Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Агафонцев, Дмитрий Сергеевич

• Агафонцев, Дмитрий Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Агафонцев, Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1. Бифуркации и устойчивость солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей

1.1. Основные уравнения

1.2. Разложение гамильтониана и матричные элементы

1.3. Расчет констант нелинейного взаимодействия

1.4. Солитонные решения

1.5. Устойчивость солитонных решений

Глава 2. Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины.

2.1. Расчет констант нелинейного взаимодействия и вывод обобщенного НУШ

2.2. Исследование устойчивости волн Стокса

2.3. Солитонные решения и их устойчивость

Глава 3. Коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой

3.1. Аналитические результаты.

3.2. Численное моделирование коллапса солитонов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость и коллапс солитонов вблизи перехода от мягкой к жесткой бифуркации в системах гидродинамического типа»

Солитоны были впервые обнаружены на поверхности жидкостей в позапрошлом веке и долгое время представляли интерес лишь для небольших групп специалистов в области гидродинамики и математики. В конце 50-х годов XX века концепция солитонов проникает в физику плазмы, а с начала 70-х, когда была продемонстрирована структурная устойчивость солитонов уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) [1] и нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) [2], а также было предложено использовать солитоны в качестве битов информации в оптоволоконных коммуникациях [3], солитоны становятся весьма популярным объектом исследования.

Солитоны, согласно общепринятому определению, представляют собой нелинейные локализованные в пространстве объекты, движущиеся с постоянной скоростью. Скорость солитона является главным параметром солитона, часто определяющим его амплитуду и ширину. Подобными являются солитоны на поверхности жидкостей, а также солитоны, впервые открытые в плазме - ионно-акустические и магнитозвуковые. Однако, впоследствии были обнаружены и более сложные солитонные решения в виде осциллирующих солитонов, внутри которых происходят осцилляции с определенной частотой и длиной волны. Подобные солитонные решения часто возникают в задачах о распространении квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией, включая также задачи о самофокусировке. „Внутренняя" длина волны осциллирующих солитонов, как правило, много меньше их характерного размера, поэтому такие солитоны часто называют „солитонами огибающих".

Скорость „простого" солитона может принимать значения внутри некоторого „разрешенного" интервала, границы которого определяются в общем случае из условия касания плоскости со = (к • V) и дисперсионного соотношения для линейных волн ш = с^(к); пересечение этих поверхностей означает присутствие черенковского излучения и невозможность существования стационарно движущихся объектов. На границах интервала скорость солитона принимает экстремальное значение V^, равное минимальной (или максимальной) фазовой скорости линейных волн, и в результате солитоны испытывают либо мягкую, либо жесткую бифуркации. Подобные бифуркации солитонов впервые были обнаружены для гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде в численных экспериментах Лонге-Хиггинса [4]. При V V^ амплитуда солитона может стремиться к нулю плавно (мягкая бифуркация), либо испытывать скачек (жесткая бифуркация). Бифуркации солитонов имеют много общего с фазовыми переходами. В частности, как было выяснено в работах [5]-[9], солитоны в случае мягкой бифуркации вблизи критической скорости ведут себя универсальным образом: их форма определяется стационарным НУШ фокусирующего типа, ширина ведет себя как \Vcr — F|~1//2, а амплитуда - как |Va- — V]1/2. Последнее роднит эти явления с фазовыми переходами второго рода. С другой стороны, аналогом фазового перехода первого рода является жесткая бифуркация, когда амплитуда солитона испытывает скачек в точке бифуркации. Если этот скачек мал, то жесткая бифуркация близка к мягкой, что позволяет развить теорию возмущений так же, как и в случае фазовых переходов вблизи три-критической точки.

Переход от мягкой бифуркации к жесткой соответствует смене знака четы-рехволнового матричного элемента. В работе [10] было показано, что подобная ситуация имеет место для солитонов внутренних волн, распространяющихся вдоль границы раздела между двумя идеальными жидкостями, когда отношение их плотностей р = Р2/Р1 < 1 совпадает с критическим рс- = (21—8\/5)/11 « 0.283. Если плотность верхней жидкости много меньше чем плотность нижней р <С 1, то также как и в случае чистых гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде, солитоны испытывают мягкую бифуркацию. С ростом отношения плотностей жидкостей характер нелинейного взаимодействия меняется с фокусирующего на дефокусирующий при переходе через ра-, где четырехвол-новый матричный элемент обращается в ноль. При этом в случае р > Per соли-тоны испытывают жесткую бифуркацию: при V —» Vcr их амплитуда меняется скачком с некоторого конечного значения до нуля.

