Тождества в алгебрах ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Бахтурин, Юрий Александрович

• Бахтурин, Юрий Александрович
• 1984

Оглавление диссертации Бахтурин, Юрий Александрович

Введение

Глава I. Многообразия алгебр Ли.

1.1. Тождества и многообразия.

1.2. Полиоднородные многообразия. Процесс линеариза -ции.15"

1.3. Произведение многообразий.

1.4. Теоремы о вложении.

1.5. Свободные алгебры многообразий. Тождества

1.6. Свободные алгебры многообразий. Подалгебры

1.7. Метабелевы многообразия.

1.8. Комментарий

Глава 2. Специальные алгебры Ли: структура, тождества, приложения .'.

2.1. Сводка некоторых результатов об ассоциативных

Р1 - алгебрах.

2.2. Некоторые результаты о конечномерных алгебрах Ли.

2.3. Общие результаты о специальных алгебрах Ли

2.4. Структура специальных алгебр Ли над полем харак -теристики нуль .^

2.5. Тождества специальных алгебр Ли над полем харак -теристики нуль.

2.6. Универсальная обертывающая конечномерной алгебры Ли. Некоторые результаты и применения.

2.7. Тождества универсальной обертывающей алгебры . . I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тождества в алгебрах ли»

Алгебры Ли изучаются в математике уже более ста лет. Многообразны и естественны ситуации их возникновения. Велико разнообразие методов, применяемых для исследования. Неуклонно растет число приложений в математике и за ее пределами.

Истекшие десятилетия убедительно доказали плодотворность подхода к теории алгебр Ли с различных точек зрения. Эту мысль легко проиллюстрировать на примере творчества советских математиков, добившихся крупных успехов в изучении алгебр Ли: Н.Г.Чеботарева, А.И.Мальцева, А.И.Ширшова, А.И.Кострикина и других.

В последние десятилетия с ростом интереса к бесконечномерным алгебрам Ли возрос интерес к алгебрам Ли, в которых выполняются тождественные соотношения. То, что эти алгебра -не экзотика, хорошо известно. Например, такие алгебры естественно возникают при изучении проблем бернсайдовского типа в группах, к ним относятся все конечномерные алгебры Ли и алгебры Ли векторных полей на многообразиях конечной размерности и т.п. Изучение алгебр Ли с тождествами, увлекательное само по себе, интересно приложениями к другим разделам алгебры: теории колец, теории груш, теории представлений. Велика и внутренняя роль тождеств в теории алгебр Ли. Их назначение - классификация в самом общем смысле. Впрочем, в ряде конкретных случаев слово классификация имеет более точный смысл. Например, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым либо конечным полем вполне задаются совокупностью своих тождеств.

В настоящей работе при изучении алгебр Ли с тождествами мы делаем основной упор на те части теории этих алгебр, которые тесно связаны с применением методов ассоциативных алгебр и бесконечных груш. Ключевыми понятиями являются: универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли, специальная алгебра Ли, многообразие алгебр Ли.

Полезность изучения универсальной обертывающей алгебры в классической теории алгебр Ли хорошо известна. Менее классической, но также хорошо разработанной является теория обертывающей алгебры, связанная с методом орбит А .А .Кириллова в теории представлений. Еще менее известно изучение универсальной обертывающей алгебры с точки зрения теории бесконечномерных алгебр и алгебр с тождествами. Именно эти последние аспекты универсальной обертывающей алгебры привлекают наше внимание. Практический выход нашего исследования, впрочем, близок к классическим вопросам: изучение условий на алгебру Ли, при которых ее универсальная обертывающая удовлетворяет нетривиальному тождеству, приводит к описанию алгебр Ли, все неприводимые представления которых имеют ограниченную степень. Разрабатываемые при этом методы оказываются достаточно универсальными, чтобы описать уже супералгебры Ли, универсальная обертывающая которых - алгебра с нетривиальным тождеством.

