Трансформация мод и излучение зарядов в круглом волноводе с однородной и двухслойной областями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Григорьева Александра Андреевна

• Григорьева Александра Андреевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Григорьева Александра Андреевна

Введение

Глава 1. Трансформация поперечно-магнитной моды в круглом волноводе, содержащем поперечную границу

1.1 Собственные моды двухслойного волновода

1.1.1 Уравнение для вектора напряженности магнитного поля

1.1.2 Доказательство самосопряженности оператора Ьг

1.1.3 Собственные функции и собственные значения оператора Ьг

1.2 Трансформация моды, падающей со стороны однородной области

1.2.1 Вывод системы уравнений

1.2.2 Случай тонкого диэлектрического слоя

1.3 Трансформация моды, падающей со стороны двухслойной области

1.3.1 Вывод системы уравнений

1.3.2 Случай тонкого диэлектрического слоя

1.4 Об энергетических соотношениях в задачах о падении моды на поперечную границу

1.5 Алгоритм расчета и численные результаты

1.5.1 Алгоритм расчета коэффициентов отражения и прохождения

1.5.2 Результаты расчетов для случая падения со стороны однородной области

1.5.3 Результаты расчетов для случая падения со стороны двухслойной области

1.5.4 Проверка построенного алгоритма

Выводы

Глава 2. Излучение заряда, движущегося из двухслойной области волновода в однородно заполненную область

2.1 Вывод основной системы уравнений

2.2 Случай вакуумного канала и вакуумной правой области волновода

2.2.1 Анализ функций (®)

2.2.2 Асимптотическое исследование поля в вакуумной области

2.3 Усредненная мощность черенковско-переходного излучения

2.4 Численный анализ частотно-модового распределения мощности ЧПИ

2.5 Обобщение на случай движения гауссова пучка частиц и тестирование полученных результатов

2.6 Оценка влияния малой диссипации в диэлектрическом слое

Выводы

Глава 3. Излучение заряда, движущегося из однородно заполненной области волновода в двухслойную область

3.1 Вывод основной системы уравнений

3.2 Случай вакуумного канала и вакуумной левой области волновода

3.2.1 Анализ функции

3.2.2 Редуцированное кильватерное поле

3.3 Численный анализ редуцированного кильватерного поля

3.4 Обобщение на случай движения гауссова пучка частиц и тестирование полученных результатов

Выводы

Заключение

Список литературы

Список публикаций по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Трансформация мод и излучение зарядов в круглом волноводе с однородной и двухслойной областями»

Введение

Исследования излучения частиц, равномерно движущихся в присутствии сред различного рода, начались с открытия в 1933 году С.И. Вавиловым и П.А. Черенковым свечения в растворах урановых солей [1], которое не могло быть объяснено эффектом люминесценции. Вскоре была предложена гипотеза, согласно которой данное свечение является тормозным излучением быстрых электронов [2], однако и она оказалась ошибочной. Верное теоретическое описание наблюдаемого эффекта было дано в статье И.Е. Тамма и И.М. Франка [3], которые рассмотрели случай равномерного прямолинейного движения электрона в изотропной среде, обладающей частотной дисперсией. Отметим, что подобное излучение теоретически предсказывал ещё О. Хевисайда в конце XIX века [4], однако удовлетворительного количественного описания им дано не было. И.Е. Тамм и И.М. Франк получили выражения для генерируемого электромагнитного поля и формулу для потерь энергии заряда на излучение [3]. В дальнейшем новый тип излучения получил название излучения Вавилова-Черенкова (или черенковского излучения). Было представлено также объяснение этого эффекта с точки зрения квантовой теории [5-7].

Работы П.А. Черенкова, И.Е. Тамма и И.М. Франка положили начало активного изучения нового эффекта [8-13]. В последнее время исследования, касающиеся черенковского излучения, в значительной степени связаны с его применением в разнообразных волноведущих структурах. Именно такого рода проблемы рассматриваются в настоящем исследовании. Остановимся подробнее на тех работах в этой области, которые представляют интерес с точки зрения задач данной диссертации.

Ранние исследования в области излучения заряженных частиц в волноводах с диэлектрическим заполнением относятся к 50-м - 60-м годам XX века. Так, ряд задач об излучении частиц, движущихся в регулярных бесконечных металлических волноводах с заполнением и иных волноведущих структурах, представлены в обзорной статье Б. М. Болотовского [14]. В частности, были получены выражения для электромагнитного поля заряда, движущегося вдоль цилиндрического канала, расположенного в диэлектрической изотропной среде.

Значительное число работ посвящено анализу переходного излучения заряженных частиц, пересекающих поперечные границы в волноводах с заполнением [15-18]. Так, в одной из ранних работ в области переходного излучения в цилиндрическом волноводе [15] исследуется излучение заряда, пересекающего границу в цилиндрическом волноводе между двумя однородными диэлектрическими средами. В данной работе, как и во многих других, электромагнитное поле в каждой области волновода было представлено в виде суммы «вынужденного» поля (поле частицы в бесконечном регулярном диэлектрическом волноводе) и «свободного» поля, которое включает переходное излучение. В [15] отдельно рассматривался случай движения частицы из вакуумной области в среду с частотной дисперсией, характерной для «холодной» изотропной плазмы. В частности, было показано, что переходное излучение в таком случае в основном направлено вперед по движению частицы. Была описана возможность использования переходного излучения, возникающего при пересечении поперечной границы коротким пучком частиц, для генерации миллиметровых волн. Детальное описание электромагнитного поля заряда, влетающего из вакуумной области волновода в плазменную область, было дано в работе [19]. Показано, к примеру, что при ультрарелятивистском движении частицы в плазменной области волновода возникает эффект возрастания и концентрации электромагнитного поля вблизи волнового фронта, что может быть использовано для генерации излучения в плазме.

