Трехатомные системы при ультранизких энергиях в фаддеевском подходе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор наук Колганова Елена Александровна

• Колганова Елена Александровна
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Колганова Елена Александровна

Фаддеева

1.5 Численное решение уравнений Фаддеева

1.6 Модификация уравнений Фаддеева для исследования резонансных и виртуальных состояний

2 Связанные состояния и рассеяние в системе трех атомов гелия

2.1 Ван-дер-ваальсовское взаимодействие и димер 4Не2

2.2 Двухатомная система - димер 4Не2

2.3 Связанные состояния тримера 4Не3

2.4 Рассеяние атома 4Не на димере 4Не2

3 Проявление эффекта Ефимова в тримере гелия

3.1 Истоки эффекта Ефимова

3.2 Ефимовское состояние в системе 4Не3

3.3 Универсальные корреляции в системе трех атомов гелия

4 Связанные состояния и рассеяние в системе 3Не4Не2

4.1 Формализм

4.2 Связанные состояния

4.3 Исследование возможности появления ефимовских состояний

4.4 Рассеяние атома 3He на димере 4He2

5 Связанные состояния и рассеяние в системах 4He26Li и 4He27Li

5.1 Двухатомные системы - 4He6Li и 4He7Li

5.2 Связанные состояния и рассеяние в тримерах 4He2Li

Заключение

Приложения

A Межатомные He-He потенциалы

B Межатомный He-Li потенциал

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трехатомные системы при ультранизких энергиях в фаддеевском подходе»

Введение

Квантово-механическая проблема трех тел имеет фундаментальное значение для многих областей атомной, молекулярной и ядерной физики. Для понимания возможности описания микроскопически различных физических систем одними и теми же фундаментальными законами квантовой механики требуется математически корректная формулировка квантовой теории, подходящая для численного анализа систем нескольких частиц.

Задача трех тел довольно сложна, что проявляется и в классической задаче описания траектории трех тел, притягивающихся по закону Ньютона, которая в общем случае не имеет аналитических решений ньютоновских уравнений движения. В квантовой механике даже задача двух взаимодействующих частиц, описываемая уравнением Шредингера, решается только численно, а задача трех и более тел представляет уже значительные трудности [1].

Кроме того, при переходе от квантовой задачи двух тех к задаче трех тел возможно радикальное изменение свойств системы. Например, оказывается, что три частицы могут образовывать бесконечное число связанных состояний, даже когда ни одна из парных подсистем не имеет связанных состояний, но хотя бы две из них обладают бесконечными длинами рассеяния. В этом состоит эффект Ефимова [2, 3, 4] для трехчастичных систем с быстро убывающими парными потенциалами, проявление которого не зависит от конкретной природы взаимодействующих частиц.

В настоящее время интенсивно развивается экспериментальная физика ультрахолодных газов в электромагнитных, оптических и комбинированных ловушках [5, 6, 7, 8, 9, 10]. Экспериментаторам удается не только создавать ловушки разных конфигураций [11, 12, 13], но и удерживать в них наперед заданное число атомов [14, 15], а также детектировать и контролировать об-

разование слабосвязанных ван-дер-ваальсовских кластеров [17]. Более того, путем варьирования параметров ловушки [16] можно изменять межатомное взаимодействие и получать сколь угодно большую длину атом-атомного рассеяния. Таким образом возникают новые возможности для экспериментальной реализации и практического исследования эффекта Ефимова [17, 18].

Дальнейшие экспериментальные исследования ван-дер-ваальсовских трехатомных кластеров и эффекта Ефимова не представляются возможными без достоверных теоретических предсказаний, полученных в рамках математически корректной квантовой теории рассеяния. Теоретические и численные исследования свойств реальных ультрахолодных трехатомных систем несомненно являются актуальными задачами. Решению таких задач посвящены работы [19]-[41] и суммирующая их настоящая диссертация. Ключевым и исходным этапом в предлагаемом в диссертации подходе является теория дифференциальных уравнений Фаддеева [1] в базисе Э-функций Вигнера [42, 43] и в бисферическом базисе [44, 45]. Оба этих подхода (трехмерные дифференциальные уравнения Фаддеева и двумерные интегро-дифференциальные уравнения) использованы в наших работах [19]-[41] для численного анализа свойств слабосвязанных ван-дер-ваальсовских трехатомных кластеров.

Теоретические исследования ультрахолодных газов связаны, в основном, с использованием гиперсферического адиабатического представления трехча-стичной волновой функции [46]. И хотя такое представление позволяет проводить весьма эффективные вычисления для простых потенциальных моделей и является достаточно удобным инструментом качественного анализа трех-частичных систем, работа с реалистическими потенциальными моделями в рамках этого подхода оказывается исключительно ресурсоемкой. Основные трудности численного анализа, в особенности, задачи рассеяния в трехатом-

ных системах при ультранизких энергиях порождаются гигантскими по молекулярным масштабам расстояниями (порядка нескольких сотен, а иногда и тысяч ангстрем), на которых волновые функции рассеяния становятся асимптотическими при решении дифференциальных уравнений Шредингера или Фаддеева в координатном представлении. Другая сложность связана с появлением "плавающей" особенности у ядер интегральных уравнений при решении задачи в импульсном пространстве. Поэтому большая часть теоретических исследований трехатомных систем при ультранизких энергиях посвящена расчетам энергии основных состояний [47, 48]. Гораздо меньше внимания было уделено расчетам длин и фаз рассеяния, особенно в ситуациях, близких к эффекту Ефимова [2, 3, 4]. Решаемые в настоящей диссертации задачи восполняют этот пробел, а разработанные вычислительные методы численного интегрирования уравнений Фаддеева позволяют существенно сократить вычислительные затраты.

Исследования существования уровней ефимовского типа в трехчастичных системах, состоящих из димера гелия и атома щелочных металлов, важны для планирования экспериментов по получению этих кластеров и изучению их физических свойств. Атомы 4Не и щелочного металла образуют слабосвязанную двухчастичную молекулу, поэтому в трехчастичной системе, состоящей из двух атомов 4Не и атома щелочного металла вполне возможно появление ефимовских уровней. Несмотря на то, что имеется уже весьма значительное число теоретических работ, посвященных эффекту Ефимова, прямые расчеты ефимовских состояний и резонансов трехатомных систем, парные подсистемы которых взаимодействуют посредством реалистических потенциалов и обладают несколькими порогами непрерывного спектра, еще не проводились.

За последние годы стало понятно, что эффект Ефимова порождает широкий класс явлений, обнаруженный как в системах, состоящих из различного типа частиц, так и в системах с разными типами взаимодействий [49]. С появлением контролируемых фешбаховских резонансов [50, 51, 52] в ультрахолодных атомных газах [53, 54, 55] стало возможным получать и подробнее исследовать системы ефимовского типа. Теоретическое исследование систем такого типа и выявление универсальных закономерностей позволяет выявить условия существования таких систем.

Исследование универсальных закономерностей в трехчастичных системах, и, прежде всего, эффекта Ефимова, является одним из наиболее интенсивно развивающихся направлений современной квантовой физики [49, 56, 57, 58]. В свете недавних достижений в области экспериментального исследования слабосвязанных кластеров, теоретические работы по выявлению новых квантовых систем, демонстрирующих универсальные закономерности, подобные эффекту Ефимова, представляются исключительно актуальными [18, 59, 60, 61]. Анализ свойств таких систем является мостом между двумя существующими ветвями экспериментальных наблюдений. Действительно, с одной стороны, универсальный режим в таких системах должен проявляться в виде наличия резонансов в рассеянии, подобно резонансам, наблюдаемым в бозе-эйнштейновских конденсатах. С другой стороны, свойства и динамика таких резонансов может быть исследована на основе новых экспериментальных методов, позволяющих измерять пространственное распределение атомов в тримере [62]. Полученные в итоге таких исследований результаты позволяют тестировать модели межатомных взаимодействий и могут применяться для анализа ефимовских резонансов.

Опишем структуру диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти

глав, заключения и приложения.

В первой главе изложен формализм дифференциальных уравнений Фад-деева [1] для системы трех частиц и дано описание конечно-разностного алгоритма [19, 20, 21, 22, 23], использованного в работах [19]-[41] для численного анализа свойств трехатомных систем. Проведено сравнение алгоритмов вычисления резонансов [27, 28], основанных на аналитическом продолжении амплитуды рассеяния и на комплексном скейлинге уравнений Фаддеева. Показано, что оба алгоритма приводят к одинаковым результатам.

Вторая глава основана на работах [20]-[26] и посвящена исследованию связанных состояний и процессов рассеяния в системе трех атомов 4Не. В этой главе впервые дан исчерпывающий сравнительный анализ известных экспериментальных данных и вычисленных разными, в том числе авторскими, способами значений энергий связи, длин и фаз рассеяния с различными реалистическими силами. Показано, что в тримере гелия имеется два связанных состояния. Возбужденное состояние лежит близко к порогу непрерывного спектра 1 мК), а трехчастичная длина рассеяния атома 4Не на димере 4Не2 довольно велика 100 А). Приведены результаты вычислений фаз упругого рассеяния атома 4Не на связанной паре 4Не2 при энергиях выше и ниже трехчастичного порога. Показана важность точного учета асимптотического поведения компонент Фаддеева и выбора достаточно большого количества узлов сеток для передачи всех важных особенностей волновой функции.

