Упругопластическое деформирование и разрушение элементов трубопроводных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Крупников, Иван Владимирович

• Крупников, Иван Владимирович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Крупников, Иван Владимирович

Введение.

1. Обзор существующих методов расчёта несущей способности материалов и конструкций.

1.1. Общие положения.

1.2. Уравнения состояния упругопластических материалов.

1.2.1. Классические теории пластичности.

1.2.2. Современные варианты теории пластического течения.

1.2.3. Статистические теории пластичности.

1.2.4. Одномерная структурная модель Мазинга.

1.2.5. Трёхмерная физическая (мезомеханическая) модель упругопластического материала.

1.3. Критерии разрушения конструкционных материалов.

1.3.1. Существующие классические теории прочности.

1.3.2. Критерии прочности с позиций механики разрушения.

1.3.3. Критерий разрушения Новожилова-Кадашевича.

1.4. Актуальные проблемы прочности магистральных трубопроводов.

1.5. Выводы.

2. Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения конструкционных материалов.

2.1. Двухуровневая математическая модель процессов деформирования упругопластических материалов.

2.1.1. Макромеханические определяющие соотношения.

2.1.2. Мезомеханические определяющие соотношения.

2.1.3. Замыкание системы мезомеханических соотношений.

2.1.4. Преобразование мезомеханических определяющих соотношений.

2.2. Термодинамическое согласование мезомеханических и макромеханических соотношений.

2.2.1. Мезомеханический уровень описания.

2.2.2. Макромеханический уровень описания.

2.3. Определение материальных параметров.

2.3.1. Основные виды испытаний на простое нагружение.

2.3.2. Идентификация мезомеханической модели.

2.3.3. Определение функции распределения на примере стали 19 Г.

2.3.4. Идентификация макромеханической модели.

2.4. Компьютерное моделирование процессов упругопластического деформирования конструкционных материалов.

2.4.1. Преобразование макромеханических соотношений.

2.4.2. Полигональная аппроксимация.

2.3.3. Анализ результатов расчёта сложных процессов нагружения.

2.5. Компьютерное моделирование процессов разрушения конструкционных материалов.

2.6. Выводы.

3. Численные методы оценки остаточной прочности.

3.1. Численный метод определения напряженно-деформированного состояния конструкции.

3.2. Представление данных в разреженном формате.

3.3. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

3.4. Построение расчетной сетки.

3.5. Построение матрицы жесткости задачи.

3.6. Алгоритм определения напряженно-деформированного состояния с учетом физической нелинейности материала.

3.7. Результаты тестирования расчётной программы.

3.8. Верификация расчетных методов.

3.9. Напряженно-деформированное состояние трубы с дефектом.

3.10. Выводы.

Основные результаты и общие выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Упругопластическое деформирование и разрушение элементов трубопроводных систем»

Создание прочных и надёжных машин и конструкций с высоким ресурсом работы, обладающих минимальным весом - проблема большой важности. Значимость проблемы прочности постоянно возрастает, что объясняется повышением сложности технических изделий и увеличением уровня нагрузочных факторов. Кроме того, тенденция к снижению материалоёмкости создаваемых машин и практическая потребность в оценке несущей способности эксплуатируемых конструкций приводит к тому, что машины и конструкции оптимизируются, исходя из анализа напряжённо-деформированного состояния изделий по более точным определяющим соотношениям, учитывающим характерные изменения внутренней структуры материалов, приводящих к разрушению.

Из всего многообразия современных конструкций особое место в экономике нашей страны занимают системы трубопроводного транспорта, которые представляют собой сложные инженерно-технические объекты протяжённостью до нескольких тысяч километров и включают насосные станции, резервуары и линейные участки трубопроводов. Трубы нефтепроводов испытывают комплексное воздействие, основными составляющими которого являются напряжения от внутреннего давления и коррозионное воздействие внешней среды. Особое положение дел обстоит с трубами нефтепроводов, имеющих длительный срок эксплуатации. Оценка остаточной прочности магистральных трубопроводов после продолжительной эксплуатации представляет собой чрезвычайно актуальную задачу, от решения которой зависят изменения режимных параметров работы, оптимальный график замены труб, выработавших свой ресурс, и связанная с этим экологическая безопасность окружающей среды. Схожие проблемы стоят и перед системой трубопроводов жилищно-коммунального хозяйства и промышленных предприятий.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование процессов упругопластического деформирования и разрушения элементов трубопроводных систем путём создания термодинамически согласованной двухуровневой (мезомеханической и макромеханической) модели поликристаллического твёрдого тела, идентифицируемой по минимально возможному числу экспериментальных испытаний.

