Точные устойчивые решения в многомерной модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с нулевой вариацией эффективной гравитационной постоянной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Эрназаров, Кубантай Кочкорович

• Эрназаров, Кубантай Кочкорович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Эрназаров, Кубантай Кочкорович

Введение.......................................... 5

I. Цель работы........................................ 10

И. Научная новизна.................................... 10

III. Научная и практическая значимость.................. 11

IV Апробация работы................................... 11

V. Публикации автора.................................. 11

VI. Личный вклад автора................................ 13

VII. Структура и объем диссертации...................... 13

Глава 1 Экспоненциальные космологические решения в модели

Эйнштейна-Гаусса-Бонне с космологическим Л-членом .. 14

1.1 Предварительные замечания.......................... 14

1.2 Постановка задачи.................................. 17

1.3 Уравнения движения................................. 19

1.4 Сведения к автономной системе дифференциальных

уравнений первого порядка........................... 20

1.5 Решения с постоянными ............................. 21

1.6 Примеры космологических решений.................... 22

Глава 2 Устойчивость экспоненциальных космологических

решений с нестационарным объемным фактором в

модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне....................

2.1 Предварительные замечания.......................... 25

2

2.2 Уравнения для возмущений хаббловских параметров.... 26

2.3 Примеры............................................ 30

2.3.1. Решение с = 11, I = 16 и Л = 0.............. 30

2.3.2. Решение с = 15, I = 6 и Л = 0............... 31

2.4 Изменение эффективной гравитационной постоянной.... 32

2.5 Подкласс решений с нулевой вариацией С............. 33

Глава 3 Устойчивые экспоненциальные космологические

решения с нулевой вариацией G* и двумя различными хаббловскими параметрами в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с Л-членом............................ 35

3.1 Предварительные замечания.......................... 35

3.2 Решения с гравитационной постоянной С.............. 36

3.3 Анализ устойчивости................................ 40

Глава 4 Устойчивые экспоненциальные космологические

решения с нулевой вариацией G* и тремя различными хаббловскими параметрами в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с Л-членом............................ 44

4.1 Предварительные замечания.......................... 44

4.2 Решения с постоянной гравитационной постоянной С... 45

4.3 Доказательство устойчивости........................ 51

4.4 Примеры............................................ 53

4.4.1 Случай m = 3................................. 53

3

4.4.2 Примеры для m = 4 и m = 5................ 54

Заключение.............................................. 55

Список рисунков......................................... 57

Литература.............................................. 58

Приложения.............................................. 70

Приложение 1................................... 70

Приложение 2................................... 72

Приложение 3................................... 78

Приложение 4................................... 80

Приложение 5................................... 82

4

Введение

На данный момент основной теорией гравитации является общая теория относительности (ОТО), основоположником которой является А.Эйнштейн. ОТО -метрическая теория и пространство описывается в ней 4-мерным многообразием [1-3].

В настоящее время в научной литературе весьма интенсивно изучаются многомерные модели гравитации. Это обстоятельство во многом обусловлено одной из главных тенденцией современной физики, связанной с программой объединения всех известных (фундаментальных) физических взаимодействий. ОТО решает задачу геометризации взаимодействий, ограничившись гравитационным взаимодействием. Но идея геометризации физики диктует ее распространение и на другие взаимодействия [4-7].

На данном этапе рассматривалась так называемая D-мерная гравитационная модель «Эйнштейна-Гаусса-Бонне» (ЭГБ). Появление скаляра Гаусса-Бонне в многомерной гравитации мотивируется теорией струн [8-11]. В настоящее время модель ЭГБ и её обобщения - модель Лавлока, струнная гравитация и пр. - весьма интенсивно исследуются в теоретической космологии [12-20], в том числе для объяснения ускоренного расширения Вселенной в согласии с наблюдательными данными по суперновым (типа Ia) [21,22]. В ряде работ были получены точные космологические решения в модели ЭГБ (см., например, [15-20] и ссылки там).

Если предположить, что многомерные теории объединения взаимодействий верны, то это с неизбежностью приведёт к предсказанию вариаций О [21-39], в т.ч. не противоречащих наблюдениям. Случай их отсутствия является весьма особым и (как говорят математики) обладает «мерой нуль». Отсутствие вариаций возможно при наличии весьма тонкой, специальной настройки - согласовании констант (“fine tuning”), для чего необходимо особое объяснение.

Напомним, что гипотеза о временной вариации гравитационной постоянной была впервые высказана в работе П.А.М. Дирака. Эта гипотеза давала оценку на

5

G/G порядка 10-11 год-1 [40-41] . В многочисленных работах по скалярно-тензорным теориям ранее было показано, что эти вариации могут быть порядка [G/G] < 10-1210-14 год-1, см. обзор [26] и ссылки там.

В многомерной космологии c анизотропным внутренним пространством, определенным на произведении многообразий М1х. хМ^ , безразмерный параметр вариации G имеет вид [27]

= ^ , ( )

где Н - постоянная Хаббла, Җ - размерность М; и - «хаббловский

параметр» для внутреннего фактор-пространства , b;(t)- масштабный фактор

, /' = 1, ..., ^.

Что касается экспериментальных данных, то вариации гравитационной постоянной в настоящее время допускаются на уровне 10-13 и менее в год [42]. В работе [43] использовалось ограничение на величину безразмерной вариации гравитационной постоянной

С

-0,00057 < — < 0,000987 , (2)

которое удовлетворяет наиболее жесткому ограничению на вариацию G, полученному по совокупности эфемерид [44],

- = (0,16 ± 0,6) х 10-13 год-1

при современном значении параметра Хаббла Н = Н0

км .. .

