Учет межузельных корреляций и вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в приближении LDA+DMFT для описания спектральных и магнитных свойств сильно коррелированных материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Белозеров, Александр Сергеевич

• Белозеров, Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Белозеров, Александр Сергеевич

Оглавление

Введение

Глава 1 Расчет электронной структуры твердых тел в приближении ЬБА+БМЕТ

1.1 Теория функционала плотности

1.2 Приближение локальной плотности (ЬБА)

1.3 Модель Хаббарда

1.4 Теория динамического среднего поля (ЭМЕТ)

1.5 Алгоритм Хирша-Фая для решения примесной модели Андерсона

1.6 Расчетная схема приближения ЬБА+ЭМЕТ

1.7 Выводы к главе 1

Глава 2 Дополнение приближения ЬВА+БМЕТ явным учетом межузельного кулоновского взаимодействия

2.1 Объединение приближения локальной плотности и расширенной модели Хаббарда

2.2 Переход металл-изолятор в диоксиде ванадия

2.2.1 Кристаллическая структура фаз Я и Мх

2.2.2 Электронная структура фаз Я и Мх в приближении ЬБА

2.2.3 Электронная структура фаз И и Мх в приближении ЬБА+ОМЕТ

2.2.4 Электронная структура и магнитные свойства фазы Мх

в приближении ЫЗА+БМЕТ+К

2.3 Выводы к главе 2

Глава 3 Учет вращательной инвариантности кулоновского взаимодействия в рамках алгоритма Хирша-Фая

3.1 Метод решения примесной модели Андерсона с учетом вращательной инвариантности кулоновского взаимодействия

3.2 Апробация метода на двух- и трехзонных моделях Хаббарда на решетке Бете

3.3 Выводы к главе 3

Глава 4 Влияние учета вращательной инвариантности кулоновского взаимодействия на магнитные свойства а-железа

4.1 Существующие оценки параметров кулоновского взаимодействия

4.2 Электронная структура парамагнитного су-железа в приближении ЬБА

4.3 Расчет параметров кулоновского взаимодействия

4.4 Результаты расчетов в приближении ЬБА+БМРТ

4.4.1 Электронная структура

4.4.2 Магнитные свойства

4.5 Выводы к главе 4

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Учет межузельных корреляций и вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в приближении LDA+DMFT для описания спектральных и магнитных свойств сильно коррелированных материалов»

Введение

Переходные металлы и их соединения обладают большим разнообразием физических свойств, вследствие чего они находят свое применение во многих сферах человеческой деятельности. Трудности теоретического описания свойств этих материалов связаны с наличием сильных электронных корреляций в частично заполненных d- и /-электронных оболочках.

В настоящее время для расчета электронной структуры твердых тел широко используются методы, основанные на теории функционала плотности [1, 2]. В рамках этой теории решение многочастичной задачи сводится к решению уравнений Кона-Шэма, которые имеют вид одночастичных уравнений Шредингера. При этом все трудности учета многочастичных эффектов сведены к определению функционала обменно-коррелиционной энергии. Точный вид этого функционала неизвестен. Одним из широко используемых приближений является приближение локальной плотности (LDA - Local Density Approximation) [1], согласно которому исходная система в каждой точке пространства имеет такую же плотность обменно-корреляционной энергии, как и однородный электронный газ с тем же значением электронной плотности. Однако применение теории функционала плотности для описания свойств материалов с сильными электронными корреляциями, как правило, приводит к неудовлетворительным результатам [3].

На сегодняшний день одним из передовых подходов для расчета электронной структуры сильно коррелированных материалов является приближение LDA+DMFT [3, 4], в котором приближение LDA дополнено явным учетом одноузельного кулоновского взаимодействия с помощью теории динамического среднего поля (DMFT - Dynamical Mean Field Theory) [5]. В основе DMFT лежит предположение о локальности собственно-энергетической части электрона, что позволяет свести решение модели Хаббарда к решению эффектив-

ной примесной задачи, описываемой примесной моделью Андерсона.

Одна из проблем приближения ЬБА+БМЕТ связана с недостаточно полным учетом межузельного кулоновского взаимодействия. В частности, эта проблема проявляется при описании свойств материалов, в которых происходит сильное перекрытие орбиталей соседних атомов, что сопровождается образованием молекулярных орбиталей [6, 7]. Другая проблема приближения ЬОА+БМРТ связана с трудностью учета полной формы одноузельного кулоновского взаимодействия. В подавляющем большинстве расчетов в приближении ЬБА+БМРТ используется приближенная форма одноузельного кулоновского взаимодействия. Эта форма называется «плотность-плотность» и учитывает только ту часть одноузельного кулоновского взаимодействия, которая может быть выражена через электронную плотность. При этом происходит понижение симметрии кулоновского взаимодействия с 577(2) до ^2, что означает потерю вращательной инвариантности. Некоторые методы решения примесной модели Андерсона [8-10] позволяют учитывать полную форму одноузельного кулоновского взаимодействия. Однако применение этих методов в основном ограничено модельными системами, что обусловлено большими вычислительными затратами, которые растут экспоненциально с количеством рассматриваемых энергетических зон.

Данная диссертационная работа посвящена решению указанных актуальных проблем приближения ЬБА+ОМРТ. Разработанные численные методы применяются для исследования спектральных и магнитных свойств диоксида ванадия и железа в а-фазе.

В случае диоксида ванадия расчеты в приближениях ЬБА и ЬБА+БМРТ не воспроизводят изоляторного состояния фазы Мь Однако в работах [11-13] изоляторное состояние фазы Мх удалось воспроизвести с использованием других приближений. Все указанные исследования свидетельствуют о необходимости учета межузельных корреляций в димерах ванадия в фазе Мх. При

этом основной эффект от полученных многочастичных поправок заключается в увеличении расщепления между связывающими и разрыхляющими а15-состояниями.

Во всех предыдущих исследованиях а-железа в приближении ЬБА+БМРТ одноузельное кулоновское взаимодействие рассматривалось в форме «плотность-плотность». При этом была получена практически двукратная переоценка температуры Кюри [14] по сравнению с экспериментальным значением 1043 К. Согласно одной из точек зрения, эта переоценка может быть вызвана кулоновским взаимодействием в форме «плотность-плотность». Согласно другой точке зрения [14], полученная переоценка обусловлена пренебрежением нелокальными корреляционными эффектами в БМРТ.

