Ускорение электронов, излучение жёстких фотонов и рождение электрон-позитронных пар в сильных плазменных и лазерных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Неруш, Евгений Николаевич

• Неруш, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Неруш, Евгений Николаевич

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Захват электронов и простейшие эффекты квантовой электродинамики в поле плазменной полости

1.1. Многомерная теория захвата электронов плазменной полостью

1.1.1. Формулирование задачи и основные уравнения

1.1.2. Захват электронов в рамках кусочно-однородной модели полей полости

1.1.3. Анализ захвата электронов с использованием реалистичных полей плазменной полости

1.1.4. Влияние деформации полости и эффекта усиления поля на процесс захвата

1.1.5. Изучение захвата электронов с использованием численного моделирования, основанного на методе частиц в ячейках

1.2. Особенности захвата и ускорения электронов с использованием

сверхкоротких импульсов

1.2.1. Особенности динамики плазменной полости, образующейся позади сверхкороткого сильносфокусированного лазерного импульса

1.2.2. Модель явления осцилляций плазменной полости

1.2.3. Сопоставление теоретических результатов с результатами численного моделирования

1.3. Влияние радиационных потерь на динамику электронов в плазменных ускорителях

1.3.1. Общее описание динамики электрона с учётом силы реакции излучения

1.3.2. Динамика электрона при большом числе бетатронных осцилляций

1.3.3. Динамика электрона в отсутствие бетатронных осцилляций

1.3.4. Результаты численного моделирования ускорения электронов в поле плазменной полости с учётом силы реакции излучения

1.4. Генерация электромагнитного излучения ультрарелятивистскими электронами и образование электрон-позитронных пар фотонами высокой энергии в сильном плазменном поле

1.4.1. Квантовый режим излучения фотонов

1.4.2. Рождение электрон-позитронных пар из фотонов высокой энергии

1.5. Основные результаты и выводы

Глава 2. Самоподдерживающиеся электромагнитные каскады

в лазерном поле

2.1. Условия развития каскадов и образования плотной электрон-

позитронной плазмы

2.1.1. Оценка порога и темпа роста электромагнитного каскада во вращающемся электрическом поле

2.1.2. Поглощение лазерного поля при развитии самоподдерживающихся электромагнитных каскадов

2.2. Аналитическая модель электромагнитных каскадов во вращающемся электрическом поле

2.2.1. Движение частиц во вращающемся электрическом поле без учёта излучения фотонов и рождения пар

2.2.2. Кинетические уравнения с учётом квантовых эффектов

2.2.3. Законы масштабирования кинетических уравнений для каскадов во вращающемся электрическом поле

2.2.4. Законы масштабирования кинетических уравнений для частиц с энергией, много большей средней энергии частиц в каскаде

2.2.5. Аналитические решения кинетических уравнений и выражения для энергетических спектров частиц

2.2.6. Результаты численного моделирования развития каскадов во вращающемся электрическом поле

2.2.7. Асимптотики полученных аналитических выражений

2.3. Основные результаты и выводы

Глава 3. Методы численного моделирования радиационных явлений в плазме

3.1. Метод частиц в ячейках

3.2. Численные схемы для решения уравнений Максвелла

3.2.1. Метод продольно-поперечного разделения

3.2.2. Моде.лирование генерации терагерцового излучения при пролёте электронного пучка над металлической решёткой

3.3. Использование метода Монте-Карло для моделирования квантовых процессов

3.3.1. Стандартный генератор событий

3.3.2. Быстрый генератор событий

3.3.3. Тестирование быстрого генератора событий

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ускорение электронов, излучение жёстких фотонов и рождение электрон-позитронных пар в сильных плазменных и лазерных полях»

Введение

Актуальность работы В последнее время появились лазерные установки, способные генерировать короткие лазерные импульсы высокой мощности. Качество таких импульсов позволяет фокусировать их до размеров в несколько длин волн, получая, таким образом, экстремально высокую интенсивность. В настоящее время достигнут уровень интенсивности 2х 1022 Вт/см2 [1] и ведётся проектирование и строительство установок, которые позволят достичь на четыре порядка большего уровня интенсивности [2, 3]. Благодаря появлению таких установок усиливается интерес к явлениям, возникающим при взаимодействии мощных лазерных импульсов с веществом. Примером может служить явление ускорения электронов при взаимодействии лазерного импульса с плазмой в режиме плазменной полости, впервые наблюдавшееся в численном эксперименте [4], а всего через два года — в лабораториях [5-7]. Помимо различных приложений (ускорение электронов, генерация рентгеновского излучения и гамма-квантов), мощные лазерные импульсы могут использоваться и для исследования различных фундаментальных вопросов, например, вопросов квантовой электродинамики.

При интенсивности лазерного импульса более 1018 Вт/см2 движение электронов в его поле становится релятивистским, благодаря чему могут возникать новые нелинейные эффекты. Например, в сильно нелинейном режиме взаимодействия лазерного импульса с разреженной плазмой (то есть с плазмой, плотность которой много меньше критической плотности) электроны плазмы выталкиваются пондеромоторной силой из области большой интенсивности. Если длительность лазерного импульса меньше периода плазменных колебаний, то электронные траектории замыкаются на некотором расстоянии сзади импульса. Таким образом, позади импульса образуется полость, практически лишённая электронов и движущаяся вместе с импульсом. Как

правило, ионы из-за своей высокой массы не успевают заметно сместиться за время прохождения лазерного импульса, следовательно, полость заполнена ионами и обладает большим положительным зарядом и сильными электромагнитными полями. Небольшая часть электронов плазмы может захватываться плазменной полостью и ускоряться до высоких энергий. Благодаря этому можно создать лазерно-плазменный ускоритель, не требующий внешней инжекции электронов.

Качество электронных пучков, получаемых из лазерной плазмы в настоящее время [5-8], недостаточно для многих приложений, например, для использования этих пучков в качестве драйвера для лазера на свободных электронах. Тем не менее эти пучки можно использовать для генерации спонтанного излучения с использованием магнитного ондулятора [9] или, например, для исследования быстротекущих процессов [10]. Кроме того, электроны, ускоряемые в плазменной полости, совершают бетатронные колебания и испускают рентгеновское излучение [И, 12], которое может найти применение в медицинской диагностике и материаловедении. Качество пучков и, следовательно, параметры излучения во многом определяются процессом захвата электронов плазменной полостью, поэтому проблема захвата является в настоящий момент довольно актуальной [13].

При болыпйх значениях энергии заряженных частиц и при значительных напряжённостях электромагнитных полей необходимо учитывать излучение фотонов заряженными частицами, поскольку потери энергии на излучение могут существенно сказаться на динамике частиц. Как правило, потери на излучение учитываются введением силы радиационного трения. В рамках данного описания показано, что эти потери могут быть существенны в задачах ускорения [14] и в задаче о взаимодействии пучка ускоренных электронов с лазерным импульсом [15]. При использовании лазерных импульсов высокой интенсивности энергия фотона, излучаемого электроном, может стать поряд-

ка энергии электрона. В этом случае классический подход с использованием силы радиационного трения становится неприменимым. Кроме того, возникает существенная вероятность того, что излучённый фотон распадётся в электромагнитном поле с образованием электрон-позитронной пары. При экстремально высоких интенсивностях возможно проявление и других эффектов квантовой электродинамики, например, поляризации вакуума [16] или рождения электрон-позитронных пар из вакуума [17, 18].

В представленной работе рассмотрен вопрос о захвате фоновых электронов плазменной полостью, рассмотрено явление колебаний плазменной полости, которое может приводить к росту выхода бетатронного излучения ускоряемых в плазменной полости электронов, исследуется влияние излучения фотонов ускоряемыми электронами на динамику ускорения в плазменной полости. Все эти вопросы в существенной степени отвечают за параметры получающегося электронного сгустка и, следовательно, важны для различных приложений.

В работе также обсуждаются некоторые фундаментальные явления квантовой электродинамики в сильных плазменных и лазерных полях. В частности, рассмотрена задача о развитии самоподдерживающихся электромагнитных каскадов. Такие каскады развиваются следующим образом. Жёсткий фотон, обладающий достаточной энергией, может распасться в сильном электромагнитном поле с образованием электрон-позитронной пары. Рождённые электрон и позитрон могут ускориться в поле до больших энергий, излучить новые фотоны, которые также могут распасться. Таким образом, число частиц в самоподдерживающемся электромагнитном каскаде очень быстро растёт и не ограничено энергией инициирующей каскад частицы. Благодаря этому электромагнитные каскады могут оказаться интересным источником электрон-позитронной плазмы и гамма-квантов. С другой стороны, может оказаться, что достижение сверхвысоких интенсивностей лазерных им-

пульсов (необходимых для наблюдения других квантовых эффектов) будет невозможно из-за развития электромагнитных каскадов, поскольку электрон-позитронная плазма будет поглощать значительную долю энергии лазерных импульсов [19].

Цель диссертационной работы состоит в следующем:

- разработка аналитических и численных моделей для описания ускорения электронов в сильных плазменных и лазерных полях с учётом излучения жёстких фотонов и рождения электрон-позитронных пар;

- исследование динамики вторичных частиц (жёстких фотонов, электронов и позитронов) и явления развития самоподдерживающихся электромагнитных каскадов в сильном лазерном поле;

- анализ условий, при которых изучаемые эффекты становятся существенными, и результатов проявления данных эффектов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Показано, что существует пороговая скорость плазменной полости, при превышении которой захват фоновых электронов полостью прекращается.

2. Предложено объяснение эффекта осцилляций плазменной полости, образующейся позади сверхкороткого лазерного импульса, распространяющегося в плазме. Показано, что осцилляции полости связаны с асимметричным характером рассеяния электронов сверхкоротким лазерным импульсом и с изменением абсолютной фазы импульса при распространении в плазме.

3. Для проведения численных исследований электромагнитных каскадов разработана программа, основанная на методе частиц в ячейках и позволяющая учитывать собственные поля рождающихся при развитии каскада электронов и позитронов.

4. С использованием численного моделирования показано, что при достаточно высокой интенсивности лазерных импульсов в их поле возможно развитие электромагнитных каскадов, приводящее к образованию элек-трон-позитронной плазмы с собственными полями, достаточными для компенсации лазерных полей и подавления развития каскада. В этом случае на образование электрон-позитронной плазмы и излучение жёстких фотонов тратится значительная часть энергии лазерных импульсов.

5. Предложена аналитическая модель развития самоподдерживающихся электромагнитных каскадов во вращающемся электрическом поле, которая с высокой точностью описывает спектры электронов, позитронов и жёстких фотонов с энергиями, много большими средней энергии частиц в каскаде.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для анализа различных задач, связанных с взаимодействием мощного лазерного импульса с веществом. Предложен критерий захвата электронов плазменной полостью. Предложена модель, описывающая осцилляции плазменной полости, которая позволяет производить оценку периода осцилляций, а также даёт простые критерии возникновения эффекта осцилляций полости. Найдены области параметров электронов, отвечающие различным режимам их ускорения в плазменной полости с учётом силы реакции излучения. Вышеперечисленные модели и оценки упрощают выбор области параметров, оптимальной для плазменного ускорения электронов.

