Тормозное излучение заряженных частиц, проходящих через многослойную структуру рассеивающих центров в квазиоднородном квазистационарном электрическом поле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Хомяков Владимир Васильевич

• Хомяков Владимир Васильевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Хомяков Владимир Васильевич

Введение

Глава I. Аналитический обзор

1.1. Элементы квантовой теории излучения при нерелятивистском движении

излучающих частиц

Глава II. Тормозное излучение электронов, проходящих через многослойную упорядоченную систему кулоновых центров, находящихся во внешнем электрическом поле

2.1. Постановка задачи

2.2. Анализ результатов

2.3. Выводы

Глава III. Тормозное излучение электронов ускоряемых однородным электрическим полем и проходящих через многослойную структуру кулоновых центров, находящихся в этом же поле

3.1. Постановка задачи и основные результаты

3.2. Анализ результатов

3.3. Выводы

Глава IV. Об особенностях поведения сечений тормозного излучения электронов, проходящих через упорядоченную структуру кулоновых центров и ускоряемых однородным электрическим полем, при малом внешнем электрическом поле

4.1. Вычисление сечений при Е < Ес

4.2. Расчет сечений с использованием численных методов

4.3. Анализ результатов

4.4. Выводы

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследований

В результате появления квантовых генераторов позволяющих индуцировать электромагнитные поля высокой интенсивности, во второй половине 20-го века в научных исследованиях появился интерес к влиянию таких полей на процессы упругого и неупругого столкновения частиц в поле таких генераторов [1]-[34].

Так в 70-х годах XX века было обнаружено, что при фоторасщеплении отрицательных ионов в поле лазера, возникают осцилляции в сечениях этих процессов, как функции частоты излучаемого фотона. В работах [35] - [51] эти результаты были объяснены интерференционными эффектами, возникающими при отражении электрона иона от потенциального барьера лазерного поля, при условии, что это поле можно считать квазистационарным и квазиоднородным.

Впоследствии, в работах [52] - [55] было показано, что осцилляции в сечениях могут возникать и при упругих и неупругих, в, частности, с рождением фотонов, столкновениях заряженных частиц в таком же квазистационарном и квазиоднородном поле, что опять же связано с интерференционными эффектами при отражении от потенциального барьера внешнего поля.

Однако работе [56], было установлено, что при расчете сечения тормозного излучения необходимо учитывать и вклад в тормозное излучение движения частиц во внешнем однородном поле, даже когда его величина значительно меньше атомного. При этом возникал эффект интерференции двух движений - в кулоновом и внешних полях, что приводило к достаточно заметным пространственным осцилляциям в сечениях, как функции углов волнового вектора фотона. Причем следует отметить, что однородное электрическое поле считалось индуцированным в макроскопической области пространства, и вклад тормозного излучения при столкновении с рассеивающими центрами оказывается сравнимым с излучением, вызванным взаимодействием с внешним полем, если число рассеивающих центров является макроскопическим.

Развитием работы [56] были исследования, проведенные в статьях [57] -[63]. Эти работы были посвящены изучению пространственно угловой структуры неполяризованного тормозного излучения при рассеянии на монослое упорядоченных кулоновых центров электронов, не только ускоряемых (как в [56]) но и замедляемых внешним квазистационарным квазиоднородным электрическим полем. В них было показано, что, в структуре сечений тормозного излучения возникают дополнительные элементы, связанные с интерференцией электронов при их отражении от потенциального барьера внешнего поля и суперпозиции их движений в кулоновом и внешних полях.

Известно, что наносистемы и тонкие пленки могут образовываться при воздействии на различные физико-химические соединения частицами плазмы; электромагнитными полями квантовых и плазменных генераторов достигающих 105 В/см;. В этом случае через такие соединения проходят нерелятивистские электроны или другие заряженные частицы с широким спектром энергии до значений порядка десятка кэВ. В результате рассеяния и движения во внешнем поле (в том числе и при отражении от его потенциального барьера) такие частицы будут излучать фотоны. Как показывают оценки (для напряженностей 105 В/см внешнего поля и энергий электронов порядка десятка кэВ) среднее время нахождения частиц между рассеивающей системой и точкой отражения может

_12

быть значительно меньше 10 секунды, что позволяет считать поле с частотой 12 _1

порядка 10 с для таких частиц квазистационарным и квазиоднородным. Очевидно, что структура такого тормозного излучения должна представлять как прикладной, так и фундаментальный интерес.

Нетрудно понять, что для экспериментальной проверки таких эффектов или их прикладного использования необходимо рассматривать тормозное излучение падающих частиц не на один (ортогональный к внешнему полю) слой рассеивающих центров, а на структуру, состоящую из достаточно большого числа таких слоев, не нуждающуюся в подложке (в отличие от монослоя).

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению пространственно угловой структуры тормозного излучения, возникающего при рассеянии на

упорядоченной многослойной системе кулоновых центров заряженных частиц, ускоряемых или замедляемых внешним квазистационарным квазиоднородным электрическим полем.

В ней, также рассмотрена методика предельного перехода в сечениях тормозного излучения при стремлении внешнего электрического поля к нулю. Нетривиальность такой операции обусловлена особенностью рассматриваемой задачи - существованию квазиоднородного электрического поля в макроскопической области пространства, что не позволяет устремить к бесконечности (как это обычно делается в теории столкновений) нормировочную длину (вдоль внешнего поля), входящую в волновую функцию частицы, ускоряемой внешним полем. Цель работы

Основная цель работы заключается в исследовании тормозного излучения ускоряемых, либо замедляемых внешним однородным электрическим полем электронов, при их прохождении через упорядоченную многослойную структуру рассеивающих центров, находящихся в этом поле. Задачи исследований Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

1. Вычисление (на основе принципов квантовой механики и квантовой электродинамики) и анализ сечений неполяризованного тормозного излучения, проходящих через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров электронов, падающих на потенциальный барьер внешнего квазистационарного и квазиоднородного электрического поля индуцированного в полупространстве.

2. Проведение расчета и анализа сечений неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним квазиоднородным квазистационарным электрическим полем, индуцированным в макроскопической области пространства между двумя неограниченными плоскостями (к которым поле нормально), и проходящих через

многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров, находящихся в этом же поле.

3. Рассмотрение методических особенностей предельного перехода в найденных сечениях неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним электрическим полем, при стремлении его к нулю. Определение границ применимости использованных ранее приближенных аналитических расчетов таких сечений.

Связь с государственными программами и НИР

Диссертационная работа проводилась в рамках проекта «Исследование нестационарных процессов в атомных и наносистемах в электромагнитном поле», выполняемой на кафедре физики ДВГГУ, поддержанного Аналитической целевой ведомственной программой «Развитие научного потенциала высшей школы». Научная новизна работы

1. Впервые, в первом борновском и нерелятивистском (по движению заряженных частиц) приближении, получены и проанализированы сечения неполяризованного тормозного излучения, возникающего при прохождении через многослойную структуру рассеивающих центров, электронов, падающих на потенциальный барьер внешнего электрического поля, индуцированного в полупространстве. В этих сечениях учтена суперпозиция движений электронов в поле рассеивающих центров и однородном внешнем электрическом поле, и их интерференция при отражении от потенциального барьера этого поля.

2. Впервые в первом борновском приближении получены и проанализированы сечения тормозного излучения заряженных частиц в поле многослойной структуры кулоновых центров и однородном электрическом поле (индуцированном в макроскопической области пространства), которое сразу ускоряет электроны после их эмитирования. В этих сечениях учтен вклад в излучение фотона движения электрона в однородном внешнем электрическом поле и в поле рассеивающих кулоновых центров.

3. Впервые рассмотрена методика предельного перехода в сечениях тормозного излучения электронов (ускоряемых внешним полем) в поле многослойной структуры кулоновых центров и однородном электрическом поле при его стремлении к нулю. Найдены условия применимости сечений, ранее вычисленных приближенными аналитическими методами.

Методы исследования

Для решения поставленных задач использовались общепринятые методы теоретической физики и численные методы.

Научная и практическая значимость работы заключается в том, что

1. Найденные сечения могут быть использованы при диагностике наноструктур, а также тонких пленок с произвольным числом слоев.

2. Сравнение полученных и проанализированных сечений тормозного излучения с результатами эксперимента может служить проверкой принципов и методов расчета квантовой физики.

