Топологические первичные радикалы колец и групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Базигаран Бехнам

• Базигаран Бехнам
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Базигаран Бехнам

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Первичный радикал группы.

1.2 Первичный радикал кольца.

1.3 Топологическая группа.

1.4 Топологическое кольцо.

2 Топологический первичный квазирадикал в кольце

2.1 Радикалы топологических колец.

2.2 Определения, примеры.

2.3 Отношения включения.

2.4 Случай колец матриц

2.5 Случай колец многочленов

3 Топологический первичний радикал топологической группы

3.1 Первый подход.

3.2 Второй подход

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические первичные радикалы колец и групп»

Начало общей теории радикалов колец и алгебр было положено в 1953 году А.Г. Курошем [11], которая нашла свое развитие в статях В.А. Андрунакиевича [2] и [3], и многих других. В работе [11] А.Г. Курошем введены основные понятия и указаны основные методы построения радикалов: радикалные и полупростые классы и их характеристики; отношения порядка для радикалов; нижний радикал, порожденный данным классом алгебр, его построение; верхний радикал, определенный некоторым классом алгебр. Одновременно, аналогичные идеи были развиты в работах Амицура [7] и [8]. Хотя основные положения этой теории распространялись кроме колец и на другие алгебраические системы, в частности, группы, она не учитывала специфики последних. Б.И. Плоткин в своей серии работ [19] [20] [21] модифицировал аксиомы этой теории с учетом особеностей групп, во многих пунктах качественно отличной от соответствующей теории в ассоцативных кольцах и не укладывающейся в общую схему теории радикалов А.Г. Куроша. В [12] А.Г. Курош обратился к теории радикалов в группах, и начал её построение на основе своих прежним понятий и результатов. В 1943 году Бэр [10] построил нижний нильрадикал кольца трансфинитным бэровским процессом. Маккой [16] ввел понятия первичного кольца и первичного идеала и с их помощью ввел в рассмотрение первичный радикал - пересечение всех первичних идеалов кольцах. Левицкий [15] с помощью га-последовательностей доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя.

Теория радикалов топологических колец начала развиваться по аналогии с радикалами дискретных колец, т.е. колец без топологии. В теории радикалов топологических колец, как, впрочем, и в дискретном случае, исследования проводились по следующим двум направлениям:

- общая теория радикалов;

- тория конкретных радикалов.

В цикле работ Капланского по топологическим кольцам существенную роль играл радикал Джекобсона. В [5] В.И. Арнаутов определил топологический радикал Бэра L(R) аналогично нижнему нильрадикалу кольца, который в дискретном случае совпадает с ним, и рассмотрел его свойства (в том числе то, что (L(R))n = L(Rn)) где Rn - кольцо матриц размера п х п над кольцом R. Он в [5] определил 9R(R) как множество всех элементов b Е Л, для которых любая га'-последовательность, начинающаяся с 6, является исчезающей, и показал что в классе топологических колех, обладающих базисом окрестностей нуля, состоящим из идеалов, имеет место равенство I Р ~ открытый первичный идеал в R}. В этом классе колец приведен пример, показывающий отличие m(R) от L(R).

По предложению А.Г.Куроша ( [23] и [24]) К.К. Щукин определил первичный радикал группы как пересечение всех первичных нормальных подгрупп, и доказал, что первичный радикал совпадает с множеством всех строго энгелевых элементов группы.

Данная диссертация посвящена изучению радикальных свойств следующих обьектов: квазирадикала fJ<(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R); r](G) = f){P | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа}; rf'(G) (множество всех топологических строго энгелевых элементов топологической группы).

Цель работы. Изучение свойств топологических аналогов первичного радикала в топологических кольцах и группах.

Методы исследований. В диссертации используются методы теории групп, теории топологических групп, теории колец и теории топологических колец.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:

1. Исследован топологически первичный квазирадикал fi(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце Я), и доказан ряд его свойств.

2. Приведены примеры, показывающие отличие fi(R) от ранее изучаемых топологических аналогов первичного радикала.