С использованием численного моделирования продемонстрирован эффект поглощения лазерного поля высокой интенсивности при развитии в нём электромагнитных каскадов, предсказанный в работе [19]. Этот эффект может быть наиболее существенным по сравнению с другими эффектами квантовой электродинамики в сильном лазерном поле. Кроме того, он может ограничить

максимальную достижимую интенсивность лазерного импульса.

Рассмотрена задача о развитии электромагнитных каскадов во вращающемся электрическом поле. Такое поле может служить некоторым приближением поля стоячей циркулярно поляризованной волны вблизи плоскости 5 = 0. Получены приближённые выражения, описывающие высокоэнергетические части спектров частиц каскада. Эти выражения могут быть использованы в эксперименте для измерения темпа роста числа частиц в каскаде. Каскады могут быть использованы как источники электрон-позитронной плазмы и жёстких фотонов, поэтому знание функций распределения частиц может получить большое практическое значение при экспериментальном достижении интенсивностей, необходимых для развития самоподдерживающихся электромагнитных каскадов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. При распространении сильносфокусированного сверхкороткого лазерного импульса в разреженной плазме позади него может образовываться плазменная полость, не обладающая осевой симметрией. Форма полости квазипериодически меняется со временем. Причиной эффекта является асимметричный добавок к пондеромоторной силе, зависящий от абсолютной фазы импульса.

2. Возможно использование сильных плазменных полей для наблюдения эффектов квантовой электродинамики: излучения жёстких фотонов электронами высоких энергий (в том числе ускоренными этими плазменными полями) и распада жёстких фотонов на электрон-позитронные пары.

3. Существует режим развития электромагнитных каскадов, при котором на создание электрон-позитронной плазмы и жёстких фотонов уходит значительная часть энергии лазерного поля, в котором развивается каскад.

4. Для самоподдерживающихся электромагнитных каскадов, развивающих ся при интенсивностях много больших порогового значения, спектры частиц спадают с ростом энергии по закону, близкому к экспоненциальному.

Достоверность Диссертационное исследование опирается на известные и апробированные методы, применяемые в физике плазмы. Результаты теоретических исследований не противоречат имеющимся экспериментальным данным. Для детального анализа выполнены численные расчеты, которые сопровождаются качественными оценками. Полученные в диссертационной работе результаты известны специалистам в России и за рубежом, успешно докладывались на российских и международных конференциях, опубликованы в реферируемых научных журналах и трудах конференций. Вышесказанное позволяет считать сформулированные в диссертации положения и полученные выводы достоверными.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах ИПФ РАН, а также на 13 научных конференциях, в том числе лично: 3nd International Conference "Frontiers of Nonlinear Physics" (N. Novgorod, Russia, 2007), XXXVI Международная конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, Россия, 2009), XXIV Int. Conf. on Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter (Elbrus, Russia, 2009), International Conference "Light at Extreme Intensities: Opportunities and Technological Issues of the Extreme Light Infrastructure — LEI 2009" (Brasov, Romania, 2009), IV International Conference "Frontiers of Nonlinear Physycs" (N. Novgorod, Russia, 2010), 15ая Нижегородская сессия молодых ученых (Красный Плёс, Россия, 2010), International conference ICONO/LAT 2010 (Kazan, Russia, 2010), Fourth International Conference on Superstrong Fields in Plasmas (Varenna, Italy, 2010), International Conference Optics+Optoelectronics (Prague, Czech Republic, 2011).

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 26 печатных работах, из них 11 статей в рецензируемых журналах [20-30], 5 статей в сборниках трудов конференций и 10 тезисов докладов.

Личный вклад автора Основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Результаты диссертационной работы получены автором лично, вклад соискателя в совместные публикации был определяющим или равноправным с другими соавторами.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трёх глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 174 страницы, включая 37 рисунков. Библиография включает 129 наименований на 16 страницах.

Обзор литературы

Сверхмощные лазерные системы и их применение

В последнее время стремительное развитие лазерной техники, в частности, изобретение технологии усиления чирпованных лазерных импульсов [31] и технологии параметрического усиления [32], сделало возможным генерацию сверхкоротких лазерных импульсов петаваттного уровня мощности. Такая мощность сравнима с мощностью, вырабатываемой электростанциями всего мира. Конечно, мощность лазерного излучения генерируется в течение очень короткого промежутка времени (десятки и сотни фемтосекунд), при этом интенсивность излучения может достигать рекордных значений — до 2 х 1022 Вт/см2 [1]. В настоящее время также обсуждаются возможности строительства ещё более мощных лазерных систем — с интенсивностями порядка 1024-1026 Вт/см2 [2, 3, 33].

Уже при достижении интенсивности оптического поля около 1019 Вт/см2 движение электронов в таком поле становится релятивистским. Благодаря этому в лазерной плазме при такой интенсивности появляются новые нелинейные эффекты. Например, происходит опрокидывание плазменной волны, возбуждаемой лазерным импульсом в разреженной плазме. Также при таком уровне интенсивности пондеромоторная сила придаёт существенный поперечный импульс электронам, как бы разбрасывая их из области высокой интенсивности, за счёт чего плазменная волна трансформируется в плазменную полость [4]. Ускорять электроны плазменной волной было предложено ещё в 1979 году [34]. Однако ускорение в режиме плазменной полости обладает двумя существенными преимуществами: во-первых, в этом режиме плазменная полость может захватывать фоновые электроны, следовательно, отпадает необходимость использовать внешний инжектор электронов, во-вторых,

напряжённость ускоряющего поля в нелинейном режиме выше, поскольку выше амплитуда плазменной волны. В настоящее время в экспериментах, по плазменному ускорению электронов достигнут существенный прогресс [8, 35].

Нелинейности, возникающие при интенсивностях лазерного излучения выше 1019 Вт/см2, также могут приводить к преобразованию спектра падающего на плазму излучения и генерации жёсткого электромагнитного излучения [36]. Хорошо известно решение уравнений движения электрона в поле линейно поляризованной плоской волны. Так, изначально покоящийся электрон совершает в ней колебания по 8-образной траектории, при этом скорость электрона содержит гармоники основной частоты, амплитуда которых растёт с ростом амплитуды волны. Следовательно, даже свободный электрон может излучать гармоники основной частоты, при этом энергия, уносимая гармониками, при интенсивностях оптических полей больше или порядка 1019 Вт/см2 может стать больше энергии, излучаемой на основной частоте, что соответствует переходу от дипольного к синхротронному излучению. Другой причиной генерации гармоник в разреженной плазме может быть искривление траектории электрона под действием плазменных полей. Примером такого излучения является бетатронное излучение ускоряемых в нелинейной плазменной волне электронов [11, 37]. Возможна также генерация гармоник при облучении импульсами с высокой интенсивностью поверхности закритической плазмы [38].

При большем уровне интенсивности становится возможным ускорение ионов. Впервые ускоренные ионы наблюдались в экспериментах, описанных в работе [39], где использовалось излучение с интенсивностью Зх Ю20 Вт/см2. Вылетающие из мишени протоны имели квазитепловое распределение с максимальными энергиями, доходящими до 58 МэВ. Позже была продемонстрирована возможность получения квазимоноэнергетических ионных пучков [40, 41]. Ускорение заряженных частиц происходит на очень маленьких трассах,

что позволяет создавать очень компактные ускорители. Компактные ускорители протонов и лёгких ионов требуются, например, для адронотерапии [42], для протонографии, а также, возможно, будут использоваться для поджига мишени в инерционном термоядерном синтезе [43].

При дальнейшем увеличении интенсивности начинает проявляться такие фундаментальные эффекты, как реакция излучения и распад фотонов на электрон-позитронные пары. Однако в настоящее время эти эффекты в лазерном поле изучены слабо.

Плазменное ускорение электронов

Как уже было сказано выше, ещё в 1979 году была предложена идея ускорения электронов в поле плазменной волны, возбуждаемой лазерным импульсом [34]. Ещё раньше была высказана идея об ускорении электронов в плазменной волне, возбуждённой электронным пучком [44]. Очевидным преимуществом плазменных методов ускорения является достижимость очень высоких темпов ускорения. Дело в том, что в наиболее распространённых (радиочастотных) ускорителях величина ускоряющего поля ограничена из-за возможности развития пробоя на поверхности металлических ускоряющих полостей. В плазме подобных ограничений нет, благодаря чему величина ускоряющего поля в плазменных ускорителях может быть на 2-3 порядка больше поля в радиочастотных ускорителях и доходить до 1 ТВ/м. Благодаря такому высокому ускоряющему полю дистанция, необходимая для ускорения, оказывается достаточно небольшой, что позволяет создавать очень компактные ускорители (например, в работе [8] на дистанции ускорения около 3 см получен пучок электронов с энергией около 1 ГэВ). Другое преимущество ла-зерно-плазменного ускорения связано с тем, что лазерный импульс, возбуждающий волну, движется в плазме со скоростью, близкой к скорости света.

Благодаря этому ускоряемые электроны могут долго находиться в ускоряющей фазе плазменной волны, поэтому энергии электронов, получаемых при плазменном ускорении, больше, чем энергии, получаемые при прямом лазерном ускорении, где дистанции ускорения составляют несколько длин волн лазерного импульса.

Если амплитуда плазменной волны достаточно высока, то происходит опрокидывание волны. А. И. Ахиезер и Р. В. Половин для одномерного случая показали [45], что в холодной плазме опрокидывание волны происходит при достижении её амплитудой значения Е ~ 2тсшр(уо — 1)/е, где шр = (4тгпе2/т)1/2 — плазменная частота, п — концентрация плазмы, ей т — заряд и масса электрона, соответственно, с —скорость света, 7о = (1 — У2/с2)~1//2, V — фазовая скорость волны. Однако мощный широкий лазерный импульс не может устойчиво распространяться в плазме из-за явления самофокусировки. Тем не менее мощный импульс диаметром несколько плазменных длин волн 2тт с/и)р может распространяться в плазме без существенного уширения на дистанции, значительно превышающие длину дефокусировки. Естественно, плазменная волна, возбуждаемая таким импульсом, существенно отличается от одномерной. Пондеромоторная сила лазерного импульса выталкивает электроны из области большой интенсивности, за счёт чего первый период плазменной волны трансформируется в так называемую плазменную полость — полость, практически лишённую электронов, но заполненную ионами (ионы не успевают существенно сместиться, поскольку их масса гораздо больше массы электронов) [4] . Другие периоды плазменной волны могут быть существенно «замыты» из-за того, что плазменная волна при столь высокой амплитуде становится нелинейной, а движение электронов в ней —релятивистским. Образование плазменной полости возможно также и при распространении плотного пучка электронов в плазме [46].