В третьей главе, основанной на работах [21],[28]-[33], обсуждается эффект Ефимова и исследуются его проявления в системе тримера 4Не3. Показано, что возбужденное состояние тримера гелия имеет ефимовскую природу. Продемонстрировано, что при ослаблении парного потенциала взаимодействия возникает второе возбужденное состояние, которое появляется из

виртуального состояния трехчастичной системы. Обсуждена вычисленная модифицированная линия Филлипса, иллюстрирующая зависимость энергий возбужденного и виртуального состояний от длины рассеяния. Установлена качественная схожесть структуры трехчастичных S-матриц атомной системы 4He3 и ядерной системы nnp.

Четвертая глава посвящена исследованию свойств трехчастичной системы 3He4He2. Показано, что в отличии от тримера 4He2, в этой системе нет возбужденных состояний, а для их возникновения необходимо, чтобы масса атома 3He была очень близка к массе 4He. Впервые вычислены фазы и длины рассеяния атома 3He на димере 4He с различными реалистическими парными потенциалами [34]. Основные результаты этой главы опубликованы в [21, 34, 35, 36].

В пятой главе исследуются связанные состояния и длины рассеяния в системах 4He27Li и 4He26Li. Показано, что обе системы обладают возбужденным состоянием, которое лежит очень близко к нижнему порогу непрерывного спектра. Показано, что наличие второго парного порога мешает проявлению эффекта Ефимова в системе 4He27Li. Результаты, описанные в этой главе, опубликованы в работах [37, 38, 39, 40, 41].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В Приложениях А и В дается описание использованных при численных расчетах реалистических межатомных потенциалов He-He и He-Li.

Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [19] -[41]. Эти результаты докладывались на семинарах в ЛТФ ОИЯИ, в Санкт-Петербургском государственном университете, Римском университете Са-пиенца (Рим, Италия), Институте Макса Планка физики сложных систем

(Дрезден, Германия), Институте атомных и молекулярных наук Академии Синика (Тайбэй, Тайвань), Карловом университете (Прага, Чехия), Университете Южной Африки (Претория, ЮАР), а также представлялись на различных международных конференциях и совещаниях, среди которых: XV International Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, the Netherlands, 1997), XVI IUPAP International Conference on Few-Body Problems in Physics (Taipei, Taiwan, 2000), Workshop on Computational Physics dedicated to the memory of Stanislav Merkuriev (St. Petersburg, Russia, 2003), XIX European Conference on Few-Body Problems in Physics (Groningen, The Netherlands, 2004), IV Workshop on the Dynamics and Structure of Critically Stable Quantum Few-Body Systems (Dresden, Germany, 2005), International Workshop "Critical Stability of Few-Body Quantum Systems" (Dresden, Germany, 2005), Advanced Study Institute "Symmetries and Spin" (Prague, Czech Republic, 2005, 2007, 2010), XIIth International Conference on Symmetry Methods in Physics (Yerevan, Armenia, 2006), The 18th International Conference on Few-Body Problems in Physics (Sao Paulo, Brasil, 2006), the 20th European Conference on Few-Body Problems in Physics (Pisa, Italy, 2007), The fifth workshop on the Critical Stability of Few-Body Quantum Systems (Erice, Italy, 2008), International workshop "Efimov States in molecules and nuclei: Theoretical methods and new experiments" (Rome, Italy, 2009), 19th International IUPAP Conference on Few-Body Problems in Physics (Bonn, Germany, 2009), International Bogolyubov Conference "Problems of Theoretical and Mathematical Physics" (Dubna, Russia, 2009), Humboldt Kolleg / XIV International Conference on Symmetry Methods in Physics (Tsakhkadzor, Armenia, 2010, 2013, 2015), Humboldt Kolleg "Mathematics and life sciences: possibilities, interlacements and limits" (Kyiv, Ukraine, 2010), South Africa - JINR Symposium "Models and Methods in Few- and Many-Body

Systems" (Dubna, Russia, 2010), XIV International Conference on Symmetry Methods in Physics (Dubna, Russia, 2011), Russian-Ukraine Seminar on Few-Body Problems with Strong and Coulomb Interactions (Kyev, Ukraine, 2012), International Workshop on Few-Body Systems (Dubna, 2012), The 3rd South Africa - JINR Symposium "Few to Many Body Systems: Models, Methods and Applications" (Stellenbosh, South Africa, 2012), The 22nd European Conference on Few-Body Problems in Physics (Krakow, Poland, 2013), The 7th International and Interdisciplinary Workshop on the Dynamics of Critically Stable Quantum Few-Body Systems (Santos, Brazil, 2014), The LXV International Conference on Nuclear Physics (St.Petersburg, Russia, 2015), The IX International Symposium on Quantum Theory and Symmetries (Yerevan, Armenia, 2015), SKLTP-BLTP Joint Workshop on Physics of Strong Interaction (Guilin, China, 2015), 4th South Africa - JINR Symposium on Few to Many Body Systems: Models and Methods and Applications (Dubna, 2015), The International Session-Conference of SNP PSD RAS "Physics of Fundamental Interactions" (Dubna, Russia, 2016), WE-Heraeus Seminar on Few-body physics «Few-body physics: Advances and prospects in Theory and Experiment» (Bad Honnef, Germany, 2016), International Workshop on Few-Body Systems (Dubna, 2016), The 23rd European Conference on Few-Body Problems in Physics (Aarhus, Denmark, 2016), The 10th APCTP-BLTP/JINR-RCNP-RIKEN Joint Workshop on Nuclear and Hadronic Physics (Wako, Japan, 2016), International symposium on New Developments in Methods and Applications of Few-body Physics: in Memory of Professor SA Sofianos (Johannesburg, South Africa, 2017), International School & Workshop on Critical Stability of Quantum Few-Body Systems (Dresden, Germany, 2017), Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (Нальчик, Россия, 2017), XVII International

Conference on Symmetry methods in Physics (Yerevan, Armenia, 2017), 11th APCTP-BLTP JINR-PNPI NRC Kl-SPbU Joint Workshop "Modern Problems in Nuclear and Elementary Particle Physics" (Peterhof, St.Petersburg, Russia, 2017), BLTP JINR and SKLTP CAS Joint Workshop on Physics of Strong Interacting Systems (Shenzhen, China, 2017), XIII Workshop on Particle Correlations and Femtoscopy (Krakow, Poland, 2018), XXII International Conference on Few-Body Problems in Physics (Caen, France, 2018), International Conference "Mathematical Analysis and its Application to Mathematical Physics" (Samarkand, Uzbekistan,

2018), LXIX International Conference "Nucleus-2019" on Nuclear Spectroscopy and Nuclear Structure (Dubna, Russia, 2019), International Bogolyubov Conference "Problems of Theoretical and Mathematical Physics" (Moscow-Dubna, Russia,

2019), LXX International Conference Nucleus-2020 "Nuclear physics and elementary particle physics. Nuclear physics technologies" (St.Petersburg, Russia, 2020).

Глава 1

Дифференциальные уравнения Фаддеева и их дискретные аналоги

Математически корректная формулировка задачи трех квантовых частиц с короткодействующими потенциалами впервые дана Л.Д.Фаддеевым в работе [63]. В этой формулировке трехчастичная Т-матрица представляется суммой трех ¿-матриц, удовлетворяющих интегральным уравнениям в импульсном пространстве. Фаддеевское разбиение Ф = + + волновой функции Ф системы трех частиц на три компоненты а = 1, 2,3 оказалось удобным для записи уравнений Фаддеева в дифференциальной форме в координатном пространстве системы трех частиц [64, 65, 66]. Основной проблемой теории дифференциальных уравнений Фаддеева был вывод физических граничных условий для компонент Га. Полное решение этой проблемы предложено С.П.Меркурьевым в работах [44, 45]. Интегральным и дифференциальным уравнениям Фаддеева посвящена монография [1].

Основа настоящей главы - работы [19]-[28]. Разделы 1.1-1.4 носят вводный характер. В разделах 1.1 и 1.2 приводятся и поясняются исходные шестимерные дифференциальные уравнения Фаддеева [1] и их объединение с моделью твердого кора [67, 68]. Разделы 1.3 и 1.4 посвящены редукции исходных ше-

стимерных дифференциальных уравнений Фаддеева к трехмерным дифференциальным уравнениям [42, 43] и к двумерным интегро-дифференциальным уравнениям [1]. В разделе 1.5 дано краткое описание конечно-разностного алгоритма численного анализа интегро-дифференциальных уравнений Фаддеева [1] и предложенной в работах [19, 20, 21] модификации этого алгоритма для модели твердого кора [67]. В разделе 1.6 поясняются методы вычисления энергий резонансов в рамках дифференциальных уравнений Фаддеева.

1.1 Исходные шестимерные дифференциальные уравнения Фаддеева

Рассмотрим нерелятивистскую систему трех бесспиновых частиц с номерами а = 1,2,3. Считаем, что постоянная Планка Н равна 1. Пусть га -радиус-вектор частицы с номером а, а та - ее масса. Гамильтониан системы трех частиц

3 1

Н = "Е + Е ^ (Га - Гв)

1 2та „а

а=1 а<р

содержит трехмерный оператор Лапласа Аа и парный потенциал Уар. Этот потенциал парного взаимодействия зависит только от радиус-вектора, соединяющего частицы с номерами а и в. Поэтому удобно перейти к приведенным координатам Якоби ха, уа, а = 1, 2, 3, отделив движение центра масс [1]:

2тв ш7

Ха —

Шв + ш.