Согласно классической теореме Пуанкаре - Биркгофа - Вит-та, любая алгебра Ли над полем получается как подалгебра Ли подходящей ассоциативной алгебры. Естественный способ получения алгебр Ли с тождеством, таким образом, - рассмотрение подалгебр Ли в ассоциативных алгебрах с тождеством (Р1 - алгебрах). Такие алгебры Ли называются специальными. Класс специальных алгебр Ли весьма широк и включает в себя ряд классов бесконечномерных алгебр Ли. В то же время, в алгебрах этого класса справедливы аналоги ряда классических теорем: Энгеля, Ли, Адо и других. Изучение данного класса важно как с точки зрения теории ассоциативных Р1 -алгебр: изучается их коммутаторная структура, так и с точки зрения алгебр Ли: возникает разумное обобщение класса конечномерных алгебр Ли. Основные методы исследования специальных алгебр Ли, которое мы проводим вслед за В.Н.Латышевым, - развитая теория ассоциативных Р1 -алгебр.

Понятие многообразия является одним из наиболее плодотворных в алгебре в течение уже почти полувека. Зародившись в недрах теории групп, оно привело к большим достижениям в теории бесконечных групп, ассоциативных и неассоциативных алгебр. Одной из центральных тем здесь является проблема конечной бази-руемости тождеств и связанные с ней вопросы конечности аксиоматического и базисного рангов многообразий. Изучение многообразий не только играет классифицирующую роль, но и помогает глубже понять связи между различными алгебраическими структурами. Важным для уяснения строения алгебр является понятие свободной алгебры многообразия. Все упомянутые стороны теории многообразий в конкретном случае многообразий алгебр Ли изучаются в настоящей работе: здесь и многообразия алгебр Ли бесконечного базисного ранга, и строение свободных алгебр многообразий, и структура решеток подмногообразий некоторых важных многообразий алгебр Ли. Разработана теория для изучения тождеств в конечных алгебрах Ли.

По теме настоящей диссертации автором написаны две книги: " ¡.ес-Ьигеь оп, Ог А&рейгц* Академи-ферлаг, Берлин, 1978 год, и "Тождества в алгебрах Ли", Наука, М., 1984 год. Текст диссертации, в основном, следует содержанию 4, 6 и 7 глав второй из упомянутых двух книг. Соответственно этому, диссертация состоит из трех глав. Результаты об универсальной обертывающей алгебре и о специальных алгебрах Ли содержатся во второй главе: "Специальные алгебры Ли: структура, тождества, приложения". Общей теории многообразий алгебр Ли посвящена первая глава:

Многообразия алгебр Ли". Часть теории многообразий, связанная с построением теории тождеств в конечных алгебрах Ли, содержится в третьей главе: "Товдества в конечных алгебрах Ли". Именно ориентацией на книгу объясняется то, что в небольшом числе случаев мы приводим результаты в несколько расширенном виде, Это касается, в основном, главы I диссертации.

Для удобства ссылки устроены следующим образом. Ссылка на утверждение или пункт с номером 2.3.6 означает, что читатель отсылается к пункту 6 раздела 3 главы 2 настоящей работы. Перейдем к изложению содержания диссертации по главам.

Первая глава - "Многообразия алгебр Ли" - в значительной мере является вводной. В разделах I.I - 1.4 вводятся основные понятия теории многообразий алгебр Ли над произвольным коммутативным кольцом с I, доказывается ряд уже известных результатов. Здесь имеется несколько результатов автора, не относящихся к основным в данной диссертации, в том числе теоремы 1.2.9 и 1.3.3 о структуре идеалов тождеств в свободной алгебре Ли и теорема 1.3.7 об умножении многообразий над бесконечным полем. В разделе 1.5 "Свободные алгебры многообразий. Тождества" изучено понятие базисного ранга многообразия. Основным результатом является теорема 1.5.5 о том, что над произвольным коммутативным кольцом Л многообразие £ ( ,., ), отвечающее последовательности натуральных чисел oi , с ,., с^ имеет бесконечный базисный ранг, т.е. не определяется тождествами никакой конечно порожденной алгебры, во всех случаях, кроме = I и, возможно, i =2, с = I. Эта теорема имеет приложения к аппроксимации разрешимых алгебр Ли, к известному соответствию между многообразиями груш и алгебр Ли, а также к вычислению базисного ранга многообразий груш. В 1.5.6 показано, что многообразие Nc А . порождается алгеброй треугольных матрщ порядка с +1. В случае /Ус имеется результат о том, что базисный ранг зависит от аддитивного кручения в Л и равен либо с , либо с -I (теорема 1.5.7). В разделе 1.6 приведено полученное М.В.Зайцевым усиление теоремы автора об описании многообразий алгебр Ли над коммутативным кольцом, в которых подалгебры свободных алгебр сами свободны. В разделе 1.7 приведена классификация метабелевых многообразий алгебр Ли над произвольным бесконечным полем. В частности, показано (1.7.4), что решетка этих многообразий дистрибутивна. Интересно, что в случае конечного поля решетка метабелевых многообразий перестает быть дистрибутивной (Г.В.Шеина).