Несмотря на то, что плазменная полость распространяется в плазме со

скоростью, близкой к скорости света, холодные электроны плазмы могут захватываться ей из-за большого нескомпенсированного заряда ионов, находящихся в полости [4]. Более того, захваченные электроны попадают в ускоряющую фазу поля, и эффективность их ускорения получается высокой. Захват электронов из плазмы также является дополнительным преимуществом плазменного ускорения электронов с использованием лазерных импульсов для возбуждения плазменной волны, поскольку избавляет от необходимости использования и синхронизации дополнительного ускорителя для предварительного ускорения электронов. Недавние эксперименты по плазменному ускорению [5-8, 47] продемонстрировали высокую эффективность процесса захвата. Заряд и энергия электронного пучка, получающегося в результате захвата плазменных электронов, могут доходить до нКл и до ГэВ, соответственно. От того, как идёт процесс захвата, также существенно зависит качество получаемого электронного пучка, которое имеет первостепенную важность для многих приложений, от поджига термоядерных реакций до создания рентгеновского лазера на свободных электронах.

Опрокидывание плазменной волны связано с пересечением траекторий электронов [48], а при захвате электронов, очевидно, происходит пересечение траекторий. Следовательно, захват электронов плазменной волной возможен только при амплитудах, превышающих пороговое значение для опрокидывания волны. Однако далеко не всегда при опрокидывании плазменных волн происходит захват электронов. В работах [49, 50] рассматривалась одномерная модель захвата электронов, основанная на гамильтоновом формализме. Эта модель даёт пороговое значение для импульса, которым должен обладать электрон, чтобы быть захваченным плазменной волной, а также долю электронов, которые будут захвачены. Также предлагались различные оптические и плазменные методы усиления захвата: захват электронов при столкновении распространяющихся навстречу друг другу лазерных импуль-

сов [51, 52], усиление захвата при пролёте импульса сквозь плазму с градиентом плотности [53, 54], за счёт ионизации в плазменной волне, раскаченной релятивистским электронным сгустком [55]. Захват и ускорение электронов в экспериментах, как правило, наблюдаются в режиме плазменной полости, когда плазменный отклик существенно отличается от волны в одномерном случае. Однако моделей, теоретически рассматривающих захват электронов трёхмерной плазменной полостью, в настоящее время немного [13, 25].

Эффекты квантовой электродинамики в сильных полях

В последнее время наблюдается заметный рост интереса к эффектам квантовой электродинамики [56, 57] в сильном электромагнитном поле, который связан с существенным прогрессом лазерных технологий [1-3]. Теоретики рассматривают такие эффекты как поляризация вакуума в лазерном поле [16], рождение электрон-позитронных пар из вакуума в поле сталкивающихся лазерных импульсов [17] и суммарном лазерном и ядерном поле [18] и т. д.

В настоящее время напряженность лазерного поля, полученная в лаборатории, не настолько высока, чтобы можно было наблюдать квантовые эффекты в сильных полях напрямую. Однако эти эффекты можно наблюдать, используя релятивистские электронные пучки, поскольку в системе отсчёта, связанной с пучком, величина электрического поля может быть во много раз больше, чем в лабораторной системе отсчёта. Например, в работах [58, 59] был измерен спектр рассеянных электронов и фотонов, образующихся при нелинейном комптоновском рассеянии интенсивного лазерного импульса пучком электронов с энергией 46.6 ГэВ. Также в этих экспериментах наблюдалось рождение электрон-позитронных (е+е~) пар. Эффекты квантовой электродинамики в сильном поле, такие как излучение жестких фотонов и образо-

вание е+е~ пар при взаимодействии релятивистских электронных пучков с сильными электромагнитными полями, например, с полями кристаллов, исследовались как теоретически, так и экспериментально [60, 61]. Были развиты различные теоретические и численные модели эффектов квантовой электродинамики. Так, в работе [62] численно была найдена эволюция функций распределения электронов, позитронов и фотонов при столкновении релятивистского электронного пучка с мощным лазерным импульсом. Рождение е+е~ пар в процессе Бете-Гайтлера вне рамок теории возмущений в приближении плоской периодической волны было исследовано в работе [63]. Был найден энергетический спектр позитронов, образующихся в результате столкновения электронного пучка с лазерным импульсом. Амплитуда процесса рождения пар в сильном лазерном поле была вычислена также в работе [64]. В отличие от [63], полученное в работе [64] выражение для амплитуды рождения пар учитывает конечную длительность и пространственную ограниченность лазерного импульса, при этом лазерное поле также рассматривается вне рамок теории возмущений. В полученных выражениях вклад последовательных процессов синхротронного излучения и распада фотонов и вклад процесса Бете-Гайтлера явно разделены.

Кроме эффектов квантовой электродинамики интерес представляет также изучение реакции излучения в лазерном поле в классическом пределе. Дело в том, что при интенсивностях, которые планируется использовать в ближайшем будущем для экспериментов по взаимодействию лазерных импульсов с веществом, сила радиационного трения может играть существенную роль. В то же время отсутствует экспериментальная проверка уравнений движения с силой радиационного трения в виде, предложенным Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем [65], которым, как правило, пользуются при описании реакции излучения в классическом пределе. Недавно получено точное решение этих уравнений в поле плоской электромагнитной волны [66]. В работе [15]

предложена схема эксперимента по проверке этих уравнений, требующая для реализации пучка электронов с энергией 40 МэВ и лазерного импульса с интенсивностью 5 х 1022 Вт/см2.

Самоподдерживающиеся электромагнитные каскады в лазерном поле

Другим эффектом, который может быть существенен при высоких интен-сивностях лазерного поля, является генерация электромагнитных каскадов [19, 67]. Такие каскады развиваются следующим образом. Медленный электрон в сильном лазерном поле может быть ускорен до очень больших энергий. Затем он может излучить высокоэнергетичный фотон 7 за счёт комптонов-ского рассеяния с участием п лазерных фотонов:

е + псо —у е' + 7. (1)

Получающийся при этом фотон создаёт пару в столкновении с лазерными фотонами:

7 + пш -> е+е~. (2)

Этот процесс может рассматриваться как обобщение реакции Брейта-Уиле-ра [57, 68] на случай сильного поля. Получающиеся в ходе последовательных процессов (1) и (2) электрон и позитрон, а также начальный (затравочный) электрон ускоряются лазерным полем и становятся способны снова излучить высокоэнергетичные фотоны. Таким образом, благодаря постоянному ускорению электронов и позитронов лазерным полем, число частиц в каскаде быстро растёт. Таким образом, при развитии каскада образуется релятивистская электрон-позитронная плазма и гамма-кванты. Помимо рождения пар за счёт последовательных процессов (1) и (2), размножение частиц может происходить и за счёт процесса Бете-Гайтлера [57, 69]: е + пси е'е+е-. Однако,

пороговая интенсивность для развития каскада в оптическом поле составляет около I ~ 1024-1025 Вт/см2 в зависимости от геометрии, длительности лазерных импульсов и других параметров. При этом совокупная вероятность процессов (1) и (2) много больше, чем вероятность процесса Бете-Гайтлера.

Экспоненциальное уменьшение вероятности распада фотона при уменьшении квантового параметра \ (ПРИ Х7 ~ -0» растущего с ростом интенсивности, приводит к наличию порога в интенсивности для развития самоподдерживающихся электромагнитных каскадов. Небольшая разница в пороговых значениях, вычисленных в различных работах объясняется различными определениями порога развития каскада (удвоение числа частиц на периоде, на нескольких периодах), использованием различных определений интенсивности (максимальная интенсивность, максимум усреднённой за период интенсивности, интенсивность отдельных лазерных импульсов и т. д.) и тем, что для анализа задачи использовались различные подходы. Например, в работе [67] используется сила радиационного трения для анализа динамики заряженных частиц в каскаде. Более реалистичные оценки выполнены в работе [19], в которой использовалось квантовое описание процесса излучения фотонов вместо описания с использованием силы радиационного трения, из-за чего получилось несколько иная по сравнению с работой [67] оценка пороговой интенсивности (значения величины сЕ^/47Г, вычисленные по этим работам, отличаются примерно в два раза; Ещ — пороговая амплитуда вращающегося электрического поля). В то же время в работе [19] предполагается, что частицы в каскаде вблизи порога имеют в среднем % ~ 1, что даёт слегка завышенную оценку для порогового поля. Как отмечено в работе [70], даже если в среднем х <С 1, вследствие большого разброса параметров частиц, вызванного вероятностной природой процессов излучения фотонов и рождения пар, некоторые частицы могут иметь х ~ 1, что и приводит к развитию каскада. Пороговое значение интенсивности также сильно зависит от параметров

используемых лазерных импульсов (длительность, размер фокального пятна, поляризация). Например, при использовании распространяющихся навстречу друг другу широких и длинных лазерных импульсов время выхода частиц из области сильного поля может возрасти, что усилит развитие каскада [24].

Затравочные частицы для каскада (например, е+е~ пара) могут быть созданы в результате неустойчивости вакуума по отношению к рождению пар в сильном поле [17, 71-73]. Вероятность рождения е+е~— пар из вакуума в сильном поле увеличивается в поле двух распространяющихся навстречу друг другу лазерных импульсов [74, 75] или в поле сфокусированного лазерного импульса [76]. Однако пороговая интенсивность для рождения пар из вакуума в поле сталкивающихся или сфокусированных лазерных импульсов с длиной волны А/ ~ 1 мкм очень высока и достигает значений 2.3 х 1026 Вт/см2 для длительности импульса порядка 10 фс и циркулярной поляризации [77]. Кроме того, возможно использование высокоэнергичных фотонов в качестве затравочных частиц для каскада, что оказывается более предпочтительным чем использование электронов и позитронов, поскольку пондеромоторная сила лазерного импульса выталкивает заряженные частицы из области высокой интенсивности. Затравочные частицы также могут быть созданы в самой области с высокой интенсивностью посредством ионизации атомов [78] и рождения пар в суммарном поле лазерного импульса и тяжёлых ядер [18]. Когда число частиц в каскаде становится большим, плазменные поля становятся существенными, и существенное количество лазерной энергии может быть поглощено на создание и разогрев электрон-позитронной плазмы и гамма-квантов. Таким образом, развитие каскадов в сильном лазерном поле может существенно ограничить достижимую в эксперименте интенсивность лазерных систем [19, 24].

Квантовая динамика частиц и их взаимодействий является сложным явлением. Для его описания предложен ряд численных моделей. Так, в работе

[79] рассмотрена модель, основанная на первых принципах (решение уравнений Дирака для вычисления сечений процессов квантовой электродинамики). Для моделирования коллективной динамики частиц может использоваться численное решение кинетических уравнений [62]. Ещё одним методом решения квантовых задач является метод Монте-Карло, эффективный с точки зрения вычислений. Несколько довольно сложных моделей, таких как широко известный пакет СеагЛ4, предназначенный для моделирования прохождения высокоэнергичных частиц сквозь вещество, основаны на методе Монте-Карло. Этот метод также используется для моделирования развития каскадов в сильных электромагнитных полях [80, 81]. Недавно для моделирования эффектов, связанных с собственными полями частиц каскада был использован метод частиц в ячейках [24, 82].

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Неруш, Евгений Николаевич

2.3. Основные результаты и выводы

В данной главе рассмотрены самоподдерживающиеся каскады в лазерном поле. Приведены оценки для пороговой напряжённости поля, при кото

136 рой возможно развитие таких каскадов. С использованием численного моделирования изучалось развитие каскадов в суммарном поле двух распространяющихся навстречу линейно поляризованных лазерных импульсов. Показано, что при достаточно высокой интенсивности плотность электрон-позитрон-ной плазмы, образующейся при развитии каскада, может стать настолько высокой, что происходит заметное поглощение энергии лазерных импульсов.