Обращение константы четырехволнового взаимодействия в ноль происходит также в системе поверхностных квазимонохроматических гравитационных волн в жидкости конечной глубины при критическом произведении глубины жидкости и волнового числа основной гармоники k^h ~ 1.363. Этот факт был впервые установлен в 1966 году в работах Уизема [11, 12], где с использованием метода усреднения по быстрым осцилляциям было показано, что при переходе koh через критическое значение усредненные уравнения движения изменяют свой тип, являясь при koh < k^h гиперболическими и соответственно эллиптическими при koh > kcrh. В 1967 в работе Бенджамина и Фейра [13] была исследована устойчивость слабонелинейных периодических гравитационных волн на поверхности жидкости - волн Стокса. В частности, было установлено, что волны Стокса являются неустойчивыми при koh > k^h и устойчивыми в противном случае. Область неустойчивости Бенджамина-Фейра в пространстве волновых чисел возмущений пропорциональна амплитуде волны Стокса, т.е. в пределе малых амплитуд неустойчивые возмущения представляют собой модуляции исходной волны. Последнее обстоятельство послужило основанием для вывода НУШ для огибающих, что было выполнено Хасимото и Оно [14]. В частности было показано, что устойчивость монохроматических волн определяется знаком коэффициента перед кубической нелинейностью, который обращается в ноль при koh = kcrh.

В нелинейной оптике уменьшение абсолютного значения четырехволнового матричного элемента может происходить за счет стрикционного взаимодействия (рассеяние Мандельштамма-Бриллюена), что было продемонстрировано в работе [15].

Солитоны, как физические объекты, представляют практический интерес если они устойчивы. Поэтому задача об устойчивости солитонов является одной из главных. В случае неустойчивости одним из возможных вариантов нелинейной стадии неустойчивости является волновой коллапс - разрушение солитона происходит за конечное время с образованием сингулярности для амплитуды и/или ее градиентов. С точки зрения нелинейной оптики, например, оптики световолокон, этот процесс сопровождается сжатием импульса и поэтому может служить в качестве возможного способа получения сверх-коротких импульсов.

Структура диссертации следующая.

В Главе 1 в рамках метода гамильтонова формализма рассматривается задача о бифуркациях и устойчивости одномерных солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг. Так как при р —> рсг константа четырехволнового взаимодействия стремится к нулю, то для адекватного описания свойств солитонов необходимо учитывать члены высших порядков ио сравнению с классическим НУШ: градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию а также шестиволновое взаимодействие. Оказывается, что первые бывают двух типов (оба присутствуют в задаче): локальный, аналогичный нелинейности Лифшица для фазовых переходов, а также нелокальный, аналогичный найденному Дистом [16] для гравитационных волн на глубокой воде. В разделах 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 рассчитываются константы нелинейных взаимодействий, а также выводится результирующее уравнение на огибающую первой гармоники солитона. В разделе 1.4 исследуются солитонные решения. В частности, в случае V < V^. с помощью численного моделирования найдены три семейства sign(/9 — per) = 0, ±1 экспоненциально затухающих солитонов. В случае V = V^. существует только один алгебраически затухающий соли-тон, соответствующий жесткой бифуркации р > рсг, форма которого найдена аналитически. В разделе 1.5 с помощью теоремы Ляпунова, а также точных интегральных оценок типа Соболева анализируется устойчивость солитонных решений. Показано, что семейство солитонов р < р^, испытывающих мягкую бифуркацию при V —»■ Ver, реализует минимум энергии при фиксированном волновом действии, что означает устойчивость рассматриваемых решений не только относительно малых, но также и относительно конечных возмущений. В то же время, солитоны, соответствующие жесткой бифуркации р > Per, реализуют седловую точку энергии, что означает их неустойчивость относительно конечных возмущений.