1/2

(гв " Г7

Уа =

(1.1.1)

2ша(шв + ш7) 11/2 ша + шв + ш7_

Г шв г в + ш7 г7

га —

шв + ш7 )

Здесь (а, в, 7) образуют циклическую перестановку частиц с номерами (1, 2,3). Якобиевские вектора с другими индексами получаются циклической переста-

новкой индексов а, в и y в (1.1.1). Соотношение между якобиевскими векторами с разными индексами дается ортогональным преобразованием

Хв = СваХа + SpaVa, Ув = S¡3a Ха + Q^aVa, (1.1.2)

где коэффициенты cpa и Spa зависят от масс частиц

Са = - ( ШаШв \1/2

ав V (Ша +Шв)(шв + Ш7)/ ,

Бав = (-1)в-а SÍgn(e - а) (1 - Сар)1/2

и справедливы соотношения

- 1 < Сва < 0, Бва = 1 - Сва, Сва = Сав и Бва = -Бав, в = а. (1.1.3) Для частиц с одинаковыми массами

Сва = -1/2, Бва = (-1)в"а SÍgn(a - в) V3/2.

Координаты ха и уа задают шестимерный вектор X = (ха, уа) G R6. Введенные координаты позволяют записать оператор энергии системы трех частиц (1.1.1) в системе центра масс в виде

Н = -ДХ + ^ Уа(Ха) = Н + ^ V,, (1.1.4)

аа

где Дх = ДХа + ДУа. Оператор (1.1.4) определяет все физические свойства системы и рассматривается в гильбертовом пространстве Ь2(Ш?) квадратично интегрируемых функций, которые зависят от относительных координат . Самосопряженный оператор Н0 = —Дх является оператором кинетической энергии и имеет лишь непрерывный спектр, совпадающей с положительной вещественной полуосью. Обобщенные собственные функции1 ф0(Х,Р) этого

1 Строго говоря, функции фо(Х, Р) не являются кватратично интегрируемыми и не принадлежат пространству ¿2, но их связь со спектральным преобразованием такая же, как и для собственных векторов в конечномерном пространстве [69].

оператора Нофо(Х, Р) = Р2фо(X, Р) в координатном представлении имеют вид фо(Х, Р) = (2п)—3ежр(г(Х, Р)}. Операторы Уа,а = 1, 2,3, представляют собой парные потенциалы взаимодействия, которые будем считать гладкими, вещественнозначными и достаточно быстро убывающими функциями |К(х)| < Са(1 + |х|)—(3+е), |х| ^ то, где константы Са и е положительны. Гамильтониан Н с такими потенциалами является самосопряженным, а его спектр вещественным.

Пусть Ф - собственная функция гамильтониана (1.1.4) с собственным значением Е. Уравнение Шредингера

(н + ^ Ф = ЕФ (1.1.5)

эквивалентно уравнению Липпмана-Швингера. Предполагая, что Е не принадлежит спектру оператора кинетической энергии, это уравнение можно записать в виде

Ф = — (Но — Е)—1 ^ ^Ф (1.1.6)

а

и затем ввести фаддеевские компоненты

Ра = — (Но — Е)—1 КФ, а = 1, 2,3. (1.1.7)

Суммируя все компоненты Фаддеева получаем выражение для волновой функции Ф через эти компоненты:

Ф= ^ ^ (1.1.8)

а=1,2,3

Подстановка (1.1.8) в (1.1.7) дает интегральные уравнения для компонент

Ра = — (Но — Е)—1 К 2 рв. (1.1.9)

в=1,2,3

Дифференциальные уравнения Фаддеева

(Но + К — Е) Ра = —К 2 Рв (1.1.10)

в=а

получаются, если подействовать на обе части (1.1.9) оператором (Н0 — Е) и перенести в левую часть слагаемое с УаЕа. Интегральные уравнения Фаддеева

Еа = — (Но + V* — Е)—1 V* ^ Ев (1.1.11)

в=а

получаются при обращении операторов Я0 + Уа — Е в (1.1.10).

Аналогично можно записать уравнения для задачи N тел, если потенциал V представим в виде суммы (см. [1, 70, 71, 72]).

Для того, чтобы найти физическое решение уравнений (1.1.10), необходимо задать асимптотические граничные условия. Уравнения (1.1.10), (1.1.11) вместе с условиями

Еа е ¿2(К6), а = 1,2,3, (1.1.12)

описывают задачу на связанные состояния трех взаимодействующих частиц. В случае состояний рассеяния граничные условия были получены в работе [73, 45] и имеют более сложный вид. В частности, при рассеянии частицы с относительным импульсом рв на связанной паре в в состоянии, описываемым волновой функцией фв(хв) с энергией ев (В = {г, в}, где г - номер связанного состояния пары в) компонента Еа имеет асимптотику в виде суммы

Еа(Х, рв) =&авХВ (X, рв)+ (1.1.13)

+Е Фа( Ха)иАВ (Уа, Рв ) + иаВ (X, Рв ). А

Ее первое слагаемое

Хв(X, рв) = фв(хв) ехр(1 рв•Ув) (1.1.14)

описывает начальное состояние, слагаемое Пав описывает процессы упругого рассеяния (А = В) или перестройки (А = В) , а третье слагаемое Пав отвечает за процессы распада системы на три свободные частицы. Функции Пав

и UaB асимптотически при |уа | ^ то и |X | ^ то переходят в сферические волны [45, 70]

eVE-ел\Уа. |

UAB (Уа, Рв) ~ -i-i-fAB (Уа, Рв), (1.1.15)

\ уа \

UaB (X,pe) ~ |X |5/2 faB (X, Рв), (1.1.16)

с гладкими ограниченными амплитудами fAB и faB. Здесь E = eB + рв _ полная энергия системы, а квадраты модулей амплитуд fAB и faB определяют сечения соответствующих процессов [70].

1.2 Объединение дифференциальных уравнений Фаддеева и модели твердого кора

Довольно часто приходится иметь дело с потенциалами с твердым кором или с очень сильным отталкиванием на малых расстояниях, которые хорошо аппроксимируются моделью твердого кора (или моделью граничных условий, см., например, [19, 74, 75]). В случае таких потенциалов трехчастичная волновая функция Ф(Х) должна быть равна нулю, когда любые две частицы, например в и y подходят друг к другу на расстояние xa < ca, где ca приведенная сумма радиусов коров частиц из пары а.

Конфигурационное пространство Q системы трех частиц с твердым кором описано в работе [19]. Оно представляет собой часть пространства R6, внешнюю (|xa| > ca) по отношению к гиперцилиндрам Га, Га = {X G R6 : X = (xa, уа), |xa| = ca}, а = 1, 2, 3, где ca > 0. Трехмерный образ этого пространства для системы трех частиц с соотношением масс 7:4:4 (в случае системы 7Li4He2, рассматриваемой ниже) и значением ca = 1 приведено на Рис. 1.1. Гиперцилиндры Г1, Г2 и Г3 представлены на Рис. 1.1 плоскостью

х = с и поверхностями

7 2 15 о л/105 ,

Т^х + — у ± —-— хуп1 = 1, 22 22 ± 11 1

где х = |ха|, у = |уа|, и п = ха • уа. Конфигурационное пространство ^ является подмножеством множества х > с, у > 0, —1 < п1 < 1, ограниченного поверхностями Г2 и Г3.

0.5

П I Г1

Рис. 1.1: Трехмерный образ конфигурационного пространства трех частиц с неравными массами и парными взаимодействиями с твердым кором.

А.К.Мотовилов в работе [67] показал, что в модели твердого кора компо-

ненты Фаддеева Еа(Х), а = 1, 2,3 удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:

(—Дх + V* — Е)Еа(X) = —Ев(X),

в—а

(—Дх — Е )Еа (X) = 0,

|Ха| > Са, (1.2.1 а)

|Ха| <Са, (1.2.1 Ь)

а = 1, 2, 3.

При всех X е К6 \ О сумма всех компонент Фаддеева должна обращаться в нуль. Однако, в работах [67, 75] было показано, что достаточно потребовать, чтобы сумма компонент Еа^) обращалась в нуль лишь на границе цилиндров Га:

3

" =0, а = 1,2,3. (1.2.2)

ЕЕв (X)

в=1

ха —са

Дополнительный набор однородных внутренних задач Дирихле для областей, возникающих при пересечении цилиндров Га может приводить к дополнительному "духовому" дискретному спектру по отношению к исходному гамильтониану Я [19]. Исключить совпадение энергии рассеяния с одной из точек "духового" спектра можно путем замены нулевых значений потенциала внутри областей кора подходящими положительными константами. Такая замена никак не повлияет на значение полной волновой функции в физической области X е О [19]. Следует отметить, что равенство нулю суммы компонент Фаддеева в области X е К6 \ О имеет отношение к "духовым" решениям уравнений Фаддеева, которые детально исследовались С.Л. Яковлевым в работах [76, 77] и В.В.Пупышевым в работах [78, 79, 80]. В случае парных потенциалов шестимерные уравнения Фаддеева можно свести к трехи двумерным уравнениям.

1.3 Уравнения Фаддеева в базисе D-функций Вигнера

Для численного решения уравнений Фаддеева (1.1.10), которые являются шестимерными, необходимо провести парциальный анализ. В случае центральных парных потенциалов трехчастичный гамильтониан инвариантен относительно вращения системы как целого вокруг центра масс и можно отделить степени свободы, связанные с вращением системы, т.е. выделить углы Эйлера. Такая процедура впервые предложена в работе [42] и использована в работах [81, 82, 83, 22].

