Топологические конфигурации монопольного типа и динамика квантовых систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Прись, Игорь Евгеньевич

• Прись, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1993

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прись, Игорь Евгеньевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

стр.

» ВЕДШИЕ

ГЛАВА I. КОВАРИАНТНЫЙ ПОДХОД К РАССЛОЕНИЮ КУСТААНХЕШО-

ШТШЕЛЯ

§ I. 0(4) - ковариантное преобразование КШ

§ 2. Ковариантное РКШ

§ 3. Потенциал поля диона как неподвижная точка

расслоения сечений РКШ

ГЛАВА II. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ С МАГНИТНЫМ ЗАРЯДОМ В РКШ

И КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

§ I. Квантовая механика на ковариантном РКШ и

3-мерная редукция

§ 2. Когерентные волновые пакеты для М1С-кеплеро-

вой задачи и классический предел

^ § 3. Релятивистский атом диогена в представлении

обобщенных когерентных состояний

ГЛАВА III.КЛАССИЧЕСКИЕ И р -ДЕФОРМИРОВАННЫЕ СИММЕТРИИ

КВАНТОВЫХ ОШШ С МАГНИТНЫМ ЗАРЯДОМ И РКШ

§ I. Атом диогена как 4-мерныЙ изотропный сингулярный

осциллятор со связью

.§2.0 р -деформации спектра квантовой системы

дион-заряд

§ 3. р - деформированное РКШ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

+

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические конфигурации монопольного типа и динамика квантовых систем»

ВВЕДЕНИЕ

Как известно, за последние десятилетия сфера применения теоретико-групповых методов в квантовой теории / 1-2 / значительно расширилась . Принципиальным шагом в этом направлении было появление концепции групп динамической симметрии / 3 / и основанного на ней метода когерентных состояний / 4 /. Дальнейшее развитие симметрий-ного подхода связано, в частности, с недавно открытыми ^ -деформированными (или квантовыми) группами, возможные приложения которых интенсивно исследуются / 5-7 /.

Одной из физически важных и в то же время точно решаемых модельных систем, на которых апробируются ноше математические методы, является атом водорода (или кеплерова задача). Классический пример - это исследование его "скрытой" / 8-9/ и динамической /З.ЖЗЛ/ симметрий. Широкое распространение подучило описание атома водорода в терминах 4-мерного гармонического осциллятора /12 /, при котором "скрытая" часть внутренней симметрии выражается в явном виде. Такой подход был использован, в частности, для построения когерентных волновых пакетов, описывающих высоковозбужденные состояния атома водорода / 13 / и ^ -аналогов его энергетического спектра / 14-15 /.

Однако существенным "недостатком" атома водорода как модельной системы является его топологическая тривиальность. Поэтоьу в последнее время все большее внимание уделяется исследованию гипотетических топологически нетривиальных аналогов атома водорода - атома диогена / 16-19/ и Л1С - кеплеровой задачи / 20-30 /. При этом гамильтониан атома диогена содержит векторный потенциал, описывающий поле магнитного заряда (магнитного монополя), которым, наряду с электрическим, обладает его ядро, а в гамильтониан М1С-кеплеровой задачи входит еще и дополнительный центробежный член,

восстанавливающий те же группы внутренней и динамической симметрии, что и в случае водородоподобного атома.

Обе эти модельные задачи имеют и значительный физический интерес, поскольку, например, изучение атома диогена дает богатую информацию о взаимодействии медленного магнитного монополя с атомными системами / 24 /, а центробежный член, естественно, возникает в суперсимметричной задаче со опином 1/2 /20,25/. Таким образом, введение в рассмотрение магнитного заряда существенно обогащает физику исходной проблемы и создает ноше возможности для применения теоретико-групповых, алгебраических и геометро-топологических методов.

Интересно отметить, что даже в историческом аспекте связь между магнитным монополем и развитием геометро-топологических методов является более глубокой, чем принято думать.

