Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Семин, Сергей Владимирович

• Семин, Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Семин, Сергей Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Трансформация поверхностных гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в однородной жидкости

§ 1.1 Введение

§ 1.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом и её приближённое решение

§1.3 Численное моделирование процесса трансформации поверхностных волн малой амплитуды

§ 1.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации поверхностных волн и сопоставление с результатами численных расчётов

§1.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом

§ 1.6 Заключение

Глава 2. Трансформация внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в двухслойной жидкости

§2.1 Введение

§ 2.2 Строгая постановка задачи о трансформации линейных внутренних волн над донным уступом и её приближённое решение

§ 2.3 Численное моделирование процесса трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды

§ 2.4 Анализ решения строгой задачи о трансформации внутренних волн и сопоставление с результатами численных расчётов

§ 2.5 Вывод и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных внутренних волн над донным уступом

§2.6 Заключение

Глава 3. Динамика сильно нелинейных уединённых внутренних волн в квазидвухслойной жидкости

§3.1 Введение

§ 3.2 Описание лабораторного эксперимента и численной модели

§ 3.3 Анализ полей течений в уединённой внутренней волне

§3.4 Форма уединённой волны

2

§ 3.5 Траектории жидких частиц

§3.6 Заключение

Заключение

Список литературы

Приложение. Ортогональность набора функций вертикальной структуры потенциалов распространяющихся и нераспространяющихся внутренних волн в двухслойной жидкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трансформация поверхностных и внутренних волн над донным уступом»

Введение

Изучение динамики поверхностных и внутренних гравитационных волн в жидкости -актуальная задача, интерес к которой не стихает уже на протяжении более чем ста лет. А в связи с активным освоением источников природных ресурсов в открытых океанах, на шельфе и в морях, он с каждым годом только усиливается. Поверхностные и внутренние волны наблюдаются при помощи традиционных контактных методов и современных средств спутникового зондирования [Пелиновский, Таланов, 1999; Klemas, 2012] повсеместно, в открытом океане [Бондур и др., 2008; Бондур и др., 2006; Морозов, 2013; Морозов и др., 2003; Новотрясов, Карнаухов, 2009; Jackson, 2004] и в закрытых акваториях [Лаврова и др., 2010; Лаврова и др., 2013; Лаврова и др., 2009; Лисиченок, 2005; Митягина, Лаврова, 2010]. Причины возникновения обоих видов волновых движений очень разнообразны: они могут быть вызваны различными атмосферными процессами, как колебаниями атмосферного давления и ветром, приливами и инерционными движениями, землетрясениями и оползневыми процессами, обтеканием течений неровностей дна, и, наконец, антропогенными причинами [Коняев, Сабинин, 1992; Морозов, 1985; Morozov, 1995].

Поверхностные и внутренние волны играют важную роль в таких процессах, как миграция морских животных [Заварзин, 2005; Примаков и др., 2009], трансформация биоландшафта [Donaldson et al., 2008; Shanks et al., 2014], батиметрии и береговой линии [Fraser, 1999; Шапиро и др., 2000; Пелиновский, 1982; Касьянов и др., 2003], перемешивание слоев жидкости, транспорт загрязнений и примесей [Самолюбов, 2007], распространение акустических сигналов [Apel et al., 2007; Chin-Bing et al., 2009; Warn-Varnas et al., 2009]. К тому же они могут быть опасны для морских сооружений [Song et al., 2011], надводной и подводной навигации [Jones, Bentley, 1976] и т.д.

Одной из наиболее острых задач в этой области является определение параметров (амплитуды и длительности) поверхностных и внутренних волн, подверженных трансформации над донными неоднородностями. Известно, что при распространении волн из открытого океана к берегу им обычно приходится преодолевать зону шельфа, в которой происходит относительно резкое изменение глубины океана. Резкие изменения глубины могут возникать и внутри шельфовой зоны морей и океанов, а также в озёрах, реках и водохранилищах. При прохождении как поверхностных, так и внутренних волн над такими районами происходит их трансформация, как правило, с образованием прошедших и отражённых волн, при этом амплитуды прошедших волн могут в несколько раз превышать амплитуды падающих возмущений. Это неоднократно наблюдалось при натурных измерениях [Горячкин и др., 1991; Морозов, Нейман, Щербинин, 2003; Самодуров и др., 2013; Apel et al., 1975; Morozov, 1995;

4

Shishkina et al., 2013; Woodson et al., 2011] и изучалось на основе различных математических моделей [Пелиновский и др., 1994; Полухин и др., 2003; Серебряный и др., 2008; Талипова, Пелиновский, 2013; Терлецкая, 2014; Хабахпашев, 2008; Griffiths, Porter, 2012; Maderich et al., 2009; Maderich et al., 2010; Pelinovsky et al., 2010; Sokolovskiy et al., 1998]. В рамках данной диссертации исследована проблема поверхностных и внутренних (в двухслойной среде) волн, трансформирующихся над вертикальным донным уступом конечной высоты, выступающим в роли модели реального шельфового уступа.

Пионером в изучении процессов трансформации поверхностных волн в каналах переменного сечения является Г. Лэмб, который ещё в первом издании своей книги [Lamb, 1895] впервые представил коэффициенты трансформации длинных волн малой амплитуды. Строго задачу о трансформации поверхностных волн произвольной длины на донном уступе сформулировал Бартоломеуш [Bartholomeusz, 1958]. Затем метод решения этой задачи был разработан в работах Такано, Ньюмана и Майлса [Miles, 1967; Newman, 1965а; Takano, 1960; Takano, 1967]. Ньюман, основываясь на работе Крейселя [Kreisel, 1949], получил простые формулы, описывающие связь коэффициентов отражения и прохождения поверхностных волн [Newman, 1965Ь]. Впоследствии развитый Такано подход был использован во многих других задачах о трансформации поверхностных волн над подводными и приповерхностными блоками, траншеями и донными уступами [Chakraborty, Mandai, 2014; Garrett, 1971; Kirby, Dalrymple, 1983; Lee, Ayer, 1981; Massel, 1983; Massel, 1989; Mei, Black, 1969; Miles, 1982; Rey et al., 1992]. Более подробный анализ литературы, касающейся случая трансформации нелинейных волн, приведён во Введении к первой главе диссертации.

Тем не менее, коэффициенты трансформации, полученные когда-то Такано, Ньюманом и Майлсом, так и не были в достаточной степени верифицированы. В частности, не были даны оценки точности расчёта коэффициентов трансформации в зависимости от числа учитываемых мод, прижатых к уступу, не были вычислены коэффициенты возбуждения этих мод. То же самое касается многочисленных аппроксимационных формул коэффициентов трансформации, предложенных в работах [Крылов, 1949; Marshall, Naghdi, 1990; Miles, 1967; Svendsen, Jonsson, 1976; Visser, 2004]. Первая глава диссертации посвящена этому вопросу.

Что касается трансформации внутренних гравитационных волн, то впервые формулы коэффициентов отражения и прохождения длинных волн в двухслойной жидкости были получены в работе [Grimshaw et al., 2008] и там же использованы для вычисления трансформации нелинейных внутренних уединённых волн на уступе в рамках классического уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ). Помимо этого, множество работ было посвящено численному моделированию процесса трансформации нелинейных внутренних волн в двухслойной жидкости [Djordjevic, Redekopp, 1978; Grimshaw et al., 2004; Grimshaw et al., 2008;

5

Maderich et al., 2009; Maderich et al., 2010; Talipova et al., 2013] (подробнее об этом будет сказано во Введении ко второй главе диссертации). Таким образом, важный случай трансформации внутренних волн малой амплитуды и произвольной длины так и не был изучен до сих пор. Этому вопросу посвящена вторая глава.

