Цельнометаллические щелевые отражательные антенные решетки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.07, кандидат наук Любина Любовь Михайловна

• Любина Любовь Михайловна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Любина Любовь Михайловна

Введение

1. Состояние и перспективы развития щелевых ОАР

1.1. Математическое описание щелевых ОАР

1.2. Известные реализации щелевых ОАР

1.2.1. ОАР, выполненные по технологии PCB

1.2.2. ОАР, выполненные по технологии лазерной резки

1.2.3. Другие технологии изготовления ОАР

1.3. Способы расширения полосы рабочих частот щелевых ОАР

1.4. Выводы по разделу

2. Электродинамическое моделирование щелевых ОАР

2.1. Поля щелевого излучателя в пределах ячейки Флоке

2.1.1. Формулировка системы интегральных уравнения для щелевого излучателя в пределах ячейки Флоке

2.1.2. Линейный многослойный излучатель

2.1.3. Крестообразный многослойный излучатель

2.2. Условия возникновения паразитной моды

2.3. Выводы по разделу

3. Оценка характеристик цельнометаллических щелевых ОАР

3.1. Общие вопросы синтеза ОАР

3.2. Оценка характеристик конечных ОАР на основе анализа поведения элемента в пределах ячейки Флоке

3.2.1. Влияние проявления паразитной моды в пределах ячейки Флоке на характеристики ОАР

3.2.2. Оценка характеристик многослойных ОАР на основе анализа поведения элемента в пределах ячейки Флоке

3.3. Выводы по разделу

4. Расширение функциональных возможностей цельнометаллических щелевых ОАР

4.1. Характеристики элемента в составе ОАР с малым междуэлементным расстоянием

4.2. ОАР с расширенной полосой рабочих частот, обусловленной минимизацией фазовой ошибки в рабочем диапазоне

4.3. Неплоские щелевые ОАР

4.3.1. ОАР с пространственным разнесением слоёв

4.3.3. Уголковая ОАР

4.4 . Сравнение характеристик ОАР, выполненных по технологии PCB и лазерной резки

4.4. Выводы по разделу

5. Экспериментальное исследование щелевых ОАР

5.1. Характеристики ОАР, выполненных с применением технологии лазерной резки

5.1.1. ОАР с уменьшенным междуэлементым расстоянием

5.1.2. ОАР билинейной поляризации на гантельных крестообразных щелевых элементах

5.1.3. Щелевая ОАР с расширенной полосой рабочих частот при пространственном разнесении слоёв

5.1.4. ОАР с пространственным разнесением слоёв ступенчатой формы

5.1.5. Щелевая однослойная ОАР с расширенной полосой рабочих частот

5.1.6. Цельнометаллическая уголковая ОАР

5.2. Расширение функциональных возможностей щелевых ОАР за счёт применения технологии 3Б-печати

5.3. Выводы по разделу

Заключение

Список литературы

Список сокращений и условных обозначений

Приложение 1. Формулировка компонент тензорной Функции Грина для магнитного тока.

Приложение 2. Выражения для оценки взаимных проводимостей и базисного коэффициента функции распределения магнитного тока для линейного однослойного элемента.

Приложение 3. Частотные зависимости фазы отражённого поля от щелевого элемента в

составе ячейки Флоке и КНД конечных ОАР

Приложение 4. К выводу выражения для реактивной мощности щелевого излучателя в

пределах ячейки Флоке

Приложение 5. Акты внедрения результатов диссертационной работы

Введение.

Актуальность темы диссертации.

Интенсивное развитие систем спутниковой связи, возрастающие требования к скорости беспроводной передачи данных, необходимость работы на частотах до 100 ГГц диктуют новые, всё более жёсткие требования к разрабатываемым антенным устройствам (рис.1). Реализация высоких значений КУ и КИП >50%, ДН специальной формы, широкой полосы рабочих частот, и, при этом, технологичности и низкой стоимости как мелко-, так и крупносерийного производства являются актуальными задачами в современной антенной технике. [1-2].

Рисунок 1 - Эволюция скорости передачи данных в различных системах, цитирование по работе [1]

В системах спутниковой связи нашли широкое применение остронаправленные антенны, самым распространённым способом исполнения которых, сочетающим в себе высокий КИП и возможность работы в широкой полосе рабочих частот при малых затратах серийного производства, в настоящее время является ЗА [3-5]. Она сочетает в себе возможность совмещения широкой полосы рабочих частот и высокого КИП. Применяемые в широком спектре задач, ЗА, однако, обладают такими недостатками как: сложность и дороговизна обеспечения ДН специальной формы, неплоскостность рефлектора, сложность реализации электронного сканирования луча, низкая технологичность в верхней части мм-диапазона. Эти проблемы решаются в АР при существенном усложнении ДОС и увеличении стоимости производства. При этом, плоский профиль АР более привлекателен в ряде случаев с точки зрения эксплуатационных характеристик. Однако, именно сложность построения ДОС и связанные с этим потери, являются существенным недостатком АР с внутренним питанием.

В связи с этим широкое развитие получили печатные ОАР [6], в которых коррекция фазы производится подбором геометрии излучающего элемента в составе плоского раскрыва АР

(рис. 2) [7]. Существенным преимуществом ОАР, по сравнению с ЗА, стала их плоскостность и возможность сравнительно легко реализовывать ДН специальной формы. Однако, в настоящий момент ОАР не производятся также массово, как и ЗА, проигрывая последним по стоимости изготовления и ряду электрических характеристик. Кроме того, выполняемые по печатной технологии, они требуют дорогостоящей климатической защиты. Наличие потерь в диэлектрике также приводит к существенному удорожанию таких антенн и делает невозможным достижение высоких значений КУ.

Рисунок 2 - к принципу работы ОАР.

Несмотря на указанные недостатки, именно ОАР, выполненные по печатной технологии в последнее время получили широкое распространение в различных системах связи [5,6]. Множество работ в периодических изданиях, монографий и исследований было посвящено синтезу ОАР в период 1990-2010-ых годов [8-12]. Основные направления исследований в мировой науке по данной проблеме отражены в монографиях и публикациях авторов Encinar J A. [13-15], Pozar D.M. [16-18], Wolfgang Menzel [19-20], В.А. Обуховец [10,21-22], АО. Касьянов [10,11,22-23], Саломатов Ю.П. [24-26], Парнес М.Д. [27-28] и др. При этом следует отметить, что, преимущественно, авторы рассматривают различные виды печатных элементов

Гораздо меньшее внимание уделено вопросам анализа характеристик ОАР на основе щелевых (апертурных) элементов. Так, например, в работе [29], посвящённой малогабаритным щелевым антенным решёткам, непосредственно ОАР отводится всего одна глава. В частности, в [29] представлен способ математического описания щелевых ОАР на основе записи

фронт

ОАР.

векторных потенциалов Герца для магнитных токов на элементах в приближении бесконечной АР и обсуждается возможность записи функций Грина, однако не приводится соответствующих выражений, подробного анализа зависимости характеристик ОАР от типа или геометрии элемента в её составе. В работе [10] рассматриваются апертурные элементы, приводятся выражения для оценки амплитуды и фазы рассеянного поля в пределах ячейки Флоке. Описанная в [10] математическая модель основана на решении СИУ относительно неизвестных функций магнитного тока в элементах, показана связь между методом ИУ и методом частичных областей, к которому сводится решение задачи. При этом авторы [10] сводят анализ перфорированных экранов к анализу характеристик матриц рассеяния, что позволяет им также эффективно представлять аналитические многослойные структуры, в том числе комбинированные. Однако, в данной работе также отсутствуют выражения для полей элементов в составе ячейки Флоке и для соответствующих функций Грина, не приводятся характеристики конечных ОАР на основе щелевых элементов. Подробный анализ существующих решений ИУ методом Галеркина для щелевых излучателей, а также их сравнение приводится в [30]. Авторами делается вывод, что для описания двух- и трехмерных планарных структур наиболее эффективными являются методы, основанные на решении ИУ, относительно неизвестных магнитных токов на щелях в пространственной или спектральной области (для преобразования Фурье от неизвестных магнитных токов). В [30] подробно рассматриваются волноводно-щелевые АР, затрагиваются вопросы характеристик элементов в составе ЧСП, в том числе и отражательных ЧСП с различными геометриями элемента (прямоугольник, ромб, круг, кольцо) - зависимость поведения резонансной кривой от количества слоёв, формы излучателя, параметров диэлектрической подложки и угла падения поля от облучателя. При этом, в [30] не приведены замкнутые выражения для функций Грина и не произведён анализ характеристик конечных ОАР на основе щелевых излучателей. Известно рассмотрение вопросов применения методов описания волноводно-щелевых АР на основе формулировки СИУ в спектральной области по работам [31-35], однако формулировка задачи отличается от случая ОАР из-за различного типа питания АР.

Несмотря на то, что процедуры синтеза и методы анализа ОАР на основе печатных и щелевых элементов во многом схожи, характерной особенностью щелевых ОАР является возможность возникновения у таких структур паразитных мод, возбуждение которых может оказать существенное влияние на поведение ОАР. Данный эффект был продемонстрирован авторами в работе [38], в том числе экспериментально. В частности, была показана возможность вынесения поражённой частоты за пределы рабочей полосы частот ОАР. При этом, подробного теоретического анализа влияния паразитных мод на характеристики ОАР авторами не было приведено. Ближайшим аналогом этого эффекта является так называемая

аномалия Вуда, зависящая от геометрических параметров периодической структуры и частоты колебаний [36], заключающаяся в образовании поверхностной волны. В случае с ЧСП этот эффект существует на границе одноволновой области в виде резкого снижения прошедшей мощности до нуля [30]. Известные ограничения на полосу рабочих частот волноводно-щелевых АР обусловлены ограничением на распространение в плоском волноводе только одной собственной волны, а также первой и второй полосами запирания, связанными с периодичностью структуры [31].