Цель работы - развитие приближения ЬБА+БМРТ для описания спектральных и магнитных свойств сильно коррелированных материалов. В соответствии с целью работы были поставлены задачи:

1. Дополнить приближение ЬОА+БМРТ явным учетом межузельного ку-лоновского взаимодействия. С использованием развитого приближения исследовать изменение спектральных и магнитных свойств при переходе металл-изолятор в \Юг.

2. Разработать метод решения примесной модели Андерсона, который приближенно учитывает вращательную инвариантность одноузельного ку-лоновского взаимодействия и может быть использован в приближении ЬБА+ОМРТ. Исследовать влияние учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия на расчетное значение температуры Кюри для Ре в а-фазе в приближении ЬБА+БЫРТ.

Научная новизна. Принципиально новые результаты диссертационной работы следующие:

1. Разработано приближение ЬБА+БМЕТ+У, в котором приближение ЬБА+БМРТ дополнено явным учетом межузельного кулоновского взаимодействия (+У) в приближении статического среднего поля, для расчета электронной структуры и магнитных свойств твердых тел, где важен учет одноузельного и межузельного кулоновских взаимодействий.

2. Показано, что явный учет одноузельного и межузельного кулоновских взаимодействий в приближении ЬБА+БЫРТ+У позволяет воспроизвести изоляторное основное состояние и слабую температурную зависимость магнитной восприимчивости УОг в фазе Мх.

3. Разработан метод приближенного учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в рамках алгоритма Хирша-Фая для решения примесной модели Андерсона. Этот метод основан на усреднении по всем возможным направлениям оси квантования.

4. Продемонстрировано, что учет вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в приближении ЬБА+БМРТ для железа в ск-фазе приводит к улучшению согласия рассчитанной температуры Кюри с ее экспериментальным значением.

Теоретическая и практическая значимость работы. Представленные в данной работе теоретические методы способствуют развитию современных методов расчета электронной структуры сильно коррелированных материалов. Разработанное приближение ЬОА+БМРТ+К может быть использовано для описания спектральных и магнитных свойств твердых тел, в которых важную роль играют как одноузельное, так и межузельное кулоновские взаимодействия. Вычислительная эффективность разработанного метода учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия позволяет использовать его для описания свойств переходных металлов и их соединений в приближении ЬБА+БМРТ. Результаты проведенных исследо-

ваний а-железа и диоксида ванадия способствуют развитию теоретических представлений о свойствах этих материалов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Теоретические основы приближения LDA+DMFT+У, в котором приближение LDA+DMFT дополнено явным учетом межузельного кулоновско-го взаимодействия (+V).

2. Явный учет межузельного и одноузельного кулоновских взаимодействий в приближении LDA+DMFT+V позволяет воспроизвести изоляторное основное состояние и слабую температурную зависимость магнитной восприимчивости VO2 в фазе Mi.

3. Теоретические основы метода приближенного учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в рамках алгоритма Хирша-Фая для решения примесной модели Андерсона.

4. Учет вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия в приближении LDA+DMFT для железа в а-фазе приводит к улучшению согласия рассчитанной температуры Кюри с ее экспериментальным значением.

Апробация результатов работы проводилась на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:

• X Всероссийская молодежная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-10), Верхняя Сысерть, 9-15 ноября 2009 г.

• IV Euro-Asian Symposium «Trends in magnetism: Nanospintronics» (EASTMAG - 2010), Екатеринбург, 28 июня - 2 июля 2010 г.

• Международная конференция «Realistic theories of correlated electrons in condensed matter», Москва, 1-8 августа 2010 г.

• XIII Всероссийская школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (СПФКС-13), Екатеринбург, 7-14 ноября 2012 г.

• XIX Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ-19), Архангельск, 28 марта - 4 апреля 2013 г.

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается обоснованностью используемых вычислительных методов, а также согласием с современными представлениями физики конденсированного состояния и имеющимися экспериментальными данными.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано четыре статьи в рецензируемых научных журналах, входящих в Перечень ВАК:

1. Monoclinic Mi phase of VO2: Mott-Hubbard versus band insulator / A. S. Belozerov, A. I. Poteryaev, M. A. Korotin, V. I. Anisimov // Physical Review B. - 2012. - Vol. 85, №4. - P. 045109.

2. Belozerov, A. S. Evidence for strong Coulomb correlations in metallic phase of vanadium dioxide / A. S. Belozerov, A. I. Poteryaev, V. I. Anisimov // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 93, №2. - С. 73-77.

3. Rotationally invariant exchange interaction: The case of paramagnetic iron / V. I. Anisimov, A. S. Belozerov, A. I. Poteryaev, I. Leonov // Physical Review B. - 2012. - Vol. 86, №3. - P. 035152.

4. Belozerov, A. S. Magnetism of iron and nickel from rotationally invariant Hirsch-Fye quantum Monte Carlo calculations / A. S. Belozerov, I. Leonov, V. I. Anisimov // Physical Review B. - 2013. - Vol. 87, №12. - P. 125138.

Соответствие диссертации паспорту специальности. Содержание диссертации соответствует п.1 Паспорта специальности 01.04.07 - физика конденсированного состояния: «Теоретическое и экспериментальное изучение физической природы свойств металлов и их сплавов, неорганических и органических соединений, диэлектриков и в том числе материалов световодов как в твердом, так и в аморфном состоянии в зависимости от их химического, изотопного состава, температуры и давления».

Личный вклад автора. Автор принимал непосредственное участие в разработке приближения ЬБА+БМЕТ+У и предложенного метода учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия. Автором написаны все блоки программ для явного учета межузельного кулоновского взаимодействия, а также запрограммирован предложенный метод учета вращательной инвариантности одноузельного кулоновского взаимодействия. Все представленные в диссертации расчеты выполнены лично автором, за исключением вычисления матрицы эффективного гамильтониана для а-железа. Также автор принимал активное участие в анализе полученных результатов и написании всех статей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений, а также списка литературы. Диссертация занимает 108 страниц печатного текста, включая 20 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 104 наименования.

и

Глава 1

Расчет электронной структуры твердых тел в приближении ЬБА+БМЕТ

Расчет электронной структуры твердых тел представляет собой сложную квантово-механическую задачу, точное решение которой невозможно. Среди используемых в настоящее время методов теоретического исследования электронной структуры можно выделить две основные группы.

