Управление линейными системами с интервальными параметрами с обеспечением заданного качества процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Александрова, Софья Александровна

• Александрова, Софья Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Александрова, Софья Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Обзор существующих методов

1.1 Методы анализа параметрически неопределенных систем

1.2 Методы синтеза параметрически неопределенных систем

1.3 Причины возникновения неопределенностей в математическом описании исследуемого технического объекта

Выводы по главе 1

Глава 2 Описание и анализ интервального объекта

управления

2.1 Описание объекта управления

2.2 Ранжирование неопределённостей матрицы состояния

интервального объекта управления

Выводы по главе 2

Глава 3 Синтез закона управления для интервального объекта

управления

3.1 Синтез медианного модального управления

3.1.1 Концепция управляемой относительной интервальности

3.1.2 Качественное исследование относительной интервальности матрицы как показателя достижения робастности

3.1.3 Введение буферной системы

3.1.4 Алгоритм синтеза робастного медианного модального закона управления, базирующегося на концепции относительной интервальности следа матрицы состояния замкнутой системы

3.2 Синтез пропорционально-интегрального регулятора для интервального объекта управления с настраиваемыми параметрами

Выводы по главе 3

Глава 4 Прикладные задачи управления с обеспечением заданных

показателей качества процессов

4.1 Описание АИН и технических требований к преобразователю напряжения

4.2 Выбор структуры повышающего преобразователя

4.3 Основные проблемы проектирования мостового преобразователя напряжения постоянного тока высокой мощности

4.4 Описание функционирования мостового преобразователя напряжения

4.5 Описание и анализ линейной модели повышающего преобразователя

4.6 Описание опытного образца исследуемого повышающего преобразователя

4.7 Синтез медианного модального закона управления, базирующегося на концепции относительной интервальности следа матрицы состояния замкнутой системы

4.8 Синтез ПИ-регулятора с настраиваемыми параметрами

Выводы по главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Приложение А. Подбор параметров мостового преобразователя

напряжения постоянного тока мощностью 100 кВт

Приложение Б. Программа расчета параметров для исследуемого ^^

преобразователя

Приложение В. Акт о внедрении

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

АД - асинхронный двигатель;

АИН - автономный инвертор напряжения;

БС - буферная система;

ВЧ - высокочастотный (трансформатор);

ЗУ - закон управления;

ИН - инвертор напряжения;

ИХП - интервальный характеристический полином;

КПД - коэффициент полезного действия;

ОС - обратная связь;

ОУ - объект управления;

САУ - система автоматического управления;

ПЧ - преобразователь частоты.

ZVS - Zero Voltage Switching

ZCS - Zero Current Switching

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление линейными системами с интервальными параметрами с обеспечением заданного качества процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Реальные системы управления разрабатываются и функционируют в условиях, когда значения параметров их элементов известны неточно, что приводит к неопределенности задания параметров моделей, описывающих данные системы. Еще одной причиной появления неопределенности параметров моделей объектов и систем является способ получения их математического описания. Однако, несмотря на присутствие параметрических неопределенностей, выходные переменные проектируемых систем управления и показатели качества процессов должны удовлетворять требованиям, предъявляемым в технических заданиях.

Таким образом, задача обеспечения требуемых показателей качества выхода системы при неопределенности задания параметров математической модели объекта является важной и актуальной. Одним из условий ее решения является правильное распределение ресурсов управления подобными объектами. Для того, чтобы осуществить данное распределение, в работе предложены методы ранжирования неопределённых параметров по уровню влияния их на выход системы. Также ранжирование неопределенностей при условии большого их числа в модели исходного объекта предоставляет возможность разработчику сократить их число путем исключения из рассмотрения при анализе и синтезе замкнутой системы параметров, вариации которых относительно номинального значения характеризуются незначительным влиянием на выход системы.

В данной работе неопределенные параметры представлены в интервальной форме. Объектом управления, рассматриваемым в практической части работы, является мостовой преобразователь напряжения постоянного тока с широким диапазоном напряжения его питания. Такие приборы используются в различных областях техники. Для решения наиболее важной технической задачи, одновременного достижения высоких показателей преобразования энергии и высокой степени надежности, зачастую недостаточно лишь

проработки силовой схемы. В этом случае использование современных подходов робастного управления объектами в условиях, когда их математические модели содержат неопределенные параметры, позволяет достичь поставленные цели.

Степень разработанности темы исследования. Несмотря на то, что большое количество работ отечественных и зарубежных ученых, таких как Б.Р. Андриевский, В.Н. Буков, А.А. Бобцов, И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, Б.Н. Петров, Б.Т. Поляк, Н.Д. Поляхов, В.В. Путов, Е.Н. Розенвассер, В.Ю. Рутковский, А.В. Ушаков, В.Н. Фомин, А.Л. Фрадков, А.М. Цыкунов, Я.З. Цып-кин, В.А. Якубович и других, посвящены робастному и адаптивному управлению системами с неопределенными параметрами, данная задача редко рассматривается одновременно с задачей обеспечения требуемых показателей качества процессов проектируемой системы. На сегодняшний день поиск математически простых алгоритмов решения данной задачи является перспективным и важным направлением исследования. В работе же в развитие распространенного подхода В.Л. Харитонова исследования робастности интервальных объектов предложено использование оценок относительной интервальности компонентов их математического описания, которые используются при постановке задачи обеспечения заданных показателей качества процессов проектируемой системы.

Цель работы: анализ математических моделей технических объектов с параметрической неопределённостью и синтез алгоритмов управления ими с целью обеспечения заданных показателей качества процессов, то есть инвариантности выхода проектируемой системы к неопределенности параметров математической модели исходного объекта.

Задачи, решенные в процессе достижения поставленной цели: 1. Предложен метод исследования робастной устойчивости систем с интервальными параметрами с использованием понятия относительной интервально-сти следа матрицы состояния.

2. Предложены методы ранжирования неопределённостей системных параметров на базе вычисления грамианов управляемости: путем определения их сингулярных чисел и путем решения обобщенных уравнений.