Коэффициенты отражения и прохождения поверхностных и внутренних волн также можно получить с помощью прямого численного моделирования процесса трансформации над вертикальным донным уступом. На данный момент разработан целый ряд программных комплексов, позволяющих численно находить решение системы уравнений Эйлера/Навье-Стокса: MITgcm (Massachusetts Institute of Technology general circulation model) [Marshall et al., 1997a; Marshall et al., 1997b], ROMS (Regional Ocean Model) [Shchepetkin, McWilliams, 2005], BOM (Bergen Ocean Model) [Berntsen, 2004], Gerris [Popinet, 2003; Popinet, 2004; Popinet, 2009] и др. В настоящей работе для численных расчётов будет использован первый из перечисленных.

Учёт нелинейности задачи резко усложняет исследование, особенно с учётом последующей динамики волн, распространяющихся за уступом. В стратифицированной жидкости могут распространяться стационарные образования - солитоны вн утренних волн, повсеместно наблюдаемые в мировом океане [Коняев, Сабинин, 1992; Морозов, 1985; Apel et al., 2007; Jackson, 2004; Ostrovsky, Stepanyants, 1989; Vlasenko et al., 2005]. Уединённые волны, как квазистационарные длинноволновые образования, обладают интенсивным скоростным полем, оказывающим большое влияние на динамику и экологию жидкости. Существует множество примеров их опасного воздействия на объекты хозяйственной деятельности человека [Шапиро и др., 2000; Donaldson et al., 2008; Fraser, 1999; Jones, Bentley, 1976; Song et al., 2011]. При изучении поля течений и траекторий частиц в уединённой внутренней волне способ генерации возмущения, в принципе, не играет роли. В третьей главе использовался метод гравитационного коллапса (он в чем-то аналогичен трансформации на уступе), поскольку этот метод активно использовался в лабораторных экспериментах [Carr, Davies, 2006; Carr et al., 2008] и при численном моделировании [Thiem et al., 2011]. Результаты этих работ использовались для сопоставления с результатами, полученными в третьей главе диссертации. Актуальность проблемы

Несмотря на сравнительно резкое падение цен на нефть, в последнее время усилился интерес к развитию добычи полезных ископаемых как на шельфе, так и в труднодоступных районах океана, а также в целом к комплексному развитию прибрежных областей в качестве портовых и туристических кластеров. В связи с этим возникает вопрос о защите соответствующей инфраструктуры от пагубного воздействия природных аномалий. Поверхностные и внутренние волны оказывают как прямое, так и косвенное влияние на хозяйственную деятельность человека в океане, а именно: они влияют на надводную и

6

подводную навигацию, вызывают размыв донного грунта, транспорт растворённого и взвешенного материала, в том числе и загрязнений, влияют на миграцию и репродуктивность морских обитателей и т.д. В связи с этим очевидна необходимость развития математических моделей, позволяющих оценить основные параметры и свойства поверхностных и внутренних волн в процессе их распространения в зонах хозяйственной деятельности человека.

Настоящая работа посвящена разработке математической модели трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн над донным уступом, аппроксимирующим шельфовый подъём дна, а также изучению поля внутренних уединённых волн большой амплитуды.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертации является исследование процессов трансформации поверхностных и внутренних гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом, а также изучение скоростного поля солитонов внутренних волн большой амплитуды. В частности, предполагались следующие цели исследований:

1. Исследование процесса трансформации линейных поверхностных волн над донным уступом. Сравнение результатов численных расчётов с коэффициентами трансформации, полученными в рамках строгого аналитического подхода. Получение и верификация аппроксимационных формул, позволяющих простыми средствами с обоснованной точностью оценить коэффициенты отражения и прохождения поверхностных волн.

2. Получение аналитического решения задачи о трансформации внутренних гравитационных волн над донным уступом. Сравнение аналитического решения с результатами численного моделирования волн с твёрдой и свободной верхней границей. Получение и верификация аппроксимационных формул коэффициентов трансформации линейных внутренних волн в двухслойной жидкости над донным уступом.

3. Исследование свойств внутреннего солитона большой амплитуды и траекторий жидких частиц в рамках уравнений Навье - Стокса и сравнение полученных результатов с данными лабораторного моделирования.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами исследований:

1. Показано в рамках строгой аналитической теории, что коэффициент прохождения линейных поверхностных волн на донный уступ с ошибкой в 1% определяется уже при 50 прижатых модах, а коэффициент отражения - при 300. Получено, что амплитуды прижатых мод могут достигать 30% от амплитуды падающей волны.

2. Выведена система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов трансформации линейных внутренних волн в двухслойной жидкости с произвольным соотношением плотностей. Доказана ортогональность функций вертикальной структуры потенциалов течений, возникающих вблизи уступа. Найдено, что коэффициенты прохождения и отражения определяются с ошибкой в 1% при 150 и 400 ^распространяющихся модах соответственно. Показано, что амплитуды прижатых мод могут достигать 15% от амплитуды падающей волны.

3. Получены аппроксимационные формулы коэффициентов отражения и прохождения поверхностных и внутренних волн произвольной длины, которые с хорошей точностью оценивают коэффициент прохождения. Ошибка не превышает 5.5% для поверхностных и 10% для внутренних волн.

4. Из энергетических законов выведены формулы изменения характерной ширины огибающей пакета поверхностных и внутренних волн, определяемые соотношением групповых скоростей волн до уступа и на нём. Обнаружен эффект прохождения поверхностных и внутренних волн через уступ без изменения амплитуды при определённых условиях, при этом генерируется отражённая волна.

5. Выполнено численное моделирование генерации уединённой внутренней волны отрицательной полярности в рамках уравнений Навье - Стокса методом гравитационного коллапса. Расчётные значения предельных амплитуд солитонов оказались больше аналогичных значений в рамках слабо нелинейной модели Гарднера. Величина реверсивного потока в придонном слое за солитоном в нелинейной модели качественно согласуется с наблюдениями в лабораторном эксперименте.

6. Показано большое различие характера траекторий жидких частиц на разных глубинах в солитоне внутренних волн. Расположенные в пикноклине частицы двигаются по вытянутой по вертикали петле, перемещаясь в сторону распространения солитона. В придонном слое жидкость двигается в обратном направлении, а затем, под воздействием реверсивного потока, она перенаправляется в сторону движения уединённой волны. Положения, выносимые на защиту

1. Аналитическое решение линейной задача о трансформации внутренних гравитационных волн малой амплитуды в двухслойной жидкости.

2. Коэффициенты возбуждения возникающих вблизи уступа мод в нестратифицированном и двухслойном потоке.

3. Эффект прохождения поверхностной и внутренней волны через уступ без изменения амплитуды при определённых условиях, но с образованием отражённой волны.

4. Формулы изменения характерной ширины огибающей квазимонохроматического пакета поверхностных и внутренних волн.

5. Аппроксимационные формулы коэффициентов трансформации поверхностных и внутренних волн над донным уступом.

6. Вертикальная структура течения в поле солитона внутренних волн с учётом вязкости.

7. Динамика жидких частиц на различных горизонтах, вызванная прохождением уединённой внутренней волны.

