Топология и динамика магнитных неоднородностей в магнетиках с одно- и двумерными дефектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Муртазин, Рамиль Равилевич

• Муртазин, Рамиль Равилевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Муртазин, Рамиль Равилевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Динамика доменных границ в ферромагнетиках и слабых ферромагнетиках

1.2 Уравнение синус-Гордона

1.3 Статика и динамика доменных границ в магнетиках с пространственно-неоднородными магнитными параметрами

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С НЕОДНОРОДНОЙ КОНСТАНТОЙ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ

2.1 Основные уравнения и численный метод решения

2.1.1 Выбор метода решения

2.1.2 Аппроксимация уравнений, начальных и граничных условий

2.1.3 Вычислительный алгоритм

2.1.4 Расчет основных динамических характеристик

2.1.5 Проверка схемы

2.2 Динамика срыва ДГ из области одномерного дефекта

2.3 Колебания ДГ в области дефекта

2.4 Влияние внешнего магнитного поля на условия генерации магнитных неоднородностей в области одномерной НКМА

2.5 Генерация магнитных неоднородностей в области двумерной НКМА 70 Выводы к главе 2

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА МАГНИТНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ С НЕОДНОРОДНОЙ КОНСТАНТОЙ МАГНИТНОЙ АНИЗОТРОПИИ И ОБМЕНА

3.1 Основные уравнения и численный метод решения

3.2 Динамика ДГ при наличии ступенчатой пространственной модуляции параметров системы

3.3 Влияние точечного дефекта на динамику ДГ

3.4 Динамика ДГ при наличии локализованной пространственной модуляции параметров системы

3.4.1 Динамика прохождения ДГ через область дефекта

3.4.2 Генерация магнитных неоднородностей в области дефекта в случае слабого магнитного поля

3.4.3 Генерация магнитных неоднородностей в области дефекта в случае сильного магнитного поля

3.5 Генерация двумерных магнитных неоднородностей в области

дефекта

Выводы к главе 3

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ДОМЕННОЙ ГРАНИЦЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСНОГО И ГРАДИЕНТНОГО МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СЛАБЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

4.1 Основные уравнения и численный метод решения

4.2 Динамика ДГ под действием импульсного и градиентного магнитных полей

4.3 Сравнение численного расчета с экспериментальными результатами 132 Выводы к главе 4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

АВТОРСКИЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология и динамика магнитных неоднородностей в магнетиках с одно- и двумерными дефектами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Внимание исследователей достаточно давно привлекает изучение различных видов дефектов в магнитноупорядоченных кристаллах [1]. В магнетиках существуют доменные границы, различного рода магнитные неоднородности, которые образуются в области дефектов. Указанные магнитные неоднородности оказывают определяющее влияние на многие наблюдаемые явления в магнитных материалах, например, процессы перемагничивания магнитных материалов, закономерности ферромагнитного резонанса, гистерезиса, распространения спиновых и упругих волн и других практически важных явлений [2].

Прямая экспериментальная задача получения детальной информации о

распределении и величине магнитных неоднородностей в реальном (дефектном) образце является достаточно сложной, и часто не имеет удовлетворительного решения. Однако свойства доменных границ связаны с макроскопическими измеряемыми параметрами, и одним из важных способов получения информации о свойствах кристалла может быть изучение взаимодействия доменных границ с дефектами [1].

В последнее время широко исследуются многослойные магнитные структуры в связи с возможностью их практического применения [1]. Часто они представляют собой периодически чередующиеся слои двух материалов с различными физическими свойствами. В настоящее время изучается динамика спиновых волн и магнитных неоднородностей, распространяющихся в таких системах вдоль и перпендикулярно границам раздела слоев. Во втором случае часто используются одномерные модели, изучение которых позволяет понять влияние тех или иных магнитных параметров на рассматриваемый процесс [3].

При исследовании динамики линейных и нелинейных волн намагниченности распространяющихся перпендикулярно слоям существует два подхода. В первом из них, используемом часто для изучения динамики спиновых волн, для описания динамики намагниченности в слое рассматривается уравнение Ландау-Лифшица с постоянными параметрами материала, а на границе слоев

требуется выполнение определенных граничных условий [4]. Во втором подходе, наличие слоев, отличающихся друг от друга значением одного или нескольких магнитных параметров, учитывается пространственной модуляцией магнитных параметров материала [5,6].

Влияние локальной и периодической одномерной пространственной модуляции магнитных параметров материала на характер распространения, спектр и затухание спиновых волн, и высокочастотные свойства в ферромагнетиках изучен достаточно хорошо (см., например [4]). При определенных условиях изучение одномерной динамики доменных границ (ДГ), в данном случае, приводит к интересной и с математической точки зрения задаче нахождения решения уравнения типа синус-Гордона с переменными коэффициентами, имеющего важное значение для многих областей современной физики [7-9]. Например, к подобному типу уравнений могут приводить и интенсивно изучаемые в настоящее время нелинейные коллективные возбуждения в геликоидальных магнитных структурах (см., например [10]). В слабо неоднородном случае можно считать, что наличие возмущений не меняет существенно форму ДГ, влияя в основном на ее динамику [5, 6]. В сильно неоднородном случае форма ДГ должна претерпевать сильное изменение, следует ожидать возбуждения внутриграничных мод и излучение объемных спиновых волн. В связи со сложностью задачи, исследователями рассматривалась, как правило, модуляция лишь отдельных параметров магнитной системы. Часто учитывалась, например, модуляция магнитной анизотропии для случая двух- и трехслойного магнетика, причем задачи изучались как аналитическими [5], так и численными методами [3]. Показано, что наличие тонкого слоя с параметрами

магнитной анизотропии меньшей, чем в соседних слоях, может приводить,

1

например, к появлению зародыша новой магнитной фазы, новым динамическим эффектам, таким как отражение движущейся ДГ от «притягивающего потенциала». Для случая двух- и трехслойного магнетика есть работы и с учетом модуляции обменного параметра как для статического [11], так и динамического случая [6, 12-14]. Например, исследовано влияние модуляции обменного

параметра на возбуждение магнитных неоднородностей разного типа [15].

Общефизический интерес к изучению динамики магнитных неоднородностей в магнетиках обусловлен применением этих материалов в устройствах записи и считывания информации, в магнитной памяти, в различных магнитооптических устройствах (модуляторах света, затворах, перестраиваемых дифракционных решетках) и микромагнитных логических элементах. Стабильная работа этих устройств в основном определяется возможностями управления параметрами доменной структуры. Важными параметрами таких устройств являются плотность записи информации и быстродействие, а последнее напрямую зависит от скорости движения ДГ под действием магнитного поля. В последнее время, в связи с развитием спинтроники, большой интерес приобретают исследования по управлению динамикой доменных границ и с помощью электрического поля.

Кроме нелинейных образований типа ДГ, возможно использование и других нелинейных возбуждений в магнитных кристаллах. В частности, большое внимание привлекают исследования солитонов, спиралей, вихрей и т.п. [5, 16]. Исследование влияния внешних воздействий на условия генерации и устойчивость таких структур, с заданными амплитудно-фазовыми характеристиками, и последующее управление их динамикой представляет важным направлением в физике конденсированного состояния.

Изучение динамики магнитных неоднородностей достаточно интересно не только с прикладной точки зрения, но и в плане развития фундаментальных представлений. Для теоретической и математической физики такие пространственно-локализованные структуры, как солитоны, представляют огромный интерес как решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, среди которых особое положение занимает уравнение синус-Гордона [5,7-9,16].

Уравнения динамики доменных границ в веществах с неоднородностями обмена и анизотропии часто сводятся к модифицированному уравнению СГ. Этот же тип уравнения возникает при описании ряда других явлений в

конденсированных средах. Таким образов, доменная граница в магнетиках с неоднородностями является хорошей модельной системой для изучения широкого класса явлений, а поставленная в диссертации задача является актуальной для физики конденсированных сред.

Целью данной работы является теоретическое изучение влияния внешних магнитных полей, затухания и пространственной неоднородности материальных параметров ферромагнетика, таких как магнитная анизотропия и обмен, на генерацию, структуру и динамику магнитных неоднородностей солитонного типа.

В работе рассматриваются одноосные ферромагнетики и двухподрешеточные орторомбические антиферромагнетики со слабым ферромагнетизмом.