Вторая глава - "Специальные алгебры Ли: структура, тождества, приложения" содержит ряд основных результатов диссертации. Вводными здесь являются разделы 2.1 и 2.2. В разделе 2.3 мы изучаем общие свойства специальных алгебр Ли над произвольным кольцом. Отмечено, что свойство быть специальной наследуется алгебрами из квазимногообразия, порожденного специальной алгеброй Ли, и не наследуется алгебрами из многообразия, поровденного такой алгеброй. Показано, 2.3.6, что если в алгебре Ли I есть ниль-потентный идеал N , фактор алгебра,по которому имеет универсальную обертывающую алгебру с нетривиальным полиномиальным тождеством, то ^ специальная алгебра Ли. В 2.3.9 показано, что простая специальная алгебра Ли конечномерна над центроидом. В разделе 2.4 получены аналоги классических теорем для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль. Теорема 2.4.5 утверждает, что если А - поле характеристики нуль и М -локально разрешимый идеал в специальной алгебре Ли i , то идеал И3 М] локально нильпотентен. В частности, коммутант конечно порожденной разрешимой специальной алгебры Ли нильпотентен В теореме 2.4.1 утверждается следующее. Пусть /- - алгебра Ли над полем А характеристики нуль, Ь - &Ф М , где & - специальная алгебра Ли, а М - идеал, такой, что N = = [¡-¿И] нильпотентен. Если V - аннулятор для М в и{С)/У - Р1 -алгебра, то ь - специальная алгебра Ли. Указанное условие на аннулятор действительно необходимо. Центральный результат в 2.4 - это теорема 2.4.8, в которой даются необходимые и достаточные условия специальности почти разрешимой алгебры Ли над полем.характеристики нуль (т.е. обладающей разрешимым идеалом конечной коразмерности). В частности, в этом случае имеет место отщепление радикала.

Раздел 2.5 называется "Товдества специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль". К числу основных здесь относится теорема 2.5.3: произведение Ц¥ двух ненулевых многообразий алгебр Ли над полем характеристики нуль специально тогда и только тогда, когда V нильпотентно, а V - абелево. В теореме 2.5.4 даны необходимые и достаточные условия специальности коммутатора двух многообразий алгебр Ли. Раздел 2.6 - вспомогательный по отношению к следующим за ним разделам 2.7, 2.8, 2.9 -посвящен известным результатам об универсальной обертывающей алгебре и некоторым приложениям. Результаты автора здесь содержатся в п.2.6.6 и относятся к условиям финитной аппроксимируемости алгебр Ли.

В разделах 2.7, 2.8, 2.9 получены центральные результаты диссертации. Теорема 2.7.3 дает необходимые и достаточные условия на алгебру Ли над полем характеристики р У 0, при которых ее универсальная обертывающая алгебра является

-алгеброй.

Случай характеристики нуль, более непосредственный, был изучен ранее В.Н.Латышевым. Теорема 2.8.1 описывает алгебры Ли над произвольным алгебраически замкнутым полем Л , все неприводимые представления которых имеют ограниченную степень. Эти условия таковы: а) в алгебре ¿ должен быть абелев идеал А конечной коразмерности; б) все внутренние дифференцирования аЛх , хе I , алгебраичны ограниченной степени; в) с/о?*> /\ < СаЫ .А В разделе 2.9 приводится полное доказательство теоремы автора о необходимых и достаточных условиях на супералгебру Ли над полем характеристики нуль, при которых ее универсальная обертывающая является ассоциативной Р1 -алгеброй.

