Цилиндрические релятивистские и нерелятивистские течения в астрофизике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Нохрина, Елена Евгеньевна

• Нохрина, Елена Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нохрина, Елена Евгеньевна

Введение.

1 Релятивистское течение.

1.1 Основные уравнения

1.2 Постановка задачи.

1.3 Решение одномерных уравнений.

1.4 Ускорение плазмы.

1.5 Регуляризация автомодельных решений вблизи оси и одномерные решения с автомдельными интегралами

1.6 Возможность анализа эволюции течения вдоль струйного выброса в одномерном приближении.

1.7 Пример течения в параболическом поле.

1.8 Модель течения в параболическом магнитном поле с непостоянной функией угловой скорости вращения

1.9 Быстрая магнитозвуковая поверхность и дозвуковое течение. Случай произвольных интегралов движения.

2 Нерелятивистское течение.

2.1 Основные уравнения

2.2 Постановка задачи.

2.3 Доальвеновское течение.

2.4 Сверхальвеновское течение.

2.5 Слабо замагниченное течение.

2.6 Регуляризация автомодельного решения вблизи оси.

2.7 Оценка кинетической энергии плазмы на быстрой маг-нитозвуковой поверхности.

2.8 Невозможность многокомпонентного нерелятивистского течения.

2.9 Влияние тепловых членов

2.10 Положение косой ударной волны у основания нерелятивистского струйного выброса.

2.11 Модель струйного выброса из молодых звёзд . 65 Заключение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Цилиндрические релятивистские и нерелятивистские течения в астрофизике»

Активность многих компактных объектов — активных галактических ядер, молодых звёзд, микроквазаров — связана с хорошо сколлимирован-ными струйными выбросами. Общепринято, что огромную роль в таких течениях играет магнитное поле, а сами течения моделируются в рамках магнитой гидродинамики (МГД) [14, 48, 16, 55, 36].

В окрестности активных молодых звёзд типа Т Tauri струйные выбросы наблюдаются на масштабах 10 — 100 а.е. и имеют максимальную скорость порядка нескольких сотен километров в секунду. При этом на поверхности звёзд измеряемая величина магнитного поля достигает нескольких килогаусс (см., например, [39]). Кроме того, наблюдения с высоким разрешением в [64, 2] показывают систематическую асимметрию в доп-плеровском сдвиге поперёк джета, объясняемую тороидальной скоростью вещества в выбросе порядка 10 — 30 км/с. Все эти факты подтверждают, что механизм запуска этих джетов является магнито-гидродинамическим. При этом коллимация джета происходит довольно быстро, и уже на расстоянии примерно 50 а.е. от центральной звезды угол раскрытия джета составляет всего несколько градусов [22].

Релятивистские джеты также характеризуются высокой степенью коллимации и, кроме того, очень большими значениями лоренц-фактора плазмы в них. Одним из вопросов в моделях релятивистских струйных выбросов является ускорение плазмы в них до таких высоких значений. Предполагается, что энергия, переносившаяся у основания джетов в основном электромагнитным полем, должна трансформироваться в кинетическую энергию частиц. Для описания МГД течений удобно пользоваться параметром замагниченности а, введённым Майкелем [52]. Этот параметр имеет смысл отношения потока электромагнитной энергии к потоку энергии частиц вблизи поверхности центрального объекта. Несмотря на отсутствие наблюдений в непосредственной близости от нейтронной звезды, теоретические модели предсказывают в этой области существенное преобладание энергии магнитного поля над энергией частиц, то есть а 1 [40], [12]. То же самое можно сказать и об активных галактических ядрах [12]. Кроме того, для блазаров существуют наблюдательные ограничения на величину Лоренц-фактора вблизи центрального объекта. В частности, показано, что ускорение частиц до 7 = 10 должно происходить как минимум на расстоянии г ~ 103г5 [58]. С другой стороны, вдали от пульсаров наблюдения вместе с теоретическими моделями позволяют оценить величину параметра замагниченности течения а ~ Ю-3 [32]. Наблюдения квазаров и активных галактических ядер дают а < 1 или'сг <С 1 [58].