К первой группе относятся методы, которые основаны на построении модельных гамильтонианов, учитывающих особенности электронных состояний вблизи уровня Ферми. Эти методы позволяют выявить основные физические закономерности в исследуемых системах, а также дать качественное объяснение многим наблюдаемым явлениям. Основные трудности при использовании этих методов для исследования химических соединений заключаются в оценке параметров, входящих в модельные гамильтонианы. Эти параметры зачастую выбирают таким образом, чтобы достичь наилучшего согласия с имеющимися экспериментальными данными.

Ко второй группе методов теоретического исследования электронной структуры относятся так называемые «первопринципные» методы. Такое название обусловлено тем, что при применении этих методов в качестве исходной информации о твердом теле выступают лишь параметры кристаллической структуры и образующие ее химические элементы. Наиболее широкое распространение для расчетов из первых принципов на сегодняшний день получила теория функционала плотности, основы которой были заложены в 1964 году Хоэнбергом и Коном [15]. Эта теория оказалась настолько успешной в описании электронной структуры твердых тел и отдельных молекул, что в 1998 году Кону была присуждена нобелевская премия по химии. Однако теория функ-

ционала плотности сталкивается с серьезными трудностями при применении к соединениям с частично заполненными 3d и 4/ электронными оболочками, в которых наблюдаются сильные электронные корреляции.

Для устранения недостатков теории функционала плотности при описании сильно коррелированных соединений были предложены приближения, которые объединяют данную теорию и подход с использованием модельных гамильтонианов. Наиболее успешными среди таких приближений оказались LDA+U [16] и LDA+DMFT [4], в которых теория функционала плотности в приближении локальной плотности (LDA - Local Density Approximation) объединяется с моделью Хаббарда для явного учета кулоновского взаимодействия на узлах кристаллической решетки. При этом параметры модели Хаббарда вычисляются в приближении LDA, а для решения модели Хаббарда используется приближение статического среднего поля [17] (приближение LDA+f/) или теория динамического среднего поля [5] (приближение LDA+DMFT). Следует отметить, что часто вместо LDA применяется обобщенное градиентное приближение (GGA - Generalized Gradient Approximation). Однако при этом широко используются исторически сложившиеся названия «LDA+U» и «LDA+DMFT».

В настоящее время приближение LDA+DMFT является одним из наиболее совершенных инструментов для расчетов электронной структуры соединений с сильными электронными корреляциями. При этом использование теории динамического среднего поля (DMFT - Dynamical Mean Field Theory) позволяет точно учесть временные зарядовые флуктуации на узлах кристаллической решетки.

В данной главе представлены современные теоретические основы приближения LDA+DMFT, такие как теория функционала плотности, приближение локальной плотности, теория динамического среднего поля, алгоритм Хирша-Фая для решения примесной модели Андерсона, а также расчетная

схема приближения ЪЭА+ВМРТ.

1.1 Теория функционала плотности

Одним из базовых приближений при исследовании электронной структуры твердого тела является приближение Борна-Оппенгеймера. В основе этого приближения лежит тот факт, что масса атомных ядер значительно превосходит массу электрона. В результате этого характерные времена изменения состояний у ядерной и электронной подсистем сильно различаются, что позволяет рассматривать движение электронов в поле неподвижных атомных ядер. Это означает, что полная волновая функция системы в приближении Борна-Оппенгеймера представляется в виде произведения двух волновых функций, соответствующих ядерной и электронной подсистемам.

Поведение электронов в твердом теле описывается многочастичной волновой функцией, для вычисления которой необходимо решить уравнение Шре-дингера. Теория функционала плотности меняет приоритет с вычисления волновой функции на вычисление электронной плотности, которая для системы из N электронов выражается как

р(г) = N ¿гдгФ*(г, г2, г3,..., глг)Ф(г, г2, г3,..., !>), (1.1)

где Ф(г, Г2,..., гдг) - многочастичная волновая функция, нормированная на

Первая попытка построить теорию, основанную на электронной плотности, а не на волновой функции, была предпринята Томасом и Ферми в 1927 году. Однако в их подходе полностью отсутствовал учет обменного взаимодействия и электронных корреляций. В 1964 году Хоэнберг и Кон представили две теоремы [15], которые легли в основу теории функционала плотности. Согласно первой теореме, распределение электронной плотности в основном состоянии определяет внешний потенциал (электростатический потенциал атом-

единицу.

ных ядер является внешним для электронов) с точностью до аддитивной константы. Из этой теоремы следует, что распределение электронной плотности определяет волновую функцию основного состояния системы, а значит и все наблюдаемые физические величины. Вторая теорема гласит, что для любого внешнего потенциала полная энергия системы электронов может быть представлена в виде функционала плотности, причем минимуму этого функционала соответствует основное состояние системы. Таким образом, полная энергия системы электронов может быть представлена как функционал электронной плотности в виде

где 14x1 ~ внешний потенциал для электронной системы, -Р[р(г)] - функционал Хоэнберга-Кона, который представляет собой сумму кинетической энергии электронов и энергии электрон-электронного взаимодействия. Функционал ^[р(г)] не зависит от и является универсальной характеристикой для системы электронов. Точное выражение для функционала Хоэнберга-Кона не известно, что приводит к необходимости использования приближений.

В 1965 году Кон и Шэм [1] предложили упростить исходную многочастичную задачу, перейдя к решению одночастичной задачи. Они предложили рассмотреть систему невзаимодействующих электронов, а вклады от кулонов-ского взаимодействия представить через эффективный внешний потенциал. Этот потенциал должен быть таким, чтобы многочастичная и одночастич-ная задачи приводили к одинаковому распределению электронной плотности в основном состоянии. Таким образом, электронная плотность может быть представлена как

где ф{(т) - одночастичная волновая функция г-го электрона. Полную энергию

(1.2)

N

(1.3)

системы Кон и Шэм предложили представить в виде функционала

£KSMr)] = Т0[р(т)} + Eext[P(r)} + ^HartreeWr)] + Ех с[р(г)], (1.4)

где Т0[р(г)] - кинетическая энергия системы невзаимодействующих электронов, #ext[p(r)] — f Vext(Y)p(T)dr - энергия взаимодействия электронной системы с потенциалом, создаваемым атомными ядрами,

__Г / М 9 г г р(г)р(г') III V

£?HartreelMr)] — е JJ -jr-drdr - вклад Хартри в энергию кулонов-

ского взаимодействия, Ехс[р(г)] - обменно-корреляционный вклад в энергию кулоновского взаимодействия. Создаваемый атомными ядрами потенциал может быть представлен как

= (1-5)

