Траектории гравитационного рассеяния и их астрономические приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, доктор физико-математических наук Соколов, Леонид Леонидович

• Соколов, Леонид Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Соколов, Леонид Леонидович

1 ВВЕДЕНИЕ

2 О СВОЙСТВАХ ТРАЕКТОРИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

2.1 Исторические замечания.

2.2 Гравитационные рассеяния

2.3 Глобальная неинтегрируемость задачи N тел

2.4 Хаос, квазислучайность и гравитационные маневры

3 ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ N ТЕЛ

3.1 Основная теорема

3.2 Разлет одиночных тел без сближений

3.3 Разлет двойных.

3.3.1 Области Д), Аз(г)

3.3.2 Мажорантные оценки некоторых величин

3.3.3 Теорема о разлете двойных.

3.3.4 Разлет двойных и одиночек.

3.4 Интегрируемость.

3.4.1 Основная теорема о существовании интегралов

3.4.2 Региональная интегрируемость задачи N тел

3.5 Планетная гиперболическая задача

4 ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ ИТЕРАТИВНОГО МЕТОДА

4.1 Простой вариант ограниченной задачи трех тел

4.2 Численное интегрирование и сходимость итераций

4.3 Характеристики ближайших звезд и условия сходимости итераций

4.4 Влияние звезд на планетные орбиты.

5 ТРАЕКТОРИИ С ОДНОКРАТНЫМ РАССЕЯНИЕМ

5.1 Порождающие решения с обменом, захватом и распадом в ограниченной плоской планетной задаче

5.2 Сходимость итераций для траекторий обмена.

5.3 Метод точечных гравитационных сфер.

5.4 Условия захвата кометы

5.5 О преобразовании эллиптической орбиты

5.6 Оценка влияния несферичности планеты.

6 МНОГОКРАТНЫЕ РАССЕЯНИЯ В ПЛАНЕТНОЙ СИСТЕМЕ

6.1 Порождающие движения.

6.2 Области достижимости для порождающих движений

6.3 Маршрутные схемы в ограниченной круговой задаче

6.4 Построение траекторий с многократными рассеяниями

6.5 Астероид Апофис

6.6 Порождающие квазислучайные траектории Апофис

6.7 Возможные опасные сближения Апофис с Землей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Траектории гравитационного рассеяния и их астрономические приложения»

механической задаче N тел. Увлекательная история развития и взаимообогащения небесной механики и других наук — тема отдельного исследования. Во всяком случае ясно, что актуальность задачи N тел отнюдь не исчерпывается астрономией и механикой космического полета. Актуальность темы обусловлена как многочисленными приложениями траекторий рассеяния задачи N тел в астрономии, так и ролью этой задачи в чистой и прикладной математике. В течение трех столетий она была источником новых математических идей и методов, продолжая играть эту роль и сегодня. В настоящее время исследование свойств траекторий различных динамических систем, выделение семейств хаотических и регулярных движений, доказательство интегрируемости либо неинтегрируемости динамической системы — популярная тема исследований. Описание свойств и характеристик некоторых семейств траекторий одной из классических динамических систем — задачи N тел при произвольном N — является одним из направлений такого рода исследований.

Актуальный объект исследования — астероиды, сближающиеся с Землей (АСЗ). Многократные прохождения вблизи Земли характерны для опасных объектов. Траектории с многократными рассеяниями описывают сложные движения таких астероидов в случаях, когда точное прогнозирование невозможно. Примером, рассматриваемым в настоящей диссертации, служит астероид Апофис — один из самых опасных на сегодня АСЗ.

Необходимо упомянуть и траектории космических аппаратов со многими гравитационными маневрами у планет — один из основных способов передвижения в дальнем космосе в настоящее время.

Одна из важнейших тем исследований в астрономии сегодня — экзопланетные системы, в частности, их динамика и устойчивость. С этой проблематикой непосредственно связан интригующий вопрос о возможности существования высокоорганизованной материи во Вселенной. Большое и все возрастающее число открытых экзо-планетных систем ставит вопросы об условиях их устойчивости в разных смыслах, сценариях динамической эволюции и т.д., в частности — о возможной роли рассеяния звезд на планетных системах в динамической эволюции этих систем.

Цели работы. Основные цели настоящей работы — развитие методов решения небесномеханической задачи N тел, получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий рассеяния, представляющих интерес для астрономии.

Научная новизна работы. Настоящая диссертация посвящена разработке новых методов решения небесномеханической задачи N тел и получению на этой основе новых результатов, качественных свойств и количественных характеристик траекторий небесных тел. Нам удалось получить результаты, справедливые для произвольного А/", а не только для обычно рассматриваемого случая N = 3.

Новыми являются:

1. Конструктивный итеративный алгоритм построения точного решения задачи N тел в конструктивно описанных областях больших энергий вне соударений для произвольного N. Конструктивный алгоритм построения точного решения ограниченной задачи трех тел с обменом. Доказательство сходимости итераций для всех значений времени.

2. Полное качественное описание траекторий в вышеуказанных областях (продолжимость решения на всю ось времени, асимптотическое поведение, региональная интегрируемость и т.д.).

3. Оценка областей применимости итерационного метода построения точных решений и областей существования решений с полученными свойствами. Оценка областей устойчивого движения планеты под действием пролетающей звезды в зависимости от параметров системы.

4. Методы построения порождающих квазислучайных решений для траекторий с многократными рассеяниями вблизи планет. Получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых порождающих решений.

5. Методы численного построения траекторий, соответствующих порождающим квазислучайным движениям. Построение траекторий возможных опасных сближений АСЗ Апофис с Землей в ближайшем будущем.