Основные задачи работы:

• Провести исследование структуры и динамики магнитных неоднородностей в одноосных ферромагнетиках с произвольной одно- и двумерной неоднородностью обмена и константы магнитной анизотропии во внешнем магнитном поле. Выявить возможности управления параметрами получаемых магнитных неоднородностей.

• Изучить одномерную нелинейную динамику доменных границ в редкоземельных ортоферритах под действием градиентного и импульсного магнитных полей.

Научная новизна:

Разработана программа для решения одно- и двумерного модифицированного уравнения синус-Гордона.

С помощью численных методов исследовано влияние постоянного и переменного внешнего магнитного поля на динамику ДГ в ферромагнетиках с одно- и двумерными локализованными неоднородностями магнитной анизотропии. Изучены процессы генерации в этих областях магнитных неоднородностей солитонного типа.

• С помощью аналитических и численных методов исследовано влияние

локализованных одно- и двумерных неоднородностей обмена и магнитной анизотропии на структуру и динамику ДГ, а также на возможность генерации магнитных неоднородностей солитонного типа в этой области.

• Изучена аналитически и численно динамика ДГ под действием градиентного и импульсного магнитных полей в слабом ферромагнетике.

Научная и практическая значимость. Результаты работы расширяют знания о типах и свойствах магнитных неоднородностей в многослойных магнетиках и магнетиках с дефектами. Некоторые результаты можно сравнить с имеющимися экспериментальными исследованиями и использовать при проведении экспериментов по генерации и изучению магнитных неоднородностей. Изучена возможность управления свойствами и типом магнитной неоднородности, локализованной в области дефекта. Используя движущуюся ДГ в качестве зонда и применяя разработанную теорию, можно определить тип и размеры магнитного дефекта, обусловленного неоднородностью обмена и константы магнитной анизотропии. Полученные численно результаты при сравнении с аналитическими, получаемыми с помощью теории возмущений, позволили определить диапазон малых параметров, где еще работают аналитические модели. Используемые в работе математические модели применяются и в других областях физики, поэтому полученные результаты могут оказаться полезными при решении задач, изучающих нелинейные физические явления.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Результаты численного исследования динамики ДГ, возбуждения и распространения нелинейных волн в трехслойных ферромагнетиках с разными значениями константы магнитной анизотропии в слоях во внешнем постоянном и переменном магнитных полях.

• Результаты численного и аналитического исследований динамики ДГ в ферромагнетиках с одно- и двумерной неоднородностью обмена и константы магнитной анизотропии, с учетом возбуждения локализованных магнитных неоднородностей солитонного типа.

Расчет динамических характеристик ДГ в градиентном и импульсном внешних магнитных полях.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, качественным соответствием ряда полученных результатов экспериментальным данным. При проведении численных расчетов решались сравнительные тестовые задачи.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и представлялись на: Международной Уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005); Всероссийской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа, 2007); Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых - ВНКСФ (Новосибирск 2006, Уфа 2008, Кемерово-Томск 2009); Международной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании» (Уфа 2009, 2010, 2011, 2012); Euro-Asian Symposium "Trends in MAGnetism" Nanospintronics - EASTMAG (Ekaterinburg, 2010); Всероссийской конференции «Приборное и научно-методическое обеспечение исследований и разработок в области микро- и наноэлектроники» (Уфа, 2010); Открытой школе конференции стран СНГ «Ультромелкозернистые и наноструктурные материалы» - УЗНМ (Уфа, 2010); Moscow International Symposium on Magnetism - MISM (Moscow, 2011); Всероссийской молодежной конференции «Актуальные проблемы нано- и микроэлектроники» (Уфа, 2012); Международной конференции «Новое в магнетизме и магнитных материалах» - НМММ (Астрахань, 2012); Joins European Magnetic Symposia (Parma - Italy, 2012), International Symposium «Spin Waves 2013» (Saint Petersburg, 2013).

Публикации. Результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 15 статьях и сборниках тезисов конференций, из них 7 статей входят в список журналов, рекомендованных ВАК для соискателей ученой степени кандидата наук. Зарегистрировано 3 программных продукта в фонде электронных ресурсов

«Наука и Образование».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка публикаций автора и списка цитируемой литературы. Объем работы - 152 страниц. Диссертация включает в себя 89 рисунка. Список цитируемой литературы состоит из 179 наименований.

Во введении обоснована практическая значимость и актуальность темы работы, сформулированы ее цели и задачи, показана научная и практическая ценность, новизна и излагается краткое содержание каждой главы диссертационной работы.

В первой главе приводится обзор работ по теме диссертации. Изложены основные теоретические и экспериментальные результаты по изучению динамики доменных границ, взаимодействия доменных границ с пространственными неоднородностями материальных параметров в магнетиках. Описаны методы решения модифицированного уравнения синус-Гордона, имеющего широкое применение не только в магнетизме, но и в других различных областях физики.

Во второй главе численно исследуется влияние пространственной модуляции параметров магнитной анизотропии на нелинейную динамику ДГ в трехслойном ферромагнетике для одно- и двухмерных моделей. Описан применяемый численный метод решения и проведена оценка его погрешности. Проведено сравнение численных и аналитических результатов.

В одномерной модели рассмотрена динамика ДГ, локализованной в области неоднородной константы магнитной анизотропии (НКМА), под действием постоянного и переменного магнитных полей. Рассмотрена генерация магнитных неоднородностей в виде высокоамплитудных нелинейных волн солитонного и бризерного типа, появляющейся в области НКМА после срыва ДГ под действием внешнего магнитного поля.

В двумерной модели с пространственной неоднородностью константы магнитной анизотропии исследована генерация трех типов локализованных динамических магнитных неоднородностей (пульсон, пульсон переходящий в 2Т)~ солитон, 2Б-солитон), появляющихся в области двумерной неоднородности

константы магнитной анизотропии после прохождения через нее ДГ. Вычислены области значений параметров, определяющих возможность существования каждой из найденных магнитных неоднородностей. Предложены выражения, описывающие структуру полученных магнитных неоднородностей.

В третьей главе численно и аналитически исследуется нелинейная динамика ДГ в ферромагнетике с разными значениями параметра обмена и константы магнитной анизотропии в слоях.

В одномерном случае исследована нелинейная динамика прохождения ДГ области точечного, ступенчатого и протяженного дефектов. Вычислена минимальная скорость ДГ, необходимая для преодоления дефекта и проведено сравнение с аналитическим выражением, полученным с помощью теории возмущения. Установлены ограничения области применимости теории возмущений, при которых ее результаты хорошо совпадают с результатами численного эксперимента. Рассмотрена генерация магнитных неоднородностей, появляющихся в области дефекта после прохождения ДГ в слабом магнитном поле и после срыва ДГ под действием сильного магнитного поля. Показана возможность возбуждения в области дефекта высокоамплитудных нелинейных волн намагниченности солитонного и бризерного типа. Найдены области значений параметров дефекта, определяющих возможность существования каждой из них.

В двумерном случае пространственного распределения константы магнитной анизотропии и параметра обменного взаимодействия, аналогично случаю рассмотренному в главе 2, показано влияние параметра обменного взаимодействия на динамические характеристики магнитных неоднородностей типа пульсон и 2Б-солитон.

В четвертой главе теоретически исследована динамика ДГ под действием градиентного и импульсного магнитных полей в слабом ферромагнетике. Для случая малых внешних магнитных полей аналитическими методами получены формулы для приближенного описания ускоренного движения ДГ, выхода на стационарную скорость для различных режимов движения ДГ и проведено их

сравнение с результатами численного решения. В случае малых внешних магнитных полей численные результаты согласуются с аналитическими решениями.

При исследовании динамики уединенной доменной границы под действием импульсного магнитного поля была определена связь между параметрами импульсного магнитного поля (амплитуда импульса, длительность самого импульса и его переднего фронта) и характеристиками движения ДГ (начальное ускорение, время выхода на стационарное движение, стационарная скорость и максимальное смещение из положения равновесия). Проведено сравнение с известными экспериментальными данными по динамике ДГ в ортоферрите иттрия в импульсном и градиентном магнитных полях. Показано, что экспериментальные данные качественно согласуются с результатами численного моделирования.

В заключении сформулированы выводы по диссертационной работе.

Личный вклад автора. Диссертант принимал участие в постановке задач исследований. Им была разработана программа для численных расчетов и визуализации динамики одномерных нелинейных волн солитонного типа. Проведены все численные эксперименты. Часть аналитических результатов была получена совместно с Екомасовым Е.Г. и Богомазовой О.Б.

ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Динамика доменных границ в ферромагнетиках и слабых

ферромагнетиках

Основные представления о доменной структуре и свойствах доменных границ (ДГ) были развиты в основополагающих работах Вейсса, Блоха, Ландау и Лифшица и Нееля [17-20]. Эксперимент показал, что при отсутствии внешнего магнитного поля магнитный момент ферромагнетика оказывается близким к нулю. Вейсс [17] предположил, что в образце возникают локальные области с различными направлениями магнитного момента таким образом, чтобы суммарное магнитное поле всех областей практически равна нулю. Между этими областями, которые были названы доменами, существуют переходные области, в которых, как предположил впервые Блох, происходит непрерывный поворот магнитного момента. Эти переходные области были названы доменными границами. Экспериментальное доказательство существования доменов и выяснения их роли в намагниченности ферромагнетиков было проведено в классических экспериментах Баркгаузена, Битера, Акулова и Дехтяря, Сикстуса и Тонкса [21-24]. В работах Сикстуса и Тонкса [24] содержится первое сообщение об экспериментах по смещению ДГ.

Первая теория доменной границы принадлежит Блоху [18], который показал, что толщина доменной границы значительно больше постоянной кристаллической решетки. Фундаментом для дальнейшего развития представлений о ДГ в ферромагнетиках стала работа Ландау и Лифшица [19]. Именно здесь была развита теория движения одномерной 180-градусной стенки в пределах малых скоростей и получено линейное соотношение между скоростью стенки и полем, направленным вдоль оси легкого намагничивания (ОЛН). Впервые в работах Ландау и Лифшица было описано распределение намагниченности в блоховской доменной границе и определена толщина и энергия доменной границы, учитывающая энергию магнитной анизотропии и

энергию обменного взаимодействия.

Общеизвестным описанием свойств магнитных материалов является описание в приближении сплошной среды (см. например [25, 26]). В этом приближении намагниченность можно описать вектором Й = Й{?). Модуль вектора Й(/) при неизменной температуре считается постоянной величиной.

Фундаментальным уравнением при теоретическом анализе динамики ДГ является предложенное Ландау и Лифшицем [19] уравнение движения намагниченности:

М = у[й,Яе)Т]+~[й,й\, (1.1)

ш 0

ГУ дР д дР

где И ,, =--— = —-----/ „ ,-ч - эффективное магнитное поле, к = х,у,г,

е1Г 8Й ей дхкд(дй!дхк) ^ > >у>

F - плотность энергии магнетика, М0 - намагниченность насыщения, у-гиромагнитное отношение, а- коэффициент затухания. Релаксационный член в (1.1) записан в форме Гильберта.

Основные представления о линейном движении ДГ были развиты в работе Уокера [27], который нашел точное решение для случая образца с одноосной магнитной анизотропией. В работе проведен анализ стационарного движения ДГ для случая малых скоростей и получена зависимость скорости ДГ от магнитного поля. Такое решение известно как для одноосного, так и для ромбического ферромагнетика, и его принято называть уокеровским решением. Для скорости стационарного движения ДГ была получена формула:

о = цпН

1+ 1

2<2

/ I-х -1-1/2

У

(1.2)

уд

где ¡ли = , Я^ = 2жМа - критическое поле Уокера. ДГ при движении со а

скоростью и сохраняет структуру, аналогично статической ДГ, отличие только в том, что магнитные моменты отклонены от плоскости стенки. Такое движение становится возможным только если 0 < Н < . Толщина ДГ при движении

сокращается, и это сокращение тем больше, чем больше угол выхода А? из плоскости ДГ. Из (1.2) видно, что даже при стационарном движении зависимость скорости ДГ от поля нелинейная.

Когда фактор качества материала £)»1 и О <Н < Н№, а также в случаях

Q>l, Н < Н№ и ()«\, Н « 2~ЩНн,, тогда имеем линейный закон движения ДГ о = ¡ийН, где определяющую роль на структуру ДГ оказывает обменное взаимодействие и анизотропия.

Однако результаты экспериментальных исследований движения ДГ в феррит-гранатах существенно расходятся с данной теорией. Это расхождение было проанализировано рядом авторов (см. например [28]). Для пленок с перпендикулярной магнитной анизотропией анализ имеющихся данных [29] зависимости скорости ДГ от значения внешнего постоянного магнитного поля показали, что они достаточно хорошо описываются двумерной моделью с горизонтальной блоховской линией (ГБЛ) [30], где структура ДГ периодически изменяется из-за перемещения в ней ГЛВ. Исползуемая модель справедлива в квазистационарном приближении. Например, для пленок феррит-гранатов толщиной в несколько микрон, предел применимости этого условия являются поля величиной 10-15 Ое [31].

Применение численных методов позволило выйти за рамки ограничений квазистационарного приближения, учесть изменение структуры ДГ и рассмотреть ее поведение в широком интервале магнитных полей [32, 33].

В пленках с различным типом анизотропии и с разной структурой стенки, линейный режим движения сменяется нелинейным, имеет периодический характер с чередованием поступательной и возвратной фаз [25, 34]. В феррит-гранатовых пленках с перпендикулярной магнитной анизотропией насыщение скорости в продвигающих полях, превышающих некоторое критическое значение, динамика ДГ приобретает хаотические свойства [25, 35]. В сильных продвигающих магнитных полях {Н>4жМ) движение ДГ может сопровождаться возникновением пространственно-периодических искажений, образованием

диффузной границы, генерацией микродоменов перед границей [29].

В настоящее время установлено, что такая сложная картина движения ДГ обусловлена влиянием полей рассеяния. При учете этих полей, одномерное дифференциальное уравнение Ландау-Лифшица становится неодномерным интегро-дифференциальным. Несмотря на ряд достижений в теоретическом описании аспектов динамики ДГ [28], в настоящее время не существует количественной теории, позволяющей полностью описать даже одномерное движение ДГ.

В очень тонких магнитных пленках (<300 А) домены с противоположным направлением намагниченности разделяются неелевскими 180-градусными ДГ (рис. 1.1а), а в относительно толстых магнитных пленках ДГ имеют блоховскую структуру. Для примера рассмотрим динамику ДГ в одноосном бесконечном ферромагнетике с поверхностью, перпендикулярной оси Oz (рис. 1.16). Считая намагниченность h/1 функцией от координаты z, плотность энергии ферромагнетика в угловых переменных m = (sin0cos<p,sin$sin<p,cos0) во внешнем магнитном поле H\\Oz имеет вид [5]:

4- М0Н ь'тб соБф

где М0- намагниченность насыщения, А - константа неоднородного обменного взаимодействия, К, Кр - константы одноосной и ромбической анизотропии. В основном состоянии рассматриваемого магнетика с К<0, К>0 выгодной оказывается в0 - тг/2, ср0 = 0,я", т.е. блоховская 180-градусная ДГ. В сферических координатах уравнение Ландау - Лифшица сводиться к виду:

(1.3)

где

^ а^ а

ЙР ЭF д

, * = 1,2,3.

<5<р дер дхк д(д<р/дхкУ дв дв дхкд(дв/дхк) Подставляя плотность энергии (1.3) в (1.4) получим [5]:

— БШб? = д( У К

а? -Ч м/

дв + сс0 — 0 д1

К бш2 6соъ2ф-М0Н$,т6$т(р-2А-

-{ьш'в^

—ап бш2 в

дг.

~$тв = [2(|+ 2пМ])соб^-2К эт2 ерБтб?соъв-М0НсоБерСОБ6?]

дер

(1.5)

Считаем |К\ + 2пМ\ » Кр, А, НМ0. Полагая в = в0 + в1, в0 = п / 2, где в] « в0, 0 = 0(2,0, (р = (р(гиз (1.5) получим:

дв, У

дг м(

дер 2 У

аг М0

2АГ зт^соз^) - М0Нът(р- 2А

д2<р дг2

-а,

д(р аГ'

- О '

щ

д1

(1.6)

Взяв производную по времени во втором уравнении системы (1.6) считая, что затухания малы а0 «1, получим:

а?

