Толерантные кубические сингулярные гомологии и спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Кляева, Инна Александровна

• Кляева, Инна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кляева, Инна Александровна

Введение

1 Основные понятия

1.1 Категории толерантных пространств.

1.2 Симплициальные гомологии толерантных пространств

1.3 Толерантные расслоения.

2 Теория толерантных кубических сингулярных гомологий

2.1 Построение групп толерантных кубических сингулярных гомологий.

2.2 Нульмерные толерантные кубические сингулярные гомологии.

2.3 Толерантные кубические сингулярные гомологии стягиваемых пространств.

2.4 Простые толерантные кубические сингулярные гомологии.

2.5 Гомологии нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности.

2.6 Полное двойное замедление толерантного сингулярного куба.

2.7 Пунктированные толерантные сингулярные кубические гомологии.

3 Спектральная последовательность толерантного рассло

3.1 Основная теорема о сингулярных кубах толерантных расслоений

3.2 Действие фундаментальной группы базы на группе гомологий слоя толерантного расслоения.

3.3 Уточнение основной теоремы о сингулярных кубах толерантных расслоений.

3.4 Построение спектральной последовательности толерантного расслоения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Толерантные кубические сингулярные гомологии и спектральная последовательность Лере-Серра толерантного расслоения»

Методы гомологической алгебры в теории отношений впервые были применены Доукером в работе [28] 1956 года, в которой он определил группы гомологий произвольных отношений. Затем Зиман в работе [33] 1962 года определил отношения толерантности, весьма перспективные как с математической, так и с прикладной точки зрения, для которых гомологическая алгебра оказалась естественным инструментом исследования. Зиман, применяя алгебро- топологические методы для моделировани работы зрительного анализатора, предложил в качестве наиболее общей математической модели понятия схожести использовать рефлексивные и симметричные бинарные отношения, которые он назвал отношениями толерантности. Пару, состоящую из множества и заданного на этом множестве отношения толерантности, Зиман назвал толерантным пространством. Типичными примерами толерантных пространств, естественно возникающих при приближенных измерениях и вычислениях, являются метрические толерантные пространства. Такие пространства состоят из множеств, на которых имеются метрики, а толерантность пары точек имеет место по определению, если они удалены друг от друга менее чем на некоторую фиксированную величину, связанную с точностью измерений или вычислений. Конечно же, метрические пространства далеко не исчерпывают все примеры и применения толерантных пространств. Так, например, особый интерес к конечным толерантным пространствам с толерантностями, не связанными с метриками, был проявлен со стороны специалистов по теории автоматов (см. работы [1], [27], [29] - [32]) и специалистов по математической лингвистике (см. [24], [25]).

В 1970 году была опубликована программная статья Зимана и Бью-немана (см. [3]). В этой статье некоторые важные и интересные вопросы, связанные с математическим моделированием в области теоретической кибернетики и биологии, были сформулированы на языке теории толерантных пространств в виде конкрентых математических задач. Однако, решение этих задач затруднялось неразвитостью гомологической теории толерантных пространств и практическим отсутствием теории толерантной гомотопии. Достаточно отметить, что к середине 80-х годов имелось несколько совершенно различных (и даже не изоморфных) способов определения групп гомологий толерантных пространств, и одновременно не было предложено ни одного способа построения фундаментальных групп толерантных пространств, не говоря уже о высших гомотопических группах. Все это, в частности, тормозило развитие теории толерантных накрытий и толерантных расслоений, которые, согласно идее Зимана и Бьюнемана [3], являются подходящим инструментом описания неоднозначности в поведении сложных систем.