Сама коллимация течений, конечно, является одним из важнейших вопросов МГД моделей [16, 55, 57, 60, 54]. Мы предполагаем, что коллимация осуществляется внешней средой с магнитным и/или газовым давлением [1, 45, 10]. В самом деле, если предположить, что среднее галактическое магнитное поле Bext ~ Ю-6 Гс играет основную роль в коллимации, мы получим оценку для радиуса цилиндрического струйного выброса 7"jet ~ 7"т (Дп/^ext)1^2- Здесь и ниже индексы 'in' соответствуют значениям величин вблизи центрального объекта. Если внешнее давление рехt не магнитное, то подобная оценка верна для эффективного магнитного поля 5gxt eff/87r ~ ^хt- Для молодых звёзд с В\п ~ 103 Гс и Rm ~ Rq мы получаем rjet ~ 1015 см в согласии с наблюдениями. Для активных ядер (В[п ~ 104 Гс, Rm ~ 1013 см) находим rjet ~ 1 пк. Эти оценки показывают, что внешняя среда в самом деле может играть важную роль в коллимации МГД течений.

Внутренняя структура цилиндрических течений исследовалась как для нерелятивистских [24, 37], так и для релятивистских [23,1, 27,19, 38, 6,13] течений. В частности, было показано, что для постоянной угловой скорости вращения плазмы fip невозможно получить разумное решение с нулевым полным током [1], но решение может быть построено, если угловая скорость исчезает на внешней границе течения, и если давление внешней среды не нулевое [6, .28]. Ещё один результат, полученный как для нерелятивистких, так и для релятивистских течений [23, 27, 18, 37] заключается в том, что полоидальное магнитное поле Вр имеет следующую зависимость от расстояния от оси:

Вр = 1 + гУг2 ' ^ х 1 ' / ' core где ^тТЬ (2) core — ^ для релятивисткого и нерелятивистского случаев (здесь мы используем цилиндрические координаты {г, tp, z}). Величины г?щ и Yin — это скорость и лоренц-фактор частиц вблизи источника соответственно. Это решение соответствует сохранению интеграла

Я = ^ = const, (3) найденному в [35] для конических магнитных поверхностей (здесь т) — отношение потока частиц к магнитному полю, а Л42 — альвеновское по-лоидальное число Маха). В самом деле, так как ?7(Ф) ~ const и ^(Ф) ~ const вблизи оси вращения (Ф Ф^О, мы получаем Л42 ос г2. Используя определения Л42 — 4ттг]2 /р и pvр = цВр: где р эта плотность, и оценку г>р та (2Е)х!2 ~ const, мы получим как раз (1). Этот результат был получен для одномерного течения в релятивистском и нерелятивистском случаях [18, 23, 27]. Но решение (1) соответствует логарифмически медленному росту функции магнитного потока Ф при г > гсоге:

Ф(г) ос In г. (4)

Это означает, что если центральная часть струйного выброса, в которой полоидальное магнитное поле почти постоянно, содержит лишь небольшую часть всего магнитного потока Фо из центрального объекта, то граница струйного выброса должна быть расположена экспоненциально далеко от оси. Поэтому для понимания структуры струйного выброса важно оценить величину магнитного потока ФСОге, содержащегося в центральной его части. В этой работе в рамках цилиндрического подхода мы оцениваем минимальное значение магнитного поля Вт\п в сердцевине течения и, соответственно, магнитный поток в ней для релятивистского и нерелятивистского течений. Например, в работе [17] была получена следующая оценка для магнитного потока, заключённого в сердцевине течения, которая коллимируется в монопольной геометрии на масштабах быстрой магнитозвуковой поверхности: core Tin

-ФГ < 2?' (5)