Рассматривались также задачи о движении частиц в волноводах с периодическим (слоистым) диэлектрическим заполнением [20, 21]. Например, в работе [21] исследуется излучение заряженной частицы, движущейся в цилиндрическом волноводе, который содержит заполнение из стопки конечного числа диэлектрических пластин. Было показано, что параметры рассматриваемой структуры можно подобрать таким образом, что стопка пластин произвольной толщины и с произвольным расстоянием между пластинами будет прозрачная для этой определенной собственной моды волновода.

В литературе представлены также задачи о генерации излучения зарядом, движущимся перпендикулярно оси волновода [16, 17]. Интересно, в частности, отметить, что в случае, когда заряд движется перпендикулярно оси прямоугольного волновода, содержащего тонкую диэлектрическую пластину, переходное излучение имеет дипольный характер.

Отметим, что в последние десятилетия возникла потребность в разработке новых методов генерации электромагнитного излучения в гигагерцовом и, в особенности, в терагерцовом диапазоне [22-24]. Для этого применяются различные методы создания

источников излучения, например, на основе лазерного излучения [25, 26] или на основе излучения Смита-Парселла [27-30]. Одним из многообещающих методов является использование в качестве источника излучения пучка заряженных частиц в диэлектрической волноведущей структуре [31-33].

При пересечении зарядом границы диэлектрик-вакуум в вакуумной области круглого волновода возможна генерация так называемого черенковско-переходного излучения [34]. Данный эффект возникает при условии, когда скорость заряда превышает пороговое значение, необходимое для существования черенковского излучения в диэлектрической области волновода, но меньше, чем скорость, при которой происходит полное внутреннее отражение падающего поля от границы. Исследование черенковско-переходного излучения и условий, при которых его вклад определяет большую часть электромагнитного поля в вакуумной области волновода, представляет интерес для развития новых методов генерации электромагнитного излучения.

Для вывода излучения из волновода в открытое пространство необходимо исследовать задачи с волноводом с открытым концом. В частности, в работе [35] проведено приближенное аналитическое и численное исследование излучения из волновода с открытым концом, имеющего цилиндрический диэлектрический слой и соосный вакуумный канал, вдоль оси которого движется ультрарелятивистский пучок заряженных частиц. При этом конец волновода может быть срезан под произвольным углом. С помощью использования приближенных методов было описано излучение в зоне Фраунгофера. Показано, в частности, что в случае ортогонального среза конца волновода излучение вдоль направления оси волновода отсутствует. Путем вариации угла среза может задаваться направление максимального излучения. Отметим, что результаты ряда экспериментальных работ демонстрируют генерацию терагерцового излучения при прохождении пучка заряженных частиц через диэлектрические волноводы круглого сечения [31, 32].

Необходимость в развитии теории излучения частиц в различных средах и структурах связана также с перспективным методом кильватерного ускорения частиц [36-46]. Данный метод ускорения (в наиболее известном варианте) предполагает использование двух пучков частиц. Один из них (driver) является ультрарелятивистским, содержит большое количество частиц и, двигаясь в волноведущей структуре, генерирует излучение Вавилова-Черенкова (так называемое кильватерное поле в волноводе). Второй пучок (witness), содержащий гораздо меньшее число частиц, запускается в структуру с некоторой задержкой и ускоряется в поле

первого пучка до значительно более высоких энергий (при этом его скорость, изначально близкая к скорости света, почти не меняется).

В настоящее время активно развиваются методы ускорения заряженных частиц кильватерными полями, генерируемыми в плазме. Как правило, возбуждение кильватерного поля в плазме происходит либо с помощью мощных коротких лазерных импульсов [37, 47-49], либо с помощью пучка релятивистских частиц [38, 39, 50, 51]. В последнем случае становится важной задача о взаимодействии пучка заряженных частиц с плазмой. Аналитические и численные исследования в этой области представлены, например, в работах [52-54]. Так, в [53] рассмотрен случай движения в безграничной плазме модулированного по плотности пучка электронов, который представляет собой последовательность прямоугольных импульсов. Было показано, что, если плазма является однородной, то модуляция пучка приводит к увеличению амплитуды генерируемой плазменной волны по сравнению со случаем движения немодулированного пучка. В случае неоднородной плотности плазмы модуляция пучка приводит к меньшему влиянию неоднородностей на амплитуду поля по сравнению со случаем движения немодулированного пучка.

Другое направление в методе кильватерного ускорения, наиболее близкое тематике настоящей диссертации, предполагает использование диэлектрических волноведущих структур. В таком случае существенный интерес представляет анализ процесса формирования волнового поля ведущего поля при его влете в волновод с диэлектрическим слоем или при влете из вакуумной области волновода в часть волновода, содержащую диэлектрик. Отметим, что к настоящему времени в научной литературе имеется большое количество работ об излучении частиц в регулярных бесконечных волноводах с частичным диэлектрическим заполнением, однако практически отсутствуют работы, в которых учитывались бы поперечные границы раздела в таких задачах.

Наиболее изучены на сегодняшний момент два типа регулярных волноводов, имеющих слой диэлектрика, - это волновод с прямоугольным сечением [55-59] и волновод с круглым сечением [40, 41, 60-62]. В работах [55, 56, 63] рассматривается задача о генерации кильватерного поля в прямоугольном диэлектрическом волноводе. Волновод содержит центральный вакуумный канал, параллельно оси которого движется точечный заряд или пучок электронов конечного размера. В данных работах описан метод, позволяющий получить строгие аналитические выражения для электромагнитного поля источника с помощью разложения поля по собственным ортогональным функциям поперечного оператора задачи.

