Условия быстрого убывания функций концентрации сверток вероятностных распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат наук Елисеева, Юлия Сергеевна

• Елисеева, Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Елисеева, Юлия Сергеевна

Оглавление

§ 1. Введение

§ 2. Уточнение результатов Фридланда и Содина

§ 3. Уточнение результатов Рудельсона и Вершинина

§ 4. Уточнение результатов Вершинина

§ 5. Многомерное обобщение результатов Арака

§ 6. Об одном общем результате

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Условия быстрого убывания функций концентрации сверток вероятностных распределений»

1. Введение

История вопроса

Пусть ..., Хп,... - независимые одинаково распределенные слу-

чайные величины с общим распределением F = С{Х). Функция концентрации Леви случайной величины X определяется равенством

= эир^Ка;, х + Л]}, А ^ 0.

Функция концентрации является одним из основных объектов изучения в современной теории вероятностей. В частности, интересны оценки функций концентрации сумм независимых случайных величин. Классическими среди них являются неравенства Колмогорова-Рогозина [10] и Эссеена [16], полученные в 60-е годы прошлого века. Наряду с этой задачей интенсивно изучался ее частный случай. Пусть а = (ах,..., ап) Е 11", а ф 0. Нас интересует

п

поведение функции концентрации случайной величины ^ акХк в зависимо-

к=1

сти от арифметической структуры коэффициентов В последнее время интерес к этому вопросу значительно возрос в связи с изучением распределений собственных чисел случайных матриц (см., например, [26]—[28], [32]—[34]). Авторы упомянутых выше статей (см. также [13], [20], [25]) называют этот вопрос проблемой Литтлвуда-Оффорда, так как впервые рассмотрением этой проблемы занимались Литтлвуд и Оффорд в 1943 году при изучении случайных полиномов [25]. В настоящей диссертации получены новые оценки в проблеме Литтлвуда-Оффорда. Также мы обсудим их связь с общими результатами.

Первый результат для функций концентраций взвешенных сумм был получен Литтлвудом и Оффордом [25]. При этом первые работы относились к случаю А = 0, то ссп> оценивалась максимальная вероятность того, что исследуемая сумма примет некоторое конкретное значение.

Предложение 1.1. Пусть X, ..., Хп,... - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения ±1 с вероятно-

стями 1/2. Пусть а — (аь ... ,ап) £ Rn - вектор коэффициентов, причем

п

dk ф 0, \ak\ ^ 1. Fa - распределение суммы ^ a>kXk- Тогда

к= 1

/ log П\

<2№>,0) = 0(^). (1.1)

Здесь и далее мы будем использовать асимптотические обозначения О и о в предположении, что п —> оо.

Немного позднее Эрдёш [13] доказал, что выполняется следующее

Предложение 1.2. В условиях предложения 1.1 справедливо

Q(F„,0) = 0(^). (1.2)

Данная оценка является точной по порядку. Это легко увидеть, взяв ai = ... = ап = 1. Однако Эрдёш и Мозер [14] показали, что данная оценка может быть значительно улучшена в случае, когда все ak различны.

Предложение 1.3. Если все коэффициенты ai,..., ап различны, то

/ log П\

Спустя некоторое время, Саркози и Семереди [31] показали, что логарифмический множитель можно убрать.

Предложение 1.4.

Увидеть, что результат точный, можно, взяв в качестве коэффициентов ai,..., ап отрезок арифметической прогрессии 1,..., п.

Введем некоторые обозначения. В дальнейшем Fa - распределение суммы

п

Sa = Y1 akXk, Ey - вероятностная мера, сосредоточенная в точке у, а G -к=1 _ _

распределение случайной величины X, где X = Х\ — Х2 ~ симметризованная случайная величина. Обозначим

М(т) = т-2 J х2 G{dx} + J G{dx} = E min {Х2/т2, l}, г > 0. (1.5)

Одной и той же буквой с мы будем обозначать положительные абсолютные постоянные, которые могут быть различными даже в пределах одной формулы. Запись А В означает, что \А\ ^ сВ и В > 0. Будем также писать А х В, если i « 5 и 5 « i. Заметим, что в условиях предложений 1.1-1.4, Q(Fa, 0) х Q(Fa, 1). Для х = (xi,..., хп) £ Rn мы будем обозначать ||а;||2 = х\ + • • • + х2п и = maxj \xj\.