Для объяснения эффективного ускорения плазмы в релятивистских струйных выбросах предлагаются различные модели. В качестве возможного механизма ускорения частиц рассматриваются процессы перезамыкания магнитных линий [26], [50], [41]. В этом случае ускорение происходит благодаря нагреванию плазмы за счет аннигиляции противоположно направленных магнитных силовых линий. Но такой сценарий может объяснять только трансформацию неосесимметричной части потока вектора Пойнтинга в энергию частиц. Коме того, например, для пульсара в Крабовидной туманности было показано [50], что на расстоянии ударной волны из-за перезамыкания рассеивается слишком малая часть магнитной энергии для объяснения наблюдаемого 7. Другой возможный процесс ускорения связан с возможным ограничением тока, и, следовательно, появлением световой поверхности |Е| = |В| на конечном расстоянии (порядка светового цилиндра) от центрального объекта. В этом случае эффективная передача энергии и замыкание токов происходит вблизи световой поверхности [5], [11]. Для случая монопольного магнитного поля в рамках подхода осесимметричной идеальной стационарной МГД было получено неэффективное ускорение частиц за быстрой магнитозвуковой поверхностью [8], [17], [49]. На самой же особой поверхности Лоренц-фактор частиц имеет стандартное значение <т1//3 [52], [8], [61]. Однако, судя по всему, отсутствие ускорения в этих работах связано именно с монопольной структурой магнитного поля. В данной работе мы также будем работать в рамках идеальной осесимметричной МГД.

Трудность рассмотрения стационарных конфигураций магнитного поля и ускорения частиц в идеальной МГД связана с тем, что МГД течения описываются нелинейным уравнением в частных производных Грэда-Шафранова на функцию магнитного потока Ф, имеющего, кроме того, в случае холодного течения, две особые поверхности. Существуют разные упрощающие рассмотрение этой задачи подходы. Например, рассматриваются автомодельные решения [62], [25], когда удаётся разделить переменные, свести уравнение Грэда-Шафранова к обыкновенному дифференциальному уравнению и решать задачу численно. Однако, в этом подходе приходится жертвовать выбором функции угловой скорости вращения магнитных поверхностей f2p и во многих моделях, регулярным решением вблизи оси. Подход цилиндрической МГД, который рассмотрен в этой работе, также является автомодельным, но имеет свои плюсы. Например, возможность использования интегралов движения произвольного вида. Кроме того, поскольку мы рассматриваем внутреннюю структуру уже сколимированных течений, то мы предполагаем, что цилиндрическая модель является хорошим приближением для наблюдаемых струйных выбросов, хотя и не описывает коллимации как таковой. Более того, мы показываем, что в рамках одномерной МГД возможен и анализ течения вдоль джета при условии, что течение хорошо сколлимировано и в двумерных уравнениях баланса сил можно пренебречь членами, связанными с полоидальной кривизной магнитных силовых линий. Это показано на примере течения в параболическом поле.

В этой работе решается задача о моделировании внутренней структуры релятивистских и нерелятивистских струйных выбросов. Для решения задачи мы пользуемся следующим упрощением: мы рассматриваем структуру струйного выброса в области, где коллимация уже произошла, и течение можно считать цилиндрическим. В этом случае течение описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, что даёт возможность их аналитического анализа. Отметим, что мы не решаем задачу о коллимации течения, хотя при решении нерелятивистской задачи мы будем пользоваться простой моделью ударной волны, коллимирующей течение. Для релятивистского течения мы находим условия формирования течения вида (1) и оцениваем величину полоидального магнитного поля в сердцевине г < гсоте. Мы показываем, что возможна трансформация половины энергии электромагнитного поля в кинетическую энергию частиц, так что лоренц-фактор плазмы достигает половины своего максимального значения. При этом ускорение происходит очень эффективно, и лоренц-фактор растёт как 7 ос г. В рамках цилиндрического подхода мы предлагаем регуляризацию автомодельных решений вблизи оси как в релятивистском, так и в нерелятивистском случае. В случае нерелятивистского течения мы показываем, что холодное течение не может объяснять наблюдаемые струйные выбросы из молодых звёзд. Эта проблема может быть решена введением в задачу конечной температуры. Мы показываем, что при наличии у основания истечения ударной волны рост функции магнитного потока становится степенным, и условие равновесия внешней границы струйного выброса с внешней средой на наблюдаемых расстояниях может быть выполнено. В этом случае мы получаем модель нерелятивистского струйного выброса, которая хорошо объясняет наблюдательные данные для молодых звёзд. Необходимость подобной ударной волны была предложена при численном моделировании цилиндрических джетов в работе [29, 30]. Кроме того, численно существование ударной волны было показано для релятивистских и нерелятивистских струйных выбросов в работах [46, 20]. Необходимо заметить, что в нашей работе мы не моделируем область коллимации джетов, а только строим упрощённую модель ударной волны, которая позволяет нам включать температурные эффекты в уравнения одномерной МГД. Несмотря на это, подобная ударная волна способна объяснить наблюдаемые запрещёные линии излучения в спектрах струйных выбросов, для формирования которых требуются температуры порядка 104 К [34, 59]. Кроме того, наблюдаемое на расстояниях порядка 30 а.е. рентгеновское излучение [3, 33] также может объясняться вытянутой вдоль джета ударной волной.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Нохрина, Елена Евгеньевна