3. Предложен метод синтеза робастного медианного модального закона управления, базирующийся на концепции относительной интервальности следа матрицы состояния и обеспечивающий робастность выхода замкнутой системы к неопределенности системных параметров математической модели объекта управления.

4. Предложен метод синтеза пропорционально-интегрального регулятора с настраиваемыми параметрами, обеспечивающий робастность выхода замкнутой системы к неопределенности системных параметров математической модели объекта управления.

5. Проведен анализ функционирования нелинейной модели мостового преобразователя напряжения. На основе анализа линейной модели преобразователя, отражающей основные закономерности функционирования, разработан алгоритм выбора величины добавочной индуктивности мостового преобразователя напряжения, необходимой для достижения мягкой коммутации.

6. Предложенные алгоритмы управления применены для модели преобразователя, проведена их верификации на макете опытного образца, рассматриваемого ОУ.

Научная новизна. В работе предложены методы синтеза закона управления для параметрически неопределенных объектов с интервальным математическим описанием. Также в работе предложено развитие метода В.Л. Харитонова для исследования робастной устойчивости систем с интервальными параметрами путем использования понятия относительной интервальности. Предложено использовать значение интервальности следа матрицы состояния для анализа робастности системы с интервальными параметрами. Предложен метод для выбора и определения ключевого параметра исследуемого технического объекта. Также для исследуемого технического объекта разработан метод синтеза типового пропорционально-интегрального регулятора с настраивае-

мыми параметрами для повышения эффективности его работы. Проведены экспериментальные исследования, подтверждающие справедливость полученных результатов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в работе алгоритмы управления могут использоваться для синтеза систем управления, в составе которых присутствуют объекты с интервальными параметрами.

Методы управления исследуемым техническим объектом, предложенные в данной работе, могут быть развиты для разработки систем управления преобразователями с широкими диапазонами напряжения питания и нагрузки.

Методология и методы исследования. Теоретические результаты получены с помощью современных методов линейного робастного управления, преобразования Лапласа, анализа дифференциальных уравнений, алгебры интервальных чисел, теории матриц. Апробация полученных результатов проведена численным моделированием в пакете МайаЬ, а также экспериментальными исследованиями, проведенными в процессе разработки повышающих преобразователей в АО «НИИ ТМ».

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм синтеза робастного медианного модального закона управления, базирующегося на концепции относительной интервальности следа матрицы состояния замкнутой системы.

2. Алгоритм ранжирования неопределённостей системных параметров на базе вычисления грамианов управляемости: путем определения их сингулярных чисел и путем решения обобщенных уравнений.

3. Алгоритм синтеза пропорционально-интегрального регулятора с настраиваемыми параметрами для мостового преобразователя напряжения постоянного тока, позволяющего обеспечить нагрузку требуемой мощностью путем изменения частоты коммутации транзисторов в зависимости от величины напряжения питающей сети.

Степень достоверности полученных результатов. Достоверность полученных результатов обеспечена строгим формализмом поставленных задач,

корректным описанием электрических процессов, корректным использованием математического аппарата, подтверждением теоретических результатов путем моделирования в пакете MatLab, сопоставлением полученных результатов с экспериментальными.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

1. «XII Всероссийское совещание по проблемам управления» -ВСПУ-2014, 16-19 июня 2014, ИПУ РАН, Москва, Россия.

2. «Информационные технологии в управлении» - ИТУ-2014, 7 - 9 октября 2014, АО «Концерн ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.

3. «XLIV научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО», 3 - 6 февраля 2015, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия.

4. «XLV Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО», 2 - 6 февраля 2016, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия.

5. «Информационные технологии в управлении» - ИТУ-2016, АО «Концерн ЦНИИ «Электроприбор», 4-6 октября 2016, Санкт-Петербург, Россия.

6. «VI Конгресс молодых ученых» - КМУ-2017, Университет ИТМО, 18 - 21 апреля 2017, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия.

7. «International Conference on Information and Digital Technologies 2017» - IDT 2017 (Международная конференция по информатике и цифровым технологиям), 5 - 7 июля 2017, Жилина, Словакия.

8. «8th International Conference on Physics and Control» - PhysCon 2017 (8-ая Международная конференция по физике и управлению), 17 - 19 июля 2017, Флоренция, Италия.

9. «XLVII Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО», 30 января - 2 февраля 2018, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия.

10. «Юбилейная XX конференция молодых ученых с международным участием «Навигация и управление движением», 20 - 23 марта 2018, АО «Концерн ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.

11. VII Конгресс молодых ученых (КМУ) - КМУ-2018, 17 - 20 апреля 2017, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, Россия.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 15 работ, из которых 5 публикаций входят в издания из перечня ВАК, 2 - в базу Scopus и Web of Science, 6 статей опубликовано по материалам конференций.

Личный вклад автора. Автором диссертационной работы были проведены как теоретические, так и экспериментальные исследования в процессе разработки мостовых повышающих преобразователей напряжения высокой мощности с мягким переключением, математическое описание которых содержит параметрические неопределенности.

Глава 1

Обзор существующих методов анализа и синтеза систем с параметрической неопределенностью

В данной главе приведен аналитический обзор существующих методов анализа и синтеза систем с параметрическими неопределенностями. Сформулировано обоснование необходимости математического описания рассматриваемого класса объектов управления как параметрически неопределенного.

1.1 Методы анализа параметрически неопределенных систем

Удобным средством описания объектов и систем с неопределенностями являются интервальные модели [1-3]. Предположение о том, что параметры объекта или системы не известны точно, а находятся в некоторой ограниченной области, является широко распространенным в современной теории управления. Существует несколько подходов к исследованию устойчивости объектов такого класса. Одним из самых часто используемых подходов является метод В.Л. Харитонова. Широкое распространение получил метод линейных матричных неравенств. Последнему методу посвящено достаточно большое количество работ [4-6], в которых исследуется расположение корней в областях, гарантирующих робастную устойчивость проектируемых систем. Также множество работ посвящено корневым подходам анализа, основанным на реберной теореме [7, 8] и корневых годографах [9, 10, 11].