Шестимерный вектор X = (ха, уа) можно параметризовать с помощью трех координат ха, уа,$а, которые описывают относительное положение всех трех частиц в одной плоскости, и еще трех координат Z15C2, Сз, которые являются углами Эйлера и определяют ориетацию этой плоскости. Используя углы Эйлера, можно выделить из оператора кинетической энергии квадрат оператора полного углового момента системы:

L2 = % sin (2% - —^т (д£ - 2 cos (2^ + д£) .

sin Z2 sin2 Z2

В итоге алгебраических преобразований оператор кинетической энергии сведется к оператору:

H0 = дХа ^a + У2дУа viдУа + Ха V а

í.i W 1 „ . Л „ . i ^ \ -L2 + K

n xI+vi; ta sln ^+sin2^:+^а

где

K = e<3 (д,а + i cot вадСз) L" + e-<3 (-д,а + i cot вадСз) L+ - 2д2,

L± = ±дл, + -—— дл - i cot ^дл,.

sin Z2 цз

Как известно [85], функции Вигнера (Съ(2,Сз) удовлетворяют соотношениям:

' = L(L + 1)DMM', L = 0 1 ^ д L

l3dlm' = -WdMM' = MDMM,, M = —^ -L + 1L; dCi

- д

Li3D]MM' = -^Q(¡DLMM' = M'DMM', M' = —L, —L + 1,..., L;

L±DMM' = e±lC3 V(L ± M)(L т M + 1)D]M'Ti .

Компоненты Фаддеева можно представить в виде разложений:

то L

Уа) = ^ ^ ф]ММ'(ха V^ ^a)DMM' (Cl, С2, Сз) , а =1, 2 3. 1=0 М,М'=—L

Проекцию оператора кинетической энергии, действующего на функцию Ф]ММ', можно записать следующим образом:

H]MM = — дХа Ха два — V2 дУа уа дУа —

( 1 1 1 о 1 „.Л L(L + 1) — 2M2

— + ^г до sin 9« до — M2 + ( )

Ха VÍ) VSin 9« sin2 9а / Х2а

Мы будем рассматривать случай, когда L и M равны нулю и поэтому представление оператора кинетической энергии заметно упрощается:

д2 д2 1 1 д д Ho =— дха—м—(ха+V2'azx(1—4'д^а, га=cos9а. (ил)

Внутренние координаты с разными индексами, благодаря (1.1.1) и (1.1.2), связаны соотношениями

( 22 22 \ 1/2 Хв = {С/ЗаХа + 2сва$]1ХаУа zo. + s ва уа) ,

( 2 2 d 2 2 ч 1/2

ув = lSe« Х а — 2сва$]1Ха уа^а + сва Уа) ,

ХвУв= (сва — 4а)хаУа¿а — сва$ва(х1 — V^ .

В результате получается система трех (а = 1, 2, 3) трехмерных дифференциальных уравнений Фаддеева

(Но + К(жа ) - Е )фа (Ха, Уа, ¿а) = -К(жа) ^ фр (ж^, У в, ¿в ) . (1.3.2)

Если две частицы из трех тождественны, то можно рассматривать только две независимые компоненты Фаддеева, в случае трех тождественных бозонов система из трех уравнений Фаддеева (1.3.2) сводится к одному, но трехмерному уравнению:

(Но + V(ж) - Е)ф(ж, у, 2) = -V(ж)Рф(ж, у, 2), (1.3.3)

где

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Колганова Елена Александровна, 2021 год

Литература

[1] С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев, Теория рассеяния для систем нескольких частиц (Наука, Москва, 1985).

[2] V. Efimov, Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system, Phys. Lett. B 33 (1970), 563-564.

[3] В. Н. Ефимов, Слабосвязанные состояния трех резонансно взаимодействующих частиц, ЯФ 12 (1970), 1080-1090.

[4] V. Efimov, Energy levels of three resonantly interacting particles, Nucl. Phys. A. 210 (1973), 157-188.

[5] T. Kraemer, M. Mark, P. Waldburger, J. G. Danzl, C. Chin, B. Engeser, A. D. Lange, K. Pilch, A. Jaakkola, H. C. Nagerl, and R. Grimm, Evidence for Efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms, Nature 440 (2006), 315-318.

[6] J. R. Williams, E. L. Hazlett, J. H. Huckans, R. W. Stites, Y. Zhang, and K. M. O'Hara, Evidence for an excited-state Efimov trimer in a three-component Fermi gas, Phys. Rev. Lett. 103 (2009), 130404.

[7] B. S. Rem, A. T. Grier, I. Ferrier-Barbut, U. Eismann, T. Langen, N. Navon, L. Khaykovich, F. Werner, D. S. Petrov, F. Chevy, and C. Salomon, Lifetime of the Bose gas with resonant interactions, Phys. Rev. Lett. 110 (2013), 163202.

[8] R. S. Bloom, M.-G. Hu, T. D. Cumby, and D. S. Jin, Tests of universal three-body physics in an ultracold Bose-Fermi mixture, Phys. Rev. Lett. 111 (2013), 105301.

[9] J. Ulmanis, S. Hafner, R. Pires, F. Werner, D. S. Petrov, E. D. Kuhnle, and M. Weidemüller, Universal three-body recombination and Efimov resonances in an ultracold Li-Cs mixture, Phys. Rev. A 93 (2016), 022707.

[10] R. Grimm, M. Weidemüller, Yu. B. Ovchinnikov, Optical dipole traps for neutral atoms, Adv. At. Mol. Ppt. Phys. 42 (2000), 95-170.

[11] B. J. Sawyer, M. S. J. Horvath, E. Tiesinga, A. B. Deb, and N. Kjarrgaard, Dispersive optical detection of magnetic Feshbach resonances in ultracold gases, Phys. Rev. A 96 (2017), 022705.

[12] G. Zürn, A. N. Wenz, S. Murmann, A. Bergschneider, T. Lompe, and S. Jochim, Pairing in few-fermion systems with attractive interactions, Phys. Rev. Lett. 111 (2013), 175302.

[13] K. Merloti, R. Dubessy, L. Longchambon, A. Perrin, P.-E. Pottie, V. Lorent and H. Perrin, A two-dimensional quantum gas in a magnetic trap, New J. Phys. 15 (2013), 033007.

[14] F. Serwane, G. Zürn, T. Lompe, T. B. Ottenstein, A. N. Wenz, S. Jochim, Deterministic preparation of a tunable few-fermion system, Science 332 (2011), 336-338.

[15] G. Zürn, F. Serwane, T. Lompe, A. N. Wenz, M. G. Ries, J. E. Bohn, and S. Jochim, Fermionization of Two Distinguishable Fermions, Phys. Rev. Lett. 108 (2012), 075303.

[16] K. Goral, Th. Kohler, S. A. Gardiner, E. Tiesinga, and P. S. Julienne, Adiabatic association of ultracold molecules via magnetic-field tunable interactions, J. Phys. B 37 (2004), 3457-3500.

[17] B. Huang, L. A. Sidorenkov, R. Grimm, and J. M. Hutson, Observation of the second triatomic resonance in Efimov's scenario, Phys. Rev. Lett. 112 (2014), 190401.

[18] R. Pires, J. Ulmanis, S. Hafner, M. Repp, A. Arias, E.D. Kuhnle, and M. Weidemüller, Observation of Efimov resonances in a mixture with extreme mass imbalance, Phys. Rev. Lett. 112 (2014), 250404.

[19] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and S. A. Sofianos, Three-body configuration space calculations with hard-core potentials, J. Phys. B 31 (1998), 1279-1302.

[20] A. K. Motovilov, W. Sandhas, S. A. Sofianos, and E. A. Kolganova, Binding energies and scattering observables in the 4He3 atomic system, Eur. Phys. J. D 13 (2001), 33-41.

[21] Е. А. Колганова, A. К. Мотовилов, В. Зандхас Ультрахолодные столкновения в системе трех атомов гелия, ЭЧАЯ 40 (2009), 396-456.

[22] E. A. Kolganova, Helium trimer in the framework of Faddeev approach, Phys. Part. Nucl. 41 (2010), 1108-1110.

[23] E. A. Kolganova, V. Roudnev, and M. Cavagnero, Helium trimer calculations with a public quantum three-body code, Phys. At. Nucl. 75 (2012), 1240-1244.

[24] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and S. A. Sofianos, Ultralow energy scattering of a He atom off a He dimer, Phys. Rev. A 56 (1997), R1686-R1689.

[25] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, Ultracold scattering processes in three-atomic helium systems, Nucl. Phys. A 790 (2007), 752c-756c.

[26] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, Scattering length of the helium-atom-helium-dimer collision, Phys. Rev. A 70 (2004), 052711(4).

[27] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and Y. K. Ho, Complex scaling of the Faddeev operator, Nucl. Phys. A 684 (1-4) (2001), 623c-625c.

[28] E. A. Колганова, A. K. Мотовилов, Использование дифференциальных уравнений Фаддеева для расчетов трехчастичных резонансов, ЯФ 60 (1997), 235-244.

[29] E. A. Колганова, A. K. Мотовилов, О механизме возникновения ефи-мовских состояний в тримере гелия 4He, ЯФ 62 (1999), 1253-1267.

