Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кунаковская, Ольга Вениаминовна

• Кунаковская, Ольга Вениаминовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кунаковская, Ольга Вениаминовна

Введение

1. Индексы особенностей пар сечений векторных расслоений над многообразием с краем.

1.1. Особенности пар сечений векторных расслоений.

1.2. Допустимые множества пары сечений и их свойства.

1.2.1. (±)-допустимые множества, вполне допустимые множества, допустимые сечения и допустимые пары сечений.

1.2.2. Сг-мембраны допустимых множеств и их ориентации.

1.3. Индекс пары сечений вдоль гиперповерхности.

1.4. Индексы компонент множества особенностей пары сечений.

1.5. Теоремы существования.

1.5.1. Теоремы существования особых точек пары сечений векторных расслоений над компактным многообразием с краем.

1.5.2. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Конечномерный случай.

1.6. Применение краевых индексов для оценки числа продольных акустических волн в кристаллической среде.

2. Индексы пары нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.

2.1. Постановка задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов в гильбертовом пространстве.

2.2. Фильтрация основного многообразия \¥ конечномерными многообразиями с краем.

2.3. Глобальный краевой индекс пар нелинейных операторов, невырожденных на д\¥.

2.4. Локальные краевые, внутренние и обобщенные индексы пар нелинейных операторов.

2.4.1. Мембраны (+)-допустимых множеств пары операторов.

2.4.2. Конструкция локального индекса.

2.4.3. Свойства локального индекса д.

2.4.4. Специализации индекса д.

2.5. Теоремы существования решений нелинейных операторных уравнений. Бесконечномерный случай.

3. Свойства гладких функций на банаховых многообразиях.

3.1. ¿^[-функции на банаховых пространствах.

3.2. 5Сг-многообразия.

3.3. 5С'г-функции на 5С7'-многообразии.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологические инварианты краевых и обобщенных особенностей нелинейных операторов и их приложения»

Актуальность темы. Качественное описание свойств нелинейных отображений составляет существенную часть математического знания. Точные геометрические и топологические методы позволяют подступиться к исследованию сложных задач, для которых иные методы либо неприменимы, либо не дают результата. Наиболее естественный и часто встречающийся метод — построение топологического инварианта (или серии инвариантов) рассматриваемого нелинейного отображения, значения которого классифицируют, например, основные типы прообразов точек или множеств (или характеризуют общие черты образа окрестности точки или множества).

В рассматриваемой работе исследуется задача об обобщенных собственных векторах пары нелинейных операторов, действующих как в конечномерном, так и в бесконечномерном пространстве. К рассмотрению собственных функций нелинейных операторов в свое время привели задачи о нелинейных колебаниях, об устойчивости сжатых стержней и другие. Возникновение этой задачи обычно связывается с работами A.M. Ляпунова [30]. Задача о собственных векторах нелинейных операторов в функциональных пространствах, впервые, видимо, рассматривалась Биркгофом и Келлогом [52].

Исследованию задачи об обобщенных собственных векторах нелинейных операторов посвящены монографии [14], [24], [26]. Работы в этом направлении публиковали такие специалисты как Р.Н. Rabinovich, M. Berger, К. Uhlenbeck, S.Т. Cheng, J. Ize, F. Browder, С. И. Похожаев и многие другие. В.Г. Звягин исследовал задачу о собственных векторах, вводя их индексы через вторые препятствия В.Г. Болтянского [19, 20]. Важное прикладное значение этой задачи ярко отражено в сборнике [41]. В этом направлении ведутся также активные современные исследования. Достаточно указать содержательную монографию [51], в которой приведена обширная библиография.

В настоящей работе предлагается метод исследования условий существования обобщенных собственных векторов пары нелинейных операторов, основанный на конструкции топологических индексов особенностей пары сечений векторных расслоений, обобщающей конструкцию индексов краевых индексов 1-форм (векторных полей) В.И. Арнольда [2]. Множество всех особых точек векторного поля на многообразии М (или, более общим образом, сечения векторного расслоения над М) в существенной степени дает представление о его свойствах. Например, факт непустоты 5 — важная характеристика рассматриваемого поля (в частности, при дМ = 0 эквивалентная запрету на его нормировку). Выявление компонент связности 5 (например, изолированных особых точек поля) и вычисление их топологических индексов часто помогает прояснить многое в структуре 5", а использование глобальных теорем (типа теоремы Пуанкаре-Хопфа или теории Морса) вместе с процедурой трансверсализации дает результат, достаточный для первого анализа рассматриваемого поля. В случае дМ — 0 о краевых индексах, конечно, говорить нельзя; однако, приведенные здесь конструкции топологического индекса пары сечений вдоль гиперповерхности и обобщенного топологического индекса допустимых множеств пары сечений имеют смысл и в этой ситуации.