Также представлена аналитическая модель развития каскадов во вращающемся электрическом поле, основанная на кинетических уравнениях для электронов, позитронов и фотонов. Выбранная конфигурация поля является одной из простейших конфигураций, в которых развиваются электромагнитные каскады. В рамках модели получены решения для функций распределения частиц каскада, имеющих энергию, много большую средней энергии частиц в каскаде.

Таким образом, во-первых, показано, что достижение высоких интенсив-ностей может быть серьёзно затруднен о развитием электромагнитных каскадов. Во-вторых, построена аналитическая модель развития каскадов во вращающемся электрическом поле, которая, возможно, поможет определять параметры каскада по спектрам частиц в будущих экспериментах, а также может помочь оценивать параметры частиц в каскадах, развивающихся в более сложных конфигурациях поля.

Глава 3

Методы численного моделирования радиационных явлений в плазме

В данной главе описываются некоторые численные алгоритмы, используемые в работе для моделирования взаимодействия мощных лазерных импульсов с веществом.

В общем случае система частиц и полей описывается уравнениями Максвелла и уравнениями для функций распределения. Уравнения для функций распределения содержат в том числе и слагаемые, описывающие процессы излучения фотонов и рождения электрон-позитронных пар. При этом, как уже было сказано ранее, фотоны высокой энергии рассматриваются как частицы, а уравнения Максвелла численно решаются только для полей, характерный пространственный масштаб которых порядка или меньше лазерной или плазменной длины волны. Благодаря этому не требуется использовать слишком мелкий масштаб пространственной сетки для решения уравнений Максвелла. Решение уравнений для функций распределения производится методом частиц в ячейках, при этом излучение фотонов и рождение электрон-позитронных пар производится с использованием метода Монте-Карло, подробно описанного в разделе 3.3. Принципы, на которых основан сам метод частиц в ячейках, описаны в разделе 3.1 на примере электронной функции распределения без учёта излучения фотонов. В разделе 3.2 приведены различные конечно-разностные схемы решения уравнений Максвелла, а также пример использования одной из схем для расчёта терагерцового излучения, генерируемого пучком электронов, пролетающим над металлической пластинкой с отверстиями.

Результаты данной главы опубликованы в работах [21, 22, 29].

3.1. Метод частиц в ячейках

Рассмотрим работу метода частиц в ячейках на примере функции распределения электронов. Если пренебречь столкновениями и излучением фотонов, то эта функция удовлетворяет уравнению Больцмана: й/ + ^7 + Ур(/Е) = 0, (3.1) где р — импульс электрона, нормированный на тс, Е — сила, действующая на электрон, нормированная на тс, скорости нормированы на скорость света. Численное решение конечно-разностного аналога уравнения (3.1) на сетке в фазовом пространстве обладает, как правило, очень низкой эффективностью с точки зрения использования компьютерных ресурсов [124]. Например, для системы в трёхмерном пространстве фазовое пространство оказывается шестимерным, а объём, занимаемый частицами в этом пространстве, как правило, очень мал. Так, при развитии каскадов во вращающемся электрическом поле направление скоростей частиц близко к мгновенному направлению поля, следовательно, функция распределения в фазовом пространстве сильно вытянута вдоль этого направления. При этом в конечно-разностном методе решения уравнений для функций распределения большая часть времени будет потрачена на расчёты в пустой, по сути, области фазового пространства.

В методе частиц в ячейках функция распределения описывается совокупностью квазичастиц: г,р) = Х)И^5,(г-гп,р-рп), (3.2) п где \¥п — так называемый вес квазичастицы, 5 — функция, описывающая форму квазичастицы, гп, рп — координата и импульс квазичастицы, соответственно. При таком способе аппроксимации производятся только вычисления траекторий движения квазичастиц, а поскольку квазичастицы в основном находятся там, где функция распределения существенно ненулевая, то и объём вычислений, которые необходимо произвести, оказывается малым.

Найдём уравнения движения квазичастиц. Для этого подставим выражение (3.2) в уравнение (3.1):

9£(г — гп, р — рп) <1гп

Е^п п дг dt <9£(r - rn,p - pn)dpn dS(г - rn,p - pn)p dp dt дг 7 д£(г-гп,р-р„) 0F(r,p) -H-F(r' P) + S(r - rn, P - Pn) 0, (3.3)

-- f / 1 ^ Iv* ~ U5 f fil ] c\ dp dp где следует заметить, что для силы Лоренца &F/dp = 0. Таким образом, уравнение для функции распределения будет приближённо выполнено, если положить drn р dt 7 dp

3.4) F(rnjp„), (3.5) йг при этом погрешность выполнения уравнения Больцмана будет связана с погрешностью выполнения равенства Р(г,р) = Г(гп,рп) на масштабах функции 5. Если в качестве функции 5 выбрать дельта-функцию, то, формально, уравнение Больцмана будет выполнено точно. Однако уравнения (3.4) и (3.5) в программе решаются конечно-разностными методами с конечными шагами по времени, а сила Г(гп,рп) вычисляется не аналитически, а находится с помощью интерполяции полей, полученных при численном решении уравнений Максвелла в узлах численной сетки, в точку гп (решение уравнений движения квазичастиц в созданных нами программах производилось методом Бориса [125], широко применяющемся при использовании метода частиц в ячейках). При этом в решении уравнений (3.4) и (3.5) всё равно возникает некоторая погрешность. Кроме того, использование в качестве функции формы частицы дельта-функции приводит к возникновению больших шумов в плотности тока и заряда, и, как следствие, к возникновению больших электромагнитных шумов. Поэтому нами используется функция 5 в следующем виде: р), если |ж| < Ах, \у\ < А у и Ы < Дг

3.6)

О в противном случае то есть частицы представляют собой равномерно заряженные облака с конкретным импульсом и размерами, равными шагам численной сетки полей. При этом погрешность в решении уравнения (3.1), связанная с конечными размерами квазичастиц, по порядку величины равна погрешности, связанной с аппроксимацией полей с сетки в точку гп. Кроме того, использование подобных частиц позволяет уменьшить численные шумы в плотности тока, а определённые алгоритмы подсчёта плотности тока в узлах сетки и аппроксимации полей на частицы с использованием таких частиц позволяют довольно легко добиться выполнения закона сохранения заряда и закона сохранения энергии в численном коде [94, 124].

Описанные алгоритмы были реализованы в программе, написаной на языке С++ и позволяющий проводить трёхмерное моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с плазмой. Корректность работы программы проверялась при сопоставлении численных решений некоторых простых задач с известными аналитическими решениями. Использование созданной программы для моделирования проводимых в ИПФ РАН экспериментов по ускорению электронов показало качественное соответствие результатов моделирования результатам эксперимента [126].

3.2. Численные схемы для решения уравнений Максвелла

Для решения уравнений Максвелла в конечных разностях довольно часто используют метод FDTD (finite-difference time-domain) [94, 124]. Дисперсионное соотношение для электромагнитных волн при решении уравнений Максвелла этим методом в двумерной геометрии выглядит следующим образом: где At, Ах и Ау — шаг по времени, пространственный шаг сетки по оси х и пространственный шаг сетки по оси у, соответственно, со — частота волны, кх и — проекции волнового вектора волны, здесь мы считаем, что скорости нормированы на скорость света. Из уравнения (3.7) легко найти фазовую скорость волны, распространяющейся вдоль оси х: vv ~ ~ arcsin (г sin ^ , (3.8) где т = At/Ах, г] = к Ах. Таким образом, только при т = 1 (At = Ах) фазовая скорость волн равна скорости света. Однако из уравнения (-3.7) следует, что численное решение устойчиво только в том случае, если

Л о Ах2 А у2 , , откуда получаем, что At < Ах и At < Ay. Следовательно, при использовании метода FDTD фазовая скорость волн всегда оказывается меньше скорости света. Наименьшая фазовая скорость получается для волн с наименьшей длиной волны (отличие фазовой скорости от 1 для таких волн максимально, напротив, для длинных волн с г) -» 0 фазовая скорость vфотона в единицу времени. При этом часто оказывается много меньше, чем период лазерного поля.

Таким образом, в методе РБТО фазовая скорость волн оказывается меньше скорости света. Следовательно, возможна раскачка коротких волн релятивистскими частицами, движущимися синфазно с этими волнами. Это может приводить, во-первых, к появлению больших электромагнитных шумов и, во-вторых, к потерям энергии частиц на излучение электромагнитных волн. Таким образом, для более корректного моделирования ускорения частиц в плазме, а также развития электромагнитных каскадов, необходимо использование методов решения уравнений Максвелла, дающих правильную дисперсию электромагнитных волн в вакууме. Для моделирования мы выбрали метод ЫБГХ [94], устойчиво работающий при Ах = при моделировании процессов в вакууме и при Ах чуть меньшем АЬ при моделировании процессов в плазме. Этот метод практически не искажает дисперсию электромагнитных волн, движущихся в вакууме вдоль оси х. Тем не менее, дисперсия волн, движущихся вдоль оси у, искажена (хотя эти искажения меньше, чем в схеме КОТО). Другим недостатком метода Г\Т13КХ является то, что в нём необходимо использовать Ах и что приводит к сильным дополнительным затратам компьютерных ресурсов, поскольку, как правило, приходится выбирать много меньшим, чем характерный пространственный масштаб полей.

Нами также была разработана двумерная численная схема для решения уравнений Максвелла, не дающая искажений дисперсии для волн, движущихся как вдоль направления оси х, так и вдоль направления оси г. Подробно эта схел^а будет описана в следующем разделе. Здесь же заметим, что использование этой схемы для моделирования электромагнитных каскадов и для моделирования ускорения частиц в плазме требует слишком больших затрат компьютерных ресурсов, поскольку в этой схеме должно строго выполняться равенство Ах = Аг = At, поэтому мы использовали эту схему только для моделирования генерации терагерцового излучения пучком электронов, пролетающим над металлической пластинкой с отверстиями (см. раздел 3.2.2).

3.2.1. Метод продольно-поперечного разделения

В данном разделе мы будем рассматривать решение уравнений Максвелла в двумерном пространстве (ж, г). При этом будем использовать де-картову систему координат и считать, что ток не зависит от у, и зу = О, Еу = Вх = Вг = 0, где д — вектор плотности тока.