[30] A. K. Motovilov and E. A. Kolganova, Structure of T- and S-matrices in unphysical sheets and resonances in three-body systems, Few-Body Syst. Suppl. 10 (1999), 75-84.

[31] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, The 4He trimer as an Efimov system, Few-Body Syst. 51 (2011), 249-257.

[32] E. A. Kolganova, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, The 4He trimer as an Efimov system: Latest developments, Few-Body Syst. 58 (2017) 35.

[33] E. A. Kolganova, Ultracold scattering and universal correlations, Few-Body Syst. 55 (2014), 957-960.

[34] E. A. Kolganova, Y. K. Ho, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, The ?He4He2 three-atomic system within the hard-core Faddeev approach, в кн.: Избранные вопросы тоеретической физики и астрофизики. Сборник научных

трудов, посвященный 70-летию В. Б. Беляева (ОИЯИ, Дубна, 2003), с. 129-135.

[35] E. A. Kolganova, Y. K. Ho, A. K. Motovilov, and W. Sandhas, The 3He4He2 trimer within the hard-core Faddeev approach, Czech. J. Phys. 53 (2003), B301-B304.

[36] W. Sandhas, E. A. Kolganova, Y. K. Ho, and A. K. Motovilov, Binding energies and scattering observables in the 4He3 and 3He4He3 systems, Few-Body Syst. 34 (2004), 137-142.

[37] E. A. Kolganova, Weakly bound LiHe2 molecules, Few-Body Syst. 58 (2017), 57.

[38] E. A. Kolganova, Scattering length calculations via Faddeev approach, J. Phys. Conf. Ser. 915 (2017), 012003.

[39] E. A. Kolganova, Faddeev calculation of Helium atom — LiHe-dimer scattering length, Few-Body Syst. 59 (2018), 28.

[40] E. A. Kolganova and V. Roudnev, Weakly bound LiHe2 molecules in the framework of three-dimensional Faddeev equations, Few-Body Syst. 60 (2019), 32.

[41] Е. А. Колганова, В. Руднев, Слабосвязанные трехатомные LiHe2 молекулы, Изв. РАН Сер. физ. 84 (2020), 590-593.

[42] V. V. Kostrykin, A. A. Kvitsinsky, and S. P. Merkuriev, Faddeev approach to the three-body problem in total-angular-momentum representation, Few-Body Syst. 6 (1989), 97-113.

[43] А. А. Квицинский, В. В. Кострыкин, С. П. Меркурьев, Квантовая теория рассеяния для систем трех частиц с фиксированным полным орбитальным моментом, ЭЧАЯ 21 (1990), 1301-1359.

[44] C. Gignoux, A. Laverne and S. P. Merkuriev, Solution of the three-body scattering problem in configuration space, Phys. Rev. Lett. 33 (1974), 13501352;

[45] S. P. Merkuriev, C. Gignoux, and A. Laverne, Three-body scattering in configuration space, Ann. Phys. (N.Y.) 99 (1976), 30-71.

[46] Ch. H. Greene, P. Giannakeas, and J. Perez-Ros, Universal few-body physics and cluster formation, Rev. Mod. Phys. 89 (2017), 035006.

[47] P. Stipanovic, L. V. Markic, I. Beslic and J. Boronat, Universality in molecular halo clusters, Phys. Rev. Lett. 113 (2014), 253401.

[48] P. Stipanovic, L. V. MarkiC, D. ZariC and J. Boronat, Ground-state properties of weakly bound helium-alkali trimers, J. Chem. Phys. 146 (2017), 014305.

[49] P. Naidon, E. Hiyama, M. Ueda, Universality and the three-body parameter of4He trimers, Phys. Rev. A 86 (2012), 012502.

[50] H. Feshbach, Unified theory of nuclear reactions, Ann. Phys. 5 (1958), 357390.

[51] H. Feshbach, A unified theory of nuclear reactions.II, Ann. Phys. 19 (1962), 287-313.

[52] U. Fano, Effects of configuration interaction on intensities and phase shifts, Phys. Rev. 124 (1961), 1866-1878.

[53] E. Tiesinga, B. J. Verhaar, and H. T. C. Stoof, Threshold and resonance phenomena in ultracold ground-state collisions, Phys. Rev. A 47 (1993), 4114-4122.

[54] Ch. Chin, R. Grimm, P. Julienne, and E. Tiesinga, Feshbach resonances in ultracold gases, Rev. Mod. Phys. 82 (2010), 1225-1286.

[55] F. Ferlaino, R. Grimm, Forty years of Efimov physics: How a bizarre prediction turned into a hot topic, Physics 3 (2010), 9.

[56] P. Giannakeas, C. H. Greene, Van der Waals universality in homonuclear atom-dimer elastic collisions, Few-Body Syst. 58 (2017), 20.

[57] A. Kievsky and M. Gattobigio, Universal nature and finite-range corrections in elastic atom-dimer scattering below the dimer breakup threshold, Phys. Rev. A 87 (2013), 052719.

[58] J. Johansen, B. DeSalvo, K. Patel, and Ch. Chin, Testing universality of Efimov physics across broad and narrow Feshbach resonances, Nature Phys. 13 (2017), 731-735.

[59] J. Ulmanis, S. Hafner, R. Pires, E. D. Kuhnle, Yu. Wang, Ch. H. Greene, and M. Weidemiiller, Heteronuclear Efimov scenario with positive intraspecies scattering length, Phys. Rev. Lett. 117 (2016), 153201.

[60] H.-W. Hammer, C. Ji and D. R. Phillips, Effective field theory description of halo nuclei, J. Phys. G 44 (2017), 103002.

[61] R. Chapurin, X. Xie, M. J. Van de Graaff, J. S. Popowski, J. P. D'Incao, P. S. Julienne, J. Ye, and E. A. Cornell, Precision test of the limits to universality in few-body physics, Phys. Rev. Lett. 123 (2019), 233402.

[62] J. Voigtsberger, S. Zeller, J. Becht, N. Neumann, F. Sturm, H.-K. Kim, M. Waitz, F. Trinter, M. Kunitski, A. Kalinin, J. Wu, W. Schollkopf, D. Bressanini, A. Czasch, J. B. Williams, K. Ullmann-Pfleger, L. Ph H. Schmidt, M. S. Schoffler, R. E. Grisenti, T. Jahnke, and R. Dorner, Imaging the structure of the trimer systems 4He3 and 3He4He2, Nature Commun. 5 (2014), 5765.

[63] Л. Д. Фаддеев, Теория рассеяния для системы из трех частиц, ЖЭТФ 39 (1960), 1459-1467.

[64] H. P. Noyes and H. Fiedeldey, Calculations of the three-nucleon low energy parameters, in Three-particle scattering in quantum mechanics. Proc. Texas A&M Conference, edited by J. Gillespie and J. Nuttall (Benjamin, N.Y., 1968), pp. 195-204 [SLAC-PUB-409].

[65] C. Gignoux and A. Laverne, Three-nucleon bound state from Faddeev equations with a realistic potential, Phys. Rev. Lett. 29 (1972) 436-438.

[66] A. Laverne and C. Gignoux, A detailed analysis of ?H from Faddeev equations in configuration space, Nucl. Phys. A 203 (1973) 597-608.

[67] А. К. Мотовилов, Дифференциальные уравнения для компонент волновой функции в задаче трех твердых сфер, Вестн. Ленингр. гос. ун-та (сер. физ. хим.) 22 (1983), 76-79.

[68] A. K. Motovilov, Квантовая задача трех тел в модели граничных условий, Дисс. на соиск. уч. ст. канд. ф.-м.н. (ЛГУ, Ленинград, 1984).

[69] Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Лекции по квантовой механике для студентов-математиков (Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980).

[70] А. А. Квицинский, Ю. А. Куперин, С. П. Меркурьев, А. К. Мотовилов, С. Л. Яковлев, Квантовая задача N тел в конфигурационном пространстве, ЭЧАЯ 17 (1986), 267-317.

[71] A. K. Motovilov, Progress in methods to solve the Faddeev and Yakubovsky differential equations, Few-Body Syst. 43 (2008), 121-127.

[72] С. Л. Яковлев, Квантовая проблема N тел: матричные структуры и уравнения, ТМФ 181 (2014), 218-240.

[73] С. П. Меркурьев, Координатная асимптотика волновой функции для системы трех частиц, ТМФ 8 (1971) 235-250.

[74] В. Н. Ефимов, Г. Шульц, Модель граничных условий в задаче двух и трех частиц, ЭЧАЯ 7 (1976), 875-915.

[75] S. P. Merkuriev and A. K. Motovilov, Faddeev equations for simple layer potential density, Lett. Math. Phys. 7 (1983), 497-503.

[76] С. Л. Яковлев, О спектральных свойствах уравнений Фаддеева, ТМФ 102 (1995), 323-336.

[77] С. Л. Яковлев, Дифференциальные уравнения Фаддеева как спектральная задача для несимметричного оператора, ТМФ 107 (1996), 513-528.

[78] В. В. Пупышев, Ложные решения уравнений Фаддеева с центральными потенциалами, ТМФ 107 (1996), 501-512.

[79] В. В. Пупышев, Ложные слагаемые в задаче трех частиц, ТМФ 125 (2001), 253-271.

[80] В. В. Пупышев, Ложные решения трехмерных уравнений Фаддеева, ТМФ 148 (2006), 227-242.

[81] A. A. Kvitsinsky and C.-Y. Hu, Solution of three-dimensional Faddeev equations for three-body colomb bound states, Few-Body Syst. 12 (1992) 7-19.