Научная и практическая ценность работы. В настоящей работе представлен новый метод построения и исследования свойств точных решний небесномеханической задачи N тел, применимый для произвольного N и всех значений времени. Этот итеративный метод работает в конструктивно задаваемых областях пространства начальных данных и параметров с большими энергиями вне соударений. Показано, что в этих областях решение продолжимо на всю ось времени и не содержит соударений; задача N тел там же регионально интегрируема, что не противоречит общеизвестным результатам о (глобальной) неинтегрируемости этой задачи.

Показано, что разработанные методы позволяют проводить исчерпывающее качественное исследование и строить точные решения для всех значений времени в более сложных случаях обмена, захвата и распада в задаче трех тел. Возможны и дальнейшие обобщения на более сложные случаи задачи N тел.

Получены мажорантные оценки размеров областей сходимости итераций, региональной интегрируемости и т.д., а также численные оценки этих областей, в частности условия устойчивости орбит (экзо)планет под действием пролетающих звезд.

Показано, что сложные семейства траекторий с многократными рассеяниями удобно описывать/С использованием аппарата символической динамики. Разработаны методы построения порождающих квазислучайных движений и нахождения их характеристик.

Разработаны численные методы построения траекторий, соответствующих полученным порождающим квазислучайным движениям. Проведено вычисление возможных траекторий опасных сближений и соударений с Землей в ближайшем будущем для АСЗ Апофис, совместимых с сегодняшней точностью знания его орбиты.

Результаты, выносимые на защиту.

1. Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в области больших энергий вне тесных сближений. Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при всех значениях времени в той же области. Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом. Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений.

2. Условия применимости итеративного метода построения решений задачи N тел и области существования решений с найденными свойствами.

3. Метод построения семейств порождающих решений для траекторий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики. Экстремальные характеристики и другие свойства порождающих решений.

4. Метод построения траекторий со многими рассеяниями по порождающим квазислучайным решениям. Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем.

Структура и объем диссертации.

Диссертация объемом 233 страницы состоит из восьми глав, включая введение, заключение, приложение, и списка литературы, содержащего 192 наименования. Число рисунков — 29, таблиц — 31.

Апробация работы. Результаты работ по теме диссертации многократно докладывались на Чтениях по космонавтике, посвященных памяти пионеров исследования космического пространства на секции небесной механики (Москва), а также на семинарах кафедры небесной механики СПбГУ, на семинарах кафедры теоретической механики МГУ (рук. проф. В.В. Козлов), совещании в Центре Управления Полетами (Калининград-Королев Московской области, 1989 г.), на городском семинаре по механике космического полета (рук. В.А. Егоров, В.В. Белецкий, МГУ), на семинаре обсерватории университета Турку (Финляндия, 2001 г.). на конференциях в Институте Теоретической Астрономии РАН и Институте Прикладной Астрономии РАН (Санкт-Петербург), на конференции в Казани (1989 г.), на конференции в Киеве (1990 г.), на(конференции в Архангельске (1995 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (1997 г.), на конференции в ГАИШ МГУ (2003 г.), на совещании-семинаре "От спутников до галактик" (АИ СПбГУ, 2005), на Симпозиумах по теоретической и небесной механике (Великие Луки), на международных конференциях в Петрозаводске (1993 г. и 1995 г.), на Симпозиуме MAC N 172 в Париже (1995 г.), на международной конференции, посвященной памяти проф. К.Ф. Огородникова (Санкт-Петербург, 2000 г.), на международной конференции "Задача N тел. Теория и компьютерное моделирование" (Финляндия, университет г. Турку, 2005), на Поляховских Чтениях (СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Астро-2006" (АИ СПбГУ, Санкт-Петербург, 2006), на конференции "Нелинейный динамический анализ-2007", посвященной 150-летию со дня рождения A.M. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007). Опубликованы резюме многих докладов.

Основные идеи и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [99], [102], [103], [104], [105], [111]. Кроме того, результаты изложены в [98], [100], [101], [177], [108], [109], [178], [179], [45], [110], [160], [73].

В работах, выполненных в соавторстве с К.В. Холшевниковым и посвященных точному решению задачи ÍV тел для всех значений времени, автору принадлежит идея применения итераций пикаров-ского типа для построения решения, и реализация этой идеи для задачи N тел. Автору также принадлежит идея использования сходящихся итераций для получения качественных свойств движений и доказательства интегрируемости, а также обоснование сходимости итераций в задаче N тел в случае больших энергий. К.В. Хол-шевникову принадлежит обобщение метода построения точного решения с использованием итераций на общий случай систем с быстрыми и медленными переменными и математическое обоснование в этом случае. Доказательство существования интегралов дифференциальных уравнений в случаях сходимости итераций к точному решению для всех значений времени получено совместно JI.JI. Соколовым и К.В. Холшевниковым. В работах, выполненных в соавторстве с В.Б. Титовым и A.B. Елькиным и посвященных построению стохастических решений задачи N тел, автору принадлежат основные идеи и методы решения задач. В.Б. Титов и A.B. Ель-кин составляли компьютерные программы по алгоритмам, разработанным автором. Отладка программ и вычисления производились совместно. В совместных с Г.А. Кутеевой работах JLJI. Соколову принадлежат постановки задач и основные методы их решения, вычисления — Г.А. Кутеевой. Оформление результатов производилось совместно. В работах, выполненных совместно с A.A. Башаковым и Н.П. Питьевым JI.JI. Соколову принадлежит построение порождающих траекторий астероида Апофис после 2036 года и их вычисление. A.A. Башакову и Н.П. Питьеву — создание и адаптация соответствующих программ, а также выбор множества начальных данных.

