Управление захваченными атомами методом обратной связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Анатольевич

• Иванов, Денис Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Анатольевич

Введение

1 Охлаждение атомных ансамблей посредством обратной связи

1.1 Квантовая обратная связь.

1.2 Метод стохастического охлаждения.

1.3 Стохастическое охлаждение захваченных атомов.

1.4 Выводы.

2 Квантовая теория стохастического охлаждения

2.1 Трёхмерная модель.

2.2 Квантовая теория обратной связи в применении к многоатомным системам.

2.2.1 Обобщённые квантовые измерения.

2.2.2 Измерение суммарного импульса.

2.2.3 Унитарный оператор сдвига коллективного импульса

2.3 Один шаг обратной связи.

2.3.1 Одноатомная матрица плотности.

2.3.2 Изменение средней энергии.

2.4 Изменение продольной энергии.

2.4.1 Численные расчёты

2.5 Изменение полной энергии .'.

2.5.1 Изменение поперечной энергии.

2.5.2 Невырожденный газ.

2.5.3 Асимптотическое решение для случая большого числа атомов.

2.6 Выводы.

3 Непрерывная обратная связь для многоатомных систем

3.1 Одномерный газ Бозе-Эйнштейна.

3.2 Вывод основного уравнения состояния.

3.2.1 Преобразование состояния системы в результате действия обратной связи.

3.2.2 Переход к пределу непрерывной обратной связи

3.3 Выводы.

4 Динамика единичного атома в непрерывно контролируемом ансамбле

4.1 Уравнение Фоккера-Планка.

4.2 Стохастические дифференциальные уравнения.

4.3 Немарковская динамика единичного атома.

4.4 Характеристики движения единичного атома.

4.4.1 Динамика средних значений

4.4.2 Среднеквадратичные отклонения динамических переменных единичного атома.

4.5 Корреляции второго порядка в атомном ансамбле.

4.6 Выводы.

Выводы работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление захваченными атомами методом обратной связи»

Объект исследования и актуальность темы. Метод обратной связи широко используется в технике для управления поведением различного рода электрических и механических систем, а также для защиты этих систем от воздействия внешних шумов. Метод управления посредством обратной связи включает в себя два основных этапа: измерение некоторой динамической характеристики с целью получения информации о состоянии системы и последующее воздействие на систему, обусловленное результатом измерения. Теория обратной связи хорошо разработана для систем удовлетворительно описываемых в рамках классической физики, иными словами, когда принципиально возможно получить полную информацию о динамических переменных.

Однако, если пытаться контролировать объекты, обладающие малыми размерами и низкими энергиями, такие как молекулы, атомы или холодные газы, удерживаемые в ловушках, то классическая теория обратной связи становится неприменима. Поскольку для описания таких систем необходимо использовать квантовую теорию, то доступная информация о динамических переменных ограничена соотношением неопределенности Гейзенберга. Следовательно, возможности манипулирования поведением таких систем оказываются также ограниченными. Тогда возникает важный вопрос о пределах управляемости микроскопических систем в квантовом режиме.

Поставленный таким образом вопрос отнюдь не является академическим. Технические возможности в настоящее время позволяют проводить эксперименты как с отдельными атомами, ионами или молекулами, захваченными в ловушках различных типов, так и с ансамблями таких частиц, охлаждёнными до температур квантового вырождения. Все эти системы играют исключительно важную роль в современной науке. Возможность манипулирования отдельными частицами открывает новые пути экспериментального исследования фундаментальных проблем квантовой механики и служит отправной точкой в реализации нового типа вычислительных устройств — квантовых компьютеров. Развитие же методов контроля атомных (молекулярных) ансамблей является необходимым условием для создания различного рода систем, использующих когерентные волны материи, таких как атомный лазер. В частности, использование основанного на обратной связи стохастического охлаждения атомов может позволить преодолеть недостатки широко используемых в настоящее время методов лазерного и испарительного (evaporative) охлаждения атомов в ловушках.

Проблема метода обратной связи в применении к единичным квантовым системам исследована довольно полно. Теоретически проработаны различные варианты управления движением единичных атомов или ионов, изучена возможность контроля состояния единичной моды оптического резонатора, проведены эксперименты, подтверждающие эффективность обратной связи. Проблема контроля посредством обратной связи многочастичных систем или многомодовых полей напротив исследована недостаточно полно. Причиной этому является значительная сложность таких систем, что выражается, во-первых, в нехватке аналитических методов и, во-вторых, в необходимости привлечения существенных вычислительных ресурсов при численных расчётах.