Данный метод позволяет получить явный вид выражений для поля черенковского излучения и отклоняющих поперечных сил [63]. Было показано, что результаты, полученные на основе теоретического решения задачи, хорошо согласуются с результатами эксперимента [64].

Хотя прямоугольные волноведущие структуры с диэлектриками проще в изготовлении, для кильватерного ускорения предпочтительнее использование цилиндрических волноводов [61, 62]. Исследование электромагнитного поля как точечного заряда, так и последовательности сгустков зарядов, движущихся внутри бесконечного регулярного круглого волновода, однородно заполненного диэлектриком, было представлено в монографии [60]. Были получены выражения для компонент поля излучения Вавилова-Черенкова и квазикулоновского поля источника в случае диэлектрического заполнения, обладающего частотной дисперсией. Процесс генерации кильватерного поля в цилиндрическом волноводе, состоящем из слоя изотропного диэлектрика и центрального вакуумного канала, рассмотрен в работе [40]. В качестве источника использовался точечный заряд и гауссово распределенный пучок частиц. Движение источника происходило параллельно оси волновода. Были получены аналитические выражения для компонент электромагнитного поля. Также было представлено сравнение теоретических результатов с экспериментом [41], которое демонстрирует хорошее совпадение результатов.

Отметим некоторые работы по излучению в полуограниченных волноведущих структурах с диэлектриками. В работе [65] рассматривается случай полубесконечного цилиндрического волновода с металлическими стенками и закороченным металлическим концом, диэлектрическое заполнение волновода предполагается изотропным и недиспергирующим. Были получены точные выражения для электромагнитного поля тонкого кольцевого пучка частиц, описано кильватерное поле источника и переходное излучение. С точки зрения использования данной структуры в методе кильватерного ускорения здесь существенным становится наличие заднего фронта кильватерного поля, что накладывает ограничение на момент введения ускоряемого пучка в структуру.

Отметим, что волноведущие структуры также представляют интерес для задач определения характеристик пучков частиц. С этой целью рассматривалось кильватерное поле пучка частиц, движущегося внутри центрального вакуумного канала в цилиндрическом диэлектрическом волноводе. В работах [66, 67] предложен и обоснован метод диагностики энергетических характеристик пучков, использующий зависимость частот мод кильватерного поля от Лоренц-фактора. Было показано, что уменьшение толщины диэлектрического слоя

приводит к усилению зависимости частоты первой моды кильватерного поля от скорости пучка [67]. Таким образом, предложенный метод наиболее эффективен в случае, когда толщина слоя диэлектрика много меньше радиуса всего волновода. Тогда в широком диапазоне скоростей точность определения энергий задается точностью измерения частоты. Основным преимуществом описанного метода является то, что он является неразрушающим, т.е. почти не оказывает влияния на пучок.

Отдельно отметим ряд работ [19, 34, 68-72], посвященных исследованию электромагнитного поля заряда, движущегося вдоль оси кусочно-регулярного цилиндрического волновода. Рассматривался как случай недиспергирующих сред [34, 69], так и случай, когда одна из областей волновода заполнена средой, обладающей плазменной [19] или резонансной дисперсией [72]. В данных работах вычисление компонент электромагнитного поля проводилось путем представления неизвестного «свободного» поля, связанного с наличием поперечной границы в волноводе, в виде разложения по собственным функциям поперечного оператора задачи. Дальнейший анализ решения проводился с помощью методов теории функций комплексной переменной. Работа [34] описывает случай пересечения зарядом границы между вакуумной областью цилиндрического волновода и областью, однородно заполненной диэлектриком, причем скорость заряда достаточна велика для генерации излучения Вавилова-Черенкова в диэлектрической области волновода. Было показано, что, в случае влета заряда в диэлектрическую часть волновода, в некоторой области за зарядом поле близко к кильватерному полю в неограниченном волноводе, но существует также зона, где волновое поле мало. В работе [71] проводится аналитический и численный анализ электромагнитного поля пучка частиц, который движется внутри цилиндрического диэлектрического волновода и пересекает вакуумную область конечной длины. Было показано, что ЧПИ в вакуумной вставке существует лишь в некотором диапазоне скоростей пучка. Получены выражения для поля ЧПИ как в диэлектрических областях волновода, так и в вакуумной вставке. Показано, что, если ЧПИ присутствует в вакуумной вставке, то можно подобрать длину этой вставки так, что волновое поле в следующей диэлектрической области совпадает с кильватерным полем заряда.

Отметим, однако, что во всех работах об излучении частиц в диэлектрических волноводах с поперечными границами не принималось во внимание наличие вакуумного канала, в котором в действительности происходит движение заряженных частиц. А, между тем, наличие такого канала принципиально меняет поле излучения из-за трансформации мод на поперечной границе (в случае однородного заполнения контактирующих областей

трансформации мод не происходит). Именно таким задачам посвящена настоящая работа. В связи с эти отметим некоторые аналитические методы решения краевых задач в общей теории волноводов.

Такие методы изложены, в частности, в книгах [73-76], в статье [77] и диссертации [78]. В [73] представлены задачи о рассеянии и дифракции волноводных мод в разнообразных открытых и замкнутых неоднородных волноводах. Особо стоит отметить широко используемый метод сшивания или, как его часто называют, метод частичных областей, так как он будет применяться в настоящей диссертации. Данный метод полезен в случае, если рассматриваемая волноведущая структура состоит из набора простых подобластей, в которых электромагнитное поле может быть представлено в виде соответствующих наборов собственных мод. Применение метода сшивания позволяет свести задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений. Метод сшивания в ряде случаев позволяет найти точное решение, например, в задаче о рассеянии поля в плоском разветвленном волноводе [73].