Заключение

В рамках идеальной осесимметричной МГД в цилиндрическом случае показано, что для линейных интегралов энергии и углового момента лоренц-фактор плазмы растет как 7 = r/Ri,, и такое эффективное ускорение продолжается до практически полной трансформации энергии электромагнитного поля в кинетическую энергию плазмы. Показано, что течение с сердцевиной, в которой полоидальной магнитное поле почти постоянно, существует, если внешнее магнитное поле ВехЪ < Вт[п. Получена оценка величины потока в сердцевине ФСоге < ФоТт/о-- Построена регуляризация автомодельных решений вблизи оси. При этом показано, что число Маха падает степенным образом ЛЛ2 ос гь, и показатель степени связан с автомодельним параметром следующим образом: 6 = 2 — 4/3 для слабо замагниченного и b = 3 — 6/3 для сильно замагниченного течения. Найдено решение для дозвукового сильно замагниченного течения в параболическом магнитном поле. В рамках этой задачи найдено положение быстрой магнитозвуковой поверхности гр = R^sja/в. Лоренц-фактор частиц на ней принимает значения от ут до сг1/3 в рассматриваемой области течения вблизи оси. Показано, что в данной задаче в двумерном уравнении баланса сил члены, связанные с полоидальной кривизной магнитных силовых линий, малы, и в сверхзвуковой области можно пользоваться цилиндрической моделью. В этом случае плазма ускоряется как 7 = yfz/Ri, пока почти вся энергия электромагнитного поля не трансформируется в кинетическую энергию плазмы.

В рамках нерелятивистской задачи предложена цилиндрическая МГД модель для описания поперечной структуры выбросов из молодых звёзд. Показано, что холодное сильно замагниченное течение с линейными интегралами не может описывать наблюдаемые струйные выбросы из молодых звёзд. В самом деле, решение для доальвеновского течения представляет собой однородное полоидальное магнитное поле Bv = В^. Это решение существует только для Ве^ь > В\ ~ Ю-1 Гс и не может быть удержано внешним галактическим полем. При Л42 > 1 реализуется течение с сердцевиной с размером гсоге = v-m/Q и магнитным потоком Фсоге < Фо/2ап. Вне сердцевины полоидальное магнитное поле падает как г-2, и оказывается, что граница джета расположена экспоненциально далеко от оси, что противоречит наблюдениям. Многокомпонентное течение — то есть течение сверхальвеновское в центре и доальвеновское на периферии — в одномерном приближении не существует для широкого класса интегралов движения. Показано, что модель с конечной температурой и переменным интегралом энтропии s решает проблему логарифмически медленного роста функции потока для сверх-альвеновского течения. Таким образом, мы предлагаем модельное положение ударной волны, которая и обеспечивает существование физического решения в области, где течение уже сколлимировано, и применимы уравнения цилиндрической МГД. Разумеется, предложенная модель ударной волны не описывает истинного процесса коллимации в джете. Действительно, видно, что как минимум область ударной волны, за которой течение становится дозвуковым и продолжает расширение, нуждается в дальнейшем анализе. Тем не менее, для неэкваториальных линий, подобная ударная волна может играть роль в коллимации. Тем более, что полученное из простых оценок положение волны соответствует областям рентгеновского излучения, наблюдаемого вне центрального источника в джетах [3, 33]. В рамках этой модели получены параметры нерелятивистских течений, хорошо согласующихся с наблюдениями. В рамках цилиндрической модели построена регуляризация для слабо замагниченных автомодельных течений вблизи оси. Показано, что при этом число Маха ведёт себя степенным образом как Л42 ос г2-4/5.