Для объектов, которые могут быть описаны интервальными моделями, В.Л. Харитонов предложил алгебраически простой метод [12, 13], отличительной чертой которого является использование четырех угловых полиномов для представления всех возможных комбинаций интервальных

параметров. В дальнейшем эта идея была развита и использована во многих работах [13-21].

Анализ линейных систем с параметрической неопределенностью позволяет сформировать условия параметрической инвариантности выхода проектируемой системы, позволяющие определить возможности и ограничения решения задачи обеспечения робастности. Анализ выполнения подобных условий позволяет разработчику оперативно принять решение о целесообразности синтеза системы управления выбранным способом, что позволяет сократить вычислительные затраты на анализ интервального характеристического полинома спроектированной замкнутой системы. Далее приведем наиболее важные методы, позволяющие получить подобные условия:

- Решение матричных уравнений методом канонизации, на базе которых в работе [22] получены и обосновываются необходимые и достаточные условия инвариантности по выходу линейной стационарной системы без запаздывания и ограничений на управление, матрицы описания которой (состояния, управления, выхода и внешних возмущений) известны, и элементы которых заданы фиксированными параметрами.

- Аппарат функций траекторной чувствительности, на аналитической базе которых в [23] решена задача формирования необходимых и достаточных алгебраических условий инвариантности выхода линейной стационарной системы к вариации параметров. Условия сформированы на представлении матрицы чувствительности матрицы состояния исследуемой системы.

При невыполнении условий достижения параметрической робастности по выходу перед разработчиком может появиться задача расширения модели исследуемого объекта, задача проведения анализа системы с целью сокращения числа неопределенностей путем исключения из рассмотрения при анализе и синтезе замкнутой системы параметров, вариации которых относительно номинального значения характеризуются незначительным влиянием на выход

системы [24]. Данную возможность предоставляет ранжирование неопределенных параметров.

1.2 Методы синтеза параметрически неопределенных систем

Большой вклад в развитие адаптивных и робастных систем автоматического управления (САУ) в условиях параметрической неопределенности внесли многие отечественные и зарубежные ученые, такие как И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Г. Александров, Б.Р. Андриевский, В.Н. Буков, С.Д. Земляков, П. Иоанноу, А.Г. Ивахненко, А.А. Красовский, Ю.И. Неймарк, А.В. Небылов, Б.Н. Петров, Б.Т. Поляк, В.Ю. Рутковский, А.В. Ушаков, А.Л. Фрадков, В.Н. Фомин, Я.З. Цыпкин, П. Эйкхофф и др.

Из адаптивных методов управления параметрически неопределенными системами можно отметить метод последовательного компенсатора (А.А. Бобцов, см., например, работы [25, 26]). Далее данный подход был развит в работах [27, 28] и применен в различных областях техники. Однако недостатком данного метода является то, что синтезируемый закон управления не гарантирует стабильность показателей качества процессов в замкнутой системе.

С момента публикации в 1978 году теоремы В.Л. Харитонова на её основе было сформулировано и решено множество проблем робастного управления. Подходы к синтезу робастного управления, сформулированные на базе теоремы В.Л. Харитонова, приведены в следующих работах: в [29 - 31] приведены методы синтеза робастных регуляторов, основанные на развитии теоремы Харитонова: семейство интервальных полиномов замкнутой системы разбивают на сегменты Харитонова. В этом случае для того, чтобы проектируемая система являлась устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все сегменты были устойчивыми. Теорема Харитонова применена и в развитии методов синтеза грубого робастного Н» -регулятора [32], которые получены в

предположении о существовании определенных решений многопараметрических уравнений Риккати и одновременном контроле выполнения необходимых и достаточных условий, сформированных на базе теоремы Харитонова. Также на базе данной теоремы получило развитие применение генетических алгоритмов синтеза робастных по выходу систем

[33].

Приведенные подходы характеризуются алгебраической сложностью и трудностью их применения для решения прикладных задач, в частности, управления преобразователями напряжения с широтно-импульсным регулированием. Расчет параметров подобных устройств требует зачастую больших временных ресурсов, а описание математической модели данного вида систем осложнено ввиду их переменного состояния (импульс и пауза для непрерывного режима тока, а для прерывистого режима тока добавляется и третий период). Разработка и верификация систем управления на практике чаще всего имеет ограничения, обусловленные аппаратными средствами и заданными сроками разработки, поэтому всегда существовала и существует востребованность компактных робастных алгоритмов. Также рассмотренные методы имеют ряд ограничений в виде условий для их применения в прикладных задачах разработки систем автоматического управления, поэтому можно сделать вывод о необходимости разработки новых и развития существующих подходов анализа и синтеза параметрически неопределенных систем.

Для импульсных преобразователей также часто используется подход подчинённого регулирования [34, 35], который включает внутренний контур регулирования тока и внешний - напряжения [36]. Регуляторы по току могут быть двух типов: по пиковому или по среднему значению тока. Данный подход находит применение в системах с фиксированной частотой широтно-импульсного регулирования.

В литературе же представлены подходы повышения КПД путем построения замкнутой системы на основе изменения частоты широтно-

импульсного регулирования для случая, когда нагрузка изменяется в диапазоне 5-100% [37, 38]. Выбор частоты производят из условий достижения мягкой коммутации, в аналитическое описание которых входят такие величины, как ёмкости коллектор-эмиттер для схем, реализованных на ЮВТ -транзисторах, которые применены в исследуемом техническом объекте, а для MOSFET-транзисторов - ёмкости сток-исток, определение которых на практике практически невозможно. Решением данной проблемы является шунтирование силовых транзисторов конденсаторами, номиналы которых известны и на порядок выше паразитных ёмкостей, что влечет за собой необходимость увеличения добавочной индуктивности также на порядок. Для преобразователей средней и высокой мощности данное решение нереализуемо из-за высоких пиковых токов, коммутируемых силовыми транзисторами. А для преобразователей малой мощности при изменении напряжения питания и при условии отсутствия информации о паразитных емкостях методик по подбору величины добавочной индуктивности не существует.