В Главе 2 исследуется динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн для жидкости конечной глубины вблизи критического произведения волнового числа основной гармоники и глубины жидкости kcrh. С помощью методов, развитых в главе 1, в разделе 2.1 выведено обобщенное нелинейное уравнение Шредингера на огибающую первой гармоники волнового пакета, которое rio сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехволновому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. По сравнению с солитонами внутренних волн в данной задаче отсутствуют какие-либо нелокальные члены. В разделе 2.2 исследуется устойчивость решения полученного уравнения в виде монохроматической волны. В частности установлено, что область устойчивости волны Стокса в ^-пространстве сужается с ростом ее амплитуды. В разделе 2.3 рассматриваются бифуркации и устойчивость солитонных решений обобщенного НУШ. Солитоны характеризуются величиной —А2, которая имеет смысл энергии солитона как связанного состояния для нелинейного уравнения Шредингера. Показано, что при А —> О солитоны испытывают мягкую бифуркацию при k^h > kcrh и являются устойчивыми относительно конечных возмущений, тогда как в противном случае koh < kcrh солитоны испытывают жесткую бифуркацию и являются неустойчивыми относительно конечных возмущений.

В Главе 3 рассматривается вопрос о возможности развития коллапсов в системах, описанных в главах 1 и 2. В частности также исследуется вопрос о нелинейной стадии неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой. В разделе 3.1 показано, что в случае дефокусирующей кубической нелинейности как для системы внутренних волн (ГУУ), так и для квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины (\¥\¥) существуют распределения с отрицательным гамильтонианом Н < О, амплитуда которых не может становиться меньше фиксированного значения, определяемого через значения гамильтониана и волнового действия на данном распределении. В отсутствии локального градиентного члена к четырехволновому взаимодействию условие отрицательности гамильтониана на распределении оказывается достаточным условием образования особенности в системе за конечное время, т.е. коллапса. В разделе 3.2 приведены результаты численного моделирования возмущенных солитонов для случаев 1\¥ и соответствующих жесткой бифуркации. Показано, что в зависимости от начального возмущения одной из возможных нелинейных стадий неустойчивости таких солитонов является коллапс развивающийся автомодельным образом. Достаточно неожиданным результатом оказалась практически полная симметричность пика распределения вблизи образования коллапса в присутствии нелинейности вида г/3\ф\2,фх, которая в зависимости от знака ¡3 должна приводить к дополнительному укручению переднего или заднего фронта волны и опрокидыванию. Вместо этого, как для 1\У {¡3 > 0), так и для (/? < 0), несимметричность импульса проявлялась только вдали от максимума распределения.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложениях А и Б вынесен подробный вывод некоторых формул, приведение которых в основном тексте прерывало бы связность изложения ввиду их излишней громоздкости.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Агафонцев, Дмитрий Сергеевич

Заключение

Перечислим основные результаты работы.

1. Разработан основанный на применении гамильтонова формализма метод теории возмущений для исследования свойств квазимонохроматических волновых пакетов в нелинейных средах в случае, когда константа четы-рехволнового взаимодействия близка к нулю. В рамках данного метода предложен способ расчета всех необходимых констант нелинейного взаимодействия. В частности, получена формула для подсчета перенормировки константы шестиволнового взаимодействия за счет трех-, четырех-, и пятиволнового взаимодействия для произвольной динамической системы.

2. С помощью предложенного метода исследованы бифуркации солитонов внутренних волн вблизи критического отношения плотностей жидкостей рсг при стремлении скорости солитона к минимальной фазовой скорости линейных волн. Выведено обобщенное нелинейное уравнение Шрединге-ра, описывающее поведение солитонов при v —> V^-, которое по сравнению с классическим НУШ учитывает градиентные члены к четырехвол-новому взаимодействию и шестиволновое взаимодействие. Показано, что при р < рсг солитоны испытывают мягкую бифуркацию, тогда как при Р > Per - жесткую. Анализ устойчивости полученных солитонных решений показал, что солитоны, соответствующие случаю мягкой бифуркации, устойчивы относительно конечных возмущений, тогда как солитоны, соответствующие случаю жесткой бифуркации - неустойчивы.

3. Рассмотрена динамика квазимонохроматических поверхностных гравитационных волн в жидкости конечной глубины h вблизи крититического произведения волнового числа и глубины жидкости Ос- = kcrh. В частности, проанализированы устойчивость волн Стокса в зависимости от амплитуды волны, а также бифуркации и устойчивость солитонов огибающих при стремлении обратной ширины волнового пакета к нулю. Показано, что в случае 0 > солитоны являются устойчивыми относительно конечных возмущений и испытывают мягкую бифуркацию, тогда как в случае в < 9СГ солитоны неустойчивы и испытывают жесткую бифуркацию.

