Топологические состояния высокого порядка и квантово-запутанные состояния фотонных пар в резонансных наноструктурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Олехно Никита Андреевич

• Олехно Никита Андреевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Олехно Никита Андреевич

Реферат

Synopsis

Introduction

1 Generation of entangled surface plasmon-polariton pairs via SPDC of light by a nanoparticle

1.1 Theoretical model

1.1.1 General formalism

1.1.2 Dipole approximation

1.1.3 Generation of entangled surface plasmon-polaritons

1.2 Generation of SPP N00N-states with a GaAs nanoparticle

1.2.1 N00N-state generation via degenerate SPDC at normal pump incidence

1.2.2 Robustness of the N00N-state generation

1.3 Outlook

1.4 Scientific statement

2 Topological edge states of entangled photon pairs in coupled cavity arrays

2.1 Theory

2.1.1 Two-photon Bose-Hubbard model with on-site interaction

2.1.2 Equivalent two-dimensional tight-binding model

2.1.3 Classification of two-photon excitations

2.2 Equivalent electrical circuit

2.2.1 Circuit derivation

2.2.2 Experimental realization

2.2.3 Excitation of the modes in the electrical circuit

2.2.4 Doublon spectroscopy

2.2.5 Eigenmode reconstruction

2.3 Topological properties

2.4 Effects of disorder

2.5 Outlook

2.6 Scientific statement

3 Statistics-induced topological edge states of anyons in coupled cavity arrays

3.1 Theoretical model

3.1.1 Particle number conservation

3.1.2 Wave function symmetry

3.1.3 Tight-binding equations

3.2 Two -anyon states in the model

3.3 Equivalent electrical circuit

3.3.1 Electrical circuit derivation

3.3.2 Numerical model of equivalent electrical circuit

3.4 Numerical simulations of the equivalent circuit

3.5 Outlook

3.6 Scientific statement

4 Higher-order topological states in two-dimensional cavity arrays with D4 symmetry and next-nearest neighbor couplings

4.1 Theoretical description

4.1.1 Extended Su-Schrieffer-Heeger model

4.1.2 Generalized chiral symmetry

4.1.3 Bulk, edge, and corner excitations in the extended 2D SSH model

4.1.4 Bound states in the continuum

4.2 Electrical circuit realization

4.2.1 Circuit derivation

4.2.2 Numerical simulations of the circuit

4.2.3 Experimental setup and measurements

4.3 Topological properties

4.3.1 Theoretical evaluation

4.3.2 Retrieval of the topological invariant in experiments

4.4 Outlook

4.5 Scientific statement

Conclusion

Acknowledgements

Acronyms

References

Appendix A. Texts of author's main publications

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические состояния высокого порядка и квантово-запутанные состояния фотонных пар в резонансных наноструктурах»

Актуальность темы

Квантовые (характеризуемые неклассической статистикой) состояния света [1] активно изучаются как в контексте развития фундаментальной физики, так и для реализации практических приложений. Особый интерес представляют двухфотонные состояния света, как простейший пример состояний, для которых может проявляться квантовая запутанность - явление, при котором общая волновая функция системы из двух фотонов не может быть представлена как произведение волновых функций первого и второго фотонов по отдельности, то есть, между фотонами есть квантовые корреляции, и, измерив состояние одного из них, можно получить информацию о состоянии другого [2].

Основным способом получения квантово-запутанных фотонных пар является спонтанное параметрическое рассеяние света (СПР) - процесс, при котором среда с нелинейным диэлектрическим откликом второго порядка х(2) поглощает один фотон на частоте накачки (х>ритр, а испускает два фотона, сигнальный и холостой, на частотах и соответственно [3]. Получаемые таким образом состояния при правильном подборе геометрии возбуждения среды и геометрии детектирования рождённых фотонов оказываются квантово-запутанными [4].

В последнее время, ввиду общей тенденции к миниатюризации оптических компонентов и их реализации в составе интегральных нанофотонных чипов, возник особый интерес к исследованию генерации фотонных пар в ходе СПР различными наноструктурами, например, отдельными нанорезона-торами [5] и метаповерхностями [6]. Также, недавно было экспериментально продемонстрировано, что поверхностные плазмон-поляритоны - гибридные состояния электромагнитных волн и плазменных колебаний в металле, распространяющиеся на границе раздела металл-диэлектрик и позволяющие ло-кализовывать свет на субволновых масштабах, способны сохранять квантовую запутанность достаточно долго, чтобы приводить к квантовой интерференции [7]. Это придаёт особую актуальность исследованию генерации запутанных

пар поверхностных плазмон-поляритонов в ходе СПР нанорезонаторами и наночастицами.

Наравне с генерацией квантово-запутанных пар фотонов, большую важность имеет управление их распространением и локализацией в пространстве. Однако, в микро- и наноструктурах в процессе их изготовления могут возникать различные неидеальности геометрии, способные привести к поглощению или рассеянию одного или обоих фотонов запутанной пары, а также изменению их относительной фазы. Одной из перспективных идей для ослабления роли этих негативных эффектов является реализация топологических краевых состояний, устойчивых к рассеянию на дефектах за счёт защищённости специальными симметриями системы [8].

В отличие от топологических состояний классического света, которые уже сравнительно хорошо изучены теоретически и неоднократно реализовывались экспериментально [9], топологические состояния квантового света остаются менее исследованными. В то же время, в ряде недавних экспериментов был успешно продемонстрирован потенциал таких квантовых состояний, включая распространение запутанных фотонных пар в структуре на основе одномерного массива кремниевых волноводов, реализующей модель Су-Шриффера-Хигера [10], а также генерацию квантово-запутанных пар за счёт спонтанного четырёхволнового смешивания на топологических краевых модах в двумерных массивах связанных кольцевых резонаторов [11]. Кроме того, активно исследуются топологические краевые состояния дублонов (связанных пар фотонов, распространяющихся в нелинейных системах с эффективным взаимодействием между фотонами) [12]. Таким образом, благодаря современным технологическим достижениям топологические состояния фотонных пар могут быть реализованы экспериментально, поэтому их детальное теоретическое исследование становится особенно актуальным.

Топологическая защищённость может по-разному проявляться в зависимости от квантовой статистики частиц. Наряду с бозонами и фермионами значительное внимание уделяется в последнее время исследованию частиц с дробной квантовой статистикой - энионов, существующих в одномерных и двумерных системах и демонстрирующих промежуточные свойства между бозонами и фермионами [13]. Несмотря на то, что недавно свойства энионов

были напрямую исследованы экспериментально [14, 15], ввиду сложности проведения подобных экспериментов активно развиваются методы аналогового моделирования частиц с дробной квантовой статистикой с помощью систем фотоники [16].

Кроме того, близкой к описанию топологических состояний фотонных пар задачей является исследование топологических краевых состояний высокого порядка в двумерных массивах оптических резонаторов, поскольку между двухфотонными одномерными задачами и двумерными моделями сильной связи может быть установлено строгое соответствие [17]. В свою очередь, топологические состояния высокого порядка представляют интерес для создания устойчивых к дефектам изготовления оптических резонаторов, которые могут найти применение при реализации лазеров [18].

Целью диссертационной работы является исследование механизмов образования двухфотонных топологических краевых состояний и квантово-запутанных состояний, а также выявление общих подходов для описания двухфотонных топологических состояний и топологических состояний высокого порядка с помощью модифицированных двумерных моделей сильной связи.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1. Теоретическое описание нелинейной генерации квантово-запутанных пар фотонов и поверхностных плазмон-поляритонов в наноструктурах

2. Исследование образования топологических краевых состояний фотонных пар в массивах связанных резонаторов, а также разработка методов аналогового моделирования собственных мод в таких квантовых системах с помощью классических электрических цепей и их экспериментальная реализация

3. Исследование образования топологических краевых состояний пар частиц с дробной квантовой статистикой (энионов)

4. Исследование образования топологических состояний высокого порядка в двумерных моделях сильной связи и их экспериментальная реализация с помощью электрических цепей

Научная новизна

1. Теоретически предсказана возможность генерации квантовых N00^ состояний пар поверхностных плазмон-поляритонов с N = 2 в ходе вырожденного спонтанного параметрического рассеяния света нано-частицей с нелинейным диэлектрическим откликом второго порядка, расположенной на интерфейсе металл-диэлектрик. Показана устойчивость процесса генерации по отношению к изменению угла падения излучения накачки.

2. Впервые теоретически исследована генерация квантово-запутанных пар поверхностных плазмон-поляритонов при невырожденном спонтанном параметрическом рассеянии света наночастицей.

3. Разработана схема электрической цепи, позволяющей осуществить аналоговое моделирование процесса образования топологических краевых состояний фотонных пар в рамках проведения классических экспериментов. Разработанная цепь смоделирована численно и реализована в эксперименте. С помощью полученной установки проведено аналоговое моделирование индуцированных взаимодействием краевых состояний фотонных пар, а также извлечён соответствующий топологический инвариант.

4. Произведён численный расчёт механизмов возникновения топологических краевых состояний пар взаимодействующих частиц с дробной квантовой статистикой (энионов), распространяющихся в одномерных массивах связанных резонаторов. Показано, что локализация данных состояний определяется особенностями квантовой статистики частиц.

5. Разработана схема электрической цепи для аналогового моделирования предсказанных краевых состояний пар энионов, и осуществлено её численное моделирование.

6. Показано, что учёт туннельных связей между минимальным набором не-ближайших резонаторов в двумерных массивах туннельно-связанных резонаторов с чередующимися константами связи позволяет объяснить

возникновение запрещённой зоны и топологических краевых состояний высокого порядка в таких системах. Предложенная модель исследована численно и реализована в эксперименте с помощью резонансной электрической цепи.

7. Впервые экспериментально извлечён топологический инвариант, характеризующий возникновение топологических состояний высокого порядка в двумерной системе.

Фундаментальная и практическая значимость

Фундаментальная значимость работы состоит в разработке теоретического описания генерации квантово-запутанных пар плазмон-поляритонов при спонтанном параметрическом рассеянии света отдельными наночастицами, предсказании новых типов топологических краевых состояний пар фотонов, частиц с дробной квантовой статистикой (энионов) и классического света в массивах туннельно связанных микрорезонаторов, а также в развитии экспериментальных подходов аналогового моделирования таких квантовых и классических систем нанооптики с помощью макроскопических электрических цепей, позволяющих осуществить доступную косвенную экспериментальную проверку теоретических предсказаний.