1.3 Причины возникновения неопределенностей в математическом описании исследуемого технического объекта

Исследуемым объектом управления является мостовой преобразователь напряжения постоянного тока высокой мощности. Подобные преобразователи применяются в различных отраслях промышленности, например, в судовых энергосистемах, на объектах нефтяной и железнодорожной промышленности. Преобразователи данного вида входят в состав частотных преобразователей, которые находят широкое применение при управлении двигателями переменного тока при питании от сети напряжения постоянного тока, величины которого недостаточно для преобразования его в переменное трехфазное напряжение 380 В.

Потребность специального подхода к математическому анализу преобразователей с широтно-импульсным регулированием вызвана рядом причин:

- наличие динамических потерь, обусловленных коммутационными процессами силовых полупроводниковых элементов;

- силовые полупроводниковые элементы преобразователя - диоды, тиристоры, транзисторы - являются неидеальными силовыми ключами;

- широкий диапазон напряжения питания;

- отсутствие важных параметров в технической документации на силовые элементы различных производителей;

- изменение сопротивления нагрузки в зависимости от нагруженности исполнительного устройства;

- способы получения линеаризованной математической модели ввиду периодической коммутации силовых полупроводниковых элементов;

- для трансформаторных преобразователей появляются сложности оценивания величин индуктивностей рассеяния обмоток ВЧ трансформатора, так как они зависят от конструкции сердечника, взаиморасположения обмоток, от частоты и других факторов;

- для мостовых преобразователей напряжения достаточно трудно определить индуктивность необходимую и достаточную для достижения режима мягкой коммутации силовых транзисторов;

- наличие влияния преобразователя на источник питания [39].

Выводы по главе 1

В данной главе приведен краткий аналитический обзор существующих методов анализа и синтеза систем с параметрическими неопределенностями. Существующие методы синтеза робастных регуляторов для систем с неопределенными параметрами редко рассматривают одновременно с задачей обеспечения параметрической инвариантности по выходу задачу обеспечения

требуемых показателей качества процессов проектируемой системы. На сегодняшний день поиск математически простых алгоритмов решения данной задачи является перспективным и важным направлением исследования. Показано, что развитие метода В.Л. Харитонова открывает множество возможностей для развития методов исследования робастной устойчивости систем с интервальными параметрами.

Также в данной главе обоснована необходимость математического описания рассматриваемого класса объектов управления как параметрически неопределенного.

Глава 2

Описание и анализ интервального объекта управления

В данной главе ставится задача описания объекта управления, которое характеризуется содержанием нескольких неопределенных параметров. Ставится задача распределения ресурсов управления рассматриваемым объектом управления.

2.1 Описание объекта управления

На практике функциональные компоненты реальных систем не всегда известны либо известны неточно, что приводит к параметрической неопределённости, которая обусловлена множеством причин: технологическим разбросом параметров компонентов при производстве, изменением параметров под действием факторов окружающей среды, условий эксплуатации. Действительно, при аналитическом синтезе [40] таких систем используются паспортные данные, при их технической реализации с использованием конкретных функциональных компонентов эти параметры приобретают новые значения. Далее на этапе эксплуатации на системы действуют возмущающие факторы внешней среды (температура, влажность, радиация, вибрации и т.д.), в результате чего параметры функциональных компонентов принимают новые значения. Таким образом появляется проблема параметрической неопределенности [24]. Нечувствительность основных показателей системы к этой параметрической неопределенности называется робастностью [41].

Параметры системы разделяют на физические и системные. Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя передаточной функции при использовании моделей «вход - выход», а также элементы матриц при использовании описания «вход - состояние - выход» называются системными

параметрами. В свою очередь системные параметры определяются физическими параметрами технических систем, таких как, масса, объем, линейные размеры, параметры электрических компонентов и т.д. В данной работе под параметрами будут подразумеваться системные параметры математического описания ОУ.

В настоящей работе принята интервальная форма [42] представления неопределенности параметров. В этом случае параметры системы задаются парой чисел, определяющих границы возможного изменения конкретного параметра функционального компонента.

Следует отметить, что если в состав проектируемой системы входит ОУ с интервальными параметрами, то все ее показатели качества будут являться так же интервальными: время переходного процесса, величина перерегулирования, величина добротности по скорости, норма и собственные числа матрицы состояния проектируемой системы, и, конечно, её след.

Системы, рассматриваемые в данной работе, являются квазистационарными, то есть скорость изменения системных параметров гораздо меньше, чем скорость рассматриваемых переходных процессов, протекающих в системе, что позволяет использовать метод замороженных коэффициентов. Неопределенные параметры представлены интервальными числами, и на протяжении времени функционирования системы считается, что данные параметры имеют постоянные значения, принадлежащие указанным интервалам [43].

Приведем определение интервального числа [44].

Определение 1. Пара чисел (а,а) называется интервальным числом, правое и левое угловые значения которого задаются соответственно числами а и а [45]. Интервальное число можно записать в виде [а] = [а, а] и представить в форме трех компонентов:

[а] = [а, а] = а0 + [Ла] = ао + [Ла,Ла], (2.1)

где компоненты интервального числа [а]: а0 - медианное значение, [Да]-интервальная составляющая, которая центрирована относительно а о, Да, Да -левое и правое угловые значения интервальной составляющей. Компоненты представления (2.1) интервального числа удовлетворяют соотношениям:

а0 = 0,5[а + а], Да = а-а0 , Да = а-а0,Да=-Да. (2.2)

В соотношениях (2.1) и (2.2) а0, а,а, Да, Да являются фиксированными, а не интервальными числами.