Простейшие свойства функций концентрации хорошо изучены (см., например, монографии [3], [9], [11]). Очевидно, в частности, что Q(F,fi) ^ (1 + L/V'VI) Q{F, А) для любых /I, А > 0, где [xj - максимальное целое число, строго меньшее х. Следовательно,

Q(F,cA)x Q(F, А) (1.6)

и

если Q(F, А) < К, то Q{F,/i) < K(l + fJt/X). (1.7)

Кроме того, для любого распределения F справедливы ставшие уже классическими неравенства Эссеена [15], см. также [9] и [И]:

А-1 А-1

A j \F(t)\2 dt «С Q(F, А) < A J \F(t)\dt, А > 0, (1.8)

о о

/ч

где F(t) - характеристическая функция соответствующей случайной величины. Заметим, что оценки сверху и снизу в неравенствах (1.8) могут иметь разный порядок. Это связано с наличием второй степени в левой части

формулы (1.8). В общем случае оба неравенства (1.8) оптимальны по порядку. Однако, если дополнительно предположить, что распределение F симметрично и его характеристическая функция неотрицательна при всех t £ R, то справедлива оценка снизу

А-1

Q(F, A) »A J F(t)dt (1.9)

о

и, тем самым,

а-1

Q(F, А) х A J F(t) dt (1.10)

о

(см. [3], лемма 1.5 гл. II). Применение соотношения (1.10) позволит нам существенно упростить рассуждения, использованные при рассмотрении одномерной проблемы Литтлвуда-Оффорда в работах Фридланда и Содина [18], Рудельсона и Вершинина [28] и Вершинина [34].

Заметим, что проблема Литтлвуда-Оффорда является частным случаем задачи об изучении поведения функции концентрации сумм независимых случайных величин. Напомним некоторые результаты, полученные при решении этой общей задачи. Один из них - неравенство Колмогорова-Рогозина [10] (см. [3], [9], [11]).

Предложение 1.5. Пусть Yi,...,Fn - независимые случайные величины с распределениями Wk = C(Yk)- Пусть Ai,..., Хп - полоэюителъные числа, Afc < А {к = 1,... ,п). Тогда

п п —1/2

з(£(Еу*),А) «A(EAH1-Q(w/bAfc))) . (l.ii)

к=1 к=1

Эссеен [16] (см. теорему 3, гл. III из [9]) уточнил этот результат, показав, что справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.6. В условиях предложения 1.5 выполняется

п п —1/2

<<а(Еа*м*(а*))~ > (i-i2)

к=1 к=1

где Мк{т) — Е min \Yk /т2, l}.

В работах [2], [3], [7], [8], [12], [22] можно также найти уточнения неравенств (1.11) и (1.12).

Заметим, что из соотношений (1.11) и (1.12) для одинаково распределенных слагаемых нельзя получить оценки лучше по порядку, чем 0(п-1//2). В частности, отсюда не следуют оценки, полученные в предложении 1.4.

В диссертации рассматриваются результаты, по существу обобщающие предложения 1.3 и 1.4 на случай взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Эти результаты могут давать оценки более точные по порядку, чем оценки, полученные в работах Фридланда и Содина [18], Рудельсона и Вершинина [28] и Вершинина [34].

Рассмотрим теперь более общую, многомерную постановку задачи и сформулируем аналогичные свойства функций концентрации для этого случая. Пусть Х,Х\,... ,Хп по-прежнему являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Под функцией концентрации случайного R^-значного вектора Y с распределением F = C{Y) будем понимать

Q(F, А) = sup Р(У G 1 + \В), Л > О,

где В = {х € R" : \\х\\ ^ 1/2}. Пусть а = (аь ..., ап), где ак = (акг,..., аы) G Rd, к = 1,... ,п. Будем называть величину а мультивектором. Нас будет ин-

п

тересовать поведение функции концентрации суммы Sa — Yl в зависи-

к= 1

мости от арифметической структуры векторов

Получить оценки функции концентрации в этом случае, когда размерность d ^ 2, гораздо сложнее. Первые оценки получили Катона [21] и Клейт-ман [23]. Они изучили частный случай оценивания функции концентрации, когда d = 2, а независимые одинаково распределенные случайные величины Хк принимают значения ±1 с вероятностями 1/2. Эти результаты были аналогичны результатам Эрдёша [13] для одномерного случая. А именно, было показано, что функция концентрации имеет порядок 0(п-1/2). Позднее Клейтман [24] показал, что эта оценка функции концентрации справедлива и в случае произвольной размерности d ^ 2. Обобщить эти оценки на случай случай произвольного радиуса шара и произвольной размерности d ^ 2 оказалось нелегко. Первые результаты таких обобщений получили Григгс [19], Сали [29], [30] и другие. Лучший результат без предположения о том, что все коэффициенты различны, получили Франкл и Фуреди [17].

Предложение 1.7. Пусть Xi,..., Хп,... - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения ±1 с вероятностями 1/2. Пусть а = (ai,..., ап), где — (ajti,..., аы) £ Rd; k = 1,..., п. Тогда для любого фиксированного du А > 0 имеем

Q(Fa, А) = (1 + о(1)) 2-"5(п, s), (1.13)

где 5(п, s) - сумма наибольших s биномиальных коэффициентов Сгп, 0 ^ г ^ п, s = [AJ + 1.

Многомерное обобщение одномерных результатов Саркози и Семереди [31] получил Халас [20] с помощью метода, основанного на анализе Фурье. Сформулированные ниже два предложения являются результатам Халаса [20].

Предложение 1.8. Пусть выполнены условия предложения 1.7. Пусть существует константа 5 > 0, такая что для любого единичного вектора е G Rd можно выбрать хотя бы 8п векторов а^ с |(ajt,e)| ^ 1. Тогда

Q(Fa,l)^c{6:d)n-d/\ (1.14)

где константа с(6, d) зависит только от Sud.