Общая структура диссертации

Первая глава — введение — содержит постановку задачи и ее обоснование (актуальность, новизна, научное и практическое значение), краткое изложение содержания, выносимые на защиту результаты, а также перечень основных публикаций и конференций, симпозиумов, семинаров, где докладывались результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Соколов, Леонид Леонидович

ГЛАВА 7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными целями настоящей работы было развитие методов решения небесномеханической задачи N тел, а также получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий рассеяния, в том числе представляющих интерес для астрономии.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Итеративный метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в области больших энергий вне тесных сближений. Сходимость итераций к точному решению задачи N тел при; всех значениях времени в той же области. Сходимость итераций к точному решению ограниченной задачи трех тел при всех значениях времени для траекторий рассеяния с обменом. Региональная интегрируемость задачи N тел и другие свойства получаемых решений:

2. Условия применимости итеративного метода построения решений; задачи N тел и области существования решений с найденными свойствами.

3. Метод построения семейств порождающих решений для траекторий со многими рассеяниями с использованием аппарата символической динамики. Экстремальные характеристики и другие свойства порождающих решений.

4. Метод построения траекторий со многими рассеяниями по порождающим квазислучайным решениям. Траектории возможных опасных сближений с Землей астероида Апофис в ближайшем будущем.

В диссертации представлен конструктивный метод, позволяющая получать как "простые" траектории рассеяния задачи N тел (без многократных тесных сближений) с произвольной точностью для всех значений времени, так и оценки различных характеристик этих движений, их качественные свойства. Представлены оценки области применимости, конкретизированные в ряде примеров. В частности, дано описание областей, где задача N тел интегрируема в классическом смысле слова. Эти области устроены сравнительно просто, занимают большой объем в пространстве начальных данных и параметров. Параметры, соответствующие интегрируемым случаям, могут встречаться в астрономических задачах. В частности, интегрируема задача о движении Солнца, планеты и пролетающей звезды при значениях параметров того же порядка, что и в реальности. Подробнее основные результаты, касающиеся интегрируемых траекторий рассеяния, можно сформулировать так: для задачи N тел при произвольном N и произвольных значениях масс тп в фазовом пространстве построены области бесконечной лебеговой меры, в которых движение определено для всех £ € (—оо, оо). Качественно эти области можно описать следующим образом. Система Аг тел разбивается на тесные двойные и одиночные подсистемы. Пусть начальные координаты и скорости заданы так, что в порождающем прямолинейном равномерном движении центров масс подсистем нет тесных сближений (на расстояния порядка, размеров тесных двойных). Истинное движение слабо отличается от порождающего для достаточно малых масс тел, либо для достаточно больших скоростей центров масс подсистем, либо для достаточно больших расстояний между этими центрами масс в начальный момент. Оскулиру-ющие векторы площадей и Лапласа двойных вечно близки к своим начальным значениям; движение центров масс двойных близко к прямолинейному равномерному. Тесные сближения центров масс подсистем отсутствуют. Асимптотически "на бесконечности" движение центров масс стремится к прямолинейному равномерному, движение тесных двойных — к эллиптическому. Решения в этой области построены конструктивно с помощью разработанной нами итеративной процедуры, являющейся существенной модификацией итераций пикаровского типа. Быстрая сходимость итераций гарантирована для всех значений времени. В вышеуказанных областях фазового пространства существует полный набор автономных однозначных аналитических интегралов. Уже в приведенном здесь виде наши результаты доказывают ослабленную гипотезу Алексеева: задача трех тел интегрируема в некоторой части областей, указанных автором гипотезы. Представляется перспективной задача максимального расширения области интегрируемости, хотя бы при некоторых конкретных значениях масс.

Полученные результаты допускают дальнейшее развитие во многих направлениях. Речь идет об уточнении областей применимости разработанных методов и применении этих методов в различных конкретных задачах. Представляется перспективной задача максимального расширения области интегрируемости задачи N тел. На базе рассмотренной модификации метода Пикара возможно построение эффективных численных алгоритмов и программ, по крайней мере такая попытка представляется целесообразной. Расширение области применимости метода на другие варианты задачи N тел, а не только на рассмотренные в главе 5 случаи с одним сближением, также представляется перспективным. Как известно, во многих случаях динамическая эволюция в задаче трех и большего числа тел приводит к распаду. Это позволяет надеяться на получение полного описания движений в таких случаях.

Исчерпывающее описание движений разбегающихся гравитиру-ющих материальных точек, полученное в главе 3, вероятно, может быть обобщено на случаи разбегающихся твердых тел. При этом не исключено, что встретятся новые интегрируемые динамические системы.

Полученные в главе 4 результаты свидетельствуют о применимости доказанных в главе 3 теорем к реальным астрономическим системам. Мажорантные оценки, использованные в этих теоремах, как правило завышают условия интегрируемости на 2—4 порядка. Это видно из сравнения с результатами численного интегрирования.

Движение планеты, возмущенное пролетающей звездой, является простым (интегрируемым) лишь в случае малых возмущений. Поэтому границы устойчивости эллиптического движения планеты, а также некоторые свойства возмущенного движения (условия различных сценариев распада, условия сохранения большой полуоси планеты) были получены в гл. 5 численно. Учитывая актуальность исследования динамической эволюции и орбитальной устойчивости все большего числа экзопланетных систем, интересно оценить роль и влияние их ближайших окрестностей. Особенно интересно рассмотреть влияние возмущений от ближайших звезд на взаимные возмущения экзопланет. Эта задача еще не обсуждалась в литературе.