Практическая значимость результатов работы

Полученные в рамках строго сформулированной задачи о трансформации поверхностных и внутренних волн коэффициенты отражения и прохождения могут применяться для прогнозирования амплитуд и длин волн, прошедших на шельф и в обратном направлении. Предложенные простые аппроксимационные формулы коэффициентов отражения и прохождения могут быть использованы для тех же целей в прикладной океанологии, а также для более удобного анализа основных особенностей коэффициентов трансформации в зависимости от различных параметров среды. Важным практическим приложением результатов, полученных при исследовании уединённой волны в нелинейной среде с трением, является оценка скоростей в придонных, приповерхностных зонах, а также в пикноклине для расчёта транспорта донных наносов, взвесей/загрязнений и примесей. Апробация работы

Основные результаты диссертации представлены на конференциях: XVIII - XX Международные научно-технические конференции «Информационные системы и технологии» (Нижний Новгород, 2012 - 2014), XIII Международная молодёжная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Нижний Новгород, 2014), XXII, XIV Международные научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ» (Нижний Новгород, 2012, 2014), Научная школа «Non-Homogeneous Fluids and Flows» (Прага, 2012), XII Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (Архангельск, 2013), IX научный конгресс по Балтийскому морю «IX Baltic Sea Science Congress» (Клайпеда, 2013), XVIII Нижегородская сессия молодых учёных «Естественные, математические науки» (Нижний Новгород, 2013), 19th Australian Fluid Mechanics Conference (Мельбурн, 2014), European Geophysics Unity (Вена, 2015).

Результаты диссертации докладывались на семинарах в Нижегородском государственном техническом университете им. Р. Е. Алексеева (Нижний Новгород, Россия), в Университете Южного Квинсленда (Тувумба, Австралия), в Университете Квинсленда (Брисбэн, Австралия).

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• Государственный контракт № 14.В37.21.0881 Мероприятие 1.5 ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 годы» «Поддержка научных исследований, проводимых коллективами под руководством приглашённых исследователей по научному направлению «Науки о Земле» в области «Океанология»;

• Задание № 5.30.2014/К на выполнение научно-исследовательской работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (тема: Нелинейные внутренние волны в океане: теория и моделирование).

Диссертант является лауреатом стипендии «Президента Российской Федерации для обучения за рубежом студентов и аспирантов в 2013/2014 учебном году», стипендии имени академика Г. А. Разуваева в 2012 -2014 гг. Публикации

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, куда входят 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 1 статья в рецензируемом журнале, 1 статья в трудах международной конференции и тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях. Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК: Cl. Giniyatullin A.R., Kurkin A.A., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of narrowband wavetrains of surface gravity waves passing over a bottom step // Mathematical Modeling of Natural Phenomena, - 2014, - v.9, - №5, - p. 32 - 41. C2. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А. Трансформация поверхностных волн над донным уступом // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, - 2015, - т.51, - №2, -с. 242 - 252.

СЗ. Churaev E.N., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of internal waves passing over a bottom step // Journal of Fluid Mechanics, - 2015, - v.768. Статьи в других рецензируемых журналах: С4. Терлецкая Е., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Бровченко И., Мадерич В. Моделирование трансформации волновых пакетов поверхностных волн в водоёме с резким изменением глубины // Прикладная пдромеханпса, - 2015,-т. 19,-№1, с. 3 - 10. Статьи в трудах международных и всероссийских конференций: С5. Churaev E.N., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Transformation of internal waves at a bottom ledge // 19th Australian Fluid Mechanics Conference, Melbourne, 8-11 December 2014, -Melbourne: RMIT University, - 2014, - AFMC2014-116. Тезисы докладов на международных и всероссийских конференциях:

Сб. Семин C.B., Куркина O.E., Куркин A.A. Численное моделирование полнонелинейных уединённых внутренних волн в стратифицированной жидкости: сравнение с лабораторным экспериментом // XVIII международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2012» (Нижний Новгород, 2012): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2012. -с. 364 - 365.

С7. Крюков И.А., Куркин A.A., Куркина O.E., Гиниятуллин А.Р., Семин C.B. Сравнительный анализ эффективности геофизических расчётов с использованием аппаратных вычислительных средств различных классов на примере трёхмерного моделирования внутренних гравитационных волн в жидкой среде // XXII Международная научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ 2012» (Нижний Новгород, 2012): сборник материалов. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2012. - с. 42 - 43.

С8. Semin S.V., Kurkina O.E., Kurkin A.A. Internal solitary waves: adjustment and verification of the fully nonlinear model using the laboratory experimental data // Non-homogeneous Fluids and Flows (Prague, 2012): workshop abstracts. - Prague: Charles University. - 2012. -p. 22-23.

C9. Семин C.B., Куркина O.E., Куркин A.A. Анализ полей течений, индуцированных уединённой внутренней волной: сравнение результатов численного и лабораторного экспериментов // XIX всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных ВНКСФ-19 (Архангельск, 2013): материалы конференции. -Архангельск: СФУ им. М. В. Ломоносова. - 2013. - с. 420 - 421.

СЮ. Семин C.B., Куркина O.E., Куркин A.A. Генерация солитона в гидрологическом лотке: сравнение результатов лабораторного и численного экспериментов // XIX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2013» (2013, Нижний Новгород): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2013. - с. 408.

Cl 1. Гиниятуллин А.Р., Куркин A.A., Панфилова Ю.А., Семин C.B., Степанянц Ю.А. Математическое моделирование процесса трансформации поверхностных волн на уступе дна // XIX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2013» (Нижний Новгород, 2013): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2013. - с. 396.

С12. Giniyatullin A.R., Kurkin A.A., Semin S.V., Stepanyants Yu.A. Surface wave transformation at the coastal zone with a sharp bottom jump // IX Baltic Sea Science Congress (Klaipeda, 2013): abstract book. - Klaipeda: Klaipeda University. - 2013. - p. 178.

С13. Чураев E.H., Семин C.B., КуркинаО.Е., Куркин A.A. Исследование процесса генерации уединённых внутренних волн с помощью численной модели примитивных уравнений гидродинамики // XVIII Нижегородская сессия молодых учёных «Естественные, математические науки» (Нижний Новгород, 2013): материалы конференции. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2013. - с. 272 - 273.

С14. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Трансформация линейных внутренних волн над шельфовым уступом // XIII Международная молодёжная научно -техническая конференция «Будущее технической науки БТН-2014» (Нижний Новгород, 2014): сборник материалов. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2014. -с. 480-481.

С15. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Численное моделирование трансформации внутренних гравитационных волн над континентальным уступом // XXIV Международная научно-практическая конференция по графическим информационным технологиям и системам «КОГРАФ 2014» (Нижний Новгород, 2014): сборник материалов. - Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2014. -с. 165 - 167.

С16. Куркин A.A., Семин C.B., Степанянц Ю.А., Чураев E.H. Исследование процесса трансформации квазимонохроматических внутренних гравитационных волн над донным уступом // XX международная научно-техническая конференция «Информационные системы и технологии ИСТ-2014» (Нижний Новгород, 2014): материалы конференции. -Нижний Новгород: НГТУ им. P.E. Алексеева. - 2014. - с. 371.

С17. Semin S.V., KurkinA.A, Pelinovsky E.N., Churaev E.N. Current structure of strongly nonlinear interfacial solitary waves // European Geophysical Research General Assembly (Vienna, 2015): Geophysical Research Abstracts. - v. 17, EGU2015-5108. Личный вклад автора

В совместных работах научному руководителю проф. A.A. Куркину и проф. Ю.А. Степанянцу принадлежат постановки задач и выбор методов исследований. Во всех работах автор диссертации выполнял большинство численных и аналитических расчётов самостоятельно, а также принимал непосредственное участие в обсуждении и интерпретации полученных результатов. В численных расчётах, данные которых представлены в [Cl] и в [СЗ, С5], принимали участие ассистенты А.Р. Гиниятуллин и E.H. Чураев соответственно.