Предложение 1.9. Пусть выполняются условия предложения 1.8. Пусть среди nd векторов Ь = ±а^ ± ... ± а^ (1 ^ h ^ п) можно выбрать по меньшей мере ônd таких векторов, что расстояние между любыми двумя из них будет не меньше 1. Тогда

Q{Fa,l)^c(ô,d)n-zd'2, (1.15)

где константа c(ô, d) зависит только от Ô и d.

Введем обозначение, которое потребуется нам для работы над многомерной постановкой задачи. Будем писать A <Cd В, если |А| ^ cdB и В > 0. Заметим, что допускает экспоненциальную зависимость констант от размерности d. Будем также писать А х^ В, если А В и В А. Скалярное произведение в Rd обозначим ( •, • ). Произведение вектора t = (ti,... ,td) G Rd и мультивектора a будем обозначать t • а = (( t, a{) ,...,{t, an)) € Rn.

Приведем теперь здесь те аналоги свойств одномерных функций концентрации, которые справедливы и для многомерных функций концентрации. Известно, что Q(F,fi) (1 + [fi/X\)d Q(F, X) для любых /i, А > 0. Следовательно,

Q{F,c\)^d Q(F, A), (1.16)

и

если Q(F. A) < К, то Q(F,/x) K{ 1 + (/¿/A))d. (1-17)

Сформулируем обобщение классического неравенства Эссеена на многомерный случай (см. [15]). Для любого распределения F = C(Y) в Hd случайного вектора Y справедливо (см. лемму 3.4, [28]):

Q(F,Vd)cd J |F(t)|di, (1.18)

B{Jd)

где F(t) = E ехр(г (t,Y)) - характеристическая функция случайного вектора

__/N

Yy a B(А) - шар радиуса А. Пусть J |F(w)| du < oo (в противном случае этого

Rd

можно добиться сглаживанием) и предположим дополнительно, что распределение F симметрично и F(t) ^ 0 при всех i 6 R, тогда из соотношения

F{t) dt

(1.18), примененного к мере —--, следует, что

J F(u)du

Rd

Q(F,Vd)^>d J F(t) dt. (1.19)

B(Vd)

Оценки такого вида, но с другой зависимостью от размерности d присутствуют в работе Зайцева [4]. Тем самым,

Q(F, Vd) х^ j F(t) dt. (1.20)

B(Vd)

Применение соотношения (1.20) делает доказательства основных результатов данной работы проще по сравнению с рассуждениями, использованными при рассмотрении многомерной проблемы Литтлвуда-Оффорда в работах Фрид-ланда и Содина [18], Рудельсона и Вершинина [28], Вершинина [34].

Сформулируем теперь многомерное обобщение неравенства Колмогорова-Рогозина.

Предложение 1.10. Пусть Yi,...,Yn - независимые случайные векторы с распределениями Fk = C(Yk). Пусть Ai,..., An - положительные числа, Afc ^ A (k = 1,..., п). Тогда

п п ^ -1/2

3(£(^П),А) «A(^A2(l-Q(F,,Afc)))_ , (1.21)

к=1 fc=1

где Fk - функция распределения соответствующего симметризованного случайного вектора.

Зигель [6] уточнил результат предложения 1.10, показав, что справедливо следующее утверждение.

Предложение 1.11. В условиях предложения 1.10 выполняется

Заметим, что константы, фигурирующие в приведенных выше предложениях 1.10 и 1.11, не зависят от размерности пространства и являются абсолютными постоянными. Однако существуют полученные ранее оценки типа Колмогорова-Рогозина, в которых константы зависят от размерности (см., например, [10], [16]). Заметим также, что как и соответствующие одномерные аналоги, соотношения (1.21) и (1.22), примененные к суммам независимых одинаково распределенных случайных векторов, не могут дать оценки лучше по порядку, чем 0{п~1!2).

Целью настоящей диссертации является изучение проблемы Литтлвуда-Оффорда, получение уточнений результатов Фридланда и Содина [18], Ру-дельсона и Вершинина [28], Вершинина [34]. Данные работы близки между собой, а условия связаны со спецификой применения результатов для изучения собственных чисел случайных матриц. Мы сформулруем результаты как для одномерного случая, когда коэффициенты Е R, так и для многомерного случая, при котором коэффициенты a¿t из Rd. Мы также получим многомерное обобщение результатов работы Арака [1] (см. также [2], [3]), которая появилась задолго до работ [18], [26]—[28], [32]—[34] и посвящена изучению связи между скоростью убывания функции концентрации суммы и арифметической структурой носителей распределений независимых случайных величин.

Результаты диссертации

Диссертация состоит из шести параграфов, первый из которых составляет введение, и списка литературы.

В параграфе 2 обсуждаются результаты, полученные Фридландом и Со-диным [18] при изучении проблемы Литтлвуда-Оффорда, формулируются и

(1.22)

доказываются уточнения этих результатов. Приведем здесь формулировку основного результата второго параграфа.