Известные реализации ОАР, выполненные на основе щелевых элементов, представляют собой сравнительно узкополосные (ширина относительной полосы рабочих частот порядка 510%) структуры, с геометрическими параметрами излучателей, определёнными на основе полноволнового анализа в пределах ячейки Флоке (средствами универсальных пакетов) [29,19,40-42]. В их числе стало появляться всё больше работ, посвящённых цельнометаллическим ОАР, выполненных по технологии лазерной резки [19,40-41], включая двухчастотные решения [42]. Стоимость изготовления таких структур существенно меньше, чем печатных аналогов, а использование воздушного межслойного заполнения позволяет избежать потерь в диэлектрике, что представляет интерес для разработчиков [2].

Таким образом, известные работы по тематике щелевых ОАР оставляют открытым целый ряд вопросов, связанных с методикой проектирования, записью выражений для полей элементов в пределах ячейки Флоке, оценкой достижимых характеристик и оптимальной архитектуры для цельнометаллических щелевых ОАР, а также влияния на характеристики щелевых ОАР паразитной моды. Исходя из этого сформулированы основные цели и задачи диссертационной работы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Цельнометаллические щелевые отражательные антенные решетки»

Цель работы.

Исследование особенностей построения и способов расширения функциональных возможностей цельнометаллических щелевых ОАР.

Основные задачи работы.

Оценка потенциальных возможностей цельнометаллических щелевых ОАР, ориентированных на изготовление с применением технологий лазерной резки.

Определение ограничений частотных характеристик щелевых ОАР, на основе анализа условий возникновения паразитной моды.

Разработка новых конструкций ОАР с улучшенными характеристиками.

Разработка новых конструкций ОАР, изготовленных с применением технологии лазерной резки и 3D-печати.

Методы исследования.

На основе теоремы Флоке с применением спектрального представления для тензорной функции Грина и функции распределения магнитного тока сформулированы интегральные уравнения относительно магнитного тока в линейном и крестообразном щелевых элементах. В результате решения двухкомпонентных уравнений методом Галеркина при многомодовой аппроксимации токового распределения в элементах каждого слоя и последующего вычисления ближних полей элементов получены выражения для вычисления добротности элемента, а также получения частотных зависимостей фазы отражённого поля. Анализ одиночного элемента в пределах ячейки Флоке на предмет возбуждения паразитной моды выполнялся с помощью метода круговых диаграмм. Для теоретических исследований также используются метод конечных элементов (finite element method - FEM) и метод конечного интегрирования (finite integration - FI-метод). Экспериментальные исследования антенн осуществлялись методом сравнения с эталоном в дальней зоне и методом измерения ближних полей антенн.

Научная новизна.

Проведено исследование цельнометаллических щелевых ОАР, в ходе которого выявлены особенности их построения и уточнены достижимые характеристики, даны рекомендации по выбору типа элемента, геометрии излучающего раскрыва и количества слоёв.

Определены условия возникновения паразитной моды для многослойных ОАР на основе щелевых элементов в приближении ячейки Флоке, позволяющие избежать аномального поведения частотных зависимостей КУ при синтезе геометрии излучающего раскрыва.

Разработаны и исследованы новые конструкции цельнометаллических щелевых ОАР с улучшенными электрическими характеристиками, ориентированные на изготовление с применением технологий лазерной резки и 3D-печати, в том числе защищенные патентами на изобретения и полезные модели.

Практическая значимость результатов работы.

Получены аналитические выражения для инженерной оценки частотной зависимости фазы отражённого поля в пределах ячейки Флоке линейного однослойного щелевого элемента в одномодовом приближении для различных базисных функций распределения магнитного тока вдоль элемента.

Даны рекомендации по выбору геометрии ОАР, позволяющие избежать эффектов, связанных с проявлением паразитной моды в приближении бесконечной ОАР.

Предложены конструкции металлических щелевых ОАР с улучшенными характеристиками, защищённые патентами на изобретения и полезные модели.

Реализация и внедрение результатов работы.

Практическая значимость подтверждается актом внедрения материалов диссертационной работы, в том числе патентов на изобретение №RU2687099 и полезную модель №RU184941, в НИР по ФЦП ИР «Разработка комплекса пассивного обнаружения, идентификации и подавления беспилотных летательных аппаратов с целью противодействия террористическим угрозам», соглашение №14.578.21.0242 от 26.09.2017 г., уникальный идентификатор проекта RFMEFI57817X0242. Также результаты диссертационной работы использованы при обучении магистров в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» по дисциплине: «Основы автоматизации проектирования антенных систем» по направлению 11.04.01 (210400.68) «Радиотехника». Акты о внедрении приведены в приложении к диссертации.

Достоверность полученных результатов

Достоверность обусловлена корректными математическими выкладками, подтверждением результатов при численном электродинамическом моделировании, полученными различными методами. Результаты работы являются воспроизводимыми и проверяемыми, наблюдается количественное и качественное совпадение результатов моделирования, экспериментальных исследований и данных, известных из литературы.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Для отражающей поверхности, выполненной из щелевых излучателей над проводящим экраном, облучаемой внешним падающим полем, в приближении ячейки Флоке, определены условия интенсивного возбуждения паразитной моды, использование которых при синтезе щелевых ОАР позволяет исключить аномальное поведение частотных зависимостей КУ в полосе рабочих частот.

2. Реализация кусочно-плоских ОАР даёт возможность расширить полосу рабочих частот за счёт компенсации фазовой ошибки в раскрыве по сравнению с аналогичными плоскими решётками, а также синтезировать ОАР для размещения на сложных поверхностях.

3. Комбинирование конструктивных элементов, изготовленных с применением технологий лазерной резки и 3D-печати, в составе ОАР позволяет повысить климатическую защищённость и уменьшить поперечные размеры конструкции за счёт совмещения функций климатической защиты и фазовой коррекции.

4. Установлено, что существенное влияние на полосу рабочих частот прямофокусной однослойной щелевой ОАР с воздушным заполнением оказывает выбор начальной фазы в раскрыве при синтезе геометрии. В частности, для ОАР с размерами порядка 10х10Х при отношении ¥/В=1 это позволило расширить относительную полосу рабочих частот на 40%.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях: «Электроника и микроэлектроника СВЧ 2016, 2017 и 2018 гг.; Научно-техническая конференции Санкт-Петербургского НТО РЭС им. А.С. Попова, посвященная Дню радио, 2016-2018 гг.; 2018 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus), Moscow, 2018; 2018 Moscow Workshop on Electronic and Networking Technologies (MWENT), Moscow, 2018; 2018 Advances in Wireless and Optical Communications (RTUWO), Riga, 2018; 2019 Antennas Design and Measurement International Conference (ADMInC), St. Petersburg, Russia, 2019; 2020 14th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP), Copenhagen, Denmark, 2020; 2018 10th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). Moscow, Russia. 2018; Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 2017 и 2018 гг.; XXII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвящённой 125-й годовщине Дня радио. Красноярск, 14-15 мая 2020 г.; были представлены на заседании секции «Радиоэлектроника» Дома учёных имени М. Горького РАН 14 ноября 2019 г. и в рамках Всероссийского форума «Наука Будущего - Наука молодых» 2016 и 2017 г., в 2017 года работа «Плоские металлические остронаправленные антенны К-диапазона с пространственным питанием» была отмечена дипломом 2 степени.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 21 работа, из них 3 - статьи в журналах из перечня рецензируемых научных изданий ВАК РФ, 3 - патента на полезную модель, 2 - патента на изобретение, 7 - труды международных конференций, индексируемых в наукометрической базе Scopus, 6 - труды всероссийских конференций.

Объём и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 5-и глав, заключения, списка литературы, 5 приложений. Работа содержит 190 страниц машинописного текста. Список литературы включает 1 41 наименование.

1. Состояние и перспективы развития щелевых ОАР.

1.1. Математическое описание щелевых ОАР.

Созданию ОАР предшествовал накопленный многолетний опыт фундаментальной теории

антенн, и потому известные, зарекомендовавшие себя аналитические методы было возможно применить и в задачах синтеза АР. Следовательно, при обзоре методик построения математических моделей ОАР в данном разделе будут рассмотрены в том числе те, что были сформулированы и для АР с внутренним питанием.

Впервые интегродифференциальные уравнения для расчета распределения напряжения поля и на одиночной щели были записаны в 1948 г. в монографии Я.Н. Фельда [43]. В частности - уравнение (1.1) для щели длиной /, где т - длина дуги, характеризирующая её сечение, отсчитываемая вдоль линии [/] от одного из её концов, О - линейный относительно и оператор, зависящий от формы щели и металлического тела антенны (но не от источников), Н1 (Не) - магнитный вектор поля, создаваемого внутри (снаружи) щели теми же

источниками, при отсутствии щели, а Н\ (г) (Щ (г)) - составляющая этого вектора, параллельная линии в точке т на проводящей поверхности, к = 2 л/Я , к2 =-1цю1 с , ^ - длина волны, ю - частота электромагнитного поля, ц - параметр среды, с - скорость света в вакууме.

Решение задачи в [43] сведено к определению электромагнитного поля, создаваемого заданными источниками, возбуждающими щели, прорезанные в замкнутых металлических поверхностях. Показано, что определение полей внутри и снаружи антенны сводится соответственно к внутренней и внешней граничным задачам электродинамики.