Напомним, что в квантовую теорию магнитный монополь был введен Дираком в 1931 году / 26 /. Б этом же году / 27 / в математике Хопфом было открыто первое и простейшее главное расслоение, получившее название расслоения Хопфа. Эта математическая конструкция и физическая гипотеза Дирака существовали порознь до 1975 года (магнитный монополь описывался при помощи сингулярных потенциалов Дирака / 16 /), когда в работах Грэйба и Петри / 28 / и Ву и Янга / 29-30 / магнитный монополь был описан в гильбертовом векторном расслоении, ассоциированным с главным расслоением Хоп$а / 28-30 / и - в более инвариантном виде - в главном расслоении Хол$а / 28 /. Это произошло уже после построения калибровочной теории поля и выяснения ее математической структуры как теории связностей на расслоенных пространствах / 31 /.

Рассмотрение поля статического абелевого магнитного монополя как калибровочного поля показало, что соответствующее ему главное

расслоение - это расслоение Хопфа. Форма связности на главном расслоении Хоп$а есть не что иное как несингулярная калибровочно-инвариантная запись семейства сингулярных потенциалов Дирака, связанных калибровочным преобразованием.

Таким образом, наиболее адекватным математическим аппаратом для описания абелевого статического магнитного заряда является расслоение Хопфа —* 5 / 32-40 / или его расширение - расслоение Кустаанхеймо-Штифеля (РКШ)/ 13 , 22-23 , 41-42 /. Появление второго термина связано с введением Кустаанхеймо и Штифелем в 1965 году / 43 / некоторого небиективного квадратичного преобразования

•у

Я —* Я (преобразования Кустаанхеймо-Штифеля (ПКШ)) для регуляризации кеплероэой задачи, которое, как оказалось позже, и задает

сз

расслоение Хопфа при ограничении его на о . Нетривиальность топологии магнитного заряда находит свое выражение в нетривиальности НШ.

При описании 3-мерной квантовой системы с машитным зарядом в РКШ переходят к 4-мерноаду уравнению Шредингера с дополнительным

л л

условием на волновую функцию, X ^ а £ у , где X - линейный оператор сдвига вдоль слоя ЙШ, Щ - магнитный заряд, которое с точки зрения калибровочной теории имеет смысл условия эквива-риангности / 31,44 / или же линейного по импульсам условия связи первого рода - с точки зрения теории редукции гамильтоновых систем, заданных на сдашлектических многообразиях / 45 /.

Эта,схема включает в себя и топологически тривиальный случай $ (несмотря на топологическую нетривиальность РКШ), в частности, атом водорода. При этом, однако, тривиальное дополнитель-

А

ное условие К^-о не имеет смысла условия эквдвариантнссти.,т .е. соответствующее описание атома водорода и других систем без магнитного заряда в ЙШ не является калибровочным. Может быть этим

объясняется тот факт, что 4-мерное описание атома водорода в РКШ (в терминах осциллятора) возникло раньше, чем соответствующее описание магнитного монополя, хотя с физической точки зрения (калибровочной) ИШ соответствует именно монополю. При этом в случае атома водорода связность не играет своей фундаментальной роли.

Переход к 4-мерному уравнению Шредингера в ряде случаев упрощает исследование симметрийных аспектов исходной 3-мерной задачи /22-23, 44, 46-49 /, а также позволяет применить некоторые приближенные методы (что бывает невозможно сделать в 3-мерии), как, например, алгебраический интерполяционный метод / 50-51 / или упомянутое выше построение когерентных волновых пакетов для атома водорода/13,52/.

Кроме того, квантовые системы в РКШ допускают анализ методами геометрического квантования / 53 /, а также с точки зрения гамиль-тонова (лагранжева) формализма с однозначным функционалом действия / 41,54 / ( в л функционал действия является неоднозначным).

Отметим еще использование РКШ в формализме интегрирования по путям / 55-57/и для описания задачи рассеяния заряженной частицы на монополе / 58-61 /, в частности, для построения соответствующей функции Грина / 61 /•

В качестве существующих обобщений укажем на суперсимметричное РКШ и суперсимметричный потенциал Дирака / 62 /. Примеры суперсимметричных квантовых систем с магнитным зарядом дают М1С -кепле-рова задача со спином 1/2 / 20,25 / и система электрон-монополь / 63 /.

При исследовании задач с монополями, наряду с описанным выше геометро-топологическим подходом, удобно использовать язык алгебры кватернионов. Его адекватность и естественность базируется на том факте, что как пространством калибровочной группы Síi(l) в

случае неабелевых монополей типа т* Хоофта-Полякова /33/, так и пространством расслоения Хопфа для абелевого монополя является сфера 5 в 4-мерном кватернионном пространстве.