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Василию Семёновичу Бескину за огромную помощь, поддержку и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нохрина, Елена Евгеньевна, 2010 год

1. Appl S., Camenzind M. 1993, A&A, 274, 699

2. Coffey D., Bacciotti F., Ray T.P., Eisloffel J., Woitas J., 2007, ApJ, 663, 350

3. Bally J., Feigelson E., Reipurth B. 2003, ApJ, 584, 843

4. Barkov M.V., Komissarov S.S., 2008, Int. J. Mod. Phys. D, 17, 1669

5. Beskin V.S., Gurevich A.V., Istomin Ya.N. Physics of the pulsar magnetosphere, 1993, Cambridge University Press.

6. Beskin V.S. 1997, Physics Uspekhi, 40(7), 659

7. Beskin V.S., Pariev V.I., 1993, Physics Uspekhi, 36, 529

8. Beskin V.S., Kuznetsova I.V., Rafikov R.R., 1993, MNRAS 299, 34

9. Beskin V.S., Okamoto I., 2000, MNRAS, 313, 445

10. Бескин B.C., Малышкин Jl.M., 2000, Письма в астрономический журнал, том 26, №4, с.253

11. Beskin V.S., Rafikov R.R., 2000, MNRAS, 313, 433

12. Beskin V.S., Zakamska N.L., Sol H., 2004, MNRAS, 347, 587

13. Beskin V.S., Nokhrina E.E., 2006, MNRAS, 367, 375

14. Blandford R.D., 1976, MNRAS, 176, 465

15. Blandford R.D., Znajek R.L., 1977, MNRAS, 179, 433

16. Blandford R.D., Payne D.R., 1982, MNRAS, 199, 883

17. Bogovalov S.V., 2001, A&A, 371, 1155

18. Bogovalov S.V., 1995, Astron. Letters, 21, 565

19. Bogovalov S.V., 1996, MNRAS, 280, 39

20. Bogovalov S.V., Tsinganos, K. 2006, MNRAS, 357, 918

21. Bogovalov S.V., 1997, A&A, 323, 634

22. Burrows C.J., Stapelfeldt K.R., Watson A.M., et al., 1996, ApJ, 473, 437

23. Chiueh Т., Li Z., Begelman M. C., 1991, ApJ, 377, 462

24. Contopoulos J., Lovelace R.V.E., 1994, ApJ, 429, 139

25. Contopoulos J., 1995, ApJ, 446, 67

26. Coroniti F.V., 1990, ApJ, 349, 538

27. Eichler D., 1993, ApJ, 419, 111

28. Fendt Ch., 1993, AA, 323, 999

29. Fendt C., Camenzind M., Appl S., 1995, A&A, 300, 791

30. Fendt C., Camenzind M., 1996, A&A, 313, 591

31. Ferreira J., Dougados C., Cabrit S., 2006, A&A, 453, 785

32. B.M.Gaensler, 2003, RevMexAA (Conference Series), 15, 234

33. Giidel M. et al., 2007, in "Star-Disk Interactions in Young Stars Proceedings IAU Symposium No. 243", J. Bouvier & I. Appenzeller, ed.

34. Hartigan P., Raymond J., Hartmann L., 1987, ApJ, 316, 323

35. Heyvaerts J., Norman C., 1989, ApJ, 347, 1055

36. Heyvaerts J., 1996, in "Plasma Astrophysics", Eds. C. Chiuderi, G. Ein-audi, Berlin: Springer, p.31

37. Heyvaerts J., Norman C., 2003, ApJ, 596, 1240

38. Istomin Ya.N., Pariev V.I., 1996, MNRAS, 281, 1

39. Johns-Krull C.M., Valenti J.A., Saar S. H., 2004, ApJ, 617, 1204

40. Kennel C.F., Coroniti F.V., 1984, ApJ, 283, 694

41. Kirk J.G., Lyubarsky Yu., 2001, Astronomical society of Australia, 18, 415

42. Landau L.D. and Lifshitz E.M., 1987, "Fluid Dynamics", Oxford: Butterworth-Heinmann

43. H.K.Lee, J.Park. Two dimensional Poynting flux dominated flow onto a Schwarzschild black hole. Phys.Rev.D70, 2004, 063001.