Напомним, что сечением векторного расслоения £ = (Е,р,М) с тотальным пространством Е над базой М и с проекцией р : Е —> М называется такое отображение а : М —>■ Е, что р о а{х) = х \/х е М (т.е., вектор а(х) принадлежит слою Ех = р~1(х) над точкой х). Распространенная практика формального представления физических полей как некоторых сечений подходящих векторных расслоений (или расслоений, ассоциированных с векторными расслоениями) позволяет считать проблему изучения множества 5 чрезвычайно актуальной по отношению к различным областям естествознания. Кроме того, в рамках теории операторов в банаховых (или более общих) пространствах каждому оператору (линейному или, в общем случае, нелинейному) Г : II Е2, заданному на области II пространства Е\ со значениями в пространстве Е2, взаимно однозначно соответствует его график

Г : и и х Е2 : х И- (ж, ^(ж)), являющийся сечением простейшего (тривиального) векторного расслоения-произведения р\ : и х Е2 н> 11 : (х, у) —> х, и, очевидно, исследуемые свойства оператора полезно соотносить со свойствами его графика (что часто использовалось как классиками, так и современными исследователями). Это подчеркивает необходимость наших конструкций в нелинейном анализе.

При нелокальном изучении функционалов и векторных полей на многообразиях с краями и углами возникает необходимость использования глобальных версий конечномерной редукции — теорий Ляпунова-Шмидта, Каччиопо-ли, Морса-Ботта, LS-приводимости и пр. [16], [8], [18].

К изучению поведения гладких функционалов вблизи краевых и угловых особых точек края банахова (в частности, гильбертова) многообразия приходится обращаться как в пределах "чистой" теории особенностей гладких функционалов, так и в рамках задач прикладной направленности — теории управления, теории фазовых переходов, теории бифуркаций периодических волн и т.д. Анализ краевых и угловых особенностей гладких функций на конечномерных многообразиях возник в работах В.И. Арнольда, Д. Сирсмы, Д. Пита, Т. Посто-на и др. [1], [77], [16]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах В.А. Васильева, A.A. Давыдова, В.И. Матова и др. [3]. Отметим, что перенос теории угловых особенностей на класс фредгольмовых функционалов был осуществлен Ю.И. Сапроновым. Сравнительно недавно Ю.И. Сапроновым, A.B. Гнездило-вым, О.Ю. Даниловой, О.В. Швыревой, М.А. Хуссаином и A.B. Белоглазовым был проанализирован ряд важных угловых особенностей, связанных с приложениями к нелинейным задачам механики сплошных сред и математической физики [16].

Целью работы является построение и исследование топологических индексов особенностей (в частности, обобщенных собственных векторов) пары гладких нелинейных операторов, заданных на открытом множестве с гладкой границей в сепарабельном гильбертовом пространстве. Также, целью работы является выделение класса сепарабельных банаховых пространств, допускающих элементы конструкции топологических индексов. Кроме того, целью работы является построение и исследование для случая пары гладких сечений гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным п-мерным многообразием с краем конечномерной основы конструкции топологических индексов.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы нелинейного функционального анализа, дифференциальной топологии, общей топологии, а также отдельные методы линейной алгебры.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми:

1) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества 5+(о-!, <72) особых точек пары гладких сечений (ах, сг2) гладкого векторного расслоения ранга п над гладким компактным п-мерным многообразием с краем построена гомотопически инвариантная аддитивная целочисленная характеристика (обобщенный топологический индекс д(ах, сг2; С)), кососимметрическая относительно перестановки сечений данной пары,

2) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В (ах, а2) допустимой пары гладких сечений векторого расслоения над п-мерным многообразием с краем и их глобальными внутренними индексами:

В(а1,а2) = 1(а2)-(-1)п/(а1),

3) доказано, что для произвольной кристаллической среды имеется по крайней мере три направления продольных нормалей акустических волн,