Другой мощный метод, применяемый для решения краевых задач, это метод Винера-Хопфа [73, 74, 79]. Данный метод был разработан в первой трети XX века для решения интегральных уравнений специального вида, когда ядро интегрального оператора зависит от разности аргументов, а интегрирование проводится по полубесконечному интервалу. Подобного рода интегральные уравнения часто возникают в задача дифракции волн. К примеру, в работе [80] метод Винера-Хопфа применен к задаче об отражении поверхностной гибридной ИЕц моды от конца полубесконечной цилиндрической трубки с диэлектрическими

стенками в случае слабого наведения. Более сложные задачи с обрывом волновода рассмотрены, к примеру, в работе [81].

В настоящей работе, прежде всего, проводится анализ трансформации моды, падающей на поперечную границу в круглом бесконечном волноводе между однородной диэлектрической областью и двухслойной областью, состоящей из цилиндрического диэлектрического слоя и центрального канала. Далее исследуются процессы излучения точечного заряда и пучка частиц с гауссовым распределением плотности заряда при их движении с постоянной скоростью по оси вышеописанной волноведущей структуры. Рассматривается случай, когда параметры структуры и скорость источника подобраны таким образом, что излучение Вавилова-Черенкова

генерируется только в двухслойной области волновода из-за превышения скорости заряда над скоростью света в материале диэлектрического слоя.

Актуальность темы. Теоретический анализ электромагнитного поля заряда, движущегося внутри кусочно-регулярного волновода, представляет интерес как с точки зрения развития метода кильватерного ускорения заряженных частиц, так и для создания гигагерцовых и терагерцовых источников излучения на основе диэлектрических волноводов. Следует отметить, что в подавляющем большинстве работ в этой области исследуются бесконечные регулярные слоистые волноводы (обычно круглые, реже прямоугольные). Наличие поперечных границ раздела в таких структурах учитывалось ранее только при условии поперечно однородного заполнения контактирующих областей. Между тем, сочетание слоистой структуры заполнения с поперечной границей раздела приводит к принципиально иным и гораздо более сложным задачам. Их актуальность подчеркивается тем, что применяемые на практике диэлектрические структуры из-за сложностей в их изготовлении имеют относительно небольшую длину (не более десятков сантиметров), так что задача взаимодействия поля пучка с поперечными границами становится весьма важной. Кроме того, стоит отметить, что решение такого рода задач способствует развитию теории волноведущих структур с резкими неоднородностями.

Цель работы заключается в проведении аналитического и численного исследования электромагнитного поля заряда, движущегося с постоянной скоростью вдоль оси круглого волновода с поперечной границей между полубесконечной областью, однородно заполненной диэлектриком, и полубесконечной двухслойной областью, содержащей цилиндрический диэлектрический слой и соосный канал. Рассматривается такая ситуация, когда скорость заряда больше скорости света в материале слоя, но меньше скорости света в однородной области и в канале (основное внимание уделяется случаю, когда эти области являются вакуумными). При этом излучение Вавилова-Черенкова присутствует только в двухслойной области волновода. Для достижения данной цели решаются следующие задачи:

— анализ эффекта трансформации поперечно-магнитной моды на поперечной границе как в случае падения моды со стороны однородной области, так и в случае падения моды со стороны двухслойной области волновода;

— анализ эффекта проникновения черенковского излучения в однородную область волновода в случае вылета заряда из двухслойной области;

— анализ процесса формирования кильватерного поля в двухслойной области волновода в

случае влета заряда в эту область.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена анализу эффекта трансформации падающей поперечно-магнитной моды на границе в круглом волноводе между полубесконечной однородно заполненной областью и полубесконечной двухслойной областью, состоящей из цилиндрического диэлектрического слоя и соосного канала. Предполагается, что все среды заполнения являются однородными, изотропными и не обладают пространственной дисперсией.

В разделе 1.1 проводится рассмотрение задачи о собственных модах бесконечного регулярного двухслойного волновода круглого сечения. Аналитическое решение основано на исследовании поперечного оператора задачи и определении его собственных функций и собственных значений.

В разделе 1.2 и 1.3 рассматривается случай падения поперечно-магнитной моды со стороны однородной области волновода и случай падения моды со стороны двухслойной области волновода соответственно. Используется метод сшивания, заключающийся в представлении отраженного и проходящего поля в виде набора по собственным модам соответствующей области волновода. Применение этого метода совместно с использованием свойств ортогональности собственных мод позволяет свести задачи к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений на коэффициенты модового разложения. Получено приближенное аналитическое решение этих систем уравнений в случае, когда толщина диэлектрического слоя в двухслойной области волновода много меньше его радиуса. Показано, что эффект трансформации падающей моды в таком случае является эффектом первого порядка малости относительно толщины слоя.

В разделе 1.4 представлено описание энергетических характеристик падающего, отраженного и проходящего поля. Получены выражения для среднего за период потока энергии, переносимого в единицу времени через поперечное сечение волновода как в вакуумной, так и двухслойной области волновода. Показано, что в случае падающей

эванесцентной моды её взаимодействие с отраженной эванесцентной модой того же номера может приводить к возникновению потока энергии.

В разделе 1.5. представлено описание оригинального численного алгоритма, позволяющего провести анализ эффекта трансформации падающей моды при произвольных параметрах волновода. Представлены типичные зависимости коэффициентов отражения и прохождения, а также потоков энергии отраженных и проходящих мод от ширины канала в двухслойной области волновода и от частоты падающей моды. Показана возможность существования как одномодового, так и мультимодового режимов в отраженном и проходящем полях. Показано, что возбуждение распространяющихся мод в отраженном и проходящем поле возможно и в том случае, когда падающая мода является местной. Проведено сопоставление результатов, основанных на аналитическом решении задачи, с результатами численного моделирования, выполненного в системе СошБо1 МиШрЬувюБ, и продемонстрировано их хорошее совпадение.