м„

д1

(1.7)

и подставив в (1.7) первое уравнение системы (1.6) после некоторых преобразований:

д2и д2и . . . и ди

—:---- + бш и = п&т--а —

де дх2 2 д1

(1.8)

где и = 2(р, Х = г/д0, 1 = 1озш =?с/ д0, (р - определяет положение вектора

намагниченности М в легкой плоскости ху относительно х, д0 = ^А/ Кр - ширина блоховской ДГ, к = М0Н /К - безразмерное магнитное поле,

с = 2ул1А(\К\ + 27тМ0)/М0- предельная скорость стационарного движения ДГ,

о)ш=2улК(К+2лМ:)/М0

частота ферромагнитного резонанса,

а = а0Л1(\К\ + 2жМ0 )/К - нормированный параметр затухания.

Уравнение (1.8) интенсивно изучаемое в настоящее время, модифицированное уравнение синус-Гордона с переменными коэффициентами. При /7 = 0 и а = 0 оно сводиться к уравнению синус-Гордона, свойства которого подробно изучены и изложены в ряде работ [5, 7-9, 36], и будут обсуждаться в следующих параграфах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Муртазин, Рамиль Равилевич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Hubert, A. Magnetic domains. Springer-Verlag / A. Hubert, R. Schäfer // Hedelberg, Berlin. -1998. -696 p.

2. Туров, E.A. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов / Е.А. Туров // М.: Изд-во АН СССР. -1963. -224 с.

3. Екомасов, Е.Г. Численное моделирование зарождения магнитных неоднородностей в реальных магнетиках /Е.Г. Екомасов, М.А. Шабалин, Ш.А. Азаматов // Электронный журнал «Исследовано в России» . -2005. -154. -С. 1621-1629. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/154.pdf.

4. Кругляк, В.В. Спектр спиновых волн в идеальном мультислойном магнетике при модуляции всех параметров уравнения Ландау-Лифшица / В.В. Кругляк, А.Н. Кучко, В.И. Финохин // ФТТ. -2004. -Т. 46. -№ 5. -С. 842-845.

5. Шамсутдинов, М.А. Ферро- и антиферромагнитодинамика. Нелинейные колебания, волны и солитоны / М.А. Шамсутдинов, И.Ю. Ломакина, В.Н. Назаров др. // М.: Наука. -2009. -456 с.

6. Paul, D.I. Soliton theory and the dynamics of a ferromagnetic domain wall / D.I. Paul // J.Phys. C: Solid State Phys. - 1979. - V. 12. - № 3. - P. 585-593.

7. Додд, P. Солитоны и нелинейные волновые уравнения/ Р. Додд, Дж. Эилбек, Дж. Гиббон, X. Моррис // М.: Мир. - 1988. - 694 с.

8. Браун, О.М. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения / О.М. Браун, Ю.С. Кившарь //М.: Физматлит. -2008. - 519 с.

9. Шаповалов, A.B. Солитоны уравнения синус-Гордона / A.B. Шаповалов, Л.А. Краснобаева // Учебное пособие Томск: Томский государственный университет. -2009. -192 с.

10. Киселев, В.В. Нелинейные коллективные возбуждения в геликоидальных магнитных структурах / В.В. Киселев, A.A. Расковалов // ФММ. -2012. -Т. 113. -№ 12.-С. 1180-1192.

11. Вахитов, P.M. Моделирование процессов перемагничивания ограниченных ферромагнетиков, содержащих дефекты / P.M. Вахитов, Е.Р. Гареева, М.М. Вахитова, А.Р. Юмагузин // ФТТ. -2009. -Т. 51. Вып. 9. -С. 1751-1756.

12. Филиппов, Б.Н. Структура и динамические свойства асимметричных вихреподобных стенок в неоднородных магнитных пленках с плоскостной анизотропией. I. Равновесные структуры. Нелинейная динамика в двухслойных пленках / Б.Н. Филиппов, Ф.А. Кассан-Оглы, М.Н. Дубовик // ФММ. -2009. -Т. 107. -№ 2. -С. 163-175.

13. Дубовик, М.Н. Нелинейная динамика доменных стенок в трехслойных магнитных пленках с наноразмерными слоями / М.Н. Дубовик, Б.Н. Филиппов // ФММ. -2011. -Т. 112. -№ 6. -С. 595-604

14. Киселев, В.В. Вынужденное движение уединенных доменов и доменных границ в поле нелинейной волны намагниченности / В.В. Киселев, A.A. Расковалов // ФММ. -2010. -Т. 109. -№ 6. -С. 625-638.

15. Назаров, В.Н. Влияние одномерных "дефектов" на динамику зародыша новой фазы вблизи фазового перехода I рода в магнетиках / В.Н. Назаров, P.P. Шафеев, М.А. Шамсутдинов, И.Ю. Ломакина // ФТТ.- 2012. -Т. 54. Вып. 2. -С. 282-287.

16. Борисов, А.Б. Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках Т.2 Топологические солитоны, двумерные и трехмерные «узоры» / А.Б. Борисов, В.В. Киселев // ЕкатеренбурггУрО РАН. -2011. -287с.

17. Wiess, P. L'hypotlVese du champ moléculaire et la propriété ferrmognetique/ P. Wiess // J. Phys. Et. Radium. -1907. -V. 6. -P. 661-690.

18. Bloch, F. Zur Theorie des Austauschproblems und der Remanenzerscheinung der Ferromagnetika / F. Bloch // Z. Phys.-1932. -V. 74. -P. 295-335.

19. Landau, L.D. On the theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies / L.D. Landau, L. Lifshitz // Phys. Zs. Sowiet. -1935. -V.8. -P. 153-159.

20. Neel, L. Quelques propriétés des parois des domains élémentaires ferromagnétiques / L. Neel // Cahier de Phys. -1944. -V. 25. -P. 1-20.

21. Barkhausen, H. Zwei mit Hilfe der Neuen Verstarker Entdeckte Erscheinungen // H. Barkhausen // Physik Z. -1919. -20. - P. 401-403.

22. Bitter, F. On inhomogeneities in the magnetization in ferromagnetic materials / F. Bitter // Phys.Rev. -1931. -V. 38. -P. 1903-1905.

23. Акулов, H.C. / Н.С.Акулов, M.B. Дехтяр //Ann. d. Phys. -1932. -Bd. 15. -S. 750.

24. Sixtus, K.J. Propagation of Large Barkhausen Discontinuities / K.J.Sixtus, L. Tonks // Phys. Rev. -1931.-37. -P. 930-958.

25. Хуберт, А. Теория доменных стенок в упорядоченных средах / А. Хуберт // М.: Мир.-1977.-422 с.

26. Браун, У.Ф. Микромагнетизм. / У.Ф. Браун. // М.: Наука. - 1979. - 160 с.

27. Walker, L.R. Dynamics of domain walls. In: Magnetism / L.R. Walker, Quated by Dillon // Ed. By G.T. Rado, H. Suhl. New York: Pergamon Press. -1963. -V. 3. -P. 451-465.

28. Малоземов, А. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими доменами / Малоземов А., Слонзуски Дж. // М.: Мир. - 1982. - 348 с.

29. Волков, В.В. Динамика доменной стенки в ферромагнетике / В.В. Волков, В.А. Боков // ФТТ. -2008. -Т. 50. -Вып. 2. -С. 193-220.

30. Slonczewski, J.С. Theory of domain - wall motion in magnetic films and platelets / J.C. Slonczewski // J. Appl. Phys. -1973. - 44. -P. 1759-1770.

31. Slonczewski, J.C. Force, momentum and topology of a moving magnetic domain / J.C. Slonczewski // JMMM. -1979. -V.12. -P. 108-122.

32. Neu, V. Modelling of the enhanced remanence of nano-crystalline, exchangecoupled hard magnetic grains / V. Neu, A. Hubert, L. Schultz // JMMM. -1998. -V.189. -P.391-396.

33. Rave, W. Micromagnetic calculation of the thickness dependence of surface and interior width of asymmetrical Bloch walls / W. Rave, A. Hubert // JMMM. -1998. - V.184. -P. 179-183.

34. Schryer, N.L. The motion of 180° domain walls in uniform dc magnetic fields / N.L. Schryer, L.R. Walker // J. Appl. Phys. -1974. -45. -P.5406-5421.

35. Badescu, S.C. On the chaotic oscillations of blosh walls and their control / S.C. Badescu, Margareta Ignat and S. Oprisan // Chaos, solitons and fractals. -1997. -V.8. -№ l.-P. 33-43.

36. Косевич, A.M. Введение в нелинейную физическую механику / A.M.

Косевич, A.C. Ковалев // Киев: Наукова думка. -1989. - 304 с.