Практическая значимость работы обусловлена разработкой метода генерации квантовых ^О^состояний пар поверхностных плазмон-поляритонов, представляющих интерес для высокоточной метрологии за счёт возможности преодоления стандартного квантового предела точности интерферометри-ческих измерений фазы, а также перспективами разработки резонаторов и волноводов для квантового и классического света на основе нано- и микроструктур, которые будут устойчивы к неидеальностям изготовления за счёт применения принципов топологической защиты оптических состояний.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. В процессе спонтанного параметрического рассеяния света наночасти-цами из арсенида галлия, расположенными вблизи интерфейса металл-

диэлектрик, при нормальном падении излучения накачки в ТМ-гео-метрии возможна генерация квантово-запутанных ^О^состояний пар плазмон-поляритонов с N = 2.

2. Аналоговое моделирование двухфотонных топологических краевых состояний, индуцированных взаимодействием между фотонами в одномерных массивах туннельно-связанных микрорезонаторов, описываемых расширенной моделью Бозе-Хаббарда, может быть осуществлено при помощи двумерной классической резонансной электрической цепи с резонансами в частотном диапазоне 6 — 11 кГц.

3. В одномерных массивах туннельно-связанных микрорезонаторов, описываемых расширенной моделью Бозе-Хаббарда, существуют топологические краевые состояния пар взаимодействующих частиц с дробной квантовой статистикой (энионов), существование и локализация которых определяются квантовой статистикой частиц, и которые могут быть аналогово смоделированы с помощью двумерной классической электрической цепи, поддерживающей резонансы в частотном диапазоне 10 — 15 кГц.

4. В двумерных массивах туннельно-связанных микрорезонаторов с чередующимися амплитудами туннельных связей, описываемых двумерной моделью Су-Шриффера-Хигера, наличие дополнительных туннельных связей между диагонально-противоположными резонаторами в элементарной ячейке, включающей туннельные связи с большей амплитудой, приводит к возникновению нульмерных топологических состояний высокого порядка, локализованных на углах системы, с энергиями, лежащими в запрещённой зоне.

Основные методы исследования

Для решения поставленных задач использовались аналитические методы, включая метод диадных функций Грина, решение задач на собственные значения для моделей сильной связи, решение систем линейных уравнений и поиск собственных функций заданного вида для гамильтонианов в представлении

вторичного квантования, а также численные методы, включая численное решение систем линейных уравнений, задач на собственные значения, и численный расчёт интегралов в программном пакете MATLAB, а также численное моделирование в Keysight Advanced Design System.

Достоверность полученных теоретических предсказаний подтверждается использованием проверенных теоретических и численных методов, их сопоставлением с численным моделированием, а также сравнением с экспериментальными результатами.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 15 ведущих международных и всероссийских конференциях, симпозиумах и научных школах, включая Conference on Lasers and Electro-Optics CLEO (online, 2021), Topological Matter School (online, 2021), International Conference on Metamaterials and Nanophotonics METANANO (Сочи, 2018; Санкт-Петербург, 2019; online, 2020), SPb Photonic, Optoelectronic, and Electronic Materials SPb-POEM (online, 2020; Санкт-Петербург, 2021), Progress in Electromagnetic Research Symposium PIERS (Сямэнь, Китай, 2019), Всероссийскую молодежную конференцию по физике полупроводников и наноструктур, полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Санкт-Петербург, 2017; 2018), Doctoral Summer School on Topological Photonics (Санкт-Петербург, 2019), Российскую школу по квантовым технологиям (Сочи, 2018; 2019), OSA Advanced Photonics Congress (Цюрих, Швейцария, 2018), Международную зимнюю школу по физике полупроводников ФТИ им. А.Ф. Иоффе (Зеленогорск, 2018), а также на семинарах в Университете ИТМО (2019) и Московском физико-техническом институте (2020).

Личный вклад автора

Все представленные в диссертации результаты получены автором лично, либо при его определяющем участии. Так, автором были выполнены все представленные в диссертации аналитические и численные расчёты, включая исследование генерации квантово-запутанных пар поверхностных плазмон-

поляритонов, изучение энергетического спектра и собственных мод массивов связанных резонаторов, а также сопоставление моделям сильной связи эквивалентных электрических цепей.

Наряду с теоретическими исследованиями, автор также выполнял постановку задач для численного моделирования и экспериментов, непосредственно участвовал в проведении численного моделирования, изготовлении экспериментальных установок и проведении измерений, а также обработке и интерпретации полученных результатов.

Рукописи всех девяти работ, на которых основана диссертация, оформлялись с определяющим участием соискателя, что, как и его определяющий вклад в научную составляющую работ, подтверждается его первым авторством в восьми из них.

Содержание диссертации и научные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в работу.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы. Объём работы составляет 175 страниц, включая 30 рисунков. Список используемой литературы содержит 159 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится анализ современного состояния теоретических и экспериментальных исследований генерации квантово-запутанных фотонов и плазмон-поляритонов в наноструктурах, а также топологических краевых состояний квантового и классического света, показывается актуальность работы.

В первой главе теоретически рассматривается генерация пар квантово-запутанных поверхностных плазмон-поляритонов (ППП) в ходе спонтанного параметрического рассеяния света (СПР) наночастицей из арсенида галлия, расположенной на границе раздела металл-диэлектрик, рисунок 1(а). В ходе такого процесса наночастица, материал которой характеризуется наличием

ненулевых компонент тензора нелинейной диэлектрической восприимчивости второго порядка (¡х>) поглощает фотон излучения накачки с частотой (х>ритр и возбуждает на границе два ППП, холостой с частотой и сигнальный с частотой ¡х>8. В рамках диссертации рассматривается возбуждение наночастицы в ТМ-геометрии, когда излучение накачки падает на границу раздела под углом в к нормали, а также случай субволновых частиц, характерный размер которых много меньше длины волны излучения накачки, и которые могут быть рассмотрены в приближении точечного электрического диполя.

Теоретическое описание генерации пар ППП осуществляется в рамках аппарата, разработанного в [19] и основанного на вычислении темпа двухфо-тонного детектирования

К

W = — |Т(ri,^i,di,rs,ws,ds)|2£(^pump - frw[ - hus), (1)

где двухчастичная амплитуда

T = (Gaß(ri, rc,^i)r^7(rc)G7j(ro, rs,^s) |d(s)) . (2)

определяется как свёртка диадных функций Грина Gaß для сигнального и холостого плазмонов, возбуждаемых дипольным источником (наночастицей), а также матрицы генерации Г и векторов дипольных моментов детекторов dis,

регистрирующих электрическое поле плазмон-поляритонов. Матрица генера-

(2)

ции (r0) = Xaß-y(r)Epump(r0), в свою очередь, включает тензор нелинейной

(2)

диэлектрической восприимчивости второго порядка Xaß1 и электрическое поле падающей волны Epump. В выражениях выше r0 обозначает координату центра наночастицы, V0 - объём наночастицы, а ri и rs отвечают точкам пространства, в которых производится детектирование холостого и сигнального ППП.

Как показано в данной главе, в случае нормального падения линейно-поляризованной волны накачки на наночастицу из арсенида галлия, расположенную на интерфейсе «серебро-воздух», и при регистрации электрического поля ППП детекторами, поляризованными вдоль оси z (рисунок 1(а)) возможно наблюдение квантово-запутанных NOON-состояний ППП (рисунок 1(б,в)). В таких состояниях оба ППП на частотах и ¡x>s распространяются сона-правленно и могут быть зарегистрированы только в одной и той же моде. На рисунке 1(в) приведён темп двухфотонного детектирования для случая

(б)

(а)

си , ,6а, ж \

+

СО +00

ритр кЯег э/дпа!

(в)

е\к

\ С0[,С08

ах

1

03,

<1

Xя

СО

Ад

п/2 £ 0 -п/2

-п -п/2

Рисунок 1 — (а) Схема процесса СПР: наночастица из арсенида галлия располагается на интерфейсе «серебро-воздух» и освещается волной накачки на частоте ^ритр в ТМ-геометрии при падении волны под углом в к нормали интерфейса. (б) Иллюстрация ШО^состояния пар ППП, при котором оба плазмона могут быть зарегистрированы одновременно в одной или другой из двух основных мод. (в) Нормированный на максимальное значение темп двухфотонного детектирования Ж для ППП в ШО^состоянии при длине волны накачки Аритр = 750 нм в случае, когда поляризованные вдоль оси ^ детекторы и центр наночастицы диаметром 30 нм располагаются на высоте 15 нм над интерфейсом

п

-п

вырожденного СПР (^ = ) в зависимости от угловых положений детекторов, демонстрирующий наибольшую вероятность детектирования ППП в направлениях = п/2 и = —п/2 относительно плоскости падения волны накачки.

Далее, рассматривается случай невырожденного параметрического рассеяния щ = . Для определения, при каких условиях состояние пары ППП является квантово-запутанным и отвечает условиям ^0^состояния, в первой главе вычисляются число Шмидта К (рисунок 2(а)) и показатель качества состояний, определяемый набором критериев для двухчастичной амплитуды. Как видно из рисунка 2(а), значение К = 2, отвечающее квантовому состоянию максимальной запутанности, наблюдается либо при очень близких

(б)

(а)

3,5

3 -

2,5 -

W/ W

1

/

t

2

1,5

(в),

п/2 £Ф 0

0,5 -п/2

(г) п

п/2

s? 0

-п/2

W/ W

max

1

-п -п -п/2 0 п/2 п -п -п -п/2 0 п/2 п 9s 9s

0,1 Да/а>]

(д) п

0 п/2

s? 0

-п/2

(е)

п/2 s? 0 -п/2

-п -п/2 0 п/2 п 9s

-п -п/2 0 п/2 п 9s

Рисунок 2 — (а) Зависимость числа Шмидта К от разности частот сгенерированных ППП Аш = — для параметров системы как на рисунке 1(в). На вставках показаны темпы двухфотонного детектирования Ш на частотах, отмеченных штриховой линией на основном графике. (б) Иллюстрация эффективных дипольных источников, испускающих сигнальный и холостой ППП при возбуждении частицы волной накачки под углом в к нормали интерфейса. (в-е) Темпы двухфотонного детектирования для вырожденного СПР с

Л

pump

= 750 нм при различных углах падения волны накачки относительно

нормали к интерфейсу

л

1

-п

-п

частотах и , либо в случае, когда и разделены частотными интервалами, при которых соответствующие компоненты диадных функций Грина для сигнального и холостого ППП характеризуются теми же значениями фазы в точках расположения детекторов, что и в случае = = ^ришр/2. Также, исследуется генерация квантовых состояний ППП в случае падения волны накачки под углами, отличными от нормали к интерфейсу, рисунок 2(б-е). Полученные результаты показывают, что квантовое состояние сгенерированной плазмонной пары оказывается близким к ^О^состоянию даже при углах падения волны накачки, отличных от нормали.