В связи с вышеизложенным, целью настоящей диссертационной работы является всесторонний анализ возможностей метода обратной связи для контроля многочастичных квантовых систем, таких как разреженные газы, удерживаемые в ловушках.

В соответствии с указанной целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

1. развить общий подход к теоретическому описанию работы метода обратной связи многочастичных систем в квантовом режиме с учётом неразличимости частиц;

2. на основании полученной теории провести детальное исследование механизмов охлаждения и возможного нагревания атомов, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна, в процессе стохастического охлаждения;

3. установить предел стохастического охлаждения;

4. исследовать динамику многочастичной системы, подверженной непрерывному (распределённому во времени) контролю посредством обратной связи;

5. определить влияние атом-атомных корреляций на поведение контролируемой многоатомной системы;

Научная новизна:

1. В диссертации впервые проводится последовательный квантово-механический анализ работы метода обратной связи для управления ансамблем бозонов, удерживаемых в оптической дипольной или магнитной ловушке.

2. На основании разработанного в диссертации общего подхода впервые проанализирована работа стохастического охлаждения удерживаемых атомов с учётом квантово-статистических особенностей таких систем.

3. Разработан оригинальный подход, позволяющий получить аналитическое решение квантовой многочастичной проблемы - проблемы непрерывного контроля коллективной координаты ансамбля бозонов. Таким образом показано, что рассматриваемая проблема относится к немногим аналитически решаемым проблемам квантовой теории многочастичных систем.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод исследования стохастического охлаждения удерживаемых атомов на основе квантовой теории обратной связи для многочастичных систем.

2. Установление и количественный анализ негативного влияния флуктуаций числа атомов на работу стохастического охлаждения.

Определение оптимального разрешения измерения коллективного импульса.

3. Наличие шума за счёт измерения коллективного импульса и флуктуаций числа атомов не запрещают охлаждение газа бозонов ниже температуры конденсации Бозе-Эйнштейна.

4. Установление наличия и выяснение природы поперечных эффектов при стохастическом охлаждении и их количественный анализ на основе приближения невырожденного газа. Определение минимального диаметра контролирующего лазерного луча, при котором поперечные эффекты не приводят к нагреванию.

5. Результаты приближённого анализа совместного действия поперечных эффектов, флуктуаций числа атомов и шума за счёт измерения.

6. Сведение многочастичной проблемы непрерывного управления ансамблем бозонов к аналитически решаемой проблеме движения двух тел.

7. Атом-атомные корреляции, возникающие в результате работы обратной связи выражаются в немарковском движении единичного атома в ансамбле, где коллективная координата контролируется посредством марковской обратной связи.

8. Новый способ определения характера атом-атомных корреляций в ансамбле бозонов, основанный на применении обратной связи, позволяющий выявить нарушение неравенства Коши-Буняковского-Шварца и, тем самым, обнаружить неклассичность состояния ансамбля.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждена тремя публикациями в рецензируемых журналах и двумя публикациями в сборниках трудов международных конференций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. На 67-м ежегодном заседании немецкого физического общества "67. Physikertagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft" (Ганновер, Германия, 2003 г.);

2. На международной конференции "8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations" (Пуэбло, Мексика, 2003 г.)

3. На международной конференции "10th Central-European Workshop on Quantum Optics" (Росток, Германия, 2003 г.)

4. На 68-м ежегодном заседании немецкого физического общества " 68. Physikertagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft" (Мюнхен, Германия, 2004 г.)

5. На международной конференции "SPIE Second Internation Symposium on Fluctuations and Мо1зе"(Маспаломас, Гран Канария, Испания, 2004 г.)

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Иванов, Денис Анатольевич

Выводы работы

В настоящей работе была рассмотрена квантовая обратная связь, действующая на многоатомные системы, в случае, когда только коллективные переменные подвержены контролю. Важным качественным различием между этой проблемой и управлением посредством обратной связи единичной квантовой системы является возникновение сильных атом-атомных корреляций, возмущающих процесс обратной связи. Эти корреляции возникают в результате коллективного измерения, содержащегося в петле обратной связи. В общем случае такая ситуация, особенно если число атомов велико, представляет собой очень сложную проблему, поскольку атом-атомные корреляции не позволяют свести многоатомную проблему к проблеме движения единичного атома. Как правило, этот тип задач может быть решен только с использованием приближений. Однако, как было продемонстрировано в работе, для рассматриваемых моделей точное аналитическое описание тем не менее может быть найдено.