44. Lery Т., Heyvaerts J., Appl S., Norman C.A., 1998, A&A, 337, 603

45. Lery Т., Heyvaerts J., Appl S., Norman C.A., 1999, A&A, 347, 1055

46. Bromberg O., Levinson A., 2007, ApJ,671, 678, 2007

47. Li Z.,Chiueh Т., Begelman M. C., 1992, ApJ, 394, 459

48. Lovelace R.V.E., 1976, Nature, 262, 649

49. Lyubarsky Yu., Eichler D., 2002, ApJ, 562, 494

50. Y.Lyubarsky, J.G.Kirk. Reconnection in a striped pulsar wind. ApJ, 2001, 547, 437.

51. Lyubarsky Yu., 2009, ApJ, 698, 1570

52. Michel F.C., 1969, ApJ, 158, 727

53. Narayan R., McKinney J., Farmer A.F., 2007, MNRAS, 375, 548

54. Ouyed R., Pudritz R., 1997, ApJ, 482, 712

55. Pelletier G., Pudritz R., 1992, ApJ, 394, 117

56. Sakurai Т., 1985, A&A, 152, 121

57. Sauty C., Tsinganos K., 1994, A&A, 287, 893

58. M.Sikora, M.C.Begelman, G.M.Madejski, J.-P.Lasota, 2003, ApJ, 625, 72

59. Schwartz R.D., 1983, Ann. Rev. Astr. Ap., 21, 209

60. Shu F., Najita J., Ostriker E., Wilkin F., Ruden S., Lizano S., 1994, ApJ, 429, 781

61. A.Tomimatsu, M.Takahashi. Relativistic acceleration of magnetically driven jets. ApJ, 2003, 592, 321.

62. N.Vlahakis. ApJ, 600, 324-337, 2004.

63. E.J. Weber, L. Davis Jr., ApJ, 148, 217, (1967).

64. Woitas J., Bacciotti F., Ray T.P., Marconi A., Coffey D., Eisloffel J., 2005, A&A, 432, 149

65. Основные публикации по материалам диссертации1. Публикации в журналах:

66. V.S.Beskin, E.E.Nokhrina, The effective acceleration of plasma outflow in the paraboloidal magnetic field, Monthly Notes of Royal Astronomical Society, 367, R 375-386 (2006).

67. V.S.Beskin, E.E.Nokhrina, On the cylindrical Grad-Shafranov equation, International Journal of Modern Physics, Vol.17, No.10, 1731 (2008).

68. V.S.Beskin, E.E.Nokhrina, On the central core in MHD winds and jets, Monthly Notes of Royal Astronomical Society, 397, P. 1486-1497 (2009).

69. В.С.Бескин, Е.Е.Нохрина, Об ударной волне в основании нерелятивистских струйных выбросов, Астрономический журнал, статья принята к публикации.

70. Публикации в материалах конференций:

71. В.С.Бескин, Е.Е.Нохрина, Об МГД-эффектах в бессиловом течении с параболической структурой магнитного поля, Труды XLVII научной конференции МФТИ (ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". М.:изд. МФТИ, 2004, С. 39.

72. V.S.Beskin, E.E.Nokhrina The example of effective plasma acceleration in a magnetosphere, Astrophysics and Space Science, 308, P. 335-343 (2007).

73. В.С.Бескин, Е.Е.Нохрина, Об МГД-эффектах в бессиловом течении с параболической структурой магнитного поля, Труды 51-ой научной конференции МФТИ (ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук". М.:изд. МФТИ, 2008, С. 29.

74. Рис. 1: Линии постоянного магнитного поля для изначально монопольного течения, скол-лимированного внешней средой — в данном случае внешним мегнитным полем.

75. Рис. 4: Лоренц-фактор для начального числа Маха А4% = 10,100,200 начиная с верхней кривой для а = Ю10 и 7in = 10. Безразмерный радиус х = fl0r/c = 7jn соответствует гсоге.

76. Рис. 6: То же самое, что и на предыдущем рисунке. Случай слабозамагниченного течения. Тонкими штриховыми линиями изображены полученные аналитически показатели Ь = 2-4/?.

77. Рис. 7: Показана конфигурация магнитных поверхностей в параболическом магнитном поле.10 8(Ж2)к