3. Дано описание топологически первичного квазирадикала fj>(R) как пересечения всех минимальных замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R.

4. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец матриц и доказано, что (/i(R))n = Rn).

5. Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец многочленов и доказано, что /jl(R[X]) = (/ll(R))[X].

6. Исследован топологически первичный псевдорадикал группы rj{G) = f]{P | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа }, и дано его описание как пересечения всех минимальных замкнутых первичных нормальных подгрупп в топологической группе G.

7. Исследован топологически первичный радикал группы r]f(G), и дано его описание как пересечения всех открытых первичных нормальных подгрупп в классе топологических групп (2, обладающих базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по структурной теории топологических колец и топологических групп. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией топологических колец и топологических групп.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [25], [26].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из трёх глав, содержащих одиннадцать параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер раздела, а третье — на номер соответствующего результата. Объем диссертации - 64 страниц, список литературы содержит 26 наименований.

Благодарность. Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своим научному руководителю д.ф.-м.н. профессору А.В. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, и полезные советы и к.ф.-м.н., доценту С.Т. Главацкию за многочисленные обсуждения и комментарии, полезные советы, и ценную помощь. А также за их теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Также благодарен всем сотрудникам кафедры высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Базигаран Бехнам, 2005 год

1. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Радикалы' алгебры и структурная теория. — М.: Наука, 1979.

2. Андрунакиевич В. А. Радикалы ассоциативных колец I ма-тем. сборн. 44(1958)

3. Андрунакиевич В. А. Радикалы ассоциативных колец II ма-тем. сборн. 55(1961)

4. Arnautov V. I., Glavatsky S. Т., Mikhalev А. V. Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules. — New York: Marcel Dekker, 1996.

5. Арнаутов В. И. Топологический радикал Бэра и разложение колец // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1963. Т. 5, № 6. -С. 1209-1227. Т

6. Арнаутов В. И. Общая теория радикалов топологических колец // Изв. АН РМ. Мат. -1996.-Т. 2 (21).

7. Amitsur S.A. A general theory of radicals, I: Radicals in complete lattices. Amer. J. Math., 1952, 74

8. Amitsur S.A. A general theory of radicals, II: Radicals in rings and bicategories. Amer. J. Math., 1954, 76

9. Бурбаки H. Общая топология, топологические группы, числа- М.: ИЛ, 1969.

10. Baer R. Radicals ideals. J. Math., 1943, 65

11. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр // матем. сборы. 33(1953)

12. Курош А.Г. Радикалы в теории групп // Дан, 141 N.4 (1961)

13. Курош А.Г. Теоря групп. — Наука, 1967.

14. Kaplansky I. Topological rings. Amer. J., 1947, vol. 69

15. Levitzki J. Prime ideals and lower radical. Amer. J. Math., 1951, 73

16. McCoy N.H. Prime ideals in general rings. Amer. J. Math., 1949, 71

17. Марков А.А. О свободных топологических группах, изв. АН СССР. сер. матем. Т.9, 1945

18. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. — Наука, 2000

19. Плоткин Б.И. Обобщенные разрешимые и обобщенные нильпотентные группы, умн, Т.12, Вып.4 (1958)

20. Плоткин Б.И. Радикальные группы, матем. сборн. 37(79) (1953)

21. Плоткин Б.И. Радикальные и полупростые группы. Труды Моск. матем. общ. 6(1957)

22. Хузурбазар М.Ш. Мультипликативная группа тела // Дан, 131 N.6 (1960)

23. Щукин К.К. К теории радикалов в группах // Дан, 142 N.5 (1962)

24. Щукин К.К. Радикалы групп. Дисс. (1962)

25. Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев А.В. Топологический первичный квазирадикал. Фундаментальная и прикладная математика, Т. 10, вып.З, с. 11-22.(2004)

26. Базигаран Б., Главацкий С.Т., Михалев А.В. Топологические первичные радикалы групп. Фундаментальная и прикладная математика, Т. 10, вып.4, с. 1-7.(2004)