Управление движением спутника при сближении с некооперирующим объектом космического мусора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ахлумади Махди Реза

• Ахлумади Махди Реза
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Ахлумади Махди Реза

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.1. Системы координат

1.2. Уравнения движения центра масс аппарата

1.3. Уравнения относительного вращательного движения

1.4. Относительное движение двух точек на поверхности КА и

объекта космического мусора

1.5. Относительное движение разницы векторов направления на произвольные точки КА и объекта космического мусора

1.6. Постановка задачи

1.7. Заключение к главе

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ СБЛИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ ОБЪЕКТА КОСМИЧЕСКОГО МУСОРА

2.1. Управление на основе

2.1.1. Общее описание алгоритма

2.1.2. Параметризация нелинейных уравнений

2.1.3. Управляемость нелинейных систем

2.2. Управление на основе метода виртуальных потенциалов

2.2.1. Общее описание

2.2.2. Исследование устойчивости

2.3. Заключение к главе

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАБОТЫ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ

3.1. Параметры моделирования

3.2. Пример работы алгоритма на основе 8БЯЕ

3.3. Пример работы алгоритма на основе 8БЯЕ с использованием разности векторов направления на заданные точки

3.4. Пример работы алгоритма на основе метода виртуальных потенциалов

3.5. Результаты численного исследования и сравнение алгоритмов

3.6. Заключение к главе

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ НА СТЕНДЕ С АЭРОДИНАМИЧЕСКИМ СТОЛОМ

4.1. Описание стенда

4.2. Адаптация алгоритмов для использования на стенде

4.2.1. Адаптированный вариант алгоритма на основе 8БЯЕ с использованием разницы векторов направления на заданные точки

4.2.2. Адаптированный вариант алгоритма на основе метода виртуальных потенциалов

4.3. Анализ результатов экспериментов

4.3.1. Пример успешного применения управления на основе метода виртуальных потенциалов

4.3.2. Пример неуспешного применения управления на основе метода виртуальных потенциалов

4.3.3. Пример применения управления на основе 8БЯЕ

4.4. Заключение к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БЛАГОДАРНОСТИ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ Обзор литературы

Неактивные космические аппараты и ступени ракет на орбите Земли являются объектами космического мусора, представляющими угрозу действующим спутникам. Проблема космического мусора возникла еще тогда, когда запускались первые спутники. Продолжительное время ей не придавали серьезного значения, и только в 1993 году на конференции «Воздействие космической деятельности на окружающую среду» вопрос был поставлен в международном масштабе, поскольку засорение околоземного пространства одинаково негативно влияет на все страны. Сход с орбиты космических аппаратов и их неполное сгорание в плотных слоях атмосферы также опасны для объектов, расположенных на земной поверхности. Поэтому необходимо принимать специальные меры для устранения объектов космического мусора и их утилизации.

Если не убирать космический мусор, то произойдет эффект Кесслера, который заключается в лавинообразном и неконтролируемом увеличении числа обломков космического мусора в результате взаимных столкновений на орбите. Каждый неуправляемый спутник может столкнуться с другими спутниками или другими объектами космического мусора, и это приведет к появлению новых облаков обломков космического мусора. Например, столкновение спутников Иридиум 33 и Космос 2251 в 2009 году привело к образованию около 1000 осколков размером более 10 см и множества более мелких. Таким образом, увод космического мусора является важной задачей дальнейшего освоения космического пространства.

В литературе описаны разные подходы к решению этой проблемы, из которых можно выделить два основных класса - это естественный увод и активный увод [1,2].

В случае естественного увода отработавшие срок активного существования аппараты сводятся с околоземной орбиты с помощью

внешних сил, действующих на спутник. Например, высота орбиты может быть уменьшена с помощью силы аэродинамического сопротивления в атмосфере на низких высотах до 500-600 км. Для более высоких орбит можно использовать силу солнечного давления на аппарат с установленным солнечным парусом, время схода отработавшего аппарата в плотные слои атмосферы значительно уменьшается [3,4]. После активного существования аппарата для увеличения силы сопротивления в верхних слоях атмосферы может использоваться развертываемое аэродинамическое устройство, увеличивающее эффективную площадь аппарата и ускоряющее уменьшение большой полуоси на низких околоземных орбитах [5].

Активный увод представляет собой широкий спектр методов, которые предлагают специальные миссии для изменения орбиты объектов космического мусора. На настоящий момент пока не было ни одной миссии, которая бы увела какой-либо объект космического мусора, однако планируется ряд проектов для решения проблемы мусора. Ниже перечислены некоторые из них:

- Институт аэрокосмических технологий Японского агентства аэрокосмических исследований (JAXA) можно назвать одной из ведущих организаций, занимающихся изучением микроспутниковых систем для активного увода мусора с использованием технологии электродинамического троса (EDT). EDT может использоваться для выработки электрической энергии в магнитном поле Земли. Использование EDT позволяет эффективно изменять орбиту объектов космического мусора с помощью силы Лоренца [6]. Также JAXA проводило эксперимент на орбите под названием DRUMS — это экспериментальный космический аппарат, который протестировал работу вблизи объекта космического мусора. Микроспутник нес на себе два объекта для имитации космического мусора, которые после отстыковки использовались в качестве объекта

космического мусора для демонстрации и отработки этапов сближения и контакта [7].

- Другой проект ClearSpace One - это швейцарский проект университета EPFL, направленный на создание семейства спутников для очистки околоземного пространства. В этом проекте маневры сближения и измерения орбиты должны были выполняться с помощью миниатюрных двигателей. К сожалению, проект отменили в 2022 году [8].

- Е. Deorbit - это миссия Европейского космического агентства для активного увода космического мусора с использованием космического аппарата весом 1600 кг [9]. Цель миссии, состоит в том, чтобы удалить некоторые большие объекты, которые могут быть основной причиной возникновения большего количества объектов космического мусора. В этом проекте предполагается использование манипулятора или сети для захвата объекта космического мусора.

- Миссия RemoveDebris успешно продемонстрировала применение двух систем захвата космического мусора, а именно - на основе гарпуна и сети [10]. Кроме того, успешно прошла испытания оптическая система относительной навигации. От основного аппарата были отделены два 2U CubeSat, которые выполнили роль объектов космического мусора при тестировании систем захвата.

- Все чаще появляются идеи миссии для активного увода объекта космического мусора с использованием аппаратов типа CubeSat, например, [11]. CubeSat оснащен двигателем и маховиками для совершения орбитальных и угловых маневров. Цель миссии состоит в том, чтобы прикрепиться к объекту космического мусора, который может быть больше по размеру, чем аппарат, стабилизировать его угловое движение и уменьшить большую полуось его орбиты. В этой работе миссия предназначена для спуска с орбиты спутника KOMPSAT-1 и корпуса ракеты Pegasus.