В первой главе диссертации обсуждаются общие вопросы теории метода обратной связи в квантовом режиме и современное состояние исследований в данной области. В связи с развитием экспериментальной техники проблема управления физических систем на уровне квантовых шумов приобретает всё большую актуальность. Благодаря этому усилиями многих научных групп была развита довольно полная теория обратной связи для контроля единичных квантовых систем. Однако, ввиду существенной сложности, теория обратной связи для контроля многочастичных (или многомодовых) квантовых систем не была освещена в литературе с достаточной полнотой. Одним из интересных и актуальных приложений многочастичной теории обратной связи является исследование работы метода стохастического охлаждения атомов в ловушках, который, как обсуждалось в гл. 1, может служить эффективным дополнением к методам лазерного и испарительного охлаждения.

Во второй главе представлены оригинальные результаты исследования работы стохастического охлаждения захваченных атомов. Для определения эффектов, ответственных за нагревание и охлаждение, было рассмотрено изменение средней энергии газа, вызванное одним шагом обратной связи. Для этого в начале было получено изменение одноатомной матрицы плотности вследствие применения обратной связи. Эта одноатомная матрица плотности после завершения одного шага обратной связи содержит в общем случае все корреляции высокого порядка в газе, что и является причиной того, что рассматриваемая многоатомная проблема не сводится к задаче о динамике единичного атома.

Используя этот результат для одноатомной матрицы плотности, было выведено выражение для изменения энергии, соответствующее движению атомов параллельно контролирующему лазерному лучу. Эта продольная компонента помимо слагаемого, отвечающего охлаждению, содержит также вклады, ответственные за нагревание. Эти последние возникают из-за наличия измерения полного импульса и флуктуаций числа атомов внутри контролирующего лазерного луча. Было показано, что шум, вызванный процессом измерения, может быть минимизирован с помощью оптимального выбора разрешения измерения, которое оказывается обратно пропорциональным квадратному корню из среднего числа атомов в области обратной связи.

Квантово-статистические средние в выражении для изменения продольной энергии были рассчитаны численно для случая, когда газ находится в состоянии термодинамического равновесия, заданном большим каноническим распределением. Используя эти расчеты, было продемонстрировано, что центрированное положение контролирующего лазерного луча по отношению к атомной ловушке не может обеспечить охлаждения ниже температуры Бозе-Эйнштейн конденсации. Причиной этому являются большие флуктуации числа атомов в конденсированной фазе, которая образуется в центре ловушки. Однако, было показано, что если лазерный луч сдвигается таким образом, что он не пересекается с центром ловушки, то изменение продольной энергии оказывается отрицательным даже для температур ниже точки конденсации. Этот важный результат указывает на возможность применения стохастического охлаждения для получения или, по крайней мере, для стабилизации Бозе-Эйнштейн конденсата.

Более того, было впервые показано, что компоненты изменения энергии, соответствующие движению перпендикулярно контролирующему лазерному лучу (поперечные компоненты), дают ненулевой вклад в полное изменение энергии. Первым эффектом, ответственным за наличие поперечного изменения энергии, является обратное воздействие опосредованного измерения поперечных координат атомов внутри контролирующего лазерного луча. Вторым эффектом является изменяющаяся случайным образом дипольная сила, возникающая из-за наличия поперечного градиента контролирующего лазерного луча. Оба этих эффекта приводят к дополнительному нагреванию системы.

Применяя приближение невырожденного газа, было показано, что поперечные компоненты изменения энергии представляют собой существенный вклад, который не может быть отброшен. В частности, для уменьшения этого поперечного вклада и получения охлаждения необходимо использовать довольно широкие контролирующие лазерные лучи. В пределе большого числа атомов в ловушке было найдено простое аналитическое выражение для минимального радиуса лазерного луча, при котором все еще имеет место охлаждение. Этот минимальный радиус стремится при больших температурах к стационарному значению приблизительно равному 86 % радиуса атомного облака. Это предельное значение определяется в основном эффектом классической природы, возникающим из-за наличия поперечного градиента контролирующего луча.

Сложность численных расчетов не позволила принять во внимание поперечные вклады при ультранизких температурах. Тем не менее, в приближении невырожденного газа было показано, что эти вклады не мешают работе стохастического охлаждения вдали от центра ловушки. Учёт этого результата вместе с выводами численных расчётов указывает на то, что стохастическое охлаждение способно отнимать энергию от газа даже при температурах ниже точки конденсации.

Во второй части диссертации решается проблема движения единичного атома в непрерывно контролируемом квантовом газе. В гл. 3 формулируется проблема и вводится основной математический аппарат. В частности, в этой главе вводится исследуемая модель и на её основании выводится квантовое кинетическое уравнение (уравнение состояния) для многочастичного оператора плотности газа, подверженного непрерывному контролю координаты его центра масс.