Пусть в момент времени I = пАЬ известны поля Е";, Е™ и Д™, и пусть известны пропагаторы одномерных задач о распространении продольных и поперечных волн, то есть такие операторы, и что для соответствующих одномерных задач с нужной точностью выполнены соотношения:

Для получения Е™+1 и В%+1, к полям Е™} Е™ и В™ применяется гчМ/2 оператор ит , то есть поля сначала продвигаются вперед на половину шага по времени с помощью поперечного пропагатора, после они продвигаются на целый шаг с помощью продольного пропагатора, а после снова на полшага с

3.11)

3.10) помощью поперечного пропагатора: Ех^

Ег

ВУ) п+1 цгу ^Ь р\п

Ег

Ву}

3.12)

При этом легко показать, что если погрешность в уравнениях (3.10) и (3.11) была порядка Д£3, то и в уравнении (3.12) погрешность будет порядка Д£3. Кроме того, если в качестве пропагатора использовать численный пропа-гатор, обладающий правильной дисперсией, то и конечная схема (3.12) будет давать правильную дисперсию в продольном направлении, так как в этой пМ/2 схема операторы ит не затрагивают волны, распространяющиеся строго в продольном направлении. Аналогично можно получить правильную дисперсию в поперечном направлении. Однако при этом не следует забывать, что нужно, чтобы схема (3.12) оставалась устойчивой при значениях параметров, при которых схемы (3.10), (3.11) дают правильную дисперсию. Можно показать, что устойчивость схемы (3.12) следует из устойчивости схем (3.10) и (3.11). Введём обозначение Г п р\п

Ег

Ву)

3.13)

Найдём энергию поля в момент (п + 1)Д£: о? п+1 тгт+1

Ср/2У С?/2С?Ср/2¥п, где + обозначает эрмитово сопряжение. Если операторы Ср^2 и няют энергию, то Еп, С^ЕП) = и аналогично для а

3.14) г^ сохра

Аф

Т ' то есть пропагаторы в этом случае — унитарные операторы: (с^2^ С^^2 = 1 и С^ = 1. Следовательно, из (3.14), (ГП+1,ЕП+1) = (ЕП,ЕП), требовалось доказать. что и

Для создания схемы осталось выбрать продольный и поперечный пропа-гаторы. Мы использовали точные пропагаторы для одномерных уравнений Максвелла. Для построения точного продольного пропагатора выпишем уравнения Максвелла, отвечающие за распространение волн строго вдоль оси х: dtEz = дхВу - jZ} (3.15) dtBy = dxEz, (3.16) где скорости нормированы на скорость света, время —на I/o;, поля и токи нормированы на тси/е и тс2си/47ге, соответственно, некоторая произвольная частота. Конечно-разностная схема (с погрешностью на временном шаге ~ At3 для этих уравнений имеет вид: рп+1 ТГП , 1?п+1 трп

A t тэп ТУП y,i+lj У,г,.

Ах тэп рп I

Dy,ij ^ y\hj .71+1/2 -n+1/2 /о -, 7X

Jz-,i,j Jz;i+lJ> Kô-li)

ОП+1 тэп I £?" +1 Т2П д*

Т?п I 17,п+1 грп+1 я;г+1 ~т /о 1 о\ . (3.18)

Выберем Д£ = Аж, тогда, складывая и вычитая предыдущие уравнения, получаем: - ЗДй = № - В,)« - ^ + . (3.19) (Я, + Ву)"^1 = (Ег + Ву)^ - ^ + . (3.20)

Полученные уравнения можно интерпретировать следующим образом: при ^ = 0 они описывают плоские волны, распространяющиеся в положительном и отрицательном направлениях относительно направления оси х. Важно

• •

Ву

А с^ Ev О их х

Е2 лг/2

-ф

Рис. 3.1. Пространственная сетка для полей в схеме с продольно-поперечным разделением. отметить, что эти уравнения представляют собой точное решение уравнений Максвелла (если = 0). Из этих выражений легко получить Е^ и Д^ ).

Аналогичные выражения могут быть получены для преобразования Ех и Ву на поперечном шаге. Очевидно, что такие пропагаторы консервативны, следовательно, и полученная на их основе двумерная схема решения будет консервативной. В двумерной схеме, основанной на точных пропагато-рах, поля на сетке должны быть расположены определённым образом (см. Рис. 3.1), при этом шаги пространственной и временной сеток строго связаны: Ах = Аг = АЬ. Рассмотрим действие оператора ^ СИ^СОггр ^ на поля в данной схеме. Сначала оператор С^2 раскладывает поля в узлах типа А на плоские волны, бегущие в положительном и отрицательном направлениях относительно направления оси и продвигает поля на ±Ах/2. После этого становятся известны поля Ех, Е2 и Ву в узлах типа В, и оператор может продвинуть поля Ву и Е2 вдоль оси х. Далее оператор С^2 продвигает поля Ех и Ву из узлов типа В в узлы типа А. На следующем шаге всё повторяется.

3.2.2. Моделирование генерации терагерцового излучения при пролёте электронного пучка над металлической решёткой

В последнее время достигнуты впечатляющие успехи в генерации ультракоротких сгустков релятивистских электронов в лазерной плазме. Одним из ы

1 2 3 4 5 6 7 6

Рис. 3.2. Черенковское излучение прямоугольной квазичастицы, движущейся со скоростью, вдвое превышающей скорость света, найденное при численном моделировании с использованием (а) метода РВТБ и (Ь) метода с продольно-поперечным разделением.

N. е

Рис. 3.3. Схема численного эксперимента по моделированию излучения электромагнитных волн электронным сгустком, летящим над металлической решёткой. возможных применений таких сгустков является создание компактных источников мощного электромагнитного излучения в труднодоступных областях спектра. В частности, ультракороткие электронные сгустки, сформированные в лазерной плазме, могут быть эффективно использованы для генерации терагерцового излучения [127]. Дело в том, что длительность таких сгустков составляет несколько десятков фемтосекунд и меньше, то есть длина сгустков может быть порядка и меньше длины волны излучения терагерцового диапазона (10-1000 мкм). Это обстоятельство делает возможным генерацию когерентного электромагнитного излучения, когда мощность излучения пропорциональна квадрату частиц в сгустке.

Преимущества метода решения, использующего продольно-поперечное

I - ----- - .-т.— - г—¡ОД»

Рис. 3.4. Пространственное распределение поля Ех излучения электрона, летящего над металлической решёткой, в момент времени t = 100 (в момент времени I — 0 электронный сгусток находится над левой границей решётки), К = 20, т = а = 1, с? = 10, а = 9, 7 = 100.

разделение, хорошо видны из его сравнения с методом РОТБ. На Рис. 3.2 приведены распределения магнитного поля, генерируемого частицей, движущейся со скоростью, вдвое превышающей скорость света. При использовании метода с продольно-поперечным разделением численный шум практически отсутствует, в то время как в методе РБТБ он сопоставим по амплитуде с полем черенковского излучения.

Отсутствие численной дисперсии и паразитного черенковского излучения в описанной выше схеме позволяет успешно моделировать излучение электромагнитных волн сгустком электронов, летящим над металлической решёткой. Схема соответствующего численного эксперимента показана на Рис. 3.3. Для простоты электронный сгусток задавался в виде тока — щ ехр (—(х — Уъ1)2/т2 — л2/сг2), где щ — концентрация пучка и 115 — скорость пучка. На Рис. 3.4 видно образование чёткой картины излучения. В то же время использование метода РЭТЭ в задаче с теми же параметрами приводит к генерации значительного численного шума. Такой шум пропадает только в случае низких скоростей заряженных частиц, когда синхронизм пучка с электромагнитными волнами становится невозможен.

3.3. Использование метода Монте-Карло для моделирования квантовых процессов.

Для изучения динамики каскадов с учётом плазменных эффектов нами была создана программа, моделирующая двумерные системы и использующая метод частиц в ячейках и метод Монте Карло. Подобные методы были недавно использованы, например, для моделирования разрядов в газах [128]. Также недавно для моделирования электромагнитных каскадов в магнитосфере была использована одномерная программа, основанная на методах частиц в ячейках и Монте-Карло [82]. Однако в этой программе использовались уравнения электростатики, а не полная система Максвелла, классические формулы для излучения фотонов, а также классические уравнения для движения электронов с использованием силы радиационного трения для описания отдачи при излучении. В разработанной нами программе используется более общий подход. Благодаря большой разнице в энергии фотонов плазменных полей (huj < тс2) и жёстких фотонов (Нси тс2), излучаемых заряженными частицами при развитии каскада, можно рассматривать эти группы фотонов по-разному. Динамика низкочастотных полей моделируется с использованием конечно-разностных схем решения уравнений Максвелла, а жёсткие фотоны рассматриваются как частицы. Для всех частиц, участвующих в каскаде (электроны, позитроны и жёсткие фотоны) решаются классические уравнения движения. На каждом шаге по времени для каждой заряженной частицы и для каждого фотона с использованием методе Монте-Карло и распределения вероятностей по энергиям вторичных частиц принимается решение, происходит тот или иной процесс или нет. Условия применимости такого метода моделирования совпадают с условиями применимости квазиклассического метода Байера—Каткова [60], также мы использовали спектральные распределения вероятностей излучения и рождения, вычисленные в рамках этого метода в синхротронном режиме.

3.3.1. Стандартный генератор событий

Для начала на примере процесса излучения рассмотрим простой способ принятия решения об излучении для получения нужного профиля распределения вероятности излучения по частоте излучаемого фотона. Описанный в данном разделе метод довольно распространён [62, 129].

Итак, зная на n-ом шаге по времени (в момент времени tn = nAt, At = const — шаг по времени) импульс рп электрона и действующие на него поля Bn, можно вычислить для него квантовый параметр Хп и полную вероятность излучения IV. После этого с использованием равномерного распределения генерируется случайное число г £ (0,1). Если неравенство г < WAt оказывается выполненным, то производится излучение фотона, то есть в область моделирования добавляется фотон с теми же координатами и тем же направлением импульса, что и у излучившего его электрона. Энергия электрона уменьшается на энергию фотона е7, а импульс —на е7/с. Очевидно, что при этом вероятность излучения фотона электроном получится равной W, что и требовалось. В то же время для того, чтобы получить правильное распределение излучённых фотонов по энергиям, е7 находится из уравнения W w(e) dz = г', (3.21) где г' — независимо полученное случайное число с равномерным распределением на интервале (0,1), ю(е7) — распределение вероятности излучения по энергии излучённого фотона, введена обрезка спектра ет{п для того, чтобы избежать сингулярности. Очевидно, что данный алгоритм даст вероятность того, что энергия излучённого фотона лежит в интервале -+- Ае7,с7), равную А г', где Аг' определяется из уравнения (3.21) с произведённой заменой

151 т —4- Д<?7, г' —> г' Аг', то есть

А г' = — IV

I" т(е) ¿Е — т(е) ди£

О 00\

IV { ] при достаточно малом Ае1. Таким образом, данный алгоритм даёт профиль распределение вероятности излучения по энергиям, совпадающий с Однако ясно, что для корректного моделирования излучения етг-п следует выбрать много меньшей, чем уровень энергии фотонов, вероятность распада которых не пренебрежимо мала, также следует выбрать шаг по времени, много меньший среднего времени между последовательными актами излучения, At <С 1/У/. Генератор событий для распада фотонов с образованием электрон-позитронных пар может быть сделан аналогичным образом.

3.3.2. Быстрый генератор событий

Одним из главных недостатков генератора событий, описанного в предыдущем разделе, является необходимость вычислять интеграл (3.21) на каждом шаге по времени для каждой излучающей частицы. Конечно, можно один раз вычислить значения этого интеграла на сетке, покрывающей все интересующие значения параметров, и его значения на каждом шаге по времени для каждой конкретной излучающей частицы получать интерполяцией. Однако т зависит не только от энергии излучаемого фотона, но и от энергии электрона, излучающего фотон, и от параметра х этого электрона, поэтому потребуется предварительное вычисление интеграла (3.21) в очень большом числе точек. Кроме того, функция т содержит спецфункции, вычисление которых также нетривиально.