Вторая глава посвящена теоретическому рассмотрению двухфотон-ных топологических краевых состояний и их аналоговому моделированию в эксперименте.

В данной главе рассматривается одномерный массив из N туннельно-связанных оптических резонаторов с локализованными в нём двумя фотонами (рисунок 3(а)), описываемый гамильтонианом расширенной модели Бозе-Хаббарда (рисунок 3(б)):

N N-1 N

Н = ™т - ¿ X «т+1 + + ^ ^ ™то(™то - 1) +

то=1 т=1 т=1

р -1)/2

+ ~2 ^ + а2.?0-2з^2з-1 , (3)

3=1

где и ато - операторы рождения и уничтожения для фотона в резонаторе с номером т, пто = а4ато - оператор числа частиц в резонаторе. Первое слагаемое описывает собственную энергию фотонов в системе 2ш0, где ш0 - энергия одиночного фотона в резонаторе. Второе и четвёртое слагаемые отвечают туннелированию одного фотона либо двух фотонов сразу между соседними резонаторами с константами связи 3 и Р, соответственно. Третье слагаемое описывает ситуацию, когда между двумя фотонами есть взаимодействие, вызванное нелинейностью резонатора и приводящее к сдвигу энергии на величину 2и для фотонов, локализованных в одном резонаторе. В данной главе рассматривается случай и > 0, отвечающий эффективному отталкиванию между фотонами в резонаторе.

Поскольку гамильтониан (3) коммутирует с оператором числа частиц Х^то "ато (что отвечает сохранению числа фотонов в одномерном массиве резонаторов), двухчастичная волновая функция может быть представлена в виде

1 М

^ = 7/2 X Ртоп аТО4 I0) . (4)

то,п=1

Тогда задача на собственные значения Н \ф) = Е \ф) для гамильтониана (3) принимает вид, аналогичный системе уравнений сильной связи для двумерной задачи. Таким образом, исходная двухчастичная одномерная квантовая задача эквивалентна двумерной модели сильной связи с координатами узлов (т,п), описывающей классическую двумерную систему связанных оптических резонаторов. Далее, полученную задачу можно свести к эквивалентной электрический цепи, правила Кирхгофа для которой в точности соответствуют

(а)

(в)

(т,п) У

р р |2>

ш0+2и j j j |1>

{ "0 |0>

1 2 3 4

С, ф X Ср

ы уь-+

Источник напряжения

(г)

j

5

Рисунок 3 — (а) Схематическое изображение одномерного массива туннельно-связанных резонаторов с двумя фотонами. На иллюстрации показано состояние а\ а^ |0). (б) Схематическое изображение гамильтониана (3). (в) Схема эквивалентной двумерной электрической цепи. Узлы цепи соединены между собой конденсаторами Сз и Ср, а также заземлены индуктивностями Ь и конденсаторами Си (для диагональных узлов, выделенных красным). (г) Фотография экспериментально реализованной цепи в виде печатной платы размером 15 х 15 узлов. На вставке показано увеличенное изображение элементарной ячейки

уравнениям сильной связи для двумерной модели (рисунок 3(в)). Эквивалентная электрическая цепь по своему виду схожа с двумерной моделью сильной связи, с точностью до замены туннельных связей 3 и Р на комплексные импедансы, роль которых в разработанной модели играют конденсаторы Сз и Ср, соответственно. При этом, все узлы электрической цепи должны быть заземлены посредством катушек индуктивности Ь, а также дополнительных конденсаторов Си и Сз (Ср) для диагональных узлов (т = п) и узлов, расположенных на краю цепи (т = 1, N либо п =1, N), соответственно. Соотношения, связывающие параметры модели сильной связи и эквивалентной

электрической цепи, имеют следующий вид:

3 = 1,и = Р = (5)

в то время как собственные энергии в модели сильной связи обратно пропорциональны квадратам частот резонансов в электрической цепи:

е = I- 4 Г0 = 4^ (6)

Предложенная цепь реализована экспериментально в виде печатной платы из фольгированного текстолита, к которой припаяны выводные катушки индуктивности номиналом Ь = 22.77 дН и конденсаторы для поверхностного монтажа номиналами С] = 1.00 Си = 10.03 и СР = 4.19 соответственно (рисунок 3(г)).

В рассмотренной системе можно выделить три типа двухчастичных состояний (рисунок 4(а)): квази-независимые (свободные) состояния фотонов, которым отвечают энергии £ из континуума, связанные состояния фотонных пар (дублоны), которым соответствуют две ветви дисперсии с большими энергиями, чем у состояний континуума (в рассматриваемой модели с и > 0), а также краевое состояние дублонов, энергия которого находится в запрещённой зоне дублонных состояний. Подобная картина энергий наблюдается как в численном расчёте для модели сильной связи размером 15 х 15 узлов (рисунок 4(б)), так и в экспериментально реализованной электрической цепи (рисунок 4(в)). При исследовании спектральных свойств последней рассматривалась величина

N

ЗД) = £ кл2, (7)

п=1

представляющая собой сумму квадратов потенциалов на диагональных узлах цепи рпп при подаче внешнего гармонического сигнала между узлом с координатами (т,т) и землёй. Такая величина позволяет выделить состояния дублонов, представляющие интерес для второй главы, на фоне всех прочих состояний в электрической цепи. Как видно из рисунка 4(в), при подаче внешнего гармонического сигнала в узлы цепи с координатами (1, 1) и (14,14) возбуждаются два типа колебаний, между частотами которых находится запрещённая зона, в то время как при подаче сигнала в узел (15,15) возбуждается колебание на частоте, расположенной в запрещённой зоне.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Олехно Никита Андреевич, 2021 год

- -C Cp

ii r ill " =

J 11 ■ 1

- 1

h f y -

L J 11

i ■ )

N —II—f-4-

-4-

>

Voltage source f = 6...13 kHz

ï—It ; + - Ih -

Hh - Ih -

+ -■11--.(--■11,-■N— -II- -

Fig. 1 Two-photon one-dimensional quantum problem and its topolectrical circuit simulator. a Artistic view of two-photon excitations in the array of microresonators with tunneling couplings. The depicted state is aj |0). b Extended version of Bose-Hubbard model considered in the present article. Single-photon tunnelings J are shown by blue solid lines, direct two-photon tunnelings P are indicated by purple wavy lines. c Top view of the equivalent two-dimensional topolectrical circuit with a voltage at the site (m, n) corresponding to probability amplitude ^mn for one photon to be located at the mth resonator of the array with another one located at the nth resonator [cf. Eq. (2)]. Colored regions show characteristic voltage patterns for two-photon scattering states (green), doublons (red), and doublon edge state (blue). External voltage source applied for the system excitation and voltmeter are shown to the right. Side view of the diagonal (lower inset) and off-diagonal (upper inset) sites of the topolectrical circuit, where grounding elements are shown. d The photograph of experimental setup having the size of 15 x 15 nodes. Inset shows the enlarged fragment of the circuit which includes two unit cells.

ro +2U

two-photon excitations and omit the corresponding term. The second term of the Hamiltonian describes single-photon tunneling between mth and (m + 1)st resonators in the array. Taken together, these two terms describe the linear array of identical cavities with the lowest eigenfrequency w0 and the tunneling coupling J between the nearest neighbors. The latter two terms of the Hamiltonian Eq. (1) describe effective photon-photon interactions mediated by the nonlinearity of the medium including an on-site photon-photon interaction a U and a direct two-photon hopping a P, respectively.

A key property of this system is the emergence of bound two-photon topological states along with the trivial single-photon excitations. Hence, the topological order in this system is facilitated by the effective photon-photon interaction, which provides the simplest example of interaction-induced topological states of quantum light. Furthermore, in the strong interaction limit U» J doublon excitations are described by the effective Su-Schrieffer-Heeger Hamiltonian46, which is a paradigmatic one-dimensional topological model (see the analysis below and the Supplementary Note 1).

To overcome the difficulties with the direct experimental implementation of our model Eq. (1) and to bridge the gap between quantum-optical topological states and physics of interacting systems, we adopt the concept of topolectrical cir-cuits47-56 applying them to emulate an interacting two-body problem in one dimension. As detailed below, this approach is based on mathematically rigorous mapping of quantum two-body problem onto the classical setup of higher dimensionality, and this correspondence renders the topolectrical platform a powerful tool to study topological states of interacting photons.

Results

Topolectrical circuit realization and types of two-photon excitations. Two-photon solutions to the stationary Schrödinger equation H = e with the Hamiltonian Eq. (1) can be searched in the form

1

if> = Pr E ß

mn *"m""n

v m,n=1

(2)

E

m',n'

Hmn,m'n' ^ ^mn.

,m'n'J ßm'n'

(3)

Here, Hmn m,n, are matrix elements of the Hamiltonian in the basis Eq. (2), and e is energy variable.

To explore the physics of repulsively bound photon pairs and their edge states, we notice that the original one-dimensional two-particle problem is described by the same discrete wave equation as a two-dimensional tight-binding system. In such setup, vertical and horizontal links represent the hopping amplitudes for the first and second photons, additional links coupling the sites (2n -1, 2n - 1) and (2n, 2n) emulate direct two-photon tunneling process, whereas eigenfrequency shift for the diagonal sites (n, n) represents on-site interactions U in the original quantum-optical problem (Fig. 1b).