% = 73 ±3 —-—-7,4 х 10-11 год-1 с-Мпс

(3)

(4)

который характеризует темп расширения наблюдаемой Вселенной. Ограничение

(1.3) имеет, как утверждается, уровень достоверности 95% [44].

6

В работе [43] рассматривалась космологическая модель ЭГБ описывающая расширяющееся ^-мерное фактор-пространство с масштабным фактором пропорциональным exp(#t) (Н > 0) и сжимающееся /-мерное фактор-пространство c масштабным фактором пропорциональным exp(^ t) (А < 0). Параметр Н > 0 - это параметр Хаббла для расширяющегося трёхмерного подпространства, моделирующего нашу Вселенную. При этом внутреннее пространство анизотропно. Оно имеет размерность - 3 + / . Оно расширяется по (^ - 3) измерениям и сжимается по / измерениям. Объёмный масштабный фактор внутреннего пространства меняется по следующему закону

v(t) = Rexp((m — 3)#t + Z^t), (5)

где Б > 0 - константа, a эффективная гравитационная - по закону

C(t) = (6)

и, как следствие, безразмерный параметр вариации О имеет вид

= -Cm — 3) — ;(%) . (7)

Следует отметить, что многомерные космологические решения в модели ЭГБ [45-59] с ^ = 3, описывающие ускоренное расширение 3-мерного фактор-пространства (в т.ч. с экспоненциальным поведением масштабных факторов), рассматривались в ряде работ, см. [11, 15, 20 ] (/ = 2), [16] (/ = 3), [14] (/ = 6) и ссылки там. Так, например, полученное в [20] точное аналитическое решение с =3, / = 2 отвечает численному решению (см. [60] и ссылки там ): Н = 0,750173..., А = -0,541715..., при а > 0 и находится в согласии с решением из (см. [60] и ссылки там), изображённым на рис. 1.

7

15

15

О 2 4 6 8 t 10

n(f) = Cexp(ZVt) - масштабный фактор внешнего пространства

Z?(t) = Cexp(Tit) - масштабный фактор внутреннего пространства

Рис. 1. Масштабные факторы внешнего и внутреннего

пространств для решения ( см. [60] и ссылки там ) в размерности

D = 6.

Однако эти решения с /и =3 в размерностях О = 6, 7, 10 приводят к очень большим значениям для вариации гравитационной постоянной, не удовлетворяющим (даже по порядку) наблюдательным ограничениям на G/G подобно тому, как это имеет место для тривиального (изотропного) решения с 7/ = /? > 0 [17, 18] при а < 0. Отдельного изучения требует случай с тремя разными

значениями «хаббловских» параметров о = (o') = (77,..., 7/, /ц,... ,/ц, /?2, ,^2). Других вариантов здесь нет, так как в данной модели, как показано в [17,18], число различных «хаббловских» параметров не превышает 3.

В данной диссертационной работе найдены примеры многомерных моделей со слагаемым Гаусса-Бонне, в которых временная вариация G равна нулю (что

8

удовлетворяет наблюдательным ограничениям), в то время как 3-мерное фактор-пространство расширяется по экспоненциальному закону. Ниже рассматриваются космологические решения с экспоненциальным расширением фактор-пространств с двумя «хаббловскими» параметрами (Н и А) в модели Эйнштейна-Г аусса-Бонне (ЭГБ), способные теоретически обосновать явление ускоренного расширения современной Вселенной (с параметром Хаббла Н) и ненаблюдаемость внутренних пространственных измерений, равно как удовлетворяющие наблюдательному ограничению на вариацию эффективной гравитационной постоянной G. В рассмотренной модели параметр Н отвечает ^-мерному подпространству, а параметр А - /-мерному подпространству.

Ранее в работе [43] для модели ЭГБ с нулевой космологической постоянной были получены два решения с нулевой величиной вариации G: для = 11, / = 16 (в размерности D = 28) и = 15, / = 6 (D = 22); а также решения со значениями временной вариацией G, удовлетворяющими наиболее жёсткому наблюдательному ограничению (по совокупности эфемерид) для случая = 9 и / > 3500 (D > 3510). Таким образом, в работе [43] показано, что в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с Л = 0 возможно описание ускоренного расширения трёхмерного фактор-пространства при достаточно малом (и даже нулевом) значении вариации эффективной гравитационной постоянной. При этом внутреннее пространство оказывается анизотропным: оно сжимается по некоторым направлениям, а по некоторым - расширяется, хотя объёмный масштабный фактор внутреннего подпространства не возрастает (т.е. либо стремится к нулю, либо остаётся постоянным).

В настоящей диссертационной работе подход, предложенный в работе [43], обобщён на случай Л не равного нулю, а также на случай решений с тремя фактор-пространствами.

9

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные устойчивые решения в многомерной модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с нулевой вариацией эффективной гравитационной постоянной»

I. Цель работы

Получение устойчивых точных решений в многомерной модели гравитации с квадратичным по кривизне слагаемым Гаусса-Бонне, описывающих ускоренное расширение трёхмерного подпространства и нулевую вариацию эффективной гравитационной постоянной G.