Вторая глава посвящена анализу излучения заряда, пересекающего границу в круглом волноводе между двухслойной областью и однородно заполненной областью. Рассматривается случай, когда среды заполнения являются однородными, изотропными и недиспергирующими, а скорость движения заряда постоянна и такова, что излучение Вавилова-Черенкова генерируется только в двухслойной области волновода.

В разделе 2.1. представлен вывод основной системы уравнений. С этой целью применяется распространённый в теории излучения частиц метод разделения электромагнитного поля в каждой области на «вынужденное» поле, описывающее поле источника, движущегося в безграничном регулярном волноводе, и «свободное» поле, характеризующее влияние поперечной границы волновода. Получена бесконечная система уравнений для коэффициентов модового разложения «свободного» поля.

В разделе 2.2. представлен анализ полученной системы уравнений в случае, когда однородная область волновода и канал являются вакуумными. Основное внимание сфокусировано на исследовании эффекта черенковско-переходного излучения (ЧПИ), т.е. эффекта проникновения черенковского поля через поперечную границу в вакуумную область волновода. Методами теории функций комплексной переменной получены выражения для дискретного спектра «свободного» поля, который описывает поле ЧПИ. Определена область

существования мод ЧПИ и показано, что граница области существования каждой моды движется с групповой скоростью соответствующей моды.

В разделе 2.3. получены выражения для усреднённой мощности ЧПИ. Усреднение проводится по интервалу времени, много большему, чем период всех мод.

Раздел 2.4. посвящен численному анализу ЧПИ. Описан разработанный численный алгоритм расчета компонент поля и усредненной мощности ЧПИ. Представлены частотные и частотно-модовые распределения мощности ЧПИ для различных размеров вакуумного канала в двухслойной области волновода. Показано, что в вакуумной области волновода возможна генерация как одночастотного и одномодового излучения, так и мультичастотного и мультимодового излучения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Григорьева Александра Андреевна, 2018 год

- \

0.9

0.6

0.3

0.2

0.4 0.6

b (см)

0.8

| | И'^''^ и ®®® соответствующий й-параметр |_] и 000 соответствующий Э-параметр

Рис. 1.10. Зависимость абсолютных значений коэффициентов Ж^"^ (верхний ряд) и Ж^^ (нижний ряд) и соответствующих Б-параметров от радиуса канала Ь в случае падения первой моды частоты v = 35 ГГц со стороны двухслойной области. Параметры волноведущей структуры: а = 1 см, 5 = 2, 8с = 1, /с = / = 1. Учитываемое при расчете по оригинальному алгоритму количество мод в отраженном и проходящем полях: N = 6.

¥

0.3

0.2

0.1

1

ч \

\

1

0.2

0.4

0.6

Ь (см)

0.8

- ^ -

0.9

0.6

0.3

0.2

0.4 0.6

Ь (см)

0.8

| | И'^''^ и ®®® соответствующий й-параметр |_] и 000 соответствующий Э-параметр

Рис. 1.11. Зависимость абсолютных значений коэффициентов Ж^) (верхний ряд) и Ж^) (нижний ряд) и соответствующих Б-параметров от радиуса канала Ь в случае падения второй моды частоты v = 35 ГГц со стороны двухслойной области. Параметры волноведущей структуры: а = 1 см, 5^ = 2, 5с = 1, /с = / = 1. Учитываемое при расчете по оригинальному алгоритму количество мод в отраженном и проходящем полях: N = 7.

■10

-з

_ А Л I Д ! Л 1 • 1

\ ! • V

1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ь (см)

Рис. 1.12. Среднеквадратичное отклонение ^ коэффициентов

ж

)

от соответствующих Б-

параметров в зависимости от радиуса канала Ь в случае падения моды со стороны однородно заполненной области. Усреднение проведено по распространяющимся модам отраженного и проходящего поля. Параметры задачи на верхнем графике аналогичны рис. 1.8, на нижнем графике - рис. 1.9.

Рис. 1.13. Среднеквадратичное отклонение ^ коэффициентов

Ж

(г / )

от соответствующих £ -

параметров в зависимости от распространяющихся мод отраженного и проходящего поля в случае падения моды со стороны однородно заполненной области (логарифмический масштаб). Усреднение проведено по радиусу канала от 0.01 см до 0.95 см. Параметры задачи на верхнем графике аналогичны рис. 1.8, на нижнем графике - рис. 1.9.

■10

-з

1

/ V *"'•......•*■ к Л /

0.5

О

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ь (см)

Рис. 1.14. Среднеквадратичное отклонение ^ коэффициентов

ж:

(г / )

от соответствующих

£ -параметров в зависимости от радиуса канала Ь в случае падения моды со стороны двухслойной области. Усреднение проведено по распространяющимся модам отраженного и проходящего поля. Параметры задачи на верхнем графике аналогичны рис. 1.10, на нижнем графике - рис. 1.11.

Рис. 1.15. Среднеквадратичное отклонение s коэффициентов

Wir 'г)

от соответствующих

S -параметров в зависимости от распространяющихся мод отраженного и проходящего поля в случае падения моды со стороны двухслойной области (в логарифмическом масштабе). Усреднение проведено по радиусу канала от 0.01 см до 0.95 см. Параметры задачи на верхнем графике аналогичны рис. 1.10, на нижнем графике - рис. 1.11.

Выводы

В данной главе было проведено аналитическое и численное исследование задачи о трансформации поперечно-магнитной моды, падающей на границу между однородно заполненной и двухслойной областями волновода. Анализировалось падение моды как со стороны однородно заполненной области, так и со стороны двухслойной области. Решение строилось методом сшивания, в основе которого лежит представление отраженного и проходящего поля в виде набора собственных мод.

