.Зубов, А.Н.Рудев // Прикладная математика и механика. - 2011. - Т. 75. - №. 4.

- С. 613-634.

[21] Краус, Е.И. Малопараметрическое уравнение состояния твердого вещества при высоких плотностях энергии / Е.И.Краус. // Вестник НГУ. Серия: Физика. - 2007. Т. 2. №. 2. - С. 65-73

[22] Кривцов, A.M., Термоупругость одномерной цепочки взаимодействующих частиц / А.М.Кривцов // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. - 2003. - Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред. - С. 231-243.

[23] Кривцов, A.M. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой / А.М.Кривцов. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

[24] Кривцов, A.M., Кузькин, В.А. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры / А.М.Кривцов, В.А.Кузькин // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2011. - №. 3. - С. 67-82.

[25] Кривцов, A.M. Колебания энергий в одномерном кристалле / А.М.Кривцов // Доклады академии наук. - 2014. - Т. 458. - №. 3.

- С. 279-279.

[26] Кузькин, В.А., Кривцов, A.M. Аналитическое описание переходных тепловых процессов в гармонических кристаллах / В.А.Кузькин, А.М.Кривцов // Физика твердого тела. - 2017. - Т. 59. - №. 5. - С. 1023-1035.

[27] Лобода, О.С., Кривцов, A.M. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нанокристалла / О.С.Лобода, А.М.Кривцов // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2005. - Т. 40. - №. 4. - С. 27-41.

[28] Лурье, А.И. Нелинейная теория упругости / А.И.Лурье. - М.:Науки. 1980.

- 512 с.

[29] Пальмов, В.А. Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа: учеб. пособие / В.А.Пальмов. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2008. - 108 с.

[30] Панченко, А.Ю., Подольская, Е.А., Кривцов, A.M. Анализ уравнения состояния и определение функции Грюнайзена двумерных кристаллических решеток / А.Ю.Панченко, Е.А.Подольская, А.М.Кривцов // Доклады академии наук. - 2017. - Т. 473. - №. 2. - С. 159-162.

[31] Подольская, Е.А. Равновесие и устойчивость гпу-структур при конечных деформациях / Е.А.Подольская // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 457. - №. 5. - С. 539-539.

[32] Подольская, Е.А., Кривцов, A.M., Панченко, А.Ю. Исследование устойчивости и структурного перехода в ГЦК-решетке при больших деформациях / Е.А.Подольская, А.М.Кривцов, А.Ю.Панченко // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. - 2012. - №. 3. - С. 123-128.

[33] Подольская, Е.А., Кривцов, A.M., Паичеико, А.Ю., Ткачев, П.В. Устойчивость идеальной бесконечной двумерной кристаллической решетки / Е.А.Подольская, А.М.Кривцов, А.Ю.Панченко, П.В.Ткачев // Доклады Академии наук. - 2012. - Т. 442. - №. 6. - С. 755-758.

[34] Псахье, С.Г. и др. О термофлуктуационном формировании локальных структурных изменений в кристалле в условиях динамического нагруже-ния / С.Г.Псахье и др. // Физическая мезомеханика. - 2005. Т. 8. №. 55-60.

[35] Ткачев, П.В., Кривцов, A.M. Критерий устойчивости внутренней структуры материала / П.В.Ткачев, А.М.Кривцов // XXXIII Неделя науки СПбГПУ. Материалы международной научно-практической конференции. Часть V. - СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. - 2004. - С. 4-6.

[36] Товстик, П.Е., Товстик, Т.П. Модель двумерного графитового слоя / П.Е.Товстик, Т.П.Товстик // Вестн. С.-Петерб. ун-та. - 2009. - №. 3. -

C. 1-11.

[37] Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред / К.Трусделл. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

[38] Abeyaratne, R.C., Bhattacharya, К., Knowles, J.К. Strain-energy functions with multiple local minima: modeling phase transformations using finite thermoelasticity / R.C.Abeyaratne, K.Bhattacharya, J.K.Knowles // Nonlinear Elasticity: Theory and Application. - 2001. - P. 433-490.

[39] Alder, B.J. Phase transition for a hard sphere system / B.J.Alder, T.E.Wainwright // The Journal of chemical physics. - 1957. - V. 27. - No. 5. - P. 1208-1209.

[40] Allen, M.P., Tildesley, D.J. Computer simulation of liquids/ M.P.Allen,

D.J.Tildesley. - Clarendon Press, Oxford, 1987. - 385 p.

[41] Anderson, O.L. The Grüneisen ratio for the last 30 years / O.L.Anderson // Geophysical Journal International. - 2000. - V. 143. - No. 2. - P. 279-294.

[42] Balasubramanian, A.K., Ramachandran, K. Thermal expansion of ZnSe by molecular dynamics simulation / A.K.Balasubramanian, K.Ramachandran // Molecular Simulation. - 2007. - V. 33. - No. 8. - P. 685-688.

[43] Ball, R.D. Strong anharmonicity in ionic crystals: self-consistent phonons and shell models / R.D.Ball //J. Phys. C: Solid State Phys. - 1986. - V. 19. - P. 1293-1309.

[44] Ball, J.M., James, R.D. Fine phase mixtures as minimizers of energy / J.M.Ball, R.D.James // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1987. -V. 100.-No. 1. C. 13-52.

[45] Barron, T.H.K., Domb, C. On the cubic and hexagonal close-packed lattices / T.H.K.Barron, C.Domb // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1955. - V. 227. - No. 1171. - P. 447-465.

[46] Bekker, H. et al. An efficient, box shape independent non-bonded force and virial algorithm for molecular dynamics / H.Bekker et al. // Molecular Simulation. - 1995. - V. 14. - No. 3. - P. 137-151.

[47] Berlin, A.A. et al. Thermal Expansion Coefficient in Simple Models of Condensed Media / A.A.Berlin et al. // Doklady Physical Chemistry. - 2004. - V. 397. - No. 4-6. - P. 187-190.

[48] Born, M. et al. Festschrift zur Feier des Zweihundertjahrigen Bestehens der Akademie der Wissenschaften in Gottingen: I. Mathematisch-Physikalische Klasse. / M.Born et al. - Springer-Verlag, 1951.

[49] Born, M., Huang, K. Dynamical Theory of Crystal Lattices / M.Born, K.Huang. - Oxford: Clarendon, 1954. - 420 p.

[50] Chen, Y. et al. Thermal expansion and impurity effects on lattice thermal conductivity of solid argon / Y.Chen et al. // The Journal of chemical physics.

- 2004. - V. 120. - No. 8. - P. 3841-3846.