Для того чтобы найти движение единичного атома в гл. 4 был применен оригинальный подход, основанный на введении дополнительной вспомогательной системы. Было показано, что для специфической корреляционной функции, комбинирующей динамические переменные единичного атома и центра масс остальных атомов газа, можно найти замкнутое уравнение движения. Эта корреляционная функция преобразуется к совместной функции Вигнера единичного атома и указанной вспомогательной системы. Полученная таким образом функция Вигнера удовлетворяет линейному уравнению Фоккера-Планка и, следовательно, может быть найдена аналитически. Интегрируя по степеням свободы вспомогательной системы, можно найти действительную одноатомную функцию Вигнера, что представляет собой полное аналитическое решение проблемы движения единичного атома.

Для того чтобы нагляднее представить динамику единичного атома, проблема была эквивалентно переформулирована в терминах стохастических дифференциальных уравнений для динамических переменных единичного атома и центра масс "остальных" атомов. Тогда эволюция всей системы может быть с легкостью понята как движение двух связанных гармонических осцилляторов, соответствующих единичному атому и (квази) центру масс. Исключая степени свободы центра масс, была получена замкнутая система стохастических уравнений на динамические переменные единичного атома. В результате эффективного взаимодействия единичного атома с центром масс "остальных" атомов шум, возмущающий движение единичного атома, перестает быть "белым". Таким образом, можно сделать важное заключение - несмотря на то, что обратная связь является марковской, движение единичного атома таковым не является. Вызванные обратной связью многоатомные корреляции влияют на движение единичного атома таким образом, что этот атом обладает, определенным количеством информации о его предыдущих положениях в фазовом пространстве.

Немарковскую природу движения единичного атома можно интерпретировать как результат эффективного взаимодействия этого атома с немарковским резервуаром, образованным всеми "остальными" атомами газа и устройством, осуществляющим контроль посредством обратной связи. В этом смысле контролирующее устройство представляет собой марковскую часть резервуара, а остальные атомы газа отвечают за наличие немарковских характеристик.

Таким образом, в данной работе был найден способ представления проблемы многоатомной обратной связи, при котором многоатомные корреляции могут быть эффективно представлены как результат взаимодействия единичного атома с немарковским резервуаром. Важным достоинством такого подхода является тот факт, что проблема движения единичного атома может быть решена аналитически.

Кроме того, были вычислены средние значения и вариации одноатомных динамических переменных. Было продемонстрировано, что средние отклонения координаты единичного атома от заданного значения можно полностью компенсировать с помощью обратной связи, если число атомов фиксировано. В противном случае, флуктуации числа атомов могут приводить к ситуациям, когда указанные выше отклонения не могут быть эффективно скомпенсированы. Важно отметить, что используемый подход позволяет рассчитать динамику системы даже в этом случае. Было показано, что неопределенности координаты и импульса единичного атома не имеют независящих от времени стационарных решений. Эти неопределенности колеблются с двойной частотой атомной ловушки и амплитудами, определяемыми начальными корреляциями между атомами газа.

Это последнее обстоятельство позволяет предложить новый способ определения характера корреляций ансамбля частиц. Именно, в диссертации показано, что измерение размера атомного облака позволяет зафиксировать наличие корреляций начального состояния ансамбля, при которых нарушатся неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Нарушение этого неравенства не может быть объяснено в рамках классической физики, следовательно, факт его нарушения свидетельствует о том, что система находится в специфическом квантовом состоянии, часто называемом "неклассическим". Таким образом, применение обратной связи коллективной координаты ансамбля частиц позволяет кроме прочего осуществлять проверку состояния системы частиц на "неклассичность", что может найти применение в областях исследований, связанных с квантовой информацией.

Публикации с участием автора

A.I Ivanov D., Wallentowitz S., Walmsley I.A. // Phys. Rev. A - 2003. -Vol. 67. - P. 061401 (R).

A.2 Ivanov D., Wallentowitz S., Walmsley I.A. Quantum noise in stochastic cooling of trapped atoms - Rinton Press, 2003. - Proceedings of The 8th International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations.

A.3 Ivanov D., Wallentowitz S. // J. Opt. В -2004 - Vol. 6. - P. S524.

A.4 Ivanov D., Wallentowitz S. Quantum noise in stochastic cooling of harmonically trapped bosons. - Proceedings of SPIE, 2004. - Vol. 5468.

A.5 Ivanov D., Wallentowitz S. // Phys. Rev. Lett. - 2004. - Vol.93 - P. 260603.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Иванов, Денис Анатольевич, 2005 год

1. Wiseman Н. М., Milburn G. J. // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70.— P. 548.

2. Wiseman H. M. // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 49. - P. 2133.

3. Lloyd S. // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 62. - P. 022108.4. von Neumann J. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics.— Springer, Berlin, 1932.