[82] V. A. Roudnev, S. L. Yakovlev, and S. A. Sofianos, Bound-state calculations for three atoms without explicit partial wave decomposition, Few-Body Syst. 37 (2005) 179-196.

[83] V. Roudnev, S. Yakovlev, Investigation of 4He trimer on the base of Faddeev equations in configuration space, Chem. Phys. Lett. 328 (2000) 97-106.

[84] A. Messiah, Quantum mechanics, Vol. II (North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1966).

[85] Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента (Наука, Ленинград, 1975).

[86] A. K. Мотовилов, Представления для трехчастичной Т-матрицы на нефизических листах. I, TMФ 107 (1996), 450-477.

[87] A. K. Мотовилов, Представления для трехчастичной Т-матрицы на нефизических листах. II, TMФ 107 (1996), 478-502.

[88] A. K. Motovilov, Representations for the three-body T-matrix, scattering matrices and resolvent on unphysical energy sheets, Math. Nachr. 187 (1997), 147-210.

[89] A. K. Мотовилов, Строение T-матрицы и матрицы рассеяния на нефизических листах энергии в задаче трех квантовых частиц, ЭЧАЯ 32 (2001), 144-150.

[90] E. Balslev and J. M. Combes, Spectral properties of Schrodinger operators with dilation analytic interactions, Commun. Math. Phys. 22 (1971), 280294.

[91] B. Simon, Resonances and complex scaling: A rigorous overview, Intern. J. Quant. Chem. 14 (1978), 529-542.

[92] A. K. Motovilov, S. A. Sofianos, and E. A. Kolganova, Bound states and scattering processes in the 4He3 atomic system, Chem. Phys. Lett. 275 (1997), 168-172.

[93] Дж. Блатт, В. Вайскопф, Теоретическая ядерная физика (М.:Иностранная Литература, 1954).

[94] R. Machleidt, D.R. Entemb, Chiral effective field theory and nuclear forces, Phys. Rep. 503 (2011), 1-75.

[95] W. Schollkopf and J. P. Toennies, Nondestructive mass selection of small van der Waals clusters, Science 266 (1994), 1345-1348.

[96] M. Kunitski, S. Zeller, J. Voigtsberger, A. Kalinin, L.Ph.H. Schmidt, M. Schoffer, A. Czasch, W. Schollkopf, R. E. Grisenti, C. Janke, D. Blume, and R. Dörner, Observation of the Efimov state of the helium trimer, Science 348 (2015), 551-555.

[97] R. Grisenti, W. Schollkopf, J.P.Toennies, G.C. Hegerfeld, T. Köhler, M. Stoll, Determination of the bond length and binding energy of the helium dimer by diffraction from a transmission grating, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), 2284-2287.

[98] S. Zeller, M. Kunitski, J. Voigtsberger, A. Kalinin, A. Schottelius, C. Schober, M. Waitz, H. Sann, A. Hartung, T. Bauer, M. Pitzer, F. Trinter, C. Goihl, C. Janke, M. Richter, G. Kastirke, M. Weller, A. Czasch, M. Kitzler, M. Braune, R. E. Grisenti, W. Schollkopf, L. Ph. H. Schmidt, M. Schoffer, J. B. Williams, T. Jahnke, and R. Dörner, Imaging the He2 quantum halo state using a free electron laser, PNAS, 113 (2016), 14651-14655.

[99] P. Debye, Die van der Waalsschen Kohasionskrafte, Phys. Zeits. 21 (1920), 178-187.

[100] W. H. Keesom, Die van der Waalsschen Kohasionskrafte, Phys. Zeits. 22 (1921), 129-141.

[101] W. H. Keesom, Die Berechnung der molekularen Quadrupolmomente aus Zustandsgleichung, Phys. Zeits. 23 (1922), 225-228.

[102] J. E. Jones, On the determination of molecular fields. II. From the equation of state of a gas, Proc. Royal Soc. Ser. A 106 (1924), 463-477.

[103] S. C. Wang, Die gegenseitige Einwirkung zweiter Wasserstoffatome, Phys. Zeits. 28 (1927), 663-666.

[104] J. C. Slater, The normal state of helium, Phys. Rev. 32 (1928), 349-360.

[105] F. London, Zur Theorie and Systematik der Molekularkräfte, Z. Phys. 63 (1930), 245-279.

[106] R. Eisenschnitz, F. London, Uber das Verhältnis der van der Waalsschen Kräfte zu den homäopolaren Bindungskraften, Z. Phys. 60 (1930), 491-527.

[107] J. C. Slater, J. G. Kirkwood, The van der Waals forces in gases, Phys. Rev. 37 (1931), 682-697.

[108] J. de Boer, A. Michels, Contribution to the quantum-mechanical theory of the equation of state and the law of corresponding states. Determination of the law of force of helium, Physica 5 (1938), 945-957.

[109] S. G. Brush, Interatomic forces and gas theory from Newton to Lennard-Jones, Arch. Rational Mech. Anal. 39 (1970), 1-19.

[110] L. Pedemonte, G. Bracco, Study of He flow properties to test He dimer potentials, J. Chem. Phys. 119 (2003), 1433-1441.

[111] J. O. Hirschfelder, W. J. Meath, The nature of intermolecular forces, in: Intermolecular Forces, Ed. by J. O. Hirschfelder (N.Y.: Interscience Publishers, 1967), 3-106.

[112] M. Born, R. Oppenheimer, Zur Quantentheorie der Molekeln, Annalen Phys. 84 (1927), 457-484.

[113] C. Eckart, The kinetic energy of polyatomic molecules, Phys. Rev. 46 (1935), 383-387.

[114] R. Hellmann, E. Bich, and E. Vogel, Ab initio potential energy curve for the helium atom pair and thermophysical properties of dilute helium gas. I. Helium-helium interatomic potential Mol. Phys. 105 (2007), 3013-3023.

[115] T. Korona, H. L. Williams, R. Bokowski, B. Jeziorski, K. Szalewicz, Helium dimer potential from symmetry-adapted perturbation theory calculations using large gaussian geminal and orbital basis sets, J. Chem. Phys. 106 (1997), 5109-5122.

[116] K. T. Tang, J. P. Toennies, C. L. Yiu, The generalized Heitler-London theory for interatomic interaction and surface integral method for exchange energy, Int. Reviews Phys. Chem. 17 (1998), 363-406.

[117] M. Przybytek, W. Cencek, J. Komasa, G. Lach, B. Jeziorski, and K. Szalewicz, Relativistic and quantum electrodynamics effects in the helium pair potential, Phys. Rev. Lett. 104 (2010), 183003; Erratum, Phys. Rev. Lett. 108 (2012), 129902.

[118] M. Przybytek, W. Cencek, B. Jeziorski, and K. Szalewicz, Pair potential with submillikelvin uncertainties and nonadiabatic treatment of the halo state of the helium dimer Phys. Rev. Lett. 119 (2017), 123401.

[119] J. B. Anderson, C. A. Traynor, B. M. Boghosian, An exact quantum Monte Carlo calculation of the helium-helium intermolecular potential, J. Chem. Phys. 99 (1993), 345-351.

[120] B. Liu, A. D. McLean, The interacting correlated fragments model for weak interactions, basis set superposition error, and the helium dimer potential, J. Chem. Phys. 91 (1989), 2348-2359.

[121] P. E. Phillipson, Repulsive intereaction bewtween two graund-state helium atoms, Phys. Rev. 125 (1962), 1981-1992.

[122] R. A. Aziz, V. P. S. Nain, J. S. Carley, W. L. Taylor, J. T. McConville, An accurate intermolecular potential for helium, J. Chem. Phys. 79 (1979), 4330-4342.

[123] D. E. Beck, A new interatomic potential function for helium, Mol. Phys. 14 (1968), 311-315; Errata, Mol. Phys. 15 (1968), 322.

[124] L. W. Bruch, I. J. McGee, Semiempirical potential and bound state of the helium-4 diatom, J. Chem. Phys. 46 (1967), 2959-2967.

[125] A. R. Janzen, R. A. Aziz, An accurate potential energy curve for helium based on ab initio calculations, J. Chem. Phys. 107 (1997), 914-919.

[126] A. R. Janzen, R. A. Aziz, Modern He-He potentials: Another look at binding energy, effective range theory, retardation, and Efimov states, J. Chem. Phys. 103 (1995), 9626-9630.

[127] K. T. Tang, J. P. Toennies, An improved simple model for the van der Waals potential based on universal damping functions for the dispersion coefficients, J. Chem. Phys. 80 (1984), 3726-3741.

[128] R. A. Aziz, F. R. W. McCourt, C. C. K. Wong, A new determination of the ground state interatomic potential for He2, Mol. Phys. 61 (1987), 1487-1511.

[129] R. A. Aziz, M. J. Slaman, An examination of ab initio results for helium potential energy curve, J. Chem. Phys. 94 (1991), 8047-8053.

[130] K. T. Tang, J. P. Toennies, and C. L. Yiu, Accurate analytical He-He van der Waals potential based on perturbation theory, Phys. Rev. Lett. 74 (1995), 1546-1549.

[131] L. W. Bruch, I. J. McGee, Semiempirical helium intermolecular potential. II. Dilute gas properties, J. Chem. Phys. 52 (1970), 5884-5895.

[132] Y.-H. Uang, W. C. Stwalley, The possibility of a 4He2 bound state, effective range theory, and very low energy He-He scattering, J. Chem. Phys. 76 (1982), 5069-5072.