[51] Clausius, R. On a mechanical theorem applicable to heat / R.Clausius // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. - 1870. - V. 40. - No. 265. - P. 122-127.

[52] Conti, S., Zanzotto, G. A variational model for reconstructive phase transformations in crystals, and their relation to dislocations and plasticity / S.Conti, G.Zanzotto // Archive for rational mechanics and analysis. - 2004. -V. 173. - No. 1. - P. 69-88.

[53] Daw, M.S., Baskes, M.I. Embedded-atom method: Derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals / M.S.Daw, M.I.Baskes // Physical Review B. - 1984. - V. 29. - No. 12. - P. 6443.

[54] Dellepiane, G., Piseri L. Self-consistent harmonic torsional frequencies /

G.Dellepiane, L.Piseri // Journal of Molecular Spectroscopy. - 1976. - V. 59.

- P. 209-215.

[55] Delph, T.J., Zimmerman, J.A. Prediction of instabilities at the atomic scale / T.J.Delph, J.A.Zimmerman // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2010. - V. 18. - No. 4. - P. 045008

[56] Dobson, J.F. "Self-consistent" phonons for paupers / J.F.Dobson // Physics Letters A. - 1977. - V. 62. - No. 5. - P. 368-370.

[57] Duan, H.L., Wang, J., Karihaloo, B.L. Theory of elasticity at the nanoscale /

H.L.Duan, J.Wang, B.L.Karihaloo // Advances in Applied Mechanics. - 2009.

- V. 42. - P. 1-68.

[58] Dugdale, J.S., MacDonald, D.K.C. The thermal expansion of solids / J.S.Dugdale, D.K.C.MacDonald // Physical Review. - 1953. - V. 89. - No. 4.

- P. 832.

[59] E, W., Ming, P. Cauchy-Born rule and the stability of crystalline solids: static problems / W.E, P.Ming // Archive for Rational Mechanics and Analysis. -2007. - V. 183. - No. 2. - P. 241-297.

[60] E, W., Ming, P. Cauchy-Born rule and the stability of crystalline solids: dynamic problems / W.E, P.Ming // Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series. - 2007. - V. 23. - No. 4. - P. 529-550.

[61] Elliott, R.S., Shaw, J.A., Triantafyllidis, N. Stability of pressure-dependent, thermally-induced displacive transformations in bi-atomic crystals / R.S.Elliott, J.A.Shaw, N. Triantafyllidis // International journal of solids and structures. - 2002. - V. 39. - No. 13. - P. 3845-3856.

[62] Elliott, R.S., Triantafyllidis, N., Shaw, J.A. Stability of crystalline solids—I: continuum and atomic lattice considerations / R.S.Elliott, N. Triantafyllidis, J.A.Shaw // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2006. - V. 54. - No. 1. - P. 161-192.

[63] Ercolessi, F., Parrinello, M., Tosatti, E. Simulation of gold in the glue model / F.Ercolessi, M.Parrinello, E.Tosatti // Philosophical magazine A. - 1988. -T. 58. - No. 1. - C. 213-226.

[64] Ericksen, J.L. On the Cauchy-Born Rule / J.L.Ericksen // Mathematics and Mechanics of Solids.- 2008. - V. 13. - No. 3-4. - P. 199^220.

[65] Errea, I., Calandra, M., Mauri, F. Anharmonic free energies and phonon dispersions from the stochastic self-consistent harmonic approximation: Application to platinum and palladium hydrides / I.Errea, M.Calandra, F.Mauri // Physical Review B. - 2014. - V. 89. - No. 6. - P. 064302.

[66] Fosdick, R.L., James, R.D. The elastica and the problem of the pure bending for a non-convex stored energy function / R.L.Fosdick, R.D.James // Journal of Elasticity. - 1981. - V. 11. - No. 2. - P. 165-186.

[67] Freidin, A.B., Fu, Y.B., Sharipova, L.L., Vilchevskaya E.N. Spherically symmetric two-phase deformations and phase transition zones / A.B.Freidin, Y.B.Fu, L.L.Sharipova, E.N.Vilchevskaya // International journal of solids and structures. - 2006. - V. 43. - No. 14. - P. 4484-4508.

[68] Friesecke, G., Theil, F. Validity and failure of the Cauchy-Born hypothesis in a two-dimensional mass-spring lattice / G.Friesecke, F.Theil // Journal of nonlinear Science. - 2002. - V. 12. - No. 5. - P. 445-478.

[69] Gibbs, M.W. Shadow & Light. / M.W.Gibbs. - U of Nebraska Press, 1902. -372 p.

[70] Gillis, N.S., Werthamer, N.R., Koehler, T.R. Properties of crystalline argon and neon in the self-consistent phonon approximation / N.S.Gillis, N.R.Werthamer, T.R.Koehler // Physical Review. - 1968. - V. 165. - No. 3. - P. 951-959.

[71] Grekov, M., Morozov, N. Surface effects and problems of nanomechanics / M.Grekov, N.Morozov //J. Ningbo Univ. - 2012. - V. 25. - No. 1. - P. 60-63.

[72] Goldman, V.V., Horton, G.K., Klein, M.L. A theoretical study of the lattice dynamics of neon and its isotopes / V.V.Goldman, G.K.Horton, M.L.Klein // Journal of Low Temperature Physics. - 1969. - V. 1. - No. 5. - P. 391-405.

[73] Gurtin, M.E. Two-phase deformations of elastic solids / M.E.Gurtin // Archive for rational mechanics and analysis. - 1983. - V. 84. - No. 1. - P. 1-29.

[74] Hadamard, J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations d'Hydrodynamique / J.Hadamard. - Paris, 1903. - 375 p.

[75] Hardy, R.J. Formulas for determining local properties in molecular-dynamics simulations: Shock waves / R.J.Hardy // The Journal of Chemical Physics. -1982. - V. 76. - No. 1. - P. 622-628.

[76] Hooton, D.J. A new treatment of anharmonicity in lattice thermodynamics: I / D.J.Hooton // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. - 1955. - V. 46. - No. 375. - P. 422-432.

[77] Hooton, D.J. A new treatment of anharmonicity in lattice thermodynamics: II / D.J.Hooton // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. - 1955. - V. 46. - No. 375. - P. 433-442.

[78] Hoover, W.G. Molecular dynamics / W.G.Hoover. - Berlin:Springer, - 1986.

[79] Hundur, Y., Hippler, R., Guvenc, Z.B. Molecular dynamics study of a thermal expansion coefficient: Ti bulk with an elastic minimum image method / Y.Hundur, R.Hippler, Z.B.Guvenc // Chinese Physics Letters. - 2006. - V. 23. _ No. 5. - P. 1068-1071.