В заключение, пользуюсь случаем, чтобы выразить благодарности: научному руководителю д. ф.-м. н., профессору A.A. Куркину за помощь и терпение, проявленные при подготовке материалов и текста настоящей диссертации; д. ф.-м. н., профессору Ю.А. Степанянцу за плодотворную и успешную совместную работу; д. ф.-м. н, профессору

12

E.H. Пелиновскому за помощь в подготовке материалов и текста диссертации; всем соавторам за плодотворную работу и интересные дискуссии; коллективам кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета им. P.E. Алексеева и кафедры «Математики» Университета Южного Квинсленда (г. Тувумба, Австралия) за создание уютной атмосферы, позволившей эффективно работать над материалами диссертации. Спасибо моей семье и друзьям за терпение и поддержку.

Глава 1. Трансформация поверхностных гравитационных волн малой амплитуды над донным уступом в однородной жидкости

§1.1 Введение

Проблема трансформации поверхностных волн над донным уступом известна достаточно давно, так как имеет большое практическое значение. Пионером в изучении закономерностей трансформации волн над донным уступом является Г. Лэмб, который в монографии [Лэмб, 1947] (и здание на русском языке) представил формулы коэффициентов отражения и прохождения для длинных волн из предположения непрерывности давления и потока на границе ступеньки.

Строго рассматриваемая задача была сформулирована Бартоломеушем [Bartholomeusz,

1958] для линейных поверхностных волн произвольной длины. Так, на границе уступа должны

быть записаны строгие равенства горизонтальной и вертикальной составляющих скоростей,

соответствующих бегущим волнам и счётному набору прижатых мод. На основе теории

волногенератора Хэвелока [Havelock, 1929] (о волногенераторе Хэвелока см. так же [Martin,

1992]) он вывел интегральное уравнение, которое решил в приближении длинных волн,

обосновав тем самым правильность формул Лэмба. В дальнейшем в том или ином виде этот

подход был повторён в работах Ньюмана [Newman, 1965а; Newman, 1965b] для волн на

глубокой воде и Майлса [Miles, 1967] для волн в жидкости конечной глубины. И хотя

результаты Ньюмана были сравнены с лабораторными измерениями, условия лабораторных

экспериментов оставляли место для критики, так как были выполнены в условиях бассейна

конечной глубины. Майлс, в свою очередь, получив систему из бесконечного числа линейных

алгебраических уравнения относительно коэффициентов трансформации, решил её без учёта

нераспространяющихся мод и показал, что коэффициент прохождения определяется с

максимальной ошибкой в 5% для бесконечно глубокой жидкости. Подход Бартоломеуша

впоследствии был повторён в работе Жермена [Germain, 1984] также для длинных волн.

Похожий метод для вычисления коэффициентов трансформации, основанный на сшивке

полного набора мод на границе уступа, был предложен Такано [Takano, 1960; Takano, 1967] для

волн произвольной длины. С точки зрения аналитических вычислений он оказался несколько

проще, чем у других авторов, так как исключал необходимость выводить промежуточное

интегральное уравнение, а позволял практически сразу переходить к системе из бесконечного

числа линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов отражения и

прохождения. Впоследствии модифицированный подход Такано был применён Масселем

[Massel, 1983; Massel, 1989] как для первой, так и для второй гармоники падающей волны. Что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Семин, Сергей Владимирович, 2015 год

Список литературы

1. Абрамян А.К., Алексеев В.В., Индейцев Д.А. Совместные колебания двухслойной жидкости и массивного штампа в бесконечном волноводе // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. № З.С. 15-19.

2. Бондур В.Г., Гребенюк Ю.В., Морозов Е.Г. Регистрация из космоса и моделирование коротких внутренних волн в прибрежных зонах океана // Доклады академии наук. 2008. Т. 418. № 4. С. 543-548.

3. Бондур В.Г., Морозов Е.Г., Гребенюк Ю.В. Радиолокационное наблюдение и численное моделирование внутренних приливных волн у побережья Северо-Западной Атлантики // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. Сборник научных статей. 2006. Т. 3. № 2. С. 21-29.

4. Бреховских JI.M., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / под ред. Г.И. Баренблатта. Москва, СССР: Наука, 1982.

5. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Моделирование волновой динамики неоднородных и нестационарных стратифицированных сред // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 12. С. 3-12.

6. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Динамика волнового поля в стратифицированной среде переменной глубины // Доклады академии наук. 2012. Т. 444. № 2. С. 1—4.

7. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Асимптотики высших приближений полей внутренних гравитационных волн в стратифицированных средах переменной глубины // Прикладная механика и техническая физика. 2013. Т. 54. № 1. С. 79—85.

8. Горячкин Ю.Н., Иванов В.А., Пелиновский E.H. Трансформация внутренних приливных волн на шельфе Гвинеи // Морской гидрофизический журнал. 1991. Т. 4. С. 53-59.

9. Диденкулова И.И. и др. Бегущие длинные волны в водных прямоугольных каналах переменного сечения / Диденкулова, И.И., Пелиновский, Д.Е., Тюгин, Д.Ю., Гиниятуллин, А.Р., Пелиновский, E.H. // Вестник МГОУ. 2012. Т. 5. С. 89-93.

10. Диденкулова И.И., Заибо Н., Пелиновский E.H. Отражение длинных волн от "безотражательного" донного профиля // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. Т. 43. №4. С. 102-108.

11. Заварзин Д.С. Некоторые вопросы сезонной динамики зоопланктона озера Тунайча (Южный Сахалин) на современном этапе // Чтения памяти Владимира Яковлевича Леванидова. 2005. Т. 3. С. 95-105.

12. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. Санкт-Петербург, Россия: Гидрометеоиздат, 1992.

13. Крылов Ю.М. Дифракция волн жидкости // Труды Государственного Океанографического Института. 1949. Т. 18. С. 13-18.

14. Лаврова О.Ю. и др. Оперативный спутниковый мониторинг акваторий Черного, Балтийского и Каспийского морей в 2009-2010 годах / Лаврова, О.Ю., Каримова, С.С., Митягина, М.И., Бочарова, Т.Ю. // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. Сборник научных статей. 2010. Т. 7. № 3. С. 168-185.

15. Лаврова О.Ю. и др. Подспутниковые наблюдения мелкомасштабных гидродинамических процессов в северо-восточной части Черного моря / Лаврова, О.Ю., Серебряный, А.Н., Митягина, М.И., Бочарова, Т.Ю. // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. Сборник научных статей. 2013. Т. 10. № 4. С. 308-322.

16. Лаврова О.Ю., Митягина М.И., Сабинин К.Д. Проявление внутренних волн на морской поверхности в северо-восточной части Черного моря // Исследование Земли из космоса. 2009. Т. 6. С. 49-55.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Москва, Россия: Наука, главная редакция физикозматематической литературы, 1986. Вып. 3.

18. Лисиченок А.Д. Интенсивные внутренние волны в Черном море // Экологическая безопасность прибрежной и шельфовой зон и комплексное использование ресурсов шельфа. Сб. научн. тр. 2005. Т. 12. С. 49-59.

19. Лэмб Г. Гидродинамика / под ред. H.A. Слезкина. Москва, СССР: ОГИЗ, Государственное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1947. Вып. 6.

20. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1981.

21. Митягина М.И., Лаврова О.Ю. Спутниковые наблюдения поверхностных проявлений внутренних волн в морях без приливов // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. Сборник научных статей. 2010. Т. 7. № 1. С. 260-272.