The described tight-binding system can be readily implemented experimentally using arrays of coupled waveguides57, coupled ring resonators15,58, or even LC circuits49. Still, any such classical two-dimensional realization emulates a pair of distinguishable particles. In the latter case, the dynamics is governed by the first-quantized Hamiltonian

H = "/ E (l*n>(*n+1| + |yn><yn+1|+ H-c.)

n

+2U E1

xn; Jul \Xn ; yn I (4)

n

+ P E (|x2n-1> j2n-1) (x2n; J2n| + Hx')> n

while the wave function in the first-quantized form reads:

jf> = E fimn |xm; Jn); (5)

ît at

0>

where 1/V2 [aU] 10> corresponds to |xn,yn), ai>d a corresponds to the combination 1/v^ (|xm, yn) + |xn, ym}) (m ^ n). Note that the states with bosonic symmetry can be emulated exciting such a setup symmetrically with respect to the diagonal.

Choosing an appropriate platform, we aim not only to observe the excitation of doublon edge state, but also to reconstruct the associated probability distribution for the topological edge mode and to extract the topological invariant for bulk doublon bands directly from the experiment. Reaching this goal implies extensive measurements of field amplitudes at all relevant sites of the system for different excitation scenarios. Based on this, we choose the most accessible platform of topolectrical circuits, for which the node potentials fmn correspond to the fimn coefficients in tight-binding equations.

To design the desired two-dimensional topolectrical circuit, we combine the first and the second Kirchoffs rules into the matrix equation

^ ^ Ymn,m'n' tym'n'

(6)

where |0) is the vacuum state and N is the total number of resonators in the array. Superposition coefficients fimn characterize the probability amplitude for one photon to be present at site m with the other one located at site n. Due to bosonic nature of the problem, superposition coefficients are symmetric, i.e.

fimn ^nm'

The eigenvalue problem with the wave function Eq. (2) and the Hamiltonian Eq. (1) yields a linear system of equations with respect to the unknown coefficients ^mn, which can be written as

Here, every composite index mn labels one site of the two-dimensional lattice having the coordinates (m, n). Off-diagonal entries of the matrix Ymn m,n, are equal to the admittances of the elements directly connecting the sites (m, n) and (m', n') in the circuit, while the diagonal elements are defined as

Y = (g) _

mn.mn mn

E

Ym

(m',n')^(m,n)

(7)

where Y^U is the admittance of the element connecting site (m, n) to the ground. Comparing Eqs. (3) and (6), we immediately recover that off-diagonal entries of the admittance matrix correspond to tunneling couplings J or P in the initial tight-binding model, while the diagonal elements are associated with the resonator detuning U. In addition, to realize the desired tight-binding model Eq. (3), the lack of neighbors for the edge or corner sites of a topolectrical circuit evident from Eq. (7) should be compensated by the proper adjustment of admittance Y^U. Further analysis carried on in Supplementary Note 3 provides the following identification of tight-binding parameters in terms of circuit elements:

J = 1, U =

Cp + Cu 2 C,

p =-Cp

'p C,.

(8)

^J ^J

whereas the "energy" eigenvalue is inversely proportional to the

N

15

10

15

10

5 10 15

m

/

5 10 15

m

5 10 15

m

Theory

Simulation

15

10

15

10

Experiment

f = 8140 Hz 5 10

0.5

15

Fig. 2 Theoretical studies and experimental emulation of two-photon excitations. a Dispersion of two-photon eigenmodes calculated from the tight-binding model. Two red solid curves correspond to doublons, horizontal dashed line between them indicates the energy of the doublon edge state, and the shaded area at the bottom shows the continuum of two-photon scattering states. b Number of bosonic states in the tight-binding system of size 15 x 15 sites. c Doublon spectroscopy with quantity Sm(f) [cf. Eq. (10)] determined from experimental data and plotted as a function of driving frequency. The feeding points (1,1), (14,14), and (15,15) are labeled with corresponding values of m = 1,14,15 and are shown by orange, red, and blue solid lines, respectively. Characteristic peaks in the spectrum correspond to doublon modes. d-g Two-photon probability distributions |^mn|2 for the eigenmodes of 15 x 15 lattice described by the Hamiltonian Eq. (1) in the absence of disorder. Panels d, e, f and g correspond to the scattering states, lower and upper bulk doublon bands and doublon edge state, respectively. h Eigenmode reconstruction for a circuit of 15 x 15 nodes simulated taking into account the disorder in the element values as well as Ohmic losses (see "Methods" section for details). i Experimental implementation of the eigenmode reconstruction for the doublon edge state.

e

5

5

5

0

m

m

m

frequency f

e = — — 4 f 2 4'

f 0 =

1

4 n2 LC

(9)

The scheme of the designed circuit is shown in Fig. 1c, while the photograph of the experimental sample is provided in Fig. 1d. For the experimental setup, the chosen element values result in U = 7.09, P = -4.18, which ensure that doublon bands are well separated from the continuum of scattering states and hence can be reliably detected.

Tight-binding calculations suggest that the eigenmodes supported by the designed structure can be classified into three types with the spectrum shown in Fig. 2a. The lower series of bands

shown by green is symmetric with respect to zero energy and corresponds to the two-photon scattering states. In the infinite-size limit, the photons in such states have energies in the continuous spectrum given by the sum of single-photon continuum energies. The typical probability distribution for the scattering state is depicted in Fig. 2d.

Two bands present at higher energies correspond to doublons. Probability distributions depicted in Fig. 2e, f suggest that the two photons most likely share the same resonator being free to move along the entire array. As a consequence, finn coefficients are the dominant ones in the expansion of the two-photon wave function.

Finally, the gap between two bulk doublon modes is occupied by the doublon edge state with localization illustrated in Fig. 2g.

In the limit U» J and |P| »J the energy of doublon edge state scales as 2U, whereas the splitting between the two bands is ~2|P| (see Supplementary Note 1 for details). Thus, one can broadly tune the system behavior by varying the parameters U and P defined via the capacitances of circuit elements, Eq. (8).

In what follows, we focus on doublon states with a special emphasis on the doublon edge state which we prove to be topological. At first glance, such zero-dimensional localized state in a two-dimensional circuit may seem similar to higher-order topological states which have recently been predicted and observed in various systems59-62 ranging from solid state63 to photonics64. However, despite the seeming similarity, our proposal accesses completely different physics associated with quantum-optical topological states in interacting two-particle models emulated with the help of classical system of higher dimensionality. Quite remarkably, even in such situation topolectrical circuits provide a possibility to probe frequencies and probability distributions of bulk and edge doublon states, giving valuable information on the original 1D quantum problem.

Experimental results. To determine the spectral positions of doublon modes in the experiment, we apply voltage to one of the diagonal sites of the circuit, (m, m), keeping the track of potentials C„m at all diagonal sites (n, n). Next we construct the quantity65

Sm(/(10)

feeding points, e.g., (m, n) and (n, m), we measure full voltage distribution Cnn< at all nodes (m', n') of the circuit and then evaluate the quantity

3(m, «) = ^>;7J2.

(ii)

Performing this step for various symmetric choices of the feeding points, we get an entire array of values for I, which is now considered as a discrete function of m and n coordinates. Finally, we depict this function on a colorplot Fig. 2i and observe a good agreement with the eigenmode distribution evaluated from the tight-binding model, Fig. 2g, as well as with the numerical solution of Kirchhoff s equations, Fig. 2h.

As shown in Supplementary Notes 2 and 4, the procedure outlined above reproduces the quantity

3(m, n) / ^^

IfflW I2

IT mn I

t f - fk )2 + Y2'

(12)

which is evaluated as a function of driving frequency f. While scattering states feature zero overlap with the diagonal sites, doublon modes are characterized by the voltage maxima at the diagonal. Therefore, chosen excitation scenario selects just doublon modes, and their frequencies can be immediately associated with the characteristic peaks in the spectrum of Sm clearly seen in Fig. 2c. Thus, Smf) appears to be more convenient quantity compared with circuit impedance (Supplementary Note 7), since it filters out the contribution of the two-photon scattering states.

Experimental spectrum of Sm plotted for m = 1, 14, and 15 in Fig. 2c features two characteristic peaks once the voltage is applied to the sites (1, 1) or (14, 14), whereas feeding of the site (15, 15) results in a single peak. Based on our analytical model (see "Methods" section), we associate the former two peaks with bulk doublon modes, whereas the latter peak provides a clear signature of the doublon edge state. The respective eigenfre-quencies are 7.28 and 9.08 kHz for bulk doublon modes and 8.14 kHz for the doublon edge state. A significant broadening of the peaks observed in Fig. 2c is caused by the combination of such factors as Ohmic losses inevitable in a real system and the dispersion of actual values of the circuit elements (see "Methods" for details).

The observed characteristic peaks in Smf) provide an indirect evidence of bulk and edge doublon states. More information can be retrieved by measuring the voltage distribution at the nodes of the system at a given frequency. This distribution, however, depends strongly on the choice of the node (m, m) at which the voltage is applied. In particular, exciting the system at (15, 15) node, we recover the voltage pattern with a maximum at the point of excitation which can be explained either as doublon edge state or just as a trivial defect at the corner of the system.

To provide a clear evidence of doublon states independent of the choice of the feeding point, we have performed the reconstruction of voltage distribution for the doublon edge state eigenmode at the characteristic frequency of the corresponding peak. Such eigenmode tomography described in detail in Supplementary Note 2 employs the following steps. Throughout the whole procedure, the frequency of excitation, f and the external voltage are fixed. For some symmetric choice of the

where is the potential at site (m, n) for the eigenmode with frequency fk, and y is the effective dissipation rate related to Ohmic resistance of the circuit elements. Hence, I(m, n) performs a sum over all eigenmodes with a Lorentzian-type weighting factor having a sharp maximum for the eigenmode with frequency fk matching the excitation frequency f.

Furthermore, Eq. (12) reveals that eigenmode tomography works exceptionally well when the spectral separation of the eigenmode (or a band of eigenmodes with a similar intensity pattern) from the rest of the modes exceeds the effective dissipation rate which is true for the doublon edge state, Fig. 2i. As a consequence, all key features of the corresponding state are well reproduced with only slight distortions present. On the other hand, all modes of the scattering continuum will feature much worse results of eigenmode tomography due to relatively large density of two-photon scattering states (Fig. 2b) and quite different field distributions for the different modes. At any case, such scattering states are not especially interesting since they feature neither topological protection, nor pronounced effects of interaction.