Теорема 1.12. Пусть X, Х\,..., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины. Предположим, что а — ... ,ап), ак €Е И0', и для некоторого а > 0 выполняется

а к) — ть)2 ^ а2 для всех . .., тп 6 Ъ, £ Е Ис1, таких что

к=1

тах | (£, ак) | ^ 1/2, ||£|| ^ \Г&. (1.23)

к

Тогда

Л/М{ 1)/ \AletN

где величина М( 1) определена в формуле (1.5), а матрица N определяется следующим образом:

( 2 \

ак1 ак1йк2 ■ ■ ■ О'кхО'кй

N = £ И*, Н* =

к=1

V

0>к20'к1 0<к2

О'кйО'к!

а

ы

(1.24)

ак = к = 1,...,п.

Во втором параграфе присутствуют также результат для одномерного случая и некоторые следствия, которые легче сравнивать с результатами работы Фридланда и Содина [18].

В параграфе 3 рассматриваются результаты работы Рудельсона и Вершинина [28], касающиеся проблемы Литтлвуда-Оффорда, приводится уточнение этих результатов. Сформулируем основной результат третьего параграфа.

Теорема 1.13. Предположим, что Х,Х\,... ,Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины. Пусть а = (а\,... ,ап), ак 6 К**-

Предположим, что для некоторых а > 0 и 7 € (0,1) выполнено

t е Rd, М ^ Vd. (1.25)

Тогда

Q(FaM) «d (

1 xd 1

+ exp (~ca2M( 1))

j у/М(1)' VdetN

где величина М( 1) определена в формуле (1.5), а матрица N - с помощью соотношений (1.24).

В §4 приводится уточнение результата Вершинина [34], полученного при рассмотрении проблемы Литтлвуда-Оффорда. Основной результат данного параграфа формулируется следующим образом.

Теорема 1.14. Пусть Х,Х\,... ,Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины. Пусть а = (а1,...,ап) Е Г1п; ||а|| = 1. Предполо жим, что выполнено следующее условие

где |а| = тах|а,-|, а функция fb(t) определяется следующим равенством

г 1

ta — т|| ^ fb{t) при всех т 6 Z" и t £ ^ТТ' ^

(1.26)

з

при 0 < t < eL при t ^ eL.

(1.27)

Если L2 > 1/М(1), то

(1.28)

где величина М( 1) определена в формуле (1.5).

В §5 обсуждаются оценки функций концентрации распределений сумм независимых одномерных случайных величин, полученные Араком [1] (см.

также [2], [3]), приводится многомерное обобщение этих результатов. Для его формулировки нам потребуется некоторые обозначения.

Для любых г Е Ъ+ и и = (щ,...,иг) Е (¡1а)Г, и1 6 ] — 1 ,...,г, определим множество

г

КМ = { : щ Е {-1,0,1} при ] = 1,..., г}. (1.29)

¿=1

Далее обозначим через [5]г замкнутую т-окрестность множества В в смысле нормы | • |.

Теорема 1.15. Пусть т ^ 0, - (1-мерные вероятностные распределения, ] = 1 ,...,п. Обозначим р = П Тогда существует г Е Z+ и

векторы щ,... ,иг]Х1,... ,хг Е К6', такие что

г<£г|1оёр| + 1 (1.30)

и

п

]£ едя^ [1ВД]т + (|1оер| + 1)3, (1.31)

¿=1

где и = (и1,...,иг) Е а множество К^и) определено в формуле

(1.29).

В шестом параграфе формулируется и доказывается некоторая общая теорема, утверждение которой показывает, что задача оценивания функций концентрации в проблеме Литтлвуда-Оффорда может быть сведена к оцениванию функций концентрации некоторых симметричных безгранично делимых распределений со спектральными мерами, определяемыми по мультивектору а. Приведем формулировку этого результата.

Для г Е К, 7 > 0 введем распределение Нгл с характеристической функцией

п

Я,,7(0 = ехр ( - ^ 53(1-со8(2(*,а*)г))), I Е К*. (1.32)

к= 1

Ясно, что Н2п - симметричное безгранично делимое рапределение. Поэтому соответствующая ему характеристическая функция положительна при всех £ Е ИА Обозначим иг<1 = Нг/2)Г

Теорема 1.16. Пусть V - произвольная борелевская мера, такая что А = y{R} > 0 и V ^ G, то есть V{B} ^ G{B} для любого борелевского множества В. Тогда для любых е > 0 и т > 0 справедливо неравенство

Q(Fa,T)<ZdQ(Ultx,e)exp(d J log (l + НФГЧ) F{dz}j , (1.33)

zgR

где F = A_1V.

Результаты диссертации докладывались автором на международной конференции "Асимптотические задачи теории вероятностей и математической статистики" (Санкт-Петербург, 7-9 сентября, 2012 г.), на Российско-китайском семинаре по асимптотическим методам в теории вероятностей и математической статистике (Санкт-Петербург, 10-14 июня, 2013 г.), на международной конференции "Стохастические процессы и вероятностные распределения высокой размерности" (Санкт-Петербург, 16-20 июня, 2014 г.) и на санкт-петербургском городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике под руководством академика РАН И. А. Ибрагимова (октябрь 2014 г.). Они содержатся в трех работах [35]—[37], опубликованных в журналах из списка ВАК.