37. Барьяхтар, В.Г. Динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках / В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, М.В. Четкин // УФН. -1985. -Т. 146.- Вып.З. -С.417-458.

38. Bar'yakhtar, V.G. Dynamics of Topological Magnetic Solitons. / V.G. Bar'yakhtar, M.V. Chetkin, B.A. Ivanov, S.N. Gadetskii. // Berlin: Springer Tracts in Modern Physics, 1994.-V. 129.-182 p.

39. Фарзтдинов, M.M. Физика магнитных доменов в антиферромагнетиках и ферритах. / М.М. Фарзтдинов // М.: Наука. -1981. - 156 с.

40. Звездин, А.К. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках / А.К. Звездин // Письма в ЖЭТФ. - 1979. - Т.29. - Вып. 10. - С.605-610.

41. Екомасов Е.Г. Структура и динамика крупномасштабных магнитных неоднородностей в слабых ферромагнетиках: дисс. ... доктора физико-математических наук: 01.04.07, - Челябинск, 2005. - 281 с.

42. Bobeck, А.Н. Propeties and device application of magnetic domains in ortoferrites / A.H. Bobeck // Bell. Syst. Tech. J. -1967. -V.50. -№ 3. -P. 725-773.

43. Залесский, A.B. ЯМР на ядрах Fe57 и спиновая переориентация в доменах и доменных границах кристаллов ErFeC>3 и DyFeC>3 / A.B. Залесский, A.M. Савинов, И.С. Желудев, А.Н. Иващенко // ЖЭТФ. -1975. -Т.68. -Вып.4. -С.1449-1459.

44. Фарзтдинов, М.М. Структура доменных границ в ортоферритах / М.М. Фарзтдинов, М.А. Шамсутдинов, A.A. Халфина // ФТТ. -1979. -Т.21. -Вып.5. -С.1522-1527.

45. Четкин, М.В. Скорость движения прямолинейной доменной границы в ортоферритах / М.В. Четкин, А.Н. Шалыгин, А де ла Кампа // ФТТ. -1977. -Т. 19.-Вып. 11.-С. 3470-3472.

46. Bergmann, Е.Е. Coherent UV from a TEA N2 laser system / E.E. Bergmann // Appl. Phys. Lett. -1977. -V. 31. -№ 10. -P. 661-663.

47. Васьковский, В.О. Особенности доменной структуры кристаллов ортоферритов в области спиновой переориентации / В.О. Васьковский, Г.С. Кандаурова, Е.В. Синицын // ФТТ. -1977. -Т. 19. -Вып.5. -С. 1245-1251.

48. Кузьменко, А.П. Особенности сверхзвуковой нелинейной динамики доменных границ в редкоземельных ортоферритах. / А.П. Кузьменко, В.К. Булгаков // ФТТ. -2002.- Т.44.- № 5.- С.864-871.

49. Четкин, М.В. Диссипативные структуры при сверхзвуковом движении доменных границ в ортоферритах. / М.В. Четкин, А.К. Звездин, С.Н. Гадецкий и др. // ЖЭТФ. -1988. -Т.94. -Вып.1. -С.269-279.

50. Четкин, М.В. Гироскопическая квазирелятивисткая динамика антиферромагнитного вихря на доменной границе ортоферрита иттрия. / М.В. Четкин, Ю.Н. Курбатова, Т.Б. Шалаева, O.A. Борщеговский // Письма в ЖЭТФ. -2004. -Т.79. -Вып.9. -С. 527-530.

51. Барьяхтар, В.Г. Нелинейные волны и динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках / В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, A.JI. Сукстанский // ЖЭТФ. -1980. -Т.78. -Вып.4. -С. 1509-1522.

52. Андреев, А.Ф. Симметрия и макроскопическая динамика магнетиков / А.Ф. Андреев, В.И. Марченко // УФН. -1980. -Т. 130. -Вып.1. -С.39-63.

53. Chetkin, M.V. Nonlinear domain wall dynamics in Yttriun and Thulium orthoferrites / M.V. Chetkin, A.I. Akhutkina, A.P. Kuzmenko, S.N. Gadetsky // J. Appl. Phys. -1982. -V. 53. -№ 11. -P. 7864-7866.

54. Четкин, M.B. Взаимодействие движущейся доменной границы ортоферрита с волнами Лэмба / М.В. Четкин, А.П. Кузьменко, С.Н. Гадецкий, В.Н. Филатов, А.И. Ахуткина // Письма ЖЭТФ. -1983. -Т.37. -Вып. 5. -С. 223-227.

55. Туров, Е.А. Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков. / Е.А. Туров, A.B. Колчанов и др. // М.: Физматлит. -2001. -560 с.

56. Белов, К.П. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках / К.П. Белов, А.К. Звездин, A.M. Кадомцева, Р.З. Левитин // М.: Наука. -1979. -320 с.

57. Белов, К.П. Редкоземельные магнетики и их применение / К.П. Белов // М.: Наука.-1980.-239 с.

58. Танкеев, А.П. Связанные колебания электронных, ядерных спинов и спонтанной поляризации в мультиффероиках: особенности ЯМР / А.П. Танкеев, В.В. Смагин, М.А. Борич // ФММ. -2011. -Т. 112. -№> 4. -С. 339-350.

59. Akbashev, A.R. Weak ferromagnetism in hexagonal orthoferrites RFeCh (R=Lu, Er-Tb) / A.R. Akbashev, A.S. Semisalova, N.S. Perov, and A.R. Kaul // J. Appl. Phys. -2011. -V. 99. -122502.

60. Pavlov, V.V. Optical properties and electronic structure of multiferroic hexagonal orthoferrites RFe03 (R=Ho, Er, Lu) / V.V. Pavlov, A.R. Akbashev, A.M. Kalashnikova,V.A. Rusakov, A.R. Kaul, M. Bayer, and R.V. Pisarev // J. Appl. Phys. .-2012.-V.ll 1.-056105.

61. Герасимчук, B.C. Динамика доменных границ в легкоплоскостном магнетике в поле звуковой волны /B.C. Герасимчук, A.A. Шитов // ФТТ. -2003. -Т.45. -Вып.1. -С. 119-123.

62. Успенская, Л.С. Динамические магнитные структуры в сверхпроводниках и ферромагнетиках / Л.С. Успенская, А.Л. Рахманов // УФН. -2012. -Т. 172. -№ 7.-С. 681-699.

63. Backlund, A.V. От ytor med konstant negativ krökning / A.V. Backlund // Lunds Universitets Ars-skrift 19, IV. -1882. -P.l-48

64. Френкель, Я.И. К теории пластической деформации и двойникования / Я.И. Френкель, Т.А. Конторова // ЖЭТФ. -1938. -Т. 8. -С. 89-97.

65. Kochendorfer, А. Theorie der Versetzungen in eindimensionalen Atomreihen.I. Periodisch angeordnete Versetzungen / A. Kochendorfer, A. Seeger // Z. Physik. -1950.-127.-P.533-550.

66. Seeger, A. Theorie der Versetzungen in eindi-mensiqnalen Atomreihen. III. Versetzungen, Eigenbewegungen und ihre Wech-selwirkung / A. Seeger, H. Donth, A. Kochendorfer // Zeischrift fur Physik. -1953. -V.134. -P.173-193.

67. Perring, J.K. A model unified field equation / J.K. Perring and T.H.R. Skyrme // Nuclear Physics. -1962. -V. 31. -P.550-555.

68. Josephson, B.D. Supercurrents through barriers / B.D. Josephson // Adv. Phys-1965.-V. 14. -P.419-451.

69. Scott, A.C. A nonlinear Klein-Gordon equation / A.C. Scott // Amer. J. Phys. -1969. -37. -P.52.

70. Ablowitz, M.J. Method for Solving the Sine-Gordon Equation / M.J. Ablowitz, D.

Каир, А.С. Newell, Н. Segur // Phys. Rev. Lett. -1973. -30. -P. 1262-1264.

71. Gardner, C.S. Method for solving the Korteweg - de Vries equation / C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura // Phys. Rev. Lett. -1967. -V. 19. -P.1095-1097.

72. Lamb, G.L. Analytic descriptions of ultrashort optical pulse propagation in a resonant medium / G.L. Lamb // Rev. Mod. Phys. -1971. -43. -P.99-124.

73. Hirota, R. Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple collisions of solitons / R. Hirota // J. Phys. Soc. Japan. -1972. -33. -P. 1459-1463.

