Уравнения Навье-Стокса и их модификации для решения задач газовой динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Хохлов, Антон Александрович

• Хохлов, Антон Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хохлов, Антон Александрович

Введение

Глава 1. Квазигазодинамические уравнения с источниками тепла

Вывод КГД уравнений при наличии внешних сил и тепловых источников

Уравнение баланса энтропии.

Выводы.

Глава 2. Алгоритм решения КГД уравнений на треугольной сетке

Аппроксимация КГД уравнений.

Аппроксимация производной по времени.

Контрольный объем.

Аппроксимация пространственных производных

Аппроксимация граничных условиях.

Построение вычислительного алгоритма.

Выбор шага по времени.

Глава 3. Дозвуковое обтекание цилиндра. Дорожка Кармана.

Постановка задачи.

Выбор параметра т.

Моделирование течения.

Выводы.

Глава 4. Задача о сверхзвуковом обтекании пластинки

Постановка задачи.

Сравнение методов на примере однородной стационарной задачи.

Влияние правой границы на результаты моделирования.

Влияние внешних сил.

Влияние источников тепла.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Уравнения Навье-Стокса и их модификации для решения задач газовой динамики»

Актуальными задачами численного моделирования газодинамических течений являются задачи с внешними источники энергии. К таким проблемам относятся, например, расчеты течений излучающего газа, исследование возможностей управления потоками с помощью энерговложения, расчеты активных сред в резонаторах газовых лазеров, задачи горения и многие другие практически важные вопросы.

Обычно такие задачи решаются с использованием системы уравнений Навье-Стокса, однако на этом пути существует целый ряд сложностей, например, необходимость введения дополнительных слагаемых-регуляризаторов для улучшения сходимости или использования специальных схем.

В последнее время на основе квазигазодинамических (КГД) уравнений были построены эффективные численные алгоритмы решения задач газовой динамики. КГД уравнения отличаются от уравнений Навье-Стокса дополнительными слагаемыми с малым параметром т размерности времени в качестве коэффициента. Эти дополнительные слагаемые имеют дис-сипативный характер, что демонстрируется справедливостью теоремы о неубывании полной термодинамической энтропии в замкнутом объеме, доказанной для этих уравнений. Диссипативные слагаемые выполняют роль регуляризаторов и позволяют строить эффективные численные алгоритмы расчета нестационарных течений газа в дозвуковых и сверхзвуковых режимах.

Целью настоящей работы является обобщение КГД уравнений на течения в присутсвии внешних источников (или стоков) тепла, создание алгоритма на базе этих уравнений для расчета течений на неструктурированных сетках, а также тестирование этого алгоритма и решение с его помощью практически полезной задачи об управлении аэродинамическими свойствами летательного аппарата.

Первая глава посвящена выводу КГД уравнений для идеального газа в присутствии источников тепла и внешних сил. При этом уравнения без источников уже были получены ранее другими авторами (см. [31]). Следуя тому же формализму, удается не только добавить слагаемые с Q в КГД систему, но и показать диссипативность этих добавок при малых т. При этом в полученных выражениях легко прослеживается связь как с КГД системой в отсутствие энергоподвода, так и с уравнениями Навье-Стокса.

Во второй главе формулируется вычислительный алгоритм на базе КГД уравнений. При этом приоритетами являются простота, универсальность и эффективность в максимально широком классе задач. Для этого выбираются треугольные нерегулярные сетки и схема относительно невысокого порядка, однако даже при невысоком порядке апроксимации удается получать хороший результат за приемлемое время. Кроме того, описанный алгоритм позволяет моделировать как дозвуковые, так и сверхзвуковые течения при минимальном вмешательстве со стороны человека.

В третьей главе проводится тестирование алгоритма в отсутствие источников тепла на задаче об обтекании прямого кругового цилиндра. Эта задача хорошо исследована экспериментально и в настоящее время является довольно общепринятым тестом численного алгоритма на состоятельность. В определенном диапазоне чисел Рейиольдса за цилиндром образуется устойчивый периодический режим (так называемая "дорожка Кармана"), для периода колебаний в котором имеется эмпирически полученное выражение. Критерием состоятельности алгоритма служит совпадение наблюдаемого на модели периода колебаний с вычисленным по формуле.

