Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Кабриц, Мария Сергеевна

• Кабриц, Мария Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кабриц, Мария Сергеевна

Глава

Введение.

1.1. Импульсные системы и методы их исследования.

1.2. Основные результаты диссертации.

Глава

Устойчивость нелинейных импульсных систем.

2.1. Устойчивость по первому приближению.

2.2. Устойчивость в критическом случае.

Глава

Стабилизация нелинейных импульсных систем.

3.1. Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода

3.2. Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем»

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется двумя обстоятельствами. Во-первых, импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости. Во-вторых, некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами. С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы является импульсный модулятор, который описывается нелинейым оператором, отображающим входной сигнал сг(£) в выходной сигнал £(£) (обе функции определены при £ > 0). Конкретный вид оператора заивисит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации = 0 < *х < *2 < . Интервал [Ь ти 1) называется п-м тактовым интервалом.

Для описания импульсного модулятора используют две основные математические модели. В случае первой из них оператор, описывающий импульсный модулятор, определен на множестве непрерывных входных функций <т(£), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию £(£). При ¿п < Ь < ¿га+1 функция £(£) описывает форму п-го импульса (обычно £(£) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда

Здесь Ь'п, тп, \п — некоторые числа, < < + тп < £п+1. Числа Ап и тп называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно ограничены кусками синусоиды [34]. Некоторый из параметров функции £(£) считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции сг(£). Последние параметры называются модулированными. Например, если является функционалом от <т(£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если ¿га не модулируется, то £„ = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Во второй модели модулятора входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью ^-функций Дирака:

00 п=О где моменты импульсации £п и коэффициенты Ап могут быть функционалами от сг(£). Таким образом, эту модель используют для описания частотно-импульсной и амплитудно-импульсной модуляции. В этом случае входные функции обычно предполагают кусочно-непрерывными.

В диссертации будут рассматриваться модели импульсных модуляторов первого типа при этом в случае частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) вместо формулы (1.1.1) будем полагать оо (1-1-2)

71=0 где

-, при 0 < £ < е о, при t < о, г > е причем 0 < е < тт(£п+1 — £п) п

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции [4, 29, 38].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1)

Она описывается уравнениями

Isigna(nT), пТ < t < пТ + тп,

1.1.3)

О, nT + rn<t<(n + 1 )Т, тп = Тф(\а(пТ) I). (1.1.4)

В этом случае tn — пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф(сг) — непрерывная функция, определенная при а е [0, +оо), 0(0) = 0, 0 < ф(а) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2)

Здесь £(£) определяется формулой (1.1.3), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф(\о(пТ + тп)\), (1.1.5) если таковой найдется на интервале [0,Т), и тп = Т в противном случае. Здесь функция ф(а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор Л4 отображающий сигнал a(t) е С[0, Р) в £{t) е L[0, Р), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.1.4). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет вообще говоря разрывным, поскольку корень уравнения (1.1.5) не является непрерывным функционалом от функции a{t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

В этом случае ос = ^An4(*-nT), (1.1.6) п=0 где Ап = ф(а(пТ — 0)). Функция ф(а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при а Е (—сю, +оо), </>(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1)

Здесь £(£) задается с помощью (1.1.1),

1згдпа{1п — 0) при |сг(£п — 0)| > А,

1.1.7)

0 при \сг(Ьп — 0)| < Д,

1 = + Тп, Тп = а(гп - 0)|). (1.1.8)

Функция Р{а) непрерывна и монотонно убывает при а Е [0, +оо), ^(+оо) = Т* > 0, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2)

Здесь £(£), Хп и -Р(сг) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения

Тп = ^(|<г(*п+Т„-0)|).

Комбинированная модуляция

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой = пТ, где ап = тп = ап, при пТ < £ < пТ + тп 0, при пТ + тп<Ь <{п+ 1 )Т з1дпа(пТ), при \а(пТ)\ < 1 <т(пТ), при \а(пТ)\ > 1

7\Р|<т(пТ)|, при \сг(пТ)\ < 1 Т, при \(т(пТ)\ > 1

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см., например, [4, 20, 23, 28, 36, 37, 38]).

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний х(£)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [45] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В.М. Кунчевичем и Ю.Н. Чехавым в [29, 49] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [5], метод прямых интегральных оценок [47] и предложенный В.А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [40, 41, 42]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [19].

В работе [43, 44] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип "эквивалентных площадей" и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А.Х. Гелига [46] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А.Н. Чуриловым в [39]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [46].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [3], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [6, 7, 17], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [18], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [10, 11, 16, 22], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [21], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [9, 12, 13].