К 1960-ым гг. использование систем линейных интегральных уравнений для задач расчета электрических характеристик как одиночных излучателей, так и АР стало одним из наиболее распространенных подходов. Главным следствием этих исследований стал алгоритм, получивший название «Метод моментов» (Method of Moment, MoM) и представленный Р.Ф. Харрингтоном в 1967 г. В последующие годы данная модель была значительно усовершенствована и в настоящее время является основной ряда программных средств анализа АР, с учётом взаимного влияния между излучателями [44].

В 1978 г. впервые была опубликована работа, представляющая печатную ОАР [45], которая была выполнена на основе дисковых элементов. В этом же году Монтгомери представил математическое описание [46,47] этого элемента ОАР с использованием

(11)

U = 0 при т = 0 и т = l.

приближения бесконечной решетки на основе решения ИУ методом Галёркина. Соответствующее матричное уравнение имело вид [47]:

2 ^ Е а'™ [еХР ) + Кш еХР {-.П/С1)]^00 * К (¿ТОО ) =

т=1

Е 8« 4 Е Е Е [пш Т1 ^ • V (Чя) КЛ (кРд)

А '

р д т

(1.2)

где кп (кТрч) - преобразование Фурье от базисной функции распределения тока, ят -коэффициент отражения, -цт - проводимость, J - постоянная распространения свободного пространства, ё - толщина подложки.

В эти же годы в работах Л. Фелсена и Н. Маркувица [48] были изложены методы расчёта многослойных структур, а также вывод тензорных функций Грина в спектральной области для различных типов излучающего элемента методом эквивалентных схем, широко использующимися при построении математических моделей различных слоистых структур в последующем [6,10,13]. В общем виде тензор функций Грина записывается следующим образом:

Е(г, г 'г, Г ') -те(г, г ')У V

Н (^ ОА-иг г) -у (^ г)!Мо)

где ^ и М0 - точечные источники электрического и магнитного токов соответственно, г -координаты точки наблюдения, г" - координаты точки интегрирования, элементы тензора

Ъ (г, г )= 2 2 Л V л (V х V х е г) (V ' хУ ' хе г ) ФФ г, г) + (V X е г) (V ' хе г ф г, г), а а а (г)а (г )

¥(г,г)= 2 2 Л V л(VхVхег)(V ' хV ' хег)ф(г,г') + (Vхег)(V' хег) ффг,г'), с V V (г)Р (г )

Те (Г, г ) = "Г-( V х V х ег ) ( V ' хег ) Ф(Г, г') +

]Саа (г)

+ (Vхег)(^хег)ф Фгг),

-Т™ ( ^ г ^) = (V х V х ег ) ('^ ХСг ) Ф ^ Ф Г, г ^) +

+ . \ ч (V х ег) (V XV ' хег) ф\г, г '), ]саа ( г )

где, в свою очередь,

ф-(г,г)=1?ЛетЕ1 ,-(,.-), Ф (г,г) = ещр*М(г,г),

г Р1 г Р1

и=1

где ф = ^ = e jk"x+kyy) - скалярные функции.

Поиск вида скалярных функций Грина Z (z, z ) и Y (z, z") для необходимой постановки

задачи (в зависимости от параметров среды распространения и типа излучателя) является одним из ключевых этапов построения математической модели для описания элемента в пределах ячейки Флоке. Позже в работах [49-51] был представлен метод вывода функций Грина непосредственно из уравнений Максвелла для источника электрического поля на диэлектрической подложке над проводящем экраном, что является менее трудоёмким способом описания однослойных элементов простой геометрии. Соответствующие компоненты функции Грина для х- и y- ориентированного электрического тока при х-ориентированном векторе электрического поля в точке наблюдения имеют вид [49]:

yz0 . (^A2 - kX) k2cos (M)+A (ko - kX) sin {kxd) Qx=утт ■sin (kid)

* " TeTm

_ -jZ0 kxky sin()[ eos (kjd) + jk1 sin ()]

Qy = 4n2k0 TeTm '

где Z0 - импеданс свободного пространства, k0 = 2л/Я,

k2 = srk2 -ft2, (Im k < 0), k22 = k2 -ft2, (Im k2 < 0), 01 = k2 + k2. d - толщина диэлектрической подложки, sr - относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика подложки, T = jk2 sin (kxd) + k eos (kxd) и T¡ = jK sin (kxd) + k2s eos (kxd) соответствуют поверхностной TE- и TM-волнам.

Сам метод, основанный на анализе одного элемента в составе ячейки Флоке получил широкое распространение благодаря возможности учитывать взаимное влияние элементов в составе АР с внутренним питанием (включая ФАР) и получил название метод моментов в спектральной области (Spectral Domain Metod of Moments - SD MoM). Качество оценки характеристик конечных АР на основе бесконечных моделей являлось достаточным для проектирования антенн [51,52].

Функции Грина для однослойного вибраторного и щелевого элемента с внутренним питанием на полубесконечной подложке (одиночных и в составе ячейки Флоке) и анализ их характеристик подробно рассмотрены в [51,52]. Здесь же приведены выражения для элементов матрицы проводимостей Y СЛАУ для бесконечной ФАР из щелевых элементов по [51]:

[Y][V] = [I].

~~ S S б (kv,H ' к i и ) f¡ , k^ )/, (Х„„ ,ку„)~

mn

ILs б (kxm > к.уя )] fi (kv/H' ki и ^fj {kxm,kyn}

m=—ад n=—ад

где а, Ъ - периоды решётки, fi - преобразование Фурье базисной функции аппроксимации

2жш

магнитного

тока

по

щелевому

элементу,

к = ■

xm

a

к sin(в)cos(У),

=

2^n

yn

+ ка sin (в) Sin (у) , б (кт ■ ) И Qh (kxm ' ^n ) " фУНКЦИИ ГРИНа В свобОДном

пространстве и однородной диэлектрическои среде соответственно вида

Q (kxm ' kyn ):

koVo

k ki k k-i

xm_1 i xm_2

Yi

Y;

и

Q (kxm ' kyn ) =

ko'lo

2 A: 2

2 Sek 0

p p

где к2 = *А2-А2, (1т к < 0), к22 = к20-р2, (1т £2 < 0), р2 = £ , = (1 + *г )/2,

2 7 2 7 2 7 2

п = к1 - К - кУ.

В дальнейших работах [18,53] это позволило авторам записать ближние поля элементов в составе ячейки Флоке для последующего анализа добротности печатного элемента с сосредоточенным источником возбуждения (печатный элемент в свободном пространстве, над проводящей плоскостью и над проводящей плоскостью с диэлектрической подложкой) в одномодовом приближении.

Для одиночного элемента анализ характеристик при использовании метода на основе записи на основе граничных условий СИУ с применением тензорных функций Грина в спектральной области относительно неизвестных функций магнитного тока с дальнейшим её сведением к СЛАУ на основании процедуры Галёркина [54,55]. При этом, в работе [54] функции Грина выражены через входной импеданс сосредоточенного источника (по аналогии с методом линий передачи), возбуждающего щелевой элемент, нагруженный диодом, что делает затруднительным обобщение на случай питания внешним падающим полем:

Gí =

к

(

4

где Zf = Zoe", Ze¿h = z;

К-к

e,h

Zh 'yh

Л Z D

Л

a

k 2

(

+

j

4

k 2 — k2

1 1 —+—

Ze rje

Л Z D

e

V Z A

ZQ'h + jZe ■ h tan (k;d )

Z;eh + JZ Qeh tan (k;d )

Отметим, что авторы [54,55] показывают, что для печатных щелевых АР достижимы полосы рабочих частот сопоставимые и даже превышающие значения для своих вибраторных аналогов.

b

1

Метод интегральных уравнений с применением тензорных функций Грина для щелевых (апертурных) элементов также рассматривается в [10], решение задачи в данном случае позволяет определить параметры матрицы рассеяния:

-отр X X, 1 рпад

_ хх ху рх

ротр X, рпад

_ У _ ух УУ _ _ У _

Для анализа многослослойных структур с учётом наличия импедансных стержней используется процедура вычисления результирующей обобщённой матрицы рассеяния по известным матрицам отдельных слоёв, на основе составления эквивалентной схемы исследуемой структуры. При этом в работе [10] рассматривается уже возбуждение структуры непосредственно внешним полем.

В работе [11] с помощью метода ИУ разработана электродинамическая модель многослойной печатной структуры, то есть, фактически, ЧСП того или иного типа (вибраторной, пластинчатой или перфорированной металлической плоскости). СИУ для ЧСП формулируется как задача дифракции плоской волны на исследуемом объекте в двумерно-периодической слоистой структуре и сводится к записи граничных условий с применением леммы Лоренца в интегральной форме и аппарата тензорных функций Грина. Решение данной СИУ выполнено в [11] традиционным образом: в результате алгебраизации получена СЛАУ, затем из ее решения найдены базисные коэффициенты при соответствующих базисных функциях, на основании чего определяются характеристики рассеяния. В качестве выходных данных в работе авторами [11] найдены компоненты матрицы рассеяния. Кроме того, авторами работы [11] выполнена большая вычислительная работа на основе представленного математического аппарата применительно к ЧСП различного типа, откуда просматривается высокий уровень соответствия экспериментальным данным и расчетам по другим математическим моделям.