3. Использованные методики дают возможность определять сечения тормозного излучения, возникающего при прохождении заряженных частиц через многослойную структуру рассеивающих центров, находящихся в квазиоднородном и квазистационарном электрическом поле. Область применимости полученных результатов (при ускорении электронов внешним полем) соответствует более широким диапазонам значений частоты излучаемого фотона и величины внешнего поля, по сравнению с диапазонами этих параметров в подобных сечениях, найденных в ранее опубликованных работах (для монослоя рассеивающих центров). Последнее, в частности, позволяет рассмотреть предельный переход (в найденных сечениях) при стремлении внешнего поля к нулю.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тормозное излучение заряженных частиц, проходящих через многослойную структуру рассеивающих центров в квазиоднородном квазистационарном электрическом поле»

Апробация работы

Основные результаты работы изложены в статьях [64] - [69] и докладывались на следующих конференциях:

1. Двенадцатая региональная научная конференция «Физика: фундаментальные и прикладные исследования, образование». Хабаровск, ТОГУ, 2013 г.

2. XVI краевой конкурс молодых ученых, Хабаровск, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, 18 января 2013 г.

3. XVII краевой конкурс молодых ученых, Хабаровск, Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, 16 января 2015 г.

Основные защищаемые положения

1. Определение и анализ пространственно угловых осцилляций в сечениях неполяризованного тормозного излучения, возникающего при прохождении через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров электронов, падающих на потенциальный барьер внешнего квазистационарного и квазиоднородного электрического поля, индуцированного в полупространстве. Учет вклада в эти осцилляции интерференции электронов при их отражении от потенциального барьера внешнего поля и суперпозиции их движений во внешнем поле и в поле рассеивающих центров.

2. Определение и анализ пространственно угловых осцилляций в сечениях неполяризованного тормозного излучения ускоряемых внешним квазиоднородном квазистационарным электрическим полем (индуцированном в макроскопической области пространства) электронов, проходящих через многослойную структуру упорядоченных кулоновых рассеивающих центров, находящихся в этом же поле. Учет вклада в пространственно угловую структуру тормозного излучения суперпозиции движений электрона во внешнем поле и в поле рассеивающих центров.

3. Анализ и определение методических особенностей предельного перехода при стремлении внешнего электрического поля к нулю в сечениях

неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним квазиоднородном квазистационарным электрическим полем (индуцированном в макроскопической области пространства), и проходящих через многослойную структуру упорядоченных рассеивающих центров, находящихся в этом же поле. Определение условий применимости сечений (подобной задачи, но для монослоя рассеивающих центров), рассчитанных ранее.

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Хорошо известно, что тормозное излучение представляет собой процесс рождения фотона заряженной частицей, имеющее непрерывный энергетический спектр при ее движении в поле, в частности кулоновом и квазиоднородном электрическом поле. В современной физике, наиболее последовательно этот процесс описывается в рамках квантовой электродинамики. Если же излучающая частица имеет нерелятивистские энергии, именно такие задачи рассматриваются в настоящей диссертации, то теория излучения существенно упрощается.

В этой главе мы приведем краткий вывод основных формул для сечения тормозного излучения и дадим обзор как классических результатов по тормозному излучению электронов при их рассеянии на кулоновом центре [70] -[71], так и современных работ, в которых рассматривалось тормозное излучение при прохождении частиц через упорядоченную структуру кулоновых центров, находящихся во внешнем квазиоднородном, квазистационарном электрическом поле.

1.1. Элементы квантовой теории излучения при нерелятивистском движении излучающих частиц

В случае нерелятивистского движения излучающей частицы ее гамильтониан, с учетом существования электромагнитного поля, как известно имеет следующий вид [72]:

Н = ^-—Ар + и (г), (1.1)

2те тес

где е и те - заряд и масса частицы, р - оператор импульса, и - ее потенциальная энергия (например, в поле тяжелого атомного ядра), вектор потенциала является оператором формы:

А = Ееа',кфаа'Мфегкфг + е^ьфаа'Мфе-'кфг .

к ф ,а

Для того чтобы учесть процесс рождения и уничтожения фотона, необходимо в А провести операцию вторичного квантования [72] - [73], введя операторы рождения и уничтожения фотона следующей заменой:

А = 2 А

кф, а' V

2пНс

е , С ' к е,к*г + еа-к' С а- к' е- гк'ф г

а ', к' а', к' а ,кф а ,кф

-^ с С

Укф I а ', к'ф а', кФ

где С а к,ф и Са к' - операторы уничтожения и рождения фотонов с волновым вектором кф и вектором поляризации еа к' (а = 1 ,2), для которых имеет место

условие поперечности: еа,кф кф= еа,кфкФ= 0 . Операторы Са,кф и Са,кф

действуют на вектор состояния электромагнитного поля Ф(...0,Nаkф ,0...) в пространстве чисел заполнения Nаk , по следующим правилам (см., например, [72] - [73]):

а,к ф

Са,к Ф(...0, N а ь ,0...) = Л Nа ь Ф(...0,(^ - 1)а ь ,0...) ;

С+,к фФ(...0, N а ,к ф ,0...) = ^ (N + 1)а,к ф Ф(...0,( N + 1)а,к ф ,0...), где N акф - число фотонов с поляризацией еа к и волновым вектором кф, находящихся в объеме У. Произведение С+ к С а кф является оператором числа

фотонов N а кф :

С а, к ф + С а к ^М, Nа ,к ф ,0...) = Nа ,к фФ(...0, Nа ,к ф ,0...). В результате таких преобразований гамильтониан из (1.1) можно представить следующим выражением:

Н = - — Ар + и (г), (1.2)

2т т С

е е

л е л

где оператор Уф =--А р и будет описывать рождение и уничтожение фотонов.

теС

Как обычно это делается, мы будем рассматривать этот оператор как возмущение в случае излучение одного фотона.

Тогда, в соответствии с хорошо известной формулой Борна [72] вероятность ^ излучения фотона дается выражением:

ём = — П

2п

Уя

8(вг - Е )ёу, (1.3)

где ёу - интервал состояний, в который переходит излучающая система, а матричный элемент У^ после воздействии я оператора рождения и уничтожение

на вектор состояния электромагнитного поля, будет иметь следующий вид:

е

У„ =-

тс

2ПЛСекф | ЯТп (г)е-кфГрТт (г)ё3г, (1.4)

Ук

где точная волновая функция начального состояния ТгП (г) описывает нерелятивистское движение излучающей частицы в том результирующем поле, которое определяет ее движение. Функция конечного состояния Т^ (г) также

определяет движение частицы (после излучения фотона) в таком же поле. Это выражение позволяет получать вероятности излучения фотонов квантовой системой в первом порядке теории возмущений.

Для получения дифференциального сечения ёа излучения выражение (1.3)

необходимо разделить на плотность потока вероятности функцией начального состояния излучающих частиц Т п (г):

Ч, (г) ^-ТП (г) ^Л дг дг

]

, определяемого

2те

v

(1.5)

в результате получим,

л 1 2п

аа = тг—

Л п

У/1

8(Ех - Е 1 )ёу. (1.6)

Классическим примером использования формул (1.6) с матричным элементом (1.4) является задача нахождения тормозного излучения электронов на кулоновом рассеивающем центре [70] - [71] в дипольном приближении, когда

е-к ф г = 1.

Для этой задачи известны [72] точные волновые функции, описывающие инфинитное движение электрона, или другой бесструктурной заряженной частицы в кулоновом поле:

2

= ¥(/у, 1, /(р- - ^Х

, ' , (1.7)

= А/е/р' г¥(- /V', 1, /(Р- + ^))

П П

2е 2 т , 2е 2 т

где ¥ - вырожденные гипергеометрические функции, у =-, V ' =

Пр Пр'

/—..Л

2

2

Аг = ехр — Г(1 - /V), А/ = ехр Г(1 + /V '), Г - гамма-функция Эйлера.

v ^ у v ^ у

В результате достаточно громоздких и сложных вычислений (см., например, [73]), выражение для сечения тормозного излучения в интервале частот йю можно записать в следующем виде:

¿/12 2 2 г 1 Ал Л

64п „22 тер 1

ааю = —:— 2 а —

3 (Р - Р)2 Р (1 - е"2ПУ )(е2™ -1)

¥ (^)Г

ас,

, (1.8)

ю

2ате 2е2 , 2е2 , 2

где V =-=-, V ' =-, р' = ^ р - 2тПю , ¥ (С) = ¥ (/V', /у,1, С) - полная

р Пи Пи '

гипергеометрическая функция, С =--4рр 2 , ге = е2 /тее2.