Глава 3 посвящена применению методов, развитых ранее, к выработке теории тождеств в конечных алгебрах Ли. В разделе 3.1 методы универсальной обертывающей алгебры применяются для доказательства двух теорем о конечности (3.1.2 и 3.1.3) для алгебраических алгебр Ли над конечным коммутативным кольцом. Здесь активно используется универсальная обертывающая алгебра и ее представления. В разделах 3.2 - 3.6 доказывается ряд теорем, касающихся таких важных для упомянутой теории понятий как критическая алгебра, минимальное представление, аксиоматический ранг и т.п. Кульминационной является теорема 3.6.4: Тождественные соотношения конечной алгебры Ли над конечным кольцом допускают конечный базис. Эта теорема получена в соавторстве с А.Ю.Ольшанским и является решением одной проблемы, поставленной А.И.Мальцевым. В развитие теории локально конечных многообразий алгебр Ли в разделах 3.7 и 3.8 дано (также в соавторстве с А.Ю.Ольшанским) полное описание так называемых почти кроссовых многообразий в разрешимом случае. Многообразие называется почти кроссовым, если оно не порождается конечной алгеброй Ли, но кавдое его собственное подмногообразие обладает этим свойством. Каждое многообразие над конечным кольцом либо порождается конечной алгеброй, либо содержит некоторое почти кроссово многообразие. Теорема 3.8.8 гласит: разрешимое почти кроссово многообразие над конечным полем лишь одно.

Его тождества выписаны в п. 3.7.3, а порождающие алгебры в 3.7.4. Знание этих фактов позволяет эффективно ответить на вопрос: определяет ли данное тождество все тождества некоторой конечной алгебры и, в случае положительного ответа, построить эту алгебру.

I. Многообразия алгебр Ли

Список литературы диссертационного исследования Бахтурин, Юрий Александрович, 1984 год

1. Андреев К.К. Нилыютентные группы и лиевы алгебры. Алгебра и логика, 1968, № 4, 4-14.

2. Андреев К.К. Бильпотентные группы и лиевы алгебры, II. Алгебра и логика, 1969, 8, № 6, 625-635. Письмо в редакцию. 1971, 10, № 2, 226-228.

3. Андреев К.К., Шабельникова Д.Г. Характеристические подалгебры относительно свободных алгебр. Сиб. мат. ж., 14, Л 6, 1973, 1336-1337.

4. Артамонов В.А. 0 многообразиях ограниченных алгебр Ли. Сиб.мат.ж., 1974, 15, В 6, 1197-1212.

5. Артамонов В.А. Решетки многообразии линейных алгебр. Успехи мат. наук, 1978, 33, 2, 135-168.

6. Артамонов В.А. Цепные многообразия линейных алгебр. Труды Моск. мат. общ., 1973, 29, 51-78.

7. Бахтурин Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли. Алгебра. Сб. работ поев. 90-летию со дня рожд. О.Ю.Шшдта, с.24-26, 1982. М., МГУ, 1982, с.24-26.

8. Бахтурин Ю.А. Два замечания о многообразиях алгебр Ли. Мат.заметки, 1968, 4, № 4, 387-398.

9. Бахтурин Ю.А. О специальных алгебрах Ли. В сб. Алгебра, М., МГУ, 1980, 26-30.

10. Бахтурин Ю.А. О тождествах в алгебрах Ли, I. Вестник МГУ. Мат., мех., 1973, £ I, 12-18.

11. Бахтурин Ю.А. О тождествах в алгебрах Ли, II. Вестник МГУ. Шт., мех., 1973, № 2, 26-33.

12. Бахтурин Ю.А. О тождествах в метабелевых алгебрах Ли. Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1975, I, 12-18.

13. Бахтурин Ю.А. Специальные многообразия алгебр Ли. Алгебра и логика, 1981, 20, № 5, 522-530.

14. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М., Наука,1984.

15. Бахтурин Ю.А. Тождества от двух переменных в алгебре *е (г, С) . Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1979, 5,205.208.

16. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Об аппроксимации и характеристических подалгебрах свободных алгебр Ли. Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1976, 2, 145-150.

17. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Разрешимые почти крое-совы многообразия колец Ли. Мат. сборник, 1976, 100, $ 3, 384-399.

18. Бахтурин Ю.А., Ольшанский А.Ю. Тождественные соотношения в конечных кольцах Ли. Мат. сборник, 1975, 96, 3 4, 543-559.

19. Бенедиктович И.И., Залесский А.Е. ^-идеалы свободной алгебры Ли с полиномиальным ростом последовательности коразмерностей. Весц Акад. навук БССР, 1980, & 3, 5-10.

20. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антиком-мутирующими переменными. М., изд. МГУ, 1983.