4. Misra ВSudarshan C. G. 11 J. Math. Phys. 1977. — Vol. 18. — P. 756.

5. Barchielli A., Lanz L., Prosperi G. M. // Nuovo Cimento В. — 1982. — Vol. 72.-P. 79.

6. Caves С. M., Milburn G.J. Ц Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 36. - P. 5543.

7. Neumark M. A. // Dokl. Acad. Sei. USSR. 1943. - Vol. 41. - P. 359.

8. Kraus К. States, Effects, and Operations / Ed. by A. Böhm, J. D. Dollard, W. H. Wooters. — Springer, Berlin, 1983. — Vol. 190 of Lecture Notes in Physics.

9. Breuer H.-P., Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems.— Oxford University Press, 2002.

10. Caves С. M. // Phys. Rev. D. 1986. - Vol. 33. - P. 1643.

11. Mensky M. B. Quantum Measurements and Decoherence. — Kluwer, Dordrecht, 2000.

12. Feynman R. P., F. L. Vernon J. // Ann. Phys. (NY). 1963. - Vol. 24. -P. 118.

13. Zurek W. H. // Phys. Rev. D. 1982. - Vol. 26. - P. 1862.

14. Joos E., Zeh H. D. // Zeits. Phys. B. 1985. - Vol. 59. - P. 223.

15. Wiseman H. M., Milburn G. J. // Phys. Rev. A. — 1994.

16. Wiseman H. M. // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 3840.

17. Wiseman H. M., Milburn G. J. // Phys. Rev. A.— 1992.- Vol. 46.— P. 2853.

18. Horoshko D. B., Kilin S. Y. // Phys. Rev. Lett.- 1997.- Vol. 78.-P. 840.

19. Dunningham J., Wiseman H. M., Walls D. F. // Phys. Rev. A. — 1997. — Vol. 55.-P. 1398.

20. Mancini S., Tombesi P. // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - P. 2466.

21. Vitali D., Tombesi P., Milburn G.J.// Phys. Rev. A. 1998. - Vol. 57. -P. 4930.

22. Mancini S., Vitali D., Tombesi P. // Phys. Rev. A. — 2000. — Vol. 61. — P. 053404.

23. Wiseman H. M., Thomsen L. K. // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. -P. 1143.

24. Thomsen L. K., Wiseman H. M. // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. 65.— P. 063607.

25. Doherty A. C., Jacobs K. // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60. - P. 2700.

26. Giovannetti V., Tombesi P., Vitali D. // Phys. Rev. A.— 1999. — Vol. 60. P. 1549.

27. Doherty A. C., Jacobs K., Jungman G. // Phys. Rev. A.— 2001.— Vol. 63. P. 062306.

28. Thomsen L. K., Mancini S., Wiseman H. M. // Phys. Rev. A — 2002.— Vol. 66. P. 032114.

29. Geremia J. M., Stockton J. K., Mabuchi H. // Science. — 2004.— Vol. 304. P. 270.

30. Wallentowitz S. // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 66. - P. 032114.

31. M. G. Raizen, J. Koga, B. Sundaram et al. // Phys. Rev. A. — 1998.— Vol. 58. P. 4757.

32. Chu S. // Rev. Mod. Phys. 1998. - Vol. 70. - P. 685.

33. Cohen-Tannoudji C. N. // Rev. Mod. Phys. 1998. - Vol. 70. - P. 707.

34. Phillips W. D. // Rev. Mod. Phys. 1998. - Vol. 70. - P. 721.

35. Wineland D., Dehmelt H. // Bull. Am. Phys. Soc.- 1975,— Vol. 20.-P. 637.

36. Hansch T., Schawlow A. // Opt. Commun. — 1975. —Vol. 13. —Pp. 6871.

37. Wineland D., Itano W. // Phys. Rev. A.- 1979.- Vol. 20.- Pp. 15211540.

38. Chu S., Wieman С. // J. Opt. Soc. Am. B. 1989. - Vol. 6. - Pp. 19612288.

39. Phillips W., Metcalf H. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 48. - P. 596.

40. Dalibard J., Phillips W. // Bull. Am. Phys. Soc.- 1985.- Vol. 30.-P. 748.

41. S. Chu, L. Hollberg, J. Bjorkholm et al. // Phys. Rev. Lett.- 1985,-Vol. 55. — P. 48.

42. P. D. Lett, R. N. Watts, C. E. Tanner et al. // J. Opt. Soc. Am. В.— 1989.

43. Dalibard J., Cohen-Tannoudji C. // J. Opt. Soc. Am. В.— 1989.— Vol. 6.- Pp. 2023-2045.

44. Kasevich M., Chu S. // Phys. Rev. Lett. 1992.- Vol. 69.- Pp. 17411744.

45. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser et al. // Phys. Rev. Lett. — 1988.