Experimental result of eigenmode tomography presented in Fig. 2i demonstrates good agreement with our theoretical expectations. Note also that while doublon edge state exhibits some hybridization with bulk doublons (Figs. 2e, f), it does not mix with the scattering states, which is a consequence of nonoverlapping spatial distributions of these modes and considerable spectral separation between them.

Having reconstructed the profile of the doublon edge eigenmode directly from the experimental data (Fig. 2i), we now turn to the discussion of its topological origin. Since the effective interaction strength U is considerably larger than J, doublons are mostly localized at the diagonal of the 2D structure being effectively one-dimensional. Hence, the standard technique based on winding number calculation66 can be applied.

Winding number in Su-Schrieffer-Heeger-type models is determined by plotting the ratio of voltages at the two sublattices (even and odd sites), UA(k) and UB(k), on the complex plane for a particular Bloch eigenmode, the topological scenario being characterized by the curve enclosing the coordinate origin. The winding number W is defined as the number of revolutions of this curve around the coordinate origin. Note also that the winding number depends on the unit cell choice and therefore to reveal the topological edge state, the choice of the unit cell should be consistent with the array termination.

In the experiment, we set the excitation frequency to that of higher-frequency bulk doublon band, f = 9550 Hz, and measure the distribution of voltages at the diagonal keeping the track of

p

p

-0.2 -

0.5 1

Re{^(k )}

1 0 1

Re{^(k )}

Methods

Tight-binding equations. The eigenmodes of quantum-optical problem under study correspond to the eigenvectors of the Hamiltonian Eq. (1). Since the Hamiltonian commutes with the operator Em "m> the total number of photons is conserved. Hence, the wave function of arbitrary two-photon excitation can be represented in the form Eq. (2). Combining Eqs. (1) and (2) into an eigenvalue equation, we obtain the linear system of equations with respect to the unknown coefficients Pm„, which provide a probability amplitude for two photons to be present in mth and nth cavities:

(e -

= -2J

[ft,

-PP:

2m-1,2m-1 '

(13)

Fig. 3 Topological characterization of doublon modes. a, b Two possible choices of the unit cell. c, d The ratio of sublattice voltages UA(k) and UB(k), f(k) = UA(k)/UB(k) plotted on a complex plane for the wave number k varied over the entire Brillouin zone. Blue and red lines correspond to numerical simulation and experiment, respectively. The winding numbers W = 0 (c) and W = 1 (d) correspond to the unit cell choices shown in a and b. The voltage distribution is measured for the system excited at the node (7, 7).

their phase. Recovering Bloch eigenmodes via Fourier transform and extracting sublattice voltages as outlined in "Methods" section, we finally get winding number graphs depicted in Fig. 3. Again, in a close agreement with our theoretical predictions, we recover that the unit cell choice without P link inside gives rise to the nontrivial winding thus proving the topological origin of the observed doublon edge state. Note also that another choice of the unit cell with P link inside yields zero winding number proving the absence of topological doublon edge state at the opposite (1,1) corner of the array.

Discussion

To summarize, we have implemented a two-dimensional topo-lectrical circuit serving as an analog simulator for quantum one-dimensional two-particle interacting problem. Using the exact mapping of the initial quantum-optical system of two entangled interacting photons onto the classical setup, we have been able to simulate bulk and edge states of repulsively bound photon pairs.

Examining various excitation scenarios of the designed 2D circuit, we have not only reconstructed the doublon edge mode directly from experimental data, but also extracted the associated winding number from the measurements thus providing a rigorous proof of topological doublon edge state existence. Note that the possibility to conduct such extensive measurements is a distinctive feature of topolectrical platform, whereas the implementation of the same protocols for optical systems remains highly challenging.

The same approach can be used to emulate the dynamics of N interacting particles in one spatial dimension. However, the dimensionality of the setup needed for that purpose should be equal to N and therefore this emulation approach is meaningful only for reasonably low N and only for the Hamiltonians conserving the number of particles.

Thus, we believe that our emulation of two-photon topological states induced by interactions uncovers new intriguing aspects of topological physics in interacting systems providing further insights into topological protection of quantum light.

(e - 2U)Am-1,2m-1 = -2J [ftm,2m-1 + ^2m-1,2m-J + Pftm,2m. (14)

ePm,„ = -J [pm+1,„ + Pm-1 ,„ + Pm,„+1 + Pm,„-1] , («*«), (15)

where e is the eigenmode energy, and Pm„ = P„m due to the bosonic nature of the problem. The dispersion of two-photon modes and associated probability distributions plotted in the main text are calculated by solving the eigenvalue problem Eqs. (13)-(15).

Excitation of the modes in the topolectrical circuit. The eigenmodes of the circuit are found as the solutions to the eigenvalue problem Eq. (6). As further discussed in Supplementary Note 3, this eigenvalue problem has a one-to-one correspondence with the initial tight-binding system.

To describe the response of the circuit to the external excitation, we combine the first and the second Kirchhoff s rules to derive the equation with respect to the unknown potentials at the sites of the system. Excitation of the system is described as an external current injected symmetrically into (p, q) and (q, p) nodes of the circuit:

V Y

/ j mn ,m'n' Tm'n'

qn = 20 [^mp^nq + ^mq^np]

(16)

Inverting the matrix of admittances in Eq. (16), we immediately obtain the distribution of voltages at the nodes. To ensure reasonable results at resonances of the circuit, Ohmic losses should be properly taken into account. As further discussed in Supplementary Note 4, a topolectrical circuit with weak losses can be mapped onto the general driven-dissipative model studied in ref. 65.

Other important features of our topolectrical implementation include the negative sign of P as guaranteed by Eq. (8). The designed system is mounted on FR4 substrate and includes the elements illustrated in Figs. 1c, d with the average values L = 22.770 ^H, Cj = 1.002 ^F, Cu = 10.031 ^F, and Cp = 4.186 ^F. Ohmic losses are introduced as a resistance attached in series to the inductance or capacitance. At frequencies of interest (6.0 < f < 13.0 kHz) such parasitic resistances are estimated as RL = 0.026, = 0.2, RU = 0-1, and r£ = 0.4 Ohm based on specifications of the elements. In addition, we also incorporate the effects of disorder by reconstructing the entire map of the elements placed onto the fabricated circuit (Supplementary Note 5). The associated value distributions feature a broadening of up to 2%. Quite importantly, the parasitic resistance RL plays the major role at frequencies of interest. For that reason, designing our sample, we have chosen high-quality inductance coils with a sufficiently low dispersion in the values of inductance. There are other sources of disorder in the fabricated system as well, including nonideal contacts between soldered elements, parasitic inductances of tracks and capacitances created by the circuit board itself, and contacts between the board and the external measurement devices.

Winding number. To prove the topological nature of the doublon edge state, we apply the standard technique based on winding number evaluation66. To calculate the winding number for a chiral-symmetric system, one has to convert the Bloch Hamiltonian to the off-diagonal form

H (k) =

( 0 Q (k)\ VQy(k) 0 )

(17)

and then plot the curve for det Q(k) on the complex plane with Bloch wave number k spanning the entire Brillouin zone. The winding number is determined as a number of revolutions of the curve around the coordinate origin.

In the case of the Su-Schrieffer-Heeger model, Bloch Hamiltonian has the dimensions 2x2 taking the form Eq. (17) in the basis constructed from the modes of isolated resonators. Therefore, the scalar function Q(k) is proportional to the ratio of voltages at the two sublattices (even sites and odd sites), which provides a relatively simple way to extract the winding number from experiment, as has been done e.g., in ref. 67.

In our case, chiral symmetry of doublon bands is only an approximation which holds in the limit U»J only (see Supplementary Note 1 for details). In such a situation, one can neglect the mixing between the scattering continuum and doublon bands using an effective 2x2 doublon Bloch Hamiltonian. Furthermore, in such a case doublons are mostly localized at the diagonal, and therefore only the diagonal nodes of the circuit have to be examined.

b

a

c

Accordingly, we set the frequency of excitation to that of higher-frequency bulk doublon band, f = 9550 Hz, and measure voltage distribution at all diagonal nodes with an oscilloscope with a driving voltage applied to (7, 7) node of the circuit. In the corresponding numerical simulation, we set excitation frequency tof = 8730 Hz to match the frequency of doublon peak as it appears in the simulations. The relative phase of voltages at the nodes is determined by measuring their time dependence and fitting the dependence by the sinusoidal function with the unknown phase. To get the results for a single Bloch mode, we perform a Fourier transform of the obtained voltages as follows:

Ua(k)=X Ua(") e-ikn, Ub(k) = X Ub(n) e^-1), (lg)

where the indices A and B refer to the two different sublattices (even and odd sites). Next, we plot the ratio £(k) = UA(k)/UB(k) on the complex plane for different choices of the unit cell with Bloch wave number spanning the range (—n, n).

Data availability

The data that support the findings of this study are available from the corresponding author upon request.

Received: 2 August 2019; Accepted: 11 February 2020; Published online: 18 March 2020

References

1. Kane, C. L. & Mele, E. J. Quantum spin Hall effect in graphene. Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005).

2. Bernevig, B. A., Hughes, T. L. & Zhang, S.-C. Quantum spin Hall effect and topological phase transition in HgTe quantum wells. Science 314, 1757-1761 (2006).

3. Hasan, M. Z. & Kane, C. L. Colloquium: topological insulators. Rev. Mod. Phys. 82, 3045-3067 (2010).

4. Atala, M. et al. Direct measurement of the Zak phase in topological Bloch bands. Nat. Phys. 9, 795-800 (2013).

5. Aidelsburger, M. et al. Measuring the Chern number of Hofstadter bands with ultracold bosonic atoms. Nat. Phys. 11, 162-166 (2014).

6. Cooper, N. R., Dalibard, J. & Spielman, I. B. Topological bands for ultracold atoms. Rev. Mod. Phys. 91, 015005 (2019).

7. Kane, C. L. & Lubensky, T. C. Topological boundary modes in isostatic lattices. Nat. Phys. 10, 39-45 (2014).

8. Huber, S. D. Topological mechanics. Nat. Phys. 12, 621-623 (2016).

9. Yang, Z. et al. Topological acoustics. Phys. Rev. Lett. 114, 114301 (2015).

10. Wang, Z., Chong, Y., Joannopoulos, J. D. & Soljacic, M. Observation of unidirectional backscattering-immune topological electromagnetic states. Nature 461, 772-775 (2009).