Определение 2. По аналогии со скалярным случаем назовем интервальной матрицей [Ы ] матрицу, которая содержит скалярные интервальные

компоненты [Ы^- ]

[ы] = ] I = 1, л) ] = 1, ш\

Как и в случае интервального числа (2.1) представим интервальную матрицу [Ы ] в форме трех компонентов:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Александрова, Софья Александровна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tu, Y. Robust Second-Order Controller Synthesis for Model Matching of Interval Plants and Its Application to Servo Motor Control / Y. Tu, M.-T. Ho. // IEEE Transactions on Control systems technology. - 2012. - No. 2. - P.530-537.

2. Слита, О.В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических возмущений: алгебраический подход/ О.В. Слита, А.В. Ушаков // Изв. РАН. ТиСУ. - 2008. - № 4. - С. 24-32.

3. Datta, A. On a Quantitative Theory of Robust Adaptive Control: An Interval Plant Approach / A. Datta, S.P. Bhattacharyya // IEEE Transactions on Automatic control. - 1996. - Vol. 41, No. 4. - P. 570-574.

4. Malan, S. Robust Analysis and Design of Control Systems Using Interval Arithmetic / S. Malan, M. Milanese, M. Taragna // Automatica. - 1997. -Vol. 33, No. 7. - P. 1363-1372.

5. Chilali, M. Robust Pole Placement in LMI Regions / M. Chilali, P. Gahinet, P. Apkarian // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1999. - Vol. 44, No. 12. - P. 2257-2270.

6. Peaucelle, D. Robust Performance Analysis with LMI-Based Methods for Real Parametric Uncertainty via Parameter-Dependent Lyapunov Functions / D. Peaucelle, D. Arzelier // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2001. -Vol. 46. - No. 4. - P. 624-630.

7. Barmish, B. R. The robust root locus / B. R. Barmish, R. Tempo // Automatica, 1990. - Vol. 26, No. 2. - P. 283-292

8. Barlett, A.C. Root location of an entire polytope of polynomials: it suffices tocheck the edges / A.C. Barlett, C.V. Hollot, H. Lin // Math. Control Signals System. - 1987. - Vol. 1, No. 1. - P. 61-71.

9. Римский, Г. В. Корневые методы исследования интервальных систем / Римский Г. В. [и др.]; - Минск: Ин-т техн. кибернетики НАН Беларуси, 1999. - 186 с.

10. Rimsky, G.V. Root locus methods for robust control systems quality and stability investigations / G.V. Rimsky, A.A. Nesenchuk // IFAC 13th Triennial World Congress: Proceedings/ IEEE. - San Francisco, 1996. - P. 469-474.

11. Henrion, D. Ellipsoidal Approximation of the Stability Domain of a Polynomial / D. Henrion, D. Peaucelle, D. Arzelier, M. Sebec // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2003. - Vol. 48, No. 12. - С. 2255-2259.

12. Харитонов, В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения.

- 1978. - Т.14. - № 11. - С. 2086-2088.

13. Харитонов, В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 11. - С. 169-178.

14. Kharitonov, V.L. Recent results on the robust stability of multivariate polynomials, Circuits and Systems / V.L. Kharitonov, J.A. Torres-Muñoz // IEEE Transactions on Fundamental Theory and Applications. - 2002. - Vol. 49, No. 6. - P. 715 - 724.

15. Kharitonov, V. Double Edge Family: Extreme Point Results/ V. Kharitonov, H. Trejo // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control. -2001. - Р. 1986-1990.

16. Dahleh, M. An overview of extremal properties for robust control of interval plants / M. Dahleh, A. Tesi, A. Vicino // Automatica. - 1993. - Vol. 29, No. 1.

- P. 707-721.

17. Shao, Y. Control of multivariable systems with interval parameters / Y. Shao, Y. Zhang // American Control Conference: Proceedings/ IEEE. - 2004. -P. 3070-3074.

18. Smagina, Y. Robust modal P and PI regulator synthesis for a plant with interval parameters in the state space / Y. Smagina, I. Brewer // American Control Conference: Proceedings/ IEEE - 2000. - P. 1317-1321.

19. Bartlett, A.C. Root Location of an Entire Polytope of Polynomials: It Suffices to Check the Edges / A.C. Bartlett, C.V. Hollot, L. Huang // Mathematics of Control, Signal and Systems. -1988. - No. 1. - P. 61-71.

20. Okuyama, Y. Robust Performance Evaluation for Interval Systems Based on Characteristic Roots Area / Y. Okuyama, F. Takemori // American Control Conference: Proceedings/ IEEE. - 2001. - P. 2963-2969.

21. Akunov, T.A. Ellipsoidal Estimations of Quality of Processes in MIMO Continuous System with an Interval State Matrix under Stochastic Exogenous Signal / T.A. Akunov, S.A. Sudarchikov, A.V. Ushakov // Proceedings of 4th Asian Control Conference . - 2002. - P. 468-470.

22. Буков, В.Н. Условия инвариантности выхода линейных систем / В.Н. Буков, А.М. Бронников //Автоматика и телемеханика. -2005. -№ 2. - С. 23-35.

23. Слита, О.В. Достаточные алгебраические условия параметрической инвариантности выхода линейной стационарной системы в первом / О.В. Слита, А.В. Ушаков // Изв. РАН. ТиСУ. - 2010. - № 6. - С. 16-22.

24. Слита, О.В. Управление в условиях неопределенности: неадаптивные и адаптивные алгоритмы// О.В. Слита, А.В. Ушаков, В.О. Никифиров; -Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 283 с.

25.Бобцов, А.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрадкова/ А.А. Бобцов, Н.А. Николаев // АиТ. - 2005. - № 1. -С.118-129.

26. Бобцов, А. А. Управление по выходу нелинейными системами с неучтенной динамикой/ А. А. Бобцов, А. А. Капитонов, Н. А. Николаев// Автомат. и телемех. - 2010. - № 12. - С. 3-10.

27. Бобцов, А.А. Алгоритм управления по выходной переменной для линейного объекта с неизвестными параметрами и динамической размерностью / А.А. Бобцов, А.А. Пыркин // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2011. - С. 160-161.