Математическая модель антенны, представляющей собой ОАР из щелевых излучателей, выполненных в тонком идеально проводящем металлическом экране, установленной перед металлическим рефлектором при допущении, что диэлектрическая подложка обладает нулевыми потерями, описана в [56] для наклонного падения волны Е- и Н-поляризации. Поля в области над экраном и между экранами представлены в виде несимметричных плоских волн (обладающих поперечной зависимостью), являющихся разложением в ряд по системе ортогональных периодических функций свободного пространства (гармоник Флоке). Здесь получено выражение для коэффициента отражения от антенной решетки по основной гармонике и коэффициенты отражения для высших пространственных гармоник:

г« .77

1 0,0 - 1 2 (1) (1) ' к0 ' «0,0 " /о

где С^ - коэффициенты разложения в ряд Фурье поля на щели по пространственным

гармоникам, Ц - напряженность поля на щели, к0 = 2//Я, С и = 1 — V2 —.

Подход, основанный на записи СИУ относительно магнитных токов на щелях (в одномодовом приближении) с последующим сведением к СЛАУ методом Галеркина также использовался для описания планарных АР с последовательным питанием [31] из наклонных щелей в верхней стенке плоского металлодиэлектрического волновода [32-33]. Существенным отличием рассмотренных в этих работах задачи, от исследуемой в данной диссертационной работе является способ возбуждения АР - полем бегущем волны с торца волновода, вместо внешнего падающего поля.

Отдельно рассмотрим известные ограничения на АР, наиболее актуальные в случае цельнометаллических ОАР. Для дифракционных решёток известна аномалия Вуда, зависящая от геометрических параметров периодической структуры и частоты колебаний [36], заключающаяся в образовании поверхностной волны. В случае с ЧСП этот эффект существует на границе одноволновой (диапазон частот при котором существует только по одной пространственной гармонике т = п = 0 в отражённой и прошедшей волне) области в виде резкого снижения прошедшей мощности до нуля [30]. Также этим явлением объясняются резонансные эффекты для печатной ОАР по работе [37].

Для волноводно-щелевых АР (ВЩАР) известны:

- ограничение по высоте плоского волновода к, в к < Я / , где е -диэлектрическая проницаемость подложки, Я - длина волны в свободном пространстве, при котором единственной распространяющейся волной плоского волновода является Т-волна, не имеющая продольных компонент электрического поля;

- связанные с периодичностью решётки первая (= /) и вторая полосы запирания.

Особенностью первой полосы запирания является то, что она возникает тогда, когда решетка еще не излучает в свободное пространство из-за недостаточно большого периода. Появление второй полосы запирания получило название эффекта нормали [31].

Представленный анализ показывает, что

- для описания щелевых ОАР с небольшим количеством слоёв (1-3) на основе излучателей простой формы наиболее эффективными являются методы, основанные на решении ИУ относительно неизвестных магнитных токов на щелях в пространственной или спектральной области;

- в настоящий момент в литературе не представлено подробного анализа эффективного возбуждения паразитной моды для случая щелевых ОАР, описанного в [35], что позволило бы учитывать его на этапе синтеза для предотвращения аномального поведения частотных зависимостей КУ в рабочем диапазоне.

Таким образом, были определены основные направления исследований данной диссертации. А именно задача определения ограничений частотных характеристик щелевых ОАР, на основе анализа условий возникновения паразитной моды.

1.2. Известные реализации щелевых ОАР.

Наблюдающийся в последние годы интерес к щелевым ОАР проявляется в появлении

целого ряда таких антенн, синтезированных, преимущественно, на основании методов численного моделирования в универсальных пакетах. Разделить способы изготовления щелевых ОАР можно на три основных категории:

- ОАР, выполненные по печатной технологии (PCB - printed circuit board);

- ОАР, выполненные c применением технологии лазерной резки;

- другие технологии изготовления ОАР.

В данном подразделе приводится обзор характерных решений.

1.2.1. ОАР, выполненные по технологии PCB.

PCB-технология в настоящий момент остаётся наиболее распространённым способом изготовления ОАР [12,29], позволяющим реализовывать элементы сложной формы с высокой точностью. При этом, PCB-технология позволяет реализовывать достаточно сложные геометрии элементов в составе ячейки Флоке.

Например, это могут быть «вложенные» друг в друга щелевые элементы, как в работе [57] для расширения полосы рабочих частот ОАР X/Ku-диапазонов (рис. 1.1) по критерию -3дБ от максимального значения КУ до 50.75% с максимальным КУ в 25.4 дБ (КПД 40%).

а) б)

Рисунок 1.1 - Вид а) щелевого элемента в ячейке Флоке по [57], б) ОАР на основе

щелевых элементов, цитирование по работе [57].

РСВ-технология позволяет также легко комбинировать традиционные печатные структуры с щелевыми, в частности, печатные элементы и щели переменной длины в проводящей поверхности (рис. 1.2), как это сделано в [58]. В [58] также показано, что использование комбинации «печатный элемент - щель» позволяет расширить полосу рабочих частот ОАР по сравнению со случаем ОАР, построенной из одного слоя с печатными элементами различной геометрии. Развитием этой идеи стали более сложные, фрактальные, формы печатного элемента, используемого совместно с щелью переменной длины в проводящей поверхности [59], позволившие существенно расширить полосу рабочих частот таких АР. Также известно использование комбинации щелей в проводящем экране и печатных элементов одинаковой формы [60].

Рисунок 1.2 - Печатная ОАР с переменной длиной щели в проводящей поверхности, цитирование по работе [58].

Ещё одним типом щелевых элементов ОАР, реализовать которые возможно только методом PCB являются печатные элементы с прорезанными в них щелями переменного размера (рис. 1.3). Этот способ используется для расширения диапазона перестройки фазы отражённого поля в ячейки Флоке (больше 360°) [61,62], при этом используют как и однослойные ОАР [61], так и комбинацию таких патчей с традиционными, что является ещё одним вариантом реализации комбинации «патч - щель» [62].

В случае печатных щелевых ОАР также достаточно просто реализуется введение в структуру антенны сосредоточенных элементов для управления фазой отражённого поля в ячейке Флоке (рис. 1.4), что позволяет реализовывать электронное сканирование луча ДН [19,63,64].

а) б)

Рисунок 1.3 - Вид ячейки Флоке с элементом в виде прямоугольного печатного элемента, с прорезанным в нём щелью а) Н-формы, цитирование по работе [61]; б) сложной формы, цитирование по работе [62].

и т м т не и и по и т. и ж и и ав и и я ш я мммммм^мми и т и ви й ё и и м ш и мини ни ми

1Ш Н №] М1Н ■ № В

Н11КР» '

инмвииМщнигр

а)

б)

в)

Рисунок 1.4 - Вид ячейки Флоке с щелевым элементом и управлением фазы отражённого поля а) за счёт электронного выбора МП линии задержки, цитирование по работе [19]; б) диода, цитирование по работе [63]; в) сосредоточенной проводимости, цитирование по работе [64]

При этом, разработчики в последние годы всё чаще обращаются не только к печатным щелевым ОАР, но и к ПАР, причём используя как комбинацию «печатный элемент - щель» в

пределах ячейки Флоке (рис. 1.5, а) [65], так и цельнометаллические многослойные ПАР из щелевых элементов с воздушным межслойным заполнением (рис. 1.5, б). Так, в [66] использовалась РСВ-технология без подложки для уменьшения потерь в диэлектрике.

Рисунок 1.5 - ПАР на основе а) комбинации щелевого элемента и патчей, цитирование по работе [65]; б) трёхслойного щелевого элемента, цитирование по работе [66].

1.2.2. ОАР, выполненные по технологии лазерной резки.

В связи трудностью исполнения цельнометаллических (Metal-only) ОАР с использованием PCB-технологии, как это было реализовано в [66], разработчикам необходимо искать альтернативные методы изготовления щелевых антенных решёток с воздушным межслойным заполнением. Причём, такие щелевые элементы ОАР (рис. 1.6) представляют интерес в мм-диапазоне, позволяя получить характеристики, сравнимые или даже превосходящие известные печатные аналоги [41,42]. Одним из наиболее дешёвых и доступных в данном случае является ЛР [39,40,67,68].

ЛР - процесс термического разделения материала, где инструментом является лазерный луч. Мощность этого луча в фокусе после прохождения через линзу объектива напрямую зависит от мощности источника излучения и меняется в диапазоне от нескольких десятков до нескольких сотен ватт. Под воздействием этого луча происходит интенсивный нагрев, плавление и испарение рабочего материала [69]. Основным показателем качества ЛР принято считать шероховатость поверхности реза (величину неоднородстей).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Любина Любовь Михайловна, 2020 год

Список литературы.

1. IEEE 802.15-10-0320-02-0000-Tutorial_IGthz // IEEE Standards Association URL: https://mentor.ieee.org/802.15/dcn/12/15-12-0320-02-0thz-what-s-next-wireless-communication-beyond-60-ghz-tutorial-ig-thz.pdf (дата обращения: 06.04.2020).

2. Dahri M.H., Abbasi M.I., Jamaluddin M.H., Kamarudin M R. A Review of High Gain and High Efficiency Reflectarrays for 5G Communications // IEEE Access. - 2018. - №6. - pp. 59735985.

3. Марков Г.Т., Сазонов Д.М. Антенны. - М.: Энергия, 1975. - 528 с.

4. Milligan T.A. Modern Antenna design —2nd ed. - Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc., 2005. - 613 p.

5. Encyclopedia of RF and microwave engineering / Chang K., editor - Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc., 2005. - 1100 p.

6. Bird T. S. Fundamentals of Aperture Antennas and Arrays: From Theory to Design, Fabrication and Testing - Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc., 2016 - 430 p.

7. Berry D.G., Malech R.G., Kennedy W.A. The reflectarray antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1963. - №11. - pp. 645-651.

8. Haupt R.L., Rahmat-Samii Y. Antenna Array Developments: A Perspective on the Past, Present and Future // IEEE Antennas and Propagation Magazine. - 2015. - №1. - pp. 86-96.