Использование кватернионов позволило получить ряд тонких результатов при построении теории неабелевого монополя / 64 /. С другой стороны существует глубоко разработанный кватернионный формализм классической и квантовой электродинамики / 65 /, в том числе с двумя типами зарядов. Кватернионный язык также удобен для применения

результатов, полученных на основе векторной параметризации группы вращений / 65-67 /, в силу того, что скалярное произведение вектор-параметра и <? -матриц выражается через соответствующий кватернион в виде отношения его векторной и скалярной частей.

Основной задачей данной работы является исследование квантовых систем с магнитным зарядом ( в том числе и <р -деформированных) на основе теории групп динамической симметрии, метода когерентных состояний и развитого в диссертации ковариантного кватернионного варианта НШ1.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Предложен новый ковариантный подход к описанию квантовых систем с магнитным зарядом, основанный на использовании семейства изоморфных РКШ.

2. На основе кватернионного варианта векторной параметризации группы вращений дана новая интерпретация потенциала Дирака как сечения расслоения Хои$а.

3. Показано, что геометрическая фаза, возникающая при циклической эволюции векторного параметра, характеризующего семейство изоморфных РКШ, выражается через потенциал Дирака.

4. Построены когерентные волновые пакеты, приближенно описывающие ридберговские, т.е. высоковозбужденные состояния квантовой

MIC -кеплеровой задачи, и установлена связь с классическим случаем.

5. Построена функция Грина в базисе когерентных состояний для уравнения Клейна-Фока в поле диона и цри помощи ее найден энергетический спектр.

6. Дано описание атома диогена как 4-мерного изотропного сингулярного осциллятора со связью.

7. Получены различные варианты -деформированного спектра уМ1С -кеплеровой задачи.

8. Построен ^ -аналог ИШ. ■

Краткое содержание и структура диссертации.

Диссертация состоит из Введения, трех глав (включающих в себя девять параграфов), Заключения и списка литературы.

В первой главе развивается ковариантный подход к ЙШ1, основанный на использовании двух семейств изоморфных расслоений ( расслоения, принадлежащие разным семействам, антиизоморфны друг другу), точнее, Ofa) - ковариантный подход, и рассматриваются некоторые общие его приложения: доказательство отсутствия 4-мерного представления оператора Р -инверсии в виде автоморфизма ЙШ1 и нахождение общей ковариантной формулы для этого оператора (§1), детальное исследование функции калибровочного преобразования потенциалов Дирака с произвольными линиями сингулярности (§2), интерпретация потенциала Дирака как сечения расслоения Хопфа (потенциала поля диона как неподвижной точки расслоения сечений НШ) (§3).

Наряду с этим в §1 исследуются различные формы записи ПКШ и их взаимосвязь; дается вывод кватернионной формы ПКШ из бикватернион-ной формы записи дираковского тока. В качестве промежуточного математического результата для нахождения функции калибровочного преобразования в §2 получена ковариантная формула для сечений ко-

вариантного ЙШ, показана ее факторизуемость и установлен ее геометрический смысл. Следует отметить, что новая интерпретация потенциала поля диона (или потенциала Дирака) (§3) оказалась возможной при использовании векторной параметризации группы вращений и выявляет ее дополнительный геометрический смысл, обусловленный -наличием в РКШ связности.

Последовательное использование на протяжение всей главы алгебры кватернионов значительно упрощает вычисления и делает наглядными и удобными полученные формулы.

Вторая глава начинается с построения ковариантного кватернион-ного описания квантовой механики на ковариантном ЕКШ и установления связи с 3-мерным описанием. Промежуточным математическим результатом является, в частности, нахождение ковариантного атласа локальных карт, покрывающих ЙШ. Потенциал Ву-Янга при этом записывается в ковариантной форме.

В качестве приложения показано, что возникновение потенциала Дирака на базе или в пространстве параметров, соответствующих ко-вариантному ЙШ, можно рассматривать в духе подхода Берри (§1). В §2 двумя способами (п.2Л - алгебраический, п.2.2 - геометрический) в ЙШ построены когерентные волновые пакеты для Ml С -кеплеровой задачи. Метод обобщенных когерентных состояний совместно с методами динамической симметрии и функции Грина проиллюстрирован в §3 в задаче нахождения энергетического спектра уравнения Клейна-Фока с магнитным зарядом.