Начиная с конца 80-х годов, в серии работ Небалуева С.И. (см. библиографию в [16] и [8], [10], [11], [13]) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой был решен ряд задач, в том числе и некоторые задачи, сформулированные в работе [3]. В упомянутых выше работах Небалуева, в частности, были получены стандартные точные гомологические последовательности (пары, Майера-Виеториса), формула Кюннета, были определены фундаментальная группа и высшие гомотопические группы толерантных пространств и доказаны теоремы о точных гомотопических последовательностях пары и толерантных расслоений. Была также доказана теорема Пуанкаре для толерантных пространств об изоморфизме группы 1-мерных гомологий и фактора фундаментальной группы по \ коммутанту. После того как были получены эти результаты, стали актуальными следующие задачи: посторение и изучение спектральных последовательностей и доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств о связи высших гомотопических групп с группами гомологий. В классическом алгебро-топологическом случае одной из наиболее важных спектральных последовательностей является спектральная последовательность расслоения, или спектральная последовательность JTepe-Ceppa, с помощью которой получается одно из доказательств теоремы Гуревича. Поэтому наиболее актуальной задачей описываемого направления в теории толерантных пространств стала задача построения спектральной последовательности Jlepe-Ceppa толерантного расслоения, изучения ее свойств и вычисления первых ее членов. Решение этих задач является основной целью представленной диссертации.

При построении спектральной последовательности Лере-Серра толерантного расслоения необходимо было выбрать подходящее определение групп гомологий толерантного пространства. В алгебраической топологии при классическом способе построения спектральной последовательности Лере-Серра используются кубические сингулярные гомологии (см. [22], [23]). В работе [29] был предложен вариант определения толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий. Однако, эти гомологии имеют ряд серьезных недостатков: во-первых, ТКС гомологии из [29] не инвариантны относительно толерантной гомотопии, определяемой по классической схеме; во-вторых, они не изоморфны группам гомологий Зимана и Небалуева и, следовательно, не удовлетворяют упомянутой выше теореме Пуанкаре. Это делает группы ТКС гомологий из работы [29] непригодными для решения поставленных задач. Поэтому вторая глава диссертации полностью посвящена построению теории ТКС гомологий, подходящих для получения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра.

При построении подходящей теории ТКС гомологий решалось две задачи: во-первых, эти гомологии должны быть естественно изоморфны гомологиям Зимана, а, во-вторых, группы таких гомологий должны порождаться пунктированными толерантными сингулярными (ТС) кубами, все вершины которых отображаются в отмеченную точку. Для этого сначала определяются группы ТКС гомологий Н®(Х) и простых ТКС гомологий HS(X) толерантного пространства (Х,т). Важность гомологий HS(X) заключается в том, что для них доказывается их естественная изоморфность гомологиям Зимана Н{Х). Недостаток гомологий HS(X) состоит в том, что пунктированные простые ТС кубы тривиальны, то есть являются постоянными отображениями. Чтобы в последствии иметь нетривиальные пунктированные ТС кубы, мы должны перейти к гомологиям Н®{Х). При этом доказывается теорема о естественной изоморф-ности HS{X) и Н®(Х). От гомологий Н®(Х) перейти к пунктированным ТКС гомологиям Н'(Х) удается с помощью конструкции полного двойного замедления ТС кубов и весьма громоздкой теоремы 2.8. Конструкция полного двойного замедления позволяет экспоненциально увеличивать размеры ТС кубов, сохраняя группы гомологий, порождаемые этими кубами. С помощью конструкции полного двойного замедления доказывается естественная изоморфность групп Н®(Х) и вспомогательных групп HW(X) замедленных ТКС гомологий. С помощью теоремы 2.8 доказывается естественная изоморфность замедленных ТКС гомологий НУ{Х) и пунктированных ТКС гомологий Н'(Х) . В результате на категории толерантных пространств получаем гомологический функтор пунктированных ТКС гомологий Н'(Х) , подходящий для построения толерантной спектральной последовательности Лере-Серра, и изоморфный функтору гомологии Зимана Н(Х).

Построение спектральной последовательности Лере-Серра пунктированного толерантного расслоения р : ((E,t),xq) —> ((£?,т),&о) начинается с доказательств ряда важных свойств ТС кубов пространств (Е, т) и (В, г), связанных В- и Т- проекциями. Одним из следствий этих свойств является задание представления фундаментальной группы пт(В, Ь0) базы (В,т) расслоения в группе автоморфизмов AutH(F) группы гомо-логий H(F) слоя F — о), что позволяет определить важные для дальнейшего группы Н(В\ H(F)) гомологий базы (В,т) с локальными коэффициентами в группе гомологий слоя (F,t).