4) для каждой подсистемы С в системе всех компонент связности множества ^2) обобщенных особенностей пары нелинейных операторов вида

1,^2) = (Мя + ^ъ/Мя+ ^2), < 0, /и2 > О с условием невырожденности ^ на границе подмногообразия нулевой коразмерности в сепарабельном гильбертовом пространстве Н построена гомотопически инвариантная (в естественном классе /¿-гомотопий) аддитивная целочисленная характеристика — обобщенный топологический индекс д(Рх, .Рг; С),

5) доказана теорема о связи между глобальным краевым индексом В(Е\, .Р2) допустимой пары нелинейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве и их глобальными внутренними индексами:

6) доказана теорема о признаке существования "второго решения "в терминах обобщенного топологического индекса д для задачи об обобщенном собственном векторе пары нелинейных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве,

7) выделен класс Сг-многообразий М, г > 1, являющихся паракомпакта-ми и моделированными сепарабельными ^С^-гладкими банаховыми простран-ствоми, где р > тах(2,г), допускающих Сг-разбиение единицы.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории операторных уравнений в бесконечномерных пространствах, математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных. Полученные результаты могут быть использованы для доказательства разрешимости задач, которые могут быть сведены к задачам о собственных векторах пары нелинейных отображений, заданных на областях с гладкой границей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на VIII Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (Самара, 1992), на IX Международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992), на Международном Конгрессе Ассоциации "Женщины - математики" (Москва, 1994), на III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж, 1995), на международной конференции "Stochastic and Global Analysis"(Воронеж, 1997), на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (Москва, 2003), на Международной конференции "Анализ и особенности", посвященной 70-летию В.И. Арнольда (Москва, 2007), регулярно на Воронежских зимних математических школах и на Весенних Воронежских математических школах "Понтрягинские чтения", а также на научных семинарах Воронежского государственного университета: семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа (рук. проф. Ю.Г. Борисович), семинаре кафедры нелинейных колебаний (рук. проф. А.И. Перов), на семинаре по глобальному и стохастическому анализу (рук. проф. Ю.Е. Гликлих) и семинаре кафедры математического моделирования (рук. проф. Ю.И.Сапронов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [81]-[98]. Работы [87], [92] опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК РФ. Из совместных публикаций [81], [84], [86], [87], [93] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 89 наименований. Объем диссертации составляет 150 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кунаковская, Ольга Вениаминовна, 2012 год

1. Арнольд В.И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В к, Сki и особенности эволют / В. И. Арнольд // Успехи мат. наук. - 1978. - Т. 33, вып. 5 (203). - С. 91-105.

2. Арнольд В.И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями, и особые проекции гладких поверхностей / В.И. Арнольд // Успехи матем. наук. — 1979. Т. 34, вып. 2. - С. 3-38.

3. Арнольд В.И. Особенности диффернцируемых отображений / В.И. Арнольд, А.Н. Варченко, С.М. Гусейн-Заде. М.: МЦНМО, 2004. - 672 с.

4. Архангельский A.B. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / A.B. Архангельский, В.И. Пономарев. — М.: Наука, 1974. — 424 с.

5. Белоглазов A.B. Бифуркации условных экстремумов из омбилической точки минимума в вершине угла / A.B. Белоглазов // Математические модели и операторные уравнения. — Т. 3. — Воронеж, ВорГУ, 2005. — С. 4-12.

6. Белоглазов A.B. Об угловых особенностях гладких функций в нелинейных задачах математической физики /A.B. Белоглазов // Труды Воронежской Зимней Математической Школы С.Г. Крейна -2006. — Воронеж: ВорГУ, 2006. С. 21-36.

7. Борисович Ю.Г. К теории нелинейных фредгольмовых отображений / Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов // Труды VIII летней математической школы. Киев, 1971. - С. 128-139.

8. Борисович Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович Ю.Г., В.Г. Звягин В.Г., Ю.И. Сапронов Ю.И. // Успехи матем. наук. 1977. - Т.32. - N 4. - С.3-54.

9. Борисович Ю.Г. Топологические методы в теории нелинейных фредгольмовых операторов / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, П.Б. Шерман. — Воронеж: изд-во ВГУ, 1978. 79 с.

10. Борисович Ю.Г. Топологические характеристики и фредгольмов анализ в нелинейных проблемах / Ю.Г. Борисович // Известия вузов. Математика. 1994. - № 2. - С. 22-26.