4. Исследована нелинейная стадия неустойчивости солитонов, соответствующих случаю жесткой бифуркации, вблизи перехода от мягкой бифуркации к жесткой как для солитонов внутренних волн, так и для поверхностных солитонов огибающих в жидкости конечной глубины. Показано, что в зависимости от знака возмущения в системе возможен коллапс, развивающийся автомодельным образом. При этом вблизи образования коллапса пик распределения остается практически симметричным. Влияние эффекта у кручения фронта приводит к асимметрии его хвостов.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. D.S.Agafontsev, F.Dias, E.A.Kuznetsov, Bifurcations and stability of internal solitary waves, JETP Letters, vol. 83 (2006), iss. 5, pp. 241-245.

2. D.S.Agafontsev, F.Dias, E.A.Kuznetsov, Deep-water internal solitary waves near critical density ratio, Physica D, vol. 225 (2007), No. 2, pp. 153-168.

3. Д.С.Агафонцев, Бифуркации и устойчивость поверхностных солитонов огибающих для жидкости конечной глубины, Письма в ЖЭТФ, том 87 (2008), вып. 4, с. 225-229.

4. D.S. Agafontsev, F. Dias, Е.А. Kuznetsov, Collapse of solitary waves near transition from supercritical to subcritical bifurcations, arXiv:0805.1620vl, will be published in JETP Letters vol. 87 (2008), iss. 11.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Агафонцев, Дмитрий Сергеевич, 2008 год

1. C.S.Gardner, J.M.Green, M.D.Kruskal, R.B.Miura, Phys. Rev. Lett. 19, 1095 (1967).

2. M.S.Longuet-Higgins, J. Fluid Mech. 252, 703 (1993).

3. T.R.Akylas, Phys. Fluids 5, 789 (1993).

4. F.Dias, G.Iooss, Eur. J. Mech. B/Fluids 15, 367-390 (1996).

5. G.B.Whitham, Proc. R. Soc. Lond. A. 283 (1965), pp. 238-261

6. G.B.Whitham, J. Fluid Mech. 22 (1965), pp. 273-283

7. T.B.Benjamin, J.E.Feir, J. Fluid Mech. 27 (1967), pp. 417-430.

8. H.Hasimoto, H.Ono, J. phys. Soc. Japan, 33 (1972), pp. 805-811.

9. Е.А.Кузнецов, ЖЭТФ 116, 299 (1999).

10. K.B.Dysthe, Proc. R. Soc. Lond. A 369, 105-114 (1979).

11. В.М.Конторович, Известия вузов, Радиофизика 19, 872-879 (1976).

12. В.Е.Захаров, ПМТФ. 9, 86 (1968).

13. В.Е.Захаров, В.С.Львов, Известия вузов, Радиофизика 18, 1470-1487 (1975).

14. В.Е.Захаров, Е.А.Кузнецов, ЖЭТФ 113, 1892 (1998).

15. В.И.Петвиашвили, Физика плазмы, 2, 247 (1976).

16. Н.Г.Вахитов, А.А.Колоколов, Известия вузов, Радиофизика 16, 783 (1973).

17. A.Davey, K.Stewartson, On three-dimensional packets of surface waves, Proc. R. Soc. A 388, 191.

18. V.E.Zakharov, in Handbook of Plasma Physics, Vol. 2, Basic Plasma Physics, eds. A.A.Galeev, R.N.Sudan (Elsevier, North-Holland, 1984), pp. 3-36.

19. A.C.Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, Philadelphia, 1985).

20. F.Dias, E.A.Kuznetsov, Phys. Letters A 263, 98-104 (1999).

21. D.J.Каир and A.C.Newell, J.Math.Phys. 19, iss.4, 798-801 (1978).

22. S.Dyachenko, A.C.Newell, A.Pushkarev, V.E.Zakharov, Physica D 57 (1992) 96-160.

23. S.K.Turitsyn. Phys. Rev. E 47, R13-16 (1993).

24. E.A.Kuznetsov, J.J.Rasmussen, K.Rypdal, S.K.Turitsyn, Physica D 87, 273 (1995).

25. Н.А.Жарова, А.Г.Литвак, В.А.Миронов, ЖЭТФ 130, 21 (2006).

26. А.А.Балакин, А.Г.Литвак, В.А.Миронов, С.А.Скобелев, ЖЭТФ 131, 4082007).