В главе 5 рассмотрен имеющий важные астрономические приложения случай рассеяния траекторий малого тела у планет Солнечной системы. Обсуждается известный метод точечных гравитационных сфер, который во многих случаях дает простое и достаточно точное описание результатов однократного рассеяния. В частности, в параграфе 5.4 рассмотрены условия, при которых возможен захват межзвездной частицы в Солнечную систему. Обычно рассматриваются результаты рассеяния малых тел на массивном теле, которое считается точкой. В параграфе 5.6 получены оценки влияния несферичности планеты на траектории рассеяния. Результаты применяются к сближению астероида Апофис с Землей в апреле 2029 года. Показано, что в настоящее время при современной точности знания траектории этого астероида влиянием несферичности Земли еще можно пренебречь.

Сложный случай многократных рассеяний (глава 6) имеет важные приложения — гравитационные маневры космических аппаратов, а также движение астероидов, сближающихся с Землей. Потеря детерминированности, связанная с многократными сближениями, требует использования наряду с численным интегрированием специфических методов описания квазислучайных движений, ведущих к соударениям. В диссертации представлен метод построения порождающих квазислучайных решений, использующий приемы символической динамики и метод точечных гравитационных сфер. Разработан также метод вычисления траекторий, соответствующих этим порождающим решениям. Для недавно открытого астероида Апо- ■ фис, одного из самых опасных на сегодня АСЗ, с использованием этих методов удалось получить множество возможных (исходя из современной точности знания орбиты Апофис) тесных сближений и соударений с Землей после 2036 года. Подробное изучение окрестностей этих (и других подобных) траекторий — задача исключительной важности.

ГЛАВА 8

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Соколов, Леонид Леонидович, 2007 год

1. Алексеев В.М. Обмен и захват в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. 108, N 4, 1956, с. 599-602.

2. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. I. Квазислучайные диффеоморфизмы. Математический сборник, т. 76, N 1, 1968, с. 72-134.

3. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. II. Одномерные нелинейные колебания в периодически возмущаемом поле. Математический сборник, т. 77, N 4, 1968, с. 545-601.

4. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов. Математический сборник, т. 78, N 1, 1969, с. 3-50.

5. Алексеев В.М. Финальные движения взадаче трех тел и символическая динамика. Успехи математических наук, т. 36, N 4, 1981, с. 161-176.

6. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск, РХД, 2001, 156 с.

7. Антонов В.А. Соотношение упорядоченности и беспорядка в движении тела в гравитирующей системе. Докторская диссертация. Ленинград, 1983, 161 с. .

8. В.А. Антонов, Е.И. Тимошкова, К.В. Холшевников. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М., Наука, 1988, 272 с.

9. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя. Известия АН СССР, т. 25, N 1, 1961, с. 21-86.

10. Арнольд В.И. Малые знаменатели. II. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Успехи математических наук, т. 18, N 5, 1963, с. 13-40.

11. Арнольд В. И. Малые знаменатели. III. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. Успехи математических наук, т. 18, N 6, 1963, с. 81-192.

12. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. Доклады АН СССР, т. 156, N 1, 1964, с. 9-12.

13. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1971, 240 с.

14. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1979, 432 с.

15. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М., ВИНИТИ, 1985, с. 5-304.

16. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М., УРСС, 2002, 416 с.

17. Бабаджанянц Л.К. -Продолжимость и представимость решений в задачах небесной механики. Труды ИТА АН СССР, вып. XVII, 1978, с. 3-45.

18. Батраков Ю.В., Емельянов Н.В. О поверхности влияния планеты. Астрономический Вестник, т. 29, N 3, 1995, с. 266-274.

19. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М., Наука, 1977, 360 с.

20. Белецкий В.В., Хентов A.A. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород. Нижегородский гуманитарный центр, 1995, 430 с.

21. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.-Л., Гостехиздат, 1941 (1927).

22. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотичесие методы в теории нелинейных колебаний. Физматгиз, 1963.

23. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. М., Наука, 1990, 296 с.

24. Быкова Л.Е., Тимошенко Л.В. Околоземные астероиды: сближения с большими планетами, трансформация орбитальных элементов. Труды Томского госуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 16, 1998, с. 183-238.

25. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. Связьиздат, 1935.

26. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 1. Качественное исследование. Космические Исследования, т. XIX, вып. 1, 1981, с. 5-18.

27. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 2. Количественные характеристики. Космические Исследования, т. XIX, вып. 2, 1981, с. 165-177.

28. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит астероидов, не принадлежащих основному поясу. Космические Исследования, т. XIX, вып. 4, 1981, с. 528-538.

29. Виноградова Т.А. Определение возможности столкновения астероидов с Землей. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005). Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005, с. 89-91.

30. Всехсвятский С.К., Гулиев A.C. Система колец Урана — пример эруптивной эволюции спутников планет. 1981. Астрономический журнал, т. 58, вып. 3, 1981, с. 630-635.

31. ГалушинаТ.Ю. Численное моделирование движения резонансных астероидов, сближающихся с Землей. Кандидатская диссертация. Санкт-Петербург, 2006, 189 с.

32. Гаязов И.С. Использование высокоточных наблюдений геодезических и навигационных ИСЗ для решения задач геодинамики. Докторская диссертация. Санкт-Петербург, 2004.

33. К.Г. Георгиев, О.В. Папков. Траектории полета к Юпитеру с использованием гравитационного поля Марса. Космические Исследования, т. XVI, N 1, 1978, с. 38-43.

34. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М., Наука, 1971, 444 с.

35. Гребеников Е. А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М., Наука, 1979, 442 с.

36. Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М. Наука, 1977, 228 с.

37. Джаблави А.И., Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оптимизаций одноимпульсных полетов. Космические Исследования, т. 33, N 6, 1995, с. 646-651.

38. Дубошин Г.Н. (ред.) Справочное руководство по небесной механике и астродинамке. М., Наука, 1976, 864 с.

39. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. I. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4. М., ВИНИТИ, 1985, с. 179-285.

40. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. М., Наука, 1980, 544 с.

41. Елькин A.B., Соколов Л.Л. Построение и характеристики траекторий с гравитационными маневрами. Труды XIX Научных чтений по космонавтике. Прикладная небесная механика и управление движением. Москва, ИИЕТ РАН, 1995, с. 10.

42. Елькин A.B., Соколов Л.Л., Титов В.В., Шмыров A.C. Квазислучайные движения в гравитационном поле N планет. Труды Астрономической Обсерватории СПбГУ. Том XLV, 2003, с. 73 -114.

43. Емельяненко В.В. Динамическая эволюция комет и метеорных роев. Докторская диссертация. Челябинск, 1993, 310 с.

44. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тиссерана. I. Орбитальная эволюция. Астрономический Вестник, т. 31, N 3, 1997, с. 257-267.

45. Емельяненко Н.Ю. Короткопериодические кометы с высоким значением постоянной Тиссерана. II. Сближения с Юпитером и другими планетами-гигантами. Астрономический Вестник, т. 31, N 6, 1997, с. 516-522.

46. Заботин A.C., Кочетова О.М., Шор В.А. Сближение малой планеты (99942) Апофис = 2004 MN4 с Землей в 2029 г. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005) Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005/с. 134-137.

47. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М., Наука, 1984.

48. Зигель К., Мозер Ю. Лекции по небесной механике. Ижевск, РХД, 2001, 384 с.

49. Иванов В.В., Кривов A.B., Денисенков П.А. Парадоксальная Вселенная. 175 задач по астрономии. Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997, 144 с.

50. Казимирчак-Полонская Е.И. Основные задачи исследования сближений комет с большими планетами. Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 3-18.

51. Казимирчак-Полонская Е.И. Обзор исследований тесных сближений короткопериодических комет с Юпитером (1770-1960). Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 19-190.

52. Казимирчак-Полонская Е.И. Движение кометы Вольфа в сфере действия Юпитера в 1922г. и представление ее наблюдений в 1925 г. Труды ИТА АН СССР, вып. VII, 1961, с. 191-312.

53. Казимирчак-Полонская Е.И. Численная теория движения кометы Вольфа на интервале 1884-1984 гг. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII, 1982, с. 3-77.

54. Казимирчак-Полонская Е.И. Определение массы Юпитера по возмущениям орбиты кометы Вольфа в сфере его действия в 1922 г. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII, 1982, с. 78-90.

55. Казимирчак-Полонская Е.И. Объединение пяти появлений кометы Ашбрука-Джексона за 1948-1979 гг. и предвычисление ее появления в 1985-1986 гг. Труды ИТА АН СССР, вып. XVIII,1982, с. 91-106.

56. Кастель Г. Р. Современное состояние исследования транснепту-новых объектов. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", ИЛА РАН,

57. Санкт-Петербург, 2000, с. 283-284.

58. Коган А.Ю. Орбиты с периодическими облетами Луны и их применение в радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой. Космические Исследования, т. XXIV, вып. 1, 1986, с. 52-57.

59. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. Успехи математических наук, т. 38, N 1,1983, с. 3-67.

60. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем. Прикладная математика и механика, т. 52, N 4, 1988, с. 531-541.

61. Козлов В.В. К теории возмущений гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями. Вестник Московского Университета, серия "Математика, Механика" N 2, 1988, с. 55-61.

62. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильто-новой механике. Ижевск, Изд. Удмуртского госуниверситета, 1995,432 с.

63. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Доклады АН СССР, т. 98, N 4, 1954, с. 527-530.

64. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. Серия "Современные проблемы математики". Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (обзорные доклады). Гос.изд-во физ.-мат. литературы, М., 1961, с. 187-208.

65. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М., Наука, 1980, 384 с.

66. А.Н. Крылов. Собрание трудов, т. VII, 1936.

67. Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оценка нормы гармоник геопотенциала и его градиента в вещественной и комплексной области. Астрономический журнал, т. 69, вып. 5, 1992, с. 1106 -1111.

68. Кузнецов Э.Д. Сравнительный анализ моделей гравитационного поля Земли. 1. Сравнение равномерных норм сферических функций. Космические исследования, т. 38, N 1, 2000, с. 108 -112.

69. Кузнецов Э.Д., Соколов Л.Л. Нелинейная эволюция орбиты спутника баллона. Космические Исследования, т. 39, N 6, 2001, с. 648-656

70. Кузнецов Э.Д., Соколов Л.Л. Нелинейная эволюция эксцентриситета орбиты сферически-симметричного спутника баллона. Космические Исследования, т. 44, N 6, 2006, с. 607-614

71. Кутеева Г.А., Соколов Л.Л. Области устойчивого движения эк-зопланет. Труды IV Поляховских Чтений. СПбГУ, 2006, с. 270 -277.

72. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. 1984. М., Мир, 1984.':

73. Ляпунов A.M. Собрание сочинений, т. I. М., Изд. АН СССР, 1954.

74. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М., Гостехиздат, 1952.

75. Маршал К. Задача трех тел. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 640 с.