Прежде всего, было проведено исследование собственных мод бесконечного регулярного двухслойного волновода. Показано, что соответствующая граничная задача является самосопряженной. Представлены выражения для компонент поля моды.

Далее рассматривались две указанные задачи о падении моды на поперечную границу. В обоих случаях получены бесконечные системы уравнений на амплитуды возбуждаемых волноводных мод. Найдены их приближенные аналитические решения в случае тонкого диэлектрического слоя. Показано, что трансформация падающей моды является эффектом первого порядка малости по отношению к толщине слоя.

Для анализа трансформации мод при произвольной толщине слоя был разработан численный алгоритм определения с заданной точностью коэффициентов отражения и прохождения мод, а также их потоков энергии. Алгоритм реализован в пакете МайаЬ. Показано, в частности, что генерация распространяющихся мод в отраженном и проходящем поле возможна даже при взаимодействии эванесцентной моды с границей раздела. В случае падения моды со стороны однородно заполненной области проходящее поле содержит, главным образом, только одну распространяющую моду, номер которой зависит от радиуса канала. В случае падения моды со стороны двухслойной области возможна ситуация, похожая на эффект полного внутреннего отражения, когда коэффициент отражения падающей моды близок к единице, и ее поток энергии на порядок превосходит поток энергии всех проходящих мод.

Было проведено тестирование разработанного алгоритма путем сравнения Б-параметров, найденных с его помощью, и Б-параметров, определенных путем численного моделирования в пакете СошБо1 МиШрЬувюБ. Продемонстрирована высокая точность результатов, получаемых на основе аналитического решения задачи.

Глава 2. Излучение заряда, движущегося из двухслойной области волновода в однородно заполненную область

2.1 Вывод основной системы уравнений

Рассмотрим электромагнитное поле точечного заряда, движущегося вдоль оси круглого волновода, содержащего поперечную границу. Область волновода 2 < 0 является двухслойной с диэлектрической и магнитной проницаемостями 8с, /ис соответственно при 0 < г < Ь и 8с, /

при Ь < г < а. Область г > 0 заполнена средой с проницаемостями 82, / (рисунок 2.1.).

Считаем, что все среды являются однородными, изотропными и не обладают дисперсией (в отличие от предыдущей главы, частотная дисперсия здесь не учитывается, равно как и

пространственная). Будем полагать, что Яе (8с^2 )> 0 и Яе (ис^2 )> 0, то есть мы

рассматриваем только обычные ("правые") среды, исключая из рассмотрения так называемые

"левые" среды. Вообще говоря, среды могут обладать малой диссипацией, т.е. 1т(8сд 2)> 0

при со > 0. Однако мы будем учитывать диссипацию только для установления положения особенностей подынтегральных выражений на комплексной плоскости, а при проведении конечных расчетов будем считать ее пренебрежимо малой.

Источником поля является точечный заряд, который движется с постоянной скоростью V = сР (с - скорость света в вакууме) и пересекает поперечную границу волновода 2 = 0 в нулевой момент времени I = 0. Его объемные плотности заряда и тока соответственно равны

Р(Ч) =Л_ 5{г)_5(г _ vt), = е^Ы (2.1.1)

2ж г

Мы будем рассматривать случай, когда выполнены условия псР> 1, псР < 1, П2Р < 1 ( псл2 =у/8с с,2ис а 2 ) . При этом излучение Вавилова-Черенкова генерируется в области г < 0 и не генерируется в области г > 0.

Использование уравнений Максвелла (1.1.1) и материальных соотношений (1.1.5) позволяет получить следующие уравнения для электромагнитного поля в каждой из областей волновода:

АЕг -

п2 д2 Ег с2 д^

(

4ж дрР' 4я/лсУ др

(*)

Л

8с дг

дл

(2.1.2)

где А - оператор Лапласа; г = 1 в двухслойной области г < 0; г = 2 в однородной области г > 0. Здесь введены обозначения

2 [ес при 0 < г < Ь при 0 < г < Ь

П = , 8 = \ < , Ц1 = \ < .

[еа при Ь < г < а при Ь < г < а

1 V. : ; \ л %Ь / £2, № > ( J 2а г

\Ч : [\ \ V У Ш } Дс 1 \ ' \ N

г = 0

Рис. 2.1. Вылет заряда из двухслойной области волновода

Одновременно с выполнением уравнений (2.1.2) необходимо удовлетворить граничным условиям

Ет1

г=-0

= ЕТ2

г=+0

Ит1

г=-0

= Иг2

г=+0 '

Ет1,т2

= 0.

Ег1

г=Ь-0 = Ет1 г <0

г=Ь+0> нт1 г <0

г=Ь-0 = нт1 г <0

г=Ь+05 г <0

(2.1.3)

(2.1.4)

Представим электромагнитное поле в каждой из областей волновода в виде суммы «вынужденного» поля (с индексом q ) и «свободного» поля (с индексом Ь ):

£1,2 - е 12 * е 1,2 ,

-иУ*Ш.

(2.1.6)

«Вынужденное» поле представляет собой частное решение неоднородных уравнений (2.1.2) с использованием граничных условий на продольных границах (2.1.4), (2.1.5). Оно описывает электромагнитное поле источника, движущегося внутри бесконечного регулярного волновода с характеристиками либо области г < 0, либо области г > 0. «Свободное» поле является решением уравнений (2.1.2) с нулевой правой частью и удовлетворяет граничным условиям на продольных границах (2.1.4), (2.1.5), а также условию экспоненциального убывания с ростом расстояния от поперечной границы при учете диссипации в среде. Сумма «вынужденного» и «свободного» поля должна удовлетворять условию непрерывности тангенциальных компонент поля на поперечной границе (2.1.3).