[133] J. de Boer, The equation of state of gases at low temperatures, Physica. 24 (1958), S90-S97.

[134] R. F. Bishop, H. B. Ghassib, M. R. Strayer, Low-energy He-He interactions with phenomenological potentials, J. Low Temp. Phys. 26 (1977), 669-690.

[135] M. Jeziorska, W. Cencek, K. Patkowski, B. Jeziorski, and K. Szalewicz, Pair potential for helium from symmetry-adapted perturbation theory calculations and from supermolecular data, J. Chem. Phys. 127 (2007), 124303.

[136] F. Luo, G. C. McBane, G. Kim, C. F. Giese, and W. R. Gentry, The weakest bond: Experimental observation of helium dimer, J. Chem. Phys. 98 (1993), 3564-3567.

[137] F. Luo, C. F. Giese, and W. R. Gentry, Direct measurement of the size of the helium dimer, J. Chem. Phys. 104 (1996), 1151-1154.

[138] S. Zeller, M. Kunitski, J. Voigtsberger, M. Waitz, F. Trinter, S. Eckart, A. Kalinin, A. Czasch, L. Ph. H. Schmidt, T. Weber, M. Schoffler, T. Jahnke, R. Dorner, Determination of the He-He, Ne-Ne, Ar-Ar, and H2 interaction potential by wave function imaging, Phys. Rev. Lett. 121 (2018), 083002.

[139] V. A. Roudnev, S. L. Yakovlev, and S. A. Sofianos, Bound-state calculations for three atoms without explicit partial wave decomposition, Few-Body Syst. 37 (2005), 179-196.

[140] V. Roudnev and M. Cavagnero, Benchmark helium dimer and trimer calculations with a public few-body code, J. Phys. B 45 (2012), 025101.

[141] E. Hiyama and M. Kamimura, Linear correlations between 4He trimer and tetramer energies calculated with various realistic 4He potentials, Phys. Rev. A 85 (2012), 062505.

[142] R. Brühl, A. Kalinin, O. Kornilov, J. P. Toennies, G. C. Hegerfeld, M. Stoll, Matter wave diffraction from an inclinede transmission grating: Searching for the elusive 4He trimer Efimov state, Phys. Rev. Lett. 95 (2005), 06002.

[143] M. Lewerenz, Structure and energetics of small helium clusters: Quantum simulations using a recent perturbational pair potential, J. Chem. Phys. 106 (1997), 4596-4603.

[144] V. R. Pandharipande, J. G. Zabolitzky, S. C. Pieper, R. B. Wiringa, and U. Helmbrecht, Calculations of ground-state properties of liquid 4He droplets, Phys. Rev. Lett. 50 (1983), 1676-1679.

[145] S. W. Rick, D. L. Lynch, and J. D. Doll, A variational Monte Carlo study of argon, neon, and helium clusters, J. Chem. Phys. 95 (1991), 3506-3520.

[146] R. N. Barnett and K. B. Whaley, Variational and diffusion Monte-Carlo techniques for quantum clusters, Phys. Rev. A 47 (1993), 4082-4098.

[147] D. Blume and C. H. Greene, Monte Carlo hyperspherical description of helium cluster excited states, J. Chem. Phys. 112 (2000), 8053-8067.

[148] R. Guardiola, M. Portesi, and J. Navarro, High-quality variational wave functions for small 4He clusters, Phys. Rev. B 60 (1999), 6288-6291.

[149] P. Stipanovic, L. V. Markic, and J. Boronat, Elusive structure of helium trimers, J. Phys. B 49 (2016), 185101.

[150] D. Blume, C. H. Greene, B. D. Esry Comparative study of He3, Ne3, and Ar3 using hyperspherical coordinates, J. Chem. Phys. 113 (2000), 2145-2158.

[151] H. Suno, Geometrical structure of helium triatomic systems: Comparison with the neon trimer, J. Phys. B 49 (2016), 014003.

[152] E. Nielsen, D. V. Fedorov, and A. S. Jensen, The structure of the atomic helium trimers: Halos and Efimov states, J. Phys. B 31 (1998), 4085-4105.

[153] B. D. Esry, C. D. Lin, and C. H. Greene, Adiabatic hyperspherical study of the helium trimer, Phys. Rev. A 54 (1996), 394-401.

[154] T. Cornelius and W. Glockle, Efimov states for three 4He atoms? J. Chem. Phys 85 (1986), 3906-3912.

[155] S. Nakaichi-Maeda and T. K. Lim, Zero-energy scattering and bound states in the 4He trimer and tetramer, Phys. Rev. A 28 (1983), 692-696.

[156] A. Deltuva, Momentum-space calculation of 4He triatomic system with realistic potential, Few-Body Syst. 56 (2015), 897-903.

[157] M. Salci, E. Yarevsky, S. B. Levin, and N. Elander, Finite element investigation of the ground states of the helium trimers 4He3 and 4He2-3He, Int. J. Quant. Chem. 107 (2007), 464-468.

[158] V. Roudnev and S. Yakovlev, Investigation of 4He3 trimer on the base of Faddeev equations in configuration space, Chem. Phys. Lett. 328 (2000), 97-106.

[159] R. Lazauskas and J. Carbonell, Description of 4He tetramer bound and scattering states, Phys. Rev. A 73 (2006), 062717.

[160] T. G. Lee, B. D. Esry, B.-C. Gou, C. D. Lin, The helium trimer has no bound rotational excited states J. Phys. B. 34 (2001), L203-L210.

[161] A. V. Matveenko and E. O. Alt, Does He-trimer have bound rotational states? Hyperfine Int. 138 (2001), 421-425.

[162] P. F. Bedaque, E. Braaten, and H.-W. Hammer, Three-body recombination in Bose gases with the large scattering length, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), 908-911.

[163] O. I. Kartvatsev and J. H. Macek, Low-Energy three-body recombination near a Feshbach resonance, Few-Body Syst. 31 (2002), 1432-1541.

[164] E. Nielsen, J. H. Macek, Low-energy recombination of identical bosons by three-body collisions, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 1566-1569.

[165] D. Guery-Odelin, G. V. Shlyapnikov, Excitation-assisted inelastic processes in trapped Bose-Einstein condensatuion, Phys. Rev. A 61 (2000), 013605.

[166] E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in the three-body problem for 4He atoms, Phys. Rev. A 67 (2003), 042706.

[167] E. Braaten, and H.-W. Hammer, Efimov physics in cold atoms, Ann. Phys. (N. Y.) 322 (2007), 120-163.

[168] B. D. Esry, C. H. Greene, J. P. Burke Jr., Recombination of three atoms in the ultracold limit Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 1751-1754.

[169] Ф. М. Пеньков, Однопараметрические зависимости спектров, длин рассеяния и коэффициентов рекомбинации в системе трех бозонов, ЖЭТФ 124 (2003), 536-544.

[170] H. Suno, B. D. Esry, C. H. Greene, J. P. Burke Jr., Three-body recombination of cold helium atoms, Phys. Rev. A 65 (2002), 042725.

[171] F. M. Penkov, W. Sandhas, Differential equations in momentum space for the three-body problem in the case of pointlike pair interactions, Phys. At. Nucl. 77 (2014) 537-544.

[172] С. П. Меркурьев, А. К. Мотовилов, С. Л. Яковлев, Задача нескольких тел в модели граничных условий и обобщенные потенциалы, ТМФ 94 (1993), 435-447.

[173] P. Barletta and A. Kievsky, Scattering States of Three-Body Systems with the Hyperspherical Adiabatic Method, Few-Body Systems 45 (2009) 123-125.

[174] F. M. Penkov, W. Sandhas, Differential form of the Skornyakov-Ter-Martirosyan equations, Phys. Rev. A 72 (2006) 060702(R).

[175] V. Roudnev, Ultra-low energy elastic scattering in a system of three He atoms, Chem. Phys. Lett. 367 (2003), 95-101.

[176] Y. Saad, Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. In: Algorithms and Architectures for Advanced Scientific Computing. (New York: Manchester Univ. Press, 1992).

[177] М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4- Анализ операторов (Мир, Москва, 1982).

[178] H. Bethe, R. Peierls, Quantum theory of the diplon, Proc. Royal Soc. London 148 (1935), 146-156.

[179] K.A. Макаров, В.В. Мележик, А.К. Мотовилов, Точечные взаимодействия в задаче трех квантовых частиц с внутренней структурой, ТМФ 102 (1995) 258-282.

[180] Г. С. Данилов, К задаче трех тел при короткодействующих силах, ЖЭТФ 40 (1961), 498-507.

[181] Г. В. Скорняков, К. А. Тер-Мартиросян, Задача трех частиц при короткодействующих силах. Рассеяние нейтронов малой энергии дейто-нами, ЖЭТФ 31 (1956), 775-790.

[182] S. Albeverio, S. Lakaev, K. A. Makarov, The Efimov effect and an extended Szego-Kac limit theorem, Lett. Math. Phys. 43 (1988), 73-85.

[183] Л. Д. Фаддеев, Метод интегральных уравнений в теории рассеяния для трех и более частиц. (М.: МИФИ, 1971).

[184] R. D. Amado, J. V. Noble, On Efimov's effect: A new pathology of three-particle systems, Phys. Lett. B. 35 (1971), 25-27.

[185] R. D. Amado, J. V. Noble, On Efimov's effect: A new pathology of three-particle systems. II, Phys. Rev. D. 5 (1971), 1992-2002.