II. Научная новизна

Все результаты, представленные в диссертации новые. Научная новизна определяется следующими результатами:

- В D-мерной гравитационная модели Эйнштейна-Г аусса-Бонне с космологическим членом Л найден класс космологических решений с экспоненциальной зависимостью от времени двух масштабных факторов с хаббловскими параметрами # > 0 и й < 0, отвечающих фактор-пространствам размерности m > 3 и Z > 1, соответственно, с (т, /)

(6, 6), (7,4), (9,3) и = 1 + m + й Также найден класс космологических решений с экспоненциальной зависимостью от времени трех масштабных факторов, которые определяются тремя несовпадающими хаббловскими параметрами ^ > 0, й^ и й2, соответствующими фактор-пространствам размерностей т>2, й^ > 1 и й2 > 1, соответственно, й^ й2 и = 1 +

m + й^ + й2. Каждое решение из этих двух классов описывает экспоненциальное расширение трехмерного подпространства с хаббловским параметром Н и нулевой вариацией эффективной гравитационной постоянной G. Доказана устойчивость этих решений в классе космологических решений с диагональными метриками.

- В рассматриваемой D-мерной модели с Л = 0 доказана устойчивость экспоненциальных космологических решений с двумя фактор-пространствами размерностей m и Z при (m, Z) = (15,6), (11,16) и D = 22, 28, соответственно.

10

III. Научная и практическая значимость.

Найденные устойчивые решения в многомерной модели гравитации Эйнштейна-Гаусса-Бонне, описывающие ускоренное расширение 3-мерного подпространства и нулевую вариацию G, могут быть использованы для возможного решения проблемы тёмной энергии совместного с наблюдательными ограничениями на вариацию G.

IV. Апробация работ

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Учебно-научного института гравитации и космологии РУДН и Российского гравитационного общества, а также апробировались на российских и международных конференциях и семинарах:

- The 2nd International conference on particle physics and astrophysics (ICPPA-2016), MEPhI, Moscow, 10-14 October, 2016;

- LIII Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, РУДН, Россия, Москва, 15-19 мая, 2017;

- 16th Russian Gravitational Conference-International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics (RUSGRAV-16), Russia, Kaliningrad, June 24-30, 2017;

-The 3rd International conference on particle physics and astrophysics (ICPPA-2017), MEPhI, Moscow, 2-5 October, 2017.

V. Публикации автора.

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях:

11

1. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk, A.A.Kobtsev. On exponential solutions in the Einstein-Gauss-Bonnet cosmology, stability and variation of G./Gravitation and Cosmology. 22(3), 245-250, (2016);

2. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk. Stable exponential cosmological solutions with zero variation of G in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a A-term / European Physics Journal C, 77: 89 (6 pages), (2017);

3. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk. Stable exponential cosmological solutions with zero variation of G and three different Hubble-like parameters in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a Л-term, /European Physics Journal C (2017) 77: 402 (7 pages), (2017);

4. V.D Ivashchuk, K.K. Emazarov. On stable exponential cosmological solutions with non-static volume factor in the Einstein-Gauss-Bonnet model, /Journal of Physics: Conference Series, 798, 012089 (6 pages), (2017);

тезисах конференций:

5. V.D. Ivashchuk, K.K. Emazarov. On stable exponential cosmological solutions with non-static volume factor in the Einstein-Gauss-Bonnet model; / The

2nd International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2016), the National Research Nuclear University "МЕРЫ", 10-14 October, 2016, -Moscow;

6. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk. On stable exponential cosmological solutions with zero variation of G in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a cosmological A-term, / LIII All-Russia conference on problems in Dynamics, Particle Physics, Plasma Physics and Optoelectronics, RUDN university, Russia, Moscow, 15-19 May 2017 r.;

7. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk. On stable exponential cosmological solutions with zero variation of G in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a cosmological A-term, / 16th Russian Gravitational Conference -International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics (RUSGRAV-16), Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia, Kaliningrad, June 24 - June 30, 2017;

12

8. K.K. Emazarov, V.D. Ivashchuk. Stable exponential cosmological solutions with zero variation of G in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a Л-term and three different Hubble-like parameters, /16th Russian Gravitational Conference -International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics (RUSGRAV-16), Immanuel Kant Baltic Federal University, Russia, Kaliningrad, June 24 - June 30, 2017;

9. V.D. Ivashchuk, K.K. Emazarov. Stable exponential cosmological solutions with zero variation of G in the Einstein-Gauss-Bonnet model with a A-term, / The 3rd International Conference on Particle Physics and Astrophysics (ICPPA-2017), the National Research Nuclear University "МЕРЫ", 2-5 October, 2017, -Moscow.

VI. Личный вклад автора

Все основные результаты получены автором. В совместных работах с В. Д. Иващуком последнему принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов. В совместной работе с А.А. Кобцевым и В.Д. Иващуком автору принадлежит доказательство устойчивости двух решений (D = 22, 28).

VII Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, пяти приложений, а также списка литературы и списка рисунков. Диссертация содержит 83 страницы и 3 рисунка. Список литературы содержит 115 наименований.

13

Глава 1

Экспоненциальные космологические решения в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с космологическим Л-членом

1.1. Предварительные замечания

Здесь мы имеем дело с D-мерной гравитационной моделью с членом Гаусса-Бонне. Действие выражается в виде

^ = J ^z^LgRa^RLg] - 2Л) + ^^М, (1.1)

где = .g^dz^ 0 dz^ - метрика, определенная на многообразии М, dimM = Р, Ы = ldet(^MM)l и

г р рММР^ пМ^ I р2 /1

^2=^MMPQ^ — +^ (1.2)

является стандартным членом Гаусса-Бонне. Здесь а1 и а2 - ненулевые константы.