В третьей главе, в частности, продолжено применение метода динамической симметрии (§§1,2), вшвочая рассмотрение <f, -деформированных симметрий (§2). В §1 дается описание атома диогена в ЙШ как 4-мерного изотропного сингулярного осциллятора со связью. В п.1,2 §1 устанавливается непосредственная связь между спектром и

волновыми функциями сингулярного осциллятора и атома диогена. В ^ §2 рассматриваются различные варианты ^ -деформации MI С -кеп-леровой задачи и атома диогена ( в частности, с использованием не-деформированного РКШ) и находятся соответствующие f- -деформированные энергетические спектры. В §3 дан вывод полной системы аксиом алгебры квантовых кватернионов и на этой основе построены f -аналог РКШ в кватернионах, а также ^ -аналог векторной параметризации группы вращений.

По используемым в диссертации математическим методам параграфы распределяются следующим образом. РКШ используется во всех параграфах, за исключением §3 главы 2. Метод когерентных состояний -в §§2-3 главы 2, методы групп динамической симметрии - в §3 главы 2 и §§1-2 главы 3, методы некоммутативной математики, в частности, ^ f - деформированных групп - в §§2-3 главы 3.

Апробация работы. Основные результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на многочисленных семинарах в I® AHB (1990-1993), Всесоюзной конференции по фундаментальным взаимодействиям элементарных частиц ОЯФ АН СССР (Москва, 1990), Всесоюзном совещании по гравитации и электромагнетизму (Минск, 1991), XII рабочей школе по геометрическим методам в физике (Беловежа (Польша) ,1993) ,ХУ1 семинаре по физике высоких энергий и теории поля (Протвино, 1993) и опубликованы в /68-77/.

В настоящей работе принята следующая система нумерации формул и щ перекрестных ссылок: в каждом параграфе нумерация формул начинается с единицы; ссылка, например, на фори^лу 5 параграфа 3 главы 2 обозначается (2.3.5), а в пределах одной и той же (второй) главы или одного и того же (третьего) параграфа - соответственно (3.5) и (5).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прись, Игорь Евгеньевич, 1993 год

- 117 -ЛИТЕРАТУРА

1. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложений. T.I.-M.î Мир, 1976.-455 с.

2. Еарут А.,Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т~2.-М.:Мир, 1980.-396 с.

3. Малкин И.А. ,Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем.-М.:Наука, 1979.-319 с.

4. Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применение.-М.: Наука, 1987.-270 с.

5. Manin Yu.I. Quantum groupa and non-commutative geometry Université de Montreal, Centre de Recherches Mathématiques, 1988.

6. Aschieri P., Castellani L. An introduction to non-commutative differential geometry on quantum groups.// Preprint CERN-TH. 6565/92 DFTÏ-22/92.- 1992.-44P.

7. Громов H.A. Контракции и аналитические продолжения классических групп.Единый подход.- Сыктывкар, 1990.- 220 с.

8. Фок В.А. Атом водорода и неевклидова геометрия// Изв.АН СССР. Сер.матем.-1935. -№7.- С Л 69.

9. Pock V.A. On the theory of the hydrogen atom // Zs. Phys.-1935.- Vol.98.- P.145.

10. Малкин И.А.,Манько В.И. Симметрия атома водорода.// Письма в ЖсТФ. -1965. -Т. 2. -С. 230-234.

11. Малкин И.А.,Манько В.И. Симметрия атома водорода.// ЯФ.-1966.-Т.З.-С.372-382.

12. Kibler M.,Ronveaux A.,Negadi T. On the hydrogen-oscillator-connection: Passage formulas between wave functions.// J.Math. Phys.- 1986.- Vol.27,N6.- P.1541-1548.