76. Мерман Г.А. К вопросу об исследованиях Шази в задаче трех тел. Бюллетень института теоретической астрономии АН СССР, 5:9(72), 1954, с. 594-605.

77. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. Успехи математических наук, т. 23, N 4, 1968, с. 179-238.

78. Нежинский Е.М. Оценка звездных возмущений в движении больших планет Солнечной системы. Астрономический журнал, т. 53, N 5, 1976, с. 1137-1140.

79. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М., Наука, 1987, 424 с.

80. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М., Мир, 1975, 304 с.

81. Носков Б.Н. Орбиты гиперболического типа в задаче двух неподвижных центров. I. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга, Издательство Московского Университета, N 159, 1969, с. 14-42.

82. Носков Б.Н. Орбиты гиперболического типа в задаче двух неподвижных центров. II. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга, Издательство Московского Университета, N 159, 1969, с. 43-54.

83. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., Наука, 1990, 448 с.

84. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1970, 280 с.

85. Питьева Е.В. Современные численные теории движения Солнца, Луны и больших планет. Труды ИПД РАН, вып. 10 "Эфемеридная астрономия", "Расширенное объяснение к Астрономическому ежегоднику", гл. 6, 2004, с. 112-134.

86. Питьева E.B. Высокоточные эфемериды планет — ЕРМ и определение некоторых астрономических постоянных. Астрон. вестн., т. 39, N 3, 2005, с. 202-213.

87. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды (в трех томах), М., Наука, т. I 1971, 772с., т. II 1972, с.8-452.

88. Резонансы в небесной механике. Сборник работ. Серия: Современная небесная механика. Гл. ред. В.В. Козлов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2006, 316 с.

89. Рубинов A.B. Динамическая эволюция кратных звезд; влияние начальных параметров системы. Астрон. ж., 2004, т. 81, N 1, с. 50-57.

90. Сафронов B.C. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М., Наука, 1969, 224 с.

91. Себехей В. Теория орбит. М., Наука, 1982, 156 с.• 94. Странные аттракторы. Сборник статей. Серия: Математика. Новое в зарубежной науке. Перевод под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М., Мир, 1981, 256 с.

92. Ситников К.А. О возможности захвата в задаче трех тел. Математический сборник, т. 32(74), N 3, 1956, с. 693-705.

93. Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. 33, N 2, 1960, с. 303-306.

94. Астероидно-кометная опасность. Под ред. А.Г.Сокольского. ИТА РАН, МИПАО, Санкт-Петербург, 1996. 244 с.

95. Соколов Л.Л. О некоторых решениях гиперболической ограниченной задачи трех тел (предельный случай больших эксцентриситетов). Труды Томского гоуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 14, 1986, с. 93-102.

96. Соколов JI.Л., Холшевников К.В." Об интегрируемости задачи N тел. Письма в "Астрономический журнал", т. 12, N 7, 1986, с. 557-561.

97. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О точном решении задачи N тел в области больших энергий. Труды Астрономической обсерватории Ленинградского университета, т. 41, вып. 63, 1987, с. 175-193.

98. Соколов Л.Л. О построении аналитических решений задачи N тел. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В. Холшев-никова. Изд. Казанского университета, 1990, с. 11- 17.

99. Соколов Л.Л., Титов В.Б., Холшевников К.В. О свойствах некоторых движений космического аппарата вблизи Юпитера. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 3, 1990, с. 107-112.

100. Соколов Л.Л., Титов В.Б. Траектории КА с гравитационными маневрами. 1991. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 3,1991, с. 111-114. •

101. Соколов Л.Л. Решения задачи трех тел и случайные процессы. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып. 4, 1991, с. 30-38.

102. Соколов Л.Л., Холшевников К.В". Региональная интегрируемость задачи N тел. Дифференциальные уравнения, т. 28, N 3, 1992, с. 437-441. .;.

103. Соколов Л.Л., Титов В.Б. Построение неустойчивых траекторий в ограниченной JV-планетной задаче. Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии". Тезисы докладов. Т.2. Санкт-Петербург, ИТА РАН, 1994, с. 71-72.

104. Л.Л. Соколов, A.B. Елькин. О последовательных прохождениях АСЗ в окрестностях Земли. Астероидная опасность-95.23.25 мая 1995г. С.-Петербург. Тезисы докладов. Том 2, 1995, стр 41.

105. Соколов JI.JI. О решении неинтегрируемых задач динамики. Proceedings of the International Conference "Structure and Evolution of Stellar Systems", Petrozavodsk, Karelia, Russia, 13 -17 August 1995. St.Petersburg, 1997, p. 16-22.

106. Соколов JI.JI. Орбиты соударения и квазислучайные движения. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2000, с. 225-226.

107. Соколов JI.JI., Холшевников К.В. Аналитическое представление решения задачи N тел в некоторых областях фазового пространства. Труды Института прикладной астрономии РАН, вып. 11, 2004, с. 151-192.

108. Соколов JI.JI. О решении задачи N тел в области больших энергий вне соударений. Вестник Санкт-Петербургского университета, сер. 1, вып. 1, 2005, с. 125-137.

109. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М., Наука, 1968, 800 с.

110. Суханов A.A. Двойные облеты планет в космических полетах. Препринт 1858 ИКИ РАН, М., 1993, 38 с.

111. Томанов В.П., Кузьмин C.B., Аксеновский А.Г. Захват межзвездных комет. Астрономический вестник, т. 28, N 2, 1994, с. 83- 94.

112. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL: ГИТТЛ, 1937, 500 с.

113. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970, 720 с.