Появление слагаемого Гаусса-Бонне во многом мотивировано теорией струн [61-65]. В настоящее время (так называемая) гравитационная модель Эйнштейна-Гаусса-Бонне (ЭГБ) и её модификации интенсивно используются в космологии, см. [66-76] (для D = 4), [77-82] и ссылки в них, например, для объяснения ускоренного расширения Вселенной, вытекающего из данных наблюдений по сверхновым (типа Ia) [21, 22, 83]. Некоторые точные решения в многомерной космологии ЭГБ были получены в работах [11, 13, 15, 77] и некоторых других работах [84-86].

Большое количество теоретических и эмпирических данных, доступных современной науке, позволяет сделать вывод о том, что ОТО нуждается в модификации. Например, в решениях ОТО, рассматривающих сильные гравитационные поля или огромные плотности, требуется квантование

14

гравитационного поля. Ускоренное расширение Вселенной, открытое недавно, интерпретируется некоторыми специалистами как геометрический эффект, который может быть «получен», путем модифицикации ОТО на космологических масштабах. Более того, результаты исследований в физике фундаментальных взаимодействий ведут нас к необходимости изменений ОТО на больших и малых масштабах [87-90]. Как было показано ранее, на основе теории Калуцы-Клейна [91] и многомерной модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне можно обосновать модифицированные теории гравитации [92-98], теории темной энергии и материи [99-100] и получить ограничения на вариацию эффективной гравитационной постоянной О [101-104]. Следует отметить, что многомерная модель Эйнштейна-Гаусса-Бонне есть частный случай теории гравитации (модели) Лавлока [105-107], потому результаты, полученные на основе модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне могут изучаться в дальнейшем на предмет возможности обобщения на случай модели Лавлока.

Здесь мы имеем дело с решениями космологического типа с диагональными метриками (типа Бьянки I), которые описываются набором из n масштабных факторов, зависящих от одной временной переменной, где л > 3. Более того, мы ограничимся решениями с экспоненциальной зависимостью масштабных факторов по отношению к синхронной временной переменному

a;(t)~exp(u^t), (1.3)

t = 1,..., л; = л + 1, с целью найти решения, описывающие экспоненциальное изотропное расширение 3-мерного плоского фактора-пространства, т.е.

^1 = ^2=^з = #>0, (1.4)

и достаточно малое значение вариации эффективной гравитационной постоянной О, которая обратно пропорциональна объемному масштабному фактору внутреннего пространства, т.е.

15

n

где

6~П^(т)] 1~exp(-Int т),

(1.5)

i=4

t=4

(1.6)

см. [13, 26, 27, 31] и ссылки там. Мы называем й = хаббловским параметром, соответствующим t — му подпространству.

В рассматриваемой космологической модели с анизотропным «внутренним пространством», мы получим для безразмерного параметра временной вариации G следующее соотношение, вытекающее из (1.5) и (1.6),

(1.7)

где Н является параметром Хаббла [69].

Как следует из экспериментальных данных, вариация гравитационной постоянной допускается на уровне 10-13 в год и меньше. В работе [43] использовалось следующее ограничение на величину обезразмеренной вариации гравитационной постоянной

—0,65 -10-3< —<1,12 -10-3,

которое следовало из самых «жёстких» ограничений на вариацию G, полученных по совокупности эфемерид [44]

- = (0,16 ± 0,6) - 10-13 год-1

(1.8)

(1.9)

16

которое допускалось на 95% доверительном (2-о) уровне, и значения параметра

Хаббла [108] (характеризующего скорость расширения наблюдаемой Вселенной)

% = (67,80 ± 1,54) с мне = (6,929 ± 0,157) - 10-11 год-1 (1.10)

с 95% доверительным уровнем.

Таким образом, мы здесь ищем космологические решения, которые подчиняются соотношениям (1.3) - (1.8), перечисленным выше. Более того, мы сужаем нашу задачу поиском решений с нулевой вариацией эффективной гравитационной постоянной.

1.2. Постановка задачи

Ниже рассматривается многообразие

M = R X M1 X ... X Mn

(1.11)

с метрикой

= —e2^(^)dn 0 dn +

g2^'(M)^yt 0 dy^

t=1

(1.12)

где t = 1,..., л и М1,..., - одномерные многообразия (либо R или S1). Здесь и в

дальнейшем R = (п-, п+) - открытое подмножество в R,. Функции у(п) и Д^(п), t = 1, ., н, являются гладкими на R = (п-, п+).

Для физических приложений положим М1 = М2 = М3 = R, в то время как

М4,..., будем считать компактными (т.е. совпадающими с S1).

Подынтегральное выражение в (1.1) для метрики (1.12) имеет следующий

вид

= ^ +

d/ dn

(1.13)

17

где

А — ^1^1 + ^2^2,

(1.14)

A1 - - 2ЛеУ+Уо,

(1.15)

^2 - -1 у. -

(1.16)

и

- 1

(1.17)

Суд, - (<^- - 1)(3;^ - 1)(Д;< - 1)(^ - 1)(Дд - 1)(<5ц - 1) (1.18)

являются компонентами двух метрик на , соответственно [17, 18]. Первая из них является хорошо известной «минисуперметрикой» - 2-метрикой псевдоевклидовой сигнатуры: (н1,н2) — , а вторая является финслеровой

4-метрикой: (Hi, ^, ^з, ^4> - - (^s) , где (.,.) и (.,.,.,.)