21. Бокуть Л.А. База свободных полинильпотентных алгебр Ли. Алгебра и логика, 1963, 2, И 4, 13-20.

22. Бокуть Л.А. Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно-определенных алгебр Ли. Изв. АН СССР. Сер .мат., 1972, 36, № 6, 1173-1219.

23. Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М., Наука,

24. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли. М., Мир, 1976.

25. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулырные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли. М., Мир, 1978.

26. Воличенко И.Б. Исследование некоторых экстремальных многообразий алгебр Ли. Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Минск, 1981.

27. Воличенко И.Б. Многообразия центрально метабелевых алгебр Ли. Ин-т мат. АН БССР. Преп. В 16 96, 1980.

28. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами, I. Весц^ АН БССР. Сер. ф^з. -мат. навук, 1980, £ I, 23-30.

29. Воличенко И.Б. Об одном многообразии алгебр Ли, связанном со стандартными тождествами, II. Весце АН БССР. Сер. ф*з.-мат. навук, 1980, В 2, 22-30.

30. Волков М.В., Гейн А.Г. Тождества почти нильпотентных колец Ли. Мат.сборник, 1982, 118, $ I, 132-142.

31. Генов Г.К. Многообразия от алгебри на Ли. Мат. и мате-матич. образов., София, БАН, 1976, 135-138.

32. Генов Г.К. О вербальных идеалах свободных алгебр Ли. Годишн. Софийск. ун-т. Мат.фак., 1971-72 (1974), 66, 177-189.

33. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М. М., Мир, 1963.

34. Джекобсон Н. Строение колец. М., ИЛ, 1961.

35. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М., Мир,

36. Дренски B.C. О тождествах в алгебрах Ли. Алгебра и логика, 13, В 3, 265-290.

37. Дренски B.C. Представления симметрической группы и многообразия линейных алгебр. Мат.сборник, 1981, 115, lê I, 98-115.

38. Дренски B.C. Тождества в матричных алгебрах Ли. Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1981, 6, 47-55.

39. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М., Наука, 1978.

40. Зайцев М.В. О разложимости в произведение коммутаторов многообразий алгебр Ли и групп. Мат.сборник, 1981, 116, J& 3, 312-330.

41. Зайцев М.В. О шрейеровых многообразиях алгебр Ли. Мат. заметки, 1980, 28, № I, II9-I26.

42. Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно порожденной РГ -алгебры. Докл. АН СССР, 1980, 245, £ 4, 793-797.

43. Кострикин А.И. Кольца Ли, удовлетворяющие условию Эн-геля. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1957, 21, 515-540.

44. Кострикин А.И. О связи между периодическими группами и кольцами Ли. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1957, 21, 289-310.

45. Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, 23, 3-34.

46. Красильников А.Н. Конечная базируемость некоторых многообразий алгебр Ли. Вестник'МГУ. Мат.,мех., 1982, № 2, 34-38.

47. Кукин Г.П. О подалгебрах свободных р -алгебр Ли. Алгебра и логика, 1972, II, В 5, 535-550.

48. Кукин Г.П. Пересечете подалгебр свободной алгебры Ли. Алгебра и логика, 1977, 16, & 5, 577-587.

49. Ламбек И. Кольца и модули. М., Мир, 1971.

50. Латышев В.Н. Алгебры Ли с тождественными определяющими соотношениями. Сибирск.мат.ж., 1963, 4, 821-829.

51. Латышев В.Н. Два замечания о Р1 -алгебрах. Сибирск. мат.ж., 1963, 4, 1120-1121.

52. Латышев В.Н. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения Р1 -алгебр. Успехи мат. наук, 1972, 27, $ 4, 213-214.

53. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

54. Львов И.В. Конечномерные алгебры с бесконечными базисами тождеств. Сибирск. мат.ж., 1978, 19, № I, 91-99.

55. Львов И.В. 0 многообразиях ассоциативных колец, I. Алгебра и логика, 1973, 12, й 3, 269-297.

56. Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец, II. Алгебра и логика, 12, № 6, 667-688.

57. Львов И.В. О многообразиях, порожденных конечными альтернативными кольцами. Алгебра и логика, 1978. 17, Л 3, 282-286.

58. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М., Наука, 1970.

59. Мальцев А.И. Об алгебрах с тождественными определяющими соотношениями. Мат.сборник, 1950, 26, 19-23.