46. F. Bardou, J. P. Bouchaud, 0. Emile et al. // Phys. Rev. Lett. — 1994.

47. N. Masuhara, J. M. Doyle, J. C. Sandberg et al. // Phys. Rev. Lett.— 1988.-Vol. 61.-P. 935.

48. K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. A. Joffe et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. -Vol. 74. - P. 5202.

49. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews et al. // Science. — 1995. — Vol. 269. P. 198.

50. C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, R. G. Hulet // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 1687.

51. K. B. Davies, M.-O. Mewes, M. R. Andrews et al. // Phys. Rev. Lett.— 1995.-Vol. 75.-P. 3969.

52. Bradley C. C., Sackett C. A., Hulet R. G. // Phys. Rev. Lett.- 1997.-Vol. 78.-P. 985.

53. D. G. Fried, T. C. Killian, L. Willmann et al. 11 Phys. Rev. Lett. -.1998. -Vol. 81.-P. 3811.

54. D. Mohl, G. Petrucci, L. Thorndahl, S. van der Meer // Phys. Rep.— 1980. Vol. 58. - P. 73.56. van der Meer S. // Rev. Mod. Phys. 1985. - Vol. 57. - P. 689.

55. N. Beverini, L. Bracci, G. Torelli et al. // Europhys. Lett.— 1986.— Vol. l.-P. 435.

56. N. Beverini, V. Lagomarsino, G. Manuzio et al. // Phys. Rev. A. — 1988. — Vol. 38. P. 107.

57. N. Beverini, G. Torelli, F. Scuri et al. // Physica Scripta Volume T.— 1988,-Vol. T22.-P. 238.

58. F. M. Crompvoets, H. L. Bethlem, R. T. Jongma, G. Meijer // Nature.— 2001.-Vol. 411.-P. 174.

59. Y. Kishimoto, J. K. Koga, T. Tajima, D. L. Fisher // Phys. Rev. E.— 1997.-Vol. 55.-P. 5948.

60. J. Guo, P. R. Berman, B. Dubetsky, G. Grynberg // Phys. Rev. A.— 1992.-Vol. 46.-P. 1426.

61. J.-Y. Courtois, G. Grynberg, B. Lounis, P. Verkerk // Phys. Rev. Lett.— 1994,-Vol. 72.-P. 3017.

62. D. R. Meacher, D. Boiron, H. Metcalf et al. // Phys. Rev. A.— 1994.— Vol. 50.-P. R1992.

63. M. Kozuma, K. Nakagawa, W. Jhe, M. Ohtsu // Phys. Rev. Lett.—1996. Vol. 76. - P. 2428.

64. Raizen M. G., Salomon C., Niu Q. .] Physics Today. — 1997.— July.

65. K. W. Madison, C. F. Bharucha, P. R. Morrow et al. // Appl. Phys. B. —1997.-Vol. 65.-P. 693.

66. Fetter A. L., Walecka J. D. Quantum Theory of Many-Particle Systems. — McGraw-Hill, New York, 1971.

67. Louisell W. H. Quantum Statistical Properties of Radiation.— Wiley, New York, 1973.

68. Grossmann S., Holthaus M. // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 3495.

69. F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari // Rev. Mod. Phys.— 1999.-Vol. 71.-P. 463.

70. Gajda M., Rzazewski K. // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78. - P. 2686.

71. Politzer H. D. // Phys. Rev. A. 1996. - Vol. 54. - P. 5048.

72. Pethick G. J., Smith H. Bose Einstein Condensation in Dilute Gases.— Cambridge University Press, 2002.

73. Numerical Recipe in C: The art of scientific computing / W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. — Cambridge university press, 1992.

74. Ashkin A. // Phys. Rev. Lett. 1970. - Vol. 24. - P. 156.

75. S. Chu, J. Bjorkholm, A. Ashkin, A. Cable // Phys. Rev. Lett. — 1986.— Vol. 57. P. 314.

76. Schleich W. P. Quantum Optics in Phase Space.— Wiley-VCH, Berlin, 2001.

77. Mancini S., Vitali D., Tombesi P. // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61. -P. 053404.

78. Lye J., Hope J., Close J. // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 67. - P. 043609.

79. Agarwal G. S. // Phys. Rev. A. 1971. - Vol. 4. - P. 739.

80. Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S. // Phys. Rev. 1930. - Vol. 36. - P. 823.