являются 2- и 4-линейными симметричными формами на ^n, соответственно.

Здесь обозначено Л

'dn .

Явный вид функции /(и) в (1.13) не имеет

значения для нашего рассмотрения (см. [17, 18] и Приложение 2), так как он не

влияет на уравнения движения.

Вывод (1.14) - (1.16) основан на следующих тождествах [17, 18]:

(1.19)

п / ^ \ 2

t=1 \t=1 /

18

/ П \ п п

+ 8

\t=1 /j=1 t=1

(1-20)

Это вытекает непосредственно из определений (1.17) и (1.18), которые влекут

= —2 Z ,

t<j

(1-21)

24

(1-22)

z

t<j<%<^

1.3. Уравнения движения

Уравнения движения, соответствующие действию (1.1), имеют следующий

вид = ^1^мм + = 0, (1-23)

где

19

(1) мм

1

= ^мм 2 + л^мм ,

(1.24)

1

^ММ = 2(^MPQS^^ — 2^МР^М — 2^MPMQ^^^ + Д^мм) 2 ^2^ММ . (1.25)

Можно показать (аналогично тому, как это было сделано в [18]), что уравнения поля (1.24) для метрики (1.12) эквивалентны уравнениям Лагранжа, соответствующим лагранжиану L из (1.14).

Уравнения (1.23) записываются следующим образом

-И1(СцМ^ + 2Ле2^) + W = 0,

4

— А = 0

t = 1, ...,л. В силу (1.26)

2

А = — 4Ле2^].

(1.26)

(1.27)

(1.28)

1.4. Сведение к автономной системе дифференциальных уравнений первого порядка

Положим ү = 0 и обозначим н = т, где т является синхронной временной переменной. Обозначим Л = ^Л / dr и введем «хаббловские переменные» («параметры») = ^ . Тогда уравнения (1.26) и (1.27) имеют следующий вид

F = Е(й) = —— 2Л +

(1.29)

(1.30)

20

где л = и

4

= А^(^) = 2С^у^^ — - (1-31)

t = 1,., л- Таким образом, мы приходим к автономной системе дифференциальных уравнений первого порядка на ^1(т),..., й.^(т) (см. [17, 18] для Л = 0 ).

1.5. Решения с постоянными Я*

Рассмотрим следующие решения уравнений (1.29) и (1.30)

^(t)=u', (1.32)

с постоянными и*, которые отвечают решениям

Д' = и^ + Д° , (1.33)

где Д0 - постоянные, t = 1,..., л.

В этом случае получим метрику (1.12) с экспоненциальной зависимостью масштабных факторов от времени

= —dt 0 0 dy\ (1.34)

где > 0 произвольные постоянные.

Для фиксированного вектора и = (и) получим множество полиномиальных уравнений

2Л + = 0, (1-35)

21

t = 1,...,%.

28

М^) — 36^'^ +-Л = 0,

(1.36)

Здесь и в дальнейшем использованы соотношения (1.19), (1.20) и следующие формулы [17, 18]

6^7'=^—.^, (1.37)

+ 2^3 — 35^ + 3(^2 — ^)и' + 6^1(и')2 — 6(u')3, (1.38)

t = 1,.,л, где = ^^(и) = Х^1(^'У.

При л > 3 получаем систему полиномиальных уравнений n-ой степени.

Для Л = 0 и л > 3, система уравнений (1.35) и (1.36) имеет изотропное решение и1 = ... = , только если а < 0 [17, 18]: # = +^1^1(л — 2)(л — 3) . Это

решение было обобщено в работе [20] на случай Л 0.

Как было показано в работах [17, 18], не существует более трех различных чисел среди и1,...,при Л = 0. Это справедливо и для Л 0, если 6'1(и) не равно нулю. Заметим, что равенство 6'1(и) = 0 не совместно с требованием нулевой вариации G и неравенством Н > 0.

1.6. Примеры космологических решений

В этом разделе мы рассмотрим решения системы уравнений (1.35), (1.36) в

следующей подстановке

и = (^, ...,^, ...,^),

(1.39)

22

где Н - хаббловский параметр, соответствующий m -мерному изотропному подпространству с m > 3 , а А - хаббловский параметр, соответствующий /мерному подпространству, удовлетворяющему / > 2.

Эти решения должны удовлетворять следующим условиям: # > 0, й < 0.

Первое неравенство # > 0 необходимо для описания ускоренного расширения 3-мерного подпространства, которое может описывать нашу Вселенную, в то время как второе неравенство А < 0, описывающее сжатие анизотропного внутреннего подпространства по / измерениям, при m > 3 следует из требования на нулевую вариацию эффективной гравитационной постоянной.