Для достижения цели поставлены следующие задачи исследования:

1) построение трёхмерной мезомеханической модели типа модели Мазинга, которая учитывает внутреннюю структуру поликристаллических материалов;

2) разработка общего метода термодинамически согласованного перехода от мезомеханических определяющих соотношений к макромеханическим определяющим соотношениям;

3) идентификация мезомеханической и макромеханической моделей;

4) проведение практических расчётов на простое и сложное нагружение с использованием критерия разрушения Новожилова-Кадашевича;

5) разработка алгоритма численной оценки несущей способности элементов конструкций с типичными повреждениями (например, коррозионными дефектами, вмятинами, макроскопическими трещинами);

6) создание основанной на методе конечных элементов программы расчёта упругопластического деформирования и разрушения материалов и конструкций за счёт образования и роста макротрещины.

Используемые методы и подходы. Поскольку в настоящее время мезоме-ханические подходы, основанные на теории дислокаций, находятся в стадии разработки, предлагается использовать трёхмерную мезомеханическую (структурную) модель типа модели Мазинга. Следуя методологии В.В. Новожилова и Ю.И. Кадашевича, элементарный макрообъем материала рассматривается как совокупность идеально пластических элементов, имеющих разные пределы текучести. Переход с мезоуровня на макроуровень осуществляется на основе общих термодинамических положений: свободная энергия и функция рассеяния должны быть одинаковыми для обоих уровней. Одна часть материальных параметров для макроуровня устанавливается аналитически, другая часть материальных параметров определяется методом компьютерного моделирования (численного эксперимента) совместного поведения мезо- и макромодели на заданном классе процессов деформирования. Описание элементарных актов разрушения, процесса образования и роста макротрещины строится на энергетическом критерии Новожилова-Кадашевича.

В первой главе выполнен обзор существующих методов расчёта несущей способности материалов и конструкций. Рассмотрены основные положения классических теорий пластичности, современных вариантов теории пластического течения и статистических теорий пластичности. Проанализированы существующие критерии разрушения конструкционных материалов, принадлежащие классическим теориям прочности и современной механике разрушения.

Особое внимание уделено критерию разрушения Новожилова-Кадашевича и общим вопросам построения трёхмерной физической (мезомеханической или структурной) модели поликристаллического твёрдого тела. Подробно разобраны актуальные проблемы прочности магистральных трубопроводов. Сформулированы общие задачи исследования, намечены подходы к их решению.

Вторая глава посвящена математическому моделированию процессов деформирования и разрушения конструкционных материалов.

Математическое моделирование изотермических процессов деформирования пластически несжимаемых материалов при малых деформациях осуществляется на двух уровнях - макроскопическом и мезоскопическом. На мезоскопи-ческом уровне внутренняя структура материала описывается в соответствии с трёхмерной мезомеханической моделью упругопластического тела типа модели Мазинга. На макроскопическом уровне материал рассматривается как сплошная упругопластическая среда, механические свойства которой определяются, исходя из свойств принятой мезомеханической модели. Переход с мезоуровня на макроуровень осуществляется с помощью основных термодинамических положений. Полученные результаты носят общий теоретический характер.

Для решения задачи определения материальных параметров конструкционных материалов предложен расчётно-экспериментальный метод идентификации мезомеханической и макромеханической моделей, порядок применения которого проиллюстрирован на примере стали 19Г, используемой при изготовлении трубопроводов. Методом прямого компьютерного моделирования проверена правомерность ряда принятых принципиальных предположений. Проведён сравнительный анализ дискретных мезомеханических моделей с разными числами структурных элементов. Дана оценка границ применимости аналитической зависимости, полученной для деформационного предела пластичности при рассмотрении простых процессов активного деформирования. Осуществлено компьютерное моделирование процессов разрушения конструкционных материалов с использованием критерия Новожилова-Кадашевича.

Третья глава посвящена численным методам. Дано описание численного алгоритма, реализующего метод конечных элементов для решения задач упру-гопластического деформирования и разрушения материалов и конструкций на основе полученных определяющих соотношений. Проверена работоспособность и достоверность результатов программы, составленной по предложенному алгоритму. Представлены результаты прочностных расчётов магистральных трубопроводов с типовыми дефектами в форме эллипсоида вращения.