74. Eilbeck, J.C. The method of characteristics in the theory of resonant or nonresonant nonlinear optics / J.C. Eilbeck and R.K. Bullough // J. Phys. A. -1972. -5. -P.820-829.

75. Борисов, А.Б. Двумерные топологические дефекты в протяженных джозевсоновских контактах / А.Б. Борисов, В.В. Киселев // ФТТ. -1996. -Т.37. -С.1928-1938.

76. Зыков С.А. Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики, дис. ... канд. физ.-мат. наук. УрО РАН Институт физики металлов 2004 . Екатеринбург.

77. Боголюбский, И.Л. Осциллирующие частицеподобные решения нелинейного уравнения Клейна-Гордона/ И.Л. Боголюбский // Письма в ЖЭТФ. -1976. -Т. 10. -С.579-583.

78. Боголюбский, И.Л. Динамика сферически-симметричных пульсонов большой амплитуды /И.Л. Боголюбский, В.Г. Маханьков. // Письма в ЖЭТФ. -1977. -Т. 25. -№ 2. -С. 120-123.

79. Кившарь, Ю.С. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов / Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал //М.: Физматлит. -2005. -648с.

80. Борисов, А.Б. Новые типы пространственных структур в многоподрешеточных антиферромагнетиках / А.Б. Борисов // ЖЭТФ. — 2005. - Т. 128. -Вып.З. - С.508-524.

81. Borisov, А.В. Spiral vortices in a two-dimensional ferromagnet / A.B. Borisov, I.G. Bostrem., A.S. Ovchinnikov // Phys.Rev.B. -2005. -72. -P. 134423.

82. Kivshar, Yu.S. Dynamics of solitons in nearly integrable systems / Yu.S. Kivshar, B.A. Malomed //Rev. Mod. Phys. -1989. -61. -P.763-915.

83. Fogel, M.B. Dynamics of sine-Gordon solitons in the presence of perturbations / M.B. Fogel, S.E. Trullinger, A.R. Bishop, J.A. Krumhandl // Phys.Rev.B. - 1977. -V.15. -№ 3. - P.1578-1592.

84. Cuenda, S. Nonlinear excitations in DNA: Aperiodic models versus actual genome sequences / S. Cuenda, A. Sanchez // Phys. Rev. E. -2004. -V. 70. -P. 051903.

85. McLaughling, D.W. Perturbation analysis of fluxon dynamics / D.W. McLaughling, A.C. Scott // Phys. Rev. A. -1978. -V. 18. -№ 4. -P.1652-1680.

86. Маханьков, В.Г. Солитоны и численный эксперимент / В.Г. Маханьков // Физика элементарных частиц и атомного ядра. -1983. -Т. 14. Вып.1. -С. 123180.

87. Popov, S.P. Perturber soliton solutions of the sine-Gordon eguation / S.P. Popov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2009. -V. 49. -№ 12. -P. 2085-2091.

88. Дмитриев, С.В. Расчет кинка в дискретной модели Клейн-Гордона свободной от потенциала Пайерлса-Набарро / С.В. Дмитриев, А. Кхаре, С.В. Сучков, Ю.В. Бебихов // Фундаментальные проблемы современного материаловедения (Барнаул). -2009. -№ 1. -С. 90-95.

89. Дмитриев, С.В. Щелевые дискретные бризеры в 2D и 3D кристаллах / С.В. Дмитриев // Письма о материалах. -2011. -Т.1. -С.78-83.

90. Qing, Meng New exact solutions of the (n+l)-dimensional sine-Gordon equation using double elliptic equation method / Meng Qing, He Bin, Rui Weiguo and Long Yao // International Journal of Computer Mathematics. -2010. -V. 87. -№ 3. -P. 591-606.

91. A.G. Bratsos A third order numerical scheme for the two-dimensional sine-Gordon equation // Mathematics and Computers in Simulation. -2007. -76. -P. 271-282.

92. Gonzalez, J.F. King dynamics in spatially inhomogeneous media: The role of internal modes/ J.F. Gonzalez, S. Cuenda, A. Sanchez, // J. Phys. Rev. E. -2007. -V. 75.-036611(7).

93. Makhankov, V.G. Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems) / V.G. Makhankov // Phys. Reports. -1978. -V. 35. -P. 1-128.

94. Guo, B.Y. Numerical solution of the sine-Gordon equation / B.Y. Guo, P.J. Pascual, M.J. Rodriguez, L. Vázquez //Appl. Math. Comput. -1986. -18. -P. 1-14.

95. Xin, J.X. Modeling light bullets with the two-dimensional sine-Gordon equation/ J.X. Xin // Phys. D. -2000. -135. -P.345-368.

96. Nakajima, K. Mechanical analogue of active Josephson transmission line / K. Nakajima, T. Yamashita, and Y. Onodera // J. Appl. Phys. -1974. -45. -P.3141-3145.

97. Nakajima, K. Numerical analysis of vortex motion on Josephson structures / K. Nakajima, Y. Onodera, T. Nakamura, and R. Sato // J. Appl. Phys. -1974. -45. P.4095-4100.

98. Christiansen, P.L. Numerical solutions of 2+1 dimensional sine-Gordon solitons/ P.L. Christiansen, P.S. Lomdahl // Physica 2D. -1981. -P.482-4945.

99. Argyris, J. Finite element approximation to two-dimensional sine-Gordon solitons / J. Argyris, M. Haase, J.C. Heinrich // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. —1991. — 86.-P. 1-26.

100. Bratsos, A.G. An explicit numerical scheme for the sine-Gordon equation in 2+1 dimensions / A.G. Bratsos // Appl. Numer.Anal. Comput.Math. -2005. -2 (2). -P.189-211.

101. Currie, J.F. Numerical simulation of sine-Gordon soliton dynamics in the presence of perturbations / J.F. Currie, S.E. Trullinger, A. R. Bishop and J.A. Krumhansl // Phys. Pev. E. -1977. -V.15. -№ 12. -P.5567-5580.

102. Gorria, C. Kink propagation and trapping in a two-dimensional curved Josephson junction / C. Gorria, Yu.B. Gaididei, M.P. Soerensen, P.L. Christiansen, J.G. Caputo //Phys. Rev. B. -2004. -V.69. -№ 13-P.134506-134515.

ЮЗ.Скалдин, О. А. Асимметрия временной динамики бризеров в электроконвективной твист-структуре нематика / О.А. Скалдин, В.А. Делев, Е.С. Шиховцева // Письма в ЖЭТФ. -2013. -Т. 97. -№ 2. -С. 98-103.

104. Chacon, R. Spatiotemporal chaos in sine-Gordon systems subjected to wave fields: Onset and suppression / R. Chacon, A. Bellorfn, L.E. Guerrero and J.A. Gonzalez

// Phys. Rev. E. -2008. -77:046212.

105. Grauer, Rainer Chaotic and phase-locked breather dynamics in the damped and parametrically driven sine-Gordon equation / Rainer Grauer and Yuri S. Kivshar // Phys. Rev. B. -1993. -V.48. -№ 6. -P.4791-4800.

106. Гарифуллин, P.H. Авторезонансное возбуждения бризера в слабых ферромагнетиках. / Р.Н. Гарифуллин, JI.A. Калякин, М.А. Шамсутдинов // Журнал Вычислительной Математики и математической физики. -2007. -Т. 47. -№ 7. -С. 1208-1220.

107. Ekomasov, E.G. Evolution of sine-Gordon kinks in the presence of spatial perturbations / E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin, Sh.A. Azamatov, A.F. Buharmetov // Functional Materials. -2006. -V. 13. -№ 3, -C. 443^146.

108. Ekomasov, E.G. Simulation the nonlinear dynamics of domain walls in weak ferromagnets / E.G. Ekomasov, M.A. Shabalin // Phys. Met. Metallogr. -2006. -V. 101. -Suppl. l.-P. S48-S50.

109. Гумеров, A.M. Моделирование взаимодействия нелинейных волн в модели синус-Гордона для материалов с дефектами / A.M. Гумеров, Е.Г. Екомасов // Перспективные материалы. -2011. -Спец. вып. №12. -С. 104-108.

110. Волков, Е.А. Численные методы/ Е.А. Волков // М.:Наука. -1987. -248 с.

111. Вонсовский, C.B. Магнетизм. / C.B. Вонсовский. // М.: Наука, 1971. - 1032 с.