В четвертой главе рассматривается модельная задача о воздействии электрического разряда на характер обтекания пластинки. При этом результаты имеют важное практическое значение для оценки параметров экспериментальной установки. Работа проводилась совместно с французской научной группой, в которой, помимо эксперимента, проводилось математическое моделирование методом Монте-Карло. Это дало возможность сравнить результаты алгоритма не только с экспериментальными данными, но и с результатами другого численного метода, полученными независимо.

КГД уравнения позволяют достаточно просто строить эффективные численные алгоритмы, однако для построения аналитического решения удобнее использовать исходные уравнения Навье-Стокса. В пятой главе рассмотрена одна из таких задач — задача о структуре фронта одномерной ударной волны. При помощи интегрирования системы Навье-Стокса и сведения к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям задачу о фронте одномерной ударной волны становится возможным решать методом стрельбы по параметру. Традиционно считается, что получающаяся в уравнениях Навье-Стокса ширина волны отличается от экспериментально наблюдаемой в несколько раз. Однако, используя уточненное выражение для коэффициента вязкости и вводя вторую вязкость для многоатомного газа, результат удается значительно улучшить так, что отклонение от эксперимента не превосходит 30%. В пятой главе проводится расчет ширины фронта для ударной волны в аргоне и азоте, на примере последнего демонстрируется важность учета второй вязкости в уравнениях Навье-Стокса.

В заключении формулируются основные результаты работы и возможные направления дальнейших исследований.

В приложении 1 приведен краткий обзор существующих коммерческих и свободных программ для построения сеток и работы с ними. Результаты настоящей работы получены с использованием пакетов Comsol Multiphysics® и MATLAB®, в приложении даны некоторые пояснения относительно построения и экспорта сеток в этих пакетах.

Приложение 2 содержит наиболее важные фрагменты программного кода, использовавшегося при решении КГД системы на треугольной сетке. Программа написана на языке Java версии 5.0.

Обобщение КГД уравнений на случай неидеальных газов важно для практического применения. Некоторые полученные в этом направлении результаты вынесены в приложение 3. В общем случае удается построить КГД систему, однако диссипативность добавок в общем случае доказать пока не удается. Есть уверенность, что для газа Ван-дер-Ваальса вдали от критической точки слагаемые имеют диссипативный характер, однако точные границы применимости КГД уравнений определены не были.

Автор выражает благодарность Татьяне Геннадьевне Елизаровой, под руководством которой была выполнена настоящая работа, и Юрию Владимировичу Шеретову за помощь в интерпретации полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хохлов, Антон Александрович

Выводы

Была рассмотрена модельная нестационарная задача, результат которой хорошо известен и служит хорошим критерием состоятельности алгоритма. На ее примере было изучено влияние величины параметра г на характеристики получающегося решения, продемонстрирован способ введения регуляризации на основании КГД подхода.

Надо отметить, что КГД уравнения позволяют совершенно естественным образом вводить регуляризацию на сильно неравномерных треугольных сетках, на которых для уравнений Навье-Стокса требуется гораздо более сложное исследование.

Полученная величина периода колебаний согласуется с теоретической, хотя и отличается от нее в большую сторону. Причину расхождения нужно искать в конечном размере треугольника и вытекающей из этого неизбежной ошибке аппроксимации. При этом моделирование на более подробной сетке позволило улучшить результат. Подобный эффект нужно учитывать при построении сеток для промышленных и инженерных задач, когда 10%-ное расхождение результата с теоретической величиной имеет серьезные последствия.

Глава 4. Задача о сверхзвуковом обтекании пластинки

Идея искусственной ионизации газа с целью изменения обтекательных свойств поверхности была выдвинута больше 10 лет назад, но все еще исследуется. Многообещающей областью исследования является уменьшение силы трения, действующей на летательный объект с помощью электрогидродинамического соленоида, представляющего собой набор электродов, создающих электрический разряд вокруг тела.

Научной группой из Орлеана3 ставился эксперимент в аэродинамической трубе но воздействию постоянного электрического поля на характеристики обтекания пластинки с прикрепленными к ней электродами. Схематически экспериментальная установка изображена на рисунке 4.12.