22. Морозов Е.Г. Океанские внутренние волны / под ред. В.Г. Корта. Москва, СССР: Наука, 1985.

23. Морозов Е.Г. Внутренние приливы в Северо-Западной части Тихого океана по данным измерений на мегаполигоне // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6. № 2. С. 5-11.

24. Морозов Е.Г., Нейман В.Г., Щербинин А.Д. Внутренний прилив в проливе Карские Ворота // Доклады академии наук. 2003. Т. 393. № 5. С. 688-690.

25. Новотрясов В.В., Карнаухов A.C. О нелинейном взаимодействии внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2009. Т. 45. № 2. С. 276-285.

26. Пелиновский E.H. О трансформации одиночной волны на шельфе с горизонтальным дном // Теоретические и экспериментальные исследования по проблеме цунами. 1977. С. 61-63.

27. Пелиновский E.H. Гидродинамика волн цунами. Нижний Новгород, Россия: Интститут прикладной физики РАН, 1996.

28. Пелиновский E.H., Талипова Т.Г., Степанянц Ю.А. Моделирование распространения нелинейной внутренней волны в горизонтально неоднородном океане // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т. 30. № 1. С. 79-85.

29. Полухин Н.В. и др. Моделирование трансформации солитонов внутренних волн на шельфе моря Лаптевых / Полухин, Н.В., Талипова, Т.Г., Пелиновский, E.H., Лавренов, И.В. // Известия АИН. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 3-16.

30. Примаков И.М. и др. Исследование морского зоопланктона в Керетской губе / Примаков, И.М., Иванова, H.A., Ласовецкая, O.A., Чернова, E.H. // Вестник Санкт-Петербургского Университета. 2009. Т. 3. № 3. С. 135-145.

31. Самодуров A.C. и др. Интенсификация внутренних волн в зоне сопряжения шельфа и континентального склона как фактор интенсификации вертикального обмена / Самодуров, A.C., Чухарев, A.M., Носова, A.B., Глобина, Л.В. // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6. №2. С. 12-24.

32. Самолюбов Б.И. Плотностные течения и диффузия примесей. Москва, Россия: ЛКИ URSS, 2007.

33. Серебряный А.Н., Пао К.П. Прохождение нелинейной внутренней волны через точку переворота на шельфе // Доклады академии наук. 2008. Т. 420. № 4. С. 543-547.

34. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. Москва, СССР: Наука, 1977. Вып. 2.

35. Талипова Т.Г., Пелиновский E.H. Моделирования распространяющихся длинных внутренних волн в неоднородном океане: теория и верификация // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2013. Т. 6. № 2. С. 46-54.

36. Терлецкая Е. Взаимодействие внутренных уединённых волн второй моды с подводной ступенькой // Прикладная пдромехашка. 2014. Т. 10. № 83. С. 1-6.

37. Хабахпашев Г.А. Динамика длинных пространственных нелинейных волн в океане со скачком плотности с слабонаклонным дном // Океанология. 2008. Т. 48. № 4. С. 501-509.

38. Шапиро Г.И. и др. Влияние внутренних волн на распределение взвешенного вещества в Печорском море // Доклады академии наук. 2000. Т. 373. № 1. С. 105-107.

39. Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность / под ред. E.H. Пелиновского. Горький, СССР: Издательство Института прикладной физики АН СССР, 1982.

40. Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование / под ред. E.H. Пелиновского, В.И. Таланова. Нижний Новгород, Россия: Интститут прикладной физики РАН, 1999.

41. Динамические процессы береговой зоны моря / под ред. Р.Д. Касьяна, И.С. Подымова, Н.В. Пыхова. Москва, Россия: Научный мир, 2003.

42. Adcroft A.J. Numerical algorithms for use in a dynamical model of the ocean // Ph. D. thesis. 1995. P. 116.

43. Adcroft A.J. et al. MITgcm user manual / Adcroft, A.J., Campin, J., Dutkiewicz, S., Evangelinos, C., Ferreira, D., Forget, G., Fox-Kemper, В., Heimbach, P., Hill, C., Hill, E., Hill, H., Jahn, O., Losch, M., Marshall, J.S., Maze, G., Menemenlis, D., Molod, A. // [Электронный ресурс] http://mitgcm.org/public/r2_manual/latest/online_documents/manual.html, 2011. P. 464.

44. Apel J.R. et al. Observations of oceanic internal and surface waves from the earth resources technology satellite / Apel, J.R., Byrne, H.M., Proni, J.R., Chamell, R.L. // J. Geophys. Res. 1975. V. 80. №6. P. 865-881.

45. Apel J.R. et al. Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound / Apel, J.R., Ostrovsky, L.A., Stepanyants, Y.A., Lynch, J.F. // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121. № 2. P. 695-722.

46. Bartholomeusz E.F. The reflexion of long waves at a step // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1958. V. 54. № l.P. 106-118.

47. Berntsen J. Users guide for a modesplit a -coordinate numerical ocean model // 2004. P. 51.

48. Boegman L., Dorostkar A. Three-dimensional simulation of NLIW generation , propagation and breaking in Cayuga Lake // 7th Int. Symp. on Stratified Flows. Rome:, 2011. P. 1-8.

49. Brent R.P. An algorithm with guaranteed convergence for finding a zero of a function // Comput. J. 1971. V. 14. №4. P. 422-425.

50. Bus J.C.P., Dekker T.J. Two efficient algorithms with guaranteed convergence for finding a zero of a function // ACM Trans. Math. Soflw. 1975. V. 1. № 4. P. 330-345.

51. Carr M., Davies P.A. The motion of an internal solitary wave of depression over a fixed bottom boundary in a shallow, two-layer fluid // Phys. Fluids. 2006. V. 18. № 1. P. 1-10.

52. Carr M., Davies P.A., Shivaram P. Experimental evidence of internal solitary wave-induced global instability in shallow water benthic boundary layers // Phys. Fluids. 2008. V. 20. № 6. P. 1-12.

53. Chakraborty R., Mandal B.N. Water wave scattering by a rectangular trench // J. Eng. Math. 2014. V. 89. № l.P. 101-112.

54. Chang K., Hsu Т., Liu P.L.-F. Vortex generation and evolution in water waves propagating over a submerged rectangular obstacle Part I. Solitary waves // Coast. Eng. 2001. V. 44. № l.P. 13-36.

55. Chang K.-A., Hsu T.-J., Liu P.L.-F. Vortex generation and evolution in water waves propagating over a submerged rectangular obstacle Part II: Cnoidal waves // Coast. Eng. 2005. V. 52. № 3. P. 257283.

56. Chen C.-Y. et al. Generation of internal solitary wave by gravity collapse / Chen, C.-Y., Hsu, J.R.-C., Chen, C.-W., Chen, H.-H., Kuo, C.-F., Cheng, M.-H. // J. Mar. Sci. Technol. 2007a. V. 15. № 1. P. 1-7.

57. Chen C.-Y. et al. Laboratory observations on internal solitary wave evolution on steep and inverse uniform slopes / Chen, C.-Y., Hsu, J.R.-C., Chen, H.-H., Kuo, C.-F., Cheng, M.-H. // Ocean Eng. 2007b. V. 34. № 1. P. 157-170.

58. Chen C.-Y. et al. An investigation on internal solitary waves in a two-layer fluid: Propagation and reflection from steep slopes / Chen, C.-Y., Hsu, J.R.-C., Cheng, M.-H., Chen, H.-H., Kuo, C.-F. // Ocean Eng. 2007c. V. 34. № 1. P. 171-184.