28. Adaptive Control System For Quadrotor Equiped With Robotic Arm/ D. Bazylev, K. Zimenko, A. Margun, A. Bobtsov, A. Kremlev // 19Th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (Mmar) : Proceedings/ IEEE. - 2014. - P. 705-710.

29. Chapellat, H. A generalization of Khsritonov's theorem: robust stability of interval plant / H. Chapellat, S.P. Bhattacharya // IEEE Transactions on Automatic control. -1989. -No. 34 (3). - P. 306 - 311.

30. Chapellat, H. Robust stability manifolds for multilinear interval systems/ H. Chapellat, M. Dahleh, S.P. Bhattacharya // IEEE Transactions on Automatic control. -1993. -Vol. 38, No. 2. - P. 314 - 318.

31. Huang, Y.I. Robust PID tuning strategy for uncertain plants based on the Kharitonov theorem/ Y.I. Huang, Y.I. Wang. // ISA. - 2000. - Vol.39, No.4.

- P. 419-431.

32. Chapellat, H. Robust stability under structured and unstructured perturbations/ H. Chapellat, M. Dahleh, S.P. Bhattacharya // IEEE Transactions on Automatic control. - 1990. - No. 35 (10). - P. 1100 - 1108.

33. Chen, P. Automatic design of robust optimal controller for interval plants using genetic programming and Kharitonov theorem / P.Chen, Y. Zailu.// International journal of Computational Intelligence systems. - 2011. - Vol. 4, No.5. - P. 826835.

34. Мелешин, В.И. Транзисторная преобразовательная техника// В.И. Мелешин;

- М: Техносфера, 2005. - 632 с.

35. Мелешин, В.И. Управление транзисторными преобразователями электроэнергии/ В.И. Мелешин, Д.А. Овчинников; - М: Техносфера, 2011.

- 576 с.

36. Matuzu, R. Robust stabilization of interval plants by means of two feedback controllers// International journal of Circuit, systems and signal processing. -2015. - Vol. 9. - P. 427-434.

37. Zhao, L. High efficiency variable-frequency full-bridge converter with a load adaptive control method based on the loss model / L. Zhao, H. Li, Y. Liu, Z. Li // Energies. - 2015. - P. 2647-2673.

38. Mallik, A. Variable Switching Frequency State Feedback Control of a Phase Shifted Full Bridge DC/DC Converter/ A. Mallik, A. Khalib // IEEE Trans. Power Electron. - 2016. - Vol. 32, No. 8. - P. 6523-6531.

39. Глазенко, Т.А. полупроводниковые преобразователи в электроприводах постоянного тока/ Т.А. Глазенко, Р.Б. Гончаренко; - Л:Энергия, 1973. - 304 c.

40. Григорьев, В.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков; -Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1983. - 245 с.

41. Ackermann J. Robust control systems with uncertain physical parameters / J. Ackermann; - London: Springer-Verlag,1993. - 406 p.

42. Akunov, T.A.. Median Control of Continuous Dynamic Plants with Interval Parameters / T.A. Akunov, O.V. Slita, S. A. Sudarchikov, A. V. Ushakov // Journal of Computer and System Sciences International. - 2013. - Vol. 54, No. 4. - P. 535-541.

43. Воронов, А.А. Теория автоматического управления. В 2-х ч/ Ч.1 Теория линейных систем автоматического управления/ А.А. Воронов; -М.: Высшая школа, 1986. - 367 с.

44. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа/ С.А. Калмыков, Ю.И. Шокин, З.Х. Юлдашев; - Новосибирск: Наука, 1986. - 222 с.

45. Moore, R.E. Introduction to Interval Analysis / R.E. Moore, R.B. Kearfott, M.J. Cloud; - SIAM: Philadelphia, 2009. - 234 p.

46. Мирошник, И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими объектами/ И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков; - СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

47. Tu, Y. Robust second-order controller synthesis for model matching of interval plants and its application to servo motor control / Y. Tu, M. Ho // IEEE Trans. Control Systems Technology. - 2012. - Vol. 20, No. 2. - P. 530-537.

48. Aranz, M.C. Empirical approach to robust gramian-based analysis of process interactions in control structure selection / M.C. Aranz, W. Birk, B. Halvvarsson //IEEE Conference on Decision and Control: Proceedings / IEEE - 2011. -P. 6210-6215.

49. Бирюков, Д.С. Грамианные технологии оценки затрат на управление в задаче обеспечения желаемой структуры мод и их робастности / Д.С. Бирюков, О.В. Слита, А.В. Ушаков // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2009. - Т. 52, № 11. - С. 32- 37.

50. Nguyena, D. H. A convex optimization approach to robust iterative learning control for linear systems with time-varying parametric uncertainties / D. H. Nguyena, D. Banjerdpongchai // Automatica. - 2011. - No.47. - P. 2039 -2043.

51. Wicks, M.A. An energy approach to controllability / M.A. Wicks, R.A. DeCarlo // IEEE Conference on Decision and Control. - 1988. - Vol. 3. - P. 2072-2077.

52. Fairman, F.W. Linear Control Theory: The State Space Approach./ F.W. Fairman, - 1998. - 330 p.

53. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц/ Ф. Р. Гантмахер; - 5-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 560 c.

54. Александрова, С.А. Использование грамианных технологий при ранжировании параметрических неопределенностей / С.А. Александрова, О.В. Слита, А.В. Ушаков// Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2015. - Т. 58, № 9. - С. 759-764.

55.Воеводин, В.В., Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов; -М.: Наука, 1984. - 320 с.

56. Smagina, Y. Using interval arithmetic for robust state feedback design / Y. Smagina, I. Brewer // Systems and Control Letters. - 2002. - Vol. 46, №3. -P.187-194.

57. Ушаков, А.В. Обобщенное модальное управление // Изв. вузов. Приборостроение. - 2000 - Т.43, №3. - С.8-15.