[80] Irving, J.H., Kirkwood, J.G. The statistical mechanical theory of transport processes. IV. The equations of hydrodynamics / J.H.Irving, J.G.Kirkwood // The Journal of chemical physics. - 1950. - V. 18. - No. 6. - P. 817-829.

[81] Kimminau, G. et al. Phonon instabilities in uniaxially compressed fee metals as seen in molecular dynamics simulations / G.Kimminauet et al. // Physical Review B. - 2010. - V. 81. - No. 9. - P. 092102.

[82] Knowles, J.K., Sternberg, E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics / J.K.Knowles, E.Sternberg // Journal of Elasticity. - 1978. - V. 8. - No. 4.

- P. 329-379.

[83] Korchuganov, A.V. et al. MD simulation of plastic deformation nucleation in stressed crystallites under irradiation / A.V.Korchuganov et al. // Physics of Atomic Nuclei. - 2016. - V. 79. - No. 7. - P. 1193-1198.

[84] Kukushkin, S.A., Osipov, A.V. First-order phase transition through an intermediate state / S.A.Kukushkin, A.V.Osipov // Physics of the Solid State.

- 2014. - V. 56. - No. 4. - P. 792-800.

[85] Kukushkin, S.A., Osipov, A.V. Quantum mechanical theory of epitaxial transformation of silicon to silicon carbide / SA.Kukushkin, A.V.Osipov // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2017. - V. 50. - No. 46. - P. 464006.

[86] Leach, A.R. Molecular modelling: principles and applications. / A.R.Leach. -Pearson education, 2001. - 768 p.

[87] Lehoucq, R.B., Von Lilienfeld-Toal A. Translation of Walter Noll's "Derivation of the fundamental equations of continuum thermodynamics from statistical mechanics"/ R.B.Lehoucq // Journal of Elasticity. - 2010. - V. 100. - No. 1-2.

- P. 5-24.

[88] Lennard-Jones, J.E. The determination of molecular fields I. From the variation of the viscosity of a gas with temperature / J.E.Lennard-Jones // Proceedings of the Royal Society of London. - 1924. - V. 106. - No. 441. - P. 463-477.

[89] Li, J. et al. Elastic criterion for dislocation nucleation / J.Li et al. // Materials Science and Engineering: A. - 2004. - V. 365. - No. 1-2. - P. 25-30.

[90] Lisovenko, D.S. et al. Equilibrium structures of carbon diamond-like clusters and their elastic properties / D.S.Lisovenko et al. // Physics of the Solid State.

- 2017. - V. 59. - No. 4. - P. 820-828.

[91] Louwerse, M.J., Baerends, E.J. Calculation of pressure in case of periodic boundary conditions / M.J.Louwerse, E.J.Baerends // Chemical physics letters. - 2006. - V. 421. - No. 1-3. - P. 138-141.

[92] MacDonald, R. A., MacDonald, W.M. Thermodynamic properties of fee metals at high temperatures / R.A.MacDonald, W.M.MacDonald // Physical review B. - 1981. - V. 24. - No. 4. - P. 1715.

[93] Milstein, F., Rasky, D. Theoretical study of shear-modulus instabilities in the alkali metals under hydrostatic pressure / F.Milstein, D.Rasky // Phys. Rev. B. - 1996. - V. 54. - No. 10. - P. 7016-7025.

[94] Mishin, Y. et al. Structural stability and lattice defects in copper: Ab initio, tight-binding, and embedded-atom calculations / Y.Mishin et al. // Physical Review B. - 2001. - V. 63. - No. 22. - P. 224106.

[95] Mohazzabi, P., Behroozi, F. Simple classical calculation of thermal expansion for rare-gas solids / P.Mohazzabi, F.Behroozi // Physical Review B. - 1987. -V. 36. - No. 18. - P. 9820-9823.

[96] Ogden, R.W. Nonlinear elasticity, anisotropy, material stability and residual stresses in soft tissue / R.W.Ogden // Biomechanics of soft tissue in cardiovascular systems. - 2003. - P. 65-108.

[97] Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, A.B., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Acta Mechanica. - 2016. - V. 227. - I. 1. - P. 185-201.

[98] Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // Surface Effects in Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. - 2013. - No 30. - P. 123-133.

[99] Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, K.S.Bukovskaya // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 3. -P. 60-64.

[100] Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 2. -P. 84-90

[101] Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko,

K.S.Bukovskaya // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 3. -P. 60-64.

[102] Redkov, A.V., Osipov, A.V., Kukushkin, S.A. Stability of the surface of an elastically strained multicomponent film in a system with chemical reactions / A.V.Redkov, A.V.Osipov, S.A.Kukushkin // Physics of the Solid State. -2015. - V. 57. - No. 12. - P. 2524-2531.

[103] Ruffa, A.R. Temperature dependence of the elastic shear moduli of the cubic metals / A.R.Ruffa // Physical Review B. - 1977. - V. 16. - No. 6. - P. 2504-2514.

[104] Savin, A.V., Kivshar, Y.S., Hu, B. Suppression of thermal conductivity in graphene nanoribbons with rough edges / A.V.Savin, Y.S.Kivshar, B.Hu // Physical Review B. - 2010. - V. 82. - No. 19. - P. 195422.

[105] Schraad, M.W., Triantafyllidis, N. Scale effects in media with periodic and nearly periodic microstructures - I. Macroscopic properties / M.W.Schraad, N. Triantafyllidis / / Journal of Applied Mechanics. - 1997. - V. 64. - No. 4. -P. 751-762.

[106] Segletes, S.B. A frequency-based equation of state for metals / S.B.Segletes // International journal of impact engineering. - 1998. - V. 21. - No. 9. - P. 747-760.

[107] Shah, P., Chakrabarti, P., Chakravarty, C. Structure and melting of Morse solids / P.Shah, P.Chakrabarti, C.Chakravarty // Molecular Physics. - 2001. - V. 99. - No. 7. - P. 573-583.

[108] Sun, X.W. et al. Condensed matter: electronic structure, electrical, magnetic, and optical properties: Effect of pressure on the thermal expansion of MgO up to 200 GPa / X.W.Sun et al. // Chinese Physics B. - 2009. - V. 18. - P. 5001-5007.

[109] Thompson, A.P., Plimpton, S.J., Mattson, W. General formulation of pressure and stress tensor for arbitrary many-body interaction potentials under periodic boundary conditions / A.P.Thompson, S.J.Plimpton, W.Mattson // The Journal of chemical physics. - 2009. - V. 131. - No. 15. - P. 154107.