К неподвижной пластинке прикреплены два электрода, к которым подведено постоянное напряжение. Вся конструкция обтекается сверхзвуковым потоком разреженного воздуха, измеряемая величина — сила трения, действующая на пластинку. Задача математического моделирования заключалась в сначала качественном, а потом, возможно, и количественном предсказании поведения силы трения в зависимости от величины электрического поля. Параллельно с КГД подходом независимо производилось моделирование методом Монте-Карло, что позволило сравнить полученные результаты.

3Laboratoire d'A^rothermique, Centre National de la Recherche Scientifique, Orl6ans, Prance

Ma = 2 Область разряда \

Л Nj V пластинка

Рис. 4.12: Схема устройства

Постановка задачи

Используем систему КГД уравнений (1.21)—(1.23). Уравнение состояния идеального газа p = pRT, (4.1) степенная температурная зависимость коэффициента вязкости

V = Ъо{Т/Тоо)ы, Voc = 1.1747 • 10~5кг/(м-с), Тх = 166.67К, и = 0.898, коэффициент теплопроводности х — rfiRf ((7 — 1)Рг), Рг = 0.7368, 7 = 7/5.

Входящий в КГД систему параметр т выберем равным времени между соударениями частиц r = »7/(pSc), Sc = 0.746. (4.2)

Другие параметры воздуха: длина свободного пробега

4.3)

Ср 1 > <)

7—1 7—1 газовая постоянная и молярная масса

R = 8.314/mair, mair = 0.0287кг.

4.4)

Когда па электроды подано напряжение, в действие вступают два эффекта, по-разному действующие на поток воздуха. Во-первых, в результате ионизации положительно заряженные ионы воздуха взаимодействуют с электростатическим полем электродов и увлекают с собой незаряженные частицы газа. Этот эффект эквивалентен силовому воздействию

Во-вторых, образующиеся в результате ионизации электроны также взаимодействуют с полем и, двигаясь, частично теряют свою энергию при столкновения с молекулами воздуха. В результате выделяется джоулево тепло

Электростатическое иоле, создаваемое электродами, изображено на рисун

В выписанных формулах для силы и мощности тепловых источников а, коэффициент ионизации, и /х, коэффициент проводимости, являются параметрами воздуха. Для точного расчета необходимо знать, но крайней мере, их зависимость от температуры газа и величины электрического ноля. Без знания этого сложно даже ответить на вопрос, какой из двух эффектов (ускорение или нагревание) доминирует при данных параметрах газа и данной разности потенциалов между электродами.

F — apeNaE/rriai,

4.5)

Q = цЕ2.

4.6) ке 4.13.

100 90 80 70 60 50 40 30 20

10 °<

Рис. 4.13: Электрическое поле, создаваемое в вакууме двумя прямоугольными электродами.

Было принято решение в начальном приближении упростить задачу: выделить некоторый фиксированный "эффективный" объем, занятый полем, и считать Е постоянной величиной, направленной слева направо, величину Q так же считать отличной от нуля лишь внутри эффективного объема и постоянной по величине. Кроме того, влияние ускорения и нагревания было решено исследовать отдельно.

Размеры области, эффективный объем и использовавшаяся в окончательных4 расчетах сетка представлены на рисунке 4.14. Обезразмеривание уравнений не производилось.

Начальные условия — невозмущенный ноток воздуха (мгновенное внесение пластинки) р = ро#Го, Р = Ро = 0.00016867кг/м3, Т = Г0 = 166.67К, (4.7) их = ио = 517.651м/с, иу = 0, Ма = 2. (4.8)

4Мы использовали несколько разных сеток. Эта была первая расчетная задача для написанной программы, поэтому было важно удостовериться, что полученные результаты не зависят от размеров ячеек сетки и прочих случайных обстоятельств.

Рис. 4.14: Расчетная область, "эффективный" объем, расчетная сетка. Все размеры в метрах. Сетка содержит 1066 точек и 2024 треугольника.