Таким образом, существует большое разнообразие подходов к активному уводу объектов космического мусора. В обзорной статье [12] проанализированы все контактные и бесконтактные методы увода объектов космического мусора. В работах [7,13] в качестве перспективного способа предлагается бесконтактный метод увода с орбиты основанный на использовании силы Кулона или с помощью потока ионов, создаваемого с помощью двигательной установки космического аппарата [14]. Вопрос облета выбранных для увода объектов на низкой околоземной орбите рассматривается в работах [15,16]. Другой подход предполагает использование захвата объекта космического мусора с помощью гарпуна как в работе [17], специальной сети [18] или прикрепленного троса [19]. Часто рассматривается захват с помощью специальных манипуляторов, которые могут быть нежесткими, как в работе [20]. Также в других работах предлагается использование привязных космических буксиров [19,21-23].

Отдельный блок задач связан с задачей определения относительного движения объектов космического мусора, а именно - вращения относительно центра масс. В работе [24] на основе фотограмметрических измерений изучается угловое движение объектов космического мусора. В работах [25,26] проанализирована угловая динамика объектов космического мусора, которые могут быть уведены с орбиты, что дает представление об ожидаемых угловых скоростях этих объектов. Однако на этапе сближения требуется оценивать угловое движение в режиме реального времени на основе измерений бортовых датчиков. Обзор методов для определения углового движения объекта космического мусора представлен в [27]. В работе [28] предложен бортовой алгоритм оценки относительного движения для аппарата класса CubeSat с использованием стерео изображения. Много работ посвящено алгоритмам оценки не только текущего относительного движения, но и масс-инерционных характеристик объектов, как, например, в работе [29].

Задача автономной стыковки управляемого космического аппарата с неуправляемым твердым телом достаточно хорошо изучена в литературе. В последнее десятилетие были достигнуты значительные успехи в области оптимального управления для задачи сближения и стыковки. В работах [30,31] для решения задачи применяется управление с использованием прогнозирующих моделей движения объекта, что позволяет вычислять безопасные с точки зрения предотвращения столкновения и оптимальные по расходу топлива траектории сближения. Для вычисления этих траекторий используются методы линейного и квадратичного программирования. В работах [32,33] предложена методика квадратичного программирования для решения задачи вычисления траектории сближения при стыковке. Другим подходом для решения задачи является применение методов обратной динамики для быстрой генерации траекторий стыковки. Этот подход предполагает полиномиальную зависимость от времени как движения центра масс, так и относительно центра масс, и в этом случае задача построения оптимальной траектории стыковки сводится к задаче нелинейного программирования с меньшим количеством оптимизируемых параметров. Этот подход был применен в работе [33] для быстрого построения траектории стыковки в шестимерном пространстве с произвольно вращающимся объектом. Подход с использованием обратной динамики был использован для стыковки между кубсатами и протестирован на лабораторном стенде [34]. Также этот подход тестировался в работе [35]. Следует заметить, что алгоритмы для вычисления оптимальных по топливу траекторий требуют больших вычислительных ресурсов, что может быть проблемой при их реализации на бортовом компьютере космического аппарата, особенно когда при стыковке требуется уточнять траекторию в режиме реального времени. Поэтому часто оптимальные алгоритмы расчета траекторий заменяются вычислительно более простыми и быстрыми алгоритмами. Наиболее

распространенным алгоритмом является алгоритм Глиссада, несмотря на то, что он не позволяет рассчитать оптимальные траектории и не принимает во внимание ограничения на величину и направление управляющего воздействия [36]. Этот алгоритм используется в основном в случае, когда требуется близкая к прямой траектория подлета к объекту. Алгоритм Glideslope применялся для быстрого вычисления траектории стыковки для аппаратов SPHERES [37]. Другой подход, который рассматривается в [38], заключается в представлении траектории стыковки в виде полиномиальной зависимости от времени, коэффициенты которой определяются при решении краевой задачи с заданными начальными условиями и конечными в уже пристыкованном состоянии. Траектория получается неоптимальной, но коэффициенты легко уточнить в режиме реального времени. Компромиссом между этими двумя подходами может быть применение управления с обратной связью, которое минимизирует некоторый заданный функционал. Линейно-квадратичный регулятор (LQR) является хорошо известным примером такого алгоритма. Однако уравнения относительного движения сильно нелинейны. Для преодоления этого несоответствия уравнения движения линеаризуются вблизи текущего вектора состояния и применяется алгоритм управления на основе решения матричного уравнения Риккати с переменными коэффициентами, зависящими от вектора состояния (SDRE - State Dependant Ricatti Equation) [39-42]. В [43,44] представлено сравнительное исследование между алгоритмами на основе SDRE и LQR, и алгоритм на основе SDRE показал свои преимущества с точки зрения расхода топлива, времени сближения и точности траектории. Алгоритмы на основе SDRE используются для решения различных задач, таких как управление положением и ориентацией одиночного космического аппарата [45] или управление относительным движением при полете группы спутников [44]. Для задачи захвата объекта космического мусора необходимо учитывать

кинематическую связь, когда рассматривается относительное не движение центров масс двух тел, а движение между двумя определенными точками, закрепленными на теле космического аппарата и объекта космического мусора, как в [46]. В работе [47] исследуется применение управления на основе SDRE для этого типа уравнений относительного движения. В работе [48] исследовано влияние параметров системы управления на выполнение алгоритма управления на основе относительного

движения при захвате с учетом насыщения маховиков и отклонения вектора тяги от центра масс аппарата.

Метод виртуальных потенциалов оказался эффективным для решения задачи нелинейного управления. Для управления динамической системой на основе этого метода необходимо построить виртуальное потенциальное поле. Стратегии формирования управляющего воздействия основываются на векторных полях, полученных как градиент виртуальной потенциальной функции. Такое поле можно подобрать с использованием разных математических функций. Например, один из видов потенциальных функций был предложен в работе [49] в виде обратно-квадратической функции, которая применяется к управлению движением одного мобильного робота. Виртуальное потенциальное поле может быть построено с помощью использования гармонических функций и уравнений Лапласа [50,51], виртуальных гироскопических сил [52], функции потока из гидродинамики [53] или с помощью экспоненциальных рядов [54-56]. Метод виртуальных потенциальных полей применяется в физике, химии и биологии [54], и в других областях. Этот метод находит эффективное применение в задачах робототехники. Например, для задач управления движением транспортных средств [56], цилиндрических роботов [57], беспилотных аппаратов [58,59], беспилотных наземных транспортных средств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление движением спутника при сближении с некооперирующим объектом космического мусора»

Общая характеристика работы

Научная проблема

Дальнейшее освоение околоземного космического пространства в краткосрочной перспективе станет невозможно без решения проблемы увода космического мусора. Активный увод вышедших из строя космических аппаратов и отработавших ступеней ракет предполагает использование специальных малых аппаратов, которые способны закрепиться на объекте космического мусора или захватить его манипулятором, сетью или гарпуном, и с помощью бортовой системы управления движением изменить его орбиту. Малые спутники имеют жесткие ограничения по массе, размерам, энергетике, бортовым вычислительным мощностям и составу оборудования системы управления, что приводит к усложнению бортовых алгоритмов управления для основных режимов движения на этапе проектирования миссии с учетом стесненных возможностей аппаратов. В настоящей работе рассматриваются задачи достижения окрестности объекта космического мусора с помощью маневрирования космического аппарата с двигателем малой тяги, управление относительным движением во время сближения с произвольно вращающимся объектом с учетом ограничений системы управления.