Структура диссертации

Диссертация состоит из шести параграфов.

Основные результаты работы сформулированы в виде теорем. Менее важные или менее сложные результаты именуются леммами. Результаты других авторов сформулированы в виде предложений. Нумерация формул, теорем, лемм и предложений двойная: сначала идет номер параграфа, а затем - номер формулы, теоремы, леммы, предложения.

Общий объем диссертации составляет 64 страницы. Список литературы содержит 37 наименований.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Андрею Юрьевичу Зайцеву за постановку интересных задач,

постоянное внимание и поддержку, полезные обсуждения и ценные советы. Также автор благодарен всему коллективу Санкт-Петербургской вероятностной школы за создание благоприятной научной атмосферы.

§ 2. Уточнение результатов Фридланда и Содина

В данном параграфе мы обсудим уточнения результатов работы Фридланда и Содина [18]. Для наглядности приводимых доказательств предлагается рассмотреть сначала одномерный случай, а затем привести соответствующие многомерные обобщения.

Одномерный случай

Мотивацией к появлению работы Фридланда и Содина [18] стала статья Рудельсона и Вершинина [27], в которой авторы получили верхние оценки для функций концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в терминах диофантовой аппроксимации вектора коэффициентов. Этот подход опирался на сложную лемму из теории меры (см. работу Халаса [20]). Фридланд и Содин показали более простой аналитический метод решения данной проблемы и получили следующий результат.

Предложение 2.1. Пусть Х,Х\,... ,Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины, причем С^(£(Х), 2) ^ 1— р, гдер > 0, и пусть

1

а £ В/1, а ф 0. Если для некоторых О ^ —¡—г и а > 0 выполняется условие

2 а

£а — тII ^ а для всех при £ £ О , (2.1)

12 а

то

Я(Ра, 1/15) « \ + ехр (- сра2). (2.2)

\\aWDyJp

Заметим, что в работе Фридланда и Содина [18] предполагалось, что 0 < О < 1, а в левой части неравенства (2.2) вместо (3(1^,1/0) фигурировала величина 1), которая, вообще говоря, существенно меньше, чем <2(^,1/0) при 0 < Б < 1, поскольку тогда 1/1) > 1. Но если бы авторы [18] воспользовались своим же результатом при .0=1, они бы вывели из

него неравенство для любого И > 0 и с 1/.0) вместо 1) столь же

просто, как мы выведем ниже следствие 2.3 из теоремы 2.2.

1

Заметим также, что при | ¿| ^ ——- мы имеем

2 а

(dist(ia, Zn)) = J2 min I tak ~ ™k? = I tak\2 = t2 IMP' (2-3) k=l mfc€Z k= i

где

dist(£a, Zn) = min || ta — m||.

m€ Zn

1

Так что предположение о том, что ^ в условии (2.1), естественно.

2 |а|

1

Из (2.3) вытекает, что если И — —г, то условие (2.1) формально выполня-

¿л \С1\

и 1

ется при а = Отсюда также следует, что при I) ^ —¡—г величина а в

2| а\ 2\а\

||а|| у/Е

условии (2.1) не может быть больше, чем т-г—г ^ ——.

Л I & I ¿л

Основной результат данного раздела содержится в следующей теореме.

Теорема 2.2. Пусть X, Х\,..., Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины. Предположим, что а Е И.", а ф 0, и для некоторого а > 0 выполнено условие (2.1) при В — 1, то есть

ta — т\\ ^ а для всех т Е Zn при t Е —г, 1 . (2.4)

L2 a

Тогда

Q{F"'l)<<Mvm+ew[-ca2M{1)}'

где величина М( 1) определена в формуле (1.5).

Доказательство теоремы 2.2. Представим распределение G = С{Х) в виде смеси

оо j=О

где д = Р(Х = 0), pj = Р(Х € j = 0,1,2,..., Л0 = {ж : |а;| > 1},

= {ж : 2 з < \х\ ^ 2 5+1}, Е - вероятностная мера, сосредоточенная в нуле, С $ - вероятностные меры, определяемые при р^ > 0 по формуле

для любого борелевского множества X. Если р^ = 0, то в качестве можно брать произвольные меры.

При 2 £ К, 7 > 0 введем безгранично делимое распределение Нг>1 с характеристической функцией, определенной в формуле (1.32) при ¿2 = 1.