59. Cheng M.-H. et al. Modelling the propagation of an internal solitary wave across double ridges and a shelf-slope / Cheng, M.-H., Hsu, J.R.-C., Chen, C.-Y., Chen, C.-W. // Environ. Fluid Mech. 2008. V. 9. № 3. P. 321-340.

60. Cheng M.-H., Hsu J.R.-C., Chen P. Laboratory study of flow field for ISW evolution on a flat bottom // Ocean Eng. 2014. V. 88. P. 533-545.

61. Chin-Bing S.A. et al. Effects on acoustics caused by ocean solitons, Part B: Acoustics / Chin-Bing,

5.A., Warn-Varnas, A., King, D.B., Hawkins, J., Lamb, K.G. // Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl. 2009. V. 71. № 12. P. 2194-2204.

62. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations // Math. Comput. 1968. V. 22. № 104. P. 745-762.

63. Dingemans M.W. Water wave propagation over uneven bottoms. Singapore: World Scientific Publishing Co., 1997.

64. Djordjevic V.D., Redekopp L.G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanogr. 1978. V. 8. № 6. P. 1016-1024.

65. Donaldson M.R. et al. Cold shock and fish / Donaldson, M.R., Cooke, S.J., Patterson, D.A., Macdonald, J.S. // J. Fish Biol. 2008. V. 73. № 7. P. 1491-1530.

66. Dorostkar A. et al. Sensitivity of MITgcm to different model parameters in application to Cayuga Lake / Dorostkar, A., Boegman, L., Diamessis, P.J., Pollard, A. // Edited by A.I.. Stamou. 6th International Symposium on Enviornmental Hydraulics. Athens, Greece: CRC Press 2010, 2010. P. 373-378.

67. Fenton J.D., McKee W.D. On calculating the lengths of water waves // Coast. Eng. 1990. V. 14. №

6. P. 499-513.

68. Fraser N. Surfing an oil rig // Energy Rev. 1999. V. 20. № 4. P. 4-8.

69. Garrett C.J.R. Wave forces on a circular dock // J. Fluid Mech. 1971. V. 46. № 1. P. 129-139.

70. Germain J.P. Coefficients de reflexion et de transmission en eau peu profonde // Rozpr. Hydrotechniczne. 1984. V. 46. P. 5-13.

71. Griffiths L.S., Porter R. Focusing of surface waves by variable bathymetry // Appl. Ocean Res. 2012. V. 34. P. 150-163.

72. Grimshaw R. et al. Generation of large-amplitude solitons in the extended Korteweg-de Vries equation / Grimshaw, R., Pelinovsky, D.E., Pelinovsky, E.N., Slunyaev, A. // Chaos. 2002. V. 12. № 4. P. 1070-1076.

73. Grimshaw R. et al. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves / Grimshaw, R., Pelinovsky, E.N., Talipova, T.G., Kurkin, A.A. // J. Phys. Oceanogr. 2004. V. 34. № 12. P. 2774-2791.

74. Grimshaw R. et al. Internal solitary waves: propagation, deformation and disintegration / Grimshaw, R., Pelinovsky, E.N., Talipova, T.G., Kurkina, O.E. // Nonlinear Process. Geophys. 2010. V. 17. №6. P. 633-649.

75. Grimshaw R. et al. Combined effect of rotation and topography on shoaling oceanic internal solitary waves / Grimshaw, R., Guo, C., Helfrich, K.R., Vlasenko, V. // J. Phys. Oceanogr. 2014. V. 44. №4. P. 1116-1132.

76. Grimshaw R., Pelinovsky E.N., Talipova T.G. Fission of a weakly nonlinear interfacial solitary wave at a step // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2008. V. 102. № 2. P. 179-194.

77. Grisouard N., Staquet C. Numerical simulations of the local generation of internal solitary waves in the Bay of Biscay // Nonlinear Process. Geophys. 2010. V. 17. № 5. P. 575-584.

78. Havelock T.H. Forced surface-waves on water // Philos. Mag. Ser. 7. 1929. V. 8. № 51. P. 569576.

79. Helfrich K.R., Melville W.K. On long nonlinear internal waves over slope-shelf topography // J. Fluid Mech. 1986. V. 167. P. 285-308.

80. Holloway P.E. et al. A nonlinear model of internal tide transformation on the Australian North West shelf / Holloway, P.E., Pelinovsky, E.N., Talipova, T.G., Barnes, B. // J. Phys. Oceanogr. 1997. V. 27. №6. P. 871-896.

81. Hsieh C.-M. et al. Flow evolution of an internal solitary wave generated by gravity collapse / Hsieh, C.-M., Hwang, R.R., Hsu, J.R.-C., Cheng, M.-H. // Appl. Ocean Res. 2014. V. 48. P. 277-291.

82. Jackson C.R. An atlas of internal solitary-like waves and their properties. Maryland, USA:, 2004.

83. Jones R., Bentley J. The Thresher diaster: the most tragic dive in submarine history. // Mil. Aff. 1976. V. 40. № l.P. 44—45.

84. Kirby J.T., Dalrymple R.A. Propagation of obliquely incident water waves over a trench // J. Fluid Mech. 1983. V. 133. P. 47-63.

85. Klemas V. Remote sensing of ocean internal waves: an overview // J. Coast. Res. 2012. V. 282. P. 540-546.

86. Köhl A., Stammer D. Decadal Sea Level Changes in the 50-Year GECCO Ocean Synthesis // J. Clim. 2008a. V. 21. № 9. P. 1876-1890.

87. Köhl A., Stammer D. Variability of the Meridional Overturning in the North Atlantic from the 50-Year GECCO State Estimation // J. Phys. Oceanogr. 2008b. V. 38. № 9. P. 1913-1930.

88. Kreisel G. Surface waves // Q. Appl. Math. 1949. V. 7. № 1. P. 21^14.

89. Kurkina O.E. et al. Mapping the internal wave field in the Baltic Sea in the context of sediment transport in shallow water / Kurkina, O.E., Talipova, T.G., Pelinovsky, E.N., Soomere, T. // J. Coast. Res. 201 la. V. SI64. P. 2042—2047.

90. Kurkina O.E. et al. Higher-order (2 + 4) Korteweg-de Vries-like equation for interfacial waves in a symmetric three-layer fluid / Kurkina, O.E., Kurkin, A.A., Soomere, T., Pelinovsky, E.N., Rouvinskaya, K.A. // Phys. Fluids. 201 lb. V. 23. № 11. P. 1-13.

91. Lamb H. Hydrodynamics. Cambridge, England: Cambridge: university press, 1895. ed. 1.

92. Lamb K.G. Particle transport by nonbreaking, solitary internal waves // J. Geophys. Res. 1997. V. 102. № C8. P. 18641-18660.

93. Lee J.-J., Ayer R.M. Wave propagation over a rectangular trench // J. Fluid Mech. 1981. V. 110. P. 335-347.

94. Lin P. A numerical study of solitary wave interaction with rectangular obstacles // Coast. Eng. 2004. V. 51. № l.P. 35-51.

95. Liu P.L.-F., Cheng Y. A numerical study of the evolution of a solitary wave over a shelf // Phys. Fluids. 2001. V. 13. № 6. P. 1660-1667.

96. Losada M.A., Vidal C., Medina R. Experimental study of the evolution of a solitary wave at an abrupt junction // J. Geophys. Res. 1989. V. 94. № C10. P. 14557-14566.