114. Хильми Г.Ф. О возможности захвата в задаче трех тел. Доклады Академии Наук СССР, т. LXII, N 1, 1948, с. 39-42.

115. Холшевников К.В., Мищук Ю.Ф. Влияние звездных сближений на планетные орбиты. Вестник Ленинградского Университета, N 7, 1983, с. 72-81.

116. К.В.Холшевников, Л.Л.Соколов, Е.И.Тимошкова, В.Б.Титов. О точности прогнозирования орбитального движения ИСЗ. Вестник ЛГУ, 19, 1984, с. 68-71.

117. Холшевников K.B. Асимптотические методы небесной механики. Учебное пособие. Издательство Ленинградского университета, 1985, 208 с.

118. Холшевников К.В. Об интегрируемости в небесной механике. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В.Холшевникова. Изд. Казанского университета, 1990, с. 5-10.

119. К.В.Холшевников, Н.П.Питьев, В.Б.Титов. Притяжение небесных тел. Учебное пособие. СПбГУ, 2005, 108 с.

120. К.В.Холшевников, Э.Д.Кузнецов. Обзор работ по орбитальной эволюции больших планет Солнечной системы. Астрономический вестник, 41, 4, 2007, с. 304-341.

121. Цицин Ф.А., Чепурова В.М., Генкин И.Л. Реликтовый резервуар кометных тел как источник пыли в Солнечной системе. Кометный циркуляр, N 405, 1989, с. 5-7.

122. A.B. Цыганов. Интегрируемые системы в методе разделения переменных. Москва-Ижевск, РХД, 2005, 384 с.

123. Чепурова В.М. Определение элементов промежуточной орбиты по начальным данным в гиперболическом движении. Сообщения Государственного Астрономического Института им. П.К.Штернберга. Издательство Московского Университета. N 159, 1969, с. 3-13.

124. Шевченко И.И. Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике. Докторская диссертация. Санкт-Петербург, 2000, 257 с.

125. Шмидт О.Ю. О возможности захвата в небесной механике. Доклады Академии Наук СССР, 582, 1947, с. 213-216.

126. Шустер Г. Детерминированный хаос. М., Мир, 1988, 240 с.

127. Ягудина Э.И., Шор В.А. Орбита АСЗ (99942) Апофис = 2004 MN4 из анализа оптических и радарных наблюдений. Всероссийская конференция "Астероидно-кометная опасность — 2005" (АКО-2005) Материалы конференции. СПб., ИПА РАН, 2005, с. 355-358.

128. Batrakov Yu.V., Kudiellka V. On possible transfer of interstellar comets to the family of NEO. Тезисы докладов конференции "Астероидная опасность-93", ИТА РАН МИПАО, Санкт-Петербург, 1993, с. 56-57.

129. Bekker L. On capture orbits. Monthly Notices Royal Astron. Soc., v. 809, 1920, p. 590-597.

130. Belorizky D. Recherches sur l'application pratique des solutions générales du problème des trois corps. J. des Observ., 16, 1933, p. 109- 132, 149-172, 189-211. '

131. Bolotin S.V., Mac-Kay R.S. Periodic and Chaotic Trajectories of the Second Species of the N-Center Problem. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 77, 2000, p. 49-75.

132. Bruno A.D. On periodic flybys of the Moon. Celestial Mechanics, v. 24, 1981, p. 255-268.

133. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps quand le temps croit indéfiniment. Ann. Ecole Norm. Sup., 3 sér., 1922, p. 29-130.

134. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps. J. Math. Pures et AppL, 8, 1929, p. 353-380.

135. Chazy J. Sur l'allure finale du mouvement dans le problème des trois corps. Bull. Astr., v. 8, 1932, p. 403-436.

136. Chesley S.R. Potential Impact Detection for Near-Earth Asteroids: The Case of 99942 Ariose (2004 MN4). Asteroids, Comets, Meteors. Proceedings IAU Symposium No. 229, S. Ferraz-Mello, D. Lazzaro, eds., Cambridge University Press, 2006, p. 215-228.

137. Chirikov B.V., Vecheslavov V.V. Chaotic dynamics of comet Halley. Astronomy and Astrophysics, v. 221, 1989, p. 146-154.

138. Clube S.V.M., Napier W.M. Comet capture from molecular clouds: a dynamical constraint on star and planet formation. Monthly Notices Royal Astronomical Soc., v. 208, 1984, p. 575-588.

139. Dragt A.J., Finn J.M. Insolubility of trapped particle motion in a magnetic dipole field. J. Geophys. Res., 1976, 81, N 13, 1976, p. 2327-2340.

140. Everhart E. Implicit single sequence method for integrating orbits. Celestial Mechanics, v. 10, N 1, 1974, p. 35-55.

141. Fernandez J.A., Ip W.-H. On the' time evolution of the cometary influx in the region of the terrestrial planets. Icarus, v. 54, 1983, p. 377-387. /

142. A. W. Harris. Mitigation: What Makes Sense? "Near-Earth Objects Hazard: Knowledge and Action". Belgirate (Italy) 26-28 April 2006.

143. Heggie D.C. Binary evolution in stellar dynamics. Mon. Not. R. Astr. Soc., 173, 1975, p. 729-787.

144. Heggie D.C., Hut P., McMillan S.L.W. Binary-single-star scattering. VII. Hard binary exchange cross sections for arbitrary for arbitrary massratios: numerical results and semianalytic fits. The Astronomical Journal, 467, 1996, p. 359-369.

145. Heggie D.C. Gravitational Scattering. Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations. C.Flynn, ed. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, v. 358, 2006, p. 20-28.