Согласно и - (#, ...,#, й,..., й) мы имеем ^-мерное подпространство, расширяющееся с хаббловским параметром # > 0 и /-мерное подпространство, сжимающееся с хаббловским параметром й < 0. Система полиномиальных уравнений (1.35), (1.36) запишется следующим образом

#2(т - т2) + й2(/ - Z2) - 2т/#й

- а(#4т(т - 1)(т - 2)(т - 3) + й4/(/ - 1)(/ - 2)(/ - 3)

+ 4#3йт(т - 1)(т - 2)/ + 4й3#/(/ - 1)(/ - 2)т

+ 6^2й2т(т - 1)Z(Z - 1)) + 2Л - 0,

(1.40)

(1 - т)#2 -/й2(1 + 2/) + 2/#й - т)

- а(#4т(т - 1)(т - 2)(т - 3) + ^3й/(т - 1)(т - 2)(4т - 3)

+ 3#2й2/(т - 1)(2/т - 2/ - т) + ^й3/(/ - 1)(4/т - 3/ - 2т)

+ й4/2(/ - 1)(/ - 2)) + 2Л - 0, (1.41)

/(1 - /)й2 - -тЛ2(1 + 2т) + 2т^й - /)

- ^(й4/(/ - 1)(/ - 2)(/ - 3) + й3Ят(/ - 1)(/ - 2)(4/ - 3)

+ 3й2#2т(/ - 1)(2/т - 2т - /) + й^3т(т - 1)(4/т - 3т - 2/)

+ Я4т2(т - 1)(т - 2)) + 2Л - 0, (1.42)

23

Здесь мы положим а = +1, и обозначим Л = А, имея в виду следующую зависимость от а

#(а) = #1а1-2 , й(а) = й1аГ2, Л = А1^1-1, (1.43)

в общем случае.

Пусть Л = 0 и а = 1. Как было показано в [43], при m = 9, существует бесконечный ряд космологических решений с / = 3000, 3001, ..., любое из которых описывает ускоренное расширение 3-мерного фактор-пространства с достаточно малым значением вариации эффективной гравитационной постоянной G, подчиняющимся наблюдательным ограничениям на вариацию G по эфемеридам [44] и данным о параметре Хаббла [87]. Эта вариация может быть сколь угодно малой при достаточно больших значениях /. Напомним, что эффективная гравитационная постоянная G обратно пропорциональна объемному масштабному фактору внутреннего подпространства, см. [13, 26, 27, 31] и ссылки там.

При = 11 и / = 16, существует решение [43]

Н=-Д, А =-------

V15 2V15

(1.44)

которое описывает нулевую вариацию эффективной гравитационной постоянной постоянной G.

Другое решение такого типа, которое было найдено в [43], имеет место при

m = 15 и Z = 6

1

й = —- .

3

(1.45)

6'

24

Глава 2

Устойчивость экспоненциальных космологических решений с нестастатическим объемным фактором в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне

2.1. Предварительные замечания

В этой главе рассмотрена (л + 1) —мерная модель Эйнштейна-Г аусса-Бонне (ЭГБ) с Л-членом. Здесь используется анзатц с диагональными космологическими метриками и изучается проблема устойчивости решений с экспоненциальной зависимостью масштабных факторов exp(u^t), t = 1,..., л, относительно синхронной временной переменной в размерности ^ > 4. Задача сводится к анализу устойчивости статических решений ^(t) = уравнений (1.16) и (1.21), где ^(t) являются хаббловскими параметрами.

В этой главе рассмотрена система уравнений для возмущений (в линейном приближении) и общее решение этих уравнений. Доказано (в Предложении 2), что решения с нестатистическим объемным масштабным фактором, т. е. с Х(и) = Х^=1^^ 0, которые подчиняются ограничению (2.7), устойчивы, если Х(и) >0, в то время как они неустойчивы, если Х(и) < 0.

Доказано (в Предложении 1), что для любого экспоненциального решения с и = (и1,..., и^) между и1,..., существует не более трех разных чисел, если ^=1"^0-

Представлены несколько примеров устойчивых космологических решений с экспоненциальным поведением масштабных факторов. Среди них рассмотрено изотропное решение и = (#, ...,#) и несколько анизотропных решений с двумя параметрами Хаббла и = (#, ...,#, й,..., й). Изотропное решение устойчиво, если H > 0 и H Hcr при а < 0 [60]. Для анизотропного случая наши примеры

25

относятся к параметру Хаббла # > 0, соответствующему m-мерному плоскому подпространству с m > 3 и параметру Хаббла h, соответствующая l-мерному плоскому подпространству с Z > 1. Этот подкласс (анизотропных) решений содержит следующие случаи: i) m - 3, Z - 2, Л - 0; ii) m - Z - 3, Л - 0; iii) m -11, Z - 16, Л - 0; iv) m - 15, Z - 6, Л - 0; v) m > 3, Z > 1, Л > 0. Показано, что общие решения с и1-и2-и3-#>0 и нулевая вариация эффективной гравитационной постоянной устойчивы, если соблюдается ограничение (2.7).

Полученные результаты вполне согласуются с результатами других авторов полученными в теории Лавлока [79, 109-111].

2.2. Уравнения для возмущений хаббловских параметров

Здесь мы изучаем устойчивость статических решений ^(t) - и* уравнений (1.29) и (1.30) в линейном приближении по возмущениям ^(t) . Положим

^(t) - ^ + 5^(t)

(2.1)

Z - 1,..., л. Подставляя (2.1) в уравнения (1.29) и (1.30), получим в линейном приближении следующие соотношения на возмущения Дй

С;(и)5й* - 0,

(2.2)

^-(и)Зй' - ^-(и)^,

(2.3)

и

С^(и) - 26^

(2.4)

(2.5)

(2.6)

26

Здесь L;(u) = в силу (1.31) и t,y, ^, s = 1, ^,и.

Мы накладываем следующее ограничение на матрицу А = (^М)

det(A^y(u)) 0. (2.7)

Здесь мы ограничимся экспоненциальными решениями (1.34) с нестастатическим объемным фактором, который пропорционален exp(Ef=i^t), т. е. положим

ЛГ = ^(и)=Х!=1и^ 0.