Цели и задачи исследования

Целью настоящей работы является создание научного задела для перспективных миссий, направленных на активный увод объектов космического мусора с околоземных орбит. Для этого решаются задачи по выводу уравнений движения и исследованию относительного движения, и по разработке алгоритмов управления во время сближения активного космического аппарата с объектом космического мусора.

Задачи работы:

1. Разработка новых и адаптация существующих математических моделей, описывающих динамику относительного движения космического аппарата относительно некооперирующего объекта космического мусора на стадии подлета с учётом ограничений малых космических аппаратов по возможностям управления.

2. Изучение литературы по алгоритмам управления относительным орбитальным и угловым движением космического аппарата, разработка на их основе новых алгоритмов управления, обеспечивающих безопасное сближение с объектом космического мусора.

3. Проведение аналитического и численного исследования управляемого движения космического аппарата на этапе маневрирования и сближения с некооперирующим объектом космического мусора.

4. Проведение верификации полученных результатов с помощью численных расчетов на основе метода Монте-Карло и лабораторных экспериментов с использованием макетов малого спутника и объекта космического мусора на аэродинамическом столе.

Актуальность темы. Тема диссертации актуальна для развития подходов к уводу объектов космического мусора с использованием малых космических аппаратов, что обусловлено ухудшением обстановки в околоземном пространстве из-за увеличения количества объектов космического мусора, препятствующих развертыванию космических группировок и эксплуатации орбитальных обитаемых станций.

Научная новизна

В рамках работы получены новые результаты в области управления и моделирования управляемого движения космического аппарата во время сближения с некоооперирующим объектом космического мусора с учетом ограничений малого космического аппарата. Построены новые нелинейные математические модели для описания движения космического аппарата относительно некооперирующего объекта на этапе сближения с объектом

космического мусора. Разработаны новые алгоритмы управления на основе SDRE и на основе метода виртуальных потенциалов, которые обеспечивают безопасное сближение с объектом космического мусора. Получены новые результаты по исследованию управляемого движения активного аппарата в зависимости от параметров системы управления и начальных условий движения.

Теоретическая и практическая значимость работы

Получены уравнения относительного движения двух точек, закрепленных на объекте космического мусора и на активном космическом аппарате, необходимые для решения задачи сближения. Проведено аналитическое и численное исследование алгоритмов управления малым космическим аппаратом. Разработанные алгоритмы применимы для реализации миссий по уводу объектов космического мусора с околоземной орбиты с использованием малых спутников.

Достоверность результатов

Достоверность результатов исследования управляемого движения обеспечивается с помощью проведенной верификации с использованием численного моделирования управляемого движения и с использованием проверки работоспособности предложенных алгоритмов на лабораторном стенде. Результаты применения разработанных алгоритмов для управления движением сравниваются с результатами экспериментов движения макетов спутников на аэродинамическом столе. Достоверность результатов также подтверждается публикациями по теме диссертации в ведущих рецензируемых изданиях.

Методология и методы

Исследование выполнено с использованием известных аналитических методов теоретической и небесной механики, математического анализа и математической статистики, а также теории устойчивости и математического моделирования.

Положения, выносимые на защиту

1. Выведены динамические уравнения движения заданной точки космического аппарата относительного точки на поверхности некооперирующего объекта космического мусора.

2. Предложены два алгоритма для осуществления сближения с объектом космического мусора на основе метода виртуальных потенциалов и на основе 8БЯЕ.

3. Получены условия асимптотической устойчивости по радиальному направлению при управлении с использованием метода виртуальных потенциалов, выявлена область неуправляемости при использовании управления на основе решения 8БЯЕ. В результате численного исследования определена область параметров системы, при которых алгоритмы управления успешно справляются с задачей сближения.

4. Работоспособность предложенных алгоритмов продемонстрирована на стенде с аэродинамическим столом с помощью макетов космического аппарата и объекта космического мусора, выявлены их особенности при реализации на примере конкретной элементной базы.

Апробация работы

Результаты диссертационного исследования докладывались 8 отечественных и 4-х международных мероприятиях:

1. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Исследование управляемого движения спутника при сближении с некооперирующим объектом // 61-й Всероссийская научняа конференция МФТИ, Долгопрудный, 19-25 ноября 2018.

2. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Стыковка макетов микроспутников на аэродинамическом столе с использованием управления на основе метода потенциалов // 62-й Всероссийской научной конференции МФТИ, Долгопрудный, 18-24 ноября 2019.

3. Akhloumadi M.R., Ivanov D. Satellite Relative Motion SDRE-based Control for Capturing a Noncooperative Tumbling Object // 9th International Conference on Recent Advances in Space Technologies (RAST) , Istanbul, Turkey, 11-14 June 2019.

4. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Управление поступательным и угловым движением космического аппарата при сближении с некооперирующим вращающимся объектом // XLIV Академические чтения по космонавтике, Москва, 28-31 января 2020.

5. Ivanov D., Kozin F., Akhloumadi M. Laboratory Study of Control Algorithms for Debris Removal Using CubeSat // 5th IAA Conference on University Satellite Missions and CubeSat Workshop, Rome, Italy, 28-31 January 2020.

6. Ахлумади М. Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Исследование алгоритмов управления движением макетов микроспутников на аэродинамическом столе при сближении и захвате космического мусора // Международный семинар «Навигация и управление движением» , Самара, 28 сентября - 2 октября 2020.

7. Ivanov D., Ovchinikov M., Akhloumadi M., Kozttin F., Atterwall P. Simulation and Laboratory Testing of the 3U CubeSat Control in the Proximity of Space Debris // 71st International Astronautical Congress, CyberSpace Edition, 12-14 October, 2020.

8. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Стыковка макетов микроспутников на аэродинамическом столе с использованием управления на основе метода потенциалов // 63-й Всероссийская научная конференция МФТИ, Долгопрудный, 18-24 ноября 2020.

9. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Управление относительным движением космического аппарата при захвате объекта космического мусора в заданной точке на его поверхности // XLV Академические чтения по космонавтике, Москва, 30 марта — 2 апреля 2021.

10. Akhloumadi M., Ivanov D., Kozin F., Simulation and Laboratory Testing of the 3U CubeSat Control in the Proximity of Space Debris // 72st International Astronautical Congress, Dubai, United Arab Emirates, 26-30 October 2021.

11. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Управление движением космического аппарата при сближении с некооперирующим объектом космического мусора для последующего захвата// 64 -я Всероссийская научная конференция МФТИ, Москва, 29 ноября - 3 декабря 2021.

12. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Исследование алгоритмов управления движением космического аппарата при сближении с некооперирующим объектом космического мусора // XLVI Академические чтения по космонавтике, Москва, 25-28 января 2022.

Личный вклад соискателя

Адаптация математических моделей, динамические уравнения относительного движения, результаты аналитического и численного исследования были получены соискателем лично. Лабораторные исследования управляемого движения макетов микроспутников были выполнены совместно с научным руководителем на лабораторном стенде в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Публикации

По теме диссертации в рецензируемых научных изданиях автором опубликовано 16 печатных работ. Из них 8 публикаций — в изданиях, включенных в перечень ВАК; 12-в изданиях, индексируемых в РИНЦ;

7 - в изданиях, индексируемых в Scopus; 4 — в изданиях,

индексируемых в Web of Science.

1. M. Akhloumadi, D. Ivanov. Influence of satellite motion control system parameters on performance of space debris capturing // Aerospace - 2020. -V. 7, №11. - P.1-16.

2. D. Ivanov, F. Kozin, M. Akhloumadi. Laboratory Study of Control Algorithms For Debris Removal Using CubeSat // Advances in Astronautical Sciences. -V. 171, 2020, p. 101-117.

3. Navabi M., Akhloumadi M. Nonlinear Optimal Control of Orbital Rendezvous Problem for Circular and Elliptical Target Orbit // Modares Mechanical Engineering, 2016. Vol. 15, № 12. P. 132-142.

4. Akhloumadi M., Kozin F., Ivanov D. Laboratory Study of the Active Debris Removal Algorithms on Air-Bearing Test Bed // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. V. 984, No. 1, 2020, 10 p.

5. Akhloumadi M., Ivanov D. Satellite relative motion SDRE-based control for capturing a noncooperative tumbling object // Proceedings of 9th International Conference on Recent Advances in Space Technologies, 2019, pp. 253-260.

6. Akhloumadi M., Ivanov D. Translational and angular motion control for spacecraft rendezvous with non-cooperative rotating object // AIP Conference Proceedings, V. 2318, 050003, 2021, 7 p.

7. Ivanov D., Ovchinikov M., Akhloumadi M., Kozin F., Atterwall P. Simulation and Laboratory Testing of the 3U CubeSat Control in the Proximity of Space Debris // Proceedings of 71st International Astronautical Congress, Paper IAC-20.A6.5.5, 2020, 10 p.

8. Akhloumadi M., Ivanov D., Kozin F. Comparison of relative motion control algorithms for point capturing of space debris object // Proceedings of 72nd International Astronautical Congress, Paper IAC-20.A6.5.3, 10 p.

9. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Управление поступательным и угловым движением космического аппарата при сближении с некооперирующим вращающимся объектом // Сборник тезисов ХЫУ Академических чтений по космонавтике, Москва, 2020, с. 263-265.

10. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Управление относительным движением космического аппарата при захвате объекта космического мусора в заданной точке на его поверхности // Сборник тезисов ХЬУ Академических чтений по космонавтике, Москва, 2021, с. 447-448.

11. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Исследование алгоритмов управления движением макетов микроспутников на аэродинамическом столе при сближении и захвате космического мусора // Тезисы докладов Международного семинара «Навигация и управлением движением», Самара, 2020

12. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Исследование алгоритмов управления движением космического аппарата при сближении с некооперирующим объектом космического мусора // Сборник тезисов ХЬУ1 Академических чтений по космонавтике, Москва, 2022, с. 96.

13. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С. Исследование управляемого движения спутника при сближении с некооперирующим объектом// Труды 61-й Всероссийской научной конференции МФТИ, 2018, 2 с.

14. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Стыковка макетов микроспутников на аэродинамическом столе с использованием управления на основе метода потенциалов // Труды 62-й Всероссийской научной конференции МФТИ, Москва, 2019, 3 с.

15. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Моделирование и лабораторные испытания системы управления 3и СиЪе8а1 вблизи космического мусора// Труды 63 -й Всероссийской научной конференции МФТИ, Москва, 2020, 2 с.

16. Ахлумади М.Р., Иванов Д.С., Козин Ф.А. Управление движением космического аппарата при сближении с некооперирующим объектом космического мусора для последующего захвата// Труды 64-й Всероссийской научной конференции МФТИ, Москва, 2021, 2 с.

Диссертационная работа соответствует паспорту специальности (ПС) 1.1.7 - теоретическая механика, динамика машин по ряду направлений. Работа посвящена построению законов управления механической системой, в качестве которой выступает активный КА (направление 5 ПС). При получении уравнений относительного движения используются методы аналитической механики (направление 1 ПС), возможность применения предложенного стабилизирующего закона управления КА на основе метода виртуальных потенциалов опирается на методы теории устойчивости (направление 2 ПС). При исследовании управляемого движения проводится математическое и компьютерное моделирование кинематики и динамики механической системы (направление 14 ПС), а также проводятся лабораторные исследования динамики макетов КА и объекта космического мусора на стенде с аэродинамическим столом (направление 15 ПС).

Структура и объём работы. Объем диссертационной работы составляет 125 страниц. Работа включает в себя 53 рисунка и 3 таблицы. Список литературы содержит 70 наименований. Диссертационная работа имеет следующую структуру: она состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Содержание диссертации

Во введении дан обзор научных публикаций, посвящённых теме диссертации. Сформулированы цели работы, обоснована актуальность темы исследования, её научная новизна, теоретическая и практическая

значимость. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту. Приведён список научных публикаций по теме диссертации. Указаны конференции и семинары, в рамках которых докладывались автором и обсуждались полученные результаты диссертационной работы. Кратко изложено основное содержание работы.

В первой главе преводятся используемые системы координат и выводятся динамические уравнения движения, необходимые для моделирования сближения активного космического аппарата с объектом космического мусора.

Во второй главе представлен вывод алгоритма управления на основе 8БЯЕ и алгоритм управления на основе метода виртуальных потенциалов.