В приложение вынесены листинги разработанной программы по расчету напряженно-деформированного состояния и разрушения труб с дефектом, сведения о внедрении и использовании результатов диссертационной работы. Научная новизна основных результатов работы.

• Построена двухуровневая математическая модель упругопластических тел, которая включает в себя трёхмерную мезомеханическую модель, отражающую реальное поликристаллическое строение металлов и сплавов, и связанную с ней макромеханическую модель теории пластического течения, учитывающую возможность изотропно-трансляционного упрочнения материалов.

• Разработан метод термодинамического согласования макромеханических и мезомеханических определяющих соотношений (уравнений состояния) упругопластических материалов.

• Отработана расчётно-экспериментальная методика идентификации мезоме-ханической и макромеханической моделей, основанная на результатах сравнительного анализа моделей обоих уровней, проводимого методом компьютерного моделирования, и использующая результаты испытаний образцов материала на одноосное растяжение.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается строгим применением общих подходов и методов механики и термодинамики деформируемых твёрдых тел, совпадением с экспериментальными данными и результатами расчётов других авторов.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

• математическая структура разработанной макромеханической модели упругопластических материалов достаточно проста, чтобы обеспечить эффективное проведение практических численных расчётов конструкций и сооружений с использованием критерия разрушения Новожилова-Кадашевича;

• предложен алгоритм численного расчёта по оценке несущей способности элементов конструкций трубопроводов при наличии типичных повреждений (вмятин, выбоин, коррозионных дефектов и т.п.), который благодаря реализации разработанной методики повышает точность прочностных расчётов трубопроводов при сложном активном нагружении по сравнению с результатами аналогичных расчётов по деформационной теории пластичности;

• создана основанная на методе конечных элементов программа расчёта (на алгоритмическом языке FORTRAN-95) упругопластического деформирования и разрушения материалов за счёт образования и роста макротрещины;

• результаты работы внедрены и используются в ФГУП «25 государственный научно-исследовательский институт» (г. Москва), в ФГУП «Научно-производственное предприятие «ПРОГРЕСС» (г. Омск).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Двухуровневая математическая модель поликристаллических материалов и расчётно-экспериментальная методика её идентификации.

2. Термодинамический метод согласования макромеханических и мезомехани-ческих определяющих соотношений конструкционных материалов.

3. Алгоритм и программа численных расчётов по оценке несущей способности элементов конструкций трубопроводов при наличии типичных повреждений.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы были представлены на 4-й международной научной конференции «Прочность и разрушение материалов и конструкций» (Москва, 15-17 февраля 2005 года) и на международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 19-20 января 2006 года). По результатам исследований опубликовано семь печатных работ.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект 06-08-00114-а.

Хочу почтить словами благодарности светлую память профессора, доктора технических наук КАРАСЁВА Андрея Васильевича, оказавшего неоценимую помощь при постановке задач исследования и выборе способов их решения.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Крупников, Иван Владимирович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Проведённый анализ научной и научно-технической литературы показал, что в настоящее время ведутся интенсивные теоретические и экспериментальные исследования по решению следующих актуальных задач:

• разработка общих подходов к построению многоуровневых моделей деформируемых твёрдых тел, учитывающих внутреннюю поликристаллическую структуру реальных конструкционных материалов и её изменения в процессе упругопластического деформирования и разрушения;

• разработка методов компьютерного моделирования поведения поликристаллических твёрдых тел на микро- и мезоуровнях одного или нескольких масштабов с целью создания конструкционных материалов с необходимыми прочностными и упругопластическими свойствами, а также для построения осреднённых (макромеханических) определяющих соотношений, позволяющих обеспечить эффективное проведение прочностных расчётов конструкций и сооружений с требуемой для практики точностью;

• разработка новых и совершенствование существующих вариантов расчётных методов по адекватной оценке остаточной прочности дефектных трубопроводов, анализу безопасности их эксплуатации, ранжированию участков трубопроводов по срокам их ремонта или замены, назначению для каждого участка максимально безопасного давления в предремонтный период.

