Управляемые системы с нелипшицевым по фазовой переменной уравнением динамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хлопин, Дмитрий Валерьевич

• Хлопин, Дмитрий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хлопин, Дмитрий Валерьевич

Ф Обозначения

Введение

1 Отслеживание скользящих режимов

1.1 Управляемая система.

1.2 Метод экстремального сдвига.

1.3 Характеризация предельных траекторий. Нацеливание на квазидвижение

1.4 Нацеливание на траекторию

2 Отслеживание квазистратегии

Ф в условиях неопределенности

2.1 Постановка задачи.

2.2 Решение в классе допустимых управлений

3 Корректность задачи управления

3.1 Содержательные постановки исследуемых оптимизационных задач.

3.2 Исходная и возмущенная динамические системы. Формулировка исходных оптимизационных задач.

3.3 Скользящие режимы

3.4 Стратегии. Экстремальный сдвиг.

3.5 Особенности пошаговых процедур для систем с разрывной по времени правой частью.8G

3.6 Предельные теоремы.

3.7 Устойчивость по функционалу снизу.

3.8 Устойчивость по функционалу сверху.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управляемые системы с нелипшицевым по фазовой переменной уравнением динамики»

Общая характеристика работы

Представленная диссертация посвящена конструкциям управления на основе метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в t системах с нелипшицевой правой частью, а также исследованию для таких систем вопросов устойчивости решений к малым помехам.

Предыстория и актуальность темы

Развитие теории экстремальных задач привело в середине 50-х годов к созданию теории оптимального управления, центральным результатом которого стал принцип максимума Л.С.Понтрягина. Этот принцип [84], разработанный Л.С.Понтрягиным и его учениками ( А.В. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мишенко) дает необходимые условия оптимальности первого порядка.

В теории дифференциальных игр использование подобных принципу максимума экстремальных методов для построения оптимальных (или близких к оптимальным) стратегий привело к созданию Н.Н.Красовским метода экстремального прицеливания [37-39]. В этом методе управление строилось по принципу обратной связи решением вспомогательных задач прогнозируемого программного управления. В 1970 году Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным были опубликованы работы [40, 45, 46], в которых было введено несколько иное условие экстремальности, а именно, для построения движения вдоль стабильного моста на каждом шаге выбиралось управление, обеспечивающее максимальный сдвиг в сторону этого моста. Этот метод позже стал называться методом экстремального сдвига. С помощью этого метода Н.Н.Красовским и А.И.Субботиным была установлена фундаментальная теорема об альтернативе [47] в дифференциальной игре общего вида. При этом вариант, связанный с прицеливанием на стабильный мост (см. [47], [46]) и используемый в доказательстве теоремы об альтернативе, не обладал устойчивостью к информационным помехам, т.е. к помехам канала измерения. Однако модификация правила экстремального сдвига, реализованная Н.Н.

Красовским и А.И. Субботиным в схеме управления с поводырем (см. [47], [41]), уже обладает требуемым свойством устойчивости к информационным помехам. При этом происходило отслеживание уже не стабильного моста, а некоторого идеально управляемого объекта, двигающегося, в свою очередь, по некоторой идеальной траектории. Экстремальное управление с моделью (поводырем) широко использовалось в процедурах на основе стохастического программного синтеза, концепция которого предложена Н.Н. Красовским; см. [43]. Таким образом, в теории дифференциальных игр при помощи метода экстремального сдвига осуществлялась аппроксимация предельных (конструктивных) движений, в терминах которых формулировались условие успешной разрешимости соответствующих игровых задач.

Для систем с нелипшицевой по фазовой переменной правой частью, для получения соответствующего варианта теоремы об альтернативе, А.В.Кряжимским был разработан вариант метода экстремального сдвига, в котором нацеливание производилось не на траекторию, а на некоторое квазидвижение [48], [49]. Такая конструкция затем использовалась в [58] для получения условий, имеющих смысл альтернативной разрешимости, но в предположениях, не требующих обобщенной единственности.

Позже А.В.Кряжимским и Ю.С.Осиповым на основе идеи отслеживания модели был создан principle of guided models. Этот метод используется для решения некорректных задач динамической оптимизации [205], [55], [76], [77], [183], [184]; для решения задач математического программирования [56], [181], [182]. В связи с этим методом отметим также работы [19], [67], [68], [69], [78], [193].

Метод экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина применялся и в теории программного управления для отслеживания траекторий. В работе [134] была построена процедура приближения конкретной траектории, порожденной конечно-аддитивной мерой, при помощи допустимых траекторий. Этот метод используется для приближения оптимального решения также в [103].

На сегодняшний момент математическая теория динамических систем и оптимальных процессов хорошо разработана. Это результат работы многих отечественных и зарубежных математиков - Н.Н.Красовского [37]-[47], [180], Л.С.Понтрягина [83], R.Bellman [145]. Существенный вклад в ее развитие внесли А.А.Аграчев, Э.Г.Альбрехт, В.Д.Батухтин, В.Г.Болтянский, Р.Ф.Габасов Р.В.Гамкрелидзе, Ф.М.Кириллова,

A.Ф.Клейменов, А.В.Кряжимский, А.Б.Куржанский, Н.Ю.Лукояпов,

B.И.Максимов, А.А. Меликян, Е.Ф.Мищенко, Ю.С.Осипов, В.С.Пацко Л.А.Петросян, Б.Н.Пшеничный, Ю.Л.Сачков, А.Н.Сесекин, А.И.Субботин, Н.Н.Субботина, А.М.Тарасьев, В.М.Тихомиров, А.А.Толстопогов, В.Е.Третьяков, В.Н.Ушаков, А.Г.Ченцов, Ф.Л.Черноусько, А.А.Чикрий, J.P.Aubin, W.H.Fleming, A.Friedman, R.Isaacs, E.Roxin, H.J.Sussmann, P.Varaiya, J.Warga и другие, см. [2-4,7-10,12,17,20,22,23,25,32,33,48-50, 57,58,61,64,65,69,73,80,82,84-86,89,90,92,101,102,123-128,133,135,136, 141,150-153,161-164,184,211,214,217,219-222]