Тогда из уравнения (1.30) следует

/ \-1

A^(u) = Ai^(^u^j (С^ун'н^ —4Л).

(2.8)

(2.9)

В силу определения (1.31) имеем

3

лД = ^(2н^ — А1)

(2.10)

и поэтому

6) (и) = 2щ — 4аЛ; = —4Н; + 3А1 ,

(2.11)

Перепишем соотношение (2.6) в виде

^tj(^) + Я;;, = —^t(^) + ^- ,

(2.12)

согласно L;(u) = и (2.2) получим

41

= —^6)-(н)6^^ = 0 .

7=1

(2.13)

27

Следовательно, уравнение (2.3) запишется как

^-(и)Дй' = — иЧ^-Дй',

(2.14)

или, что то же самое,

<5й' = —(Х2=1^)Зй' ,

(2.15)

t = 1, ., л. Здесь мы использовали ограничение (2.7).

Таким образом, система линейных уравнений на возмущения (2.2), (2.3) эквивалентна системе линейных уравнений (2.2), (2.15), которая имеет следующее решение

= Л^ехр(—Җи)7),

(2.16)

С;(Ч^ = 0 .

(2.17)

t = 1

t = 1,...,%. Напомним, что ^(и) = Х^=1^^.

В силу (2.16) справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. С^а^мческое ременме (й^(7)) = (^), (t = 1, ..,л; л > 3) ураененмй (7.2Р), (7.50), уЭоеле^еоряю^ее о2ранмченмя.^ (2.7), (2.^), ус^ойчмео о^носм^ельно еол^у^енмй (2.7) (йрм 7 +^), еслм ^(и) = Х^=1^^ >0 м

неус^ойчмео (йрм 7 +^), еслм ^(и) = Х^=1^^ < 0.

Из формулы (П.3.9) (см. Приложение 3) следует, что в изотропном случае матрица (2.5) выражается в виде

Ч = Р(Ю6^- , р(Ю = 2 + 4л(л — 2)(л — 3)Я2.

(2.18)

28

Так как матрица (С^у) = (^- — 1) обратима (или невырождена) при л > 1 (ее обратная есть (С^') = ), то матрица (А;у) обратима тогда и только

тогда, когда ^(Л) 0, то есть для некритических значений H [60].

Рассмотрим теперь матрицу (2.5) для анизотропного случая (1.39) с двумя параметрами Хаббла. Для анзатца (1.39) получим

= ^v(2 + 4^^нн) , (2-19)

= —2 — 4^^н^ , (2-20)

= ^^^(2 + 4^^^^) - (2-21)

Здесь и 5*^^ определены в (П.3.10), (П.3.11) и (П.3.12), соответственно

(см. приложение 3). Приведём соотношение

= (т — 1)(т — 2)Л2 + (т — 1)(/ — 1)Лй + (/ — 1)(/ — 2)й2 , (2-22)

и в силу уравнений движения (1.41) и (1.42) при ограничениях тЛ + /й 0, Л й имеем = 0 (это легко доказать, вычислив разность уравнений

(1.41) и (1.42), см. Главу 3 ниже). Таким образом, при упомянутых ограничениях матрица (А^у) имеет блочно-диагональный вид

(^tj) diag(^MV , -

(2-23)

Эта матрица обратима тогда и только тогда, когда m > 1, Z > 1 и

1

— 2^ ,

1

^^—2^ -

(2-24)

Напомним, что m X m матрица (С^^) и X / матрица (С^^) обратимы только лишь при m > 1 и / > 1, соответственно.

29

2.3. Примеры

Здесь мы рассмотрим несколько примеров экспоненциальных решений и проанализируем их устойчивость.

2.3.1. Решение с ш = 11, I = 16 и Л = 0

Рассмотрим решение (1.44) с = 11, I = 16 и Л = 0 [43]. Вычисления дают

Г (^MV

(2.25)

(см. приложение 4.) Симметричная матрица (А^у) имеет блочно-диагональный вид

12

(2.26)

Эта матрица обратима и ее обратная матрица дается соотношениями

Здесь использовано тождество (6^ — 1) 1 = , ^, ^ = 1,

(2.27)

Также получим = —2^, = 7^/2 , (н^ = )

25Я

7^ = —4И, Ли =--------— , = 12И , Си = 18И, (2.28)

/ 1\ # / 1\

лу = —Н(3Д^ + -), Л^ = —- , = , Л^ = н(—35^ + -). (2.29)

В силу (2.28) и (2.29) соотношения (2.2) и (2.15) выражаются следующем виде

6^ = 0,

(2.30)

= —3^6^'.

(2.31)

30

Получим следующее решение для возмущений

2

- Л*ехр(-3№т)

11

27

к=12

(2.32)

(2.33)

+ 3

1

где # , t - 1, ^, 27. Таким образом, решение (1.44) устойчиво при т +^.

У15

2.3.2. Решение с ш = 15, 1 = 6 и Л = 0

Рассмотрим решение (1.45) с m = 11, I = 6 и Л = 0 [43]. Вычисление дают

11

(^v 1) , 2^(1 ^п^).

(2.34)

Симметричная матрица (А^-) имеет блочно-диагональный вид

2(1 ^V) , 0 , 4(^^g 1).