3 ^

где ^ - положение ^-го атомного ядра с зарядом

Нахождение минимума функционала (1.4) сводится к решению набора уравнений, которые имеют вид одночастичных уравнений Шредингера. Эти уравнения называются уравнениями Кона-Шэма и записываются как

П2

"А + Veff(r)

фг{г)=£гфг{г), г = 1,2, ...ДГ, (1.6)

2 7Пе

где те - масса электрона, г>ея(г) - эффективный внешний потенциал, который имеет вид

Последний член в выражении (1.7) представляет собой обменно-корреляционный потенциал, который является функциональной производной обменно-корреляционной энергии по электронной плотности:

Так как эффективный внешний потенциал зависит от электронной плотности, которая, в свою очередь, определяется одночастичными волновыми функциями, то уравнения Кона-Шэма должны решаться самосогласованно (с использованием итеративного вычисления последовательных приближений). Для этого выбирается некоторая стартовая электронная плотность, с которой вычисляется эффективный внешний потенциал и решаются уравнения Кона-Шэма. Получаемые одноэлектронные волновые функции используются для вычисления новой электронной плотности. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто условие сходимости, которое выражается в малом изменении распределения электронной плотности и полной энергии системы.

Таким образом, подход Кона-Шэма позволяет существенно упростить исходную многочастичную задачу, сводя ее к самосогласованному решению одночастичных уравнений Кона-Шэма. В данном подходе все трудности учета многочастичных эффектов сведены к определению обменно-корреляционного функционала. Поскольку точный вид данного функционала не известен, то для практических вычислений используют различные приближения.

1.2 Приближение локальной плотности (LDA)

В настоящее время одним из широко используемых приближений для обменно-корреляционного функционала является приближение локальной плотности (LDA - Local Density Approximation), предложенное Коном и Шэмом [1]. В этом приближении обменно-корреляционная энергия представляется в виде

El?A[p(r)] = J p(r)exM*))dr, (1.9)

где ехс(р(г)) - плотность (на электрон) обменно-корреляционной энергии однородного электронного газа с электронной плотностью р(т). Таким образом,

приближение локальной плотности основано на предположении, что исходная система в каждой точке пространства имеет такую же плотность обменно-кор-реляционной энергии как и однородной электронный газ с тем же значением электронной плотности. Данное приближение представляется оправданным при отсутствии резких изменений электронной плотности.

Для обменного потенциала однородного электронного газа может быть получено точное аналитическое выражение:

Поскольку корреляционный потенциал не может быть выражен аналитически, то для его задания используются приближенные формы, такие как Пердю-Ванга [18], Барта-Хедина [19] и другие.

Несмотря на простоту физических принципов, лежащих в основе приближения локальной плотности, оно оказалось весьма эффективным для расчетов электронной структуры. Следует отметить, что также широкое распространение получило обобщенное градиентное приближение (GGA -Generalized Gradient Approximation), которое отличается от приближения LDA тем, что плотность энергии однородного электронной газа зависит не только от электронной плотности в данной точке пространства, но и от градиента этой плотности.

1.3 Модель Хаббарда

Модель Хаббарда [20] является одной из базовых моделей для исследования сильно коррелированных электронных систем. Эта модель описывает динамику электронов на кристаллической решетке с учетом их локального кулоновского взаимодействия. Гамильтониан модели Хаббарда для многозон-

(1.10)

ного случая может быть записан как

ЯниЬЬага = - X X + Ь.С.) + #[/, (1.11)

(г,^) тт'сг

где с^ и с1та - операторы рождения и уничтожения электрона со спином а на орбитали т узла г, - интеграл перескока электрона между орбиталью т узла % и орбиталью т! узла Ни - гамильтониан одноузельного кулоновского взаимодействия на узлах кристаллической решетки. Суммирование по обозначает суммирование по всем ближайшим соседям. Первые два слагаемых в гамильтониане (1.11) соответствуют перескокам электронов между узлами кристаллической решетки в приближении сильно связанных электронов.

Для случая невырожденной зоны гамильтониан Ни имеет простой вид и записывается как Ни = и ^ щ-Пф где ща - оператор числа частиц на узле г со спином а и - параметр одноузельного кулоновского отталкивания.

Однако при рассмотрении кулоновского взаимодействия в частично заполненных Ш и 4/ электронных оболочках гамильтониан Ни выглядит значительно сложнее. В общем виде этот гамильтониан может быть представлен как

Ни — ^ X/ X/ итт'т"т'"С^гпа^ип'а'5 (1-12)

г {т}сга'

где итт>т"т"' = (га, т'\Усои1\т",т'") ~ матричные элементы оператора кулоновского взаимодействия УсоиЬ {т} обозначает набор магнитных квантовых чисел га, га/, га", т'". Матричные элементы С/тт'ТО"ТО"/ могут быть выражены через слэтеровские интегралы Рк и сферические функции Укр в следующем виде [21]:

21

итт'т"т'" = ^ аЛ(т, ш", ш', т''')^*, (1ЛЗ)

к=О

Л/ТГ ^

ак(т,т",т',тт) = ^-¡^ ^ (1т\¥кр\1т"){1т'\¥£р\1т'"), (1.14)

р=—к

где I - орбитальное квантовое число. Вклад в выражение (1.13) дают только слэтеровские интегралы с четным к, которые определяются как

оо оо

Рк = е2

<1г^{гУ [ (1.15)

У г>

о о

где г> = тах{г, г'}, г< = тт{г, г'}, - радиальная волновая функция.

Введем обозначения итт> = итт>тт' и Зтт! = итт>т>т, тогда гамильтониан (1.12) может быть представлен в виде

Ни — — ^ ^ ^ ^ [^тт'^пкт^т'? (^тш' Зтт')^таЩтп'а] г ттп'а

~ о У У > ^тст^тст^т'сг^т'ст)' (1-1®)

г ттп'ст тфт!

где щта = с~1тас1т(7, о" обозначает противоположное значение спина по отношению к ст. Первые три слагаемых в гамильтониане (1.16) содержат только операторы числа частиц и соответствуют кулоновскому взаимодействию в форме «плотность-плотность». Четвертое слагаемое соответствует парным переворотам спинов на орбиталях т и га', а пятое слагаемое - парным перескокам электронов с орбитали га' на орбиталь га.

При исследовании соединений с сильными электронными корреляциями в подавляющем большинстве случаев используется приближенная форма ку-лоновского взаимодействия. Эта форма взаимодействия получила название «плотность-плотность» и учитывает только ту часть кулоновского взаимодействия, которая может быть выражена через электронную плотность. При этом нарушается симметрия кулоновского взаимодействия, которое теряет вращательную инвариантность.