[110] Timon, V. et al. Molecular dynamics calculations of the thermal expansion properties and melting points of Si and Ge / V.Timon et al. // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2006. - V. 18. - No. 13. - P. 3489.

[111] Tsai, D.H. The virial theorem and stress calculation in molecular dynamics / D.H.Tsai // The Journal of Chemical Physics. - 1979. - V. 70. - No. 1. - P. 1375-1382.

[112] Umeno, Y., Shimada, T., Kitamura, T. Dislocation nucleation in a thin Cu film from molecular dynamics simulations: instability activation by thermal fluctuations / Y.Umeno, T.Shimada, T.Kitamura // Physical Review B. -2010. - V. 82. - No. 10. - P. 104108.

[113] Umeno, Y. et al. Atomistic Model Analysis of Local and Global Instabilities in Crystals at Finite Temperature / Y.Umeno et al. // Key Engineering Materials. - Trans Tech Publications, 2014. - V. 592. - P. 39-42.

[114] Verlet, L. Computer "experiments"on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules / L.Verlet // Physical review. - 1967. -V. 159. - No. 1. - P. 98.

[115] Vetelino, J.F., Namjoshi, K.V., Mitra, S.S. Mode-Griineisen Parameters and Thermal-Expansion Coefficient of NaCl, CsCl, and Zinc-Blende-Type Crystals / J.F.Vetelino, K.V.Namjoshi, S.S.Mitra // Journal of Applied Physics. - 1970. _ V. 41. - No. 13. - P. 5141-5144

[116] Vocadlo, N.L., Price, G.D. The Griineisen parameter^computer calculations via lattice dynamics / N.L.Vocadlo, G.D.Price // Physics of the earth and planetary interiors. - 1994. - V. 82. - No. 3-4. - P. 261-270.

[117] Volkov, A.E. et al. An explanation of phase deformation tension-compression asymmetry of TiNi by means of microstructural modeling / A.E.Volkov et al. // Journal of Alloys and Compounds. - 2013. - V. 577. - P. S127-S130.

[118] Wallace, D.C., Patrick, J.L. Stability of crystal lattices / D.C.Wallace, J.L.Patrick // Phys. Rev. - 1965. - V. 137. - No. 1A. - P. 152-160.

[119] Wang, J., Li, J., Yip, S., Phillpot, S., Wolf, D. Mechanical instabilities of homogeneous crystalls / J.Wang, J.Li, S.Yip, S.Phillpot, D.Wolf // Phys. Rev. - 1995. - V. 52. - No. 17B. - P. 12627-12635.

[120] Wen, Y.F., Sun, J. Structural stability of higher-energy phases in Cu and Cu-Fe alloy revealed by ab initio calculations / Y.F.Wen, J.Sun // Computational Materials Science. - 2013. - V. 79. - P. 463-467.

[121] Werthamer, N.R. Self-consistent phonon formulation of anharmonic lattice dynamics / N.R.Werthamer // Physical Review B. - 1970. V. 1. No. 2. -P. 572-581.

[122] Zabinska, K. Mechanical stability of simple planar lattices / K.Zabinska // Physical Review B. - 1991. - V. 43. - No. 4. - P. 3450-3459.

Federal State Autonomous Educational Institution for Higher Education "Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University"

Manuscript copyright

PANCHENKO ARTEM YURIEVICH

STABILITY AND THERMAL EFFECTS IN CRYSTALLINE MATERIALS AT LARGE DEFORMATIONS

Specialization: 01.02.04 — solid mechanics

Dissertation is submitted for the degree of candidate in physical and mathematical

sciences

Scientific advisor Corr. Member of RAS, D.Sc., A.M. Krivtsov

Saint Petersburg — 2018

Content

Introduction 109

1 A review of stability investigation and methods of description of thermomechanical processes in condensed media 119

1.1 Calculation methods of macroscopic parameters for a system of interacting particles............................119

1.2 Interaction potentials..........................125

1.3 Strong ellipticity conditions for equivalent continuum.........129

1.4 Equations of state of simple crystal lattices..............133

2 Crystal structure stability 135

2.1 Location of coordination spheres....................137

2.2 Bond compression............................138

2.3 Energy of the system..........................140

2.4 Relaxation of energy...........................141

2.5 Algorithm of stability investigation by the molecular dynamics method 144

2.6 The stability regions of a triangular lattice ..............145

2.7 The physical meaning of the stability regions boundaries of a triangular lattice...............................151

2.8 Structure relaxation after stability loss.................156

2.9 Three-dimensional crystal structures..................168

2.10 The physical meaning of the boundaries of the FCC stability regions 169

2.11 Concluding remarks...........................172

3 Equation of state of ideal crystals 173

3.1 Investigation of thermodynamic parameters of two-dimensional crystalline structures.............................175

3.2 Dependence of the components of tensor (AkAk) on the simulation parameters................................178

3.3 The correlation tensor..........................185

3.4 Problem of determining the particle displacements correlations in an ideal lattice ...............................187

3.5 Concluding remarks...........................190

Conclusion 191

References 193

Introduction Relevance of the topic

The development of technological methods for the creation of artificial nanoscale structures, such as fullerenes, nanotubes, nanofibers, graphene, nanodiamonds, etc., leads to the need to describe and conduct predictive modeling of the behavior of such structures under various thermomechanical influences. An important method that makes it possible to study in detail the processes at the micro- and nanoscale levels is the molecular dynamics method. The range of problems that can be described using this method is limited primarily by the size of the modeled system, in particular, this is true for ab initio methods. To solve this problem, empirical interaction potentials that reduce the computational complexity of algorithms are used, and continuum methods are used to model individual areas of the system in which the continuity of the material is not violated. In order to apply the methods of a continuous medium, it is necessary to write down equations of state for a discrete system and to determine the conditions for discontinuity or changes in the structure of the material. At this scale level, the single-crystal elements of the nanostructure are practically defect-free, in connection with this, it is relevant to study the thermomechanical properties of ideal crystal structures carried out in this paper. The absence of defects in single crystals substantially increases their strength, and the stability of the structure can be violated until critical stress along the strain path is reached, owing to arbitrary small fluctuations.

Approach and refinement of the equation of state and expression for the calculation of thermomechanical stresses in a discrete system whose particles interact through a pair force potential are tested and refined, which allows us not only to predict the behavior of crystals and to use analytical methods for describing media with microstructure, but can also be used to determine parameters of potentials. The application of the molecular dynamics method to determine the regions of stability in the strain space made it possible to compare the obtained regions with the

results of analytical calculations and to study the two-phase states of the material after the loss of stability.