В третьей главе проводится численное исследование управляемого движения с использованием предложенных алгоритмов управления. Для конкретных параметров системы проводится моделирование движения космического аппарата относительно объекта космического мусора оцениваются затраченная характеристическая скорость и время сближения.

В четвертой главе представлены результаты лабораторных испытаний с использованием стенда с аэродинамическим столом. Проанализированы выявленные особенности алгоритмов при реализации с использованием конкретной элементной базы.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

Результаты работы были использованы при выполнении грантов РФФИ (№18-31-20014 А, № 20-31-90072 Аспиранты).

ГЛАВА 1.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

УРАВНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

1.1. Системы координат

В работе рассматриваются следующие системы координат:

• инерциальная система координат 0ХУ2 с началом 0 в центре Земли, ось ОХ направлена в точку весеннего равноденствия, ось 0Z совпадает с вектором угловой скорости Земли, 0Y достраивается до правой тройки (рис. 1.1);

Направление на точку весеннего равноденствия

X

У / /

/

/

/

Земля

Рис. 1.1. Инерциальная и орбитальная системы координат • орбитальная система координат 0Dxyz с центром Ов в центре масс объекта космического мусора, 0ах направлена вдоль радиус-вектора, соединяющего центр Земли и центр масс объекта космического мусора, 0^ направлено по нормали к орбите объекта космического мусора вдоль

г

вектора орбитального кинетического момента, 0ву дополняет тройку до правой;

• связанные с объектом космического мусора и с активным космическим аппаратом системы координат Оси соответственно (см. рис. 1.2). Начала систем координат Ов и 0С находятся в центрах масс объекта космического мусора и космического аппарата. Для удобства векторы, записанные в системе Осв дальнейшем будут обозначаться с верхним индексом С, а векторы записанные в системе 0в$вПв£в через В .

Космический аппарат

Рис. 1.2. Связанная с телом система координат Введем следующие обозначения для матриц перехода 0Св между системами координат:

®СО

Ос£СЧС£С ^ 0в$вПв£в >

0

ВО

0в^вПв^в ^ 0вХУ2 >

'ВТ>В'/ВТ>В ' ^в"

0со

'СЪС'/СЪ С ^ ^в"

Ос£СПС£С ^ 0вХУ2 . Между этими матрицами выполняется соотношение

0 = 0 0Т

^св ^со^во •

1.2. Уравнения движения центра масс аппарата

Уравнения движения центра масс космического аппарата в центральном поле притяжения Земли в ограниченной задаче двух тел можно получить с помощью второго закона Ньютона:

mr = F , (1.1)

где m - масса спутника, F = Fer - центральная сила, r = rer - радиус-вектор спутника, |er| = 1 - единичный вектор вдоль направления радиус-вектора,

точки над переменными обозначают полный дифференциал по времени. В центральном поле кинетический момент постоянен.

К = г х (mr) = const. Его значение, деленное на массу, в полярных координатах r,q определяется как интеграл площадей

с = К / m = г'ф.

Уравнение движения в плоскости орбиты для переменной Бине и =1

r

имеет следующий вид:

dq> mc и

Сила притяжения Земли определяется:

d 2и F (и)

— + и =--ГТ (1.2)

F GmME ¡m а

F =--— =--Т = —2 (L3)

r r r

где ME масса Земли, G гравитационная постоянная, ¡л = GME, а = ¡m, ¡л-гравитационный параметр. В полярных координатах решение (1.2) описывает уравнение конических сечений:

r =-p-ч, (1.4)

1 + e cos (q + q0)

где e - эксцентриситет, p - фокальный параметр, q0 - начальная фаза.

Траектория их движения задается в следующем виде

23

г =||г || =-Е- г = ||г || =-Е- (1 5)

° О 1 ■ //1 С V ! , ¡Л \ У1--1/

1 + ^ (во ) 1 + ес С08 [вс )

где ес, еп - эксцентриситеты, и вс, во истинная аномалия объекта

космического аппарата и объекта космического мусора соответственно.

Так же при движении в центральном поле ускорение спутника и обьекта космического мусора имеют такой вид

•И И /1 ^ч

Гп = ~ — ^ Гс = " —Гс + а , (1.6)

го гс

где го радиус-вектора объекта космического мусора и гс радиус-вектора объекта космического аппарата. аналогично (1.4), а = [ах, ау, а2 ^ - вектор

ускорения вследствие управляющего воздействия на активный аппарат. Для получения динамических уравнение поступательного движения вводится относительное расстояние

Р = гс - Го . (1.7)

где в орбитальной системе 0вху2, р = [х, у, z] отсюда можно выразить

относительное ускорение в таком виде

Н 0-8)

где рI обозначает дифференцирование в инерциальной системе . В

орбитальной системе координат 0Dxyz, которая вращается с объектом

космического мусора с орбитальной скоростью ю0 =[ 0,0, со0 ],

учитывается ускорение Кориолиса, относительное ускорение и переносное ускорение можно разложить левую часть уравнение (1.8) в следующий вид

($0хр + (о0х (со0 х р) + 2(со0 х р) + р = - + + ~~гГ£> + а (1.9)

\\тп+ Р Гп

Итак, можно после упрощения получить уравнения относительного движения космического аппарата относительно объекта космического мусора:

•• ^ 2 и(гп+х) И х - 2со0у — со0у — со0 х —--^-1-- + — + ах,

[(rD+x)2+y2+z2f г°

• 2 НУ у + 2й)ах + Ú)0x-0)о у =--г + ау, (1.10)

[(rD + x) + y2 + z2]

2

UZ

z ---T + a

3 z

[( rD + x ) + y2 + z2]

2

Считая, что ||<< гв, правые части можно разложить в ряд и получить

м( гв + Х)

[( rD + x)2 + y2 + z2]

3 (2x - rD ),

2

—-3 *-®2oy, (1.11)

[(rD + x) + y2 + z2]

2

Hz 2

-3 Я -Woz,

[( Тв + Х)+ У2 + 22]2

Итак, упрощенная форма уравнений будет иметь вид:

х - 2со0у - со0у - Ъсо20х - ах,

у + 2 со0х + сЬ0х - ау,

z + atz — а

О z

(1.12)

Орбитальная угловая скорость объекта космического мусора задается в следующем виде:

V

«O

з • (1.13)

Г

' D

Для получения орбитального углового ускорения объекта космического мусора угловую скорость из (1.13) нужно

продифференцировать как сложную функцию по времени с использованием

¿О = ^ = (1.14)

<г в (1 5)

где —— можно получить из (1.5) 10,

D

2

■eD

pDeD sinK) = ieDsin(0D). (1.15)

D

d0D (1 + eD cos (Od )) P

Таким образом, полученные уравнения используются для моделирования относительного движения центров масс активного космического аппарата и объекта космического мусора.