Так как для любой характеристической функции ^(¿) случайной величины X справедливо равенство

где X - соответствующая симметризованная случайная величина, то

Рз

|Р(£)|2 = Еехр{ИХ) = Есоб^Х),

\т\ < ехр ( - 1 (1 - И*)|2)) = ехр ( - уЕ (1 - соз(гХ))). (2.6)

о

(2.7)

Очевидно, что

Обозначим

pj = 2-2iPj, /3=53 ft, ^ = 3 = 0,1,2,.... (2.9)

j=o

00

Очевидно, что тогда ^ fij — 1 и Pj/iij = 22j/3 (при pj > 0).

j=0

Теперь поступим так же, как при доказательстве леммы 4 гл. II в [9], принадлежащей Эссеену [16]. С помощью неравенства Гёльдера нетрудно показать, что

00 3=0

где

1 п 00

Ij = / exp i — -— / (l ~~ cos(2afc£x)) (^{ckc} J dt J \ 2 /dj J J

0 —oo

n Г

exp ( - 22j~1/i? / i1 - cos(2afcta)) СД^}) dt, (2.11)

о

если pj > 0, и Ij = 1 при pj = 0.

Применяя к экспоненте под знаком интеграла неравенство Йенсена (см.

[9], с. 49), получаем

Ij ^ / / 6ХР ( ~ ^ ^ ~ C0S(2aktx))) dt

о л, fc=1

1

= J J exP ( - 22j-1/3 ^ (1 - cos(2afcta))) dt Gj{dx}

Aj 0

1

sup f H2*lp(t)dt (2.12)

0

Оценим теперь характеристическую функцию Я7Тд(£) при |i| ^ 1. Очевидно, что существует с такое, что 1 — cosх ^ сх2 при |а;| ^ тг. Поэтому при 1

2\а\

H„.i(t) < exp(-c||a||¥). (2.13)

1

т

учитывая, что

При -у-г ^ | £| ^ 1 можно действовать так же, как авторы [18], а именно:

2л \ а\

1 - cost > с min \t - 2тгт|2, (2.14)

mg Z

получаем

п

Hir,i(t) ^ ехр ^ — с I2?Ttdk — 27гт/;|2^

п

= ехр(—с j min I tak — тк\2) ^ exp(—со2) (2.15)

/c=l

1

1

при |i| €

L2|a|

Воспользуемся теперь оценками (2.13) и (2.15) для оценивания интегралов Ij. Рассмотрим сначала случай j = 1,2,.... Заметим, что характеристи-

л

ческая функция Hzn(t) обладает свойствами

Hz„(t) = Hy„(zt/y) и tf,,7(i) = H^t). (2.16)

При 2 G Aj мы имеем 2"J < |z| ^ 2~J+1 < 7Г. Следовательно, при |£| < 1 мы имеем \zt/7г\ < 1. Так что из свойств (2.16) при у = тг и полученных выше оценок (2.13) и (2.15) вытекает, что при z G Aj

Hz,\(t) ^ max { ехр ( - с (zt\\a\\/тт)2), ехр(-са2)}

и, следовательно,

1 1 1

sup J H2*iß(t)dt ^ jexp{-ct2ß\\a\\2)dt+ J exp(-22jca2ß)dt

3 о о о

«vm+eM~ca2ß)-

Теперь рассмотрим случай j = 0. Из свойств (2.16) следует, что при г > 0, 7 > 0

Q{HZtl,l) = Q(Hlyl,l/z). (2.17)

Таким образом, учитывая соотношения (1.6), (1.10), (2.16) и (2.17), получаем, что

1 1

sup [ Hpz l{t)dt = sup f HXiP(t)dt^ sup Q(HZ#, 1)

ZEAq J z^l J 2^1

0 0

= sup Q(Hiif}, 1/z) < Q(Hlt/J, 1) < Q{Hli0,1/тг)

1 1 = J HVtP(t)dt = J H^{t)dt.

о о

Пользуясь снова оценками (2.13) и (2.15) для характеристической функции Я7Гд(£), получим:

1 1 1

¡Н>№ < /exp(-c|H|^Vi + /exp(-c^)dt

0 0 о

1

^ II и /7? + exp(-ca2ft).

11а11 V Р

Мы оценили одинаково все интегралы Ij при pj ф 0. Учитывая, что

00

pij — 1, получаем, что

j=о

оо ^

Оценим теперь величину (5

оо оо оо

0 = Е ft=£ 2~2]р> - >!) + Е2_2j p(2~j < 1*1 ^2_i+1) j=0 j=0 j=l

/оо Г X2

G{dx} + Y, J jG{dx} 2 j J G{dx} + j J x2G{dx} = jM( 1).

Таким образом,

P>jM(l). (2.18)

Значит,

1 9 1

+ exp(-cazß) <С- + ехр(-саГМ(1)),

Ыу/Р \\аУМ{1)

что и требовалось доказать. □

Отсюда несложно вывести то, что получается в условиях предложения 2.1, а именно, имеет место

Следствие 2.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2 с заменой усло-

1

вия (2.4) на условие (2.1) с произвольным Б ^ Тогда

^Щ)+ехр("са2м(1))-

Доказательство следствия 2.3. Обозначим Ь = Ба € Р1п. Тогда справедливо равенство <5(^,1/^) = 1)- Для вектора Ь выполнены те же условия, которые предполагались для вектора а в теореме 2.2. Действительно,

||ub — m || ^ а при и G

1

гД

L2H'

Это следует из условия (2.1) следствия 2.3, если обозначить и = t/D. Остается применить теорему 2.2 к вектору Ь. □

Отметим, что формулировки следствия 2.3 при каждом фиксированном D и при D = 1 эквивалентны. Следовательно, эквивалентны формулировки следствия 2.3 и при всех других D.