11. Lu, L., Joannopoulos, J. D. & Soljacic, M. Topological photonics. Nat. Photon. 8, 821-829 (2014).

12. Lu, L., Joannopoulos, J. D. & Soljacic, M. Topological states in photonic systems. Nat. Phys. 12, 626-629 (2016).

13. Khanikaev, A. B. & Shvets, G. Two-dimensional topological photonics. Nat. Photon. 11, 763-773 (2017).

14. Ozawa, T. et al. Topological photonics. Rev. Mod. Phys. 91, 015006 (2019).

15. Hafezi, M., Mittal, S., Fan, J., Migdall, A. & Taylor, J. M. Imaging topological edge states in silicon photonics. Nat. Photon 7, 1001-1005 (2013).

16. Mittal, S., Goldschmidt, E. A. & Hafezi, M. A topological source of quantum light. Nature 561, 502-506 (2018).

17. Blanco-Redondo, A., Bell, B., Oren, D., Eggleton, B. J. & Segev, M. Topological protection of biphoton states. Science 362, 568-571 (2018).

18. Barik, S. et al. A topological quantum optics interface. Science 359, 666-668 (2018).

19. Tambasco, J.-L. et al. Quantum interference of topological states of light. Sci. Adv. 4, eaat3187 (2018).

20. Wang, Y. et al. Topological protection of two-photon quantum correlation on a photonic chip. Optica 6, 955-960 (2019).

21. Qin, X., Mei, F., Ke, Y., Zhang, L. & Lee, C. Topological magnon bound states in periodically modulated Heisenberg XXZ chains. Phys. Rev. B 96, 195134 (2017).

22. Gorlach, M. A. & Poddubny, A. N. Topological edge states of bound photon pairs. Phys. Rev. A 95, 053866 (2017).

23. Di Liberto, M., Recati, A., Carusotto, I. & Menotti, C. Two-body physics in the Su-Schrieffer-Heeger model. Phys. Rev. A 94, 062704 (2016).

24. Ke, Y., Qin, X., Kivshar, Y. S. & Lee, C. Multiparticle Wannier states and Thouless pumping of interacting bosons. Phys. Rev. A 95, 063630 (2017).

25. Valiente, M. Flat band of topological states bound to a mobile impurity. Preprint at https://arxiv.org/abs/1907.08215 (2019).

26. Roushan, P. et al. Observation of topological transitions in interacting quantum circuits. Nature 515, 241-244 (2014).

27. Roushan, P. et al. Chiral ground-state currents of interacting photons in a synthetic magnetic field. Nat. Phys. 13, 146 (2017).

28. Clark, L.W., Schine, N., Baum, C., Jia, N. & Simon, J. Observation of Laughlin states made of light. Preprint at https://arxiv.org/abs/1907.05872 (2019).

29. Carusotto, I. & Ciuti, C. Quantum fluids of light. Rev. Mod. Phys. 85, 299-366 (2013).

30. Dutta, O. et al. Non-standard Hubbard models in optical lattices: a review. Rep. Prog. Phys. 78, 066001 (2015).

31. Mattis, D. C. The few-body problem on a lattice. Rev. Mod. Phys. 58, 361 (1986).

32. Winkler, K. et al. Repulsively bound atom pairs in an optical lattice. Nature 441, 853-856 (2006).

33. Valiente, M. & Petrosyan, D. Two-particle states in the Hubbard model. J. Phys. B 41, 161002 (2008).

34. Bello, M., Creffield, C. E. & Platero, G. Sublattice dynamics and quantum state transfer of doublons in two-dimensional lattices. Phys. Rev. B 95, 094303 (2017).

35. Salerno, G., Di Liberto, M., Menotti, C. & Carusotto, I. Topological two-body bound states in the interacting Haldane model. Phys. Rev. A 97, 013637 (2018).

36. Pinto, R. A., Haque, M. & Flach, S. Edge-localized states in quantum one-dimensional lattices. Phys. Rev. A 79, 052118 (2009).

37. Longhi, S. & Valle, G. D. Tamm-Hubbard surface states in the continuum. J. Phys. 25, 235601 (2013).

38. Marques, A. M. & Dias, R. G. Topological bound states in interacting Su-Schrieffer-Heeger rings. J. Phys. 30, 305601 (2018).

39. Strohmaier, N. et al. Observation of elastic doublon decay in the Fermi-Hubbard model. Phys. Rev. Lett. 104, 080401 (2010).

40. Preiss, P. M. et al. Strongly correlated quantum walks in optical lattices. Science 347, 1229-1233 (2015).

41. Mukherjee, S. et al. Observation of pair tunneling and coherent destruction of tunneling in arrays of optical waveguides. Phys. Rev. A 94, 053853 (2016).

42. Tai, M. E. et al. Microscopy of the interacting Harper-Hofstadter model in the two-body limit. Nature 546, 519-523 (2017).

43. Ye, Y. et al. Propagation and localization of collective excitations on a 24-qubit superconducting processor. Phys. Rev. Lett. 123, 050502 (2019).

44. Gorlach, M. A. & Poddubny, A. N. Interaction-induced two-photon edge states in an extended Hubbard model realized in a cavity array. Phys. Rev. A 95, 033831 (2017).

45. Di Liberto, M., Recati, A., Carusotto, I. & Menotti, C. Two-body bound and edge states in the extended SSH Bose-Hubbard model. Eur. Phys. J. Special Topics 226, 2751-2762 (2017).

46. Su, W. P., Schrieffer, J. R. & Heeger, A. J. Solitons in polyacetylene. Phys. Rev. Lett. 42, 1698-1701 (1979).

47. Ningyuan, J., Owens, C., Sommer, A., Schuster, D. & Simon, J. Time- and site-resolved dynamics in a topological circuit. Phys. Rev. X 5, 021031 (2015).

48. Albert, V. V., Glazman, L. I. & Jiang, L. Topological properties of linear circuit lattices. Phys. Rev. Lett. 114, 173902 (2015).

49. Imhof, S. et al. Topolectrical-circuit realization of topological corner modes. Nat. Phys. 14, 925-929 (2018).

50. Lee, C. H. et al. Topolectrical circuits. Commun. Phys. 1, 39 (2018).

51. Hadad, Y., Soric, J. C., Khanikaev, A. B. & Alu, A. Self-induced topological protection in nonlinear circuit arrays. Nat. Electron. 1, 178-182 (2018).

52. Wang, Y., Lang, L.-J., Lee, C. H., Zhang, B. & Chong, Y. D. Topologically enhanced harmonic generation in a nonlinear transmission line metamaterial. Nat. Commun. 10, 1102 (2019).

53. Li, Y. et al. Topological LC-circuits based on microstrips and observation of electromagnetic modes with orbital angular momentum. Nat. Commun. 9, 4598 (2018).

54. Serra-Garcia, M., Susstrunk, R. & Huber, S. D. Observation of quadrupole transitions and edge mode topology in an LC network. Phys. Rev. B 99, 020304 (2019).

55. Helbig, T. et al. Band structure engineering and reconstruction in electric circuit networks. Phys. Rev. B 99, 161114 (2019).

56. Hofmann, T., Helbig, T., Lee, C. H., Greiter, M. & Thomale, R. Chiral voltage propagation and calibration in a topolectrical Chern circuit. Phys. Rev. Lett. 122, 247702 (2019).

57. Rechtsman, M. C. et al. Photonic Floquet topological insulators. Nature 496, 196-200 (2013).

58. Hafezi, M., Demler, E. A., Lukin, M. D. & Taylor, J. M. Robust optical delay lines with topological protection. Nat. Phys. 7, 907-912 (2011).

59. Benalcazar, W. A., Bernevig, B. A. & Hughes, T. L. Quantized electric multipole insulators. Science 357, 61-66 (2017).

60. Benalcazar, W. A., Bernevig, B. A. & Hughes, T. L. Electric multipole moments, topological multipole moment pumping, and chiral hinge states in crystalline insulators. Phys. Rev. B 96, 245115 (2017).

61. Schindler, F. et al. Higher-order topological insulators. Sci. Adv. 4, eaat0346 (2018).

62. Liu, T. et al. Second-order topological phases in non-Hermitian systems. Phys. Rev. Lett. 122, 076801 (2019).

63. Schindler, F. et al. Higher-order topology in bismuth. Nat. Phys. 14, 918-924 (2018).

64. Mittal, S. et al. Photonic quadrupole topological phases. Nat. Photon 13, 692-696 (2019).

65. Gorlach, M. A. et al. Simulation of two-boson bound states using arrays of driven-dissipative coupled linear optical resonators. Phys. Rev. A 98, 063625 (2018).

66. Ryu, S., Schnyder, A. P., Furusaki, A. & Ludwig, A. W. W. Topological insulators and superconductors: tenfold way and dimensional hierarchy. New J. Phys. 12, 065010 (2010).

67. Rosenthal, E. I., Ehrlich, N. K., Rudner, M. S., Higginbotham, A. P. & Lehnert, K. W. Topological phase transition measured in a dissipative metamaterial. Phys. Rev. B 97, 220301 (2018).

Acknowledgements

We acknowledge valuable discussions with Alexander Poddubny, Alexander Khanikaev, Alexey Slobozhanyuk, and Evgenii Svechnikov. N.O. thanks Sergey Tarasenko for stimulating discussions on topological physics. Theoretical models were supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant No. 18-29-20037), experimental studies were supported by the Russian Science Foundation (grant No. 16-19-10538). N.O. and M.G. acknowledge partial support by the Foundation for the Advancement of Theoretical Physics and Mathematics "Basis".

Author contributions

M.G. conceived the idea and supervised the project. A.S., N.O. and M.G. worked out the theoretical models. N.O. and B.C. performed numerical simulations. N.O., M.G., and

D.F. developed the circuit model and designed the experiment. E.K., D.F., V.Y., P.I., and

E.P. fabricated the experimental setup. E.K., V.Y, N.O., P.I., and E.P. conducted the experiments. N.O., E.K., and B.C. supervised by L.M. performed post processing of the experimental data. N.O. and M.G. prepared the paper. All authors contributed extensively to the discussion of the results.