58. Григорьев, В.В. Синтез систем автоматического управления методом модального управления / В.В. Григорьев, Н.В. Журавлева, Г.В. Лукьянова, К.С. Сергеев; - СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. - 108 c.

59. Гайдук, А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход) / А.Р. Гайдук; -М.: Физматлит, 2012. - 360 с.

60. Быстров, С.В. Решение проблемы сигнальной неопределенности при аналитическом конструировании последовательного компенсатора в задаче управления пьезоприводом // С.В. Быстров, Н.А. Вундер, А.В. Ушаков / Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2016. - Т. 16, № 3. - С. 451-459.

61. Extreme Point Results for Robust Stabilization of Interval Plants with First Order Compensators/ B.R. Barmish, C.V. Hollot, F.J. Kraus, R. Tempo// IEEE Transactions on Automatic Control. - 1992. - Vol.37, №6. - P. 707-714.

62. Yedavalli, R.K. Robust stability of linear interval parameter matrix family problem revisited with accurate representation and solution // Proceedings of the American Control Conference, 2009. - No. 5. - P. 3710-3717.

63. O'Dwyer, A. Handbook of PI and PID controller tuning rules, 3nd Edition/ A. O'Dwyer; - London: Imperial College Press, 2009. - 623 р.

64. Alexandrov, A. G. Adaptive PID controllers: state of the art and development prospects/ A. G. Alexandrov, M. V. Palenov// Avtomat. i Telemekh. - 2014. -No. 2. - Р. 16-30.

65. Wang, Q. Robust control of nonlinear systems with parametric uncertainty// Q. Wang, R.F. Stengel //Automatica. - 2002. - №38. - С.1591 - 1599.

66. Amato, F. Finite-time control of linear systems subject to parametric uncertainties and disturbances / F. Amato, M. Ariola, P. Dorato // Automatica. - 2001.-No. 37. - P.1459 - 1463;

67. Перов, Б.Н. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами. Инженерные методы анализа и синтеза / Б.Н. Перов, Н.И. Соколов, А.В. Липатов; - М.: Машиностроение, 1986. -256 с.

68. Пушкарев, M^. Параметрический синтез ПИ-регулятора линейной САУ на основе коэффициентов оценок степени устойчивости и заданной

добротности / M^. Пушкарев, С.А. Гайворонский// Томский политехнический университет. - 2012. - Т.320, №5. - C. 85-89.

69. Goyvoronsky, S.A. Robust control of complex dynamic units with interval plant/ S.A. Goyvoronsky, T.A. Ezangin // 2nd International Conference on System and Compute Science (ICSCS): Proceedings/ IEEE - Villeneuve, 2013. - P. 201-204.

70. Alexandrov, A.G. Self-tuning PID-I controller/ A.G. Alexandrov, M.V.Palenov // 18th IFAC World Congress: Proceedings/ IEEE - Milano, 2011. - P. 3635-3640.

71. Синтез робастной непрерывной системы на основе минимизации оценки относительной интервальности следа ее матрицы состояния [Continuous robust system synthesis based on minimization of estimation of the relative intervality of trace of the state matrix] / С.А. Александрова, С.В. Быстров, Н.А. Вундер, О.В. Слита, А.В. Ушаков// Труды СПИИРАН [SPIIRAS Proceedings]. - 2017. - № 6(55). - С. 63-85.

72. Александрова, С.А. Буферная система как структурный способ достижения параметрической инвариантности выхода/ С.А. Александрова, О.В. Слита, А.В. Ушаков// Информационные технологии в управлении (ИТУ-2014): материалы 7-й конференции по проблемам управления/ ЦНИИ «Электроприбор». - Санкт-Петербург, 2014. - С. 24-28.

73. Александрова, С.А. Концепция относительной интервальности в задаче достижения робастности непрерывных систем управления/ С.А. Александрова, О.В. Слита, С.А. Сударчиков // XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014): материалы конференции/ Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН. - Москва, 2014. - С. 929-937.

74. Problem of qualitative investigation of the Kharitonov robust stability of continuous systems/ T.A. Akunov, S.A. Aleksandrova, O.V. Slita, S.A. Sudarchikov, A.V. Ushakov // Journal of Automation and Information Sciences. - 2016, - Vol. 48, No. 8. - P. 46-55.

75. Вольдек, С.В. Электрические машины / С.В. Вольдек; - Л.: Энергия, 1974. - 840 с.

76. Koo, B. Analysis and design of phase shift full bridge converter with series-connected two transformers / B. Koo, G.W. Moon, M. J. Youn // IEEE Trans. Power Electron. - 2004. - Vol. 19, No. 2. - P.411-419.

77. Jang, Y. A new family of full-bridge ZVS converter / Y. Jang, M.M. Jovanovic //IEEE Trans. Power Electron. - 2004. - Vol. 19, No. 3. - P. 701-708;

78. Jain, P.K. Analysis and design considerations of a load an line independent zero voltage switching full bridge DC/DC converter topology / P.K. Jain, W. Kang, H. Soin, Y. Xi // IEEE Trans. Power Electron. - 2002. - Vol. 17, No. 5. - P. 649657.

79. Jang, Y. A new PWM ZVS full-bridge converter/ Y. Jang, M.M. Jovanovic. // IEEE Trans. Power Electron. - 2007. - Vol. 22, No. 3. - P. 987-994.

80. Александрова, С.А. Проблема достижения эпсилон-инвариантности в задаче разработки системы управления преобразователем напряжения/ С.А. Александрова, О.В. Слита// Информационные технологии в управлении (ИТУ-2016): материалы 9-й конференции по проблемам управления / ЦНИИ «Электроприбор». - Санкт-Петербург, 2016. - С. 25-32.

81.Chen, W. А comparative study of a class of full bridge zero-voltage-switched PWM converter / W. Chen, F.C. Lee, M.M. Jovanovic, J.A. Sabate // IEEE Applied Power Electronics Conference Proceedings. - 1995. - P. 893-899.