(р - р ')2

Выражение (1.8) конечно является ненаглядным и трудно анализируемым. В связи с эти, обычно рассматривают различные предельные случаи. Например, при больших скоростях и и и ', т.е. V << 1, V ' << 1, выражение для сечения тормозного излучения имеет следующий вид:

2

16 2 2 е , и + и йю

= V 2 а Ге "Т1п-т-,

3 и2 и - и ю

2е2 „ 2е2

<< 1, -<< 1. (1.9)

Пи Пи '

Однако, эту формулу и сечения тормозного излучения для других случаев, когда невозможно найти точные решения уравнения Шредингера, описывающего движение частицы во внешнем поле можно получить более простым методом последовательных приближений. Причем, в качестве нулевого приближения необязательно использовать волновые функции свободного движения частицы.

Если внешнее поле, в котором движется излучающая частица, состоит, например, из поля кулоновых рассеивающих центров и внешнего квазиоднородного и квазистационарного электрического поля, находящегося в макроскопической области пространства, то за функции нулевого приближения Т, Ту можно

выбрать волновые функции, описывающие движение заряженных частиц в однородном электрическом поле (функции Эйри). Поле же кулоновых центров, которое заметно в микроскопических областях пространства, можно рассматривать как возмущение.

Расчеты проведенные в работе [56], показали что матричный элемент Уфу

имеет следующий вид:

Следует отметить, что если в качестве волновых функция взять волновые функции свободных частиц, то первый интеграл в (1.10) даст трехмерную дельта-функцию, которая определяет закон сохранения импульса электрона и фотона. Так как, в сечение входит еще одна дельта-функция (см. (1.3)), отражающая закон сохранения энергии, то для свободной частицы, при излучении фотона с отличной от нуля частотой, эти два закона одновременно выполняться не могут, и первый интеграл вклад в сечение тормозного излучения не даст. Однако, если теперь, частицы движутся не только в кулоновом поле, но и в однородном поле, находящемся в макроскопической области пространства, то в этом случае волновые функции нулевого приближения будут определяться функциями Эйри. Тогда первый интеграл будет пропорционален только двум одномерным дельта-функциям, от поперечных компонент импульса. Аргументы этих функций будут равны нулю одновременно, с аргументом дельта функции, входящей непосредственно в сечение, а не в матричный элемент. В этом случае, и первый интеграл в (1.3) будет давать заметный вклад в сечение тормозного излучения.

г

(1.10)

По-видимому, впервые это было замечено [56], а затем было развито в работах [57] - [62].

В работе [57] были получены дифференциальные сечения неполяризованного тормозного излучения электронов, ускоряемых внешним однородным полем и проходящих через монослой кулоновых центров. Из полученных результатов в этой работе следует, что сечения неполяризованного и поляризованного тормозного излучения имеют заметные осцилляции, которые вызваны суперпозицией движения электронов в однородном поле и в поле рассеивающих центров. Выяснено, что вид сечений, полученных в этой работе, зависит от направления волнового вектора эмиттируемого электрона, ускоряемого внешним полем по отношению к этому полю. Вызван такой эффект анизотропией пространства, связанной с существованием двух различных выделенных направлений - внешним электрическим полем и импульсом в начальном состоянии падающих на слой частиц. Отметим, что возникающие в данной работе осцилляции тормозного излучения определяются суперпозицией движений эмиттируемого электрона в однородном поле и в поле кулоновых центров, а не интерференцией электронов, потому что электроны не отражаются от потенциального барьера внешнего электрического поля.

В последующей работе [61], рассматривается случай, когда ускоряемые внешним однородным полем электроны, в результате взаимодействия с кулоновым полем и излучения тормозного фотона, переходят в состояние, в котором происходит отражение электронов от потенциального барьера внешнего поля. То есть, рассматривается случай, где при переходе в конечное состояние энергия продольного движения электрона становится меньше высоты потенциального барьера на поверхности, через которую электроны эмитируются в область внешнего однородного поля (где находится монослой рассеивающих центров) и они отражаясь от потенциального барьера внешнего поля интерферируют. Отметим, что полученные в этой работе результаты определяются модельной волновой функцией конечного состояния излучаемых частиц. В реальности переход в волновой функции от стоячей волны к бегущей

должен, по-видимому, происходить не в нулевой плоскости г = 0, а через пространственную область с продольным размером больше атомного (для монослоя рассеивающих центров).

Результатом следующей работы [62] стало определение сечений неполяризованного тормозного излучения электронов в случае, когда они при эмиттировании источником не ускоряются внешним полем, а замедляясь отражаются, от его потенциального барьера. При этом электроны проходят через монослой кулоновых рассеивающих центров, к плоскости которого внешнее электрическое поле нормально. Было установлено, что полученные дифференциальные сечения неполяризованного тормозного излучения в поставленной задаче принципиально отличаются пространственно-угловой структурой от сечений, найденных в работе [58].. Обусловлено такое явление существованием не только эффекта суперпозиции движения электрона во внешнем поле и поле рассеивающих центров, но и интерференцией отраженных от потенциального барьера внешнего поля электронов. Если сравнивать эти результаты с полученными сечениями в [61], то нетрудно заметить, что сечения из [62] имеют пространственно-угловые осцилляции по виду близкие к гармоническим, в отличие от более сложной структуры сечений, найденных в [61].

Настоящая работа является продолжением вышеизложенных исследований тормозного излучения электронов при их прохождении через многослойные упорядоченные структуры, содержащие кулоновые рассеивающие центры, и находящиеся в однородном стационарном поле.

Кроме того, будет исследован предельный переход в найденных сечениях, при стремлении внешнего поляк нулю. Нетривиальность такого предельного перехода, в частности, связана с необходимостью проводить расчет сечений в конечной (по направлению поля) области пространства. Тогда как в задачах рассеяния на изолированных рассеивающих центрах, область пространства, где происходит столкновение частиц, считается неограниченной.

17

ГЛАВА II.

ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ, ПРОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ МНОГОСЛОЙНУЮ УПОРЯДОЧЕННУЮ СИСТЕМУ КУЛОНОВЫХ ЦЕНТРОВ, НАХОДЯЩИХСЯ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

В работах [52] - [55] было показано, что при рассеянии заряженных частиц друг на друге в однородном электрическом поле возникают осцилляции в сечении тормозного излучения, вызванные их интерференцией при отражении от потенциального барьера внешнего поля, индуцированного в макроскопической области пространства, даже если оно значительно меньше атомного.

Дальнейшие исследования, проведенные в [56] - [62] показали, что при прохождении электронов через упорядочный монослой кулоновых центров, находящихся в однородном электрическом поле, в структуре сечения тормозного излучения возникают дополнительные элементы, связанные с суперпозицией движений рассеянных частиц в кулоновом и внешнем полях. Очевидно, что для экспериментальной проверки таких эффектов или их прикладного использования, в постановке задачи работ [56] - [62], необходимо рассматривать тормозное излучение падающих частиц не на один (ортогональный к внешнему полю) слой рассеивающих центров, а на структуру, состоящую из достаточно большого числа таких слоев, не нуждающуюся в подложке (в отличии от монослоя). В работе [63] такая попытка была сделана, но использованный в ней метод расчета может быть использован только для небольшого числа слоев - порядка десяти.

В настоящей работе получены дифференциальные сечения тормозного излучения электронов, падающих на потенциальный барьер квазиоднородного электрического поля и рассеивающихся на многослойной упорядоченной системе кулоновых центров.

2.1. Постановка задачи

Пусть стационарное однородное электрическое поле с напряженностью Е находится в полупространстве (используется декартовая система координат х у 2)

г < Ь, где Ь - определяет 2-ю координату границы внешнего поля в виде бесконечной плоскости, к которой Е нормально. Граница поля также является источником моноэнергетического потока электронов, падающих на кулоновые центры, которые находятся в точках пространства с координатами гп = ГЙ1,„2,„3 = п1а1 + п2а2 + пзаз, где «1, п2> П3 = 0,±1,±2,±3...; а1 = (аи, а^, а^), а2 = (а2х, а2у, а22) и а3 = (а3х, а3у, а32) - векторы трехмерной кристаллической решетки, Е = (0,0,-Е).