Thus, the determination and prediction of the thermomechanical parameters of materials with a discrete structure, as well as the stability boundaries of the material and the parameters of two-phase states, are relevant problems in solid mechanics.

Methods of research

Studies in this work are carried out using the methods of continuum mechanics and the molecular dynamics method. The motion of particles is described using the laws of classical mechanics. Definition of macroscopic parameters of the system is carried out using expressions that are discrete analogs of the equations of continuum mechanics. The object of the investigation is an ideal crystal lattice, in the two-dimensional case — triangular and square, in three-dimensional — face-centered and body-centered cubic lattices. The interaction between particles is described by pair force potentials. The results of molecular dynamics modeling are compared with analytical expressions obtained by means of a long-wavelength approximation from a discrete system to an equivalent continuum and the use of continuous medium mechanics methods.

The aim of the work

The aim of this paper is to refine and obtain the domain of applicability of analytic expressions relating macroscopic parameters of a continuous medium (the Griineisen coefficient and the stability region of the crystal structure) to the parameters of interparticle interaction.

Scientific novelty

The novelty of the work consists in the following provisions to be protected:

1. The region of stability of a triangular lattice in the space of finite deformations for pair force interaction is determined by the particle dynamics method. It is

shown that the stability regions of the crystal lattice correspond to the regions of strong ellipticity of the equilibrium equations for an equivalent continuous medium.

2. The microstructure of the inhomogeneous states is studied after the loss of stability of the triangular lattice, including the structural transition from a triangular lattice to a square lattice. The mechanisms of energy relaxation during the structural transition are revealed.

3. The refined coefficients of the tensor equation of the Mie-Griineisen state are obtained. Their dependence on the parameters of modeling, temperature and deformations at stable points of the finite deformation space is determined.

Reliability of the results

The reliability of the obtained results is achieved by comparison with the experimental data, the use of proven modeling techniques, comparison with analytical estimates for cases admitting an analytical study. The stability regions of an ideal crystal lattice in the pair force interaction obtained in this paper completely correspond to analytically determined regions of strong ellipticity of the equations of equilibrium of an equivalent continuum in the space of deformations. The two-phase states formed after the loss of stability match with the estimates of the theory of phase transitions well. The equation of state obtained in this paper is based on the Mie-Griineisen equation widely used in the mechanics of a deformable solid. The correspondence of the Griineisen function, obtained from macroparameters of the atomic system, to an analytical evaluation in a wide range of temperatures and stress-strain states is shown.

Practical significance of the work

The results of this work can be used to identify the parameters of analytical models in the framework of the mechanics of a deformed solid and to develop empirical models describing the behavior of discrete systems. Comparison of the obtained

results with experimental data makes it possible to estimate the expected results of molecular dynamics modeling and determine the applicability of the model for the description of the system, and in the case of sufficient accuracy of the model to determine the parameters of the potentials. The results of the work can be used in software, including the definition and specification of boundary conditions in thermophysical processes, as a complement to expressions that allow the elements of a continuous medium described by continual equations to be adapted to a discrete system. Comparison of the stability regions of the crystal lattice in the pair force interaction and the stability regions of real crystals makes it possible to simplify the determination of the potential parameters (in particular, in the submerged atom method) for describing structural transitions from a close-packed face-centered cubic to a body-centered cubic lattice. Thus, the results of the presented work can be used in the development and creation of original composite materials having high performance characteristics over a wide range of temperatures.

Approbation of work

The results of the work were reported at the seminars of the Institute for Problems in Mechanical Engineering of the Russian Academy of Sciences (St. Petersburg), the Department of Theoretical Mechanics of SPbPU, Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk), Faculty of Physics, University of Seville (Spain), as well as at all-Russian and international conferences: Advanced Problems in Mechanics (Saint Petersburg, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016), International Scientific Conference on Mechanics "Sixth Polyakhov readings" (Saint Petersburg, 2012), 8th European Solid Mechanics Conference (Austria, Graz, 2012), European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes (Spain, Seville, 2013), Euromech 2014 Colloquium 563 (Italy, Cisterna-Di Latina, 2014), Advances in Micromechanics of Materials (Poland, Rzeszow, 2014), "Physical mesomechanics of multilevel systems, Modeling, experiment, applications" (Tomsk, 2014), XI National Russian Congress on

Fundamental Problems of Theoretical and Applied Mechanics (Kazan, 2015), 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Canada, Montreal, 2016).

The author's research at various stages of the work was supported by: Ministry of Education and Science of the Russian Federation within the framework of the Federal Program "Research and development in priority areas for the development of the scientific and technological complex of Russia for 2014 - 2020" (activity 1.2), grant No. 14.575.21.0146 of September 26, 2017, unique identifier: RFMEFI57517X0146 (chapter 2); grant of the President of the Russian Federation (MK-4873.2014.1, MK-1820.2017.1), RFBR (12-01-31297-mol_a, 13-01-12076-ofi_m, 14-01-00802-a, 14-01-31487-mol_a) (charter 3).

Structure and scope of work

The work consists of an introduction, three chapters and a conclusion. The work contains 102 pages, 55 drawings, the list of references contains 122 items.

Publications on the research topic

a) Publications in the publications included in the list of HAC:

1. Panchenko, A.Y., Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M. Analysis of equations of state and determination of the Griineisen function for two-dimensional crystal lattices / A.Y.Panchenko, E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov // Doklady Physics. - 2017. - V. 62. - No. 3. - P. 141-144.

2. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, A.B., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Acta Mechan-ica. - 2016. - V. 227. - I. 1. - P. 185-201.

3. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E. A. Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Pan-

chenko // Surface Effects in Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. No 30. - Springer Berlin Heidelberg, 2013. - P. 123-133.

4. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Y. Investigation of stability and structural transition in FCC lattice under finite strain / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Y.Panchenko // Vestnik St. Petersburg University: Math. -2012. - V. 3. - P. 123-128.

5. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Y., Tkachev, P.V. Stability of ideal infinite two-dimensional crystal lattice / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Y.Panchenko, P.V.Tkachev // Doklady Physics. - 2012. - V. 57. - No. 2. -P. 92-95.

6. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, K.S.Bukovskaya // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. Y. 2. - No. 3. - P. 60-64.

7. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Nanosyst. Phys. Chem. Math. - 2011. - V. 2. - No. 2. - P. 84-90

b) Other publications:

1. Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Analysis of Mie-Griineisen equation of state for two-dimensional crystal lattices / A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // 24th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM 2016), Monreal, Kanada. - 2016.

2. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. On stability of planar square lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Advanced Seminar Generalized Continua as Models for Materials with Multi-scale Effects or under Multi-field Actions. Magdeburg, Germany. - 2015.

3. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, A.B., Krivtsov, A.M. Loss of el-lipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices. No483. / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of 9th European Solid Mechanics Conference (ESMC 2015), Leganes-Madrid, Spain. - 2015.

4. Berinskii, I.E., Panchenko, A.Yu., Podolskaya, E.A. Modeling of elastic properties of molybdenum disulfide using a torque interaction potential. P. 49-50 // I.E.Berinskii, A.Yu.Panchenko, E.A.Podolskaya // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg. - 2015. - P. 124.

5. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Freidin, A.B., Krivtsov, A.M. Loss of ellipticity and structural transformations in planar simple crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.B.Freidin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of Advances in Micromechanics of Materials, Rzeszow, Poland. - 2014.

6. Panchenko, A.Yu., Kuzkin, V.A., Krivtsov, A.M. Analytical and numerical investigation of thermal expansion in crystal lattices / A.Yu.Panchenko, V. A.Kuzkin, A.M.Krivtsov // Book of abstracts of Advances in Micromechanics of Materials, Rzeszow, Poland. - 2014.

7. Panchenko, A.Yu. On stability of 2D lattices under finite strain within moment interaction approach using molecular dynamics / A.Yu.Panchenko // Book of abstracts of EUROMECH-Colloquium 563, Cisterna di Latina, Italy. - 2014.

8. Panchenko, A.Yu., Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M. MD modeling of structural transitions in solids with FCC and BCC crystal lattice with defects at nonzero temperature / A.Yu.Panchenko, E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov // CD-ROM Book of abstracts of European Congress and Exhibition on Advanced Materials and Processes "EUROMAT 2013", Seville, Spain. - 2013.

9. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Stability and Structural Transitions in Crystal Lattices / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // CD-ROM Book of abstracts of 8th European Solid Mechanics Conference, Graz, Austria. - 2012.

10. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Structural transitions in 2D and 3D ideal crystal lattices / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // Book of abstracts of XL Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg. - 2012. - P. 70.

11. Podolskaya, E.A., Krivtsov, A.M., Panchenko, A.Yu. Investigation of stability and structural transition in FCC lattice under finite strain / E.A.Podolskaya, A.M.Krivtsov, A.Yu.Panchenko // Book of abstracts International scientific conference on mechanics "Sixth Polyakhov readings", St. Petersburg. - 2012. - P. 241-242.

12. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Bukovskaya, K.S. Influence of shear strain on stability of 2D triangular lattice / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, K.S.Bukovskaya // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg. - 2011. - P. 358-363.

13. Podolskaya, E.A., Panchenko, A.Yu., Krivtsov, A.M. Stability of 2D triangular lattice under finite biaxial strain / E.A.Podolskaya, A.Yu.Panchenko, A.M.Krivtsov // Proceedings of XXXIX International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg. - 2011. - P. 350-357.

Epigraph

The laws of thermodynamics may be easily obtained from the principles of statistical mechanics, of which they are the incomplete expression, but they make a somewhat blind guide in our search for those laws.

Gibbs

Literature review

Statistical mechanics formulated in the early 20th century by Gibbs [44] allowed us to relate the microscopic properties of materials to the macroscopic thermodynamic parameters. The further development of the statistical approach for nonequi-librium processes was made by Bogolyubov [17] in 1946. Ten years later, through the development of computer technology an alternative approach began to develop - numerical integration of the equations of motion for the individual particles. The first works on the method of particle dynamics aimed to study nonequilibrium processes. They demonstrated one of the main advantages of the method - a natural description of the structural changes. In 1955 Barron explored the phase transitions in helium [12], in 1957 Alder and Wainwright got the phase diagram of the hard spheres system [3]. The two parameters defining the behaviour of the system of particles could be distinguished: the structure of material and the interaction potential, therefore a lot of works on calculation of the thermodynamic and mechanical parameters of virtual materials were published. One of the directions of development of the particle dynamics method was the complication of interaction potentials from central pair to multiparticle ones. Ruffa's work of 1977 should be highlighted [94], in which a formula for the coefficient of thermal expansion of Morse material was devised and the relation between the elastic modulus and the temperature was investigated. The coefficient of thermal expansion for Ne, Ar, Kr, and Xe when using Lennard-Jones potential and comparison with self-consistent phonon theory in [80], taking into account the defects [21]. The work of Shah [98] conducted research which provided a structure and phase transitions of the Morse material in a wide range of pressures and temperatures, it had been shown that the radius of the

circumcision of the potential significantly affected the stability of structure of the material. Temperature dependence of the coefficient of thermal expansion for ionic crystals (a solid ions model, a shell model) is defined in the work [110]. In the work [15] comparison of the coefficient of thermal expansion for various pair potentials without the attraction of particles. Thermal expansion of titan with the embedded atom potential was calculated in the work [56], of silicon and germanium in [101]. Comparison of the coefficients of thermal expansion of MgO at high pressure for shell model (SM) (pair) and breathing shell model (BSM)(not central) held in [99]. Calculation of the thermal expansion of ZnSe for the Tersoff potential was made in [9].

Obtaining the equations of state for the molecular dynamic system based on the methods of statistical physics and, in particular, the Helmholtz free energy was made for the central pair potentials, limited to the nearest neighbours in the work [47]. The self consistent phonon theory has allowed to obtain good agreement with the calculations up to the melting point. For FCC with central pair interaction the Helmholtz free energy was calculated in the work [77]. In work [111] a linear dependence between the Griineisen coefficient and derivative of volume modulus with respect to pressure, taking into account the interaction with the first coordination sphere is shown.

The theoretical strength is one of the most important and fundamental properties of solids because it determines the local instability in the crystal. Local violation of the structure, as shown in the work [2] has a significant impact on the fluid in the nanochannels. In the work [117] the stability of plane latitude for Mi potential is determined by their analysis of the stiffness tensor. There is, however, the possibility of the wave instability. The works of Umeno [107] show the need to explore not only local, but also global instability associated with the collective motion of atoms. Defined the effect of temperature and defects on the local and global instability, the critical shear stress linearly depends on temperature, in contrast to the critical deformation. A requirement for sustainability is the positive definition of the Hessian

matrix [106]. In the work [29] the influence of the film thickness and the temperature on the phase stability of the BCC-zirconium was investigated by molecular dynamics method using the embedded atom model. In the works of Psakhie [92] areas of local structure change in conditions of dynamic loading and thermal fluctuations for the embedded atom model is shown. In the work [60] the emergence of defects in the crystallites of iron, vanadium and copper with high-energy impacts was explored.