Если D > 1, то 1 /D < 1, и, пользуясь свойствами функции концентрации, из следствия 2.3 легко вывести оценку

Q{Fa,l) <Dexp(-ca2M(l))+ 1

аУМ{\)'

Переформулируем теперь следствие 2.3, применив его к величинам Xk/т, т > 0.

Следствие 2.4. Пусть Уа<г = £( £ акХк/т). Тогда в условиях следствия 2.3

А=1

справедливо соотношение

ф.4)« мртш+ехр("са2м(т))- (2Л9)

Выбирая, например, г = I), получим, что

Царл/Мр)

Для доказательства следствия 2.4 достаточно воспользоваться вторым равенством в соотношении (1.5). Заметим, что сформулированные далее следствия 2.7, 3.4, 3.7 и 4.4 доказываются аналогично.

1

Если рассмотреть частный случай, когда £> = . , ., то ограничения на

2 а

арифметические свойства вектора а фактически отсутствуют, и получается оценка

(2.20)

Это в точности то, что дает неравенство Эссеена (1.12), примененное к сумме неодинаково распределенных случайных величин У^ = а^Хк при А^ = а^г, А = \а\т. При а\ = а2 = ■ • • = ап = п-1/2 неравенство (2.20) превращается в хорошо известный частный случай предложения 1.6:

-=!==. (2.21) а/ пМ{т)

Из (2.21) следует и неравенство Колмогорова-Рогозина для одинаково распределенных случайных величин:

Я(Р*\т)<<-== 1 (2.22)

у/п( 1 - <5(^,Г))

Неравенство (2.20) не может дать оценку лучше по порядку, чем поскольку правая часть (2.20) не меньше, чем п_1//2. Наибольший интерес сформулированные выше результаты имеют, когда И существенно больше,

чем . Тогда можно рассчитывать на получение оценок, которые зна-2\а\

чительно лучше по порядку, чем 0(п-1/2). Именно такие оценки величины (2(.Ра,А) требуются при изучении распределений собственных чисел случайных матриц.

В качестве примера рассмотрим случай, когда вектор а имеет вид а — (1 + п~1,1 + 2 п-1,..., 2) (аналогичный пример приведен в работе Рудельсо-на и Вершинина [27]). Выбирая И = п/2, нетрудно показать, что условие (2.1) выполнено при а п1//2. В этом случае следствие 2.3 дает оценку порядка которую невозможно получить с помощью оценки (2.20). Заметим также, что оценка такого порядка присутствует в предложении 1.4.

1

При 0 < И < —г—г неравенство 2 [а|

/ т\ 1

-;--(2.23)

^ "и) \\а\\О^М(т) 1 >

также справедливо. В этом случае оно вытекает из (1.7) и (2.20).

Заметим также, что в следствии 2.4 величина г может быть сколь угодно малой. Устремляя т к нулю, получаем оценку

<2(1^,0) <С-/ ^ +ехр(-са2Р(Х ф 0)). (2.24)

\\а\\ОуР(Х ф 0)

Многомерный случай

Рассмотрим теперь многомерное обобщение теоремы 2.2 на случай, когда аь - векторы в 1?А Сформулируем сначала многомерный результат Фридлан-да и Содина [18].

Предложение 2.5. Пусть Х,Х\,... ,Хп - независимые одинаково распределенные случайные величины, причем <3(£(Х),2) ^ 1 — р, где р > 0, и пусть а\, ..., ап € Г1А Если для некоторых 0<В<с1иа>0 выполняется

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Елисеева, Юлия Сергеевна, 2014 год

Литература

[1] Арак Т. В. О сближении n-кратных сверток распределений, имеющих неотрицательную характеристическую функцию, с сопровождающими законами. // Теория вероятн. и ее примен. — 1980. — Т. 25, В. 2. — С. 225-246.

[2] Арак Т. В. О скорости сходимости в равномерной предельной теореме Колмогорова. I. // Теория вероятн. и ее примен. — 1981. — Т. 26, В. 2. — С. 225-245.

[3] Арак Т. В., Зайцев А. Ю. Равномерные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. // Тр. МИАН СССР. — 1986. — Т. 174. - 214 С.

[4] Зайцев А. Ю. К многомерному обобщению метода треугольных функций. // Зап. науч. семин. ЛОМИ. — 1987. — Т. 158. - С. 81-104.

[5] Зайцев А. Ю. Об использовании функции концентрации для оценивания равномерного расстояния. // Зап. научн. семин. ЛОМИ. — 1982. — Т. 119. - С. 93-107.

[6] Зигель Г. Верхние оценки для функций концентрации в Гильбертовом пространстве. // Теория вероятн. и ее примен. — 1981. — Т. 26. — С. 335-349.

[7] Мирошников А. Л., Рогозин Б. А. Неравенства для функций концентраций. // Теория вероятн. и ее примен. — 1980. — Т. 25. — С. 178-183.