60. Мальцев Ю.Н., Парфенов В.А. Пример неассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тождеств. Сибирск.мат.ж., 1977, 18, Л 6, 1420-1421.

61. Медведев Ю.А. Кроссовы многообразия алгебр. Мат.сборник, 1980, 115, 3, 391-425.

62. Медведев Ю.А. Тождества конечных йордановых алгебр. Алгебра и логика, 1979, 18, № 6, 723-748.

63. Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым ростом последовательности коразмерностей. Вестник МГУ. Мат., мех.,1982, & 5, 63-66.

64. Мищенко С.П. Многообразие гиперцентрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики нуль. Вестник МГУ. Мат.,мех.,1983, J!f> 5, 33-37.

65. Нейман X. Многообразия групп. М., Мир, 1969.

66. Ольшанский А.Ю. О некоторых бесконечных системах тождеств. Труды сем. им. И.Г.Петровского, 1978, 3, 139-145.

67. Ольшанский А.Ю. Разрешимые почти кроссовы многообразия групп. Мат.сборник, 1971, 85, II5-I3I.

68. Ольшанский А.Ю. Условные тождества в конечных группах. Сибирск. мат.ж., 1974, 15, № 6, I409-I4I3.

69. Парфенов В.А. Об одном свойстве идеалов свободной алгебры Ли. Сибирск.мат.ж., 1969, 10, 940-944.

70. Парфенов В.А. О многообразиях алгебр Ли. Алгебра и логика, 1967, 6, № 4, 61-73.

71. Шхтильков С.А. О специальных алгебрах Ли. Успехи мат. наук, 1981, 36, Ш 6, 225-226.

72. Полин C.B. О тождествах конечных алгебр. Сибирс.мат.ж., 1976, 17, й 6, 1356-1366.

73. Размыслов Ю.П. Алгебры, удовлетворяющие тождественным соотношениям типа Капелли. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1981, 45,I, 143-166.

74. Размыслов Ю.П. Об одном примере неразрешимых почти кроссовых многообразий групп. Алгебра и логика, 1972, II, Ш 2, 186-205.

75. Размыслов 10.П. О радикале Джекобсона в Р1 -алгебрах. Алгебра и логика, 1974, 13, № 3, 337-360.

76. Риттер Е.В. Скелеты разрешимых многообразий алгебр Ли. И зв. вузов. Математика, 1980, 3, 50-61.

77. Романовский Н.С. Базы тождеств некоторых матричных групп. Алгебра и логика, 1971, 10, 4, 401-406.

78. Стовба В.В. 0 конечной базируемости некоторых многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр. Вестник МГУ. Шт., мех., 1982, £ 2, 54-58.

79. Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Сем. Софус Ли. М., ИЛ, 1962.

80. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., Мир, 1972.

81. Шеина Г.В. Метабелевы многообразия алгебр Ли. Успехи мат. наук, 1978, 33, № 2, 209-210.

82. Шеина Г.В. Многообразия метабелевых А -алгебр Ли, I. Вестник МГУ. Мат., мех., 1977, & 4, 37-46.

83. Шеина Г.В. Многообразия метабелевых А -алгебр Ли, II. Вестник МГУ. Мат., мех., 1978, 3, 52-59.

84. Ширшов А.И. 0 базах свободных алгебр Ли. Алгебра и логика, 1962, I, № I, 14-19.

85. Ширшов А.И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли. Сибирск. мат.к., 1962, 3, 297-301.

86. Ширшов Л.И. 0 представлении лиевых колец в ассоциативных кольцах. Успехи мат.наук, 1953, 8, I 5, 173-175.

87. Ширшов А.И. 0 свободных кольцах Ли. Мат.сборник, 1958, 45, 113-122.

88. Ширшов А.И. Подалгебры свободных алгебр Ли. Мат.сборник, 1953, 33, 441-452.

89. Шмелькин А.Л. Свободные полинильпотентные группы.Изв. АН СССР. Сер.мат., 1964, 28, 91-122.

90. Шмелькин А.Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп. Труды Моск.мат.общ., 1973, 29, 247-260.

91. Эйделькинд Д.И. О точных представлениях относительносвободных групп. Алгебра и логика, 1971, 10, № 4, 449-473.