В прикладных задачах управления нередко присутствуют помехи канала наблюдения, различные искажения в цепи формирования управляющих взаимодействий, могут возникать помеховые управления и неконтролируемые управления, формируемые целенаправленно для достижения цели, отличной от цели в основной задаче. Вопросы такого рода традиционно рассматриваются в рамках теории дифференциальных игр с неполной фазовой информацией; см. [47], [43]). В задачах теории управления, осложненных воздействием помех, наиболее естественным способом формирования управляющих воздействий является обратная связь. Последовательная реализация идеи гарантированного управления в условиях неконтролируемых факторов привела, однако, к существенному изменению взгляда на сам характер законов управления по принципу обратной связи. Упомянутое радикальное изменение представлений можно связать с формализацией Н.Н. Красовского [39], [47], [43], [44], которая, с одной стороны, позволяла проводить глубокие теоретические исследования, а с другой, - определяла широкие возможности инженерной реализации существенно нерегулярных законов управления по принципу обратной связи. Существенность таких (нелинейных, разрывных) законов была убедительно показана Н.Н.Субботиной и А.И.Субботиным [8], [7]. Другая формализация в теории дифференциальных игр связана с понятием "квазистратегия", см. работы [160, 214, 215, 221, 222]. Многозначные квазистратегии использовались в [58,123,125,130,131,133, 178,179]. Отметим также формализацию дифференциальной игры в классе е— стратегий Б.Н.Пшеничного [85], [211].

Задачи управления с неполной информацией исследовались в работах Н.Н.Красовского, А.В.Кряжимского, А.Б.Куржанского, Ю.С.Осипова, А.И.Субботина, Ф.Л.Черноусько [47], [180], [204], [60], [50], [136]. (в частности, отметим конструкции дифференциальных игр с неполной информацией [47] и важное понятие информационного множества в [60]). Дальнейшее развитие решения задач с неполной информацией связано с работами А.Б.Куржанского, Т.Ф.Филипповой, Б.И.Ананьева, М.И.Гусева, С.И.Кумкова, О.И.Никонова, В.С.Пацко, I.Valyi и других, см. [75,80,106, 139,169,185-187].

В данной работе помимо теории динамических систем и оптимальных процессов, качественной теории дифференциальных уравнений используется также и элементы теории некорректных задач, применяемые к решению неточно заданных задач. Методы устойчивых приближенных решений некорректно поставленных задач получены А.Н.Тихоновым, В.К.Ивановым, М.М.Лаврентьевым, а также А.Л.Агеевым, В.Я.Арсениным, В.В.Васиным, Ф.П.Васильевым, А.С.Леоновым, В.А.Морозовым, В.П.Танана, А.Г.Яголой и другими (см., например, [31,96,97], [29,30,62,63,94,95], [1,6,14,18,74,93,223]).

Направление, связанное с корректностью постановки экстремальных задач, устойчивостью их решений к малым регулярным возмущениям получило большое развитие во многих работах (см., например, обзор А.Дончева [27]). В настоящее время основная масса работ посвящена вопросам устойчивости к сингулярным возмущениям или в системах, порожденных дифференциальными включениями, здесь необходимо отметить работы А.И.Булгакова, А.Дончева, В.Гайцгори, А.А.Толстоногова Z. Artstein, J.-P. Aubin, A. Cellina, F. Clarke и других, (см. [15, 16, 21, 100, 154, 157, 220]). Аппроксимации решений дифференциальных включений посвящены работы [142], [99].

Для нелипшицевых систем работ, посвященных вопросам устойчивости в задачах управления, крайне мало, отметим исследование А.В. Болтянского [13] и работы А.В.Кряжимского с учениками [51] [52], [53], [54].

Для придания экстремальной задаче хороших свойств исходное множество допустимых элементов погружается в подходящий компакт: реализуется принцип расширения. Такие расширения строятся в задачах оптимального управления [23], [17], [138], вариационного исчисления [32], [138]. В теории управления наибольшее распространение в качестве таких обобщенных элементов получили скользящие режимы, управления Р.В.Гамкрелидзе, несколько реже конечно-аддитивные меры [127-129].

В дифференциальных играх (идеализированные) конструктивные движения обычно вводятся (согласно формализации Н.Н.Красовского) как пределы пошаговых движений (см. также "K-mothionsnB [3], [175]). Метод экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина позволяет отслеживать конструктивное движение ломаными Эйлера (см. [47]). Целесообразно развить подобные конструктивные процедуры для построения идеальных элементов в системах с нелипшицевой правой частью.

В различных задачах с импульсным управлением возникает разрывность и негладкость движений системы, отсутствует непрерывная зависимость от начальных данных, возможна неединственность решений. Более того, такие сложности возникают в реальных физических задачах (см. обширную библиографию в [172]), например в робототехнике [207], [195], [168]. Обсуждение и исследование такого рода задач смотрите, например, [79,147,148,194,196,216]

Перечисленные выше особенности в механических системах возникают не только в задачах с импульсным управлением. Так, например, в работах [70], [71], [72] разработана модель, разрешающая известный в механике парадокс Пенлеве. Правая часть уравнения динамики, возникающего в этой модели, помимо имеющейся разрывности по фазовой переменной, в области непрерывности не является липшицевым несмотря на ограниченность правой части. В работах [158], [159] иследуется задача двух тел из классической электродинамики; правая часть уравнения динамики в этой задаче не удовлетворяет условию Липшица по фазовой переменной.