1 A review of stability investigation and methods of description of thermomechanical processes in condensed media

1.1 Calculation methods of macroscopic parameters for a system of interacting particles

We introduce the expression connecting the microscopic parameters of the material and the parameters of the equivalent continuous medium.

Potential and specific potential energy is calculated by definition:

U = 2 E nk, Ep = nu, (!)

k

where n is selected interaction potential, Ak is a magnitude of the vector connecting the centres of a pair of particles, N is a number of particles in the system.

Kinetic and specific kinetic energy is determined by the speed of the particles relative to the centre of mass of the system:

Ekin = 2 E mvn, KK = "NEkin, (2)

n

where m is mass of particles, vn is a magnitude of the velocity vector relative to the centre of mass of the system of particles.

Then the temperature is introduced as a measure of the average kinetic energy:

T=!' <■>

where kb is the Boltzmann constant.

The expression for the Cauchy stress tensor and the first Piola-Kirchhoff stress tensor of discrete system in the absence of thermal motion was received in [63],

1

T = 2V

J2Ak Fk, (4)

k

P = 2V) E °kFk, (5)

k

TP

corresponded to the first Piola-Kirchhoff stress tensor in the equivalent continuous medium, V0 and V is volume of the system in the reference and actual configurations.

The task of identifying the stress tensor in the discrete system within the conditions of thermal motion is considerably more difficult. It had led to different approaches for the calculation of the pressure and stress tensor. The expression obtained by R.Clausius [22] based on the virial theorem and the generalization of Clausius expression performed by D.Tsai [105] are regarded as the classic expressions.

21

PV = 3 <Ekm>i + <Ak Fk >t. (6)

k

where < >t is time averaging.

We see that in the absence of movement (6) is the same as the trace of tensor (4). This expression was used in many classical works [4, 55, 36] on the molecular dynamics modeling and it is built into the simulation packages, in particular, LAMMPS, GROMACS and others. An important question discussed in many papers is the expression (6) for systems with periodic boundary conditions, since the expression was initially written for a sample with rigid walls. In the paper [75] it is shown that for the system with periodic boundary conditions an additional term is necessary

J\T T

on the right-hand side of the form —3Vwhich is corresponded to a change i

m

the position of the particle images when the volume changes. The form of this term was determined by H.Bekker [13] for systems with a pair interaction potential and by A.Thomson for systems with many-particle interaction. In these papers it was

shown that, in contrast to the classical definition, where the interactions of only those particles that are inside the selected volume are considered in sum, it is necessary to take into account the interactions with the "images" of particles appearing as a consequence of periodic boundary conditions.

The next widely used approach is the method developed by J. Irwing and J. Kirkwood [57] using the Liouville's equation to calculate the locally equilibrium stress tensor in nonequilibrium problems. A rigorous mathematical justification is given in the work of W.Noll [71]. The practical application of these expressions was hampered by a number of difficulties: 1) it is necessary to perform averaging over the ensemble; 2) use in the formulas of infinite series to take into account the contribution of potential interaction; 3) the need to approximate the Dirac function. All of them were overcome in the work of R.Hardy [52], who proposed using in the expression (7) a smoothing function ^(R — Rn) with a maximum in the points of stress tensor calculation R and normalized to the volume of the whole system, the coefficients Bij determine whether the link ij is inside the selected volume, this smoothing function replaced the Dirac function in the expressions of Irwin and Kirkwood

2 i

PV = 3Y, (mv2n^(R — Rn))t + gE <Ak Fk Bij >t. (7)

nk

When calculating the average pressure in the whole system, Hardy's formula is reduced to the classical expression of Clausius and Tsai.

The expression for the stress tensor used in this paper was obtained by V. Kuzkin and A. Krivtsov [64] and has a number of differences from (6). To compare, we derive the derivation of both equations. To obtain the virial formula, following the work [55] and [108], we transform the expression for the kinetic energy:

~ 1 2 1 V^ dRn

Ekin = 22^ mVn =2^ If •Pn

1 d 1 dPn

= 2 dt^ RnPn — 2^ Rn 'It = (8)

n n

1 d V^R 1 V^-R

= 2 -Pn — 2 Rn n, nn

Pn Fn

exerted upon a particle.

We average the expression obtained with respect to time and note that in the stationary states of the system we are considering, the term d| X!n<Rn-Pn)t vanishes 1081, [551.

(Ekin)t = — 1 E<R-Fn>t. (9)

n

We express from the virial function — n<Rn-Fn)t the term responsible for the interaction between the particles and the term responsible for the interaction with the walls, let us assume that the external pressure is uniformly distributed over the surface.

(Ekin); = 1P / rS — 1 E<Rn-Fn)i, (10)

2 Js 2 n

where S = ndS, dS — surface element of the bounding particle, n is normal to the P

Using the Gauss theorem, we obtain:

31

<£km)i = 2 pv — 2 E <Rn-Fn)t. (11)

n

We rewrite the sum Rn-Fn, doubling and dividing the total force by the amount of individual interactions: Yhn Rn-Fn = 2 k Ak-Fk Finally, the virial pressure is determined by the formula:

+ 2 E<Ak-Fk.

P = 3V ^Em)* + <Ak-Fk)t| . (12)

We give the derivation of the expression for the stress tensor, made by V. Kuzkin [64] We write the equation of motion for a certain reference particle of the medium, since we consider a homogeneous system with periodic boundary conditions, all particles are equivalent and the choice of the particle is arbitrary:

mvn = Fk. (13)

k

We divide the motion into a "rapidly" oscillating component and a "slow" motion to an equilibrium state. The equation of motion for the "slow" component is written in the form [16]:

>t = E^Fk >t. (14)

k

Using the long-wavelength approximation [20]:

Ak = R(r + ak) - R(r) - ak• V R = R V •ak, (15)

o

where R V is a deformation gradient, ak is a vector between the particles in the re-

Ak

R(r)

r

little over distances of the order of interatomic, and using the long-wave approximation we pass from discrete analysis to continuous derivatives and equations of a continuous medium.