146. Hills J.G. Comet showers and the steady-state infall of comets from the Oort cloud. Astronomical Journal, v. 86, 1981, p. 1730-1740.

147. Hills J.G. Close encounters between a star-planet system and a stellar intruder. The Astronomical Journal, v. 89, N 10, 1984, p. 1559-1564.

148. Hut P. Hard binary-single star scattering cross sections for equal masses. The Astrophysical Journal Supplement Series, 55, 1984, p. 301-317.

149. G. Kuteeva, L. Sokolov. Exoplanets orbital evolution under the influence of nearby stars. Few-Body Problem: Theory and

150. Computer Simulations. Annales Universitatis Turkuensis, Series 1A, C.Flynn, éd., y. 358, 2006, p. 131-134,

151. Laplace P.S. Exposition du Système du Monde. Paris. 1796.

152. Laskar J., Froeschle C., Celletti A. The measure of chaos by the numerical analysis of the fundamental frequencies. Application to the standard mapping. 1992. Physica D. v. 56, 1992, p. 253-269.

153. Laskar J. Frequency analysis for multi-dimensional systems. Global dynamics and diffusion. 1993. Physica D. v. 67.1993, p.257-281.

154. Laskar J. Large-scale chaos and marginal stability in the Solar system. 1996. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 64, N 2, 1996, p. 115-162.

155. Lyttelton R.A., Yabushita S. MNRAS, 129, 1965, 105.

156. Longuski J.M., Williams S.N. Automated design of gravity-assist trajectories to Mars and the outer planets. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v. 52, 1991, p. 207-220.

157. Lorenz E.M. Deterministic Nonperiodic Flow. J. Atmos. Sci. 20, 1963, 130.

158. Mullary A.A., Orlov V.V. Encounters of the Sun with nearby stars in the past and future. Earth, Moon and Planets, V. 72, 1996, p. 1923.

159. Oort J.H. The structure of the cloud of comets surrounding the solar system and hypothesis concerning its origin. Bull, of the Astron. Inst, of the Netherlands, v. 11, N 408, 1950, p. 91-110.

160. Patel M.R. et al. A Uranus-Neptune-Pluto opportunity. Acta Astronautica, v. 36, N 2, 1995, p. 91-98.

161. Pitjeva E.V. Modern numerical ephemerides of planets and the importance ofranging observation for their creation. Celest. Mesh., Dyn. Astr., 80, N 3/4, 2001, p. 249-271.

162. Pucacco G., Rosquist K. Non-integrability of a weakly integrable Hamiltonian system. Cel. Mech. Dyn. Astr., 1-2, 2003, p. 1-23.

163. Rubinov A.V., Petrova A.V. and Orlov V.V. Dynamics of multiple stars. Publ. Astron Obs. Belgrade, N 75, 2003, p. 17-25.

164. Saari D.G. Expanding gravitational systems. Trans. Amer. Math. Soc., 156, May 1971, p. 219-240.

165. Shor V.A., Yagudina E.I. Apophis approaches with the Earth. "Near-Earth Objects Hazard: Knowledge and Action". Belgirate (Italy) 26-28 April 2006.

166. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. Differential and Combinatorial Topology (ed. S.S. Cairns). Princeton University Press, 1965, p. 63-80.

167. Sokolov L.L. Families of Integrable and Stochastic Trajectories in the N-Body Problem. Astronomy and Astrophysics Transactions, v.7, N 4, 1995, p. 275-276.

168. Sokolov L.L. On the Comet Capture Conditions. Proceedings of the International Conference "Stellar Dynamics: from Classic to Modern", held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, AI SPbSU, 2001, p. 255-259.

169. Standish E.M.- Newhall XX, Williams J.G., Folkner W.M. JPL Planetary and Lunar Ephemeredes, DE403/LE403. Interoffice Memorandum, 314.10-127, 1995, 22 p.

170. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar ephemeredes, DE405/LE405. Interoffice Memorandum, 312.F-98-048, 1998, 18 p.

171. Sterzik M.F.; Durisen R.H. The dynamic decay of young few-body stellar systems, I. The effect of a mass spectrum for N = 3,4, and 5. Astron. Astrophys., 339, 1998, p. 95-112.

172. Sterzik M.F., Tokovinin A. A. Relative otientation of orbits in triple stars. Astron. Astrophys., 384, 2002, p. 1030-1037.

173. Sukhanov A.A. Trajectory design for the mission "Hannes". Acta Astronáutica, v. 39, N 1-4, 1996, p. 25-34.

174. Sundman K.F. Memoire sur le problème des trois corps. Acta math., 36, 1912, p. 105-179.

175. Torbett M.V. Capture of = 20km, je interstellar comets by three-body interactions in the planetary system. The Astronomical Journal, v. 92, N 1, 1986, p. 171-175.

176. Valtonen M.J., Innanen K.A. The capture of interstellar comets. The Astrophysical Journal, v. 255, 1982, p. 307-315.

177. Valtonen M.J. The General Three-Body Problem in Astrophysics. Vistas in Astronomy, v. 32, 1988, p. 23-48.

178. Valtonen M., Karttunen H. The Three-Body Problem. Cambridge University Press, 2006, 345 p.

179. Weissman P.R. et al. Close Approachess of Stars to the Solar System. 29th" DPS Meeting Abstracts, Bulletin of the American Astronomical Society, v. 29, N 3, 1997, p. 1019.

180. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gaps. Icarus, v. 56, 1983, p. 51-74.

181. Wisdom J. A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability. Icarus, v. 63, 1985, p. 272-289.