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Кабриц, Мария Сергеевна

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Рассмотрена асимптотическая устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой системой функционально-дифференциальных уравнений с разрывным нелинейным оператором в правой части. Получена нижняя оценка на частоту импульсации при которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы. Тем самым доказана справедливость гипотезы о том, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость нелинейной импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы.

2. Получены условия асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной импульсной системы в критическом случае наличия одного нулевого корня характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

3. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка осуществлен аналитический синтез стабилизирующей обратной связи (сигнал на входе импульсного модулятора), при которой состояние равновесия устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

4. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка построено робастное стабилизирующее управление, которое обеспечивает устойчивость в целом замкнутой системы при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кабриц, Мария Сергеевна, 2004 год

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодических решений системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями // ДАН СССР, 1957, Т 116, N 4.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями / / Прикладная математика и механика, Т XXI, 1957, с. 658-669.

3. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асимхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией// Автоматика и Телемеханика, 1993. N 4, с. 108-114

4. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М: Энергия, 1974. 336 с.

5. Гелиг А.X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 192 с.

6. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1983. Вып. 13.

7. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой// Автоматика и Телемеханика, 1984. N 10.

8. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению. // Прикладная математика и механика, Том 67. Вып.2, 2003

9. Гелиг А.Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем.// Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 2004. Вып. 2.

10. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциального уравнения Ито с монотонной нелинейной характеристикой// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1995. Вып. 4.

11. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров// Автоматика и Телемеханика, 1995. N 11.

12. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация импульсных систем с нестационарной линейной частью.// Вестник С.-Петербург. ун-та, Сер.1, вып.1(Ш), 2003.

13. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и Телемеханика, 2004. N 5.

14. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. //Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 2003. Вып. 2.

15. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1. 2004. Вып. 1.

16. Гелиг А.Х., Санкина Н.А. Устойчивость первого класса функционально-дифференциальных уравнений Ито в критическом случае одного нулевого корня// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1998. Вып. 2, с. 19-23.

17. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Условия автоколебательности нелинейных систем// Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1985. Вып. 1.

18. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 266 с.

19. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием.// Дифференциальные уравнения (Минск),1997, N6, С. 748-753.

20. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией.// С.-Петербург, ун-та, Cep.l), Bbin.l(Nl), 2003.

21. Гелиг А.Х., Чурилова М.Ю. Стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием// Сборник "Анализ и управление нелинейными колебательными системами" С.-Петербург: Наука, 1998, с. 5-21.

22. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1994. Вып. 2. с. 3-9.

23. ДжуриЭ. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 456 с.

24. Кабриц М.С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2003,N4, стр. 26 -37.

25. Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня / / Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68 -81.

26. Кабриц М.С. Устойчивость астатических импульсных систем // Депонирование в ВИНИТИ.

27. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсных систем управления // ДАН, Т 324, N2, 1992.

28. Косякин A.A., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М: Наука, 1983, 334с.

29. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления счастотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970, 340с.

30. Леонов Г. А. О неустойчивости по первому приближению для нестационарных систем. // Прикладная математика и механика, Том 66. Вып.2, М: Наука, 2002, с. 330-333

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950, 472 с.

32. Ляпунов A.M. Исследование первого из особенных случаев задачи об устойчивости движения. JL: ЛГУ, 1963, 116 с.

33. Макаров И.М. (ред.) Время-импульсные системы автоматического управления. М.: Наука, 1997. 221 с.

34. Моргоновский Ю.Я. Импульсные системы управляемой стру- ктуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

35. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 254 с.

36. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

37. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

38. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

39. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем// Автоматика и Телемеханика, 1991. N 6, с. 95-194

40. Шепелявый А.И. Частотные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости широтно-импульсных систем управления/ / Вестник Ленингр. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3.N 13. С. 77-85.

41. Якубович В. А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180 N2, С. 290-293.

42. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости (специальные случаи) В кн.: Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 120-180.

43. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data system with linear elements// IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5, N4, P. 306-313.

44. Andeen R.E. The principle of equivalent areas. Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. Vol. 79. P. 332-336.

45. Delfeld F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems// IRE Trans. Autom. Control. 1961. Vol. 6, N3, P. 35-44.

46. Gelig A.Ch. Frequency criteria for nonlinear pulse systems stability// Systems and Control Letters, 1982. Vol. 1, N 6

47. Gulcur И.О., Meyer A.U. Finit-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators// IEEE Trans. Autom. Control. 1973. Vol. 18, N4, P. 387-392.

48. Khalil H Nonlinear systems.// Prentice Hall. New Jersey. 1996.

49. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation. Automatica (IFAC journal), (7): 7-81, 1971.

50. Ling H., Michel A. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems.// Automatica 37 (2001) p. 1335-1349.

51. Perron O. Uber eine Matrixtransformation// Math.Z., 1930. Bd. 32. s. 465-473