9. Munk B.A. Finite Antenna Arrays and FSS. - Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc., 2003. -392 p.

10. Обуховец В.А. Микрополосковые отражательные антенные решетки. Методы проектирования и численное моделирование / В.А. Обуховец, А.О. Касьянов; Под ред. В.А. Обуховца. - М.: Радиотехника, 2006. - 240 с.

11. Касьянов А.О. Частотно-избирательные поверхности. Методы проектирования и области применения, - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2019. - 167 с.

12. Nayeri P., Yang F., Elsherbeni A.Z. Reflectarray Antennas: Theory, Designs, and Applications, First Edition. - Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, Inc., 2018. - 424 p.

13. Huang J., Encinar J.A. Reflectarray Antennas. Institute of Electrical and Electronic Engineers. - Hoboken, N.J.: Wiley-IEEE Press, 2008. - 232 p.

14. Bialkowski M.E., Encinar J.A. Reflectarrays: Potentials and Challenges // 2007 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications. Torino, Italy. 2007 - pp. 1050-1053.

15. Encinar J.A. Design of two-layer printed reflectarrays using patches of variable size // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2001. - Vol.49, №10. - pp. 1403-1410.

16. Pozar D.M., Targonski S.D., Syrigos H.D. Design of millimetre wave microstrip reflectarrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1997. - Vol.45, №2. - pp. 287-296.

17. Pozar D.M. Bandwidth of reflectarrays // Electronics Lettersю - 2003. - №21(39). - pp. 1490-1491.

18. Kwon D, Pozar D.M. Energy Storage and Radiation $Q$ of Infinite Planar Dipole Phased Arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2014. - Vol.62, №1. - pp. 153-162.

19. Luo Q., Gao S., Zhang C., Zhou D., Chaloun T., Menzel W., Ziegler V., Sobhy M. Design and Analysis of a Reflectarray Using Slot Antenna Elements for Ka-band SatCom // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2015. - Vol.63, №4. - pp. 1365-1374.

20. Bildik S., Dieter S., Fritzsch C., Menzel W., Jakoby R. Reconfigurable Folded Reflectarray Antenna Based Upon Liquid Crystal Technology // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -2015. - Vol.63, №1. - pp. 122-132.

21. Обуховец В.А. Отражательные антенные решётки, - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2016. -

292 с.

22. Касьянов А.О., Китайский М.С., Обуховец В.А. Математическая модель микрополосковой отражательной антенной решетки комбинированных излучателей // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2009. - Т.14, №5. - с. 56-65.

23. Обуховец В.А., Касьянов А.О. Потенциальные возможности и области применения полосковых решеток // Антенны. - 2011. - №6(170. - с. 3-17.

24. Поленга С.В., Саломатов Ю.П. Разработка и исследование отражательной антенной решетки для сетей спутниковой связи // Сибирский журнал науки и технологий. - 2010. - №6. -с. 91-94.

25. Литинская, Е. А., Поленга, С. В., Саломатов, Ю. П. Разработка и исследование отражательной антенной решетки для сетей дуплексной спутниковой связи // Доклады Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники. - 2011. - Т.2, №1. - с. 214-218.

26. Поленга С.В., Рязанцев Р.О., Саломатов Ю.П., Панько В.С., Сугак М.И.Опыт разработки антенных решеток с квазиоптическим типом питания // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии (Красноярск). - 2011. - № 1. - с. 40-50.

27. Вендик О.Г., Парнес М.Д., Корольков В.Д., Шифман Р.Г. Отражательная антенная решетка с микрополосковыми излучателями миллиметрового диапазона // Радиотехника. Радиосистемы, радиолокация и связь. - 2007. - № 4. - C. 22-27.

28. Парнес М.Д., Вендик О.Г. Моделирование элементов отражательной антенной решетки // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2008. - Вып. 3. -С. 3-9.

29. Sangster A.J. Compact Slot Array Antennas for Wireless Communications. - New York: Springer International Publishing, 2019. - 350 p.

30. Вычислительные методы в современной радиофизике / Кравченко В.Ф., Лабунько О С., Лерер А.М., Синявский Г.П. , Под ред. Кравченко В.Ф. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 464 с.

31. Банков С.Е. Антенные решетки с последовательным питанием. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. — 416 с.

32. Банков С.Е., Дупленкова М.Д. Численное исследование двумерно-периодической решетки щелевых излучателей // Радиотехника и электроника. - 2003. - T.48, №3. - с. 268-275.

33. Банков C.E., Бодров B.B., Дупленкова М.Д. Двумерно-эквидистантная решетка щелевых излучателей, конечная по одной координате и бесконечная по другой // Радиотехника и электроника. - 2003. - T.48, №8. - с. 922-931.

34. Дупленкова М.Д. Исследование и проектирование двумерно-периодических антенных решёток щелевых излучателей на основе плоского волновода: автореф. дис. канд. техн. наук: 05.12.07. - М., 2004. - 20 с.

35. Мануйлов М.Б., Лерер B.A., Синявский Г.П. Методы расчета и новые применения волноводно-щелевых антенных решеток // Успехи современной радиоэлектроники. - 2007. -№5. - с. 3-28.

36. Камоцкий И.В., Назаров С.А., Аномалии Вуда и поверхностные волны в задаче рассеяния на периодической границе. 1// Математический сборник. - 1999. - Т.190, №1. - с. 109-138.

37. Legay H., Bresciani D., labiole E., Chiniard R., Gillard R. A Multi Facet Composite Panel Reflectarray for a Space Contoured Beam Antenna in Ku Band // Progress In Electromagnetics Research. - 2013. - №54. - pp. 1-26.

38. Антонов Ю.Г., Балландович С.В., Костиков Г.А., Сугак М.И. Характеристики плоских отражательных антенных решеток, выполненных на основе фрезерованных композитных панелей // Антенны. - 2010. - №10. - с. 5-10.

39. Deng R., Yang F., Xu S., M. Li A Low-Cost Metal-Only Reflectarray Using Modified SlotType Phoenix Element With 360° Phase Coverage // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2016. - Vol.64, №4. - pp. 1556-1560.

40. Carluccio G., Mazzinghi A., Freni A. Design and Manufacture of Cosecant-Squared Complementary Reflectarrays for Low-Cost Applications // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2017. - Vol.65, №10. - pp. 5220-5227.

41. Chen S., Wu F., Wang J. Design of A broadband metal-only reflectarray antenna with modified slot-type elements // 2015 Asia-Pacific Microwave Conference (APMC). Nanjing, China. 2015. - pp. 1-3.

42. Deng R., Xu S., Yang F., Li M. Design of a single-layer dual-band metal-only reflectarray // 2017 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation & USNC/URSI National Radio Science Meeting. San Diego, USA. 2017. - pp. 2051-2052.

43. Фельд Я.Н. Основы теории щелевых антенн. - М.: Сов. Радио, 1948. - 160 с.

44. Hansen R.C. Phased Array Antennas, 2nd Edn. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2009. -580 p.

45. Malagisi C.S. Microstrip disc element reflectarray // Proceedings of the Electronics and Aerospace Systems Convention (EASCON '78). Arlington, USA. 1978. - pp. 186-192.

46. Montgomery J.P. A microstrip reflectarray antenna element // Proceedings of the Antenna Applications Symposium. Urbana, USA. 1978. - paper №10.

47. Montgomery J. Scattering by an infinite periodic array of microstrip elements // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1978. - Vol.26, №6. - pp. 850-854.

48. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн, в 2-ух томах. - М.: Мир, 1978. -

555 с.

49. Pozar D. Input impedance and mutual coupling of rectangular microstrip antennas // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1982. - Vol.30, №6. - pp. 1191-1196.

50. Pozar D., Schaubert D. Scan blindness in infinite phased arrays of printed dipoles // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1984. - Vol. 32, №6. - pp. 602-610.

51. Kominami M., Pozar D., Schaubert D. Dipole and slot elements and arrays on semi-infinite substrates // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1985. - Vol. 33, №6. - pp. 600-607.

52. Pozar D. M. Analysis of an infinite phased array of aperture coupled microstrip patches // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1989. - Vol.37, №4 - pp. 418-425.

53. Kwon D., Pozar D. M. Radiation Q of planar dipole phased arrays on a grounded substrate // 2014 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI). Memphis, USA. 2014. - pp. 928-929.

54. Biebl E.M., Muller J., Ostner H. Analysis of planar millimetre wave slot antennas using a spectral domain approach // 1992 IEEE MTT-S Microwave Symposium Digest, Vol.1. Albuquerque, USA. 1992. - pp. 381-384.

55. Stockbroeckx B., Vander Vorst A. Asymptotic Green's function of a surface magnetic current element on a perfect electric conductor plane covered by a lossy dielectric substrate // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. - Vol.47, №2. - pp. 309-316.

56. Прилуцкий A.A., Шепелева Е.А. Сканирующая реконфигурируемая отражательная антенная решетка из щелевых излучателей // Труды IV Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь», Москва, 29 ноября - 3 декабря 2010. - М.: ИРЭ РАН, 2010. - с. 353-360.

57. Veluchamy L., Mohammed G., Krishnasamy T., Jyoti R. A wideband, single layer reflectarray antenna with cross loop and square ring slot loaded patch elements // International Journal of Microwave and Wireless Technologies. - 2019. - №11(7). - pp. 703-710.

58. Chaharmir M. R., Shaker J., Cuhaci M., Sebak A. Reflectarray with variable slots on ground plane // IEE Proceedings - Microwaves, Antennas and Propagation. 2003. - Vol.150, №6. - pp. 436439.