Competing interests

The authors declare no competing interests.

Additional information

Supplementary information is available for this paper at https://doi.org/10.1038/s41467-020-14994-7.

Correspondence and requests for materials should be addressed to M.A.G.

Peer review information Nature Communications thanks Manuel Valiente and the other, anonymous, reviewer(s) for their contribution to the peer review of this work. Peer reviewer reports are available.

Reprints and permission information is available at http://www.nature.com/reprints

Publisher's note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Open Access This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article's Creative Commons license, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article's Creative Commons license and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/.

© The Author(s) 2020

METANANO 2018_IOP Publishing

IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1092 (2018!) 012105 doi:10.1088/1742-6596/1092/1/012105

Generation of surface plasmon-polariton pairs by a nonlinear nanoparticle

N A Olekhno1, M I Petrov12 and I V Iorsh1

1 Department of Nanophotonics and Metamaterials, ITMO University, 199034 St. Petersburg, Russia

2Department of Physics of Condensed Matter, St Petersburg Academic University, 194021 St. Petersburg, Russia

E-mail: [e-mail]

Abstract. In the present paper, we study theoretically the generation of surface plasmon-polariton pairs in the process of spontaneous parametric downconversion of light by a nonlinear nanoparticle located near the metal-dielectric interface. A nanoparticle made of GaAs is considered as a particular example. The particle is assumed to be much smaller than the pump radiation wavelength and considered as a point source. We show that spatial correlations between the generated plasmons can be understood as a result of an interference of electric fields produced by dipole sources that are induced in the nanoparticle by the pump photon. A directional two-plasmon generation in certain geometries is observed.

1. Introduction

Spontaneous parametric downconversion (SPDC) is the main method for the generation of entangled photon pairs [1]. In this process, a medium with a non-zero second-order nonlinear susceptibility x(2) absorbs a pump photon at the frequency wpump and emits two photons, the idler and the signal one, with frequencies wi and ws such that wpump = wi + ws [1]. Entangled states of light are a subject of primary interest in the area of quantum optics. Their wavefunction can not be represented as a product of one-particle wavefunctions, thus there are correlations between the photons of the pair. Entangled pairs play a fundamental role in quantum mechanics, and are suitable for various applications such as quantum cryptography, sensing and metrology [1].

The generation of quantum states with nanosystems attracts considerable attention in the areas of nanophotonics and quantum optics. For example, the generation of entangled photon pairs in semiconductor waveguides of subwavelength cross sections [2], as well as by quantum dots [3] or plasmonic nanoantennas [4, 5] has been considered. The generation of plasmon-polariton pairs in nanostructures attracts considerable attention both experimentally and theoretically [6] from the time the entanglement of plasmons was first observed [7]. However, plasmonic systems do not possess an intrinsic nonlinearity due to the centrosymmetric lattice structure of noble metals. Thus, they act as electric field amplifiers, or perform the nonlinear generation only due to a non-symmetric geometry of resonant modes. To this end, a study of the generation of photon and plasmon-polariton pairs by dielectric nanoparticles and nanoantennas with x(2) nonlinearity is of considerable interest.

® 1 Content from this work may be used under the terms of the Creative Commons Attribution 3.0 licence. Any further distribution K^^^E^^H of this work must maintain attribution to the author(s) and the title of the work, journal citation and DOI. Published under licence by IOP Publishing Ltd 1

METANANO 2018_IOP Publishing

IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1092 (2018) 012105 doi:10.1088/1742-6596/1092/1/012105

(a) (b) (c)

Figure 1. (a): A sketch of the considered geometry. The nanoparticle is shown with grey, the metallic half-space is shown with yellow. The electric field of the pump wave is parallel to the x-axis, and the pump wave vector is perpendicular to the interface. (b): Initial polarization of a nanoparticle in the x-direction. (c): Induced dipoles in the z- and y-directions.

In the present work, we consider the generation of plasmon pairs with a nanoparticle made of a nonlinear material (figure 1a). A nanoparticle is assumed to be small enough so that the following condition is satisfied:

d < A/n, (1)

where d is the typical size of a nanoparticle, A is the pump radiation wavelength and n is the refractive index of the nanoparticle material. Thus, a nanoparticle can be treaten theoretically as an electric dipole. Hereafter we consider the second-order nonlinear susceptibility tensor for GaAs: xXyz = xZXy = XyZX = XyxZ = xZyX = xXZyy = 4d36, with other matrix elements being zero [8].

2. Theoretical description of the nonlinear generation

We apply the general theoretical framework of paper [6]. Within this approach, spatial correlations between photons or plasmons of the generated pair are described via the two-particle amplitude

TiS(r, rs) = J diaGaß(r, ro)rß7(ro)G7Ö(ro, rs,Us)ds^dro, (2)

where the subscript i denotes the first (idler) photon with the frequency u, and the subscript s denotes the second (signal) one with the frequency us. The dipole moments di and ds of idler and signal detectors define the polarizations of the detected photons. In the equation above, G(r, r0, u) is the matrix of dyadic Green's function of the system, and r(r) is the generation matrix: rij (r) = xj(r)Epump(r)e-iWpumpt, where xj is the second-order nonlinear susceptibility tensor, and Epump is the pump field which causes nonlinear generation. When a pump photon interacts with a nanoparticle, the latter polarizes homogeneously (figure 1b). This polarization field acts as the actual electric field responsible for the nonlinear generation in the nanoparticle. The integration in Eq.(2) is performed over the volume of the nonlinear system which generates photon pairs. The probability of simultaneous detection of idler and signal photons of given polarizations at the given positions ri and rs is related to the two-photon amplitude as W(r, rs) = (2n/h)5(hui + hus - hupump)|Tis(r, rs)|2 [6].

Since the condition (1) is satisfied, the nanoparticle can be described as a point electric dipole. The Green's function of the point dipole located near the metal-dielectric interface consists of the free space Green's function G0 and the reflected part Gref: G(r, r0) = G0(r, r0) + Gref (r, r0). The free space part has the following form [9]:

^ / x exp(i&0R) \f~ RaRß\ 1 — ik0^^ Rß\ 1

aß(r'r0 ) = — \5«ß — J, (3)

METANANO 2018_IOP Publishing

IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1092 (2018!) 012105 doi:10.1088/1742-6596/1092/1/012105

where R = r — ro, R = |R|, and ko = w/c. The reflected part allows only an integral representation [9, 10]:

iko f-

Gref (p,<^,z) = — J M(s,p, ^)exp(isizz)ds. (4)

In the relation above, we use the polar representation with p = \/(x — xo)2 + (y — yo)2, ^ = arctg((y — yo)/(x — xo)) and z = Zis + zo. The normalized wavenumber is s = \Jk2 + k2/ko, and siz = fciz/fco- The index 1 denotes the upper half-space filled with a dielectric. Elements of the matrix M that are relevant for the following example have the form Mzz = 2nJo(sp)rp(w)s3/siz and Myz = —Mzy = —2nis2rp(w) Ji(sp)sin(^), with Jo(sp) and Ji(sp) being the zero order and the first order Bessel functions of the first kind, respectively, and rp being the Fresnel reflection coefficient for p-polarized waves. For numerical calculations we assume that the permittivity of the dielectric is e^ = 1, and the permittivity of the metal is e(w) = 1 — wp/(w2 + ¿yw), where the plasma frequency of the metal wp = 7 • 1015 s-1, and y = 0.01wp.

The generation matrix can be represented via the dyadic decomposition: r = a ß Caß |ea) (eß|, where a and ß take values x, y and z, and coefficients Caß are defined by X(2) and the pump field. Thus, the amplitude T can be represented as a sum of products of two components of Green's functions having form (e^| G |ea) (eß| G |es), which corresponds to the interference of electric fields from induced dipole sources.

3. Generation of surface plasmon-polariton pairs

Figure 2 shows the two-photon detection probability W(r^, rs) for the generation of plasmon-polaritons by a GaAs nanoparticle located at the position xo = yo = 0, zo = 10 nm. In the case when the pump field is polarized along the x-axis, the two induced sources are dipoles parallel to the y- and z-axis, correspodingly (figure 1b,c). Indeed, r a x(2) |ex) rc |ey) (ez| + |ez) (ey|. The z-dipole emits plasmons in all directions in the (xy) plane with the same efficiency, whereas the y-dipole does not emit in the direction of the x-axis. Combinations of the corresponding Green's functions define the spatial structure of W. It is seen that if one detector is located at the angle ^ = n/2 or ^ = —n/2 with respect to the pump field, the probability of detection of the second plasmon is maximal in the same direction and vanishes in the opposite direction (figure 2a,b). In the limiting case when one of the detectors is located along the x-axis, the second one can detect a photon in the upper or in the lower half-planes with the same probability (figure 2c). Thus, by changing the orientation of detectors with respect to the nanoparticle one can tailor the correlation between the generated plasmons up to the case when both plasmons are emitted in one direction.

In macroscopic crystals, the efficiency of the nonlinear generation is maximal when the phase matching condition is satisfied. The latter reads as [8]

kpump + (5)

where kpump, ki and ks are wave vectors of the pump, idler and signal photons, respectively. As seen from figure 2, this condition is not satisfied. Thus, in our case of SPDC by a nanoparticle, the phase matching condition is replaced by some kind of geometrical selection rules for eigenmodes of the considered system.

Both of the generated surface plasmon-polaritons share the same polarizations due to the structure of the Green's function Gref. In particilar, at an arbitrary point near the interface, the electric field of plasmon-polaritons has non-vanishing components only in the vertical ez and radial ep directions. Hence, the considered generation of plasmon pairs is analogous to the SPDC Type 1 process [1].

0.5

m

=t 0

-0.5

-1

(a)

(b)

(c)

®

-1 -0.5 0 0.5 1

xi , /m

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1

xi , r m xi , /m

1

Figure 2. (a): The two-photon detection probability W(ri,rs) for w = ws = 4.5 • 1015 s-1, ps = 300 nm and fs = n/2. Vertical positions of the nanoparticle centre zo and detectors Zi,s are zo = Zi = zs = 10 nm. The measured polarization of the electric field is directed along the z-axis. (b): The same as (a), but with ps = 400 nm and ^s = —n/2. (c): The same as (a), but with ^ = 0.