82. Petrov, R. Optimum design of a high-power, high-frequency transformer // IEEE Trans. Power Electron. - 1996. - P. 33-42.

83. Hurley, W.G. Calculation of leakage inductance in transformer windings / W.G. Hurley, D.J. Wilcox // IEEE Trans. Power Electron. - 1994. - Vol.9, No. 1. - P. 121- 126.;

84. Erickson, R.W. A multiple-winding magnetics mod-el having directly measurable parameters / R.W. Erickson, D. Maksimovic // PESC 98 Record. 29th Annual IEEE Power Electronics Specialists Conference. - 1998. - Vol. 2. - P. 14721478.

85. Jeon, S.J. A Zero-Voltage and Zero-Current Switching Full Bridge DC-DC Converter with Transformer Isolation / S.J. Jeon, G.H. Cho // IEEE Trans. Power Electron. - 2001. - Vol. 16, No. 5. - P. 573-580.

86. Sabate, J.A. Design considerations for high-voltage high-power full-bridge zero-voltage-switched PWM converter / J.A. Sabate, Y. Vlatkovic., R.B Ridel., F.C. Lee, B. Cho // IEEE Applied Power Electronics Conference Proceedings. - 1990.

- P. 275-284.

87. Рама Редди, С. Основы силовой электроники/ С. Рама Редди; - М.: Техносфера, 2006. - 288 с.

88.Александрова, С.А. Моделирование повышающих преобразователей напряжения высокой мощности / С.А. Александрова, О.В. Слита // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2018. - Т. 61, No. 3. -С. 274-280.

89.Чети, П. Проектирование ключевых источников электропитания/ П. Чети; -М. : Энергоатомиздат, 1990. - 240 с.

90. Борисов, П.А. Расчет и моделирование выпрямителей: учеб. пособие. - Ч. I / П.А. Борисов, В.С. Томасов; - СПб.: СПб ГУ ИТМО, 2009. - 169 c.

91. Коршунов, А.И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. - 2006. - № . 8. - С. 21-27.

92. An enhanced model for small-signal analysis of the phase-shifted full-bridge converter / G. Di Capua, S. A. Shirsavar, M. A. Hallworth, N. Femia // IEEE Transactions on Power Electronics. - 2004. - Vol. 30, No. 3. - 1567-1576.

93. Small-signal analysis of the phase-shifted PWM converter/ V. Vlatkovic, J. A. Sabate, R. B. Ridley, F. C. Lee, B. H. Cho //IEEE Trans. on Power Electr. - 1992.

- Vol.7, No. 1. - P.128-135.

94. Xin, Z. Small Signal model for Boost Phase-shifted Full Bridge converter in High Voltage application/ Z. Xin, R. Xinbo, C. Wu // Proc. IEEE Energy Convers. Congr. Expo. - 2009. - P. 2980-2984.

95. Measuring the excitation current in transformers using hall effect sensors/ L.R. Vanderson, C. S. F. Raimundo, A. L. Benedito, C. L. Petrov, S. Ewaldo // International Instrumentation and Measurement Technology Conference (I2MTC): Proceedings/ IEEE - Montevideo, 2014. - P. 960-963.

96. Метод подбора добавочной индуктивности мостового преобразователя напряжения c мягким переключением/ С.А. Александрова, А.П. Баев, М.Р. Гончаренко, Н.А. Николаев, О.В. Слита// Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. -2017. - Т. 20, No. 3. - С. 220-225.

97. Method of additional inductance selection for full-bridge boost converter/ S. Alexandrova, A. Baev, M. Goncharenko, N. Nikolaev, O. Slita // 8th International Conference on Physics and Control (PhysCon 2017): Proceedings / IPACS -Firenze, 2017. - P. 1-7.

98. Александрова, С.А. Техническая реализация закона управления асинхронным двигателем// Сборник работ аспирантов Университета ИТМО, победителей конкурса грантов Правительства Санкт-Петербурга. - 2017. -С. 10-15.

99. Александрова, С.А. Вопросы проектирования системы управления мостового повышающего преобразователя постоянного напряжения/ С.А. Александрова, О.В. Слита, Н.А. Николаев // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. Электронное издание. - 2018.

100. Александрова, С.А. Проблемы разработки и проектирования системы автоматического управления для мощного повышающего преобразователя напряжения/ С.А. Александрова, О.В. Слита// Альманах научных работ молодых ученых Университета ИТМО. - 2016. - Т. 1. - С. 41-43.

101. Синтез закона управления мостового преобразователя напряжения с мягким переключением на базе изменения частоты коммутации транзисторов / С.А. Александрова, А.П. Баев, Н.А. Николаев, О.В. Слита// Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2018. - Т.18, № 4. - С. 700-703.

102. Alexandrova, S. Practical Implementation of High Power and Efficiency Dc-dc Full-Bridge PWM Boost Converter/ S. Alexandrova, A. Baev, M. Goncharenko, N. Nikolaev, O. Slita// International Conference on Information and Digital Technologies (IDT 2017): Proceedings/ IEEE - Zilina, 2017. - P. 29-35.

103. Александрова, С.А. Качественное описание кривой тока в первичной обмотке трансформатора повышающего преобразователя. Проблема подбора добавочной индуктивности/ С.А. Александрова, О.В. Слита, Н.А. Николаев // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. Электронное издание. - 2017.

104. ГОСТ Р 52719-2007 Трансформаторы силовые. Общие технические условия.

105. Erickson, R. Fundamentals of power electronics / R. Erickson, D. Maksimovic; Mass: Kluwel Academic. - Norwell, 2001. - 885 р.

106. Application manual. Intelligent power module PM800DV1B060 (http://www.mitsubishichips.com).

107. Хоровиц, П. Искусство схемотехники / П. Хоровиц, У. Хилл. - Т. 1. - М.: Мир, 1983. - 568 с.

108. Касаткин, А.С. Электротехника: учебник для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов; - М.: Академия, 2007. - 544 с.