Для того, чтобы обойти описанные выше проблемы, нами был создан альтернативный генератор событий, который, во-первых, использует некоторые аппроксимационные формулы для функции ги, не содержащие спецфунк

152 ций, но обладающие высокой точностью (около 1%), и, во-вторых, использует иной алгоритм принятия решения об излучении. Рассмотрим подробно работу этого алгоритма. Разобьём интервал энергий излучаемого фотона (О, г) (где £ — энергия электрона, излучающего фотон) на отрезки длиной Де7. Выберем интервал времени г такой, что ■ш(£7)тД£7 <С 1 для характерных энергий фотона, соответствующих максимуму в распределении интенсивности излучения. Вероятность излучения фотона с энергией в интервале (гД£7, (г + 1)Де7) за время г приближённо равна -Ь 1/2)Д£7)тД£7. Если это значение оказывается больше, чем случайная величина г, имеющая равномерное распределение на интервале (0,1), то происходит излучение фотона с энергией (г + 1/2)Де7. Перебор частот можно осуществить, организовав цикл по г, однако можно избежать этого, выбрав г = Д^[е/Де7], где [х] — округление числа х до ближайшего целого в меньшую сторону. При этом перебор по г можно осуществить, увеличивая г на 1 на каждых новом шаге по времени и вычисляя только одно значение вероятности для соответствующей частоты, то есть можно, по сути, заменить цикл по г на цикл по времени. При этом для того, чтобы избавиться от дискретности частотного интервала и от возможных паразитных эффектов, связанных с последовательным изменением г, можно вычислять на каждом шаге по времени случайную величину г', имеющую равномерное распределение на интервале (0,1), и вычислять энергию излучённого фотона как £1 = г'£.

Таким образом, на каждом шаге по времени для каждого электрона вычисляются две независимые случайные величины гиг', имеющие равномерное распределение на интервале (0,1). Вычисляется энергия излучаемого фотона £1 — т!£ и величина Если оказывается, что г < ги(е7)еД4, то происходит излучение фотона, то есть новый фотон с энергией е7 добавляется в область моделирования, на соответствующую величину уменьшается энергия электрона и т. д. Ясно, что вероятность излучения на одном шаге по времени электроном фотона с энергией в интервале (г7, е1 + Д(£*)е ~ а для узкого спектра описанный алгоритм может быть модифицирован с использованием ширины спектра вместо е, что также сделает последнее условие более жёстким. Следовательно, условие применимости описанного метода совпадает с условием применимости стандартного генератора событий. Аналогичным образом нами был реализован генератор событий, описывающий рождение электрон-позитронных пар при распаде жёстких фотонов в сильном электромагнитном поле.

Важно отметить, что описанный в данном разделе генератор событий может быть использован при любом виде функции т. Так, используемые нами аппроксимационные формулы для распределения вероятностей по частотам дают хорошую точность и в классической области, что позволяет использовать их совместно с быстрым генератором событий, например, для более реалистичного учёта потерь при излучении по сравнению с тем, что даёт сила

154 0,5 0

-0,5

0 1 2 3 4 5 6 г.1.

Рис. 3.5. Зависимость числа электронов с энергией более 10-3£о в каскаде, развивающемся в постоянном однородном магнитном поле, от глубины проникновения частиц каскада в магнитное поле. Сплошная зелёная кривая соответствует зависимости, полученной с использованием быстрого генератора событий для каскада, инициированного электроном, пунктирная синяя кривая соответствует каскаду, инициированному фотоном и рассчитанному также с использованием быстрого генератора событий, красные треугольники и синие пятиугольники соответствуют данным, полученным с помощью численного моделирования в работе [80], для каскадов, инициированных электроном и фотоном, соответственно. Энергия начальной частицы е0 такова, что отклонением вторичных частиц от направления её импульса можно пренебречь. радиационного трения [23].

3.3.3. Тестирование быстрого генератора событий

Для тестирования быстрого генератора событий были произведены расчёты для нескольких модельных задач. Во-первых, моделировались процессы излучения и рождения пар в постоянном однородном магнитном поле. При этом по результатам работы программы находились полные вероятности излучения заряженными частицами первого фотона и вероятности распада изначально запущенных в область моделирования фотонов. Найденные значения оказались в хорошем согласии с соответствующими значениями, вычисленными с использованием формул, полученных в рамках квазиклассического подхода.

Также было проведено моделирование развития каскадов в постоянном однородном магнитном поле, инициированных фотоном или электроном высокой энергии. Сравнение полученных результатов с результатами вычислений с использованием другого генератора событий, приведённых в работе [80], показано на Рис. 3.5. Приведены зависимости десятичного логарифма числа электронов с энергией больше 103 энергии инициирующей каскад частицы от глубины проникновения головы каскада в магнитное поле (в радиационных длинах [80]). Из Рис. 3.5 видно хорошее соответствие результатов, полученных при использовании аппроксимационных формул и быстрого генератора событий результатам, полученным с использованием другого генератора событий и без использования аппроксимационных формул.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

1. Построена модель захвата электронов плазменной полостью. Скорость и радиус плазменной полости определяются плотностью плазмы, а также интенсивностью и эволюцией лазерного импульса. Показано, что при превышении скоростью полости некоторого порогового значения, зависящего от радиуса полости и плотности плазмы, захват электронов прекращается.

2. Обнаружен новый механизм поперечных осцилляции плазменной полости и пучка ускоренных электронов. Показано, что изменение абсолютной фазы импульса при его распространении в плазме вызывает осцилляции полости. Вычислен период осцилляций.

3. Вычислена мощность радиационных потерь при ускорении электрона в плазменной полости. Показано, что сила радиационного трения может значительно ограничить темп ускорения. Найдены параметры электронов, для которых необходимо учитывать влияние силы радиационного трения на процесс ускорения.

4. Вычислен спектр излучения электронов в классическом и квантовом режимах в поле плазменной полости. Вычислена вероятность распада фотонов.

5. Построена аналитическая модель развития электромагнитных каскадов во вращающемся электрическом поле, основанная на кинетических уравнениях для электронов, позитронов и фотонов. В рамках данной модели вычислены функции распределения электронов, позитронов и фотонов с энергиями, во много раз большими средних энергий частиц в каскаде.

6. Для описания развития электромагнитных каскадов в сильном лазерном поле разработана самосогласованная численная модель, учитывающая поглощение лазерной энергии в результате нагрева возникающей электрон-позитронной плазмы и генерации гамма-излучения, а также влияние собственных электромагнитных полей плазмы на динамику каскада. С использованием данной модели вычислен порог развития электромагнитных каскадов в поле двух линейно поляризованных лазерных импульсов, распространяющихся навстречу друг другу. Показано, что эффект развития самоподдерживающихся электромагнитных каскадов может стать существенным уже при интенсивностях порядка 1024 Вт/см2, что сопоставимо со значениями интенсивности проектируемых в настоящее время лазерных систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Неруш, Евгений Николаевич, 2012 год

Литература

1. Yanovsky V., Chvykov V., Kalinchenko G. et al. Ultra-high intensity-300-TW laser at 0.1 Hz repetition rate // Optics Express. 2008. Vol. 16, no. 3. Pp. 2109-2114.

2. URL: http://www.extreme-light-infrastructure.eu/.

3. URL: http : //www. hiper-laser. org/.

4. Pukhov A., Meyer-ter Vehn J. Laser wake field acceleration: the highly nonlinear broken-wave regime // Applied Physics B: Lasers and Optics. 2002. Vol. 74, no. 4-5. P. 355.

5. Faure J., Glinec Y., Pukhov A. et al. A laser-plasma accelerator producing monoenergetic electron beams. // Nature. 2004. Vol. 431, no. 7008. Pp. 541-4.

6. Geddes C. G. R., Toth C. S., Van Tilborg J. et al. High-quality electron beams from a laser wakefield accelerator using plasma-channel guiding. // Nature. 2004. Vol. 431, no. 7008. Pp. 538-41.

7. Mangles S. P. D., Murphy C. D., Najmudin Z. et al. Monoenergetic beams of relativistic electrons from intense laser-plasma interactions. // Nature. 2004. Vol. 431, no. 7008. Pp. 535-8.

8. Leemans W. P., Nagler B., Gonsalves A. J. et al. GeV electron beams from a centimetre-scale accelerator // Nature Physics. 2006. Vol. 2, no. 10. P. 696.

9. Fuchs M., Weingartner R., Popp A. et al. Laser-driven soft-X-ray undulator source // Nature Physics. 2009. Vol. 5. Pp. 826 - 829.

10. Ogata A., Nakajima K., Kozawa T., Yoshida Y. Femtosecond single-bunched linac for pulse radiolysis based on laser wakefield acceleration // IEEE Transactions on Plasma Science. 1996. Vol. 24, no. 2. Pp. 453 - 459.

11. Phuoc K. T., Corde S., Shah R. et al. Imaging Electron Trajectories in a Laser-Wakefield Cavity Using Betatron X-Ray Radiation // Physical Review Letters. 2006. Vol. 97, no. 22. P. 225002.

12. Phuoc K. T., Fitour R., Tafzi A. et al. Demonstration of the ultrafast nature of laser produced betatron radiation // Physics of Plasmas. 2007. Vol. 14, no. 8. P. 080701.

13. Kalmykov S., Yi S. A., Khudik V., Shvets G. Electron Self-Injection and Trapping into an Evolving Plasma Bubble // Phys! Rev. Lett. 2009. Vol. 103, no. 13. P. 135004.

14. Bulanov S. V., Esirkepov T. Z., Koga J., Tajima T. Interaction of Electromagnetic Waves with Plasma in the Radiation-Dominated Regime // Plasma Physics Reports. 2004. Vol. 30, no. 3. P. 196-213.

15. Di Piazza A., Hatsagortsyan K. Z., Keitel C. H. Strong Signatures of Radiation Reaction below the Radiation-Dominated Regime // Physical Review Letters. 2009. Vol. 102, no. 25. P. 254802.

16. King B., Di Piazza A., Keitel C. H. Double-slit vacuum polarization effects in ultraintense laser fields // Phys. Rev. A. 2010.— Sep. Vol. 82, no. 3. P. 032114.

17. Bulanov S. S., Mur V. D., Narozhny N. B. et al. Multiple colliding electromagnetic pulses: a way to lower the threshold of e+e- pair production from vacuum. 2010. 1003.2623vl[hep-ph],

18. Di Piazza A., Milstein A. I., Muller C. Polarization of the electron and positron produced in combined Coulomb and strong laser fields // Phys. Rev. A. 2010.-Dec. Vol. 82, no. 6. P. 062110.

19. Fedotov A. M., Narozhny N. В., Mourou G., Korn G. Limitations on the Attainable Intensity of High Power Lasers // Phys. Rev. Lett. 2010. — Aug. Vol. 105, no. 8. P. 080402.