[8] Нагаев С. В., Ходжабагян С. С. Об оценке функции концентрации сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен. — 1996. - Т. 41. - С. 655-665.

[9] Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. // М.: Наука. — 1972.

[10] Рогозин Б. А. Об увеличении рассеивания сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен. — 1961. — Т. 6. — С. 106—108.

[11] Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации. // Пер. с англ. В.М. Круглова, В.М. Золотарева. М.: Наука. — 1980. — С. 176.

[12] Bretagnolle J. Sur l'inégalité de concentration de Doeblin-Lévy, Rogozin-Kcsten. In: Parametric and semiparametric models with applications to reliability, survival analysis, and quality of life. // Stat. Ind. Technol., Boston: Birkhauser. - 2004. - P. 533-551.

[13] Erdos P. On a lemma of Littlewood and Offord. // Bull. Amer. Math. Soc. - 1945. - V. 51. - P. 898-902.

[14] Erdôs P., Moser L. Elementary problems and solutions. // Amer. Math. Monthly. - 1947. - V. 54, No. 4. - P. 229-230.

[15] Esséen С.-G. On the Kolmogorov-Rogozin inequality for the concentration function. // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. — 1966. — V. 5. — P. 210-216.

[16] Esséen C.-G. On the concentration function of a sum of independent random variables. // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. — 1968. — V. 9. — P. 290-308.

[17] Frankl P., Furedi Z. Solution of the LIttlewood-Offord problem in high dimensions. // Ann. Math. (2). - 1988. - V. 128, No. 2. — P. 259-270.

[18] Friedland O., Sodin S. Bounds on the concentration function in terms of Diophantine approximation. // C. R. Math. Acad. Sci. Paris.— 2007. — V. 345, No. 9. - P. 513-518.

[19] Griggs J. The Littlewood-Offord problem: tightest packing and on an M-part Sperner theorem. /,/ Europ. J. Combin. — 1980. — V. 1. — P. 225-234.

[20] Halâsz G. Estimates for the concentration function of combinatorial number theory and probability. // Periodica Mathematica Hungarica. — 1977. — V. 8. - P. 197-211.

[22

[23

[24

[25

[26

[27

[28

[29

[30 [31

Katona G. On a conjecture of Erdös and a stronger form of Spenser's theorem. // Studia Sei. Math. Hungar. - 1966. V. 1. - P. 59-63.

Kesten H. A sharper form of the Doeblin-Levy-Kolmogorov-Rogozin inequality for concentration functions. // Math. Scand. — 1969. — V.25. - P. 133-144.

Kleitman D. On a lemma of Littlewood and Offord on the distributions of linear combinations of vectors. // Adv. Math. — 1970. — V. 5. — P. 155-157.

Kleitman D. Some new results on the Littlewood-Offord problem. // J. Combinatorial Theory Ser. A 20. - 1976. - No. 1. - P. 89-113.

Littlewood J. E., Offord A. C. On the number of real roots of a random algebraic equation. // Ree. Math. [Mat. Sbornik] N.S. — 1943. - V. 12. — P. 277-286.

Nguyen Hoi, Vu Van. Optimal inverse Littlewood-Offord theorems. // Adv. Math. - 2011. - V. 226, No. 6. - P. 5298-5319.

Rudelson M., Vershynin R. The Littlewood-Offord problem and invertibility of random matrices. // Adv. Math. - 2008. - V. 218, No. 2. — P. 600-633.

Rudelson M., Vershynin R. Smallest singular value of a random rectangular matrix. // Comm. Pure Appl. Math. - 2009. - V. 62, No. 12. - P. 17071739.

Sali A. Strong from of an M-part Sperner theorem. // European J. Combinatorics. - 1983. - V. 4. — P. 179-183.

Sali A. A Sperner type theorem. // Order 2. — 1985. — P. 13-127.

Särközy A., Szemeredi E. Uber ein Problem von Erdös und Moser. // Acta Arithmetica. - 1965. - V. 11. - P. 205-208.

[32] Tao T., Vu Van. Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices. // Ann. Math. — 2009. — V. 169, No. 2. - P. 595-632.

[33] Tao T., Vu Van. From the Littlewood-Offord problem to the circular law: universality of the spectral distribution of random matrices. // Bull. Amer. Math. Soc. - 2009. - V. 46, No. 3. - P. 377-396.

[34] Vershynin R. Invcrtibility of symmetric random matrices. // Random Structures and Algorithms. — 2014. — V. 44, P. 135-182.

Работы автора по теме диссертации

[35] Елисеева Ю. С. Многомерные оценки функций концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. // Зап. науч. семин. ПОМИ. - 2013. - 412. - с. 127-137.

[36] Елисеева Ю. С., Гётце Ф., Зайцев А. Ю. Оценки функций концентрации в проблеме Литтлвуда-Оффорда. // Зап. науч. семин. ПОМИ. — 2013. - 420. - с. 50-69.

[37] Елисеева Ю. С., Зайцев А. Ю. Оценки функций концентрации взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен. — 2012. — 57. — с. 768-777.