97. Maderich V.S. et al. The transformation of an interfacial solitary wave of elevation at a bottom step / Maderich, V.S., Talipova, T.G., Grimshaw, R., Pelinovsky, E.N., Choi, B.H., Brovchenko, I., Terletska, K., Kim, D.C. //Nonlinear Process. Geophys. 2009. V. 16. № 1. P. 33^12.

98. Maderich V.S. et al. Interaction of a large amplitude interfacial solitary wave of depression with a bottom step / Maderich, V.S., Talipova, T.G., Grimshaw, R., Terletska, K., Brovchenko, I., Pelinovsky, E.N., Choi, B.H. // Phys. Fluids. 2010. V. 22. № 7. P. 076602.

99. Marshall J.S. et al. A finite-volume, incompressible Navier Stokes model for studies of the ocean on parallel computers / Marshall, J.S., Adcrofit, A.J., Hill, C., Perelman, L., Heisey, C. // J. Geophys. Res. 1997a. V. 102. № C3. P. 5753-5766.

100. Marshall J.S. et al. Hydrostatic, quasi-hydrostatic, and nonhydrostatic ocean modeling / Marshall, J.S., Hill, C., Perelman, L., Adcroft, A.J. // J. Geophys. Res. 1997b. V. 102. № C3. P. 5733-5752.

101. Marshall J.S. et al. Atmosphere-ocean modeling exploiting fluid isomorphisms / Marshall, J.S., Adcroft, A.J., Campin, J.-M., Hill, C., White, A. // Mon. Weather Rev. 2004. V. 132. № 12. P. 28822894.

102. Marshall J.S., Naghdi P.M. Wave reflection and transmission by steps and rectangular obstacles in channels of finite depth // Theor. Comput. Fluid Dyn. 1990. V. 1. № 5. P. 287-301.

103. Martin P.A. Havelock wavemakers, Westergaard dams and the Rayleigh hypothesis // J. Eng. Math. 1992. V. 26. № 2. P. 267-280.

104. Massel S.R. Harmonic generation by waves propagating over a submerged step // Coast. Eng. 1983. V. 7. №4. P. 357-380.

105. Massel S.R. Hydrodynamics of coastal zones. Amsterdam, Netherlands: Elsevier Science Publ., 1989.

106. McKee W.D. Calculation of Evanescent Wave Modes // J. Waterw. Port, Coastal, Ocean Eng. 1988. V. 114.№3. P. 373-378.

107. Mei C.C., Black J.L. Scattering of surface waves by rectangular obstacles in waters of finite depth //J. Fluid Mech. 1969: V. 38. № 03. P. 499-511.

108. Michallet H., Barthélémy E. Experimental study of interfacial solitary waves // J. Fluid Mech. 1998. V. 366. P. 159-177.

109. Miles J.W. Surface-wave scattering matrix for a shelf// J. Fluid Mech. 1967. V. 28. № 4. P. 755767.

110. Miles J.W. On surface-wave diffraction by a trench // J. Fluid Mech. 1982. V. 115. P. 315-325.

111. Mirchina N.R., Pelinovsky E.N. Nonlinear transformation of long waves at a bottom step // J. Korean Soc. Coast. Ocean Egineers. 1992. V. 4. № 3. P. 161-167.

112. Morozov E.G. Semidiurnal internal wave global field // Deep Sea Res. Part I Oceanogr. Res. Pap. 1995. V. 42. № l.P. 135-148.

113. Newman J.N. Propagation of water waves over an infinite step // J. Fluid Mech. 1965a. V. 23. № 02. P. 399-415.

114. Newman J.N. Propagation of water waves past long two-dimensional obstacles // J. Fluid Mech. 1965b. V. 23. № l.P. 23-29.

115. Ostrovsky L.A., Stepanyants Y.A. Do internal solitions exist in the ocean? // Rev. Geophys. 1989. V. 27. №3. P. 293-310.

116. Pairaud I., Staquet C., Mahdizadeh M.M. Generation of harmonics and sub-harmonics from an internal tide in a uniformly stratified fluid: numerical and laboratory experiments // Edited by D. Dritschel. IUTAM Symposium on Turbulence in the Atmosphere and Oceans IUTAM Bookseries. Dordrecht: Springer Netherlands, 2010. P. 51-62.

117. Pelinovsky E.N. et al. Solitary wave transformation on the underwater step: Asymptotic theory and numerical experiments / Pelinovsky, E.N., Choi, B.H., Talipova, T.G., Woo, S.B., Kim, D.C. // Appl. Math. Comput. 2010. V. 217. № 4. P. 1704-1718.

118. Popinet S. Gerris: a tree-based adaptive solver for the incompressible Euler equations in complex geometries // J. Comput. Phys. 2003. V. 190. № 2. P. 572-600.

119. Popinet S. Free computational fluid dynamics // ClusterWorld. 2004. V. 2. № 6. P. 2-8.

120. Popinet S. An accurate adaptive solver for surface-tension-driven interfacial flows // J. Comput. Phys. 2009. V. 228. № 16. P. 5838-5866.

121. Rey V., Belzons M., Guazzelli E. Propagation of surface gravity waves over a rectangular submerged bar // J. Fluid Mech. 1992. V. 235. P. 453-479.

122. Seabra-Santos F.J., Renouard D.P., Temperville A.M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle // J. Fluid Mech. 1987. V. 176. P. 117-134.

123. Shanks A.L. et al. Onshore transport of plankton by internal tides and upwelling-relaxation events / Shanks, A.L., Morgan, S.G., Macmahan, J., Reniers, A.J.H.M., Jarvis, M., Brown, J., Fujimura, A., Griesemer, C. // Mar. Ecol. Prog. Ser. 2014. V. 502. P. 39-51.

124. Shchepetkin A.F., McWilliams J.C. The regional oceanic modeling system (ROMS): a split-explicit, free-surface, topography-following-coordinate oceanic model // Ocean Model. 2005. V. 9. № 4. P. 347-404.

125. Shishkina O.D., Sveen J.K., Grue J. Transformation of internal solitary waves at the "deep" and "shallow" shelf: satellite observations and laboratory experiment //Nonlinear Process. Geophys. 2013. V. 20. № 5. P. 743-757.

126. Sokolovskiy M.A., Zyryanov V.N., Davies P.A. On the influence of an isolated submerged obstacle on a barotropic tidal flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1998. V. 88. № 1-4. P. 1-30.

127. Song Z.J. et al. Comparisons of internal solitary wave and surface wave actions on marine structures and their responses / Song, Z.J., Teng, B., Gou, Y., Lu, L., Shi, Z.M., Xiao, Y., Qu, Y. // Appl. Ocean Res. 2011. V. 33. № 2. P. 120-129.

128. Stammer D. et al. Global ocean circulation during 1992-1997, estimated from ocean observations and a general circulation model / Stammer, D., Wunsch, C., Giering, R., Eckert, C., Heimbach, P., Marotzke, J., Adcroft, A.J., Hill, C.N., Marshall, J.S. // J. Geophys. Res. 2002. V. 107. № C9. P. 1-27.

129. Stammer D. et al. Volume, heat, and freshwater transports of the global ocean circulation 19932000, estimated from a general circulation model constrained by World Ocean Circulation Experiment (WOCE) data / Stammer, D., Wunsch, C., Giering, R., Eckert, C., Heimbach, P., Marotzke, J., Adcroft, A.J., Hill, C.N., Marshall, J.S. // J. Geophys. Res. 2003. V. 108. № CI. P. 1-23.

130. Svendsen I. A., Jonsson I.G. Hydrodynamics of coastal regions. Denmark: Lyngby : Den Private Ingenierfond, Technical University, 1976.