11. Ботт Р. Дифференциальные формы в алгебраической топологии / Р. Ботт, Л.В. Ту. М.: Наука, 1989. - 336 с.

12. Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов / Н. Бурбаки. — М.: Наука, 1975. — 412 с.

13. Вайнберг М.М. О неподвижных направлениях некоторых вполне непрерывных операторов / М.М. Вайнберг // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 83, № 6.

14. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинйных операторов // М.М. Вайнберг. М.: ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

15. Голубицкий М. Устойчивые отображения и их особенности / М. Голубиц-кий, В. Гийемин. — М.: Мир, 1977. — 292 с.

16. Даринский Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов / Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: МАИ. — Т. 12. — 2004. — С. З-14'O.

17. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии / А.Дольд. — М.: Мир, 1976. 464 с.

18. Зачепа В.Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений / В.Р. Зачепа, Ю.И. Сапронов // Воронеж: ВорГУ, 2002. 185 с.

19. Звягин В.Г. Об индексе особых точек пары векторных полей / В.Г. Звягин // Труды НИИ математики ВГУ. — Воронеж, 1971. Вып. 3. - С. 44-54.

20. Звягин В.Г. Индекс собственных векторов некоторых нелинейных компактных операторов / В.Г. Звягин // Труды НИИ математики ВГУ. — Воронеж, 1972. Вып. 5. - С. 11-22.

21. Зуланке Р. Дифференциальная геометрия и расслоения / Р. Зуланке, П. Винтген. — М.: Мир, 1975. 352 с.

22. Иллс Дж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс // Успехи матем. наук. 1969. - Т. 24, вып. 3. - С. 157-210.

23. Иллс Дж. Фредгольмовы структуры //Успехи матем. наук. 1971. - Т.26.- N 6. С.213-240.

24. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений / М.А. Красносельский. — М.: Гос. изд-во физ.-тех. лит-ры, 1956. — 392 с.

25. Красносельский М.А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений /М.А. Красносельский, А.И. Перов // Докл. АН СССР. 1958. - Т. 123, № 2. - С. 235-238.

26. Красносельский М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. — М.: Наука, 1975. — 512 с.

27. Красносельский М.А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М.А. Красносельский, H.A. Бобылев, Э.М. Мухамадиев // ДАН СССР. — 1978.- Т. 240, № 3. С. 530-533.

28. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг.- М.: Мир, 1967. 204 с.

29. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев. — М.: Высш. школа, 1982. — 271 с.

30. Ляпунов A.M. Sur les figures d'équilibré peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogene doee d'un mouvement de rotation, premiere partie. Etude general du problème / A.M. Ляпунов // Зап. Академии наук, С.Петербург, 1906. С. 1-225.

31. Милнор Дж. Дифференциальная топология. Начальный курс / Дж. Мил-нор, А. Уоллес. — М.: Мир, 1972. — 279 с.

32. Милнор Дж. Характеристические классы / Дж. Милнор, Дж. Сташеф. — М.: Мир, 1979. 270 с.

33. Мищенко A.C. Векторные расслоения и их применения / A.C. Мищенко.- М.: Наука, 1984. 208 с.

34. Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного / М. Морс. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951. — 248 с.

35. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / Р. Нарасимхан. — М.: Мир, 1971. — 232 с.

36. Ниренберг JI. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ни-ренберг. М.: Мир, 1977. - 232 с.

37. Особенности. I. Локальная и глобальная теория / В.И. Арнольд и др.] // Современные проблемы математики. Фунд. направления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1988. Т. 6. - С. 5-256.

38. Похожаев С.И. О множестве критических значений функционалов //Ма-тем. сб. 1968. - Т.75. - N 1. - С.106-111.

39. Рохлин В.А. Начальный курс топологии / В.А. Рохлин, Д.Б. Фукс. — М.: Наука, 1977. 488 с.

40. Стинрод Н. Топология косых произведений / Н. Стинрод. — М., 1953.

41. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Дж.Б. Келлер; под. ред. С. Антман. — М.: Мир, 1974. — 254 с.

42. Том Р. Некоторые свойства "в целом "дифференцируемых многообразий / Р. Том // Расслоенные пространства и их приложения. — М.: Мир, 1973.- С. 293-351.

43. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах / Ф.И. Федоров. — М.: Наука, 1965. 388 с.