59. Oloumi D., Ebadi S., Kordzadeh A., Semnani A., Mousavi P., Gong X. Miniaturized Reflectarray Unit Cell Using Fractal-Shaped Patch-Slot Configuration // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2011. - Vol.11. - pp. 10-13.

60. Oh S., Ahn C., Chang K. A Ku-band reflectarray using variable rings and slots on the ground plane // 2010 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. Toronto, Canada. 2010. - pp. 1-4.

61. Dzulkipli N.I., Jamaluddin M.H., Hasnan H.A. H-shaped slot microstrip reflectarray antenna // 2011 IEEE International RF & Microwave Conference. Seremban, Negeri Sembilan. 2011. - pp. 197-200.

62. Yang X., Xu S., Yang F., Li M., Fang H., Hou Y. Design of a reconfigurable reflectarray element with an internal slotted patch of tunable height // 2016 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation (APSURSI). Fajardo, Puerto Rico. 2016. - pp. 1425-1426.

63. Tayebi A., Tang J., Paladhi P.R., Udpa L., Udpa S.S., Rothwell E.J. Dynamic Beam Shaping Using a Dual-Band Electronically Tunable Reflectarray Antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2015. - Vol.63, №10. - pp. 4534-4539.

64. Nadaud K., Gillard R., Fourn E., Gundel H.W. Equivalent circuit of a reconfigurable tripleslot reflectarray cell // IET Microwaves, Antennas & Propagation. - 2016. - Vol.10, №10. - pp. 10801086.

65. Rahmati B., Hassani H.R. Low-Profile Slot Transmitarray Antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2015. - Vol.63, №1. - pp. 174-181.

66. Rahmati B., Hassani H.R. High-Efficient Wideband Slot Transmitarray Antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2015. - Vol.63, №11. pp. 5149-5155.

67. Deng R., Xu S., Yang F., Li M. Design of a Low-Cost Single-Layer X/Ku Dual-Band Metal-Only Reflectarray Antenna // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2017. - Vol.16. -pp. 2106-2109.

68. Abdelrahman A.H., Elsherbeni A.Z.,Yang F. Transmitarray Antenna Design Using Cross-Slot Elements With No Dielectric Substrate // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. -2014. - Vol.13. - pp. 177-180.

69. Закалюкина Л.А., Баннов В.Я. Виды и параметры процесса лазерной резки // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. - 2016. - №19. - c. 163-167.

70. Данилов В.И., Зуев Л.Б., Кузнецова Н.И., Малов А.Н., Оришич А.М., Фомин В.М., Шулятьев В.Б. Особенности лазерной резки листовой стали и мониторинг качества образцов после лазерного воздействия // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т.47, №4.

- c. 176-184.

71. Казакевич В.С., Яресько С.И. Тенденции развития рынка лазерных технологий для решения задач лазерной обработки материалов. Часть 1. Мировой лазерный рынок // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - №16(4-1). - c. 266-275.

72. Голышев А.А., Маликов А.Г., Оришич А.М., Шулятьев В.Б. Экспериментальное сравнение затрат лазерной энергии при качественной лазерно-кислородной резке низкоуглеродистой стали излучениями волоконного и СО2-лазеров // Квантовая электроника. -2015. - №45(9). - c. 873-878

73. Al-Saedi H., Abdel-Wahab W. M., Gigoyan S., Safavi-Naeini S., Mittra R. A Metal-Only Reflectarray Antenna Element with Wide Angular Response based on Spiral Slots // 2018 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation & USNC/URSI National Radio Science Meeting. Boston, USA. 2018. - pp. 1635-1636.

74. Meihua L. A Metal-Only Reflectarray Antenna Using Double Split Square Ring Slot Element // International Journal of Future Generation Communication and Networking. - 2016. - №9.

- pp. 155-160.

75. Mittra R., Pandey S., Arya R.K. Offset-fed metal-only reflectarray antenna designs // 2017 Sixth Asia-Pacific Conference on Antennas and Propagation (APCAP). Xi'an, China. 2017. - pp. 1-3.

76. An W., Xu S., Yang F. A Metal-Only Reflectarray Antenna Using Slot-Type Elements // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2014. - Vol.13. - pp. 1553-1556.

77. Dahri M., Jamaluddin M., Inam M., Kamarudin M.R.. A Review of Wideband Reflectarray Antennas for 5G Communication Systems // IEEE Access. - 2017. - Vol.5. - pp. 17803-17815.

78. Costanzo S., Venneri F., Massa G.D., Borgia A., Raffo A. Bandwidth Performances of Reconfigurable Reflectarrays: State of Art and Future Challenges // Radioengineering. - 2018. -№27(1). - pp. 1-9.

79. Liu Y., Jin X. Ku-band broadband reflectarray antenna with slot rings on patch and ground elements // 2018 13th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications (ICIEA). Wuhan, China. 2018. - pp. 1102-1107.

80. Xue F., Wang H., Yi M., Dong X. A broadband reflectarray using patch with slot ring on ground plane elements // 2016 Progress in Electromagnetic Research Symposium (PIERS). Shanghai, China. 2016. - pp. 1961-1964.

81. Guo L., Tan P., Chio T. Investigations on bandwidth improvement of reflectarrays using single-layered sub-wavelength double circular ring elements // 2014 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium (APSURSI). Memphis, USA. 2014. - pp. 803-804.

82. Chaharmir M.R., Shaker J., Legay H. Broadband Design of a Single Layer Large Reflectarray Using Multi Cross Loop Elements // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2009. - Vol.57, №10. - pp. 3363-3366.

83. Коняшенко Е.А., В. Н. Шмыков, Спектральные представления в задачах возбуждения плоских взаимодействующих излучателей. - Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 244 с.

84. Yoon J. H., Yoon Y. J., Lee W., So J. W-band microstrip reflectarray with double-cross element for bandwidth improvement // Global Symposium on Millimeter-Waves (GSMM), Montreal, Canada. 2015. - pp. 1-3.

85. Nayeri P., Yang F., Elsherbeni A. Z. Bandwidth Improvement of Reflectarray Antennas Using Closely Spaced Elements // Progress In Electromagnetics Research. - 2011. - Vol.18. - pp. 1929.

86. Bayat A., Niyaraki V. Improvement in Reflectarray Antenna Bandwidth with Changing the Geometrical Shape // Open Journal of Antennas and Propagation. -2014. - Vol.2. - pp. 21-28.

87. Ballandovich S.V., Liubina L.M., Sugak M.I. Investigation of slot reflectarray antennas // 2018 Moscow Workshop on Electronic and Networking Technologies (MWENT). Moscow, Russia. 2018. - pp. 1-4.

88. Sugak M.I., Ballandovich S.V., Kostikov G.A., Antonov Y.G., Liubina L.M. K-band slot reflectarray antennas // 2018 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). Moscow, Russia. 2018. - pp. 516-520.

89. Балландович С.В., Костиков Г.А., Антонов Ю.Г., Любина Л.М. Моделирование элементарной ячейки отражательных антенных решеток на кольцевых щелях // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2018. - №5. - с. 25-32.

90. Salti H., Selmi T., Gillard R. Toward a statistical understanding of reflectarrays' bandwidth // 2015 Fifth International Conference on Digital Information and Communication Technology and its Applications (DICTAP). Beirut, Lebanon. 2015. - pp. 195-197.

91. Балландович С.В., Сугак М.И. Костиков Г.А., Антонов Ю.Г. Исследование свойств печатных отражательных антенных решеток с помощью модели на основе конечно-бесконечных структур // Антенны. - 2018. - №2. - с. 3-14.

92. Бахрах Л.Д, Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем (теория и методы расчета). - Мю.: Сов. Радио, 1974. - 232 с.

93. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф. Современные методы аппроксимации в теории антенн. Кн. 2. - М.: ИПРЖР, 2002. - 72 с.

94. Rodriguez Prado D., Arrebola M., Pino M., Las-Heras F. Improved Reflectarray Phase-Only Synthesis Using the Generalized Intersection Approach with Dielectric Frame and First Principle of Equivalence // International Journal of Antennas and Propagation. - 2017. - №6. - pp. 1-11.

95. Capozzoli A., Curcio C., Liseno A., Migliorelli M., Toso G. Phase-only synthesis of aperiodic reflectarrays with multi-frequency specifications // Proceedings of the 2012 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation. Chicago, USA. 2012. - pp. 1-2.

96. Fang X., Wu Q., Yang G. Dual-beam realization of reflectarray antenna based on phase synthesis method(PSM) // Proceedings of 2014 3rd Asia-Pacific Conference on Antennas and Propagation. Harbin, China. 2014. - pp. 603-606.

97. Mao Y., Xu S., Yang F., Elsherbeni A.Z. A Novel Phase Synthesis Approach for Wideband Reflectarray Design // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2015. - Vol.63, №9. - pp. 4189-4193.

98. Балландович С.В., Костиков Г.А., Любина Л.М., Сугак М.И., Самбуров Н.В. Характеристики широкополосной вибраторной фазированной антенной решетки дециметрового диапазона // Известия Высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2015. - №.4. -с. 65-70.

99. Neto A., Lee J.J. UWB Properties of Long Slot Arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2006. - Vol.56, №.4. - pp. 534-543.

100. Neto A., Lee J.J. Infinite Bandwidth Long Slot Array // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2005. - №.4. - pp.75-78.

101. Сугак М. И., Шарапкова Ю. И. Характеристики широкополосных вибраторных ФАР с малым междуэлементным расстоянием // Электроника и микроэлектроника СВЧ: сб. докл. Всерос. Конф., Санкт-Петербург, 3-6 июня 2013 г. URL: http://mwelectronics.rU/2013/Poster/5/02_SharapkovaIUI_FAR.pdf (дата обращения: 06.04.2020).