Граничные условия выбраны следующим образом: слева — втекающий невозмущенный ноток р = роВД, р = ро, их = ио, и,j = 0; (4.9) снизу при х < 0.03 — условие симметрии м-* ™ снизу при х > 0.03 — граничное условие третьего рода, учитывающее характер соприкосновения пластинки с молекулами разреженного воздуха,

Р = о Т = (411) ду U' is 7 + 1Рг ду1 [ }

-~ZT ~ их = 0, иу = 0, (4.12) дщ ду

Ts = 300К. (4.13)

Учитывая условие для р и тот факт, что Л мало, условие для температуры можно заменить приближенным р=л—АЗе. (4.14) RTS 7 + 1Ргду { )

Чтобы получить это выражение, нужно в условии для температуры выразить температуру через давление и плотность, продифференцировать, использовать равенство нулю производной от давления и разложить результат по степеням Л.

В остальных точках границы ставим условия сноса

Особый интерес представляет распределение силы трения iric = rjfc (4.16) вдоль поверхности пластинки и ее зависимость от параметров задачи.

Параметры метода установления: начальный шаг по времени St = 5 • 10"6, условие остановки \йх — их\ < 0.01 • их.

Сравнение методов на примере однородной стационарной задачи

Сначала рассмотрим однородную задачу Q = 0, аЕ = 0 и сравним результаты КГД метода с вычислениями при помощи системы уравнений Навье-Стокса и метода Монте-Карло. Из этих трех методов Монте-Карло требует наибольшего времени5.

Наличие эксперимента и расчета методом Монте-Карло, полученных независимыми авторами, позволяет проверить результаты КГД метода и более точно оценить его эффективность.

Нужно заметить, что "на глаз" результаты выглядят идентичными. Распределения горизонтальной компоненты скорости6 (их) и плотности (р) изображены на рисунке 4.15. Видно торможение воздуха пластинкой и об

5Результаты методом Монте-Карло были получены нашими французскими коллегами [47], [49]. По их словам, расчет занимал десятки часов.

6В данной задаче это основная интересующая нас величина. Производная характеризует силу трения, действующую на пластинку. Вертикальная компонента скорости в этой задачи практически не играет никакой роли.

Рис. 4.15: Течение газа. Распределение скорости их (вверху), плотности р (в середине) и температуры Т (внизу) внутри расчетной области. разующийся скачок плотности конуса Маха.

Для сравнения вычислим модуль разности скоростей, полученных различными методами, и наложим сверху на этот график. Получившиеся графики изображены на рисунках 4.16.

Из рисунков видно, что, во-первых, простая замена КГД уравнений системой Навье-Стокса приводит к тому, что в областях больших градиентов (вблизи пластинки и на поверхности конуса Маха) наблюдаются слабые двухмерные пилообразные образования. Для счета по Навье-Стоксу нужно менять разностную схему или вводить регуляризаторы. Решение по КГД более гладкое.

Наибольшее отличие от Монте-Карло наблюдается вблизи поверхности пластинки. Это тоже вполне ожидаемый результат, так как условия на пластинке в методе Мопте-Карло ставятся совершенно иным способом, нежели в уравнениях КГД.

Закономерным является вопрос о количественном различии полученных разными методами результатов. Для этого мы рассмотрим несколько одномерных профилей скорости (зависимостей их(у)), полученных в различных вертикальных сечениях. Соответствующие графики приведены на рисунке 4.17.

Интересно отметить, что при всей своей непохожести метод Монте-Карло дает результаты, лежащие между профилями КГД и Навье-Стокса. Таким образом, получающаяся в Монте-Карло эффективная вязкость воздуха меньше, чем в КГД, но больше, чем в "чистом" Навье-Стоксе. Более детально видно и отличия методов между собой: на участках малого изменения скорости они практически идентичны, отличия наблюдаются лишь там, где вязкость играет роль, — на участках, где градиенты скорости велики.

На рисунке 4.18 изображены результаты эксперимента. Красная линия — давление, полученное при моделировании методом Монте-Карло. Так как все три метода дают близкие профили, результаты КГД также хорошо

0.08

0.06

0.04

0.02

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

500 400 300 200 100

500

400

300

200

100

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Рис. 4.16: Сравнение методов между собой. Цвет - распределение горизонтальной скорости u®CD (сверху) и uDxSMC (снизу), контуры — линии уровней \u®GD — (сверху) и \v$GD - u°SMC\ (снизу).

0.05 0.04 Е 0.03 ^ 0.02 0.01

0 100 200 300 1 400 500 600

U , ГП- S

Рис. 4.17: Сравнение методов между собой. Профили скоростей для х = 0.04, 0.07, 0.1м. Топкая сплошная линия — Монте-Карло, толстая сплошная — КГД, штриховая — Навье-Стокс.