В заключительной части диссертации с помощью полученных свойств ТС кубов толерантного расслоения строится в терминах точных нар спектральная последовательность { ф £st}n^i- Доказываются свойства этой последовательности, из которых следует ее сходимость. Затем вычисляется первый член этой последовательности £Sjt = СР(В) <g> Ht{F), где СР(В) - цепной комплекс накрытых пунктированных нормализованных толерантных кубических сингулярных цепей. При этом в диссертации доказывается, что группы гомологий НР(В) комплекса СР(В) изоморфны группам гомологий Зимана Н{В). Наконец, выполняется вычисление второго члена = HS(B\Ht(F)). Полученные результаты имеют совершенно классический вид, что позволяет назвать последовательность { ф £st\n^ 1 толерантной спектральной последовательностью s,te Z

Jlepe-Ceppa толерантного расслоения.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Кляева, Инна Александровна

Заключение

По аналогии с алгебро-топологической классикой построенную спектральную последовательность можно назвать спектральной последовательностью Лере-Серра толерантного расслоения. Поскольку в ее построении были использованы пунктированные ТКС гомологии, то эта спектральная последовательность пригодна для изучения гомотопических групп толерантных пространств.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кляева, Инна Александровна, 2009 год

1. Арбиб М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сб. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

2. Зиман Э., Въюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сб. На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

3. Кляева И.А. Гомологии толерантных сфер // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.7.С.50-53.

4. Кляева И.А. Спектральные последовательности толерантных расслоений // Известия Сарат. ун-та. Новая серия. Серия «Математика. Механика. Информатика.» Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. т.8. Вып.4. С.13-18.

5. Кляева И. А. Гомологии приведенных толерантных кубических сингулярных цепей различной вырожденности // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып.10. С.27-29.

6. Небалуев С.И., Шимельфениг О.В. Автоматоматно- игровая модель управления поведением // Сб. Анализ и синтез конечных автоматов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1973. С.38-42.

7. Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С. 166-167.

8. Небалу ев С.И. Накрывающие преобразования толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр.Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып.2. С.30-35.

9. Небалуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С. 15-30.

10. Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения».Тула, 2004. T.V. Вып. 1(9). С.144-152.

11. Небалуев С.И. Классификационные теоремы для толерантных накрытий // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып.6. С.97-99.

12. Небалуев С.И. Точные гомотопические последовательности в теории толерантных пространств // Чебышевский сборник. Труды VI международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения». Тула, 2004. T.V. Вып. 3(11). С.64-97.

13. Небалуев С.И. Расслоенные толерантные пространства // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С. 79-93.

14. Небалуев С.И., Кляева И.А. Толерантное расслоение пространства толерантных путей // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып.З. С.93-106. t

15. Небалуев С.И. Гомологическая теория толерантных пространств // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.

16. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Толерантные кубические сингулярные гомологии // Математика. Механика. Сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып.8. С.92-95.

17. Небалуев С.И.,Кляева И. А. Теория толерантных кубических сингулярных гомологий // Исследования по алгебре, теории чисел, функционалыюму анализу и смежным вопросам. Межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып.4. С.89-115.

18. Небалуев С.И.,Кляева И.А. Теория пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий // Вестник Самарского государственного университета. Самара: Изд-во «Самарский университет», 2007. Вып.7(57). С.134-151.

19. Спеньер Э. Алгебраическая топология // М.: Мир, 1971.

20. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий // М.: Мир, 1966.

21. Ху Сы-цзян. Теория гомотопий // М.: Мир, 1964.

22. Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2. 1970.

23. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

24. Arbib М.А. Automata theory and control theory: a rapprochement // Automatica. 1966. № 3.

25. Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

26. Dowker C.H. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

27. Muir A., Worrier M. W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

28. Muir A., Worner M.W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. № 9.

29. Muir A., Worner M. W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

30. Muir A., Worner M. W. Lettice valued relations and automats // Diser. Appl. Math. Vol. 7. № 1.

31. Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.