102. Chu L. J. Physical Limitations of Omni-Directional Antennas // Journal of Applied Physics. - 1948. - Vol.19, №12. - pp. 1163-1175.

103. McLean J. S. A re-examination of the fundamental limits on the radiation Q of electrically small antennas // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. - 1996. - Vol.44, №5. - pp. 672676.

104. Любина Л. М., Сугак М. И. Вывод соотношения Чу-Маклина методом интегрирования по сфере конечного радиуса // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2014. - №9. - c. 9-12.

105. Любина Л. М., Одинцов А. Ю., Сугак М. И. Предельная добротность электрически малых антенн, вписанных в цилиндр и эллипсоид // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2016. - №5. - c. 23-29.

106. Любина Л.М. Расширение полосы рабочих частот вибраторной ФАР с помощью пассивных планарных элементов // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2016. - №3. - c. 49-53.

107. Любина Л.М., Сугак М.И. Добротность ленточного вибраторного излучателя в составе двухслойной бесконечной антенной решетки элементов // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. - 2016. - №2. - c. 63-68.

108. Любина Л.М., Сугак М.И. Добротность печатного элемента в составе бесконечной антенной решетки при внешнем возбуждении // Электроника и микроэлектроника СВЧ: сб. докл. Всерос. Конф. Том 2. Санкт-Петербург, Россия. 2016. - с. 268-271

109. Yaghjian A. D., Best S. R. Impedance, bandwidth, and Q of antenna // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2005. - Vol.53, №4. - pp. 1298-1324.

110. Pozar D. General relations for a phased array of printed antennas derived from infinite current sheets // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1985. - Vol.33, №5. - pp. 498504.

111. Wheeler H. Simple relations derived fom a phased-array antenna made of an infinite current sheet // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1965. - Vol.13, №4. - pp. 506-514.

112. Ludvig-Osipov A., Jonsson B. Stored energies and Q-factor of two-dimensionally periodic antenna arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Early access March. 2020. URL: https://arxiv.org/abs/1903.01494 (дата обращения: 06.04.2020).

113. Ludvig-Osipov A., Jonsson B.L.G. "$Q$-Factor and Bandwidth of Periodic Antenna Arrays Over Ground Plane // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2020. - Vol.19, №1. - pp. 158-162.

114. Liubina L., Sugak M. Increasing Of Low-Profile Connected Arrays Bandwidth // 2018 Advances in Wireless and Optical Communications (RTUWO). Riga, Latvia. 2018. - pp. 171-174.

115. Любина Л.М., Сугак М.И. Характеристики низкопрофильных антенных решёток с соединёнными линейными излучателями // Электроника и микроэлектроника СВЧ. Сборник статей VII Всероссийской конференции. Санкт-Петербург, Россия. 2018. - с. 422-425.

116. Mao Y., Wang C., Yang F., Elsherbeni A.Z. A single-layer broad-band reflectarray design using dual-frequency phase synthesis method // 2012 Asia Pacific Microwave Conference Proceedings. Kaohsiung, China. 2012. - pp. 64-66.

117. Tienda C., Arrebola M., Encinar J.A. General analysis tool for reflectarray antennas in dualreflector configurations // Proceedings of the 5th European Conference on Antennas and Propagation (EUCAP). Rome, Italy. 2011. - pp. 992-996.

118. Venneri F., Costanzo S., Di Massa G., Angiulli G. An improved synthesis algorithm for reflectarrays design // IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters. - 2005. - Vol.4. - pp. 258261, 2005.

119. Ксенич Э.А., Любина Л.М., Сугак М.И., Коррекция фазового распределенеия при синтезе отражательной решётки К-диапазона // Сборник материалов VI научно-практической конференции с международным участием «Наука настоящего и будущего». Санкт-Петербург, Россия. 2018. - с. 235-237.

120. Балландович С.В., Сугак М.И., Костиков Г.А. Печатные отражательные антенные решетки с диаграммой направленности специальной формы // Антенны. - 2008. - №6. - c. 5359.

121. Tienda C., Encinar J. A., Arrebola M., Barba M., Carrasco E. Design, Manufacturing and Test of a Dual-Reflectarray Antenna With Improved Bandwidth and Reduced Cross-Polarization // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2013. - Vol.61, №3. - pp. 1180-1190.

122. Любина Л.М., Сугак М.И., Шихов Г.А. Плоская металлическая линзовая антенна К-диапазона // Электроника и микроэлектроника СВЧ: Сб. докл. Всероссийской конференции, Санкт-Петербург, 30 мая - 2 июня 2017 г. Санкт-Петербург, Россия. 2017. - c. 554-558.

123. Antonov Y. G., Sugak M. I., Ballandovich S. V., Kostikov G. A., Liubina L. M., Design of Wideband Reflectarray Antennas // 2020 14th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). Copenhagen, Denmark. 2020, - P. 1-5.

124. Балландович С.В., Любина Л.М., Сугак М.И. Отражательные антенные решётки на неплоских поверхностях // Современные проблемы радиоэлектроники. Материалы XXII Всероссийской научно-технической конференции с международным участием, посвящённой 125-й годовщине Дня радио. Красноярск, Россия. 2020. - c.106-111

125. Материалы для СВЧ и гибридных печатных плат // СВЧ печатные платы - РЕЗОНИТ URL: https://www.rezonit.ru/pcb/svch-pechatnye-platy/urgent/?active_tab=base_materials (дата обращения: 06.03.2020).

126. Патент №2703926 Российская Федерация, МПК H01Q 21/00 (2006.01). Волноводная отражательная антенная решетка : №2019108344 : заявл. 21.03.2019: опубл. 22.10.2019/ Антонов Ю.Г., Балландович С.В., Костиков Г.А., Любина Л.М., Сугак М.И. ; заявитель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). - 15 с. : ил. - Текст : непосредственный.

127. Патент №199128 Российская Федерация, МПК H01Q 21/00 (2006.01). Отражательная антенная решетка : №2019144180 : заявл. 24.12.2019 : опубл. 17.08.2020 / Любина Л.М., Песков Н.Ю., Сугак М.И. ; заявитель Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). - 9 с. : ил. - Текст : непосредственный.

128. Патент №196868 Российская Федерация, МПК H01Q 21/00 (2006.01). Отражательная антенная решетка : №2019143905 : заявл. 23.12.2019 : опубл. 18.03.2020 / Балландович С.В., Любина Л.М., Сугак М.И. ; заявитель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). - 9 с. : ил. - Текст : непосредственный.

129. Патент №184941 Российская Федерация, МПК H01Q 21/00 (2006.01). Диэлектрическая отражательная антенная решетка : №2018129542 : заявл. 13.08.2018 : опубл.

14.11.2018 / Антонов Ю.Г., Балландович С.В., Костиков Г.А., Любина Л.М., Сугак М.И. ; заявитель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). - 9 с. : ил. - Текст : непосредственный.

130. Патент №2687099 Российская Федерация, МПК G01S 13/00 (2006.01). Диэлектрическая отражательная линзовая антенна : № 2018125807 : заявл. 12.07.2018 : опубл.

07.05.2019 / Антонов Ю.Г., Балландович С.В., Костиков Г.А., Кузиков А.А., Любина Л.М., Сугак М.И. ; заявитель Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). - 8 с. : ил. - Текст : непосредственный.

131. Иванов А.С., Рязанцев Р.О., Александрин А.М., Лемберг К.В., Саломатов Ю.П. Диагностика линзовых антенн с использованием сканера ближнего поля // Доклады ТУСУРа. -

2015. - №1. - С. 33-36.

132. Васильев М.Б., Любина Л.М., Сугак М.И, Отражательная антенная решётка К-диапазона, выполненная методом лазерной резки // Сборник научных трудов международной научно-практической конференции «РАДИОИНФОКОМ-2017». Москва, Россия. 2017. - с.94-99.

133. Nayeri P., Liang M., Sabory-Garca R., Tuo M., Yang F., Gehm M., Xin H., Elsherbeni A. 3D Printed Dielectric Reflectarrays: Low-Cost High-Gain Antennas at Sub-Millimeter Waves // in IEEE Transactions on Antennas and Propagation. -2014. - Vol.62, №4. - pp. 2000-2008.

134. Futatsumori S., Morioka K., Komura A., Sakamoto N., Yonemoto N. Design and fabrication of high-gain 3-dimensional printed reflectarray antenna for W-band millimeter-wave radar applications // 2016 International Symposium on Antennas and Propagation (ISAP). Okinawa, Japan.

2016. - pp. 540-541.

135. Zhang S. Three-dimensional printed millimetre wave dielectric resonator reflectarray // IET Microwaves, Antennas & Propagation. - 2017. - Vol. 11, №14. - pp. 2005-2009.

136. Menendez L. G., Kim O. S., Persson F., Nielsen M., Breinbjerg O. 3D printed 20/30-GHz dual-band offset stepped-reflector antenna // 2015 9th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). Lisbon, Portugal. 2015. - pp. 1-2.

137. Ballandovich S., Liubina L., Sugak M. Design And Analysis Of Dual-Band Circular Polarization 3D Printed Reflectarray // 2018 Advances in Wireless and Optical Communications (RTUWO). Riga, Latvia. 2018. - pp. 175-178.

138. Антонов Ю.Г., Балландович С.В., Костиков Г.А., Кузиков А.А., Любина Л.М., Сугак М.И. Отражательная антенная решетка мм-диапазона, выполненная с применением технологии 3D печати // Электроника и микроэлектроника СВЧ. Сборник статей VII Всероссийской конференции. Санкт-Петербург, Россия. 2018. - c. 231-234.