92. Amayo Я., Stewart I. Infinite-dimensional Lie algebras.1.yden, Noordhoof, 1974.

93. Amitsur S. A generalization of Hilbert1 s Nullstellensatz. Proc.Amer.Math.Soc., 1957, 8, 649-656.

94. Bahturin Ju.A. A remark on irreducible representations of Lie algebras. J.Austral.Math.Soc., 1979, 27, 332-336.95» Bahturin Ju.A. Identities in the universal envelopes of Lie algebras. J.Austral.Math.Soc., 1974, 18, 19-27.

95. Bahturin Ju.A. Lectures on Lie algebras. Berlin, AJcademi e -V erl ag, 1978.

96. Bahturin Yuri. On homomorphisms of soluble Lie algebras. J.London Math.Soc., 1979, 20, 415-422.

97. Bahturin Yuri. On identical relations in free polynilpoten-Lie algebras. J.London Math.Soc., 1979, 20, 39-52.

98. Bahturin Yuri. On Lie subalgebras of associative Pl-algebras. J.Algebra, 1980, 67, n 2, 257-271.

99. Bahturin Ju.A. Simple Lie algebras satisfying a nontrivia. identity. Serdica. Bulg.math.publ., 1976, 2, n 3, 241-246.

100. Baumslag G., Neumann B.H., Neumann Hanna, Neumann P.M. On varieties generated by a finitely generated group. Math.Z., 1964, 86, 93-122.

101. Braun A. The Jacobson radical in a finitely generated P.I. algebra. Bull.Amer.Math.Soc., 1982, 7, n 2, 385-386.

102. Gohn P.M. A non-nilpotent Lie ring satisfying the Engel condition and a non-nilpotent Engel group. Proc. Cambridge Phil.Soc., Math, and Phys.Sci.,1955,51,n 3, 401-405.

103. Gohn P.M. On the embedding of rings in skew fields. Proc. London Math.Soc., 1961, 11, n 43, 511-530.

104. Gurtis G.W. Noncommutative extensions of Hilbert rings. Proc.Amer.Math.Soc., 1953, 4, 945-955.

105. Higgins P.J. Lie rings satisfying the Engel condition. Proc.Cambridge Phil.Soc., Math.and Phys.Sci.,1954, 50, 8-15.

106. Jacobson N. A note on Lie algebras of characteristic p. Amer.J.Math., 1952, 74, n 2, 357-359108. Jacobson N. Pi-algebras. An introduction. Lecture NotesMath., 1975, 441.

107. Kovacz L.G., Newman M.P. Gross varieties of groups. Proc.Roy.Soc.,ser.A, 1966, 292, 530-536.

108. Kovacs L.G., Newman M.F., Pentony P.F. Generating groups of nilpotent varieties. Bull.Austral .Math.Soc., 1968, 14, 968-971.

109. Kruse R. Identities satisfied by a finite ring. J.Algebre1973, 26, 298-318.

110. Leron U.„ Vapne A. Polynomial identities of related rings. li^el J. Matt,, 19?0, 8, 127-W.

111. Levin P. On torsion free nilpotent varieties. Comm. Pure Appl.Math., 1973, 26, 757-765.

112. Macdonald S.O. Various varieties. J.Austral.Math.Soc., 1973, 16, 363-367.

113. Neumann P.M. An improved bound for BFC-groups. J.Austral. Math.Soc., 1970, 11, 19-27.

114. Oates S., Powell M.B. Identical relations in finitegroups. J.Algebra, 1964-, 1, 11-39.117» Passman D. Group rings satisfying a polynomial identity.J.Algebra, 1972, 20, 103-117.

115. Procesi C., Small L. Endomorphigm rings of modules over Pi-algebras. Math.Z., 1968, 106, 178-180,

116. Regev A. Existence of identities in A B. Israel J .Math., 1972. 11, 131-152.

117. Scheunert M. The theory of Lie superalgebras. Lecture Notes Math., 1979, 734.

118. Towers D. A Frattini theory for algebras. Proc.London Math.Soc., 1973, 27, 440-462.

119. Vaughan-Lee M.R. Generating groups of nilpotent varieties Bull.Austral.MathSoc., 1970, 3, 14-5-154-.

120. Vaughan-Lee M.R. Varieties of Lie algebras. D.Phil. Thesis, Oxford University, Oxford, 1970.

121. Vaughan-Lee M.R. Varieties of Lie algebras. Quart.J. Math., 1970, 21, 297-308.