4. Conclusion

In the present work, we describe the generation of surface plasmon-polariton pairs by a GaAs nanoparticle in the process of spontaneous parametric downconversion. Spatial correlations between generated plasmons can be understood in terms of an interference between the electric fields generated by induced electric dipole sources. A number and orientations of these induced dipoles are defined by the second order nonlinear dielectric susceptibility tensor of the nanoparticle material, as well as by the direction of the pump electric field. In the simple case, when two of the principal axes of the nanoparticle are parallel to the metal-dielectric interface, one can observe an emission of both plasmons in the same direction for a linearly polarized pump. The efficiency of the generation increases significantly, if the frequencies of the generated plasmons are close to the the surface plasmon resonance frequency wv/\[2.

Acknowledgments

We are grateful to A.N. Poddubny and A.A. Sukhorukov for fruitful discussions. The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (proj. №18-32-01052 and 18-02-01206). NAO acknowledges the support of the Foundation for the Advancement of Theoretical Physics and Mathematics "BASIS" (№18-1-5-124-1) and the FASIE.

References

[1] Shih Y 2003 Rep. Prog. Phys. 66 1009-44

[2] Solntsev A S, Sukhorukov A A 2017 Reviews in Physics 2 19-31

[3] Orieux A, Versteegh MAM, Jons K D and Ducci S 2017 Rep. Prog. Phys. 80 076001

[4] Poddubny A N, Ginzburg P, Belov P A, Zayats A V and Kivshar Y S 2012 Phys. Rev. A 86 033826

[5] Straubel J, Sarniak R, Rockstuhl C and Slowik K 2017 Phys. Rev. B 95 085421

[6] Poddubny A N, Iorsh I V and Sukhorukov A A 2016 Phys. Rev. Lett. 117 123901

[7] Altewischer E, van Exter M P and Woerdman J P 2002 Nature 418 304-6

[8] Boyd R W 2008 Nonlinear Optics (3rd ed.) (San Diego: Academic Press)

[9] Novotny L and Hecht B 2006 Principles of Nano-Optics (Cambridge University Press) [10] Sinev I S et al 2017 Laser Photonics Rev. 11 1700168

Realizing topological corner states in two-dimensional Su-Schrieffer-Heeger model with next-nearest neighbor couplings

P A Ivanova1, N A Olekhno1, V I Kachin1, D V Zhirihin1, P S Seregin1, and M A Gorlach1*

1ITMO University, 197101 Saint Petersburg, Russia E-mail: *[e-mail]

Abstract. In the present work, we consider a two-dimensional Su-Schrieffer-Heeger model with alternating positive tunneling couplings between the neighboring sites. We show that introducing next-nearest neighbor couplings results in the emergence of topological corner states for some values of the corresponding tunneling coupling. Our work resolves the contradiction that arose when such corner states absent in the original two-dimensional Su-Schrieffer-Heeger model were observed experimentally in its photonic realization based on the array of cylindrical microwave resonators.

1. Introduction

Photonic topological states are actively studied currently due to their robustness against geometrical imperfections of the structure which opens promising opportunities for realizing highly efficient nanophotonic devices [1]. Even greater flexibility in the design of topological structures is enabled by the so-called higher-order topological states which can exist in the form of zero-dimensional excitations localized at the corners of a two-dimensional system. Recently, such types of topological states have been realized in photonic systems [2, 3, 4].

A paradigmatic example of one-dimensional topological model featuring zero-energy topological edge states is the Su-Schrieffer-Heeger model which is the one-dimensional array of sites connected by alternating tunneling couplings between the nearest neighbors of magnitude J and K [5]. However, its direct generalization to the two-dimensional case with positive tunneling couplings J > 0, K > 0 does not give rise to the localized corner states due to the absence of band gap at zero energy [2]. On the other hand, zero-dimensional corner states have been recently observed in the electromagnetic realization of a two-dimensional Su-Schrieffer-Heeger model in the form of a two-dimensional array of cylindrical microwave resonators [6].

To resolve this contradiction, we consider a two-dimensional Su-Schrieffer-Heeger model with alternating tunneling couplings J > 0, K > 0 between the nearest neighbors and additional couplings M > 0 between the sites in the second coordination sphere, figure 1. Such tunneling couplings, as well as tunneling couplings between even more distant neighbors, should inevitably arise in photonic systems with long-range electromagnetic interactions.

® 1 Content from this work may be used under the terms of the Creative Commons Attribution 3.0 licence. Any further distribution K^^^E^^H of this work must maintain attribution to the author(s) and the title of the work, journal citation and DOI. Published under licence by IOP Publishing Ltd 1

n

J

X X K

M

X X

m

Figure 1. Geometry of the considered tight-binding model. Positive tunneling couplings J,K and M are shown by solid blue, solid green, and dashed red lines, respectively.

2. Tight-binding model

The energy spectrum of the system and associated eigenmodes are found from the eigenvalue problem having the form of a linear system of tight-binding equations

(1)

J (pm—1,n + Pm,n—1 ) - K (^m+i ,n + Pm,n+1 ) - M(Pm+1 ,n+1 ) ePm,n, J (pm— 1,n + pm,n+1 ) - K(Pm+1 ,n + pm,n—1 ) - M (Pm+1 ,n—1 ) — ePm,n, -J (pm+1,n + P m, n+1) - K(P m—1,n + pm,n— 1) - M (p m—1,n—1) — ePm,n, -J (pm+1,n + pm,n—1 ) - K(Pm—1,n + Pm,n+1 ) - M(Pm—1,n+1

are wave function coefficients characterizing

where e is the eigenmode energy and p„ probability amplitude at the given site (m,n).

Next, we study the system Eq. (1) numerically for fixed values of couplings J — 1, K — 3 and different next-nearest neighbors couplings M for the system of the size 15 x 15 sites, figure 2. At M — 0, there is no band gap in the energy spectrum, as seen in figure 2a, and zero-dimensional corner states are absent. However, eigenmode maps demonstrate the presence of one-dimensional edge states (figure 2c) along with bulk excitations (figure 2b,d). At M — 3, a band gap opens in the energy spectrum and a single spectrally isolated state emerges, marked with a red dot in figure 2e. As seen from the corresponding eigenmode in figure 2h, this state indeed corresponds to a localized zero-dimensional state.

3. Realization with electric circuit

To further support theoretical observations, the proposed model can be realized experimentally in the form of a resonant electric circuit [7, 8]. One can show that the obtained linear system of tight-binding equations (1) can be mapped to Kirchhoffs rules describing currents in the electric circuit consisting of capacitors Cj , Ck and Cm which describe tunneling couplings between nearby sites, and grounding inductors L placed at every site of the circuit, figure 3a. Indeed, for a single site first Kirchhoffs rule reads

-(JCj (fm—1,n + <£m,n—1) - <JCM (^m+1,n+0 - &CK (fm+1,n + <£m,n+1) — (2)

— (-2jCj - 2jCk - JCL - jcm )Vm,n,

where j is the frequency-dependent electrical conductivity of the corresponding capacitive or inductive bonds and ^m,n is the potential at site (m,n). The parameters of the tight-binding

SPbOPEN 2020_IOP Publishing

Journal of Physics: Conference Series 1695 (2020) 012142 doi:10.1088/1742-6596/1695/1/012142

m = o

J m m m

Figure 2. (a): Spectrum of the eigenvalues £j for the model of size 15 x 15 sites with tunneling couplings J = 1, K = 3, M = 0. (b)-(d): Eigenmode profiles for different energies corresponding to bulk excitations (b,d) and edge states (c). (e): The same as (a), but for J =1, K = 3, M = 3. A band gap opening and the emergence of the spectrally isolated state inside the band gap are observed. (f)-(h): Eigenmode profiles corresponding to the bulk (f), one-dimensional edge (g) and zero-dimensional corner (h) states.

model are related to the values of circuit elements as

j = 1, k = J M = J (3)

and the eigenvalue £ is related to the mode frequency as

£=4 - (2+2^+Cm) , = -1-. (4)

^ V 'Cj + Cj 'Wo = LCJ •

The proposed circuit was numerically simulated with the help of Multisim software package. The values of circuit elements in the simulation are L = 22 ^H, Cj = 1 ^F, CK = 3.3 ^F, and CM = 3.3 ^F. Realistic models of components available in the software libraries were used in the simulation in order to take into account the effects of Ohmic losses and dispersion.

In order to study the resonance spectrum of the model, we consider frequency-dependent total impedances between the sites (1,1) and (5, 5) and the ground, figure 3b. For the site (5, 5) marked with a red dot in figure 3a, a single resonant peak is observed at the frequency 10.3 kHz that indicates the presence of a corner state.

To study resonances in the circuit in detail, we simulate the measurement of impedance between all nodes of the circuit and the ground at characteristic frequencies of corresponding eigenmodes of tight-binding model and plot the results in the form of maps, see figure 3d-h. A good agreement between the numerical calculations for the tight-binding model and the simulation results is observed, and characteristic states are clearly distinguishable even in the small-size 5 5 circuit.

Tight-binding model

Electrical circuit

f= 11.9 kHz

Figure 3. (a): Topolectrical circuit geometry. Capacitors Cj, Ck and Cm corresponding to tunneling couplings J, K and M are shown with blue, green and red lines, respectively. (b): Numerically simulated impedance spectra for the sites (1,1) and (5, 5). (c)-(e): Eigenmode profiles for the bulk (c), edge (d) and corner (e) states in the tight-binding model with M = 3 and the size 5 x 5 sites. (f)-(h): Impedance maps for the electrical circuit of the size 5 x 5 sites corresponding to the same modes as (c)-(e) and simulated for the excitation of circuit sites at the given frequency.

4. Topological properties

Topological states in the considered structure are protected by C4 crystalline symmetry and therefore the relevant topological invariants can be extracted directly from the eigenvalue of

SPbOPEN 2020_IOP Publishing

Journal of Physics: Conference Series 1695 (2020) 012142 doi:10.1088/1742-6596/1695/1/012142

rotation operator by the angle n/2 [9]. Rotation by n/2 for a four-site unit cell is defined by the operator:

/0 1 0 0\ 0 0 10 0 0 0 1 \1 0 0 0/

which has the eigenvalues e2ni(p-1)/4 for p = 1, 2, 3,4.

The topological invariants are determined from the behavior of wave function under R4 and

R

4 =

(5)