- 118 -

13. Gerry С.С. Coherent states and the Kepler- Conlomb problem.// Phys. Rev.- 1986.-Vol. A33,N1.-P.6-11.

14. Kibler M.,Negadi T. On the q-deformation of the hydrogen atom.//J.Phys.-1991Vol. 24А,- P. 5283-5289.

15. Gora J. Two models of a q-deformed hydrogen atom. // J.Phys.-1992.- Vol. 25A.- P. L1281 - L1285.

16. Страже в В. И., Томильчик JI.M. Электродинамика с магнитным зарядом.-Минск: Наука и техника, 1975.-335 с.

17. Shnir Уа.М., Tolkachev Е.А.,Xomil*chik L.M. P-violating magnetic monopole influence on the behavior of the atom-like system in external fields.// Int. J.Mod.Phys.- 1992,- Vol. A7,N16.-P. 3747-3767.

18.Tolkachev E.A.,Shnir Ya.M. Non-trivial topology effects in the" interaction of a monopole with a line current.// Phya. Lett.-1991.- Vol.155A.- P.464-466.

19.Barut A.0.,Shnir Ya.M.,Tolkachev E.A. The Lamb shift in the charge-magnetic monopole system.// Preprint IC/93/103, MIRAMARB-TRIESTE.- 1993.- 12p.

gQ^Peher L.,Horvathy P.A., O'Raifeartaigh L. Separating the dyon system. // Phys.Rev.- 1989.-Vol.D40,U2.-P.666-669.

21 .Stahlhofen A.A. On the dyon problem. //Mod.Phys.Lett.- 1990.-Vol. A5,N25.-P.2007-2012.

22.1wai T.,Uwano Y. The MIC-Kepler problem and its symmetry group for positive energies both in classical and quantum mechanics.// Huovo Cim.~ 1991.- Vol.B106,N8.- P.849-871.

- 119 -

23. Xwai T.,Uwano Y. The MIC-Kepler problem and its symmetry group for zero energy both in classical and quantum mechanics.// Nuovo Cim.- 1991.- Vol. B106,N11.- P.1195-1219.

24. Толкачев E.A. Домильчик JI.M. ,Шнир Я.М. Возбуждение атома, индуцированное монополем.// ЯФ.-Т.52.-Р. 1447-1450.

25. Bloore F.,Horvathy P.A. Helicity-supersymmetry of dyons. // J.Math.Phys.- 1992,- Vol.33.- P. 1869-1877.

26. Dirac P.A.M. Quantised singularities in the electromagnetic field.// Proc.Roy.Soc.- 1931.- Vol.A133.- P.60-72.

27. Hopf H. // Mathematische Annalen .- 1931.- Vol.104.-P.637.

28. Greub W., Petry H.R. Minimal coupling and complex line bundles. // J.Math.Phys.- 1975.- Vol.l6,K6.- P.1347-1351.

29. Wu T.T., Yang G.N. Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gange fields. // Phys.Rev.-1975.-Vol.DI2, Ш2.-P.3845-3857.

30. Wu Т.Т.,Yang C.N. Dirac monopole without strings: monopole harmonics.//Nucl.Phys.-1976.-Vol.B107.-P.365-380.

31. Даниэль M., Виалле C.M. Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга-Миллса.//УШ.-1982.-Т.1Э6,вып.З.-С.377-419.

32. Дубровин Б.А.,Новиков С.П.,Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и приложения.- М.: Наука, 1986.-760 с.

33. Madore J, Geometric methods in classical field theory. // Phys.

Sep.-1981.- Vol.75,КЗ.- P.125-204.

34. Монастырский М.й. Монополь Дирака и расслоение Хопфа.// Сб. "Поль

Дирак и физика XX века".-М.:Наука, 1990.-С.66-77.

35. Trautman A. Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with Hopf fibrings.// Int.J.Theor. Phys.- 1976.-

Vol, 16.-P. 561-565.

36. Ryder L.H. Dirac monopoles and the Hopf map J.Phys.- 1980.- Vol. 13A.- P. 437-447.

37. Quiros M., Mittelhrunn. On the topological meaning of magnetic charge quantization, // J.Math. Phys.- 1982.-Vol.23.-P. 873-877.

38. Minami M. Dirac*a monopole and the Hopf map. // Progr.Theor. Phys.- 1979.- Vol.62.-P.1128-1142.

39. Horvathy P.A, Rotational symmetry and Dirac*s monopole. //Int. J.Theor.Phys.-1981.-Vol.20,H9.- P.697-707.

40. Tafel J. A geometric description of Dirac monopoles. // J.Phys.-

1984.- Vol. A17.N14.- Р» L807-L810.