Fk(r)>t - (Fk(r - ak)>t - ak• V (Fk(r)>t. (16)

We divide the force into two components, using Newton's third law and (16) Fk(r)>t = 1 ((Fk(r)>t - (Fk(r - ak)>t) - 1 ak• V (Fk(r)>t, we substitute it in (14):

1 —> o o /1 ^-^ \

m(vVn>t - ak • ^ (Fk(r)>t =V W ak (Fk (r)>J . (17)

kk

We compare the expression (17) with the equation of the balance of a continuous medium in the form of Piola [76]. Thus, the discrete analogue of the Piola tensor is defined by the expression:

P = ¿ £ at{Ft(r)>" (18)

k

To derive the expression for the Cauchy tensor, we write the equation (16) in the actual configuration:

<Fk(r))t — <Fk(r — ak))t « Ak • V<Fk(r))t. (19)

Substituting in (14), we divide both parts by the actual volume and transforming the derivatives, we get:

m<*n)t ^ E Ak • V<Fk(r))t =

/ . k \ , A . (20)

= V • ^ E Ak<Fk(r))t — E V • (2vk) <Fk(r))t.

kk

With allowance for (15), the last term can be rewritten in the following form,

V

and in virtue of the Piol identity [76] (V • ( V0R V ) = 0) will be equal to zero:

E V • (A?) (r))t = V0 E V • (YRV) ak <Fk(r)) = 0. (21)

From the requirement of the equivalence of the equation of motion (20) to the equation of motion of a continuous medium, we obtain the final expression for the Cauchy stress tensor.

t =2V E Ak<Fk(r))t. (22)

k

The expressions(12) and (22) have the same form, the difference is in the averaging method: in the virial expression, the products <AkFk)t are averaged, and in (22) each of the terms must be averaged separately, which leads to a number of shortcomings in this expression — the inability to use it in a system with frequently

changing connections and the significant consumption of the computer's RAM for averaging each link separately, on the other hand, this expression is more stringent and one can expect a greater accuracy.

Obtaining the solution of the problems of molecular dynamics

1.2 Interaction potentials

In this paper we study the ensembles of particles interacting via central pair potentials. As the name implies, these potentials should depend only on the modulus of the distance between the particles n(Ak), the force acting between the particles is determined as the first derivative of the potential (23), we will call the second derivative the compound stiffness (23).

The distances at which the interaction force and the compound stiffness go to zero will be denoted as a and b, and will be called the equilibrium distance and the discontinuity distance, respectively.

The parabolic or harmonic potential (24) is the simplest potential with continuous derivatives and a single minimum. D is the depth of the potential well, the coefficients in (24) are chosen so that the rigidity of the connection corresponds to the rigidity of the Lennard-Jones potential (25) for Ak = a. Due to its simplicity, this potential is often used in analytical calculations, since it allows obtaining exact solutions for ensembles of particles. In molecular dynamics, the potential can be used if the relative displacements of the particles are small, with some modification, as an angular spring between the particles to describe long organic molecules.

nk = n(Ak)

Fk = F (Ak)

Ck = C (Ak)

(23)

Fk =

36D, „

nk = 36- (a - Ak)2 - 1, a2

72-

a

2

(a - Ak ), Ck =

72-

a2

(24)

The Lennard-Jones potential (25) was proposed in 1924 [72] and is successfully used to describe the Van der Waals interaction, in particular noble gas crystals. The right branch ^a^) corresponds to the interaction of two dipoles, the left ^A^) approximates the repulsion force under compression. This potential is very simple from a computational point of view, and due to even powers it does not require the extraction of the root ^JA^. Since the Lennard-Jones potential is two-parameter, we can satisfy only one macroscopic parameter of the material.

nk = D

Fk =

12D

Ck =

a

12D

a

2

a

Âk)

a

VÂk.

a

12

13

a

a

(25)

14

a

13 V Ak) 7 V Ak,

A further modification of (25) is the Mi potential, where there are 4 parameters including independent power exponents of the potential branches > (a^) •

The main potential used in this work is the Morse potential (26), proposed in 1929. This potential is three-parameter and allows choosing two macroscopic parameters. The parameter aa makes it possible to control the width of the potential well, and the exponential form of the potential is convenient for obtaining analytical solutions. One of the important differences from the Lennard-Jones potential is the absence of the asymptote Ak = 0, and although the simulation by classical methods at such high pressures is not correct, the Morse potential allows obtaining physically valid results.

6

7

8

nk = D

Fk = 2Da Ck = 2Da2

e2a(a—Afc) _ 2ea(a—Afc)

e2a(a—Afc) _ ea(a—Afc)

2g2a(a—Afc) _ ga(a—Afc)

Figure 1 shows a comparison of the three potentials described above, in this case for the Morse potential the parameter aa = 6, while the differences from the Lennard-Jones potential are minimal. It should be noted that in modeling, the so-called cut-off distance acut is used to accelerate calculations, then the distance beyond which the interaction of the particles is neglected. This value should be considered as an additional parameter of the potential (for details, see the paragraphs 2.2-2.4), which significantly affects the calculation results. It should be noted that when considering the systems where the internal structure is actively rearranged, the use of acut leads to a violation of the law of conservation of energy, the solution to this problem is to use the smoothing functions [63] such that F (acut) = 0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

A k,a

a

Figure 1: Dependence of potential energy n (a), scalar force F (b), coupling stiffness of the pair of particles C (c) on the distance between the particles Ak. 1 — the parabolic potential, 2 — the Lennard-Jones potential, 3 — the Morse potential.

To model real crystal structures, the molecular dynamics method usually employs more complex types of interaction laws, many-particle and moment potentials. Then the potentials are divided according to the type of interactions described. To simulate structures with a covalent interaction, we can single out the many-particle potentials of Stillinger-Weber, Tersoff-Brenner, and the moment potentials of the V-model, the immersed atom potential (EAM — embedded atom model) is widely

used for metal modeling. These potentials have many varieties of applied depending on the accuracy and the simulated processes. Despite the large number of specialized potentials, the study of the properties of pair interactions is relevant because the vast majority of potentials contain a pair component. The metal bond is non-directional and unsaturated, as is the Van der Waals interaction, which explains the general view of the potential of the immersed atom (27) [24].

In the expression for the particle energy (27), the first term of the equation is a pair potential, and the second is responsible for the multiparticle interaction (function with some effective "electron density" field created by neighbor particles (function p(Ak)). The necessity of the second component of the potential is related to several factors, in particular the ratio of the crystal energy to the melting point for systems with pair interaction is approximately 3 times less than for real metals, and the energy of formation of vacancies is 3 times larger.

1.3 Strong ellipticity conditions for equivalent continuum

Following the works [87, 102], we derive the analytic criterion for the strong ellipticity of the equilibrium equations of an equivalent continuum. We will check the strong ellipticity of an individual deformed state with respect to small perturbations, without considering the way the system was brought into this state. We consider an infinite crystal structure in which the particles are connected by a pair of force potentials. Using the long-wavelength approximation, after imposing a finite deformation, we pass to an equivalent continuous medium. The equation of motion in the form of Piola will be of the form [76]:

where p0 is the density of the medium in the reference (deformed) configuration, equal to the ratio of the mass m of the particles incident on the unit cell to its