Различные критерии единственности решений задачи Коши разрабатывались в теории дифференциальных уравнений с конца девятнадцатого века (см., например, [36,81,146,155,173,174,189,202,206], обзоры [107, 188, 191, 208]). Необходимое и достаточное условие единственности [200, 201], полученное в терминах функций Ляпунова, послужило толчком для исследования множеств достижимости (выживаемости) (см. [190], [149, 170, 197, 224]). Отметим работы, проясняющие структуру пучка решений [105,140,156,166,171,177,198,212, 213,218], "малость"множества точек неединственности [192,199,203,209].

В [5, с.5-10] для повседневных физических задач В.И.Арнольдом обсуждаются вопросы неединственности траекторий и отсутствия непрерывной зависимости от начальных условий (см. также обсуждение одной физической задачи Х.Уитни в [167]).

Все сказанное выше мотивирует изучение систем с нелипшицевой правой частью, а именно вопросов построения обобщенных элементов и вопросов корректности задач оптимизации.

Цель работы:

Целыо работы является аппроксимация идеальных элементов методом экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина в динамических системах с нелипшицевой правой частью, а также исследование вопросов устойчивости к малым помехам в задачах теории управления при помощи разработанных методов аппроксимации.

Методы иследования

Представленные в диссертации исследования опираются на методы из теории позиционных дифференциальных игр, качественной теории дифференциальных уравнений, теории управления. Используются результаты из топологии, функционального анализа, теории меры.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми.

Получены условия применимости метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина для аппроксимации обобщенных траекторий в управляемых системах с нелипшицевой (по фазовой переменной) правой частью, а именно: установлено, что у построенных в рамках метода экстремального сдвига Н.Н. Красовского и А.И.Субботина последовательностей допустимых траекторий все предельные точки удовлетворяют экстремальному свойству почти всюду; при выполнении условия обобщенной единственности показана универсальность нацеливания на квазидвижение: если обобщенная траектория аппроксимируется допустимыми траекториями, то это можно сделать при помощи нацеливания на квазидвижение; отмечено, что в некоторых управляемых системах существуют обобщенные траектории, не отслеживаемые при помощи нацеливания на квазидвижение; более того приведен пример управляемой системы, в которой, с одной стороны, существует однозначная зависимость траектории от допустимого управления, а с другой, существуют такое обобщенное управление и порожденная им траектория, что нацеливание на эту траекторию не позволяет отследить никакой траектории из пучка, порожденного этим обобщенным управлением; найдены ряд условий, достаточных для того, чтобы все обобщенные траектории (или конкретную обобщенную траекторию) можно получить отслеживанием на траекторию.

В нелинейной задаче управления с неполной информацией одной из взаимодействующих систем о поведении другой построена принципиально реализуемая схема отслеживания пучка траекторий, порожденных квазистратегией. Таким образом, установлена принципиальная возможность реализации решения в классе квазистратегий при помощи последовательности пошаговых движений, формируемых с использованием принципа экстремального сдвига, в задаче гарантированного сближения в течение заданного промежутка времени до момента с функцией из заданного пучка.

Построены модифицированные пошаговые конструкции метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина для управляемых систем с разрывной по времени правой частью, а именно, в условиях на правую часть, близких к условиям Каратеодори: приведен пример, в котором для успешной аппроксимации конкретной траектории необходимо подбирать измельчающую последовательность разбиений промежутка времени, более того, для осуществления такого выбора недостаточно знать правую часть уравнения динамики почти всюду, в частности, для этого выбора измельчающей последовательности недостаточно выбирать моменты времени среди точек Лебега (или даже точек непрерывности) правой части; предложен метод выбора "подходящей" измельчающей последовательности по известной правой части уравнения динамики управляемой системы.

В рамках упомянутых выше условий для метода экстремального сдвига при нацеливании на траекторию или квазидвижение установлена устойчивость к малым помехам правой части уравнения динамики (с метрикой равномерной сходимости); к малым возмущениям начального положения системы; к малым вычислительным ошибкам, допущенным при нацеливании.

Предложены два варианта оптимизационной задачи, в зависимости от того, в чьей власти находится выбор конкретной траектория из пучка, порождаемого данным управлением. Исследуется устойчивость этих задач к малым возмущениям: начальных условий и уравнения динамики.

Для одной из таких задач приводится пример, в котором использование позиционных стратегий вместо программных управлений может существенно улучшить оптимальное значение задачи. В условиях, существенно более общих, нежели условие обобщенной единственности, для такой задачи при помощи различных вариантов метода экстремального сдвига построена позиционная стратегия, гарантирующая близкое к оптимальному решение, нечувствительное к малым возмущениям, трактуемым как возмущения-помехи.

Исследован случай, когда аддитивное возмущение правой части уравнения динамики является союзником полезного управления (такая ситуация может возникнуть при ослаблении геометрических ограничений на управление). Показано, что ненулевого, но сколь угодно малого (в равномерной метрике) аддитивного возмущения-союзника вполне достаточно для скачкообразного улучшения значения оптимизационных задач, вне зависимости от того, контролируется союзником выбор траектории из пучка или нет. Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход для аппроксимации идеальных элементов при помощи метода экстремального сдвига Н.Н.Красовского и А.И.Субботина. Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать 'задачи теории управления для управляемых систем с иелипшицевой правой частью.

Публикации

Основной материал диссертации опубликован в работах [108]- [122], [176]. Из совместных с А.Г.Ченцовым работ [112], [ИЗ] в диссертацию вошли только постановки задач и результаты автора.

Апробация работы.