44. Хирш M. Дифференциальная топология / M. Хирш. M.: Мир, 1979. -280с.

45. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства / Д. Хьюзмоллер. — М.: Мир, 1970. 444 с.

46. Энгелькинг Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. М.: Мир, 1986. - 752с.

47. Ясинский Ф.С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней / Ф.С. Ясинский. — М.: Гостехиздат, 1952.

48. Abraham R. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications / R. Abraham, J.E. Marsden, T. Ratiu. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1988. — Second Edition. — Applied Mathematical Sciences, 75. — XI+654 pp.

49. Alexandroff P.S. Topologie I // P.S. Alexandroff, H. Hopf. — Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 45 — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1935. — 552 pp.

50. Atiyah M. Vector fields with finite singularities / M. Atiyah, J. Dupont // Acta Math. 1972. - No.128. - P. 1-40.

51. Appell J. Nonlinear spectral theory / J. Appell, E. De Pascale, A. Vignoli // De Gruyter series in nonlinear analysis nd applications. — Walter de Gruyter. Berlin. New York. 2004. - 408 p.

52. Birkhoff, G.D. Invariant Points in Functions Spaces / G.D. Birkhoff, O.D. Kellog // Trans. Amer. Math. Soc. 1922. - No. 23. - P. 96-115.

53. Bonic R. Differentiable functions on certain Banach spaces / R. Bonic, J. Frampton // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. - V.71. - N. 2. - P. 393-395.

54. Bonic R. Smooth functions on Banach manifolds / R. Bonic, J. Frampton //J. of Math, and Mech. 1966. - V.15. - N.5. - P. 877-898.

55. Bott R. Differential forms in algebraic topology / R. Bott, L.W. Tu. — New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1982. — 331 pp.

56. Brouwer L. E. J. Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten / L. E. J. Brouwer // Mathematische Annalen. 1911. - Vol. 71, № 1. - S. 97-115.

57. Eells J. Open embeddings of certain Banach manifolds / J. Eells, K.D. Elworthy 11 Ann. of Math. 1970. - V. 91, No.3. - P. 465-486.

58. Eells J. An approximate Morse-Sard theorem / J. Eells, J. Me Alpin //J. Math. Mech. 1969. - No.11. - P. 1055-1064.

59. Elworthy K.D. Fredholm maps and GLc(E) -structures / K.D. Elworthy // Bull. Amer. Math. Soc. 1968. - V. 74. - P. 582-586.

60. Elworthy K.D. Differential structures and Fredholm maps on Banach manifolds / K.D. Elworthy, A.J. Tromba // Proc. Sympos. Pure Math. — Providence, R.I., 1970. V. 15. - P. 45-94.

61. Gauss C.F. Werke / C.F. Gauss. — Gottingen: Königliche Gesellschaft der Wessenschaften, 1867. Bd.5. - S. 602.

62. Gottlieb D.H. Zeroes of pullback vectorfields and fixed point theory for bodies / D.H. Gottlieb // Contemporary Mathematics. 1989. - Vol. 96. - P. 163180.

63. Hopf H. Vectorfelder in n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten / H. Hopf // Mathematische Annalen. 1926. - Vol. 96. - S. 225-250.

64. Koschorke U. Vector fields and other vector bundle morphisms — a singularity approach / U. Koshorke. // Lect. Notes in Math. — V. 847. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1981. — 308 pp.

65. Kronecker L. Ueber Systeme von Functionen mehrerer Variabein / L. Kronecker // Monatsberichte Konigl. Preussige Akademie Wiss. Berlin, 1869, Erste Abhandlung, 150-193; Zweite Abhandlung, 688-698.

66. Kurzweil J. On approximation in real Banach spaces / J. Kurzweil // Studia Math. 1954. - V.14. - P. 213-231.

67. Leray J. Theorie des points fixes: indice total et nombres de Lefschetz / J. Leray // Bull. Soc. Math. France. 1959. - № 87. - P. 221-233.

68. Leray J. Topologie et equations fonctionelles / J. Leray, J. Schauder // Ann. Sei. Scuole Norm. Sup. 1934. - Vol. 51, No. 3. - P. 45-78.

69. Morse H.M. Singular points of vector fields under general boundary conditions / H.M. Morse // Amer. Journ. Math. 1929. - № 51. - P. 165-178.70