1.3. Уравнения относительного вращательного движения

Чтобы описать угловое положение космического корабля относительно объекта космического мусора в терминах относительных кватернионов и угловых скоростей, используются уравнения относительного углового движения. Для их вывода рассмотрим относительную угловую скорость, которая записывается в системе координат, связанной с объектом космического аппарата:

= %Cd (q)rccC - Ml, (1.16)

где ш c, ш D - угловые скорости аппарата и объекта космического мусора

соответственно, а ш - это вектор относительной угловой скорости в данной

системе отсчета, верхний индекс определяет систему координат, в которой

выражено значение, " С" обозначает систему координат, связанную с КА, а

" D" обозначает систему координат, связанную с мусором, 0 Cd (q) -

матрица направляющих косинусов, описывающая переход из системы

координат, связанной с КА, в систему координат, связанную с объектом

космического мусора. Эта матрица может быть выражена с помощью

кватерниона q = [q0 q{ q2 q3f = [q0 q] следующим образом:

0 =

2(ЧЧз + Ч2Ч4)

2(ЧгЧз - ЧМА)

2

2

(1.17)

412 - Ч22 - 4з2 + Ч42 2(ЧхЧг - ЧзЧА)

2(Мг + Ч3Ч4 ) -412 + Чг - 4з2 + Ча

2(Мз - Ч2Ч4) 2(ЧгЧз + ЧМа) -ЧГ - Чг + Чъ + Чл

Кинематические уравнения относительного отношения могут быть

записаны через относительные кватернионы [60]:

(1.18)

где юс относительная угловая скорость в системе С, матрица О(я) определяется следующим образом:

О(я) =

Чо -Чз Ч2

Чз Чо -Ч1

-Ч2 Ч1 Чо

-Ч1 Ч2 -Чз

(1.19)

Получим динамические уравнения движения КА относительно системы координат, связанной с объектом космического мусора. Полные производные вектора угловой скорости ш определяются изменением величины вектора со и изменением направления еа = со / со. При дифференцировании вектора еа следует принимать во внимание

кинематические уравнения Пуассона

ё = Пхе ,

со со "

где П - это вектор угловой скорости системы координат, в которой записан вектор ею. Обозначим через (.)|к выражения производной вектора

ю в конкретной системе координат " Кв которой задан вектор ет.

Продифференцируем выражение (1.16) для относительной угловой скорости в инерциальной системе координат I :

(1.20)

(ю (ю п

г & г &

Выразим полную производную вектора ю в системе координат, связанной с объектом космического мусора, получим:

1

(ю

Ж

(ю

Ж

+ юв х ю

Полные производные векторов угловой скорости ю в и юс, записанные в инерциальной системе координат, совпадают с их значениями в соответствующих связанных системах координат:

(Ю

Л (юг

(ю.

Л

Л (юг

Л

Умножим полученное выражение (1.20) на тензор инерции объекта космического мусора 1в е , а угловое ускорение космического аппарата выразим в системе, свеянной с объектом космического мусора, умножив на матрицу перехода ©св. Получим следующее выражение:

I,

(ю

((г

= I ©

1в у

(юс

((г

\с

-1,

с У

(ю в

((г

\в

-1вюВ х юв ,

(1.21)

ю У

где , (.)| , (.)| - производные в инерциальной, и связанных с

космическим аппаратом и объектом космического мусора системах отсчета соответственно.

Для получения динамических уравнений относительного углового движения, используется теорема об изменении кинетического момента [61]. Следующие уравнения описывают изменение кинетических моментов аппарата Нс и космического мусора Нв в инерциальной системе отсчета:

(нс (н

Жг г (г

(Н в (Н

(г , (г

+ юс х Нс = Nс + Тс.

+ ю Ю х н _ = N Ю ,

(1.22)

(1.23)

где N с и N в - моменты внешних сил, действующие на космический аппарат и объект космического мусора соответственно, Тс - управляющий

г

в

с

I

в

момент КА. Предполагается, что КА оснащен тремя маховиками, момент импульса каждого маховика совмещен с главной осью спутника. Кинетический момент аппарата и объекта космического мусора имеют следующий вид:

Нс = IСЮС + ^ , нл = 1вюл > С1-24)

где - кинетический момент, создаваемый маховиками, Iс - тензор инерции КА.

Продифференцируем кинетический момент КА и объекта космического мусора в связанных системах отчета, получим следующие соотношения:

Ж

\с

= I

I У

Ж

\с

+ «с х !сЮс +

с у

\

к ж с У

+ «с х^ = N.

I,

(ю т

(И

ь

I У

(ю т

Ж

т

+ Ют х 1 тЮт = Nт .

(1.25)

(1.26)

т у

Пусть управление угловым движением реализуется с помощью маховиков, тогда управляющий момент является производной кинетического момента маховиков с обратным знаком:

тс = -К-

Поскольку объект космического мусора движется пассивно, а космический аппарат оснащен системой управления, относительное вращательное уравнение движения должно быть выражено в системе отсчета, связанной с объектом космического мусора. Вычитая (1.21) из (1.25) и (1.26) и учитывая матрицу перехода 0св между системой координат КА и системой координат объекта космического мусора, получаем следующее уравнение относительного углового движения: Из уравнения (1.25) и (1.26) можно получить

(ш.

(г

= N л - х IX

\в

I 0

\

с У

= 1 в^св1 -1 (^ + Тс - шС х 1 сшС - шС х К )

(1.27)

0

св

Поставим (1.27) в (1.21):

(ш

(г

= 1 в0св1 -1 (N + Тс - шсс х IсШсс - шсс х )

в У

в

(1.28)

^в + ш в х 1 вШ в - 1 вШ в х ш .

Учитывая, что ш сс = 0вс (шв + шв ) и полагая N = 0, уравнение можно записать (1.28) в следующем виде

IX =1В0СВ1Л-0С' (шв + юв )х1с0сЦюв + шв )- ^

-0св (шв + шв ) К + Тс + N с ] - ^ X шв + [шв х 1вшв ]. Внешний момент N в, действующий на космический мусор, включает

в себя только гравитационный момент, но N с также включает момент, вызванный отклонением вектора тяги двигателей от центра масс КА, определяемый соотношением:

N = ГЛ Х ^ ,

где ¥11г - вектор тяги двигателя, т1к - радиус-вектор от центра масс до центра приложения тяги.

1.4. Относительное движение двух точек на поверхности КА и объекта космического мусора

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ахлумади Махди Реза, 2022 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Shan M., Guo J., Gill E. Review and comparison of active space debris capturing and removal methods // Prog. Aerosp. Sci. , 2016. Vol. 80. P. 18-32.