Результаты диссертации обсуждались на семинарах отдела управляемых систем Института математики и механики УрО РАН, на семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета; докладывались па заседаниях Ученого совета Института математики и механики УрО РАН; были представлены в докладах на всероссийских и международных конференциях, в том числе на конференции "Демидовские чтения на Урале. Екатеринбург, 2-3 марта 2006 года";

37-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 30 января - 3 февраля 2006 года", Екатеринбург;

IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управлеиие'05", 2-5 ноября 2005 года, Иркутск; конференции "Современные математические методы и информационные технологии в образовании, 14-15 апреля 2005 года", Тюмень;

36-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 31 января - 4 февраля 2005 года", Екатеринбург;

The IFAC Workshop on generalized solutions in control problems (GSCP-2004), September 22 - 26, 2004, Pereslavl-Zalessky, Russia;

35-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 26-30 января 2004 года", Екатеринбург;

Воронежской весенней математической школе "Понтрягипские чтения -XIV, 3 мая - 9 мая 2003 года";

34-й региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики, 27 января - 31 января 2003 года", Екатеринбург;

XXIII конференции молодых ученых, Москва, 9-14 апреля 2001 года.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложения и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и соответствующий номер. Общий объем работы — 172 страницы. Библиография содержит 225 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хлопин, Дмитрий Валерьевич, 2006 год

1. АГЕЕВ, A. J1. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода / А. Л. Агеев // Изв. вузов. Математика. 1995. mi. С.3-16.

2. АГРАЧЕВ, А. А. Геометрическая теория управления / А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. М. : Физматлит, 2004. 392 с.

3. АЙЗЕКС, Р. Дифференциальные игры / Р. Айзеке. М. : Мир, 19G7. 479 с.

4. АЛЬБРЕХТ, Э. Г. Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр / Э. Г. Альбрехт // Тр. Ип-та математики и механики УрО РАН. 2000. Т. С, №1. с. 27-38.

5. АРНОЛЬД, В. И. Что такое математика? / В. И. Арнольд. М. : МЦНМО, 2004. 103 с.

6. АРСЕНИН, В. Я. О методах решения некорректно поставленных задач / В. Я. Арсении. М. : Изд-во МИФИ, 1977. 165 с.

7. Барабанова, Н. Н. О классах стратегий и дифференциальных играх уклонения от встречи / Н. Н. Барабанова, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, N2 4. с. 796-864.

8. БОЛТЯНСКИЙ, А. В. Математические методы оптимального управления / А. В. Болтянский. М. : Наука, 1966. 308 с.

9. БОЛТЯНСКИЙ, А. В. О непрерывности функции Беллмана. / А. В. Болтянский // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №2. с. 195-198.

10. ВАРГА, Дж. Оптимальное управление дифхференциалымми и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М. : Наука, 1977. 623 с.

11. ВАСИЛЬЕВ, Ф. П. О регуляризации некорректных задач / Ф. П. Васильев // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, №5. с. 1001-1004.

12. ГАЙЦГОРИ, В. Управление системами с быстрыми и медле?1пыми двиэ/сеииями. / В. Гайцгори. М. : Наука, 1991. 223 с.

13. ГАМКРЕЛИДЗЕ, Р. В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач / Р. В. Гамкрелидзе / / Тр. МИ АН СССР им. В.А.Стеклова. 1971. Т. 112, с. 152-181.

14. ГАМКРЕЛИДЗЕ, Р. В. Основы оптимального управления / Р. В. Гамкрелидзе. Тбилиси : Изд-во Тбилисского ун-та, 1977. 254 с.

15. ГЕЛБАУМ, Б. Контрпримеры в анализе / Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. М. : Мир, 1967. 252 с.

16. ГУСЕВ, М. И. О ситуациях равновесия / М. И. Гусев, А. Б. Куржанский // Докл. АН СССР. 1976. Т. 229, №6. с. 1295-1298.

17. ДАНФОРД, Н. Линейные операторы : Общая теория. / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М. : Изд-во иностр. лит., 1962. 855 с.

18. ИВАНОВ, В. К. О линейных некорректных задачах / В. К. Иванов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, №2. с. 270-272.

19. ИВАНОВ, В. К. Некорректные задачи в топологических пространствах / В. К. Иванов // Сиб. мат. э/сури. 1969. Т. 10, №5. с. 1065-1074.

20. ИВАНОВ, В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения / В. К. Иванов, В. В. Васин, В. И. Танана. М. : Наука, 1978. 206 с.

21. ИОФФЕ, А. Д. Теория экстремальных задач. / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. М. : Наука, 1974. 480 с.151

22. КЛЕЙМЕНОВ, А. Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. / А. Ф. Клейменов. Екатеринбург : Наука, 1993. 185 с.

23. КОЗЛОВ, Р. И. Теория систем сравнения в методе векторных функций Ляпунова / Р. И. Козлов. Новосибирск : Наука, 2001.

24. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. О стабилизации неустойчивости движений дополнительными силами при неполной обратной связи / Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27, №4. С. 641-663.

25. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Теория управления дви01сением. Линейные системы / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1968. 475 с.

26. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Игровые задачи о встрече двиоюений / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1970. 420 с.

27. Красовский, Н. Н. К теории дифференциальных игр / Н. Н. Красовский // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, №2. С. 197-207.

28. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. 4.2 / Н. Н. Красовский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №3. С. 22-42.

29. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. 4.1 / Н. Н. Красовский // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №2. С. 3-18.

30. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Управление динамической системой : задача о минимуме гарантированного результата / Н. Н. Красовский. М. : Наука, 1985. 516 с.

31. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Аппроксимация в дифференциальных играх / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. с. 1005-1022.

32. Красовский, Н. Н. О структуре дифференциальных игр / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Докл. АН СССР. 1970. Т. 190, т. с. 523-526.

33. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Альтернатива для игровой задачи сближения / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, №6. с. 1005-1022.

34. КРАСОВСКИЙ, Н. Н. Позиционные дифференциальные игры / Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. М. : Наука, 1974. 456 с.

35. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх / А. В. Кряжимский // Прикл. математика и механика. 1978. Т. 42, №6. с. 963-968.

36. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения. / А. В. Кряжимский // Докл. АН СССР. 1978. Т. 239, №. с. 779-782.

37. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. О некоторых стабильных мостах для линейных управляемых систем / А. В. Кряжимский // Оптим. упр. системами с неопредел. информацией / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск. 1980. с. 35-41.

38. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. К вопросу о корректности оптимальной задачи управления / А. В. Кряжимский, О. Абдырахмапов // Диффереиц. уравнения. 1984. Т. 20, МО. С. 1659-1665.

39. КРЯЖИМСКИЙ, А. В. О регуляризации задачи оптимального управления для системы с неединственностью. I / А. В. Кряжимский,О. Абдырахманов // Известия АН Туркмен. ССР. Серия физ. техн., хим. и геол. наук . 1984. №4. с. 3-6.

40. Куржанский, А. Б. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях / А. Б. Куржанский, П. Варайя // Докл. РАН. 2000. Т. 372, №4. с. 446-450.

41. Матросов, В. М. О свойствах правосторонних решений уравнений динамики механических систем с трением скольжения / В. М. Матросов, И. А. Финогепко I j Докл. РАН. 1995. Т. 343, М. с. 5355.

42. МАТРОСОВ, В. М. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. I / В. М. Матросов, И.A. Финогенко // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 35, №5. с. 606-614.

43. МАТРОСОВ, В. М. К теории дифференциальных уравнений, возникающих в динамике систем с трением. II. / В. М. Матросов, И. А. Финогенко // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, №6. с. 769773.

44. МИЩЕНКО, е. Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр / Е. Ф. Мищенко // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. №5. с. 3-9.

45. МОРОЗОВ, В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач /B. А. Морозов. М. Изд-во МГУ, 1987. 217 с.

46. Никонов, О. И. О некоторых экстремальных свойствах наблюдаемых дифференциальных систем / О. И. Никонов // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, №2. с. 236-240.

47. Осипов, Ю. С. О динамическом решении операторных уравнений / 10. С. Осипов, А. В. Кряжимский // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, т. с. 552-556.

48. ОСИПОВ, Ю. С. О моделировании параметров динамической системы / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский // Задачи упр. и моделирования в динам, системах / Свердловск : ИММ УНЦ АН СССР, 1984. с. 47-68.

49. ОСИПОВ, Ю. С. Обратные задачи динамики для параболических систем / Ю. С. Осипов, А. В. Кряжимский, В. И. Максимов // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36, №5. с. 579-597.

50. ПАНАСЮК, А. И. Применение квазидифференциальных уравнений к описанию разрывных процессов / А. И. Панасюк, Дж. Бентсман // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №10. с. 1339-1348.

51. ПАЦКО, В. С. Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх / В. С. Пацко // Соврем, мат. и ее прил / Тбилиси, 2005. Т. 23, с. 79-122.

52. ПЕРОВ,'А. Н. Об интегральных неравенствах / А. Н. Перов // Тр. семинара по фупщион. анализу / Воронеж : 1957. Вып. 5. с. 86-97.

53. ПЕТРОСЯН, JI. А. Дифференциальные игры преследования. / JI. А. Петросян. J1. : Изд-во Ленинград, гос. ун-та, 1977.

54. ПОНТРЯГИН, JI. С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальных игр / JI. С. Поптрягин // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1985. Т. 169, с. 119-157.

55. ПОНТРЯГИН, JI. С. Математическая теория оптимальных процессов. / J1. С. Понтрягип, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М. : Физматгиз, 1961. 391 с.

56. ПШЕНИЧНЫЙ, Б. Н. Структура дифференциальных игр / Б. Н. Пшеничный // Докл. АН СССР. 1969. Т. 184, №2. с. 185-287.

57. СЕСЕКИН, А. Н. Импульсное расширение в задаче оптимизации энергетического функционала / А. Н. Сесекин // Автоматика и телемеханика. 1992. №8. с. 53-62.

58. СЕСЕКИН, А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2000. Т. 6, №1-2. с. 497-514.

59. СУББОТИН, А. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с полной памятью / А. И. Субботин // Докл. АН СССР. 1972. Т. 206, т. с. 552-555.

60. СУББОТИН, А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби / А. И. Субботин. М. : Наука, 1991. 215 с.

61. СУББОТИН, А. И. Обобщенные решения, уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимазации. / А. И. Субботин. М.; Ижевск : Ин-ткомпыот. исслед., 2003. 336 с.

62. СУББОТИН, А. И. Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка / А. И. Субботин, А. С. Лахтин // Мат. сб. 1988. Т. 189, №6. с. 33-58.

63. СУББОТИН, А. И. Оптимизация гарантии в задачах управления. / А. И. Субботин, А. Г. Чепцов. М. : Наука, 1981. 287 с.

64. ТАН АН А, В. П. Методы решения операторных уравнений / В. П. Танана. М. : Наука, 1981. 160 с.

65. ТИХОНОВ, А. Н. Об устойчивости обратных задач / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, №5. с. 195-198.

66. ТИХОНОВ, А. Н. О методах регуляризации задач оптимального управления / А. Н. Тихонов // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, №4. с. 763-765.

67. ТИХОНОВ, А. Н. Методы решения некорректных задач. / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. М. : Наука, 1974. 224 с.

68. ТИХОНОВ, А. Н. Нелинейные некорректные задачи. / А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. М. : Физматлит, 1995. 307 с.