В процессе решения комплекса вопросов, составляющих существо сформулированных задач, получены следующие основные результаты и выводы. 1. Построена двухуровневая математическая модель упругопластических тел, которая содержит трёхмерную мезомеханическую модель, отражающую реальное поликристаллическое строение металлов и сплавов, и связанную с ней макромеханическую модель теории пластического течения, учитывающую изотропно-трансляционное упрочнение материалов. Показано, что для мезомеханической модели типа модели Мазинга, в которой применяется статистика изотропных идеально пластических структурных элементов вместо более сложной для практической реализации статистики анизотропных упрочняющихся кристаллитов, в качестве дополнительного условия осреднения следует использовать положение Фойгта о равномерном распределении деформаций в пределах элементарного макромеханического объёма тела. Положение Рейсса о равномерном распределении напряжений в рассматриваемом случае является неприемлемым.

2. Разработан метод термодинамического согласования макромеханических и мезомеханических определяющих соотношений упругопластических материалов. Совместный термодинамический анализ мезо- и макромеханической моделей позволил разделить тензор напряжений на две составляющие - упругую и пластическую (диссипативную). Изменение пластической составляющей характеризует изотропное упрочнение материала, а изменение упругой составляющей - трансляционное упрочнение материала (эффект Бау-шингера). Установлено, что скрытая энергия деформации, приращения которой определяют значение функции накопления повреждений в критерии разрушения Новожилова-Кадашевича, является функцией одного параметра -тензора необратимой (пластической) деформации. При рассмотрении простых процессов активного нагружения выведена аналитическая зависимость для макромеханического деформационного предела пластичности. Разработанный термодинамический метод обладает научной новизной и имеет перспективы дальнейшего развития. Располагая более детальной мезомеханической моделью, можно прийти к более точным макромеханическим соотношениям без принципиальных изменений в общей процедуре их получения.

3. Отработана расчётно-экспериментальная методика идентификации мезомеханической и макромеханической моделей по результатам испытаний образцов материала на одноосное растяжение. Методом компьютерного моделирования установлено, что для пластически несжимаемых материалов зависимость скрытой энергии деформации от третьего момента тензора необратимой деформации пренебрежимо мала, либо полностью отсутствует. Показано, что на траекториях деформирования малой кривизны полученные мак-ромеханические определяющие соотношения обеспечивают более высокую точность расчётов, чем аналогичные соотношения деформационной теории пластичности, используемые в современной механике разрушения для учёта пластической деформации перед вершиной трещины.

4. Созданы численный алгоритм и основанная на методе конечных элементов программа расчёта (на алгоритмическом языке FORTRAN-95) упругопла-стического деформирования и разрушения материалов за счёт образования и роста макротрещины с использованием полученных макромехаиических определяющих соотношений и критерия разрушения Новожилова-Кадашевича. Работоспособность алгоритма и программы проверены на задаче Ламе в уп-ругопластической постановке. Достоверность получаемых численных результатов подтверждена сопоставлением расчётных и известных опытных данных. Проведена оценка несущей способности трубопроводов с типичным повреждением в виде поверхностного дефекта эллипсоидальной формы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Крупников, Иван Владимирович, 2006 год

1. Аликин В.Н., Анохин П.В., Колмогоров Г.Л., Литвин И.Е. Критерии прочности и расчёт механической надёжности конструкций. - Пермь: ПГТУ, 1999. - 158 с.

2. Андерсон О. Определение и некоторые применения изотропных упругих постоянных поликристаллических систем, полученных из данных для монокристаллов // Физическая акустика. Динамика решётки. Т. 3. - Ч. 2. - М.: Мир, 1968.-С. 63-121.

3. Анин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. - 342 с.

4. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. М.: Металлургия, 1987. -352 с.

5. Атлури С. Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990 -392 с.

6. Батдорф С.Б., Будянский Б. Математическая теория пластичности, основанная на концепции скольжения // Механика. 1962. -№ 1. - С. 135-155.

7. Беккер Э. Термомеханика сплошной среды / Механика деформируемых твёрдых тел. Направления развития. М.: Мир, 1983. - С. 257-273.

8. Белай О.В., Киселев С.И О вихревом характере пластической деформации и разрушения при высокоскоростном соударении пластин // Физическая мезо-механика. 2001. - Т. 4. - № 6. - С. 5-15.

9. Бирилло КН., Теплинский Ю.А. Результаты стендовых испытаний коррозион-но-повреждённых труб // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. 2003. - № 12. - С. 27-29.

10. Болыианина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформации // Исследования по физике твёрдого тела. М.: Изд-во АН СССР, 1957. - С. 193-233.11 .Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. М.: Физматлит, 2004. - 144 с.

11. Голъденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 192 с.