112. Филиппов, Б.Н. Статические и динамические свойства доменных стенок в неоднородных по толщине пластинах ЦМД материалов. / Б.Н. Филиппов, А.П. Танкеев, Ю.Г. Лебедев, Е.И. Раевский // ФММ. -1980. - Т.49. -Вып.З. -С.518-531.

ПЗ.Диченко А.Б., Николаев В.В. Образование магнитных доменов в упругом поле дислокаций - В кн.: Динамические и кинетические свойства магнетиков //М.: Наука. - 1986.-248 с.

114. Григоренко, А.Н. Магнитные микроде-фекты в "бездефектных" феррит -гранатовых пленках / А.Н. Григоренко, С.А. Мишин, Е.Г. Рудашевский // ФТТ. -1988. -Т. 30. -№ Ю. -С. 2948-2954.

115. Дзялошинский, И.Е. Домены и дислокации в антиферромагнетиках / И.Е. Дзялошинский // Письма в ЖЭТФ. -1977. -Т. 25. -Вып. 2. -С. 110-112.

Иб.Мицек, А.И. Влияние антифазных границ на магнитные свойства ферромагнетиков / А.И. Мицек, С.С. Семянников // ФТТ. - 1969. - Т.П. -Вып.5. -С. 1103-1113.

117. Дьячук, П.П. Многослойные ферромагнитные структуры с периодическими неоднородностями анизотропии / П.П. Дьячук, Е.В. Лариков // ФТТ. - 1995. -Т.37. -№12. - С.3735-3737.

118. Шамсутдинов, М.А. Колебания доменной границы в магнитном поле в ферромагнетике с неоднородными параметрами / М.А. Шамсутдинов, Б.Н. Филиппов // ФММ.-1991. -Т.8. -С. 87-96.

119. Филиппов, Б.Н. Статические свойства и нелинейная динамика доменных границ с вихреподобной внутренней структурой в магнитных пленках / Б.Н. Филиппов // ФНТ. -2002. -№ 10. -С. 991-1032.

120. Белова, Т.И. О взаимодействии солитона с примесью в теории lambda phiA4__2 / Т.И. Белова, А.Е. Кудрявцев // ЖЭТФ. -1995. -Т. 108. Вып. 4. -С. 1489.

121. Мартыненко, О.П. Физические принципы управления магнитными

мезоскопическими системами / О.П. Мартыненко, В.В. Махро // М: Эдиториал УРСС. -2001. -256 с.

122. Kivshar, Y.S. Quasiclassical quantisation and radiative decay of sine-gordon solitons pinned by a micro-inhomogeneity / Y.S. Kivshar, B.A. Malomed // J. Phys. A: Math. Gen. -1988. -Vol. 21. -№ 7. -P. 1553-1561.

123. Шамсутдинов, M.A. Доменные границы в ферромагнетике с одномерными неоднородностями параметра обменного взаимодействия и константы анизотропии / М.А. Шамсутдинов // ФТТ. -1991. -Т.31. -№ 11. -С. 3336-3342.

124. Плавский, В.В. Характеристики доменной границы, локализованной в области пластинчатого включения, в магнитном поле / В.В. Плавский, М.А. Шамсутдинов, Е.Г. Екомасов, А.Г. Давлетбаев // ФММ. -1993. -Т.75. -Вып.6. -С. 26-33.

125. Delia Torre, Е. A one-dimensional model for wall motion coercivity in magneto-optic media / E. Delia Torre, C.M. Perlov // J.Appl.Phys. -1991. -V.69. -№ 9. -P.4596-4598.

126. Dichenko, A.B. Domain nucleation due to dislocations in cubic ferromagnets / A.B. Dichenko, V.V. Nikolaev, // JMMM. -1985. -V.53. - P.71-79.

127. Vakhitov, R.M. Structure and properties of magnetic inhomogeneities of the "static soliton" tupe in (001) plates with a combined anisotropy / R.M. Vakhitov, V.E. Kucherov // J.Appl.Phys. -1999. -V.85. -№ 1. -P.310-313.

128.Вахитов P.M., Юмагузин A.P. Структура и свойства магнитных неоднородностей, зарождающихся в области неоднородных магнитных полей // ЖФТ. -2001. -Т. 71. Вып. 5. -С. 47-52.

129. Кандаурова, Г.С. Структура доменных границ в кристаллах-пластинах (111) феррита-граната в области температур магнитной компенсации и спиновой переориентации / Г.С. Кандаурова, JI.A. Памятных // ФТТ. -1989. -Т.31. -№ 8. —С. 132-138.

130. Балбашов, A.M. Обнаружение методом ЯМР магнитных неоднородностей в монокристалле YFeO^ / A.M. Балбашов, А.В. Залесский, В.Г. Кривенко, Е.В. Синицын. // Письма в ЖТФ. -1988. -Т. 14. -Вып.4. -С.293-297.

131. Сабитов, P.M. К теории магнитных неоднородностей в ферритах-гранатах с комбинированной анизотропией / P.M. Сабитов, P.M. Вахитов // Изв. Вузов: -Физика. -1988. - №8. -С. 51-56.

132. Вахитов, P.M. Процессы зародышеобразования при спин-переориентационных фазовых переходах в реальных кристаллах / P.M. Вахитов, Е.Р. Гареева, М.М. Вахитов / ФНТ. -2006. -Т. 32. -№ 2. -С. 169-175.

133. Locatelli, N. Reversal process of a magnetic vortex core under the combined action of a perpendicular field and spin transfer torque / N. Locatelli, A.E. Ekomasov, A.V. Khvalkovskiy, Sh.A. Azamatov, K.A. Zvezdin, J. Grollier, E.G. Ekomasov and V. Cros //Appl. Phys. Lett. -2013. -V. 102. -P. 062401.

134. Филиппов, Б.Н. Нелинейная нестационарная динамика неелевских доменных стенок в ультратонких пленках с плоскостной анизотропией / Б.Н. Филиппов, М.Н. Дубовик, Л.Г. Корзунин // ФММ. -2011. -Т. 112. -№ 4. -С. 351-364.

135. Бучельников, В.Д. Отражение электромагнитных волн от поверхности проводящего ферромагнетика в сильном магнитном поле / В.Д. Бучельников,

B.В. Риве // Вестник МаГУ. -2004. -№ 5. -С. 226-230.

136. Баталов, С.В. Резонансные эффекты в динамике магнитного солитона / С.В. Баталов, А.Г. Шагалов // ФММ. -2013. -Т. 114. -№ 2. -С. 115-119.

137. Шамсутдинов, М.А. Структура и динамика доменной стенки в ферромагнетике с неоднородным магнитоэлектрическим взаимодействием / М.А. Шамсутдинов, А.Т. Харисов, Ю.Е. Николаев // ФММ. -2011. -Т. 111. -№ 5. -С. 472-479.

138.Niedoba, Н. Micromagnetics of two-layer laminated films with superimposed domains / H. Niedoba, L.J. Heyderman, H.O. Gupta, I.B. Puchalskal, A. Hubert // J. Appl. Phys. -1991. -V.69. -№3. -P 5865-5867.

139. Labrune, M. 2D wall profiles in exchange coupled bilayers / M. Labrune, J. Miltat // IEEE Transactions on Magnetics. -1993. -V. 29. -№ 6. -P 2569-2571.

140. Береснев, В.И. Тонкая структура доменных границ в магнитостатически связанных двухслойных пленках с поверхностной анизотропией / В.И. Береснев, Б.Н.Филиппов, Л.Г. Корзунин // ФММ. -1998. -Т. 86. -Вып. 5. -С. 6-10.

141. Борисов, А.Б. Вихри и магнитные структуры типа «мишени» в двумерном ферромагнетике с анизотропным обменным взаимодействием / А.Б. Борисов,

C.А. Зыков, Н.А. Микушина, А.С. Москвин // ФТТ. -2002. -№44. -Вып.2. -С.312-320.

142. Шамсутдинов, М.А. Динамика магнитного кинка в обменно-связанных ферромагнитных слоях / М.А. Шамсутдинов, И.Т. Хабибуллин, А.Т. Харисов, А.П. Танкеев // ФММ. -2009. -Т. 108. -№ 4. -С. 345-358.

143.Nazarov, V. Influence of an External Magnetic Field on the Dynamics of a New-Phase Nucleus in the Vicinity of the First-Order Phase Transition in Magnets with Defects Present / V.Nazarov, R. Shafeev // Modern Physics Letters B. -2012. -V. 26.-№28.-P. 1250183.

