Циклы в нелинейных динамических системах. Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кудряшова, Елена Владимировна

• Кудряшова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудряшова, Елена Владимировна

Введение

1 Задача Колмогорова о локализации и моделировании циклов двумерных квадратичных систем.

2 Вычисление ляпуновских величин.

2.1 Нахождение приближенного решения двумерной системы в окрестности состояния равновесия.

2.2 Метод вычисления ляпуновских величин во временной области.

2.3 Применение метода вычисления ляпуновских величин во временной области для вычисление первой, второй и третьей ляпуновских величин в общем виде.

2.4 Классический метод Ляпунова.

2.5 Вычисление четвертой ляпуновской величины для системы Льенара.

2.6 Построение трех малых циклов в окрестности нулевого состояния равновесия.

3 Область существования четырех предельных циклов.

3.1 Сведение квадратичной системы к системе Льенара.

3.2 Применение метода асимптотического интегрирования для построения области существования четырех предельных цик

3.3 Визуализация результатов S.L. Shi.

3.4 Эффект траекторной жесткости для двумерных квадратичных систем и систем Льенара.

4 Уточнение бифуркационных параметров системы фазовой автоподстройки частоты.

4.1 Цифровые системы фазовой автоподстройки частоты

4.2 Аналитические исследования.

4.3 Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Циклы в нелинейных динамических системах. Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты»

Эта работа посвящена вычислению периодических решений и исследованию бифуркаций в двумерных квадратичных системах, в уравнении Льенара и неунимодальных одномерных дискретных отображениях с применением современных вычислительных возможностей и пакетов символьных вычислений. Исследование рассмотренных систем является актуальной задачей и имеет важное прикладное значение в различных областях прикладных исследований: в биологии, химии, механике, электронике. Так к исследованию двумерных квадратичных систем приводит рассмотрение различных популяционных моделей в биологии [Murray, 2003; Mark Kot, 2001; Rockwood, 2006], а уравнение Льенара описывает динамику различных механических и электронных систем [Андронов и др., 1981; Леонов, 2006]. В таких моделях часто важную роль играют предельные периодические решения [Леонов, 2006; Леонов, 2009; Kuznetsov, 2008]. К рассмотренным в работе одномерным дискретным отображениям приводит изучение работы цифровых систем фазовой автоподстройки частоты [Osborn, 1980; Gardner, 1966; Lindsey, 1972; Lindsey & Chie, 1981; Leonov и др., 1992; Leonov и др., 1996; Lapsley и др., 1997; Kroupa, 2003; Best, 2003], где возникает задача определения последовательности бифуркационных параметров системы приводящих к хаотическому поведению [Osborn, 1980; Lapsley и др., 1997; Леонов к, Селеджи, 2002; Leonov & Seledzhi, 2005; Banerjee & Sarkar, 2006; Banerjee h Sarkar, 2008].

В.И. Арнольд пишет [Арнольд, 2005]: "Чтобы оценить число предельных циклов квадратичных векторных полей на плоскости, А.Н.Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэф- 1 фициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механико- математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Результат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла! При малом изменении коэффициентов поля предельный цикл сохраняется. Поэтому системы с одним, двумя, тремя (и даже, как стало известно позже, четырьмя) предельными циклами образуют в пространстве коэффициентов открытые множества, так что вероятности попасть в них при случайном выборе коэффициентов многочленов положительны. Тот факт, что этого не случилось, подсказывает, что упомянутые вероятности, повидимому, малы."

Результат этого эксперимента показывает необходимость разработки методов поиска периодических колебаний - методов как аналитических, так и численных с использованием современной мощной вычислительной техники.

Первая глава настоящей работы посвящена задаче академика А.Н. Колмогорова о локализации и моделировании больших (или "нормальных" предельных циклов - этот термин был введен L.M. Perko [Perко, 1990], для циклов, которые могут быть увидены при помощи численных процедур) предельных циклов двумерных квадратичных систем. С помощью метода Г.А. Леонова, позволяющего выделить класс двумерных квадратичных систем для которых существует большой предельный цикл, проведено компьютерное моделирование фазовых портретов двумерных квадратичных систем. В результате компьютерного моделирования получены большие предельные циклы для класса двумерных квадратичных систем.

Во второй главе исследуются малые предельные циклы (так называемая локальная 16 проблема Гильберта [Yu, 2005; Yu & Han, 2005; Li, 2003; Chavarriga к Grau, 2003; Gine, 2007; Leonov, 2008]). Для этого используется метод ляпуновских величин (или констант Пуакаре-Ляпунова [Баутин, 1952; Серебрякова, 1959; Lynch, 2005; Kuznetsov, 2008]), характеризующих устойчивость и неустойчивость в малой окрестности слабого фокуса, предложенный в классических работах А. Пуакаре [Poincare, 1885] и A.M. Ляпунова [Ляпунов, 1892].