Взаимодействие электронов с рассеивающими центрами таких слоев рассматриваем как возмущение.

Волновые функции, описывающие начальное и конечное состояния электронов, выберем в виде:

г I_

^,,/ = Л,^ г,/1 Л,(—Б,,), (2.1)

где г = 2/1 + е /(\eE\l); I = (Й2 /2те|еЕ|)1/3; е2у ,е- энергии продольного

(невозмущенного) движения электрона в однородном поле в конечном и начальном состояниях соответственно; Л1<у - постоянные, которые выбираем из условия нормировки на нормировочный объем ЬхЬуЬ; к/± и к г1 - волновые

векторы, определяющие поперечный (относительно Е ) импульс электронов конечного и начального состояний соответственно;

Лг(-5) = [1/(2л/л)] | ехр(5 - / 3^ - функция Эйри, асимптотически

— то

стремящаяся к нулю при 5 << — 1.

Сечение тормозного излучения будем определять в борновском приближении в соответствии с формулой:

ёа = 2п(й/)-уф/г| 5(ех — е,(2.2) где е г = (й 2 к2 г )/(2те) + е 2/ + Йш , у = ^й| Л, |2 х^ / (теЬхЬу1ех 2) - плотность потока

падающих на рассеивающие центры электронов (на границе поля),

X2 =л/2тЛе~+№)/Й, х = д/Й2кг21 + 2те(е2,+ |еЕ|ь)/Й, е, = (й2к21)/(2те) + е2,; ш , кф и

еф - частота, волновой вектор и вектор поляризации излучаемого фотона; V-

~ Л , кфd2к ёг нормировочный объем; ё\ =-з--- число состояний, в которые

8п 4п3\eE\l 2| Л,\

переходят излученный фотон и рассеянный электрон, отнесенное к объему ё кф

2

(кф - пространства), к интервалу энергии ёг/, и площади

^ к /•I в к | -

пространстве.

Матричный элемент Уф/} имеет следующий вид (подробнее в [56] - [59]):

— е

^ /еф|Ц^/ *е~'к фГр ^3г ^ефе"* фГр Ш 3г1, (2.3)

кфУ I ^ 'На

N3 —1—1 N1 —1 2е

2

где, в дальнейшем, считаем и = — ^ ^ ^-1-, N = N1 N2 - число

п3 =0 п2 =0 п1 =0

г — Г

п1,п2,п3

рассеивающих центров в слое, N3 - число слоев в направлении оси 2. Первое слагаемое матричного элемента (2.3):

— е

1

к У

ефДО*/' е —кфГР Ъ ё Зг (2.4)

описывает излучение в результате ускорения электрона во внешнем однородном электрическом поле.

Второе слагаемое матричного элемента (2.3):

— е

1

2ПСН 1 ДО*/ Ъефе ^"р Ш Зг (2.5)

кфУ На"* / ' ф

определяет вклад в сечение тормозного излучения движения электронов в поле рассеивающих центров.

При дальнейшем нахождении матричного элемента и сечений тормозного излучения, будем использовать атомные единицы с масштабом длины

а = Н2 /(шее2) .

Подставляя в выражение для первого интеграла матричного элемента (2.4) волновые функции (2.1) получим:

то

V^i = ikii^i t k = ikii^i t ^eik11 ri J i(2EУ/3 ?exp

еф JJÍ^f *e—k " r V%d 3r = iejk i fe "ik ф r %d 3r t iejk (2 E )

—то

—ikфrm j3.

v

1/3

Si ? —— i 3

d?

у

х

1 oo

¿JJJe фrJ?exp

f

i

vv

Si ?—T

1

у

d?d r = i•eфki 1—х 4п

х

то то exp[— i(k /1—k i i+k ф1Кdxdy тоe

—ik ^

х

х

х

х

J J exp

S f ?' — St ? —v + V

3 3

dzd? ' d? + i(eфk )(2 E ) / 3 — J

4n

— Je ik*zzdz х

то тоexp[— i(kf 1 — ki 1 + kф^^У х

J J?exp

?'3 ?3 ^

Sf ?'—Si ?—Yt?

у

d? d?

= m8(k/1 — k11 + kф1) (ejk11)то то d? 'd?exp

—i

33 ? t?

v

3 3

х

х

J expj — i

2s zf ? ' t(2 E )1/3 z? ' — (2 E )1/3 z?— 2s zi

(2E)2/3

(-.то то

e^k)J J d?'d??exp

(2E)

2 / 3 ? t k<M

I ?'3 ?3 2s

у

dz t

л

х+JTOexp[— i((2E ) / 3 (? ' — ?)+ kфz )z ]

3 3 (2E)

dz

zf ? ' — 2s zi ?

2 / 3

(2E)

= raS(k f i — k ii + k ф! ) 2n(ejk ii )то то d? ' d?

^ —то —то

í 3 . 2szf

х exp

+ — +

3 3 (2 E )

2/3

2s

?'__zlz_?

S ~\2 / 3 S

(2 E )

х

х ô((2E)/3 ? ' — (2E)/3 ? + k^zz )+(2E)/3 fok)fen то то d? 'd??exp

—i

? 3 ?3 + — +

v

3 3

—то —то

—то —то

— 00—00

—то —то

z

X

—то

X

—то —то

28

+ ■

2/ £' _ 2 8 2/ £ ^ -42 / 3 ^

(2 Е )2 / ^ (2Е) = 12п 25(к $ ± + к ф±_ к /

282/ £ + Р__I £ _

3 3

8((2 Е )1 / 3 £'_(2 Е )1 / 3 £ + ^)

(еФк 11)

(2 Е)

1 / 3

| ехр

к

ф2

(2 Е )2 / 3 ^ (2 Е )

1/3

+

(2 Е )2 / 3 (ефк)] £ехр<

к

3

ф2

v

(2 Е )

1/3

28

$

£

к

фг

(2Е )2 / 3 ^ (2Е )1 / 3) (2Е)

28

2/

2/3

£3 3

£

к

фг

1/3

+

(2 Е )

(28^ _ 28

2п 2/5(к

+к

ф!

к /1)

ехр

8 г/кфг

к

фг

Е 6Е

+

'2$

_ к 2 У

2/ Кф2 )

8Ек

ф2

(ефк /1) 7

-^Чш 1 ехр

(2 Е )1

к

_ /-

фг

(2 Е )

1/3

£ +

(2(82/ _82/ )_ кф^ )

2(2 Е )1 / 3 к

ф2

+ (ефк )|£ ехр* Введем обозначение:

к

_ /

ф2

(2Е )

1/3

22

£ +

2(82/ _82/ )_ кф2 2(2 Е )1/3 кф2 у

(2.6)

£ =

8$кф кф , (28/ _ 28 _ кф2)2 ----1--

Е 6Е

8Ек,,

(2.7)

Найдем интегралы:

1 ехр

_ /

кф2 |£+(2(8 2/ _8 2/ )_ кф2 )

= 1 ехр

(2 Е )1/3 к

2(2Е )1/3 кф2

Л 2

)

т = £ +

(2(82/ _8)_ кф22 )

_/-

(2 Е)

ф2 т2

1/ 3

ст =

ТЛ(2Е)

1/6

к

ф2

V (2Е)

1/3

к

ехр

ф2

2(2 Е )1/3 к к

ф2

_ /

. П ф2

4

к

ф2

— 00

3

2

— 00

—00

ехР

к

ф2

м / з

2(в2/ -Вг/ )- кфг

I

т +

(2 Е )

''21 — В 2/ ) + кф2 2(2 Е) / 3 кфг у

2(2 Е ) / 3 кфг

Л 2

У

2(в2/ -В2/)- К

л

ф2

2(2Е/ 3 кф2

2(б 2/ -В 2/ ) + К2 Л

ехр

. кф2 2

(2 Е )

1 / з

^т

2(в2/ -В2/ )+ кф2

2(2Е)1/3 кф2 ^

п

к

ехр

ф2

.п кф2

4

к

ф2

Подставляя найденные интегралы и выражение (2.7) в (2.6) получим следующее выражение для первого интеграла матричного элемента (2.4):