41. Соловьев M.A. Монополь Дирака как лагранжева система на пространстве расслоения // Письма в ЖЗГФ.-1984.-Т. 39, выл Л 2.-С. 582-584.

42. Рыжов А.В. »Савинков А.Г. Квантовая механика на нетривиальных расслоениях, связанных с монополем.// ТМФ.-1991.-Т.88.-С.376-405.

43. Kustaanheimo P., Stiefel Е. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization.// J. Reine.Angew.Math.-1965.- Vol.218.-P.204.

44. Iwai T.,Uwano Y. The quantised MIC - Kepler problem and its symmetry group for negative energies .// J.Phys.- 1988.-Vol.A21.- P.4083-4104.

45. Dolan B.P. BRST symmetry and quantum mechanics on homogeneous spaces.//J.Phys.-1990.-Vol.23A.- P.4439-4453.

46. Peher L.Gy. The 0(3,1) symmetry problem of the charge-monopole interaction. // J.Math.Phys1987.- Vol.28.-P. 234-239.

- 12 Г -

47. Savinkov A.G.,Ryzhov А.В. Symmetries of a charge-Dirac

щ monopole system .// Mod.Phys.Lett.-1989.-Vol.4A.-P.1899-1904.

48. Иванов O.M. »Савинков А.Г. Релятивистская частица со спином 1/2 в глобальном пространстве главного (1(4) -расслоения с монопо-лем.// ТИФ.-1992.-Т.93Д1.- С.49-66.

49. Kibler М.»Winternitz. Dynamical invariance algebra of the Hartmann potential.//J.Phys.-1987.-Vol.A20.-P.4097-4108.

50. Комаров JI.И. »Романова Т.С.,Чан За Ан. К расчету характеристик водородоподобного атома, помещенного в однородное магнитное поле.// ВесцХ АН БССР.Сер.ф1з.-мат.навук.-1987.-№1.-С.90-98.

51. Feranchuk J.D., Hai L.X. Analytical estimation of the energies and widths of the rydberg states of a hydrogen atom in an electric field.// Phys.Lett.- 1989.-Vol.A137»H7,8.-P.385-388.

*

52. Bhaumik D., Dutta-Roy B.,Chosh G. Classical limit of the hydrogen atom.// J.Phys.- 1986.-Vol.A19.-P.1355-1364.

53. Mladenov I.M.,Tsanov V.V. Geometric quantization of the MIC-Kepler problem.//J.Phys.-1987.-Vol.A20.-P.5865-5871.

54. Balachandran A.P.,Marmo G.»Skagerstam B.S.,Stern A. Magnetic monopoles with no stings.//Nucl.Phys.-1980.-Vol.B162.-P.385-396.

55. Duru I.E.»Kleinert H. Solution of the path integral for the H-atom.//Phys.Lett.-1979.-Vol.B84,N2.-P.185-188.

56. Inomata A.,Junker G. Path-integral quantization of Kaluza-ф Klein monopole systems.//Phys.Rev.-1991Vol. D43,W4.-

P.1235-1242.

57. Kleinert H. Path integral for Coulomb system with magnetic charges. //Phy s.Lett .-1 986.- Vol .A1 1 6, N5. -P. 201-206.

58. Petry H.R. Electron scattering on magnetic monopole.//Lecture notes in mathematics.V.836.Berlin,Heidelberg,New YorkrSprin-ger Verlag.- 1980.-P.406-419.

- 122 -

59. Mladenov I.M. Scattering of charged particles off dyons.// J.Phys.- 1988.-Vol.A21Р.Ы - L4.

60.Савинков А.Г. Рассеяние на монополн Дирака в глобальном пространстве расслоения.// Письма в ЖЗГФ.- I988.-T.47.-C.I3.

61. ^Рыжов А.Б. »Савинков А.Г. Динамика заряда на U0) -расслоениях.//

ТИФ.- 1992.-Т.91.-С.36-50.

62. Bartocci С., Bruzzo U. Chern-Simons forms on principal superbi-ber bundles. // J.Math.Phys.-1990.- Vol.31,N1.-P.45-54.