Для параметризации матрицы кулоновского взаимодействия используются параметры прямого и и обменного 7 кулоновского взаимодействия, ко-

торые вводятся следующим образом:

и = j2iiцг = d-17)

^ ' mm'

mm

и — 1 - <21(21 | 1) ~ ¿гптп')- (1-18)

шш'

В частности, для в, оболочки: 7 = + ^4)/14. Отношение для d эле-

ментов близко к атомному значению и принимается равным 0,625 эВ.

Для задания гамильтониана Ни часто используется параметризация Ка-намори [3], в которой полагается, что итгг1> = Ы — 23 при т ^ т! и итт — Ы. В этом случае гамильтониан одноузельного кулоновского взаимодействия имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Белозеров, Александр Сергеевич, 2013 год

Список литературы

1. Kohn, W. Self-consistent equations including exchange and correlation effects / W. Kohn, L. J. Sham // Physical Review. - 1965. - Vol. 140, № 4A. -P. A1133-A1138.

2. Кон, В. Электронная структура вещества — волновые функции и функционалы плотности / В. Кон // Успехи физических наук. — 2002. — Т. 172, № 3,- С. 336.

3. Изюмов,. Электронная структура соединений с сильными корреляциями / Изюмов, Анисимов. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. — С. 376.

4. First-principles calculations of the electronic structure and spectra of strongly correlated systems: dynamical mean-field theory / V. I. Anisimov, A. I. Poteryaev, M. A. Korotin, A. O. Anokhin, G. Kotliar // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1997. - Vol. 9, № 35. - P. 7359-7367.

5. Georges, A. Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions / A. Georges, W. Krauth, M. J. Rozenberg // Reviews of Modern Physics. — 1996,— Vol. 68, № 1.— P. 13-125.

6. Campo, V. L. Extended DFT+tZ+У method with on-site and inter-site electronic interactions. /V. L. Campo, M. Cococcioni // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2010. - Vol. 22, № 5. - P. 055602.

7. Kulik, H. J. Transition-metal dioxides: a case for the intersite term in Hub-bard-model functionals. / H. J. Kulik, N. Marzari // The Journal of chemical physics. - 2011. - Vol. 134, № 9. - P. 094103.

8. Caffarel, M. Exact diagonalization approach to correlated fermions in infinite dimensions: Mott transition and superconductivity / M. Caffarel, W. Krauth // Physical Review Letters.- 1994.- Vol. 72, № 10.— P. 1545-1548.

9. Rubtsov, A. Continuous-time quantum Monte Carlo method for fermions / A. Rubtsov, V. Savkin, A. Lichtenstein // Physical Review B. — 2005. — Vol. 72, № 3. - P. 035122.

10. Bulla, R. Numerical renormalization group method for quantum impurity systems / R. Bulla, T. Costi, T. Pruschke // Reviews of Modern Physics. — 2008. - Vol. 80, № 2. - P. 395-450.

11. Eyert, V. VO2'. A novel view from band theory / V. Eyert // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 107, № 1. - P. 016401.

12. Continenza, A. Self-energy corrections in VO2 within a model GW scheme / A. Continenza, S. Massidda, M. Posternak // Physical Review B.— 1999. — Vol. 60, № 23. - P. 15699-15704.

13. Dynamical singlets and correlation-assisted Peierls transition in VO2 / S. Biermann, A. Poteryaev, A. Lichtenstein, A. Georges // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 94, № 2. - P. 026404.

14. Lichtenstein, A. Finite-temperature magnetism of transition metals: An ab initio dynamical mean-field theory / A. Lichtenstein, M. Katsnelson, G. Kotliar // Physical Review Letters. - 2001. - Vol. 87, № 6. - P. 067205.

15. Hohenberg, P. Inhomogeneous electron gas / P. Hohenberg, W. Kohn // Physical Review. - 1964. - Vol. 136, № 3B. - P. B864-B871.

16. Anisimov, V. I. Band theory and Mott insulators: Hubbard U instead of

Stoner I / V. I. Anisimov, J. Zaanen, 0. K. Andersen // Physical Review B. - 1991. - Vol. 44, № 3. - P. 943-954.

17. Anisimov, V. I. First-principles calculations of the electronic structure and spectra of strongly correlated systems: the LDA + U method / V. I. Anisimov, F. Aryasetiawan, A. I. Lichtenstein // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1997. - Vol. 9, № 4. - P. 767-808.

18. Perdew, J. P. Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy / J. P. Perdew, Y. Wang // Physical Review B. — 1992. — Vol. 45, № 23. - P. 13244-13249.

19. von Barth, U. A local exchange-correlation potential for the spin polarized case: I / U. von Barth, L. Hedin // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1972. - Vol. 5, № 13. - P. 1629-1642.

20. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1963. - Vol. 276, № 1365. - P. 238-257.

21. Liechtenstein, A. I. Density-functional theory and strong interactions: Orbital ordering in Mott-Hubbard insulators / A. I. Liechtenstein, J. Zaanen // Physical Review B. - 1995. - Vol. 52, № 8. - P. R5467-R5470.

22. Metzner, W. Correlated lattice fermions in d=oo dimensions / W. Metzner, D. Vollhardt // Physical Review Letters.- 1989,- Vol. 62, №- 3.~ P. 324-327.

23. Georges, A. Hubbard model in infinite dimensions / A. Georges, G. Kotliar // Physical Review B. - 1992. - Vol. 45, № 12. - P. 6479-6483.

24. Jarrell, M. Hubbard model in infinite dimensions: A quantum Monte Carlo

study / M. Jarrell // Physical Review Letters.- 1992.- Vol. 69, № 1.— P. 168-171.

25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. IX / Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика. В 2 ч. Ч. 2. Теория конденсированного состояния. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. - С. 496.

26. Hirsch, J. Monte Carlo method for magnetic impurities in metals / J. Hirsch, R. Fye // Physical Review Letters. - 1986. - Vol. 56, № 23. - P. 2521-2524.

27. Hirsch, J. Discrete Hubbard-Stratonovich transformation for fermion lattice models / J. Hirsch // Physical Review В. - 1983,- Vol. 28, № 7.-P. 4059-4061.

28. Andersen, O. Muffin-tin orbitals of arbitrary order / O. Andersen, T. Saha-Dasgupta // Physical Review В.- 2000,- Vol. 62, № 24.-P. R16219-R16222.