Отметим также, что с вычислением ляпуновских величин связан важный в инженерной механике вопрос о поведении динамической системы при значениях параметра близких к границе области устойчивости. Следуя работе Н.Н. Баутина [Баутин, 1952], различают "опасные" и "безопасные" границы, малое нарушение которых влечет малые (обратимые) или необратимые изменения состояния системы. Такие изменения соответствуют, например, сценариям "мягкого" и "жесткого" возбуждения колебаний, рассмотренным А.А. Андроновым [Андронов и др., 1981]. Здесь, в случае двух комплексно-сопряженных характеристических корней двумерной системы в окрестности стационарной точки (критический случай) при пересечении границы устойчивости от отрицательных значений действительной части корней к положительным, если первая неравная нулю ляпуновская величина отрицательна, то появляется единственный устойчивый предельный цикл, который стягивается в точку при обратном изменении параметра, что соответствует "безопасной" границе. Напротив, если первая неравная нулю ляпуновская величина положительна, при малых изменениях траектория может отойти бесконечно далеко от состояния равновесия, что соответствует "опасной" границе.

Для вычисления символьных выражений ляпуновских величин в работе проведено обобщение метода Ляпунова для систем с конечной гладкостью. На основе классического метода Ляпунова и метода вычисления ляпуновских величин во временной области разработан и реализован в математическом пакете алгоритм символьного вычисления ляпуновских величин в общем виде для двумерных квадратичных систем. С помощью разработанного алгоритма впервые получено полное выражение третьей ляпуновской величины для двумерной квадратичной системы и четвертой ляпуновской величины для системы Льенара в общем виде. Следуя классическому методу Баутина [Баутин, 1939; Баутин, 1952], показано, что малые возмущения позволяют получить по одному малому предельному циклу вокруг двух состояний равновесия или три малых цикла вокруг одного состояния равновесия двумерной квадратичной системы и соответствующей ей системы Льенара. Проведенные в работе вычисления показывают, что малые предельные циклы практически невозможно различить при помощи численных процедур.

В третьей главе рассматривается задача построения области параметров двумерной квадратичной системы с четырьмя предельными циклами. Для эффективного анализа исследования предельных циклов двумерных квадратичных систем, следуя работам [Черкас, 1976; Леонов, 2006; Леонов, 2007; Leonov, 2008], в работе использовано сведение квадратичной системы к системе Льенара специального вида и разработаны соответствующие символьные алгоритмы. Здесь преобразование к системе Льенара позволяет применить метод Г.А. Леонова [Леонов, 2009] асимптотического интегрирования и построения семейства трансверсальных кривых для аналитического определения области существования четырех предельных циклов. Отметим также, что такое сведение позволяет получить область параметров существования четырех предельных циклов на плоскости двух коэффициентов системы Льенара. В работе также получена визуализация на плоскости двух коэффициентов системы Льенара области параметров двумерной квадратичной системы с четырьмя предельными циклами, полученной S.L. Shi [Shi, 1980].

Проведенные в работе исследования выявили наличие эффекта "траекторией жесткости" системы, когда сильные уплощения затрудняют численную локализацию предельного цикла. Также в работе исследованы сценарии "разрушения" больших циклов при подходе к границам областей коэффициентов, соответствующих существованию четырех циклов. Численный анализ двух эквивалентных объектов - двумерной квадратичной системы и системы Льенара - позволяет убедиться в достоверности, полученных здесь результатов компьютерных экспериментов.

Четвертая глава диссертации посвящена дискретным одномерным неунимодальным отображениям, описывающим работу цифровых систем фазовой синхронизации (ФАП). Цифровые ФАП широко используются в компьютерных архитектурах и телекоммуникациях [Nash, 1994; Banerjee h Sarkar, 2005; Banerjee к, Sarkar, 2006; Banerjee & Sarkar, 2008; Saleh и др.,

2006; Mannino и др., 2006; Леонов &; Селеджи, 2002]. Качественный анализ уравнений ФАП позволяют определить необходимые условия работы системы (при которых, например, имеются синхронизация частот и коррекция расфазировок) [Леонов & Селеджи, 2002; Leonov к, Seledzhi, 2005]. В одной из первых работ, посвященных анализу цифровых ФАП [Osborne, 1980], был рассмотрен алгоритм исследования периодических решений и показано, что даже в простой дискретной модели ФАП наблюдаются бу-фуркационные явления, приводящие к появлению новых устойчивых периодических решений и изменению их периода. В дальнейшем, в работах [Белых к, Лебедева, 1983; Белых & Максаков, 1979] для таких систем была рассмотрена модель перехода к хаосу через каскад удвоения периода. Объединение и развитие этих идей в работах [Леонов <к Селеджи, 2002; Leonov & Seledzhi, 2005] позволило построить бифуркационную дерево перехода к хаосу через каскад удвоения периода, для этого аналитически были получены первые несколько бифуркационных значений параметров, в то время как расчет последующих бифуркационных значений и изучение хаоса потребовали применения компьютерного моделирования [Леонов & Селеджи, 2002; Abramovitch и др., 2005; Saleh и др., 2006]. В данной работе применение качественной теории динамических систем и специальных аналитических методов [Леонов & Селеджи, 2002; Leonov h Seledzhi, 2005], а также современных математических пакетов длинных чисел позволило значительно продвинуться, в вычислении бифуркационных значений параметров системы и численно определить четырнадцать бифуркационных значений параметра системы. Также в работе показано, что для полученных бифуркационных значений неунимодального отображения наблюдается эффект, аналогичный эффекту Фейгенбаума для унимодальных отображений.