Рис. 4.18: Профиль давления, измеренный трубкой Пито, в сравнении с результатом метода Монте-Карло.

КГД Навье-Стокс

Шаг счета 5 • Ю-6 з • ю-7

Количество шагов до сходимости 200 3300

Общее время вычисления 5 мин 87 мин

Заключение

Сформулируем основные результаты настоящей работы:

1. Построены квазигазодинамические уравнения для описания течения вязкого газа с внешними источниками энергии (с энергоподводом). Построено уравнение баланса энтропии, доказывающее диссипатив-ный характер полученной модели.

2. Разработан численный алгоритм расчета нестационарных газодинамических течений с внешним энергоподводом с использованием неструктурированных сеток. Тестирование алгоритма ( в отсутствие энергоподвода) проведено на задачах о дозвуковом течении в следе за круговым цилиндром и сверхзвуковом течении в окрестности плоской пластины.

3. С целью оптимизации параметров экспериментальной установки проведено параметрическое исследование задачи о сверхзвуковом обтекании пластины в присутствии электрического разряда в условиях умеренно - разреженного газа. Получены оценки для параметров экспериментальной установки.

4. Решена задача о структуре фронта ударной волны в аргоне и азоте. Показано существенное влияние второй вязкости на форму профиля плотности для умеренно-разреженных течений. Продемонстрировано, что форма профиля плотности, вычисленная с помощью уравнений Навье-Стокса, соответствует данным натурных экспериментов существенно лучше, чем считалось ранее.

5. На примере задач о течении в окрестности пластины, в следе за цилиндром и в ударной волне проведено сопоставление эффективности подходов КГД и НС и сделаны выводы о целесообразности и эффективности того и другого метода в конкретных задачах.

Направления дальнейшего развития

Интересной задачей для дальнейшего исследования является обобщение построенных в настоящей работе КГД уравнений на неидеальные газы, что важно для практического применения этих уравнений. В приложении 3 приведен вид КГД уравнений для этого случая, однако исследование их диссипативности — важная задача как для построения численных алгоритмов, так и для понимания физической сущности КГД подхода.

Сформулированный алгоритм и написанная на его основе программа могут быть использованы для решения новых практически важных задач. Использующаяся явная схема позволяет легко геометрически распараллелить вычисления, так что алгоритм может быть усовершенствован для работы на нескольких параллельных процессорах и вычислительных кластерах.

Другим интересным направлением развития алгоритма является добавление в него процедуры построения сетки так, чтобы входные данные для программы содержали только параметры геометрии, а не построенную с помощью сторонних пакетов сетку. Такой алгоритм сможет не только адаптировать сетку, основываясь на результатах "пробных" решений, но и более точно оценивать погрешность результата, используя локальное или глобальное сгущение сетки. Кроме того, параметры геометрии являются более естественными для конечного пользователя входными данными, что важно для построения крупных пакетов программ.

Экспериментальные исследования, связанные с задачей об обтекании пластинки, продолжаются, в связи с чем интересным направлением развития является учет реальной структуры поля, ионизации газа и взаимодействия поля с плазмой. Интересен и переход от пластинки к обтеканию более сложных аэродинамических профилей. В настоящее время этом направлении получен целый ряд интересных результатов [27], сравнение с которыми позволит лучше протестировать алгоритм.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хохлов, Антон Александрович, 2007 год

1. Абалакин И.В., Жохова А.В., Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках. // Математическое моделирование. - 1998. - N 9(7). - с. 44-53.

2. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов // Успехи физических наук.- 2000. т. 170. - N б. - с. 649-679.

3. Валландер С.В. Уравнения движения вязкого газа // Доклады АН СССР. 1951. - Т. 78. - N 1. - С. 25-27.

4. Елизарова Т. Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета вязких течений. М.: Научный мир, 2007.

5. Елизарова Т.Г., Павлов А.Н., Четверушкин Б.Н. Использование квазигазодинамической системы уравнений для расчета обтекания тела с иглой // Доклады АН СССР. 1987. - Т. 292, - N 2. - С. 327-331.