139. Antonov Y., Ballandovich S., Kostikov G., Liubina L., Sugak M. Wideband 3D-Printed Reflectarray of Closed-Volume Elements // 2018 10th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). Moscow, Russia. 2018. - pp. 14.

140. Polenga S.V., Stankovsky A.V., Krylov R.M., Nemshon A.D., Litinskaya Y.A., Salomatov Y.P. Millimeter-wave waveguide reflectarray // 2015 International Siberian Conference on Control and Communications (SIBCON). Omsk, Russia. 2015. - pp. 1-4.

141. 10. Y. G. Antonov, S. V. Ballandovich, G. A. Kostikov, L. M. Liubina and M. I. Sugak, "Millimeter-wave Partially Dielectric Filled Waveguide Reflectarray Antenna," 2019 Antennas Design and Measurement International Conference (ADMInC), St. Petersburg, Russia, 2019, pp. 107-110.

Список сокращений и условных обозначений

PCB printed circuit board

АР антенная решётка

ГУ граничные условия

ДН диаграмма направленности

ДОС диаграммо-образующая схема

ЗА зеркальная антенна

ИУ интегральное уравнение

КИП коэффициент использования поверхности

КНД коэффициент направленного действия

КУ коэффициент усиления

ЛР лазерная резка

ОАР отражательная антенная решётка

ППВ плоскопараллельный волновод

СИУ система интегральных уравнений

СЛАУ система линейных алгебраических уравнений

ЧСП частотно-селективная поверхность

Приложение 1. Формулировка компонент тензорной Функции Грина для магнитного тока.

Решение задачи нахождения тензорной Функции Грина для щелевого излучателя, прорезанного в проводящей поверхности над проводящим экраном может быть [10,30] сведено к решению двух частных задач: для источника магнитного тока над проводящей поверхностью (рис. 1,а) и для источника магнитного тока между двумя проводящими поверхностями (рис. 1,б).

а) б)

Рисунок 1 - Вид элементарного источника магнитного тока а) над проводящей поверхностью, б) между двумя проводящими поверхностями.

Компоненты соответствующих тензоров, полученные на основании метода эквивалентных цепей [48], представлены в таблице 1. Здесь пара символов в левой колонке определяет взаимную ориентацию между вектором магнитного тока в точке наблюдения и компонентой возбуждающего магнитного тока. Первый символ относится к искомому вектору, второй - к возбуждающему магнитному току. В данном случае принято, что возбуждающие токи лежат в плоскости ху. Для получения компонент тензора с индексом уу нужно произвести замену

к ^ к вкомпонентах с индексом хх.

Продольные

волновые

числа

определяются

по

формулам:

кхт = 2/т/а + к08тОсо8р; куп = 2/п/Ь +к0ъ1пвъ1пф; к2 = —г^к^ + ку — к2 ,к = —¿^ку + ку — е^к2

(где а - диэлектрическая проницаемость межслойного заполнения, в случае = 1 к2 = кж ) к0 = 2//Х,ах Ь- шаг решетки в Н и Е-плоскостях соответственно; т, п - номера пространственных гармоник, углы О и р - определяют линейный фазовый набег в бесконечной планарной структуре, состоящей из исследуемых элементарных ячеек.

Таблица 1.

Взаимная ориентация векторов Е, Н и м Для области над проводящей поверхностью Для области между двумя проводящими поверхностями

^НМ ^НМ

XX 0 1 (ко - кХ ) -----X 70 к;к0 хе- К z 0 ] ( 8К - кХ ) — ---X 70 КА С08(к; (4 + 0 )) X 81п(кг0 )

ху, ух елz 1 кхку --— X 70 к;к0 хе-К 2 8ш(к (4 + 0)) ] $т(кО) ] кхк— ----— X 70 кБк0 „С0Б(к (4 + 0)) X $,1п(к0 )

гх, хг К ек z К 7 к 7 о ко - К 2 хе ; к - X к £ „СС8(к (4 + О)) X $1п(кб4) —к±х 7 к 7 0 К0 81п(к (4+ 0)) X б1П(К0 )

гу, уг е- ¡к; Z К ± Кх 7 к 7 о ко хе К 2 кх — X к £ „соБ(к (4 + О)) X ът(кё) к—х 7 К 7 0 К0 Б1п(кх (4+ 0)) X б1П(К^ )

Приложение 2. Выражения для оценки взаимных проводимостей и базисного коэффициента функции распределения магнитного тока для линейного однослойного элемента.

В случае однослойного линейного щелевого элемента (рис.1), выражения (2.9) и (2.10) могут быть существенно упрощены, а матрица проводимостей будет содержать только одну подматрицу ^У11 ^, выражение для элементов которых возможно записать в виде зависимости от

электрических параметров ячейки Флоке к{)а, к0Ъ, к0Ь, к^ и к0ё при нормальном угле падения внешнего поля.

а

Ь

• • •

Область 1 Область 2

¥т=

ж

/

/ ?

!

! / • ••

/ /

и ь

> к г й

Рисунок 1 - Ячейка Флоке однослойного линейного щелевого элемента.

Для кусочно-треугольного базиса оно примет вид:

64 ( N +1)2

у'рд (к0а коЪ К А ко^, М) =

{к0а}{коЪ} 7о {к0Ж}2 {коА}2

<И

2

2жш

у{коа}у

( 2жш ^ 2 ( О > 2жп 2

[{коа}; ' 1{коЪЬ -1

(

-1 + 7 • с1£

( 2жш ^ 2 ( 2жп Л 2 ) - 1 У

1{коа}у + 1{коЪЬ

г{к0Ж}жп ^ . 4 ( {к0А} жш

{коЪ}

( 2жп "

[Ж

ч(N +1) {коа} ( 2жш v

■х е

]\коЩр-д) 2жш N+1 {к0а}

{коа}

(0.1)

х

Для кусочно-синусоидального:

—и (к0 а кЛ к0 А > к0°) =

16

{К0 а}{к0 Ъ} 70

Б1П

{к0 Ь}

N +1

ЕЕ

1

ч

( \2 ( у

2жп

+

2жт ч{к0 а} J [{к0Ъ}

] {К0 0 }

и 0 >

(

-1 + ] • с 1g

-1

Б1П

{к0^} 2жп

2 {КЪ}

V

( ( сos

2жт

К а J

\2 Г \2 ^

-1

2жп

V к0 Ъ J

{к02жш N +1 {к0а}

Л '{К ^

- cos

N +1

V JJ

( 2жп \

1(К0Ъ)J

Для косинусоидального:

1-

2

2жт

-X е

]{к0Ь}(Р-д) 2жт N+l {к0 а}

V{kо a}J

УПрЧ (к0а. К0Ъ к0А к0^, к00) =

16ж2 {КЬ}2 ( 2 р -1)( 2д -1) {Ка}[к0Ъ}70 [к0Ш}2

<ЕЕ

1-

2

2жт

V {Кa}J

2

2жт

V {к0 а}) Кк0Ъ)

2жп

-1

VI 0") J

-1 + ] • ^

-] {к0°},

/" _ Л2 С - Л2 ^

2жт

{к0 a}J Кк0Ъ)

2жп

-1

Б1П

{К^ }

жп

{Щ

2жп

сos

жт

X-

{К Ь} {к0а}

J

/

Го V 2жт

а}

(0.2)

(0.3)

(ж)4 (2р -1)2 (2*-1)2 - ж{к0Ь}\ ((2д -1)2 + (2р -1)2 )-{к0 Ь}4

V {К0а} J V 1К0а} ^

С помощью (0.1)-(0.3) возможно табулировать значения взаимных проводимостей для

случая однослойного линейного щелевого элемента, что позволяет оперативнее производить

дальнейшую оценку характеристик.

1

X

X

X

Для одномодового же случая выражения для коэффицента базисной функции тока можно записать в виде замкнутого выражения (принимая н0 = ^^ ^ ):

Для кусочно-треугольного базиса оно примет вид:

и (КС, КЪ, к А кЛ, V, я„я)={^} {ко ^^ го {кЖ >'{ко-

32 (N+1)3

ЕЕ

С Г \2\

I 2жш

[{коа}у

( 2жш ^ 2 ( 2жп Л 2

[{коа}) + [{коЪ}) -1

(

-1+7 • сгя

-7' {М}

-1

2жш

{коа}) [{коЪ}

2жп

{коЖ}жп 4 ( {коА} {коЪ} ^

ЖШ

(N +1) {коа}

( 2жп ^

[Ш)

Для кусочно-синусоидального:

( 2жш

{коа}

и ( ко а, коЪ, ко А, коЖ, М, Н о/ ко ) = j|011 {ко а}{ко Ъ} 7 о ип ({кА^{коГ }

{ко А}

ЕЕ

г _ у г _ У

2жш

[{ко а} ^ [{ко Ъ}

2жп

-1

[I о •>)

-1 + 7 • с1е

{коЖ} 2жп 2 {коЪ}

{ко й}

2жш

к а у

л2 г л2 ^

2жп

[ коЪ у

-1

Г ^

сos

{коА} 2жш N +1 {к0а}

Л ( - cos

)

{ко А}

N +1

[ ))

2жп

М ,

' ( У^

2жш

{коа}

[ ^ о )

(0.4)

(0.5)

х

-1

х

2

х

2

Для косинусоидального:

и (к0а, КЪ, к0ц к0ж, к0, н0/к0) = / ^1 {к°а}{к°Ъ} 7 0 {кЛ}2

к0 ] 4ж3 {к0Ь}(2р -1)(2? -1)

ЕЕ