еф|||^/ *е фг У^ 3г = 2п 2/ 1

(2Е )1/6 ^

п

к

ф2

ехр

А 1 Л п кф2

&

4

к

ф2

X

(ефк,)+ 2(В' )+ кф (еффк)}5(к/± + кф1 -к(1)

2Кф2

(2.8)

-да

-да

При нахождении второго интеграла матричного элемента (2.5), отвечающего за вклад в сечение тормозного излучения движения электронов в

поле рассеивающих центров, используем асимптотическое представление функции Эйри, 5_1 / 4б1п(253'2 / 3 + п / 4). Таким образом, волновые функции (2.1)

будут представлены в виде:

¥ i = е

/к / 1Г

51

1 / 4

81И

/к г | г 1

¥ / = е 1 ,, „ 81И

5

1/4 /

2 53 / 2 +П V 3 ' 4у

53 / 2 +пЛ V 3 1 4 у

Кроме того,

N 3 -1N 2 -1N -1

Уи = -£ X X

п3 = 0 п2 = 0 п1 = 0

2

|3 V Гп\>п2>п3

г - г

(2.9)

(2.10)

1

)

1 >"2 >"3

23 2

Аргумент волновых функций (2.9) —5 разложим в ряд по степеням

2 — «1а12 — п2а22 — п3а32 (в отличии от работы [63], где разложение в ряд проводилось в точке 0 оси 2):

253'2 = 5332 + (2 — 2«3У2(е + Е2«3) , (2.11)

где 5«3 =(2Е)—2 / 32(Е2«3 + е 2) (2.12) Таким образом, волновые функции (2.9) преобразуются к виду:

*/ = 1Г "^174 [ехР(,(к/+г + а / — в / ))— ехр((к /—г — а / + в / ))] (2.13)

2,5 /33

* = ^ 1Г —1г7т [ехр(,(к,+г + а / — в / ))— ехр(,(к,—г — а / + в / ))] (2.14)

» / 4 Ьехр V 1к,+ г + а / —в /)Г ехр V 1к,—г — а / +в / где

п (2(е2/ + Е2«3))3/2 п (2(ед- + Е2п, ))3 /2 в , +

а/ = 4+—~3Е-, а, = 4+ 2 3Е , в/ = 2«^2(е2/ + Е2«3),

в =л/2(е27^Е2П3), к/+=(к/1 ^2(е2/ + Е2«3) к/—=(к/1, — 72(е2/ + Е2«3 ) к,+ =(к,1 ^2(е„ + Е^)

к,— =(к ,1, ^ )

Используя (2.11) - (2.12) получим:

*/ *е',кфГ = Л, 5 / 4 I (— 'У+'ехр^" '(Ч у г + а у + в у )}, (2.15)

4\5т3 5/33/ У=1

где 41 = к ф+ к /+— к,+, ч 2 = к ф+ к /+— к,—, ч 3 = к ф+ к /—— к,+, Ч 4 = к ф+ к / — — к, а1 =а / —а,, а 2 =а / +а,, а 3 =—а / —а,, а 4 =—а / +а,,

в1 =—в / +в,, в 2 =—в / —в,, в3 = в / + в, , в 4 = в / —в, .

Учитывая (2.10) и (2.15) найдем выражение (2.5):

ДО*/ * ефе—кфг УШ Зг = ~пл2 х

л/2

N —1Ж2 —1N3 —14 (— 1)У+1 (ефч .)

1/4 1/4 2

ф

«Г 0 «2= 0 «3= 0 ~1( Е2«3 +е 2,)1'4( Е2«3 +е )1'4 ч

х ех

] ГП] , п2, П3 +а ] +Р ] )} .

(2.16)

Таким образом, матричный элемент Уф// при подстановки (2.8) и (2.16) будет

иметь следующий вид:

А* А

Уф/, =

^х^у

О 2. 1

2п /

(2Е )б^1

п

к

ф2

(ефк /1)

+ 2(В 21 -В 2/ ) + Кф2 , * к ) + 2 (ефк)

( 1 А

п кф2

V ^ 4 ^ , у

X

\1 / 3

X

Ф/1 + кф1 - к/1) - п/2 (2Е)- х

юл/ 2

n2 -1n 2 -1n3 -1 4

X Е Е Е Е

п2 = 0 п3

ф1

(-1)]+' (ефч ] )

п

1 = 0 п 2 = 0 п3 = 0 ] = 1( Е2п3 +В 2/ )1 / 4( Е2п3 +В 2/ )1 / 4 Ч 2

х хе

- г (Ч

г +а

]1п\,п2,пъ ^ ] ' У ]

+в ])

. (2.17)

Тогда квадрат модуля матричного элемента определяется следующим

выражением:

У

ф/

А

/

2| А/|2

^х^у

2п2/ 1

(2 Е )бИ

п

ф7

(еффк/1)+ 2(В2 ) + Кф2 (ефк)

X

хе

п к,

"4 К

N1 -1N 2 -1N 3 -1 4

X Е Е Е Е

1(к /1 + к ф1- к /1) - п/2(2 Е)

(- ] (ефч ])

X

юл/2

-/ (ч]г„ „„ „, +а ,

]п1,п2,п3 ] ^ ]

+ Р ] )

1/4 1/4

! = 0 п2 = 0 п3 = 0 ] = 1(Е2п3 +В2/ ) (Е2п3 +В 2/ )

)

> X

X <

- 2п 2/ 1

(2Е )б К

п

к

ф7

(е фк /1) +

2(В2/ - В2/ ) + Кф2

2

(ефк)

X

-/

я-

п К ф2

4 К

X е

ф2 |

§(к/1 + кф1 - к/1) + п/2 (2Е^

юл/ 2

X ехр

-1

г 1 Л

пк

я

ф2

4

к

ф2

X

1/3

^(к /1+к ф1- к /1 п2 (2 е2 х

е

2

я

п

Л

/

22 Л

ЬхЬ у

4п

1 п

(е ф V )(еф V) -ХЬт §(к /1 + к ф1 — к, 1)

4п

2п2

(2 Е )1 / 6 ^

п

к

ф2

(2Е )1 (еф V )ехр

к

ф2 |

- и . , I -

Г 1 Л П кф2

4

к

ф2

\1 / 3

/1+к ф1—к, 1)шш(2Е1х

х11 (— 1).+1 (е фч. )ехр{,(д. гп+а. +в.)}

2П

ф1 21

« у=1

(Е2«3 + е2, )1 /4(Е2«3 + е/)1 /4ч' "" (2Е)1'

х ехр

А 1 Л П кф2

£

Т~(е ф V )х (2.18)

к

ф2

4

к

ф2

\1 / 3

^(к /1+к ф1—к, 1)ш(2 Е2х

хЦ(—

« у=1

1) у+1 (ефду )ехр{— ,(ду гп + а у +в у)}

(Е2„, + е

41 / 4/г , V / 4 2 ) (Е2«3 +е2/ ) ч2

+

+ Л- П 2 2 2 12Е)

ш2 2

«3 Т ^2,

2/3 4 4

III 1(— 1)у+у

х

« «у=1у=1

х

(ефчу )ефчу )ехр{— ,(чу гп' +ау +ву — ч угп — ау — ву )}

(Е2«3' +е 2,)1 / 4 (е2«3' +е 2/ )1/4 (Е2«3 +е 2,)1 / 4 (е2«3 +е 2/ )1/4 ч у ч

где и = к, 1 +

2(е2, — е2/ ) + кф2

2к

к

ф2

После подстановки (2.18) в выражение (2.2) найдем:

3 2

а а х 2

2П

П4 (2Е)2 / 3 X

2 1 П

4П

4 1 П ' ^ *

(2 Е )1'6

к

ф2

(2 Е) (еф V )ехр

к

ф2

(е ф V )(еф V )~Нг §(к /1 + к ф1 — к, 1)—

4П

г Ъг Л

П кф2

£

4

v

к

ф2

/

\1 / 3

^(к /1+к ф1—к, 1)ш п2 (2 е2 х

(ефчу )ехр{,(чугп + ау + ву)}

— 2П

2

1

хц(— 1) у+1 У"фЧ у_ ___

« у=1 (Е2«3 +е2,)1/4 (е2«3 +е2/ у/4 ч) (2е)1/6 \

к^(е ф* )х

ф2

х ехр

г Ъг Л

П кф2

£

4

к

ф2

М / 3

/1+к ф1—к, 1)ш п2 (2 е2 х

4

1

хЕЕ(

п ]=1

1)]+1 (ефч ] )ехР{-/(Ч ] гп +а ] +в ])}

V /„ \1/ 4(„ \1 / 4 2

(Е2п3 +В 21 )17 4 (Е2п3 +В 2Г )7 4 Ч

+

1 2,2 (2Е)2'3

44

+ -Т п 2 ю2

2

ЕЕЕЕ(-1)

п п' ] =1] = 1

]+]

X

X

(ефч] )(ефЧ] )ехр{- /(Ч]гп +а] + Р] - Ч]гп -а] -Р])}

(Е2п3' + В21 )1 / 4 (Е2п3' + В2/ )/4 (Е2п3 + В21 )1 / 4 (Е2п3 + В2/ )1 / 4 Ч 2'Ч 2

У х

х 8

' к 2

2

+ В 2/ + ю

к

/1

2

й к/1 йв/юйюйО.