63. Fatyga B.W. et.al. Supercoherent states. // Phys. Rev.- Vol.43D.-P. 1403-1412.

64. Монополи. Топологические и вариационные методы: сб. статей под ред. М.И.Монастырского и А.Г.Сергеева.-М.: Мир, 1989,- 582 с.

65. Березин A.B. »Курочкин Ю.А.,Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике.- Минск: Наука и техника, 1989.- 198 с.

66. Федоров Ф.И. Группа Лоренца.-М.: Наука, 1979.- 383 с.

67. Богуш A.A. Трехмерные вектор-параметры и квантовая группа // Препринт № 676 ИФ АНБ, Минск, 1993, 31 с.

68. Прись И.Е. »Толкачев Е.А. Когерентные состояния и соответствие меяоду квантовым и классическим описанием атома "диогена".// ЯФ.-I99I.-T.53.-C.4I4-4I7.

69. Прись И.Е. »Толкачев Е.А. Функция Грина для скалярного заряженного изодублета, взаимодействующего с неабелевым дионом. // ЯФ.-I99I.-T.54.-C.285-288.

70. Прись И.Е. »Толкачев Е.А. Атом диогена как 4-мерный изотропный сингулярный осциллятор со связью. // ЯФ.-1991.-Т.54.-С.962-966.

71. Прись И.Е. ,Сиваков И.В. »Толкачев Е.А. Вещественная матричная форма преобразования Кустаанхеймо-Штифеля.- В сб. "Ковариантные методы в теоретической физике".-Минск, 1991.-С.128-132.

72. Прись И.Е. »Толкачев Е.А. »Томильчик Л.М. Атом диогена как 4-мер-ный сингулярный осциллятор.Спектр и волновые функции.// ДАН

- 123 -

БССР.- 1992.-Т.36.-С. 123-126.

73. Прись И.Е. ,Сиваков И.В.,Толкачев Е.А. Ковариантное преобразование Кустаанхеймо-Штифеля в кватернионах.// ДАНВ.-1993.-Т.37, №2.-СД35-1Э9.

74. Прись И.Е.,Толкачев Е.А. Потенциал Дирака как сечение расслоения Хопфа. И ДАНБ.- 1993.-Т.37,№3.-С.30-34.

75. Прись Й.Е.,Толкачев Е.А. О монопольных потенциалах в расслоении Кустаанхеймо-Штифеля.-// Препринт W11 Ш АНБ, Минск, 1993,15с.

76. Прись И.Е.»Толкачев Е.А. О ^-деформации спектра связанных состояний квантовой системы заряд-дион.// ЯФ.-1993.-Т. 56.-С. 82-86.

77. Pria I.E.,Shnir Ya.M., Tolkachev Е.А. Berry phase by description of the quantum systems in the Kustaanheimo-Stiefel bundle.-Preprint Trieste, IC/93/296.-1993.-5p.

78. Polubarinov I.V. Quantum mechanics and Hopf fibre bundles.-

(Препринт ОВД/ E2-82-932)

79. Толкачев Е.А. Определение операции Р-инверсии при описании мо-нополя в расслоении С^И«).// ЯФ.-1991.-Т.53.-С.1727-1728.

80. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.:Мир, 1976.-463 с.

81. Волобуев И.П. Калибровочные преобразования сингулярных потенциалов монополя Дирака.// Вестн. МГУ.Сер.физ.-астр. - 1986.-

Т. 27.-С, 63-64'.

82. Volobuev I.P. Geometry and physics of symmetric gange fields.// In "Quantum field theory and high energy physics".- Moscow, 1991. Proceedings of the YI school of young stientists.-P. 82.

83. Матвеев С.В.»Фоменко A.T. Алгебраические и компьютерные методы в 3-мерной топологии.-М.: Изд-во Моск-го ун-та,1991.-301 с.

- 124 -

34. Berry M.V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes. //Proc.R.Soc.bond.-1984. -Vol. 392A.-P. 45- 57.

85. Mcintosh H.V.,Cisneros A. Degeneracy in the presence of a magnetic monopole.//J.Math.Phys.-1970.-Vol.11.-P.896-916.

86. Iwai T.,Uwano Y. The four-dimensional conformal Kepler problem reduces to the three-dimensional Kepler problem with a centrifugal potential and Dirac's monopole field.Classical theory.// J.Math.Phys1986.-Vol.27.-P.1523-1529.