2. Bonnal C., Ruault J.M., Desjean M.C. Active debris removal: Recent progress and current trends // Acta Astronautica. , 2013. Vol. 85. P. 51-60.

3. Trofimov S., Ovchinnikov M. Sail-Assisted End-of-Life Disposal of Low-Earth Orbit Satellites // J. Guid. Control. Dyn. 2017. Vol. 40, № 7. P. 1796-1805.

4. Kristensen A.S., Ulriksen M.D., Damkilde L. Self-Deployable Deorbiting Space Structure for Active Debris Removal // J. Spacecr. Rockets, 2017. Vol. 54, № 1. P. 323-326.

5. Hiemstra J.M. Mechanical Design and Development of a Modular Drag Sail for the CanX-7 Nanosatellite Mission // TSpace Repository. University of Toronto, 2014.

6. Nishida S.-I. et al. Space debris removal system using a small satellite // Acta Astronaut. , 2009. Vol. 65, № 1-2. P. 95-102.

7. Hogan E.A., Schaub H. Space debris reorbiting using electrostatic actuation // Adv. Astronaut. Sci. 2012. Vol. 144.

8. Richard M. et al. Uncooperative Rendezvous and Docking for MicroSats 1 The case for CleanSpace One. 2013.

9. Estable S. et al. Definition of an Automated Vehicle with

Autonomous Fail-Safe Reaction Behavior to Capture and Deorbit

Envisat. // 7th European Conference on Space Debris. 2017.

117

10. Aglietti G.S. et al. The active space debris removal mission RemoveDebris. Part 2: In orbit operations // Acta Astronaut. , 2020. Vol. 168. P. 310-322.

11. Hakima H., Bazzocchi M.C.F., Emami M.R. A deorbiter CubeSat for active orbital debris removal // Adv. Sp. Res. , 2018. Vol. 61, № 9. P. 2377-2392.

12. Ledkov A., Aslanov V. Review of contact and contactless active space debris removal approaches // Prog. Aerosp. Sci., 2022. Vol. 134. P. 100858.

13. Aslanov V., Yudintsev V. Motion Control of Space Tug During Debris Removal by a Coulomb Force // Journal of Guidance Control and Dynamics, 2018. Vol. 41, № 7. P. 1476-1484.

14. Aslanov V.S., Ledkov A.S. Attitude motion of cylindrical space debris during its removal by ion beam // Math. Probl. Eng., 2017. Vol. 2017.

15. Баранов А.А., Гришко Д.А. Баллистические аспекты облета крупногабаритного космического мусора на низких околокруговых орбитах // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2015. T. 4. C. 160-171.

16. Гришко Д.А. Исследование схем облёта объектов крупногабаритного космического мусора на низких орбитах. Диссертация на соискание к.ф.-м.н. Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2018.

17. Reed J., Barraclough S. Development of harpoon system for capturing space debris // Proc. '6th European Conference on

Space Debris' Darmstadt, Germany, 22-25 April 2013. 2013. P.

118

22-25.

18. Zhai G., Zhang J.R., Yao Z. Circular orbit target capture using space tether-net system // Math. Probl. Eng. 2013. Vol. 2013.

19. Aslanov V., Yudintsev V. Dynamics of large space debris removal using tethered space tug // Acta Astronaut. , 2013. Vol. 91. P. 149-156.

20. Gasbarri P., Pisculli A. Dynamic / control interactions between flexible orbiting space-robot during grasping , docking and post-docking // Acta Astronaut., 2015. Vol. 110. P. 225-238.

21. Zhang J., Yang K., Qi R. Dynamics and offset control of tethered space-tug system // Acta Astronaut. , 2018. Vol. 142. P. 232-252.

22. Wang B., Meng Z., Huang P. Attitude control of towed space debris using only tether // Acta Astronaut. , 2017. Vol. 138. P. 152-167.

23. Zhong R., Zhu Z.H. Timescale Separate Optimal Control of Tethered Space-Tug Systems for Space-Debris Removal // J. Guid. Control. Dyn., 2016. Vol. 39, № 11. P. 2540-2545.

V

24. Silha J. et al. Apparent rotation properties of space debris extracted from photometric measurements // Adv. Sp. Res. , 2018. Vol. 61, № 3. P. 844-861.

25. Efimov S., Pritykin D., Sidorenko V. Long-term attitude dynamics of space debris in Sun-synchronous orbits: Cassini cycles and chaotic stabilization // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2018. Vol. 130, № 10. P. 1-25.

26. Pritykin D., Efimov S., Sidorenko V. Defunct satellites in nearly

polar orbits: Long-term evolution of attitude motion // Open

119

Astron., 2018. Vol. 27, № 1. P. 264-277.

27. Opromolla R. et al. A review of cooperative and uncooperative spacecraft pose determination techniques for close-proximity operations // Prog. Aerosp. Sci. , 2017. Vol. 93. P. 53-72.

28. Simakov S.P., Belokonov I. V. Cubesat onboard algorithm for space debris motion determination by processing stereo images // Int. Arch. Photogramm. Remote Sens. Spat. Inf. Sci. Copernicus GmbH, 2021. Vol. XLIII-B1-2021, № B1-2021. P. 229-234.

29. Ivanov D., Ovchinnikov M., Sakovich M. Relative Pose and Inertia Determination of Unknown Satellite Using Monocular Vision // Int. J. Aerosp. Eng. 2018. P. 1-16.

30. Hartley E.N. et al. Model predictive control system design and implementation for spacecraft rendezvous // Control Eng. Pract. 2012. Vol. 20, № 7. P. 695-713.

31. Breger L.S., How J.P. Safe Trajectories for Autonomous Rendezvous of Spacecraft // J. Guid. Control. Dyn. 2008. Vol. 31, № 5. P. 1478-1489.

32. Liu X., Lu P. Solving Nonconvex Optimal Control Problems by Convex Optimization // J. Guid. Control. Dyn. American Institute of Aeronautics and Astronautics, 2014. Vol. 37, № 3. P. 750-765.

33. Ventura J. et al. Fast and Near-Optimal Guidance for Docking to Uncontrolled Spacecraft // J. Guid. Control. Dyn. 2016. P. 1-17.

34. Kobilarov M., Pellegrino S. Trajectory Planning for CubeSat Short-Time-Scale Proximity Operations // J. Guid. Control. Dyn., 2014. Vol. 37, № 2. P. 566-579.

35. Ciarci M., Grompone A., Romano M. A near-optimal guidance

120

for cooperative docking maneuvers // Acta Astronaut., 2014. Vol. 102. P. 367-377.

36. Pearson D.J. The glideslope approach // Proceedings of the AAS/NASA International Symposium. Orbital mechanics and mission design, 1989. P. 109-123.