Проводя стандартную процедуру суммирования по поляризациям излучающих фотонов (см., например, [73]) нетрудно получить следующее выражение для дифференциального сечения неполяризованного тормозного излучения:

2п

32

а а Х2 п4 (2Е)2/3 X

21

4п4 ^г А^]2 ^8(к/1 + кф1 - кг 1).

(2 Е )

1/3

к

(2 Е )1 / 6 \

п

к

ф2

ехр

ё

п кф2

4п

4

к

ф2

1/3

>8(к/1+кф1- к/ 1)ююп2 (2Е2х

хЕЕ(

п ] =1

-1)]+1 [пУ][пЧ] ]ехр{(Ч] гп + а] + Р] )}

- 2п2

(Е2п3 + В 2/ )1 / 4 (Е2п3 + В 2/ )/4 Ч ) (2 Е )1 / 6 \

п

к

ф2

X (2.19)

х ехр

-1

г 1 Л

п кф2

ё

4

к

ф2

1/3

/1+к ф1- к / 1)ююп2 (2Е}2х

хЕЕ(

п ]=1

_ 1) ]+1 [пу ][пд ] ]ехр{-/(ч ] гп + а ] + Р ])}

' /V , V / 4(г , V/4 2 (Е2п3 +В ) \Е2п3 +В 2/ ) Ч ]

+

1 2,2 (2Е)2'3 4 4

+ - 2 2

ю 2

ЕЕЕЕ(-1)]+]"

X

п п' ]=1]=1

[пч ]' ][пч ] ]ехр{-/(ч ]-г.-+а ]'+в ]'- дл-а ] -Р ])}

Б

1

х

х

х 8

'к/1 к?1

—— + е + ю--— — е

2 2/ 2 2г V

й к/1 йе/шйшйО,

к

где п =

ф

к

= (б1и 0ф ,еов фф ,Бт 0ф ,Бт фф ,еов 0Ф).

Упростим второе и третье слагаемое в (2.19), учитывая, что суммы по «1 и «2 являются суммами N и Ж2 членов геометрической прогрессии:

I ехр{- ,(ч у гп + а у + в у )}=

I I I ехр{— , (ч у («1а1 + «2а 2 + «3а3 )+а у +в у )}

«1 = 0 «2 = 0 «3 = 0

1 — е

—а1 ч ф1

1 — е

а 2 ч ф1 Ж3 —1

1 — е

-,а1ч ф1

1 — е

-,а 2ч ф1

^ехр{— ,(«3ч у а3 + а у + ву )}.

«3 = 0

Тогда,

2П2

(2 Е )17 6\

П

к

ф2

ехр

г Ъг Л

П кф2

£

4

к

ф2

\1 / 3

/1+кф1—к, 1)шшп2 (2е2 х

х

у I (— 1 )у +1 [nV]|nЧу ]ехр{(ч у гп +ау +ву )}

IIV V \1 / 4/„ \1 / 4 2

« у =1

(Е2«3 + е 2,

— 2п 2

)1 / 4 (Е2«3 + е 2/ )/ 4 ч 2 (2 Е )1' 6Ц

П

к

ф2

х

х ехр

Г 1 Л

П кф2

4

к

ф2

■8(к/1 + кф1 — к, 1)Шп2 11(— 1)у+1

х

« у =1

х

[п^][пчу ]ехр{- ,(чугп + ау + ву )}

(Е

2«3 + е 2,

)1 / 4 (Е2«3 + е / )/ 4 ч 2

ф1

1 _ 2п3

= — -12 ^ (2 Е )1 / 6

кф

N3 —14

х I I (— 1)у +1

«3 = 0 у =1

^ кф2 [nv]|nч у]

—8(к /1+ к ф1— к, 1)х

(Е2«3 + е2, )1 / 4 (Е2«3 + е2/ )/4 ч2

2 1 — е - а I ч ф1

П^-х

I=1 1 — е

1 ч ф1

х ехр

с

— 1

«3ч уа 3 + а у + в у + £ —

П кф2

4

к

ф2

2 1 — е " а I ч ф1

+ П^-х

I=1 1 — е

1 ч ф1

1

1

х ехр

«3ч у а3 + а у + в у + £ —

П кф2

4

к

ф2

Суммы в четвертом слагаемом (2.19) также можно упростить, учитывая, что : 2 = I ехр{— ,(ч у гп + а у + в у)}х I ехр{(ч у гп + а у + в у )}=

— е-,Ж1а1чф1 1 — 2 чф1 1 — е,Ж1а1чф1 1 — а2чф1

1—е

1—е

1—е

1 — е—,а1ч ф1 1 — е—,а 2ч ф1 1 — е,а1ч ф1 1 — е,а 2 ч ф1

Ж3—1 Ж3—1 ( ( \\

х I Iехр{— ,(«3чу а3 +ау +ву — «3чуа3 —ау —ву)}.

«3 = 0 «3 = 0

Считая число рассеивающих центров макроскопическим, и переходя к пределу N12 ^ то, найдем:

2 = 4п2 I Ц8(а1чф1— 2П^1Ма2чф1— 2п^2 )х

5, =—ТО =—ТО

Ж3—1 N3 —1

х

I ^ехр{— ,(«3чуа3 +ау +ву — «3чуа3 —ау —ву)}

«3 = 0 «3 = 0

Таким образом, выражение (2.19) преобразуется к виду:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хомяков Владимир Васильевич, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аскарян, Г.А. Возбуждение и диссоциация молекул в интенсивном световом поле / Г. А. Аскарян // Журнал экспериментальной и теоретической физики: ЖЭТФ. - 1964. - Т.46. - Вып.1. - С. 403-415.

2. Никишов, А.И. Квантовые процессы в поле плоской электромагнитной волны в постоянном поле / А. И. Никишов, В. И. Ритус // ЖЭТФ. - 1964. -Т.46. - Вып.2. - С. 776-796.

3. Бурнин, Ф.В. Возбуждение и ионизация атомов в сильном поле излучения / Ф. Б. Бурнин, А. М. Прохоров // Журнал экспериментальной и теоретической физики: ЖЭТФ. - 1964. - Т .46. - Вып. 3. - С. 1090-1097.

4. Зельдович, Я.Б. О лавинной ионизации газа под действием светового импульса / Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер // ЖЭТФ. - 1964. - Т.47. -Вып.4(10). - С. 1150-1161.

5. Келдыш, Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны / Л. В. Келдыш // ЖЭТФ. - 1964. - Т.47. - Вып.5(11). - С. 1945-1957.

6. Бонч-Бруевич, A.M. Многофотонные процессы / A. M. Бонч-Бруевич, В. А. Ходовой // УФН. - 1965. - Т.85. - Вып.1. - С. 3-64.

7. Воронов, Г.С. Ионизация атома ксеона электрическим полем излучения рубинового лазера / Г. С. Воронов, Н. Б. Делоне // Письма в ЖТФ. - 1965. -Т.1. - ВЫП.2. - С. 42-44.