81. Chandrasekhar S. // Rev. Mod. Phys. 1943. — Vol. 15. — P. 1.

82. Mensky M. В., Stenholm S. // Phys. Lett. A. 2003. - Vol. 308. - P. 243.

83. Lindblad G. // Rep. Math. Phys. 1976. - Vol. 10. - P. 393.

84. Caldeira A. O., Leggett A. J. // Physica A. 1983. — Vol. 121. - P. 587.

85. Unruh W. G., Zurek W. H. // Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 40. - P. 1071.

86. Intravaia P., Maniscalco S., Messina A. // Phys. Rev. A.— 2003.— Vol. 67.-P. 042108.

87. S. Maniscalco, J. Piilo, F. Intravaia et al. // Phys. Rev. A.— 2004.— Vol. 69.-P. 052101.

88. Senitzky I. R. // Phys. Rev. 1960. - Vol. 119. - P. 670.

89. Carmichael H. An Open System Approach to Quantum Optics.— Springer, Berlin, 1993.

90. Gardiner C. W., Zoller P. Quantum noise. — Springer, 2000.

91. Diosi L. 11 Physica A. 1993. - Vol. 194. - P. 517.

92. Hu B. L., Paz J. P., Zhang Y. // Phys. Rev. D.— 1992.- Vol. 45.-P. 2843.

93. S. Maniscalco, F. Intravaia, J. Piilo, A. Messina //J. Opt. B.— 2004.— Vol. 6.-P. S98.

94. Gallis M. R. // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 48. - P. 1028.

95. Stenholm S. / / Quantum Dynamics of Simple Systems / Ed. by G.-L. Op-po, S. M. Barnett, E. Riis, M. Wilkinson. — 1996.

96. Korepin V., Bogoliubov N., Izergin A. Quantum inverse scattering method and correlation functions. — Cambridge University Press, 1993.

97. S. A. Haine, A. J. Ferris, J. D. Close, J. J. Hope // Phys. Rev. A.— 2004.-Vol. 69.-P. 013605.100. van Kampen N. G. Stochastic processes in Physics and Chemistry.— North-Holland, Amsterdam, 1981.

98. Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Springer, Berlin Heidelberg, 1989.

99. Gardiner C. W. Handbook of Stochastic Methods. — Springer, 2002.

100. Lankaster P. Theory of Matrices. — Academic Press, New York, 1969.

101. T. Fischer, P. Maunz, P. W. H. Pinkse et al. // Phys. Rev. Lett. 2002. -Vol. 88. - P. 163002.

102. Kimble H., Dagenais M., Mandel L. // Phys. Rev. Lett.— 1977.— Vol. 39.-P. 691.

103. Carmichael H. JWalls D. F. // J. Phys. B. 1976. - Vol. 9. - P. 1199.

104. Grangier P., Roger G., Aspect A. // Europhys. Lett. — 1986.— Vol. 1.— P. 173.

105. P. Grangier, G. Roger, A. Aspect et al. // Phys. Rev. Lett.— 1986.— Vol. 57. P. 687.

106. Zubairy M. S. // Phys. Lett- 1982.-Vol. 87A. — P. 162.

107. Reid M. D., Walls D. F. // Phys. Rev. Lett 1984. - Vol. 53. - P. 955.

108. Yasuda M., Shimizu F. // Phys. Rev. Lett.- 1996.- Vol. 77.- P. 3090.

109. S. Foiling, F. Gerbier, A. Widera et al. // Nature. 2005. - Vol. 434.-P. 481.

110. Morrow N. V.Dutta S. K., Raithel G. // Phys. Rev. Lett.- Vol. 88.-P. 093003.

111. M. Andrews, M.-O. Mewes, N. van Druten et al. // Science.— 1996.— Vol. 273. P. 84.

112. J. Lye, B. Cuthbertson, H.-A. Bachor, J. Close // J. Opt B.— 1999.-Vol. 1.- P. 402.

113. Формальное представление действия петлиобратной связи

114. Тр = ¡(IX /с^/ёл/М{д)М*(я') ехр IX(я-я').гг=0 п•1.1)1.2)

115. Замечая, что степени X могут быть получены как производные экспоненциальной функции, выражение (1.2) преобразуется к виду

116. Тр = ¡(IX¡Од/ йд' М(д)М*(д')оо0(д, д').п ехр гХ(д-д')}01.3)

117. Осуществляя теперь интегрирование по частям в каждом слагаемом этого ряда столько раз сколько необходимо для исчезновения производных от соответсвующих экспонент, получаем