6. Елизарова Т.Г., Серегин В.В. Аппроксимация квазигазодинамических уравнений на треугольных сетках. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2005. - N 4. - с.15. - 18.

7. Елизарова Т.Г., Серегин В.В. Квазигазодинамические уравнения и ап-прокеимационная формула для объемной вязкости // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006, - N 1. -с. 15-18.

8. Елизарова Т.Г., Соколова М.Е., Шеретов Ю.В. Квазигазодинамические уравнения и численное моделирование течений вязкого газа. // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2005. т.45. - N 3. - с.545. - 556.

9. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Об одном вычислительном алгоритме для расчета газодинамических течений. // Доклады АН СССР. 1984. - т. 279. - N 1. - с. 80-83

10. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений. // Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. / ред. Самарский А.А., Курдюмов С.П., Галактионов В.А. М., 1986. - С. 261-278.

11. Елизарова Т.Г., Широков И.А. Численное моделирование ударной волны в аргоне, гелии и азоте. // Сборник Прикладная тематика и информатика / ред. Д.П.Костомаров, В.И.Дмитриев. // МГУ, Труды факультета ВМиК. Москва, Макс Пресс, 2004. - N 18 - с.66 - 82

12. Жданов В.М., Алиевский М.Я. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989.

13. Знаменская И.А., Латфуллин Д.Ф., Луцкий А.Е., Мурсенкова И.В., Сысоев Н.Н. Развитие газодинамических возмущений из зоны распределенного поверхностного скользящего разряда // Журнал технической физики. 2007. - т. 77. - Вып. 5. - с.Ю - 18.

14. Знаменская И.А., Луцкий А.Е., Мурсенкова И.В. Исследование поверхностного энерговклада в газ при инициировании импульсного разрядатина "плазменный лист" // Письма в Журнал технической физики. -2004. т. 30. - Вып. 24. - с. 38-42.

15. Казаков А.В., Коган М.Н., Купарев В.А. Ламинаризация пограничного слоя при отрицательном градиенте давления и нагреве поверхности. // Теплофизика высоких температур. 1996. - т. 34. - N 2. - с. 244

16. Климонтович Ю.Л. О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических процессов // Теоретическая и математическая физика. 1992. - Т. 92, - N 2. - С. 312-330.

17. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Москва, 1967.

18. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001.

19. Ларин О.В., Левин В.А. Энергоподвод к газу в турбулентном сверхзвуковом пограничном слое. // Прикладная механика и техническая физика. 2001. - N 1. - т. 42. - с. 147.

20. Лимонов Е.А. Численное моделирование сверхзвуковых течений в условиях воздействия локализованного энергоподвода: автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, ИТПМ СО РАН, 2007.

21. Попов И.В., Поляков С.В. Построение адаптивных нерегулярных треугольных сеток для двумерных многосвязных невыпуклых областей. // Математическое моделирование. 2002. - 14(6). - с. 25.

22. Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука, 1968.

23. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

24. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и её применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с.

25. Слезкин Н.А. О дифференциальных уравнениях движения газа // Доклады АН СССР. 1951. - Т. 77. - N 2. - С. 205-207.

26. Суржиков С.Т. Физическая механика газовых разрядов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.

27. Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: МГУ, 1999.

28. Четверушкин Б.Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. М.: Наука, 1985.

29. Шеретов Ю.В. Квазигидродинамические уравнения как модель течений сжимаемой вязкой теплопроводной среды // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь, 1997. - С. 127-155.

30. Шеретов Ю.В. Математическое моделирование течений жидкости и газа на основе квазигидродинамических и квазигазодинамических уравнений. Тверь, Тверской гос. Университет, 2000.

31. Alsmeyer Н. Density profiles in argon and nitrogen shock waves measured by the absorption of an electron beam. // Journal Fluid. Mecli. 1976. -74. - P. 497.

32. Bird G. A. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. Oxford, Clarendon press, 1998.

33. Bletzinger P., Ganguly B.N., Van Wie D., Garscadden A. Plasmas in high speed aerodynamics. Topical review. // Journal of Physics D: Applied Physics. V.38 (2005). - R33-R57.