12. Долгов И.А., Сурков Ю.П., Попов О.Н., Рыбалко В.Г., Сурков А.Ю. Несущая способность труб с дефектами КРН // Газовая промышленность. 2004. -№2.-С. 19-21.

13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

14. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Физматлит, 1995. - 288 с.

15. Ильюшин А.А. Связь между теорией Сен-Венана-Леви-Мизеса и теорией малых упругопластических деформаций // ПММ. 1945 - Т. 9. - С. 207-218.

16. Ильюшин А.А. Пластичность. Т. 1. - Упругопластические деформации. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

17. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.

18. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. - 287 с.

19. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. - 420 с.

20. Клюшников В Д Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 189 с.

21. Коларов Д., Болтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979.-302 с.

22. Коновалов А.А. Определяющие соотношения для упруговязкопластической среды при больших пластических деформациях // Изв. АН. МТТ. 2000. -№4.-С. 110-118.

23. Корнеев С.А. Определяющие соотношения вязкоупругопластических сред при малых деформациях // Изв. АН. МТТ. 2005. - № 3. - С. 106-122.

24. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твёрдых тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

25. Костюк А.Г. Пластичность и разрушение кристаллического материала при сложном нагружении. М.: Изд-во МЭИ, 2000. - 180 с.

26. АО Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. - 100 с.

27. Лисин В.Н., Спиридович Е.А., Пужайло А.Ф. Оптимизация методов выявления стресс-коррозии на магистральных газопроводах // Газовая промышленность. 2004. - № 10.-С. 58-59.42Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

28. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. -400 с.

29. ААМарчукГ.И. Методы вычислительной математики-М.: Наука, 1980.-536 с.

30. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.-416 с.

31. Ав.Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчёт конструкций на прочность. -М.: Машиностроение, 1981.-272 с.

32. Москвитин В.В Пластичность при переменных нагружениях. М.: Изд-во МГУ, 1965.-263 с.

33. Москвитин В.В Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981.-344 с.

34. А9.Надаи А. Пластичность и разрушение твёрдых тел. М.: Мир, 1969. - Т. 1-2.

35. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкционных материалах. — Л.: Машиностроение, 1990. 223 с.51 .Орлов А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. М.: Высш. шк., 1983.- 144 с.

36. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физическая мезомеханика. -1998.-Т. 1. -№ 1. -С. 5-22.

37. ЪЪЛартон В.З., Борисковский В.Г. Динамическая механика разрушения. М.: Машиностроение, 1985. - 264 с.

38. ЫЛиссанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 410с.

39. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.

40. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988. -712 с.

41. Салюков В.В. Развитие системы диагностического обслуживания МГ России // Газовая промышленность. 2004. - № 6. - С. 22-24.

42. Седое ЯМ. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. - Т. 1-2.

43. Седых А.Д., Дедиков Е.В., Гриценко А.И., Харитоновский В.В., Клишин Г.С., Селезнев В.Е., Алешин В.В. Методы оценки состояния трубопроводов по результатам диагностики // Газовая промышленность. 1997. - № 8. - С. 58-60.

44. Селезнев В.Е, Алешин В.В., Прялов С.Н. Основы численного моделирования магистральных трубопроводов. М.: КомКнига, 2005. - 496 с.

45. Сервисен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович P.M. Несущая способность и расчёты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. - 488 с.

46. ЬЪ.Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения. -М.: Мир, 1986.-334 с.

47. Трусов Г1В., Ашихмин В.Н. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне // Физическая мезомеханика. 2001. -Т. 5.-№3.-С. 37-51.

48. Трусов П.В, Останина Т.В. Трёхуровневая иерархическая модель структурной сверхпластичности // Физическая мезомеханика. 2001. - Т. 4. - № 5. -С.55-65.

49. Тушинский Л.И. Структурная теория конструктивной прочности материалов. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 400 с.

50. Физические величины: Справочник / А.П. Бабичев, И.А. Бабушкина, А.М. Брат-ковский и др.; под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.-1232 с.

51. Черепанов Г.П., Ершов Л.В. Механика разрушения. М.: Машиностроение, 1977.-224 с.

52. Черепанов О.И. Численное решение некоторых задач квазистатических задач мезомеханики. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003. - 180 с.

53. Шемякин Е.И. Введение в теорию упругости. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 96 с.81 .Bojan Niceno A Two-Dimensional Quality Mesh Generator http://wwwdinma.univ.trieste.it/nirftc/research/easymesh/easymesh.html.