29. Construction and solution of a Wannier-functions based Hamiltonian in the pseudopotential plane-wave framework for strongly correlated materials / D. Korotin, A. V. Kozhevnikov, S. L. Skornyakov, I. Leonov, N. Binggeli, V. I. Anisimov, G. Trimarchi // The European Physical Journal B. — 2008. — Vol. 65, № 1,- P. 91-98.

30. Density-functional calculation of the parameters in the Anderson model: Application to Mn in CdTe / O. Gunnarsson, O. Andersen, O. Jepsen, J. Zaa-nen // Physical Review B. - 1989. - Vol. 39, № 3. - P. 1708-1722.

31. Frequency-dependent local interactions and low-energy effective models from electronic structure calculations / F. Aryasetiawan, M. Imada, A. Georges, G. Kotliar, S. Biermann, A. Lichtenstein // Physical Review В. — 2004.— Vol. 70, № 19. - P. 195104.

32. Charge-ordered insulating state of FesC^ from first-principles electronic structure calculations / V. I. Anisimov, I. S. Elfimov, N. Hamada, K. Terakura // Physical Review B. - 1996. - Vol. 54. - P. 4387-4390.

33. Lichtenstein, A. Antiferromagnetism and d-wave superconductivity in cuprates: A cluster dynamical mean-field theory / A. Lichtenstein, M. Katsnelson // Physical Review B. - 2000. - Vol. 62, № 14. - P. R9283-R9286.

34. Cellular dynamical mean field approach to strongly correlated systems / G. Kotliar, S. Savrasov, G. Palsson, G. Biroli // Physical Review Letters.— 2001. - Vol. 87, № 18. - P. 186401.

35. Poteryaev, A. Nonlocal Coulomb interactions and metal-insulator transition in Ti2Os: A cluster LDA+DMFT approach / A. Poteryaev, A. Lichtenstein, G. Kotliar // Physical Review Letters. - 2004. - Vol. 93, № 8. - P. 086401.

36. Extended Hubbard model: Charge ordering and Wigner-Mott transition / A. Amaricci, A. Camjayi, K. Haule, G. Kotliar, D. Tanaskovic, V. Dobrosavl-jevic // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82, №- 15. - P. 155102.

37. Hirsch, J. Metallic ferromagnetism in a single-band model / J. Hirsch // Physical Review B. - 1989. - Vol. 40, № 4. - P. 2354-2361.

38. Caixeiro, E. S. Superconductivity in the extended two-dimensional Hubbard model: Strong-coupling regime and hybridization effects / E. S. Caixeiro, A. Troper // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82, № 1. - P. 014502.

39. Morin, F. Oxides which show a metal-to-insulator transition at the Neel temperature / F. Morin // Physical Review Letters. — 1959. — Vol. 3, № 1. — P. 34-36.

40. Chain, E. E. Optical properties of vanadium dioxide and vanadium pentox-

ide thin film / E. E. Chain // Applied Optics. - 1991,- Vol. 30, № 19.-P. 2782-2787.

41. Goodenough, J. B. The two components of the crystallographic transition in VO2 / J. B. Goodenough // Journal of Solid State Chemistry. — 1971. — Vol. 3, № 4. - P. 490-500:

42. Contribution to the study of the metal-insulator transition in the Vi-^Nba^ system—II magnetic properties / J. Pouget, P. Lederer, D. Schreiber, H. Launois, D. Wohlleben, A. Casalot, G. Villeneuve // Journal of Physics and Chemistry of Solids. - 1972. - Vol. 33, № 10. - P. 1961-1967.

43. Magnetic and structural properties of stoichiometric and non-stoichiometric (V,A1)02 alloys / G. Villeneuve, M. Drillon, P. Hagenmuller, M. Nygren, J. P. Pouget, F. Carmona, P. Delhaes // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1977. - Vol. 10, № 18. - P. 3621-3631.

44. Structural aspects of the metal-insulator transitions in Cr-doped VO2 / M. Marezio, D. McWhan, J. Remeika, P. Dernier // Physical Review В.— 1972. - Vol. 5, № 7. - P. 2541-2551.

45. Pouget, J. P. Electron localization induced by uniaxial stress in pure VO2 / J. P. Pouget, H. Launois, T. M. Rice // Physical Review Letters. — 1975.— Vol. 35, № 13. - P. 873-875.

46. Rice, T. M. Comment on "VO2: Peierls or Mott-Hubbard? A view from band theory" / T. M. Rice, J. P. Pouget /'/' Physical Review Letters. — 1994. — Vol. 73, №- 22. - P. 3042-3042.

47. Коротки, M. А. Изменение орбитальной симметрии локализованного Зd1-элeктpoнa иона V4+ при переходе металл-изолятор в VO2 / М. А. Коротин, Н. А. Скориков, В. Анисимов // Физика металлов и металловедение. - 2002. - Т. 94, № 1. - С. 22-29.

48. Wentzcovitch, R. M. V02: Peierls or Mott-Hubbard? A view from band theory / R. M. Wentzcovitch // Physical Review Letters. - 1994.— Vol. 72, № 21. - P. 3389-3392.

49. Eyert, V. The metal-insulator transitions of V02: A band theoretical approach / V. Eyert // Annalen der Physik.- 2002,- Vol. 11, № 9,-P. 650-704.

50. Photoemission study of the metal-insulator transition in V02/Ti02(001): Evidence for strong electron-electron and electron-phonon interaction / K. Okazaki, H. Wadati, A. Fujimori, M. Onoda, Y. Muraoka, Z. Hiroi // Physical Review B. - 2004. - Vol. 69, № 16. - P. 165104.

51. Transfer of spectral weight and symmetry across the metal-insulator transition in V02 / T. C. Koethe, Z. Hu, M. W. Haverkort, C. Schüssler-Langeheine, F. Venturini, N. B. Brookes, O. Tjernberg, W. Reichelt, H. H. Hsieh, H.-J. Lin, C. T. Chen, L. H. Tjeng // Physical Review Letters. - 2006. - Vol. 97, № 11. - P. 116402.

52. Heyd, J. Hybrid functionals based on a screened Coulomb potential / J. Heyd, G. E. Scuseria, M. Ernzerhof // The Journal of Chemical Physics. — 2003. — Vol. 118, № 18,- P. 8207.

53. Understanding correlations in vanadium dioxide from first principles / M. Gatti, F. Bruneval, V. Olevano, L. Reining // Physical Review Letters. — 2007. - Vol. 99, № 26. - P. 266402.