20. Nerush E., Kostyukov I. Radiation emission by extreme relativistic electrons and pair production by hard photons in a strong plasma wakefield // Physical Review E. 2007. Vol. 75, no. 5. P. 057401.

21. Неруш E. H., Костюков И. Ю. Моделирование эффектов квантовой электродинамики в сверхсильном лазерном поле // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения.

2010. Т. 4. С. 3-7.

22. Elkina N. V., Fedotov А. М., Kostyukov I. Y. et al. QED cascades induced by circularly polarized laser fields // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2011.— May. Vol. 14, no. 5. P. 054401.

23. Nerush E., Kostyukov I. Kinetic modelling of quantum effects in laser-beam interaction // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.

2011. Vol. 653, no. 1. Pp. 7-10.

24. Nerush E. N., Kostyukov I. Y., Fedotov A. M. et al. Laser Field Absorption in Self-Generated Electron-Positron Pair Plasma // Phys. Rev. Lett. 2011. — Jan. Vol. 106, no. 3. P. 035001.

25. Kostyukov I., Nerush E., Pukhov A., Seredov V. Electron Self-Injection in Multidimensional Relativistic-Plasma Wake Fields // Physical Review Letters. 2009. Vol. 103, no. 17. P. 175003.

26. Nerush E. N., Kostyukov I. Y. Carrier-Envelope Phase Effects in Plasma-Based Electron Acceleration with Few-Cycle Laser Pulses // Physical Review Letters. 2009. Vol. 103, no. 3. P. 035001.

27. Kostyukov I., Nerush E., Pukhov A., Seredov V. A multidimensional theory for electron trapping by a plasma wake generated in the bubble regime // New Journal of Physics. 2010. Vol. 12. P. 045009.

28. Nerush E. N., Bashmakov V. F., Kostyukov I. Y. Analytical model for electromagnetic cascades in rotating electric field // Physics of Plasmas. 2011. Vol. 18, no. 8. P. 083107.

29. Костюков И. Ю., Неруш Е. Н. Генерация излучения Смита-Парселла сгустком релятивистских электронов, ускоренных в лазерной плазме // Вопросы атомной науки и техники, Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения. 2008. Т. 4. С. 3-6.

30. Костюков П., Неруш Е., Пухов А. Радиационные потери в плазменных ускорителях // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 2006. Т. 130, № 5. С. 922.

31. Strickland D., Mourou G. Compression of amplified chirped optical pulses // Optics Communications. 1985. Vol. 55, no. 6. Pp. 447-449.

32. Piskarskas A., Stabinis A., Yankauskas A. Phase phenomena in parametric amplifiers and generators of ultrashort light pulses // Soviet Physics Us-pekhi. 1986. Vol. 29, no. 9. P. 869-879.

33. Hugonnot E., Deschaseaux G., Hartmann O., Coic H. Design of PETAL mul-tipetawatt high-energy laser front end based on optical parametric chirped pulse amplification // Applied Optics. 2007. Vol. 46, no. 33. Pp. 8181-8187.

34. Tajima T., Dawson J. M. Laser Electron Accelerator // Pliys. Rev. Lett. 1979. — Jul. Vol. 43, no. 4. Pp. 267-270.

35. Nakamura K., Nagler B., Toth C. et al. GeV electron beams from a centimeter-scale channel guided laser wakefield accelerator // Physics of Plasmas. 2007. Vol. 14, no. 5. P. 056708.

36. Rax J.-M., Fisch N.-J. Nonlinear relativistic interaction of an ultrashort laser pulse with a cold plasma // Phys. Fluids B. 1992. Vol. 4, no. 5. Pp. 1323-1331.

37. Wang S., Clayton C. E., Blue B. E. et al. X-Ray Emission from Betatron Motion in a Plasma Wiggler // Phys. Rev. Lett. 2002, —Mar. Vol. 88, no. 13. P. 135004.

38. Dromey B., M. Zepf A. G., Lancaster K. et al. High harmonic generation in the relativistic limit // Nature Physics. 2006. Vol. 2. Pp. 456-459.

39. Snavely R. A., Key M. H., Hatchett S. P. et al. Intense High-Energy Proton Beams from Petawatt-Laser Irradiation of Solids // Phys. Rev. Lett. 2000. — Oct. Vol. 85, no. 14. Pp. 2945-2948.

40. Hegelich B. M., Albright B. J., Cobble J. et al. Laser acceleration of quasi-monoenergetic MeV ion beams // Nature. 2006. Vol. 439. Pp. 441-444.

41. Schwoerer H., Pfotenhauer S., Jackel O. et al. Laser-plasma acceleration of quasi-monoenergetic protons from microstructured targets // Nature. 2006. Vol. 439. Pp. 445-448.

42. Bulanov S. V., Khoroshkov V. S. Feasibility of Using Laser Ion Accelerators in Proton Therapy // Plasma Physics Reports. 2002. Vol. 28, no. 5. P. 453-456.

43. Roth M. Review on the current status and prospects of fast ignition in fusion targets driven by intense, laser generated proton beams // Plasma Phys. Control. Fusion. 209. Vol. 51. P. 014004.

44. Файнберг Я. Б. Ускорение заряженных частиц в плазме // Успехи физических наук. 1967. Т. 93, № 4. С. 617-631.

45. Akhiezer A., Polovin R. Theoty of wave motion of an electron plasma // Soviet Phys. JETP. 1956. Vol. 3. Pp. 696-705.

46. Rosenzweig J. В., Breizman В., Katsouleas Т., Su J. J. Acceleration and focusing of electrons in two-dimensional nonlinear plasma wake fields // Phys. Rev. A. 1991.-Nov. Vol. 44, no. 10. Pp. -6189.

47. Blumenfeld I., Clayton С. E., Decker F.-J. et al. Energy doubling of 42 GeV electrons in a metre-scale plasma wakefield accelerator // Nature. 2007. Vol. 445. Pp. 741-744.

48. Dawson J. M. Nonlinear Electron Oscillations in a Cold Plasma // Phys. Rev. 1959.-Jan. Vol. 113, no. 2. Pp. 383-387.

49. Esarey E., Pilloff M. Trapping and acceleration in nonlinear plasma waves // Physics of Plasmas. 1995. Vol. 2, no. 5. P. 1432.

50. Schroeder С. В., Esarey E., Shadwick B. A., Leemans W. P. Trapping, dark current, and wave breaking in nonlinear plasma waves // Physics of Plasmas. 2006. Vol. 13, no. 3. P. 033103.

51. Faure J., Rechatin C., Norlin A. et al. Controlled injection and acceleration of electrons in plasma wakefields by colliding laser pulses // Nature. 2006. Vol. 444. Pp. 737-739.

52. Esarey E., Hubbard R. F., Leemans W. P. et al. Electron Injection into Plasma Wakefields by Colliding Laser Pulses // Phys. Rev. Lett. 1997.— Oct. Vol. 79, no. 14. Pp. 2682-2685.

53. Bulanov S., Naumova N., Pegoraro F., Sakai J. Particle injection into the wave acceleration phase due to nonlinear wake wave breaking // Phys. Rev. E. 1998.-Nov. Vol. 58, no. 5. P. R5257.

54. Suk H., Barov N., Rosenzweig J. B., Esarey E. Plasma Electron Trapping and Acceleration in a Plasma Wake Field Using a Density Transition // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86, no. 6. P. 1011.

55. Oz E., Deng S., Katsouleas T. et al. Ionization-Induced Electron Trapping in Ultrarelativistic Plasma Wakes // Phys. Rev. Lett. 2007. —Feb. Vol. 98, no. 8. P. 084801.

56. Mourou G. A., Tajima T., Bulanov S. V. Optics in the relativistic regime // Rev. Mod. Phys. 2006.-Apr. Vol. 78, no. 2. Pp. 309-371.

57. Marklund M., Shukla P. K. Nonlinear collective effects in photon-photon and photon-plasma interactions // Rev. Mod. Phys. 2006. —May. Vol. 78, no. 2. Pp. 591-640.

58. Burke D. L., Field R. C., Horton-Smith G. et al. Positron Production in Multiphoton Light-by-Light Scattering // Phys. Rev. Lett. 1997. —Sep. Vol. 79, no. 9. Pp. 1626-1629.

59. Bamber C., Boege S. J., Koffas T. et al. Studies of nonlinear QED in collisions of 46.6 GeV electrons with intense laser pulses // Phys. Rev. D. 1999. — Oct. Vol. 60, no. 9. P. 092004.

60. Baier V. N., Katkov V., Strakhovenko V. Electromagnetic processes at high energies in oriented single crystals. Singapore: World Scientific, 1998.

61. Uggerhoj U. I. The interaction of relativistic particles with strong crystalline fields // Rev. Mod. Phys. 2005.-Oct. Vol. 77, no. 4. Pp. 1131-1171.

62. Sokolov I. V., Naumova N. M., Nees J. A., Mourou G. A. Pair Creation in QED-Strong Pulsed Laser Fields Interacting with Electron Beams // Phys. Rev. Lett. 2010.-Nov. Vol. 105, no. 19. P. 195005.

63. Hu H., Muller C., Keitel C. H. Complete QED Theory of Multiphoton Trident Pair Production in Strong Laser Fields // Phys. Rev. Lett. 2010. — Aug. Vol. 105, no. 8. P. 080401.

64. Ilderton A. Trident Pair Production in Strong Laser Pulses // Phys. Rev. Lett. 2011.-Jan. Vol. 106, no. 2. P. 020404.

65. Landau L. D., Lifshitz E. M. Ed. by T. C. T. of Fields. Oxford: Elsevier, 1975.

66. Piazza A. D. Exact solution of the Landau-Lifshitz equation in a plane wave. 2008. 0801.1751v2.

67. Bell A., Kirk J. Possibility of Prolific Pair Production with High-Power Lasers // Physical Review Letters. 2008. Vol. 101, no. 20. P. 200403.

68. Breit G., Wheeler J. A. Collision of Two Light Quanta // Phys. Rev. 1934. -Dec. Vol. 46, no. 12. Pp. 1087-1091.

69. Bethe H., Heitler W. On the Stopping of Fast Particles and on the Creation of Positive Electrons // Proc. R. Soc. Lond. A. 1934. Vol. 146. Pp. 83-112.

TO. Duclous R., Kirk J. G., Bell A. R. Monte Carlo calculations of pair production in high-intensity laser-plasma interactions // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2011. Vol. 53, no. 1. P. 015009.

71. Sauter F. Uber das Verhalten eines Elektrons im homogenen elektrischen Feld nach der relativistischen Theorie Diracs // Zeitschrift fur Physik A Hadrons and Nuclei. 1931. Vol. 69, no. 11-12. Pp. 742-764.

72. Heisenberg W., Euler H. Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons // Zeitschrift fur Physik A Hadrons and Nuclei. 1936. Vol. 98, no. 11-12. Pp. 714-732.

73. Schwinger J. On Gauge Invariance and Vacuum Polarization // Phys. Rev. 1951.-Jun. Vol. 82, no. 5. Pp. 664-679.

74. Brezin E., Itzykson C. Pair Production in Vacuum by an Alternating Field // Phys. Rev. D. 1970.-Oct. Vol. 2, no. 7. Pp. 1191-1199.