69. ТОЛСТОНОГОЕ, А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. / А. А. Толстоногое. Новосибирск : Наука, 1986. 296 с.

70. ТОЛСТОНОГОВ, А. А. Теорема Боголюбова при ограничениях, порожденных полунепрерывным снизу дифференциальным включением / А. А. Толстоногов // Мат. сборник. 2005. Т. 196, №2. с. 117-138.

71. ТРЕТЬЯКОВ, В. Е. К теории стохастических дифференциальных игр / В. Е. Третьяков // Докл. АН СССР . 1983. Т. 269, №3. с. 1049-1053.

72. УШАКОВ, В. Н. К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения / В. Н. Ушаков // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. Т. 219, №4. с. 29-36.

73. УШАКОВ, В. Н. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями / В. Н. Ушаков, А. Р. Матвийчук // Изв. РАН. Теория и системы упр. 2005. №4. с. 2237.

74. ФИЛИППОВ, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. / А. Ф. Филиппов. М. : Наука, 1985. 224 с.

75. ФИЛИППОВ, В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений. / В. В. Филиппов. М. : Изд-во МГУ, 1993. 335 с.

76. ФИЛИППОВА, Т. Ф. Управление в условиях неопределенности системой с иелипшицевой правой частью / Т. Ф. Филиппова // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №10. с. 1693-1696.

77. ХАРТМАН, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М. : Мир, 1970. 720 с.

78. ХЛОПИН, Д. В. Об одном из способов экстремального прицеливания для систем с непрерывной правой частью / Д. В. Хлопин // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления" . 2001. т. с. 46-60.

79. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д. В. Хлопни // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2003. №1. С. 1-27.

80. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д. В. Хлопин // Проблемы управления и информатики.2004. Ш. С. 23-38.

81. ХЛОПИН, Д. В. О возможности реализации скользящих режимов в разрывных по времени управляемых системах / Д. В. Хлопин // Математический и прикладной анализ / Тюмень : Изд-во Тюмен. гос. ун-та. 2005. вып. 2. С. 164-185.

82. ХЛОПИН, Д. В. Об одной задаче управления с неполной информацией / Д. В. Хлопин, А. Г. Чепцов // Дифференц. уравнения.2005. Т. 41, №12. с. 1652-1666.

83. ХЛОПИН, Д. В. Отслеживание квазистратегий в задаче управления с неполной информацией / Д. В. Хлопин, А. Г. Чепцов // Электр, оюурпал "Дифференциальные уравнения и процессы управления". 2005. №3. С. 63-83.

84. ХЛОПИН, Д.В. Устойчивость к малым помехам в управляемых системах с нелипшицевой правой частью / Д.В. Хлопин // Тезисы докл. науч. конф. "Демидовские чтения па Урале. 1-ый Рос. науч. форум": Екатеринбург. 2-3 марта. 2006. Екатеринбург, 2006. С.55-56.

85. ХЛОПИН, Д. В. Отслеживание предельных траекторий в разрывных по времени управляемых системах / Д.В. Хлопин // Труды 4-ой Всерос. копф. "Математика, информатика, управление". Иркутск, 2-5 пояб. 2005. Иркутск, 2005. (CD-ROM).

86. ХЛОПИН, Д.В. О реализации скользящих режимов в системах Каратеодори / Д.В. Хлопин // Тр. 36-ой регион, мол. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 31 янв. 4 февр. 2005. Екатеринбург, 2005. С.293-297.

87. ХЛОПИН, Д. В. Об экстремальном отслеживании скользящих режимов / Д.В. Хлопин // Тр. 35-ой регион, мол. копф). "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург,, 26-30 янв. 2004. Екатеринбург, 2004. с. 264-269.

88. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / / "Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеэ/сской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIV", 3 мая - 9 мая". Воронеж. 2003. с. 148

89. ХЛОПИН, Д. В. О пошаговой экстремальной реализации скользящих режимов / Д.В. Хлопин // Тр. 34-ой регион, мол. конф. "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург, 27-31 янв. 2003. Екатеринбург, 2003. С. 180-184.

90. ХЛОПИН, Д. В. Об одном из способов экстремального прицеливания для систем с непрерывной правой частью // Тезисы докладов XXIIIконференции молодых ученых. Москва. 9-Ц аир. 2001. М. : Изд-во МГУ, 2002.

91. ЧЕНЦОВ, А. Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени / А. Г. Ченцов // Мат. сборник. 1976. Т. 99, N 3. с. 394-420.

92. ЧЕНЦОВ, А. Г. Об игровой задаче наведения к заданному моменту времени / А. Г. Чепцов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42, т. С. 455-467.

93. ЧЕНЦОВ А. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сблиэ1сения-уклонения / А.Г.Ченцов. Свердловск. 1979. 102 с. (Деп. в ВИНИТИ 04.06.79, М933-79 )

94. ЧЕНЦОВ А. Г. О структуре дифференциальной игры сблио/сения-уклонеиия / А.Г.Ченцов. Свердловск. 1980. 149 с. (Деп. в ВИНИТИ 12.08.80, №3583-80 Деп.)

95. ЧЕНЦОВ, А. Г. Прилоэ/сения теории меры к задачам управления / А. Г. Ченцов. Свердловск : Сред. -Урал. кн. изд-во, 1985, 128 с.

96. ЧЕНЦОВ, А. Г. Оптимизация в условиях нечетких ограничений / А. Г. Чепцов. Препринт. Свердловск : УНЦ АН СССР. 1986.

97. ЧЕНЦОВ, А. Г. Конечно-аддитивные меры и релаксации экстремальных задач / А. Г. Ченцов. Екатеринбург : УИФ "Наука", 1993. 232 с.