«Вынужденное» поле точечного источника, движущегося в цилиндрическом волноводе с каналом и в однородно заполненном волноводе, хорошо известно [14, 67]. Оно содержит только

ТМ (поперечно-магнитную) поляризацию с ненулевыми компонентами Е^ ^, Е^ ^, Н^1 ^ (другие

компоненты равны нулю). Представим здесь Фурье-образы компонент «вынужденного» поля (вид преобразования Фурье определен правилом (1.1.3)):

е^) - ^ехр( Ш

Е1гш - 2 еХР I

Жу \ v ,

п2ср2 -1

с'

с

п2ар2 -1 ) — 2

(Ко (кг) + ^ Ч (кг )) при г < Ь

(1)(,г)- н01) (за) т (зг)

0 ('г} Т0 (за) то (8г>

Н

при Ь < г < а

(2.1.7)

ЕЛ-^- ехр

ЖУ I V

—(К1 (кг)-Х(<1 )/1 (кг)) при г < Ь,

Ж ^) 2—,

)-Н^ (')

Н

при Ь < г < а,

(2.1.8)

е(q)

2 2Ю ~

(п|^2-1)

г(1)(.г) Н 01)(з2а ) Ч (шг

(^)--

т0 (з2а)

Т0(з2г)

ехР I

(2.1.9)

е(ч) -

Г „(1), Ч Л , х

ехр Г—1 , (2.1.10)

^)" Н0^ (-2 г)

У

Н^-Ре^ 41, (2.1.11)

где Jод (х) - функции Бесселя первого рода Н01(х) - функции Ханкеля перв°г° рода ^д

( х) -

модифицированные функции Бесселя первого рода, Ко 1 (х) - модифицированные функции Бесселя второго рода, к-— -п2)2 (Яе(к) > 0), - -—^п^р)2 -1 (1т(-) > 0),

(1т(-2)> 0),

-о -

(ч) _ ес-К1 (кЬ) Щ ) + еакК0 (кЬ) Щ (-) у(ч) -- _Jо (-а)_(2112)

ес-/1 (кЬ) Щ )- еак/0 (кЬ) Щ ) ' ес-/1 (кЬ)щ )- еак/0 (кЪ) Щ (-)

«Свободное» поле является неизвестным. Нетрудно видеть, что в рассматриваемой аксиально симметричной ситуации задача разделяется на две независимые задачи для ТМ- и ТЕ-поляризаций. В силу отсутствия у падающего поля ТЕ-поляризации «свободное» поле этой поляризации также не возбуждается. Поэтому «свободное» поле, как и «вынужденное», обладает только ТМ поляризацией.

Поскольку «свободное» поле является решением однородного уравнения (2.1.2), то представим его в левой и правой областях волновода в виде разложения по собственным функциям двухслойного волновода и волновода с однородным заполнением соответственно. Используя (1.1.36) - (1.1.38), для Фурье-образов «свободного» поля в области г < 0 получаем следующие выражения:

Е— _—е 1)Г ^ + 1 ехр (-П, (2.1.13)

—е

1 п_1

V

_-—I ВП] (—(г, — ехр (-41) г), (2.1.14)

Н[% -I41 (—) ^ (г, — ехр (-41 г) . (2.1.15)

п_1

Фурье-образы «свободного» поля в области г > 0, в соответствии с вышесказанным, представляются в виде разложения по функциям Бесселя первого рода:

Е2Ы —£г £ 42)ШК2Т0 иГ~] ехр Шг ), (2.1.16)

шп2 а п-1 [ а) v '

е2% —.Т £ [чп-) ехр Шг), (2.1.17)

соп2а п-1 [ а) \ '

Н{Ц-— £ 42) (ш) Т [л/А ехр Ш г) , (2.1.18)

И2а п-1 [ а) Х '

где т]п - ноль функции Бесселя Т (х), функции Еп (г, ш) определены выражением (1.1.25),

В^'2 (ш) - неизвестные коэффициенты разложения. Продольные волновые числа имеют следующий вид:

# -Vк. -а2СпК2-а]п, 1т(^П1))> 0, (2.1.19)

hn] =i kЬп( )> о, (2.1.20)

где kcd 2 ~ancd2lс. Знаки в аргументах функций exp (—ihj1 z) в (2.1.13) - (2.1.15) и

exp (ih^2) z) в (2.1.16) - (2.1.18) выбраны из требования затухания волн с ростом расстояния от границы.

Сами компоненты поля определятся при вычислении обратных интегралов Фурье:

да да

E =J Eme-imtdrn, H = J Hme—imtdo. (2.1.21)

—да —да

Для определения коэффициентов разложения «свободного» поля B(1'2) (®)

воспользуемся свойством непрерывности тангенциальных компонент полного поля на границе z = 0:

("1® I _ _(

_| н(Ч) + н(ь) " 1 п 2рт п 2фа

г _+0

е (ч) + е (Ь)

г _-0

_( е (ч) + е (Ь)

(2.1.22)

г _+0

Подставляя в условия непрерывности (2.1.22) соответствующие выражения для компонент «вынужденного» и «свободного» поля получаем

А.

же

к (К1 (кг) -х(Ч) 11 (кг) ) при г < Ь

■ (ч)

7 7Г1 >

гжи

н.(1) С) - (-)

/ \

+2 (®) рп (г® _

Ч2

2е

"1(1) М-/1 М 242) (®)1 Ч

30 («2а)

при г > Ь П_1

1

^2 ап_1

а

(2.1.23)

ЖУ

к

—(К1 (кг) - хI (кг) ) при г < Ь

• (ч)

2еа

' - "Й?/. «

н

при г > Ь

да

®2 (®)41} ^ (г ®

® п_1

(2.1.24)

_ Ч2

2у82

(1) - "01 ('2а)

Щ1 («2г) -

30 («2а)

/1 («2г) + 2вП2) (®)^Чп/1 Гчп^1^.