8. Voronov, G.S. Multiphoton Tonization of Atoms and Molecules in the Strong Field of an Electromagnetic Wave /G. S. Voronov, V. M. Gorbunkov, G. A. Delone, N. B. Delone, L. V. Keldish, O. V. Kudrevatova, M. S. Rabinovich // Proceedings of VII th International Conference on Phenomena in Ionized Gases. - Yugoslavia. Belgrad, 1965. - abs. 3.2.5. - P. 72.

9. Бункин, Ф.В. Тормозной эффект в сильном поле излучения / Ф. В. Бункин, М. В. Федоров // ЖЭТФ. - 1965. - Т.49. - Вып.4(10). - С. 1215-1221.

10.Воронов, Г.С. Многофотонная ионизация атомов ксеона излучением рубинового лазера / Г. С. Воронов, Н. В. Делоне // ЖЭТФ. - 1966. - Т.50. -Вып.1. - С. 78-84.

11.Никишов, А.И. Ионизация систем, связанных короткодействующими силами, полем электромагнитной волны / А. И. Никишов, В. И. Ритус // ЖЭТФ. - 1966. - Т.50. - Вып. 1. - С. 255-270.

12.Переломов, A.M. Ионизация атомов в переменном электрическом поле I / A. M. Переломов, B. C. Попов, М.С. Терентьев // ЖЭТФ. - 1966. - Т.50. -Вып.5. - С. 1393-1409.

13. Переломов, A.M. Ионизация атомов в переменном электрическом поле

II / A. M. Переломов, B. C. Попов, М. С. Терентьев // ЖЭТФ. - 1966. - Т.51. - Вып.1. - С. 309-326.

14. Переломов, A.M. Ионизация атомов в переменном электрическом поле III / A. M. Переломов, B. C. Попов, М. С. Терентьев // ЖЭТФ. - 1967. - Т.52. -Вып.2. - С. 514-526.Давыдов, А.С. Квантовая механика / А. С. Давыдов. -М.: Физматлит., 1973. - 704 с.

15.Никишов, А.И. Ионизация атомов полем электромагнитной волны / А. И. Никишов, В. И. Ритус // ЖЭТФ. - 1967. - Т.52. - Вып. 1. - С. 223-241.

16.Шапарев, Н.Я. К вопросу о многофотонной ионизации атома водорода / Н. Я. Шапарев // Оптика и спектроскопия. - 1967. - Т.23. - №1. - С. 178-180.

17.Творогов, С.Д. Многофотонная ионизация атома водорода / С. Д. Творогов, Л. И. Несмеянова // Известия Вузов. Физика. - 1967. - №5. - С. 141.

18.Gontier, J. Multiphoton Ionization of atomic hydrogen in the ground state / J. Gontier, M. Trehin // Phys. Rev. - 1968 - V. 172. - № 1. - P. 83-87.

19.Heuneberger, W.C. Perturbation method for atoms in intense light beams / W. C. Heuneberger // Phys. Rev. Lett. - 1968. - V.21. - №12. - P. 838-841.

20.Коварский, В.А. Многофотонные переходы в дискретном спектре атомов и процессы ионизации в сильном электрическом поле / В. А. Коварский // ЖЭТФ. - 1969. - Т.57. - Вып.5(11). - С. 1613-1622.

21.Творогов, С.Д. Многофотонная ионизация атома водорода / С. Д. Творогов, Л. И. Несмеянова // Известия Вузов. Физика. - 1969. - №3. - С. 159- 160.

22.Зарецкий, Д.Ф. Резонансное возбуждение атомных уровней в сильном электромагнитном поле / Д. Ф. Зарецкий, В. П. Крайнов // ЖЭТФ. - 1974. -Т.66. - Вып.2. - С. 537-541.

23. Зарецкий, Д.Ф. Резонансное многофотонное возбуждение атомных уровней в сильном электромагнитном поле / Д. Ф. Зарецкий, В. П. Крайнов // ЖЭТФ. - 1974. - Т.67. - Вып.10. - С. 1301-1306.

24.Делоне, Н.Б. Многофотонная ионизация атомов / Н. Б. Делоне // УФН. -1975. - Т.115. - С. 361.

25.Berson, I. Multiphoton Ionization in the Gase of Short-Range Potentials /I. Berson // J. Phys. B. - 1975. - V.8. - №18. - P. 3078-3088.

26.Казаков, А.Е. Резонансная ионизация атомов / A. E. Казаков, В. П. Макаров, М. В. Федоров // ЖЭТФ. - 1976. - Т.70. - С. 38-45.

27.Манаков, Н.Л. Теория возмущений для квазиэнергетического спектра атомов в интенсивном монохроматическом поле / Н. Л. Манаков, В. Д. Овсянников, Л. П. Раппорт //ЖЭТФ. - 1976. - Т.70. - Вып.5. - С. 1697-1712.

28.Крайнов, В.П. Теория резонансных многофотонных переходов в трехуровневой системе под действием сильного электромагнитного поля / В. П. Крайнов //ЖЭТФ. - 1976. - Т.70. - Вып.4. - С. 1197-1203.

29. Делоне, Н.Б. Атом в сильном световом поле / Делоне Н. Б., В. П. Край-нов. - М.: Энергоатомиздат, 1984. - 224 с.

30.Раппорт, Л.П. Теория многофотонных процессов в атомах / Л. П. Раппорт, Б. А. Зон, Н. Л. Манаков. - М.: Атомиздат, 1978. - 184с.

31. Шульга, Н. Ф., Сыщенко, В. В. Метод классическоих траекторий в теории излучения электронов высоких энергий во внешнем поле // Изв. Академии Наук, Серия физическая. - 2000. - Т. 64, № 11. - С. 2168 - 2173.

32.Shul'ga N. F., Syshchenko, V. V. Transition radiation of high energy particles on fiber-like targets // Phys. Lett. A. - 2003. - V. 313. - P. 307 - 311.

33.Ритус, В.И. Квантовые эффекты взаимодействия элементарных частиц с интенсивным электромагнитным полем / В. И. Ритус // В сб. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле Тр. ФИАН. - Т.111. - M.: Наука, 1979. - С. 5-151.

34.Никишов, А.И. Проблемы интенсивного внешнего поля в квантовой электродинамике / А. И. Никишов // В сб. Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле. Тр. ФИАН. - Т.111. - М.: Наука, 1979. - С. 152271.

35.Демков, Ю.Н. Интерференция электронов при фотоионизации атома в электрическом поле / Ю. Н. Демков, В. Д. Кондратович, В. Н. Островский // Письма в ЖТФ. - 1981. - Т.34. - Вып.8. - С. 425-427.

36.Harraan, D.A. Hydro genie Stark effect: Properties of the wave functions / D. A. Harraan // Phys. Rev. A. - 1981. - V.24. - №5. - P. 2491-2512.

37.Фабрикант, И.И. Рассеяние электронов на атомах и фоторасщепление отрицательных ионов в однородном электрическом поле / И. И. Фабрикант // ЖЭТФ. - 1982. - Т.83. - Вып.5(11). - С. 1675-1684.

38.Kondratovich, V.D. Resonance and interference phenomena in the photoionization of a hydrogen atom in a uniform electric field: I. Resonances below and above the potential barrier / V. D. Kondratovich, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B. - 1984. - V. 17. - P. 1981-2010.

39. Kondratovich, V.D. Resonance and interference phenomena in the photoionisation of a hydrogen atom in a uniform electric field : II. Overlapping resonances and interference / V. D. Kondratovich, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B. - 1984. - V. 17. - P. 2011-2038.

40. Kondratovich, V.D. Resonance and interference phenomena in the pliotoiomsation of a hydrogen atom in a uniform electric field : III. Comparison with recent experimental and theoretical results / V. D. Kondratovich, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B. - 1990. - V.23. - P. 21-43.

41. Kondratovich, V.D. Resonance and interference phenomena in the photoionisation of a hydrogen atom in a uniform electric field : IV. Differential

cross section / V. D. Kondratovich, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B. - 1990. - V.23.

- P. 3785-3809.

42.Fabrikant, I. I. Rescattering of photodetached electrons in a Stark field /I. I. Fabrikant //Phys. Rev. A. - 1989. - V.40. - №5. - P. 2373-2377.

43.Кондратович, В. Д. Фотоионизация водородопо-добного атома в однородном электрическом поле // В. Д. Кондратович, В. Н. Островский // ЖЭТФ. - 1980. - Т.79. - С. 395-407.