54. Effective band structure of correlated materials: the case of VO2. // Journal of physics: Condensed matter. - 2007. - Vol. 19, № 36. - P. 365206.

55. Effects of strain on the electronic structure of V02 / B. Lazarovits, K. Kim, K. Haule, G. Kotliar // Physical Review B. - 2010.- Vol. 81, № 11.-P. 115117.

56. X-ray diffraction study of metallic VO2 / D. McWhan, M. Marezio, J. Remei-ka, R Dernier // Physical Review B. - 1974. - Vol. 10, №- 2. - P. 490-495.

57. Longo, J. M. A refinement of the structure of VO2 / J. M. Longo, P. Kierkegaard // Acta Chemica Scandinavica. — 1970. — Vol. 24, № 2. — P. 420-426.

58. Andersen, O. K. Explicit, first-principles tight-binding theory / O. K. Andersen, O. Jepsen // Physical Review Letters. — 1984,— Vol. 53, № 27,— P. 2571-2574.

59. Quantum Monte Carlo simulations and maximum entropy: Dynamics from imaginary-time data / J. Gubernatis, M. Jarrell, R. Silver, D. Sivia // Physical Review B. - 1991. - Vol. 44, № 12. - P. 6011-6029.

60. Coulomb repulsion and correlation strength in LaFeAsO from density functional and dynamical mean-field theories. / V. I. Anisimov, D. M. Korotin, M. A. Korotin, A. V. Kozhevnikov, J. Kunes, A. O. Shorikov, S. L. Sko-rnyakov, S. V. Streltsov // Journal of Physics: Condensed Matter. — 2009. — Vol. 21, № 7,- P. 075602.

61. Dimerization of a linear Heisenberg chain in the insulating phases of Vi-zCr^C^ / J. Pouget, H. Launois, T. Rice, P. Dernier, A. Gossard, G. Villeneuve, P. Hagenmuller // Physical Review B.— 1974,— Vol. 10, № 5.— P. 1801-1815.

62. Zylbersztejn, A. Metal-insulator transition in vanadium dioxide / A. Zyl-bersztejn, N. F. Mott // Physical Review B. - 1975,- Vol. 11, № 11.— P. 4383-4395.

63. Pruschke, T. Hund's coupling and the metal-insulator transition in the two-band Hubbard model / T. Pruschke, R. Bulla // The European Physical Journal B. - 2005. - Vol. 44, № 2. - P. 217-224.

64. Sakai, S. Itinerant ferromagnetism in the multiorbital Hubbard model: A dynamical mean-field study / S. Sakai, R. Arita, H. Aoki // Physical Review Letters. - 2007. - Vol. 99, № 21. - P. 216402.

65. Role of rotational symmetry in the magnetism of a multiorbital model / A. E. Antipov, I. S. Krivenko, V. I. Anisimov, A. I. Lichtenstein, A. N. Rubtsov // Physical Review B. - 2012. - Vol. 86, № 15. - P. 155107.

66. Антипов, A. E. Роль вращательной симметрии в магнетизме многозонных моделей / А. Е. Антипов, М. С. Алейников, В. Анисимов // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94, № 2. - С. 130-132.

67. Quantum Monte Carlo study for multiorbital systems with preserved spin and orbital rotational symmetries / S. Sakai, R. Arita, K. Held, H. Aoki // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74, № 15. - P. 155102.

68. Sakai, S. Numerical algorithm for the double-orbital Hubbard model: Hundcoupled pairing symmetry in the doped case / S. Sakai, R. Arita, H. Aoki // Physical Review B. - 2004. - Vol. 70, № 17. - P. 172504.

69. Kondo decoherence: Finding the right spin model for iron impurities in gold and silver / T. Costi, L. Bergqvist, A. Weichselbaum, J. von Delft, T. Mick-litz, A. Rosch, P. Mavropoulos, P. Dederichs, F. Mallet, L. Saminadayar, C. Bauerle // Physical Review Letters. - 2009. - Vol. 102, № 5. - P. 056802.

70. Relevance of the complete Coulomb interaction matrix for the Kondo problem: Co impurities in Cu hosts / E. Gorelov, T. Wehling, A. Rubtsov, M. Katsnelson, A. Lichtenstein // Physical Review В. - 2009,- Vol. 80, № 15,— P. 155132.

71. Renormalized spectral function for Co adatom on the Pt(lll) surface / V. V. Mazurenko, S. N. Iskakov, A. N. Rudenko, V. I. Anisimov, A. I. Lichtenstein // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82, № 19. - P. 193403.

72. Theoretical evidence for strong correlations and incoherent metallic state in FeSe / M. Aichhorn, S. Biermann, T. Miyake, A. Georges, M. Imada // Physical Review B. - 2010. - Vol. 82, № 6. - P. 064504.

73. Yin, Z. P. Kinetic frustration and the nature of the magnetic and paramagnetic states in iron pnictides and iron chalcogenides. / Z. P. Yin, K. Haule, G. Kotliar // Nature materials. - 2011. - Vol. 10, № 12. - P. 932-5.

74. Multiorbital Kondo physics of Co in Cu hosts / B. Surer, M. Troyer, P. Werner, T. O. Wehling, A. M. Läuchli, A. Wilhelm, A. I. Lichtenstein // Physical Review B. - 2012. - Vol. 85, № 8. - P. 085114.

75. Multiplet effects in orbital and spin ordering phenomena: A hybridization-expansion quantum impurity solver study / A. Flesch, E. Gorelov, E. Koch, E. Pavarini // Physical Review B. - 2013. - Vol. 87, № 19. - P. 195141.

76. Hubbard, J. The magnetism of iron / J. Hubbard // Physical Review B. — 1979. - Vol. 19, № 5. - P. 2626-2636.

77. Hubbard, J. Magnetism of iron. II / J. Hubbard // Physical Review B.— 1979. - Vol. 20, № 11. - P. 4584-4595.

78. Ultrasoft pseudopotentials applied to magnetic Fe, Co, and Ni: From atoms to solids / E. Moroni, G. Kresse, J. Hafner, J. Furthmüller // Physical Review B. - 1997. - Vol. 56, № 24. - P. 15629-15646.

79. Dal Corso, A. Ab initio phonon dispersions of Fe and Ni / A. Dal Corso, S. de Gironcoli // Physical Review B. - 2000. - Vol. 62, № 1. - P. 273-277.

80. Singh, D. Gradient-corrected density functionals: Full-potential calculations for iron / D. Singh, W. Pickett, H. Krakauer // Physical Review B. — 1991. — Vol. 43, № 14,- P. 11628-11634.