[186] Д. Р. Яфаев, К теории дискретного спектра трехчастичного оператора Шредингера, Матем. Сб. 94 (1974), 567-593.

[187] A. C. Phillips, Three-body systems in nuclear physics, Rep. Prog. Phys. 40 (1977), 905-961.

[188] L. H. Thomas, The interaction between a neutron and a proton and the structure of H3, Phys. Rev. 47 (1935), 903-909.

[189] Р. А. Минлос, Л. Д. Фаддеев, О точечном взаимодействии для системы из трех частиц в квантовой механике, ДАН СССР 141 (1961), 1335-1338.

[190] J. Chadwick, Possible existence of a neutron, Nature 129 (1932), 312.

[191] S. Albeverio, R. H0egh-Krohn, T. T. Wu, A class of exactly solvable three-body quantum mechanical problems and the universal low energy behavior, Phys. Lett. A. bf 81 (1981) 105-109. .

[192] К. A. Макаров, В. В. Мележик Две стороны медали: эффект Ефимова и коллапс в системе трех частиц с точечными взаимодействиями. I, ТМФ 107 (1996) 415-432.

[193] T. K. Lim, S. K. Duffy, W. C. Damert, Efimov state in the 4 He trimer, Phys. Rev. Lett. 38 (1977), 341-343.

[194] E. Hiyama and M. Kamimura, Variational calculation of 4He tetramer ground and excited states using a realistic pair potential, Phys. Rev. A 85 (2012), 022502.

[195] G. C. Hegerfeldt, T. Kohler, How to study the elusive Efimov state of the 4He3 molecule through a new atom-optical state-selection technique, Phys. Rev. Lett. 84 (2000), 3215-3219.

[196] Z. Vager, R. Naaman, E. P. Kanter, Coulomb explosion imaging of small molecules, science 244 (1989), 426-431.

[197] E. Braaten and H.-W. Hammer, Universality in few-body systems with large scattering length, Phys. Rep. 428 (2006), 259-390.

[198] D. Bressanini and G. Morosi, What is the shape of the helium trimer? A comparison with the neon and argon trimers, J. Phys. Chem. 115 (2011) 10880-10887.

[199] D. Bressanini, The structure of the asymmetric helium trimer 3He4He2, J. Phys. Chem. 118 (2014) 6521-6547.

[200] A. C. Phillips, Consistency of the low-energy three-nucleon observables and the separable interaction model, Nucl. Phys. A 107 (1968), 209-216.

[201] V. Roudnev and M. Cavagnero, Approaching universality in weakly bound three-body systems, Phys. Rev. Lett. 108 (2012), 110402.

[202] V. Efimov, E. G. Tkachenko, Explanation of the Phillips line in the three-nucleon problem, Phys. Lett. B 157 (1985), 108-114.

[203] V. Efimov, E. G. Tkachenko, On the correlation between the triton binding energy and the neutron-deutron doublet scattering length, Few-Body Syst. 4 (1988), 71-88.

[204] H. W. Hammer, L. Platter, Efimov states in nuclear and particle physics, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 60 (2010), 207-236.

[205] H. Yukawa, On the interaction of elementary particles I, in Proc. Phys. Math. Soc. Jap. 17 (1935) 48-57; Prog. Theor. Phys. Suppl. 1 (1955) 1-10.

[206] M. Taketani, S. Nakamura, M. Sasaki, On the method of the theory of nuclear forces, Prog. Theor. Phys. 6 (1951), 581-586.

[207] M. Taketani, Sh. Machida, Sh. O-Numa, The meson theory of nuclear forces, I, Prog. Theor. Phys. 7 (1952), 45-56.

[208] R. Machleidt, The nuclear force: Meson theory versus chiral effective field theory, Int. J. Mod. Phys. E 26 (2017), 1740018.

[209] S. Weinberg, Phenomenological lagrangians, Physica A 96 (1979), 327-340.

[210] В. И. Кукулин, Современные модели ядерных сил и роль дибарионных резонансов (М. Издательство "КДУ "Университетская книга 2017).

[211] R. A. Malfliet and J. A. Tjon, Solution of the Faddeev equations for the triton problem using local two-particle interactions, Nucl. Phys. A 127 (1969), 161-168.

[212] F. Ciesielski, J. Carbonell, C. Gignoux, Low energy nqt scattering and the NN forces, Phys. Lett. B 447 (1999), 199-208.

[213] J. E. Purcell, J. H. Kelley, E. Kwan, C. G. Sheu, H. R. Weller Energy levels of light nuclei image, Nucl. Phys. A 848 (2010) 1-74.

[214] J. Carbonell, C. Gignoux, and S. P. Merkuriev, Faddeev calculations in configuration space with Carthesian coordinates, Few-Body Syst. 15 (1993), 15-23.

[215] Ю. В. Орлов, В. В. Туровцев, Интегральные уравнения для резонансных и виртуальных состояний, ЖЭТФ 86 (1984) 1600-1617.

[216] Ю. В. Орлов, Л. И. Никитина, Функция эффективного радиуса для дублетного ND-рассеяния из анализа современных данных, ЯФ 69 (2006) 631-646.

[217] W. Vassen, C. Cohen-Tannoudji, M. Leduc, D. Boiron, Ch. I. Westbrook, A. Truscott, K. Baldwin, G. Birkl, P. Cancio, M. Trippenbach, Cold and trapped metastable noble gases, Rev. Mod. Phys. 84 (2012) 175-210.

[218] J. A. Northby, Experimental studies of helium droplets, J. Chem. Phys. 115 (2001), 10065-10077.

[219] D. Bressanini, M. Zavaglia, M. Mella, and G. Morosi, Quantum Monte Carlo investigation of small4He clusters with a 3He impurity, J. Chem. Phys. 112 (2000) 717-722.

[220] V. Roudnev, Localized component method: Application to scattering in a system of three atoms, In: Few-Body Problems in Physics (Proc. of 17th Int. IUPAP Conf. on Few-Body Problems in Physics), Elsevier B. V., Amsterdam, 2004, pp. S292-S294.

[221] N. Levinson, On the uniqueness of the potential in a Schrodinger equation for a given asymptotic phase, Dan. Vidensk. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 25 (1949), 9.

[222] U. Kleinekathofer, K. T. Tang, J. P. Toennies, C. I. Yiu, Potentials for some rare gas and alkali-helium systems calculated from the surface integral method, Chem. Phys. Lett. 249 (1996), 257-263.

[223] Z. C. Yan, J. F. Babb, A. Dalgarno, and G. W. F. Drake, Variational calculations of dispersion coefficients for interactions among H, He, and Li atoms, Phys. Rev. A 54 (1996), 2824-2833.

[224] U. Kleinekathofer, M. Lewerenz, M. Mladenoc, Long range binding in alkalihelium pairs, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), 4717-4720.

[225] K. T. Tang, J. P. Toennies, The van der Waals potentials between all the rare gas atoms from He to Rn, J. Chem. Phys. 118 (2003), 4976-4983.

[226] А. А. Коробицин, Е. А. Колганова, Кластеры инертных газов, Изв. РАН Cep. физ. 81 (2017), 1354-1361 .

[227] I. Mills, T. Cvitas, K.Homann, N. Kallay, K. Kuchitsu, Quantities, units and symbols in physical chemistry (2nd edition, Blackwell Science, Oxford, 1993).

[228] N. Tariq, N. Al Taisan, V. Singh and J. D. Weinstein, Spectroscopic detection of the LiHe molecule, Phys. Rev. Lett. 110 (2013), 153201.

[229] H. Suno, Structure of the weakly bound triatomic He2Li and He2Na molecules, Phys. Rev. A 96 (2017), 012508.

[230] M.-S. Wu, H.-L. Han, Ch.-B. Li, and T.-Y. Shi, Prediction of a weakly bound excited state of Efimov character in a 7Li4He2 system, Phys. Rev. A 90 (2014), 062506.

[231] W. Cencek, M. Jeziorska, O. Akin-Ojo, and K. Szalewicz, Three-body contribution to the helium interaction potential, J. Phys. Chem. A 111 (2007), 11311-11319.

[232] H. Suno, E. Hiyama, and M. Kamimura, Theoretical study of triatomic systems involving helium atoms, Few-Body Syst. 54 (2013), 1557-1560.

[233] C. Di Paola, F. A. Gianturco, F. Paesani, G. Delgado-Barrio, S. Miret-Artes, P. Villarreal, I. Baccarelli, and T. Gonzalez-Lezana, Ground states of weakly bound three-atom systems: Energies and shapes of 4He2X clusters from Monte Carlo calculations, J. Phys. B 35 (2002), 2643-2660.

[234] V. Kokoouline and F. Masnou-Seeuws, Calculation of loosely bound levels for three-body quantum systems using hyperspherical coordinates with a mapping procedure, Phys. Rev. A 73 (2006), 012702.

[235] J. M. Yuan and C. D. Lin, Weakly bound triatomic He2Li and He2Na molecules, J. Phys. B 31 (1998), L637-L645.

[236] A. Delfino, T. Frederico, L. Tomio, Prediction of a weakly bound excited state in the 4He2-7Li molecule, J. Chem. Phys. 113 (2000), 7874-7878.

[237] H. Suno and B. D. Esry, Cold elastic and reactive atom-molecule collisions in helium-helium-alkali-metal triatomic systems, Phys. Rev. A 89 (2014), 052701.