98. ЧЕНЦОВ, А. Г. Неупреждающие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. I / А. Г. Ченцов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N4. С. 470-480.

99. ЧЕНЦОВ, А. Г. Неупреждающие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. II / А. Г. Ченцов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, N5. С. 679-688.

100. ЧЕНЦОВ, А. Г. Абстрактные аналоги квазистратегий и итерационные методы / А. Г. Чепцов // Методы построенияMuooicecme достио/симости и конструкции расширений / Екатеринбург : УГТУ-УПИ. 2004. с. 115-156.

101. ЧЕНЦОВ, А. Г. Метод программных итераций в абстрактных задачах управления / А. Г. Ченцов // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, Ш. С. 573-585.

102. ЧЕНЦОВ, А. Г. Обобщенная задача управления в классе конечно-аддитивных мер / А. Г. Ченцов, А. Б. Пашаев // Кибернетика. 1986. №. с. 110-112.

103. ЧЕРНОУСЬКО, Ф. Л. Игровые задачи управления и поиска / Ф. JI. Черноусько, А. А. Меликян. М. : Наука, 1978. 280 с.

104. ЧЕРНОУСЬКО, Ф. JI. Оценивание фазового состояния динамических Щ систем / Ф. JI. Черноусько. М. : Наука, 1988.

105. ЭНГЕЛЬКИНГ, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. М. : Мир, 1986. с- 751 с.

106. ЯНГ, JI. Лекции по вариационному управлению и теории оптимального управления. / JI. Янг. М. : Мир, 1974. 488 с.

107. ANAN'EV, В. I. Minimax estimation of statistically uncertain systems under the choice of a feedback parameter / В. I. Anan'ev // J. Math. Systems, Estimations, and Control. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 263-266.

108. CHENTSOV, A. G. Extensions and relaxatons / A. G. Chentsov, S. I. Morina. Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 2002, 408 p.

109. CHENTSOV, A. G. To the question about the duality of different versions of the programmed iterations method, 1 / A. G. Chentsov // Functional Differential Equations. 2002, Vol. 9, no. 3-4. P. 289-314.

110. CHENTSOV, A. G. On duality of different versions of the programmed iterations method, 2 (the sequential approach) / A. G. Chentsov // Functional Differential Equations. 2003. Vol. 10, no. 1-2. P. 121-161.

111. CHIKRII, A. A. Conflict controlled processes / A. A. Chikrii. Boston ; London ; Dordrecht : Kluwer Acad. Publ., 1997. 427p.

112. CLARKE, F. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. Clarke, Yu. Ledyaev, R. Stern, P. Wolenski. New York : Springer, 1998.

113. CRANDALL, M. G. A generalization of Peano's existence theorem and flow invariance / M. G. Crandall // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. Vol. 3G, P. 151-155.

114. DlEGEL, E. Zu einem Beispiel von Nagumo und Fukuhara / E. Diegel // Math. Zeit. 1935. Vol. 39, P. 157-160.

115. DONCHEV, T. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions / T. Donchev, E. Farkhi // SIAM J. Control. Optim. 1998. Vol. 36, no. 2. P. 780-796.

116. DRIVER, R. D. A two-body problem of classical electrodynamics : the one-dimensional case / R. D. Driver // Ann. Phys. 1963. Vol. 21, P. 122-142.

117. DRIVER, R. D. Note on uniqueness for a one-dimensional two-body problem of classical electrodynamics / R. D. Driver, M. J. Norris // Ann. Physics. 1967. Vol. 42, P. 347-351.

118. ELLIOTT, R. J. The existence of value in differential games / R. J. Elliott, N. J. Kalton 11 Providence : Amer. Math. Soc., 1972. 67 pp. ( Memoirs of the Amer. Math. Soc.; Vol. 126).

119. FlLIPPOVA, T. F. Ellipsoidal calculus, singular perturbations and the state estimation problems for uncertain systems / T. F. Filippova, A. B. Kurzhanski, K. Sugimoto, I. Valyi // J. Math. Systems Estim. Control. 1996. Vol. 6, no. 3. P. 323-338.

120. Friedman, A. Differential Games / A. Friedman. N. Y. : Wiley Inter-sci., 1971. , 350p.

121. GaTDUKEVICH, O. HoBi узагальнення теореми Скорца-Драгош / О. GaTdukevich, V. К. Maslyuchenko // Укр. мат. oicypn. 2000. Т. 52, № 7. с. 881-888.

122. Garay, В. М. Cross-sections of solution funnels in Banach spaces / B. M. Garay // Stud. Math. 1990. Vol. 97, no. 1. P. 13-26.167. glllman, L. Reviews : What Is Mathematics? / L. Gillman // Amer. Math. Monthly. 1998. Vol. 105, no. 5. P. 485-488.

123. GRIZZLE, J. W. Asimptotically stable walking for biped robots : analisys via systems with impulse effects / J. W. Grizzle, G. Abba, F. Plestan // IEEE Trans. Automat. Control. 2000. Vol. 46, no. 1. P. 51-64.

124. Impacts in mechanical systems. Analysis and modelling. Papers from the Euromech Colloquium 397 held in Grenoble, June 30-July 2, 1999 / Edited by Bernard Brogliato // Berlin : Springer-Verlag, 2000. 273 p. (Lecture Notes in Physics, Vol. 551).

125. KARLIN, S. A game of aiming and evasion : general discussion and the marksman's strategies / S. Karlin, R. Isaacs. Santa Monica : RAND, 1953, 2 p. ( Research Memorandum, Rand Report RM-1316).

126. KHLOPIN, D. V. The method of extremal shift for approximation of sliding regimes / D. V. Khlopin // Proc. IFAC Workshop Generalized Solutions Control Problems (GSCP-2004), September 22 26, 2004 Pereslavl-Zalessky, 2004, P. 109-113.