44.Фабрикант, И. И. Интерференционные эффекты при фоторасщеплении и фотоионизации аюмов в однородном электрическом поле / И. И. Фабрикант // ЖЭТФ. - 1980. - Т.79. - С. 2070-2077.

45.Luc-Koenmg, E. Systematic theoretical study of the Stark spectrum of atomic hydrogen I: density of continuum stats / E. Luc-Koenmg, A. Bachelier //J. Phys. B. - 1980. - V.13. - №9. - P. 1743-1767.

46. Gram P.A.M., Pratt J. C., Gates-Williams M. A. et. al. Effect of an Electric Field upon Resonances in the H- Ion // Phys. Rev. Lett. - 1978. - Vol. 40. - P. 107 -111.

47. Ereeman R. R., Economon N. P. Bjorlunal Y. C., Lu. K. T. Observation of Electric - Field - Induced Resonances above the Ionization Limit in a One -Electron Atom // Phys. Rev. Lett. - 1978. - Vol. 41. - P. 1463 - 1467.

48.Крылов, В.И. Ионизация атома водорода быстрыми электронами во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов // Письма в ЖТФ. - 1990. -Т.16. - Вып.23. - С. 60-63.

49.Крылов, В.И. К вопросу о сечении ионизации водородоподобного атома быстрыми электронами в однородном электрическом поле / В. И. Крылов // Краткие сообщения по физике ФИАН. - 1995. - №8. - С. 90-94.

50.Krylov, V.I. The elastic scattering of electrons on the hydrogen-like atom and its Photoionization in a homogeneous electric field / V. I. Krylov, O. V. Kriulina, V. V. Pivkin // Proceedings of Gas Discharges and their Applications. - Greifswald,

- 1997. - Vol.2. - P. 684-687.

51.Крылов, В.И. Анализ дифференциального сечения ионизации водорода быстрыми электронами в однородном электрическом поле / В. И. Крылов,

B. В. Пивкин // Физика плазмы. - 2000. - №5. - С. 478-487.

52.Крылов, В.И. Тормозное излучение, возникающее при столкновении частиц во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов // Известия вузов. Физика. -1994. - №7. - С. 46-50.

53.Крылов, В.И. Тормозное излучение, возникающее при столкновении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле / В. И. Крылов, О. В. Криулина, В. В. Пивкин // материалы международной конференции физика плазмы и плазменные технологии. - Минск, Беларусь. - 1997. - 15-19 сентября. - С. 279-282.

54.Крылов, В.И. Анализ дифференциальных сечений тормозного излучения, возникающего при столкновении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле / В. И. Крылов, В. В. Пивкин // Физика плазмы. - 2000.

- №8. - С. 737-746.

55.Крылов, В. И. К вопросу о сечениях тормозного излучения и упругих столкновений бесструктурных заряженных частиц во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов // Прикладная физика. - 2004. - Вып. 4.

- С. 23-33.

56.Крылов, В.И. Тормозное излучение заряженных частиц, проходящих через слой рассеивающих центров, находящихся в однородном электрическом поле / В.И. Крылов // Прикладная физика. 2007. - №1. - С. 28-36

57.Бондарева, Т.В. Анализ сечений тормозного неполяризованного излучения проходящих через слой рассеивающих центров заряженных частиц в квазистационарном квазиоднородном электрическом поле / Т.В. Бондарева // Сб. научн. трудов "Нелинейные процессы в оптических средах". - 2009. -

C. 96 - 103.

58.Крылов, В.И. Неполяризованное тормозное излучение заряженных частиц, проходящих через слой рассеивающих центров, находящихся в однородном

электрическом поле / В. И. Крылов, Т. В. Бондарева // Прикладная физика. -2010. - №3.

59.Крылов, В.И. Тормозное излучение, проходящих через упорядоченную структуру рассеивающих центров электронов, ускоряемых электрическим полем, и отражающихся в конечном состоянии от его потенциального барьера / В. И. Крылов, Т. В. Бондарева // Прикладная физика. - 2010. -№5.

- С. 19-25

60.Крылов, В.И. Сечение неполяризованного тормозного излучения электронов, проходящих через монослой ионов, находящихся во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов, Т. В. Бондарева // Бюллетень научных сообщений: сб. н. тр., ДВГУПС. - 2010. - С. 52-56.

61.Крылов, В.И. Тормозное излучение, проходящих через упорядоченную структуру рассеивающих центров электронов, ускоряемых электрическим полем, и отражающихся в конечном состоянии от его потенциального барьера / В. И. Крылов, Т. В. Бондарева // Прикладная физика. - 2010.

62.Крылов, В.И. Сечение тормозного излучения электронов, отражающихся в конечном состоянии от потенциального барьера внешнего электрического поля при их прохождении через монослой заряженных частиц / В. И. Крылов, Т. В. Бондарева // Бюллетень научных сообщений: сб. науч. трудов.

- ДВГУПС. - 2010. - С. 56-63.

63. Крылов В.И. Тормозное излучение электронов, проходящих через многослойную систему упорядоченных кулоновых центров, находящихся во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов, М. В. Мизюк // Инженерная физика. - 2013. - №1 - С. 28

64.Крылов В.И. Тормозное излучение нерелятивистских электронов, пронизывающих многослойную упорядоченную систему кулоновых центров при наличии внешнего электрического поля / В. И. Крылов, В. В. Хомяков // Прикладная физика. - 2014. - №2. - С. 13

65.Крылов В.И. Тормозное излучение нерелятивистских электронов, проходящих через многослойную упорядоченную систему кулоновых

центров, находящихся во внешнем электрическом поле / В. И. Крылов, В. В. Хомяков //Успехи прикладной физики. -2014.- №2.-С.101

66.Крылов В.И. Тормозное излучение проходящих через многослойную структуру кулоновых центров электронов, ускоряемых однородным электрическим полем / В. И. Крылов, В. В. Хомяков // Прикладная физика. - 2014. - №5. - С. 29

67.Крылов В.И. Тормозное излучение электронов ускоряемых однородным электрическим полем и проходящих через многослойную структуру кулоновых центров, находящихся в этом же поле / В. И. Крылов, В. В. Хомяков // Инженерная физика. - 2014.-№11.- С. 18-26

68.Крылов В.И. О тормозном излучении проходящих через многослойную структуру кулоновых центров электронов, ускоряемых однородным электрическим полем при его малых значениях / В. И. Крылов, В. В. Хомяков // Прикладная физика. - 2015. - №1. - С. 18-23

69.Крылов В.И. К вопросу о расчете сечений тормозного излучения проходящих через упорядоченную структуру кулоновых центров электронов, ускоряемых однородным электрическим полем / В. И. Крылов, В. В. Хомяков // Успехи прикладной физики. - 2015.-№1.- С. 8-15

70.Зоммерфельд, А. Строение атома и спектры / А. Зоммерфельд. - М.: Госиздат., 1956. - Т.1. - 592 с.

71. Зоммерфельд, А. Строение атома и спектры / А. Зоммерфельд. - М.: Госиздат., 1956. - Т.2. - 695 с.

72. Ландау, Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1974. - 236 с.

73.Берестецкий, В.Б. Квантовая электродинамика / В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. - М.: Физматлит, 2002. - 720 с.

74.Елютин, П.В., Квантовая механика с задачами / П. В. Елютин, В. Д. Кривченков. - М.: Физматлит, 2001. - 304 с.

75.Sommerfeld, A Über die Beugung und Bremsung der Elektronen / A. Sommerfeld // Annalen der Physik, 1931, -Vol. 403, Issue 3, - P. 257-330

76.Kondratovich, V.D. Resonance and interference phenomena in the photoionization of a hydrogen atom in a uniform electric field: I. Resonances below and above the potential barrier / V. D. Kondratovich, V. N. Ostrovsky // J. Phys. B. - 1984. - V. 17. - P. 1981-2010.

77.Бутылкин, B.C. Представление волновой функции по системе неортогональных функций и учет вклада дискретных уровней одночастичной системы в вероятность ее многоквантовой ионизации / B. C. Бутылкин, О. В. Кудреватова //ТМФ. - 1970. - Т.5. - №1. - С. 154-158.

78. Ландау, Л. Д. Квантовая механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Наука, 1974. - 236 с.