®п2ап_1 V а у

Отметим, что наибольший интерес представляет рассмотрение эффекта выхода излучения Вавилова-Черенкова из двухслойной области волновода в однородно заполненную область. В связи с этим запишем систему на коэффициенты мод «свободного» поля в области 2 > 0. Для этого умножим равенства (2.1.23) и (2.1.24) на собственную функцию двухслойного волновода гт (г,®) (1.1.30) и проинтегрируем по радиусу канала от 0 до а с весовой

функцией г/ 81 . Воспользовавшись свойством ортогональности собственных мод двухслойного волновода (1.1.32), получаем

1 да

+ V ) + В1 (®Рт (®)_ ^ ( + V*) + — 2 42) (®)ЧП (и + ,

2е ^2а п_1

(2.1.25)

да

V - ^2(®) ъ{т1 От (®) _ (V +8^) 2 42) (®) Чп ( + 8^) .(2.1.26)

® 2у80 ®п2 а п_1

2

Здесь используются следующие обозначения (горизонтальная черта означает комплексное сопряжение):

и-1 рт (г,—,¡1 [ г/па )егёг

(2.1.27)

и2 - | Рт (г— ) ¡1 I Гп-у—Лг, Ъ V а у её

(2.1.28)

Ух - |Рт (Г,— (К (кг)-Х(Ч/1 (кг)

0

-М Л (кг) \ —

(2.1.29)

V, --

/9-и

(ч) а_

2у

|Рт (г,—)

Г 1(1) (-Г) -

Н

—ёг,

ес1

(2.1.30)

У3 - |Рт (г, — )

Н«(-2г)-Н01)(-2аЬ ( ^ г

,0 (-2а )

¡1 (-2г )

ёг,

(2.1.31)

К4 - |Рт (г, — )

Н.(1)(-2г)-¡ЙГ^ (-2г)

¡0 ^ -2а)

-ёг.

её

(2.1.32)

Коэффициенты От (—) представляют собой квадрат нормы функции Рт (г, —) и определены формулами (1.1.33) - (1.1.34).

Из (2.1.25) следует выражение, связывающее между собой коэффициенты возбуждения мод «свободного» поля в различных областях волновода:

I В(2(—Гп [[ + и, ]+-Р[К1 + V, ] + ^ [ +Г4 ]. (2.1.33)

От^2а

От

2сОт

Перейдем теперь от двойной системы уравнений (2.1.25) - (2.1.26) к бесконечной системе уравнений на коэффициенты В^ (—) , подставляя (2.1.33) в (2.1.26):

IЫтпВ^ (—) - ^ + й2, т - 1,2...

(2.1.34)

п-1

где элементы матрицы системы М и вектор У представимы в виде

Мтп

Гп

/И?а

и •

+ и, •( ьМ+ер)

тп

е2

е2

(2.1.35)

(1+ьЦ— )(

с V — У

(2.1.36)

у(2) - - щ—

т 0

2лс

Vз

лЛ

^ "т е2 —

+ К,

V

У

е^+ь« л

е? —

(2.1.37)

Интегралы (2.1.27) - (2.1.32) являются табличными [84]. После громоздких преобразований получаются следующие выражения:

мтп -

ГпЪа

2 г0 | гпъ | ¡1 (ст—)^1тп - ат^ ( гп— ) ,0 (астъ)

а

2тп

М?ес

'2 2 2\/2 2 2\ аста -Гп )(аёта -Гп )

(2.1.38)

у(1) - с—а

т

1+ь« л

? —2 \1 т — 7ТУсес (к2 + ас 11

(2.1.39)

У(2

ч—аст

(~2 2\ 7лсе2 1аст - -2 I

1 + е, ь(1) л

1 -г л<т

V ес — У

ч—2Ъ

1

2лсе? ¡0 (-2а

-2 2 и 2 2

аст - -2 I —Ля - -2 )

ас

^0 (оСстЪ)щ (-2 )03т - -2 е,1 ес ¡1 (астЪ)щ (-2 )04т

(2.1.40)

втх)(—)-

даст к? - к,2 1

Ч-2Ъ

1

7ессОт а1т - а2т + к2 2ессОт/0 (2а) ( ~2 -2 ^ ~2

I аст - -2I аёт - -2

Л

-2Щ (-2 )¡1 (астЪ)[ аат - ~а2т - ^ + — ^ 4 её её У

+ -

Ъа

2 ю

вп2)(— )гп

^2есОГ!

т п-1 (аста2 - г;2)(та2 - Г,?)

- астЩ0 (-2 ) J0

Г^0 [ Гп-)¡1 (астЪ)х

2 -2 аёт а ст

х

Г 2 2 Л

2 ес а2 гп ес Гп

аёт аст 2 + 2

е а2 е а2 у

—Г) J.

2

аёт аст

(2.1.41)

где

Олтп ^<2т Г и« ' ш V ¿п2)1 ¿2 У _£т ±ГФ^] V ¿2 у 2 т а V 1_ 8 ] у , (2.1.42)

0^2тп = ^<2т Г иШ) ' ш V ^иД ¿2 , Г и'^ип21! V ¿2 У 2 "п а ¿2 Г 1- V ¿с , , (2.1.43) /

Озт = V , 8 1 + — 8 1 и(1) V "ш с а ] У а2ст Г1 +£1 иЦа ¿с V а Г ^ ^ |1 V ¿с ] 1 У (2.1.44)

04т ' ¿с — + ч ¿2 иШ) V1 "ш а у и^ст ' ' Ш V ¿2 8с1 аУ Г1 -¿с] и« 1 ' ш V ¿<< У V а (2.1.45)