81. Katsnelson, M. I. LDA++ approach to the electronic structure of magnets: correlation effects in iron / M. I. Katsnelson, A. I. Lichtenstein // Journal of Physics: Condensed Matter. - 1999. - Vol. 11, № 4. - P. 1037-1048.

82. Katsnelson, M. First-principles calculations of magnetic interactions in correlated systems / M. Katsnelson, A. Lichtenstein // Physical Review B. — 2000. - Vol. 61, № 13. - P. 8906-8912.

83. Charge self-consistent dynamical mean-field theory based on the full-potential linear muffin-tin orbital method: Methodology and applications /

0. Granas, I. di Marco, P. Thunstrom, L. Nordstrom, O. Eriksson, T. Bjork-man, J. Wills // Computational Materials Science.— 2012.— Vol. 55.— P. 295-302.

84. Orbital-selective formation of local moments in a-iron: First-principles route to an effective model / A. A. Katanin, A. I. Poteryaev, A. V. Efremov, A. O. Shorikov, S. L. Skornyakov, M. A. Korotin, V. I. Anisimov // Physical Review B. - 2010. - Vol. 81, № 4. - P. 045117.

85. Electronic correlations at the a-7 structural phase transition in paramagnetic iron / I. Leonov, A. I. Poteryaev, V. I. Anisimov, D. Vollhardt // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106, № 10. - P. 106405.

86. Calculated phonon spectra of paramagnetic iron at the a-7 phase transition /

1. Leonov, A. I. Poteryaev, V. I. Anisimov, D. Vollhardt // Physical Review B. - 2012. - Vol. 85, № 2. - P. 020401.

87. Antonides, E. LMM Auger spectra of Cu, Zn, Ga, and Ge. I. Transition probabilities, term splittings, and effective Coulomb interaction / E. Antonides, E. Janse, G. Sawatzky // Physical Review B.- 1977.- Vol. 15, № 4.-P. 1669-1679.

88. Correlation effects on Auger spectra in unfilled d band metals / G. Treglia, M. C. Desjonqueres, F. Ducastelle, D. Spanjaard // Journal of Physics C: Solid State Physics. - 1981. - Vol. 14, № 29. - P. 4347-4355.

89. de Boer, D. K. G. Auger spectra of compounds of Sc, Ti and Cr / D. K. G. de Boer, C. Haas, G. A. Sawatzky // Journal of Physics F: Metal Physics. — 1984. - Vol. 14, № 11. - P. 2769-2780.

90. Steiner, M. Quasiparticle properties of Fe, Co, and Ni / M. Steiner, R. Albers, L. Sham // Physical Review B. - 1992. - Vol. 45, № 23. - P. 13272-13284.

91. Cococcioni, M. Linear response approach to the calculation of the effective interaction parameters in the LDA+i/ method / M. Cococcioni, S. de Giron-coli // Physical Review B. - 2005. - Vol. 71, № 3. - P. 035105.

92. First-principles calculation of effective onsite Coulomb interactions of 3d transition metals: Constrained local density functional approach with maximally localized Wannier functions / K. Nakamura, R. Arita, Y. Yoshimoto, S. Tsuneyuki // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74, №- 23. - P. 235113.

93. Calculations of Hubbard U from first-principles / F. Aryasetiawan, K. Karls-son, O. Jepsen, U. Schönberger // Physical Review B. — 2006.— Vol. 74, № 12,- P. 125106.

94. Miyake, T. Ab initio procedure for constructing effective models of correlated materials with entangled band structure / T. Miyake, F. Aryasetiawan, M. Imada // Physical Review B. - 2009. - Vol. 80, № 15. - P. 155134.

95. Sasioglu, E. Effective Coulomb interaction in transition metals from constrained random-phase approximation / E. Sasioglu, C. Friedrich, S. Blügel // Physical Review B. - 2011. - Vol. 83, № 12. - P. 121101.

96. Ab initio electronic structure calculations of correlated systems: An EM-TO-DMFT approach / L. Chioncel, L. Vitos, I. Abrikosov, J. Kollár, M. Katsnelson, A. Lichtenstein // Physical Review B. - 2003.- Vol. 67, № 23.— P. 235106.

97. Strength of correlation effects in the electronic structure of iron / J. Sánchez-Barriga, J. Fink, V. Boni, I. Di Marco, J. Braun, J. Minár, A. Varykhalov, O. Rader, V. Bellini, F. Manghi, H. Ebert, M. I. Katsnelson,

A. I. Lichtenstein, O. Eriksson et al. // Physical Review Letters. — 2009. — Vol. 103, № 26. - P. 267203.

98. Chandesris, D. Two-electron resonances in transition metals / D. Chandesris, J. Lecante, Y. Petroff // Physical Review B.- 1983.- Vol. 27, № 5.-P. 2630-2635.

99. Chandesris, D. Comment on "Photoemission study of the existence of a valence-band satellite in Fe" / D. Chandesris, J. Lecante, Y. Petroff // Physical Review B. - 1986. - Vol. 34, № 12. - P. 8971-8972.

100. Gutiérrez, A. Angle-resolved resonant photoemission at the Mill absorption threshold of Co and Fe metal / A. Gutiérrez, M. López // Physical Review

B. - 1997. - Vol. 56, № 3. - P. 1111-1113.

101. The ferromagnetic to paramagnetic phase transition of Fe studied by X-ray photoelectron spectroscopy / R. Kirby, E. Kisker, F. King, E. Garwin // Solid State Communications. - 1985. - Vol. 56, № 5. - P. 425-429.

102. Photoemission study of the existence of a valence-band satellite in Fe / H. Ka-to, T. Ishii, S. Masuda, Y. Harada, T. Miyano, T. Komeda, M. Onchi, Y. Sak-isaka // Physical Review B. - 1985. - Vol. 32, № 4. - P. 1992-1996.

103. Reply to «Comment on 'Photoemission study of the existence of a valence-band satellite in Fe'» / H. Kato, T. Ishii, S. Masuda, Y. Harada,

T. Miyano, T. Komeda, M. Onchi, Y. Sakisaka // Physical Review B. — 1986. - Vol. 34, № 12. - P. 8973-8974.

104. Fermi surface and electron correlation effects of ferromagnetic iron / J. Schäfer, M. Hoinkis, E. Rotenberg, P. Blaha, R. Claessen // Physical Review B. - 2005. - Vol. 72, № 15. - P. 155115.