37. Nolet S. Development of a guidance, navigation and control architecture and validation process enabling autonomous docking to a tumbling satellite // Ph.D. Dissertation, Dept. of Aeronautics and Astronautics,Massachusetts Inst. of Technology, Cambridge, MA. 2007. 322 p.

38. Sabatini M., Palmerini G.B., Gasbarri P. A testbed for visual based navigation and control during space rendezvous operations // Acta Astronaut., 2015. Vol. 117. P. 184-196.

39. Cloutier J.R., Stansbery D.T. The capabilities and art of State-dependent Riccati equation-based design // Proceedings of the American Control Conference. 2002. Vol. 1.

40. Cloutier J.R., Stansbery D.T. The capabilities and art of state-dependent Riccati equation-based design // Proceedings of the 2002 American Control Conference (IEEE Cat. No.CH37301). American Automatic Control Council. Vol. 1. P. 86-91.

41. Cloutier J.R., Cockburn J.C. The state-dependent nonlinear regulator with state constraints // Proc. Am. Control Conf. 2001. Vol. 1. P. 390-395.

42. Çimen T. Survey of State-Dependent Riccati Equation in Nonlinear Optimal Feedback Control Synthesis // J. Guid.

Control. Dyn. 2012. Vol. 35, № 4. P. 1025-1047.

121

43. Navabi M., Reza Akhloumadi M. Nonlinear Optimal Control of Orbital Rendezvous Problem for Circular and Elliptical Target Orbit // Modares Mech. Eng. Modares Mechanical Engineering, 2016. Vol. 15, № 12. P. 132-142.

44. Felicetti L., Palmerini G.B. A comparison among classical and SDRE techniques in formation flying orbital control // IEEE Aerospace Conference Proceedings. 2013.

45. Stansbery D.T., Cloutier J.R. Position and attitude control of a spacecraft using the state-dependent Riccati equation technique // Proc. Am. Control Conf. 2000. Vol. 3. P. 1867-1871.

46. Segal S., Gurfil P. Effect of Kinematic Rotation-Translation Coupling on Relative Spacecraft Translational Dynamics // J. Guid. Control. Dyn. 2009. Vol. 32, № 3. P. 1045-1050.

47. Lee D. et al. Kinematically Coupled Relative Spacecraft Motion Control Using the State-Dependent Riccati Equation Method // J. Aerosp. Eng. American Society of Civil Engineers (ASCE), 2015. Vol. 28, № 4. P. 04014099.

48. Akhloumadi M., Ivanov D. Influence of Satellite Motion Control System Parameters on Performance of Space Debris Capturing // Aerospace, 2020. Vol. 7, № 11. P. 10.

49. Rimon E., Koditschek D.E. Exact Robot Navigation using Artificial Potential Functions // IEEE Trans. Robot. Autom. 1992. Vol. 8, № 5. P. 501-518.

50. Connolly C.I., Burns J.B., Weiss R. Path planning using Laplace's equation. Publ by IEEE, 1990. P. 2102-2106.

51. Connolly C.I., Grupen R.A. The applications of harmonic

122

functions to robotics // J. Robot. Syst. John Wiley & Sons, Ltd, 1993. Vol. 10, № 7. P. 931-946.

52. Chang D.E. et al. Collision Avoidance for Multiple Agent Systems // Proc. IEEE Conf. Decis. Control. 2003. Vol. 1. P. 539-543.

53. Waydo S., Murray R.M. Vehicle motion planning using stream functions // Proc. - IEEE Int. Conf. Robot. Autom. 2003. Vol. 2. P. 2484-2491.

54. Levine H., Rappel W.J., Cohen I. Self-organization in systems of self-propelled particles // Phys. Rev. E. American Physical Society, 2000. Vol. 63, № 1. P. 017101.

55. Bigelli L., Polenta F., Fiori S. Virtual Attractive-Repulsive Potentials Control Theory: A Review and an Extension to Riemannian Manifolds // Symmetry, 2022. Vol. 14, № 2.

56. Rasekhipour Y. et al. A Potential Field-Based Model Predictive Path-Planning Controller for Autonomous Road Vehicles // IEEE Trans. Intell. Transp. Syst., 2017. Vol. 18, № 5. P. 1255-1267.

57. Leonard N.E., Fiorelli E. Virtual leaders, artificial potentials and coordinated control of groups // Proc. IEEE Conf. Decis. Control. 2001. Vol. 3. P. 2968-2973.

58. Paul T., Krogstad T.R., Gravdahl J.T. Modelling of UAV formation flight using 3D potential field // Simul. Model. Pract. Theory, 2008. Vol. 16, № 9. P. 1453-1462.

59. Shimoda S., Kuroda Y., Iagnemma K. Potential field navigation

of high speed unmanned ground vehicles on uneven terrain //

Proc. - IEEE Int. Conf. Robot. Autom. 2005. Vol. 2005. P. 2828123

2833.

60. Амелькин Н.И. Кинематика и динамика твердого тела. Долгопрудный: МФТИ, 2000. 80 c.

61. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Москва: ЧеРо, 1999. 572 с.

62. Kirk D.E. Optimal control theory; an introduction. Prentice-Hall, 1970.452 p.

63. Beeler S.C., Cox D.E. State-dependent riccati equation regulation of systems with state and control nonlinearities. VA, 2004, 80 p..

64. law Jakubczyk B. Introduction to Geometric Nonlinear Control; Controllability and Lie Bracket. Institute of Mathematics, 2001, 48 p.

65. Kalman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. la Soc. Mat. Mex. 1960. Vol. 5. P. 102-119.

66. Поляк Б.Т., Хлебников М.В., Рапопорт Л.Б. Математическая теория оптимального управления: учебное пособие. М.: ЛЕНАНД, 2019. 500 c.

67. Slotine J.-J., Li W. Applied nonlinear control. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1991. 461 p.

68. SputniX - Orbicraft [Electronic resource]. URL: http://sputnix.ru/ru/products/eduru/orbikraft-1-0 (accessed: 02.12.2016).

69. Ivanov D.S. et al. Laboratory Facility For Microsatellite Mock-Ups Motion Simulation // J. Comput. Syst. Sci. Int. 2018. Vol. 57, № 1. P. 115-130.

70. Козин Ф.А., Программный комплекс для моделирования

124

работы алгоритмов управления движением наноспутников на аэродинамическом столе // Математическое моделирование. 2022. Т. 34, № 10. С. 20-42.

Отпечатано с оригинал-макетов Заказчика в типографии "Переплетофф" Адрес: г. Долгопрудный, ул. Циолковского, 4. Тел: [phone]. www.perepletoff.ru Формат 210 х 297 мм. Бумага офсетная. Печать цифровая. Тираж 11 экз. Твердый переплет. Заказ № . 30.09.22 г.