131. Takano K. Effets d'un obstacle parailélépipédique sur la propagation de la houle // La Houille Blanche. 1960. № 3. P. 247-267.

132. Takano K. Effet d'un changement brusque de profondeur sur une houle irrotationelle // La mer. 1967. V. 5. №2. P. 100-116.

133. Talipova T.G. et al. Internal solitary wave transformation over a bottom step: Loss of energy / Talipova, T.G., Terletska, K., Maderich, V.S., Brovchenko, I., Jung, K.T., Pelinovsky, E.N., Grimshaw, R. // Phys. Fluids. 2013. V. 25. № 3. P. 032110.

134. Talipova T.G., Pelinovsky E.N. Transformation of internal waves over an uneven bottom: Analytical results // Oceanology. 2011. V. 51. № 4. P. 582-587.

135. Thiem 0. et al. Numerical simulation of internal solitary wave—induced reverse flow and associated vortices in a shallow, two-layer fluid benthic boundary layer / Thiem, 0., Carr, M., Berntsen, J., Davies, P.A. // Ocean Dyn. 2011. V. 61. № 6. P. 857-872.

136. Toschi F., Bodenschatz E. Lagrangian properties of particles in turbulence // Annu. Rev. Fluid Mech. 2009. V. 41. № 1. P. 375^104.

137. Tubielewicz-Wikowska H. Les problemes theoriques de la propagation de la houle en profondeur variable //Arch. Hydrotechniki. 1965. V. 12. № 4. P. 301-322.

138. Turner R.E.L., Vanden-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves // Phys. Fluids. 1988. V. 31. № 9. P. 2486-2490.

139. Visser W.P. On the generation of internal waves in Lombok Strait through Kelvin-Helmholtz instability // M. Sc. thesis Applied Mathematics. 2004. P. 68.

140. Vlasenko V., Stashchuk N., Hutter K. Baroclinic tides: theoretical modeling and observational evidence. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2005.

141. Warn-Varnas A. et al. Effects on acoustics caused by ocean solitons, Part A: Oceanography / Warn-Varnas, A., Chin-Bing, S.A., King, D.B., Hawkins, J., Lamb, K.G. // Nonlinear Anal. Theory, Methods Appl. 2009. V. 71. № 12. P. 1807-1817.

142. Warn-Varnas A. et al. Solitary wave generation dynamics at Luzon Strait / Warn-Varnas, A., Hawkins, J., Lamb, K.G., Piacsek, S., Chin-Bing, S.A., King, D.B., Burgos, G. // Ocean Model. 2010. V. 31. № 1-2. P. 9-27.

143. Wessels F., Hutter K. Interaction of internal waves with a topographic sill in a two-layered fluid // J. Phys. Oceanogr. 1996. V. 26. № 1. P. 5-20.

144. Woodson C.B. et al. Observations of internal wave packets propagating along-shelf in northern Monterey Bay / Woodson, C.B., Barth, J.A., Cheriton, O.M., McManus, M.A., Ryan, J.P., Washburn, L., Carden, K.N., Cheng, B.S., Fernandes, J., Garske, L.E., Gouhier, T.C., Haupt, A.J., Honey, K.T., Hubbard, M.F., lies, A., Kara, L., Lynch, M.C., Mahoney, B., Pfaff, M., Pinsky, M.L., Robart, M.J., Stewart, J.S., Teck, S.J., True, A. // Geophys. Res. Lett. 2011. V. 38. № 1. P. 1-6.

Приложение. Ортогональность набора функций вертикальной структуры потенциалов распространяющихся и

нераспространяющихся внутренних волн в двухслойной жидкости

Рассмотрим систему функций:

, . (П.З)

зт

У ч (П.1)

соз^Сг + А)

--^тг1'

вт 6/д

где 6= {6{) = ¡к, в\ = к0, в2 = к\, ...} - дискретный набор волновых чисел, связанных дисперсионным соотношением для внутренних гравитационных волн:

А=--¿4- , (1 _а) (

¡Л£в,Л + 1В6>Л а >

где а - константа, соответствующая соотношению плотностей верхней и нижней жидкостей, g' - уменьшенное ускорение свободного падения. Необходимо доказать, что набор функций Уп(г) является ортогональным на отрезке 2 е [-к\, /го] с весом:

(а, О <2<\, /г, <2 <0.

Для этого нужно показать, что скалярное произведение любых двух функций из Уп равно нулю тогда и только тогда, когда их индексы не совпадают:

К

1 = (¥„¥,) = / ¥,(2)¥] (*>(*)& = /{в,)ди, (П.4)

-А,

где Xв,) - норма функции У„ 6У - дельта-символ Кронекера. Поскольку не очевидно, что функция Уо(г) эквивалентна любой другой функции исходного набора (после подстановки во = ¡к в У,=о она будет содержать гиперболические, а не тригонометрические функции), то для доказательства ортогональности необходимо вычислить четыре вида интегралов:

/, =(^,7, ),/*./* О,

12=(¥„¥),1 = ]Ф О,

V (П.5)

1г= (¥„¥),]* О,

/4=(ад>-

Сначала проверим ортогональность набора функций, соответствующих нераспространяющимся модам дисперсионного уравнения, принимая во внимание, что волновые числа с разными индексами не могут быть равны друг другу.

в, [ас^в^ + сщв^) - 9J (яс1ё6>Д + )

-л,

в2-9)

(П.6)

Заметим, что в полученной формуле в скобках расположены те же выражения, что и в дисперсионном соотношении:

(ас1ёвпИ0+сЩвп\) = -

После подстановки (П.7) в (П.6) получим 1\ = 0. /2 =(«) = ?, (/ = 7^0),

О)

2 '

(П.7)

-к 1

/3=(Г0,77) = ?, (/*0)

1 + с1ё20Д +

+ ■

/"О /

1 + с1ё26>Д +

<*&0А вА

(П.8)

Нулевой член ряда в имеет вид во = ¡к. Тогда функция с нулевым индексом исходного ряда выглядит следующим образом:

(П.9)

-1-

, -Л, <г <0.

Таким образом, целевой интеграл примет вид:

,,- I (П. 10)

Д { эИ Ц^тЯД Д БЬ^БШ^/г,

Интегралы в /з вычисляются методом двойного интегрирования по частям.

= | сь л (г - ль )с08 в 1 {г - к ук = ^-2-*-

г , всЪккътвк+къЪкксоъОк /2 = \ сЬ% + \>»8(9, (г + й,= -2--^

(П.11) (П. 12)

Таким образом, интеграл /3 примет вид:

(а сШ ^ + сЛ ) + к (я ^ + <л% <9, Л,)

(П. 13)

Дисперсионное соотношение для бегущих волн выглядит следующим образом:

й>2 =

-^-»(асААЛь+сШ АЛ ) =

ас\Ък\+с\ЬЩ у со

(П. 14)

Тогда в результате подстановки (П. 14) и (П.7) в (П. 13) получим, что /3 = 0. 4. /,=(«) = ?

1 - сШ2 к\ -

с ХЬ.к]\ кк

о У

Л

2

1 - сй!2 щ ~

сХЬЩ Щ

(П. 15)

При этом не сложно проверить, что /4 = /2(6*0 = ¡к).

Таким образом, исходный ряд является ортогональным на отрезке г е [-И\, /го], а его норма имеет вид:

а/*,

с1§6»Л

1 \

л

2

1 + с1ё20Л +

(П. 16)

Полученные в приложении результаты, в частности формула (П. 16), используются в §1.2 при а = 0 и в полном виде в §2.2 для получения систем линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов трансформации поверхностных и внутренних волн.