87. Gerry C.C. Radial coherent states for the Coulomb problem.// Phys.Rev.-1988.-Vol.37.-P.665-671.

88. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т.П. Пер. с англ.-

М.: Мир, 1990.- 384 с.

89. Tolkachev В.А.,Tomil»chik L.M.,Shnir Ya.M. P-parity violation in the dyogen speсtrum.//J.Phys.-1988.-Vol.146.-P.1-7.

90. Толкачев E.A. Домильчик JI.M. ,fap Я.М. Атом "диогена" во внешнем поле и Р -неинвариантность. // ЯФ.-1989.-Т. 50.-С. 442-446.

91. Julia В.,Zee. Poles with both magnetic and electric charges in non-Abelian gauge theory.//Phys.Rev.-1975.-Vol.110.-P.2227-2232.

92. Райдер Л. Квантовая теория поля :Пер. с англ.- М.: Мир, 1987.-511 с.

93. Filho Н.В.,Vaidya A.N. S0(2.1) coherent-state Green function for the Klein-Gordon Coulomb problem.//J.Phys.-1989«-Vol.22A.-P. 3223-3228.

94. Gerry C.C. Path integral for coherent states of the dynamical group SU(1,1).//J.iftath.Phys.-1982.-Vol.23.-P.1925-2003.

95. Jarvis P.D.,Baker Т.Н. Q-deformation of radial problems: the simple harmonic oscillator in two dimensions.//J.Phys.-1993.-Vol.26A.-P.883-893.

- 125 -

96. Chaturvedi S. Non-relativistic quantum mechanics in a non-commutative space.//J.Phys.-1993.-Vol.26A.-P.L105-L112.

97. Hirayama M. Gauge field theory of the quantum group SU^(2).// Progr.Theor.Phys.-1992.-Vol.88,-P.111-127.

98. Song X.-C.,Liao L. Tlje quantum Schrodinger equation and the q-deformation of the hydrogen atom.//J.Phys.-1992.-Vol.25A.-P. 623-634.

99. Floratos E.G. The many-body problem for ^-oscillators.// J.Phys.-1991.-Vol.24A.-P.4739-

100. Дамаскинский E.В.,Кулиш П.П. ^ -полиномы Эрмита и су -осцилляторы. // Сб." Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. II и С.-Петербург.; Наука, 1992.-С.81-90.

101. Zpanziger D. Exactly soluble nonrelativistic model of particle^ with both electric and magnetic charges,//Phys.Rev.-1968.-

Vol.176.-P.1430-1495.

102. Macfarlane A.J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2)q.//J.Phy3.-1988.-Vol.22A.-

P.4581-4588.

103. Kulish P.P..Damaskinsky E.V.On the q-oscillator and the quantum algebra SUq(1,1).//J.Phys.-1990.-Vol.23A.-P.L415-L419.

104. Marchiafava S.,Rembielinski J. Quatum quaternions.//J.Math. Phys.-1992.-Vol.33.-P.171 -173.

105. Aref'eva I.Ya. Quantum group gauge fields.// Preprint CERN-TH. 6207/91.- 1991-- 13p.

106. Bo gush A. A. On the parameters of the quantum group

and their composition rules.//Rapid communication on theoretical physics. Preprint N660(3).-1992.-P.10-15.

107. Fei S.M. Hopf algebraic structures of SU^fr+oti) and SU^(Z)

algebras, monopoles and symplectic geometry on 2D manifolds.//

J.Phys.-1991.-Vol. 24A.-P. 5195-5205. 106. Gavrilik A.M. The representation of U^iSOjf) and ¿¿p .//

ТМФ .-1993.-T.95.-C.251-257.

109. Jackiw R., Manton ÏÏ.S. Symmetries and conservation lawes in

gauge theories.// Ann. of Phys.-1980.- Vol.127.-P.257-273.

i

НО. Акулов В.П.,Гершун В .Д., 1Уменчук А.И. Спонтанное нарушение SL^U) -группы симметрии. // Письма в ЖЭГФ.- 1992.-Т.56, вып.З.-С. 180-183.