75. Avetissian H. K., Avetissian A. K., Mkrtchian G. F., Sedrakian K. V. Electron-positron pair production in the field of superstrong oppositely directed laser beams // Phys. Rev. E. 2002.-Jul. Vol. 66, no. 1. P. 016502.

76. Narozhny N. B., Bulanov S. S., Mur V. D., Popov V. S. e+e- pair production by a focused laser pulse in vacuum // Physics Letters A. 2004. Vol. 330, no. 1-2. Pp. 1-6.

77. Bulanov S. S., Narozhny N. B., Mur V. D., Popov V. S. Electron-positron pair production by electromagnetic pulses // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2006. Vol. 102, no. 1. Pp. 9-23.

78. Hu S. X., Starace A. F. GeV Electrons from Ultraintense Laser Interaction

with Highly Charged Ions // Phys. Rev. Lett. 2002. —Jun. Vol. 88, 110. 24. P. 245003.

79. Mocken G. R., Ruf M., Muller C., Keitel C. H. Nonperturbative multiphoton electron-positron-pair creation in laser fields // Phys. Rev. A. 2010. —Feb. Vol. 81, no. 2. P. 022122.

80. Anguelov V., Vankov H. Electromagnetic showers in a strong magnetic field // Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics. 1999. Vol. 25, no. 8. P. 1755.

81. Sokolov I. V., N. M. Naumova J. A. N. Numerical Modeling of RadiationDominated and QED-Strong Regimes of Laser-Plasma Interaction. 2010. 1102.3685vl.

82. Timokhin A. N. Time-dependent pair cascades in magnetospheres of neutron stars - I. Dynamics of the polar cap cascade with no particle supply from the neutron star surface // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2010. Vol. 408, no. 4. Pp. 2092-2114.

83. Esarey E., Schroeder C. B., Leemans W. P. Physics of laser-driven plasma-based electron accelerators // Rev. Mod. Phys. 2009. —Aug. Vol. 81, no. 3. Pp. 1229-1285.

84. Lu W., Huang C., Zhou M. et al. A nonlinear theory for multidimensional relativistic plasma wave wakefields // Physics of Plasmas. 2006. Vol. 13, no. 5. P. 056709.

85. Michel P., Schroeder C. B., Shadwick B. A. et al. Radiative damping and electron beam dynamics in plasma-based accelerators // Phys. Rev. E. 2006. — Aug. Vol. 74, no. 2. P. 026501.

86. Dodin I. Y., Fisch N. J. Charged particle acceleration in dense plasma channels // Physics of Plasmas. 2008. Vol. 15, no. 10. P. 103105.

87. A. L. Galkin V. V., Korobkin M. Y., Romanovsky, Shiryaev O. B. Electron acceleration in quasi-stationary electromagnetic fields during the self-channeling of intense light pulses // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2005. Vol. 100, no. 6. Pp. 1050-1060.

88. Lotov K. V. Blowout regimes of plasma wakefield acceleration // Phys. Rev. E. 2004.-Apr. Vol. 69, no. 4. P. 046405.

89. Kostyukov I., Pukhov A., Kiselev S. Phenomenological theory of laser-plasma interaction-in "bubble" regime // Physics of Plasmas. 2004. Vol. 11, no. 11. P. 5256.

90. Zhidkov A., Koga J., Kinoshita K., Uesaka M. Effect of self-injection on ultraintense laser wake-field acceleration // Phys. Rev. E. 2004. — Mar. Vol. 69, no. 3. P. 035401.

91. Lu W., Tzoufras M., Joshi C. et al. Generating multi-GeV electron bunches using single stage laser wakefield acceleration in a 3D nonlinear regime // Physical Review Special Topics - Accelerators and Beams. 2007. Vol. 10, no. 6. P. 061301.

92. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover, 1972.

93. Bulanov S. V., Pegoraro F., Pukhov A. M., Sakharov A. S. Transverse-Wake Wave Breaking // Phys. Rev. Lett. 1997.-Jun. Vol 78, no. 22. Pp. 4205-4208.

94. Pukhov A. Three-dimensional electromagnetic relativistic particle-in-cell code VLPL (Virtual Laser Plasma Lab) //J. Plasma Physics. 1999. Vol. 61. P. 425-433.

95. Pukhov A., Gordienko S., Seredov V., Kostyukov I. Quasi-monoenerget-ic electron acceleration in relativistic laser-plasmas // Comptes Rendus Physique. 2009. Vol. 10, no. 2-3. Pp. 159-166.

96. Schmid K., Veisz L., Tavella F. et al. Few-Cycle Laser-Driven Electron Acceleration // Physical Review Letters. 2009. Vol. 102, no. 12. P. 124801.

97. Geissler M., Schreiber J., ter Vehn J. M. Bubble acceleration of electrons with few-cycle laser pulses // New Journal of Physics. 2006. Vol. 8. P. 186.

98. Zhidkov A., Fujii T., Nemoto K. Electron self-injection during interaction of tightly focused few-cycle laser pulses with underdense plasma // Physical Review E. 2008. Vol. 78, no. 3. P. 036406.

99. Whittum D. H., Sharp W. M., Yu S. S. et al. Electron-hose instability in the ion-focused regime // Phys. Rev. Lett. 1991.—Aug. Vol. 67, no. 8. Pp. 991-994.

100. Sprangle P., Krall J., Esarey E. Hose-Modulation Instability of Laser Pulses in Plasmas // Phys. Rev. Lett. 1994.-Dec. Vol. 73, no. 26. Pp. 3544-3547.

101. Huang C., Lu W., Zhou M. et al. Hosing Instability in the Blow-Out Regime for Plasma-Wakefield Acceleration // Phys. Rev. Lett. 2007. — Dec. Vol. 99, no. 25. P. 255001.

102. Silaev A. A., Vvedenskii N. V. Residual-Current Excitation in Plasmas Produced by Few-Cycle Laser Pulses // Physical Review Letters. 2009. Vol. 102, no. 11. P. 115005.

103. Berestetskii V. В., Lifshitz E. M., Pitaevskii L. P. Quantum Electrodynamics. New York: Pergamon, 1982.

104. Glinec Y., Faure J., Lifschitz A. et al. Direct observation of betatron oscillations in a laser-plasma electron accelerator // EPL (Europhysics Letters). 2008. Vol. 81, no. 6. P. 64001.

105. Naumova N. M., Koga J., Nakajima K. et al. Polarization, hosing and long time evolution of relativistic laser pulses // Physics of Plasmas. 2001. Vol. 8, no. 9. P. 4149.

106. Rousse A., Phuoc K. T., Shah R. et al. Production of a keV X-Ray Beam from Synchrotron Radiation in Relativistic Laser-Plasma Interaction // Phys. Rev. Lett. 2004.-Sep. Vol. 93, no. 13. P. 135005.

107. Esarey E., Shadwick B. A., Catravas P., Leemans W. P. Synchrotron radiation from electron beams in plasma-focusing channels // Phys. Rev. E. 2002.-May. Vol. 65, no. 5. P. 056505.

108. Kostyukov I., Kiselev S., Pukhov A. X-ray generation in an ion channel // Physics of Plasmas. 2003. Vol. 10, no. 12. P. 4818.

109. Соколов А. А., Тернов И. M. Релятивистский электрон. Москва: Наука, 1974.

110. Rosenzweig J. В., Barov N., Thompson M. С., Yoder R. В. Energy loss of a high charge bunched electron beam in plasma: Simulations, scaling, and accelerating wakefields // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2004. — Jun. Vol. 7, no. 6. P. 061302.

111. Mori M., Kando M., Daito I. et al. Transverse Dynamics and Energy Tun-

ing of Fast Electrons Generated in Sub-Relativistic Intensity Laser Pulse Interaction with Plasmas. 2006. physics/0605178vl.

112. Clayton C. E., Blue B. E., Dodd E. S. et al. Transverse Envelope Dynamics of a 28.5-GeV Electron Beam in a Long Plasma // Phys. Rev. Lett. 2002. — Apr. Vol. 88, no. 15. P. 154801.

113. Hogan M. J., Barnes C. D., Clayton C. E. et al. Multi-GeV Energy Gain in a Plasma-Wakefield Accelerator // Phys. Rev. Lett. 2005. —Jul. Vol. 95, no. 5. P. 054802.

114. Tajima T., Mourou G. Zettawatt-exawatt lasers and their applications in ultrastrong-field physics // Phys. Rev. ST Accel. Beams. 2002. — Mar. Vol. 5, no. 3. P. 031301.

115. Pukhov A. Strong field interaction of laser radiation // Reports on Progress in Physics. 2003. Vol. 66, no. 1. Pp. R47-R101.

116. Kiselev S., Pukhov A., Kostyukov I. X-ray Generation in Strongly Nonlinear Plasma Waves // Phys. Rev. Lett. 2004.-Sep. Vol. 93, no. 13. P. 135004.

117. Berezhiani V. I., Tskhakaya D. D., Shukla P. K. Pair production in a strong wake field driven by an intense short laser pulse // Phys. Rev. A. 1992. — Nov. Vol. 46, no. 10. Pp. 6608-6612.

118. Nikishov A. I., Ritus V. I. Quantum processes in the field of a plane electromagnetic wave and in a constant field // Sov. Phys. JETP. 1964. Vol. 19. P. 529.

119. Ritus V. I. Quantum effects of the interaction of elementary particles with an intense electromagnetic field // Journal of Russian Laser Research. 1985. Vol. 6, no. 5. Pp. 497-617.

120. Landau L., Rumer G. The Cascade Theory of Electronic Showers // Proc. R. Soc. Lond. A. 1938. Vol. 166. Pp. 213-228.

121. Khokonov M. K. Cascade processes of energy loss by emission of hard phonons // Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2004. Vol. 99, no. 4. Pp. 690-707.

122. Akhiezer A. I., Merenkov N. P., Rekalo A. P. On a kinetic theory of electromagnetic showers in strong magnetic fields //J. Phys. G Nucl. Part. Phys. 1994. Vol. 20. Pp. 1499-1514.

123. Poisson E. An introduction to the Lorentz-Dirac equation. 1999. gr-qc /9912045vl.

124. Pukhov A. Strong field interaction of laser radiation // Reports on Progress in Physics. 2002. Vol. 65. P. R1-R55.

125. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. Москва: Энергоатомиздат, 1989.

126. Soloviev A. A., Starodubtsev М. V., Burdonov К. F. et al. Two-screen single-shot electron spectrometer for laser wakefield accelerated electron beams // Review of Scientific Instriuments. 2011. Vol. 82. P. 043304.

127. Leemans W. P., van Tilborg J., Faure J. et al. Terahertz radiation from laser accelerated electron bunches // Physics of Plasmas. 2004. Vol. 11, no. 5. P. 2899.

128. Shklyaev V. A., Ryzhov V. V. Simulating gas-discharge processes at a single cold microscopic point // Technical Physics Letters. 2009. Vol. 35, no. 6. Pp. 518-520.

129. Butcher J. C., Messel H. Electron Number Distribution in Electron-Photon Showers // Phys. Rev. 1958.-Dec. Vol. 112, no. 6. Pp. 2096-2106.