144. Гуляев, Ю.В. Магнонные кристаллы и спиновые волны в периодических структурах / Ю.В. Гуляев, С.А. Никитов // ДАН. -2001. -Т. 380. -№ 4. -С. 469.

145. Ignatchenko, V.A. Wave spectrum of multilayers with finite thicknesses of interfaces / V.A. Ignatchenko, Yu.I. Mankov, A.A. Maradudin // Phys. Rev. B. -2000. -V. 62. -№ 3. -P. 2181-2184.

146. Маньков, Ю.И. Высокочастотная восприимчивость многослойной ферромагнитной системы с двумерными неоднородностями / Ю.И. Маньков, Д.С. Цикалов // ФТТ. -2010. -Т. 52. Вып. 3. -С. 505-513.

147. Игнатченко, В.А. Спектральные свойства волн в сверхрешетках / В.А. Игнатченко, Д.С. Цикалов // ЖЭТФ. -2011. -Т. 140. Вып. 2 (8). -С. 268-281.

148. Шульга, Н.В. Высокочастотные свойства двухслойной обменно-связанной ферромагнитной структуры / Н.В. Шульга, Р.А. Дорошенко // ФММ. -2012. -Т. 113. -№ 7. - С. 675-678.

149. Шиховцева, Е.С. Влияние нелинейного продольного сжатия на конформационную динамику бистабильных квазиодномерных макромолекул / Е.С. Шиховцева, В.Н. Назаров // Письма в ЖЭТФ. -2007. -Т. 86. -№ 8. -С. 569-573.

150. Шамсутдинов, М.А. Структура и динамические характеристики доменных

границ в магнетиках с неоднородностями магнитной анизотропии / М.А. Шамсутдинов, В.Г. Веселаго, М.М. Фарзтдинов, Е.Г. Екомасов // ФТТ. -1990. -Т.32. -№ 2. - С.497-502.

151. Морозов, A.M. Искажения магнитной структуры тонкого слоя антиферромагнетика в магнитном поле / A.M. Морозов, И.А. Морозов, А.С. Сигов // ФТТ. -2007. -т. 49. -вып. 7. -С.1229-1235.

152. Yamaguchi, A. Real-Space Observation of Current-Driven Domain Wall Motion in Submicron Magnetic Wires / A. Yamaguchi, T. Ono, S. Nasu, K. Miyake, K. Mibu, T. Shinjo // Phys. Rev. Lett. - 2004. -92. -077205.

153. He, J. Effects of current on vortex and transverse domain walls / J. He, Z. Li, S. Zhang // J. Appl. Phys. -2006. -99. -08G509.

154. Stupakiewicz, A. Light-induced magnetic anisotropy in Co-doped garnet films / A. Stupakiewicz, A. Maziewski // Phys. Rev. В. -V. 64. -064405.

155. Кузьменко, А. П. Изучение структурных и размерных особенностей перемагничивания прозрачных слабых ферромагнетиков / А.П. Кузьменко, Е.А.Жуков, В.И. Жукова, Цз Ли, А. В. Каминский // ФММ. - 2008. -Т. 106. -№ 2. -С. 167-175.

156. Львов, B.C. Нелинейные спиновые волны / B.C. Львов // М.: Наука. -1987. -272 с.

157. Боков, В.А. Физика магнетиков / В.А. Боков // СПб: Невский диалект; БВХ-Петербург. -2002. -272 с.

158. Кабыченков, А.Ф. Неоднородное состояние одноосного ферромагнетика в окрестности ориентационного фазового перехода, обусловленное пространственной неоднородностью анизотропии / А.Ф. Кабыченков, В.Г. Шавров // ФТТ.-1987. - Т.29. - Вып.1. - С. 202-203.

159. Badescu, S.C. Modeling the nonlinear dynamics domain walls / S.C. Badescu, V. Badescu, N. Rezlescu, R. Baduscu // JMMM. -1999. -V. 193. -P. 132-135.

160. Balbashov, A.M. / A.M. Balbashov, A.V. Zaleski, V.G. Krivenko, E.V. Sinitsyn // Letters to the Journal of Technical Physics. -1998. -14. -P. 293.

161. Четкин, M.B. Резонансное торможение доменной границы в ортоферритах на винтеровских магнонах / М.В. Четкин, А.П. Кузьменко, А.В. Каминский, В.Н. Филатов // ФТТ. -1998. -Т.40. -№9. -С. 1656-1660.

162. Кузьменко, А.П. Резонансное возбуждение магнитоупругих колебаний в ортоферритах одиночной доменной границей / А.П. Кузьменко, Е.А.Жуков, Ц. Ли // Вестник ТОГУ. -2005. -№ 1. -С. 9-24.

163. Азаматов Ш.А. Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах, содержащих дефекты: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Чел. гос. университет, Челябинск, 2010.

164. Филиппов, Б.Н. Нелинейная динамика вихревой доменной границы в магнитных пленках с плоскостной анизотропией / Б.Н. Филиппов, Л.Г. Корзунин // ФТТ. -1996. -т. 38. -С. 2442-2450.

165. Осипов, С.Г. Динамика двумерной доменной границы в ферромагнитной пленке с одноосной анизотропией / С.Г. Осипов, М.М. Хапаев // ЖЭТФ. -1990. -т. 90. -вып. 4(10). -С. 1354-1363.

166. Попков, А.Ф. Численное интегрирование уравнений Ландау-Лифшица-Гильберта / А.Ф. Попков, Н.В. Воротникова, А.Ю. Полозов // Мат.

Моделирование. - 1999. - т. 11. - № 9. -С. 54-70.

167. Самарский, А.А. Теория разностных схем./ А.А. Самарский // М.: Наука. -1983.-656 с.

168. Федоренко, Р.П. Введение в вычислительную физику / Р.П. Федоренко // Долгопрудный: Интеллект. -2008. -504 с.

169. Барьяхтар, В.Г. Динамика доменных границ в редкоземельных ортоферритах / В.Г. Барьяхтар, Б.А. Иванов, A.JI. Сукстанский // Письма в ЖТФ. 1979 - Т. 5.-Вып. 14 - С.853-856.

170. Четкин, М.В. Генерация пар антиферромагнитных вихрей и их динамика на доменной границе ортоферрита иттрия. / М.В. Четкин, Ю.Н. Курбатова // ФТТ.- 2001.- Т.43.- Вып.8 - С. 1506-1506.

171. Осипов, С.Г. Численное моделирование трехмерных периодических самосогласованных микромагнитных структур / С.Г. Осипов, В.В. Терновский // ФММ. -1990. -№ 5. -С. 181-184.

172. Екомасов, Е.Г. Возбуждение нелинейных уединенных изгибных волн в движущейся доменной границы / Е.Г. Екомасов, Ш.А. Азаматов, P.P. Муртазин // ФММ. - 2009. - т. 108. -№6. - с. 566-571.

173. Johnson, S. New Exact Solutions for the Sine-Gordon Equation in 2+1 Dimensions / S. Johnson, P. Suarez, and A. Biswas // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2012. -V. 52, № 1. -P. 98-104.

174. Malomed, B.A. Dynamics of quasi-one-dimensional kinks in the two-dimensional sine-Gordon model / B.A. Malomed // Physica D. -1991. -V. 52. -P. 157-170.

175. Quintero, N.R. Existence of internal modes of sine-Gordon kinks / N.R. Quintero, A. Sanches, F.G. Mertens // Phys. Rev. E. -2000. -V.62. -№ 1. -P. 60-64.

176. Муртазин, P.P. Нелинейная динамика магнитных неоднородностей в ферромагнетиках с неоднородными параметрами / P.P. Муртазин, Е.Г. Екомасов, В.Н. Назаров, О.Б. Богомазова, И.С. Юлдашбаев, A.M. Гумеров // Международная конференция «Новое в магнетизме и магнитных материалах». Сборник трудов. - 2012. -с. 194-197.

177. Рандошкин, В.В. Прикладная магнитооптика / В.В. Рандошкин, А.Я. Червоненкис // М: Энергоатомиздат, 1990. -320с.

178. Chetkin, M.V. Solitary deflection waves on the supersonic domain wall in yttrium orthoferrite / M.V. Chetkin, Yu.N. Kurbatova, T.B. Shapaeva // JMMM. -2012. -324. -P. 3576-3578.

179. Ландау, Л.Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М.Лифшиц // М.: Наука, 1988. Том 1. -214с.