127. KNESER, H. S. Uber die Losungen eines Systems gewohnlichen Diffcrentialgleichungen, das der Lipschitzchen Bedingung nicht genugt / H. S. Kneser // B. Preuss. Akad. Wiss. Phys. -Math. Kl. 1923, vol.49, P. 171-174.

128. Krasovskii, N. N. On the design of differential games I / N. N. Krasovskii, A. G. Chentsov // Problems of Control and Information Theory. 1977. Vol. 6, no. 5-6. P. 381-395.

129. Krasovskii, N. N. On designing differential games II / N. N. Krasovskii, A. G. Chentsov // Problems Control a,nd Information Theory. 1979. Vol. 8, no. 1. P. 3-11.

130. Krasovskii, N. N. Game-theoretical control problems / N. N. Krasovskii, A. I. Subbotin // Berlin ; New York : Springer-Verlag, 1988. 517 p. (Springer Series in Soviet Mathematics).

131. Kryazhimskii, A. V. Convex optimization via feedbacks / A. V. Kryazhimskii // SI AM J. Control Optim. 1999. Vol. 37, no. 1. P. 278-302.'

132. Kryazhimskii, A. V. Constraint aggregation principle in convex optimization / A. V. Kryazhimskii, Yu. M. Ermoliev, A. Ruszczyiiski // Math. Programming, Ser. B. 1997. Vol. 76, no. 3. P. 353-372.

133. KRYAZHIMSKII, A. V. On positional calculation of Q -normal controls in dynamical system / A. V. Kryazhimskii, Yu. S. Osipov // Probl. Control and Informal Theory. 1984. Vol. 13, no. 6. P. 425-436.

134. LAVRANTIEFF, M. A. Sur une equation differentielle du premier ordre / M. A. Lavrantieff // Math. Zeit. 1925. Vol. 23, P. 197-209.

135. MAKSIMOV, V. Dynamical reconstruction of inputs for contraction semigroup systems : boundary input case / V. Maksimov, L. Pandolfi // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 103, no. 2. P. 401-420.

136. MILLER, В. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control / В. M. Miller // SIAM J. Control Optim. 1996. Vol. 34, no. 4. P. 1420-1440.

137. MILLS, J. K. Robotic manipulator collision : modelling and simulation / J. K. Mills, C. Nguen // Trans. ASME J. Dyn. Sys. Meas. and Contr. 1993. Vol. 114, no. 4. P. 650-659.

138. NAGUMO, M. Uber die Lage der Integralkurven gewohnlicher Differen-tialgleichungen / M. Nagumo // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. Vol. 24, P. 551-559.

139. NAGUMO, M. Un theoreme relatif a l'ensemble des courbes integrales d'un systeme d'equations differentielles ordinaires / M. Nagumo, M. Fukuhara // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1930. Vol. 12, no. 3. P. 233-239.

140. NAKANO, H. Ueber die Verteilung der Peanoschen Punkte einer Differ-entialgleichung y'=f(x,y) / H. Nakano // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. 1942. Vol. 14, P. 41-43.

141. OKAMURA, H. Sur l'unicite des solutions d'un systeme d'equations dif-ferentielles ordinaires / H. Okamura // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. Math. 1941. Vol. 23, P. 225-231.

142. PLIS, A. One-sided non-uniqueness in ordinary differential equations / A. Plig // Bull. Acad. Polon. Sci. 1957. Vol. 5, no. 3. P. 583-588. 1

143. PLIS, A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field / А. РНё // Bull. Acad. Polon. Sci. 1963. Vol. 11, no. 6. P. 369-370.170

144. PSCHENICHNY, В. N. е-Strategies in differential games / B. N. Pschenichny // Topics in Differential games / New York ; London ; Amsterdam : North Holland, 1973, p. 45-99.

145. SCHUMACHER, J. M. Complementarity systems in optimization / J. M. Schumacher // Math. Program. , Ser. B. 2004. Vol. 101, no. 1. P. 263-295.

146. SUSSMANN, H. J. A general theorem on local controllability / H. J. Suss-mann // SIAM J. Control Optim. 1987. Vol. 25, no. 1, P.158-194.

147. SZUFLA, S. Kneser's theorem for weak solutions of an mth-order ordinary differential equation in Banach spaces / S. Szufla // Nonlinear Anal. Ser. A. 1999. Vol. 38, no. 6. P. 785-791.

148. TARASYEV, A. M. Control synthesis in grid schemes for Hamilton-Jacobi equations / A. M. Tarasyev // Ann. Oper. Res. 1999. Vol. 88, P. 337-359.

149. TOLSTONOGOV, A. A. Differential Inclusions in a Banach Space / A. A. Tolstonogov. Dordrecht : Kluwer, 2000. 302 p.

150. VARAIYA, P. On the existence of solutions to a differential game / P. Varaiya // SIAM J. Control. 1967. Vol. 5, P. 153-162.

151. VARAIYA, P. Existence of saddle points in differential games / P. Varaiya, J. Lin // SIAM J. Control 1969. Vol. 7, no. 1. P. 141-157.

152. VASIN, V. V. Ill-posed problems with a priori information / V. V. Vasin, A. L. Ageev. Utrecht : VSP, 1995.

153. VOLKMANN, P. The positive invariant set of the differential equation on Banach space / P. Volkmann, J. Lin // Ann. Differential Equations. 1998. Vol. 14, no. 2. P. 267-270.

154. Zavalishchin, S. T. Dynamic impulse systems. Theory and applications / S. T. Zavalishchin, A. N. Sesekin // Dordrecht : Kluwer Academic Publishers Group, 1997. 256 p. (Mathematics and its Applications, Vol. 394).