34. Brenner H. Navier-Stokes Revisited. // Physica A. 2005. - V. 349. - P. 60-132.

35. Brenner H. Fluid Mechanics Revisited. // Physica A. 2006. - V. 370. - P. 190-224.

36. Cercigniani С. Rarefied Gas Dynamics. From basic concepts to actual calculations. Cambridge University Press, 2000.

37. Elizarova T.G., Sheretov Yu.V. Theoretical and numerical investigation of quasigasdynamic and quasihydrodynamic equations. // Comput. Mathem. and Math. Phys. 41 (2001) - p. 219-234.

38. Elizarova T.G., Sokolova M.E., Sheretov Yu.V. Quasi-Gasdynamic equations and numerical simulation of viscous gas flows. // Comput. Mathem. and Math. Pliys. 45 (2005). - p. 524 - 556.

39. George P.L. Automatic Mesh Generation — Application to Finite Element Methods. Wiley, 1991.

40. Kuo S.P., Kalkhoran I.M., Bivolaru D., Orlick L., Observation of shock wave elimination by a plasma in a Mach-2.5 flow. // Physics of Plasmas. -2000. Vol. 7. - No. 5. - p. 1345-1348

41. Leonov S., Bityurin V., Savischenko N., Yuriev A., Gromov V. Influence of surface electrical discharge on friction of plate in subsonic and transonic airflow // AIAA, 2001-0640

42. Linzer M., Hornig D.F. Structure of shock fronts in argon and nitrogen. // Physics of Fluids. 1963. - vol 6. - N 12. - P. 1661 - 1668.

43. Menier E., Depussay E., Lago V., Leger L., Artana G. Influence of a High-Voltage Discharge on the Supersonic Rarefied Flow along a Flat Plate // International Symposium on Electrohydrodynamics -Buenos Aires-4th-6th December 2006

44. Menier E., Depussay E., Leger L., Lago V., Artana G. Influence d'une decharge electrique DC sur un ecoulement supersonique rarefie le long d'une plaque plane // SFE 2006. Grenoble (FYance), 30-31 August 2006

45. Menier E., Lengrand J.C., Lago V. DSMC estimate of the ionic wind effect on a supersonic low-density flow. // 25th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics, Saint-Petersbourg, Russia, 21-28/07/2006.

46. Ottinger H.C. Beyond Equilibrium Thermodynamics. Hoboken: John Wiley, 2005.

47. Schwartz L.M., Hornig D.F. Navier-Stokes calculations of Argon shock wave structure.// Physics of Fluids. 1963. - vol. 6. - N 12, p. 1669 - 1675.

48. Shampine L.F. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations. -Chapman & Hall, 1994

49. Shampine L. F., M. W. Reichelt. The MATLAB ODE Suite. // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. - Vol. 18 .- p. 1-22.

50. Torrilhon M., Struchtrup H. Regularized 13-moment equations: shock structure calculations and comparison to Burnett models. // Journal of Fluid Mechanics. 2004. - vol.513. - P. 171 - 198.

51. Verfiirth R. A Review of a Posteriori Error Estimation and Adaptive Mesh-Refinement Techniques. Teubner Verlag and J. Wiley, Stuttgart, 1996

52. Елизарова Т.Г., Хохлов А.А. Численное моделирование структуры ударной волны путем решения стационарных уравнений Навье-Стокса. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия.- 2006. N 3. - с.28-32.

53. Елизарова Т.Г., Хохлов А.А. Квазигазодинамические уравнения для течений газа с внешними источниками тепла. // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2007.- N 3. - с. 10-13.

54. Хохлов А.А. Моделирование структуры ударной волны методом стрельбы. // Тезисы международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2005". Секция "Физика". часть 1.- с. 109-111.

55. Хохлов А.А. Численное моделирование воздействия электрического разряда на пограничный слой. // Тезисы международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов 2006". Секция "Физика". часть 1.-е. 131-133.

56. Elizarova T.G., Khokhlov А.А., Montero S. Numerical simulation of shock wave structure in nitrogen. // Physics of Fluids. 2007. - vol. 19(no 6). -068102 (4 pages).

57. Elizarova T.G., Khokhlov A.A., Sheretov Yu.V. Quasi-gasdynamic numerical algorithm for gas flow simulations. // ICFD Conference on Numerical Methods for Fluid Dynamics, 26-29 March 2007, University of Reading, UK. Abstract and Proceedings.