118. Тр = ¡(IX ¡(¡д/ёд'М*^') ехр 1Х(д-д').1. ОО (П Г Л Л1. М(9)Р,0(9,вО.,

119. Используя формулу Лейбница1.4)и следующее соотношениедкчд(д,д') = НХ)кдЫ), (1.6)действие обратной связи приобретает вид

120. Тр = ¡(IX ¡¿ч} <ЦМ.*(4) ехр 1Х{д-4)\хЁе(") (~Со)"Н)к УГ*М(д)Р,хАд(д,<Л.„. (1.7)п=оыз \к) п\

121. Теперь можно осуществить в этом уравнении интегрирование по I и д', что приводит к1. Тр = 2тг/ с^М*(д)1. ОО1. Л А » А

122. ХЕЕ , 4 У д^М(д) Р, Хк0(Я, д).п. (1.8)п=оы}\к) п\

123. Производные функции М.(о) могут быть представлены с помощью полиномов Эрмита Нп(х) следующим образом(-1)^^ я^Ы)м(д). (1.9)л

124. Оператор 0(д, д) в свою очередь может быть записан в виде следующего ряда00 (пп\т Ло(в.«) = 1:МЧ*.Д»- (1.10)771=0 т

125. Подставляя теперь выражения (1.10) и (1.9) в (1.8) и заменяя переменную интегрирования в соответствии с д —» #/<то, действие обратной связи получается в видеоо оо 71 /гЛ (л\т(А\к\т/-пггп-к-т

126. Р = 2.ЕЕЕГ ( } (), 0 Р^[х,р.т]пхI (1д\мт2<ГНг^{ч), (1.11)где было использовано следующее определение1. Шя) =1 ехр(-д2).2тг3

127. Для того чтобы оставить только неисчезающие слагаемые в (1.11), индекс суммирования т может быть заменён на I в соответствии с (1.12). Нижний предел изменения I будет тогда являться минимальным натуральным числом 1о, удовлетворяющим неравенству

128. Используя затем (1.12), можно получить выражение (3.23) для действия обратной связи, в котором все слагаемые, вообще говоря, отличны от нуля.1.. Операторные соотношения

129. Для доказательства соотношений (4.6), (4.7) и (4.8) рассмотрим1. А Акоммутатор оператора С(х, х\ С) и произвольного оператора О. ИспользуяЛопределение С(х, х'\ С), выражение (4.2), этот коммутатор может быть записан как

130. С(£,а/;С),6. = ф\х')ехр(гС1-0),б\ф(х)ф\х') ехр (¿<2 • с) ф(х), бф\х'), б. ехр • С) ф{х). (11.1)

131. Для того чтобы вычислить коммутационные соотношения в правой части1. Л Лэтого выражения, можно заметить, что для любых операторов А и Ввыполняется следующееоо 2

132. В. = £ ^А, В]п еА = Е И, В]п.11.4)

133. При нахождении этого результата также были использованы очевидные коммутационные соотношениягР1. X, Н. =1. Р,Н. = -т{ Щш^Х.2т(Ы)

134. Используя выражения (Н.5)-(Н.8) и (Н.З), получаем1. П.9)ехр (гЦ-С),Н ехр(гО-С) ,Х1.^-дх Ы(й)и20ХдР) ехр • с) , (11.10)1.\ /ехрг^-С ),Р2т(1Ч) = —^-^ехр^д-С),-^-^ехр(гд-С).11.11) (11.12)

135. Имея также коммутационные соотношениях

136. Ш,Х. = щф(х), ф(х),р] = -гдхф{х),11.13)11.14)11.15)выражения (4.6), (4.7) и (4.8) получаются подстановкой (Н.10)-(П.12) и (П.13)-(И.15) в (Н.1).

137. Анти-коммутатор {С{х, х'\ С),Х} может быть записан в виде

138. С(х,х'; в)Д} = ф\х')ехр(ъС1-0^\ф(х),х'ф\х') ехр (гС} • в) ,Х ф(х) +{$(х'),х}ехр • в) ф(х). (11.16)

139. Подставляя в этом выражении вместо анти-коммутатора следующее соотношениеф\х),Х} = 2ф\х)Х ф\х),Х., (Н.17)и используя затем выражения (II. 11) и (11.14), искомый анти-коммутатор может быть преобразован к виду2ф.{х')Хехр (гС1 • в) ф(х). (11.18)

140. С помощью теоремы Бекера-Хаусдорфа (II.2) множитель в последнем слагаемом в (11.18) может быть переписан как

141. Хехр(г(2-С) = -г|5рехр(гХР)}ехр(гРх)ехр(г(52(Л011.19)

142. Подставляя теперь этот результат в последнее слагаемое (11.18), можно получить окончательное выражение для анти-коммутатора (4.9).