(2.35)

Матрица L обратима и обратная матрица вычисляется по формулам

- 0 ,

(2.36)

также получим - - 1/g, - 5

4

'/б и

25

,

14

Ср--3 ,

20

(2.37)

Г

f 10 ./

и — . Для Л) имеем

11

^v- ig, ^-

5

63

7

ДИ—___

V go ,

11

ди ---Л^+-

20v +9.

(2.38)

31

В силу (2.27) и (2.38) соотношения (2.2) и (2.15) запишутся в следующем виде

д

+ 10

к

= 0,

Получим следующее решение для возмущений

(-1^) .

15

^=1

+ 10

21

к=16

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

1

Д/Т = —-Д^^.

2

Дй/ = Л^ехр

t = 1, .., 21. Таким образом, решение (1.45) устойчиво при т +^.

2.4. Изменение эффективной гравитационной постоянной G*

Для обоих рассматриваемых решений получим в линейном приближении по 3hi

Д* = ^ + Дй/ = + Л^ехр(—^т), (2.43)

с = 3^ >0 и Х1=1= 0. Отсюда следует асимптотическое соотношение

при т

Д^(т) = + ДО — ^-1^^ехр(—^т) , (2.44)

t = 1, ...,щ

Для эффективной гравитационной постоянной С(т) = const -

exp(— Хг=4 Д^(т)) получим для двух решений с Хг=4 = 0 следующее

асимптотическое соотношение

32

6(т) = 60ехр(—4(^Л*)е ^^),

(2.45)

где Go - асимптотическое значение гравитационной постоянной, и приходим к асимптотическому соотношению для вариации G

(2.46)

Л*) е-^ ,

6

6

из которого следует, что наблюдательное ограничение (1.9) выполняется для достаточно больших значений = 3№т или достаточно малых значений Х1=4^.

2.5. Подкласс решений с нулевой вариацией G

4-мерная эффективная гравитационная постоянная обратно пропорциональна объемному масштабному фактору внутреннего пространства (см. [13, 26, 31]), т.е.

6~П^ЮГ, (2.47)

t=4

где Я; (t) = exp

Замечание 7. ЗЭееь 6 = 6^(t) - че^ырех^ерняя эффея^меняя еряем^я^монняя яое^оянняя, яо^оряя еоянмяяе^ е ^ноео^ерно^ яняяоее ^яя няяыеяе^ом яонфор^ном яяямброеям Брянея-фмяяе-^орЭяня /мям ярое^о ^орЭяня) /772/. Б э^о.^ сяучяе фмямчееяяя 4-.^ерняя .^е^рмяя р(4) ояреЭеяяе^ея яяя 4-черное ееченме .^ноео^ерном .^е^рмям g, ^.е. р(4) = р(4,7), еЭе р = р(4,7) + Х^=4 a2(t)^y* 0 фу*. Б сяучяе яонфор^ном яяямброеям Эмн^^емня-Л^яуям /мям ярос^о Эмн^^емня) р = р(4,7) = (П1=4^^(7))р(4,^) /772, 772/, м, еяеЭоея^еяьно,

33

эффед^меноя ераем^а^монноя постоянная не заемсм^ о^ ерепенм =

C^^^^(t) П=4^(Ғ) = const , f772/.

Для решений (1.34) получим следующие соотношения

из которых следует

п

t=4

(2.48)

С

(2.49)

Рассмотрим теперь подкласс космологических решений (1.34), которые подчиняются ограничению (2.7) и описывают экспоненциальное изотропное расширение трехмерного плоского фактор-пространства с п1 = о2=о3 = ^>0 с нулевой вариацией G. Тогда из (2.49) получаем Л^(и) = 0 и, следовательно, ^(о) = Xf=i^ = 3# + R^t(o) = 3# > 0. Согласно Предложению 2 любое решение из этого подкласса устойчиво. В этот подкласс входят два решения предыдущего подраздела: (1.44), (1.45).

З&мечднпе 2. СлеЭуе^ о^пе^м^ь, ч^о Эля ^(о) = 0, п1 = о2 = о3 = ^ > 0, получмп A*^^t(o) = —3# м, слеЭоеа^ельно, = 3# > 0. Лолучмп зналенме еарма^мм ераем^а^монной постоянной, но^орое не уЭосле^еоряе^ наблюЭа^ельнып оеранмченмяп.

34

Глава 3

Устойчивые экспоненциальные космологические решения с нулевой вариацией G в модели Эйнштейна-Гаусса-Бонне с Л-членом

3.1. Предварительные замечания

В этой главе рассмотрена D-мерная модель Эйнштейна-Г аусса-Бонне (ЭГБ) с Л-членом и двумя константами а1 и а2. Используя анзатц с диагональными космологическими метриками, для определенных Л = A(m, Z) и а = ^2/^ найден класс решений с экспоненциальной временной зависимостью двух масштабных факторов, определяемых двумя хаббловскими параметрами H > 0 и h < 0, которые соответствуют подмногообразиям размерностей > 3 и l > 1, соответственно, с (m, Z) (6,6), (7,4), (9,3) и ^ = 1 + m + Z. Здесь т > 3 —

размерность расширяющегося, а / > 1 — размерность сжимающегося подпространств, соответственно.

Любое из этих решений описывает экспоненциальное расширение «нашего» трехмерного подпространства с параметром Хаббла # > 0 и анизотропное поведение (^ - 3 + ^-мерного внутреннего подпространства: расширение в (^ - 3) измерениях (с хаббловским параметром D) и сжатие в Z измерениях (с хаббловским параметром < 0). Каждое решение имеет постоянный объемный фактор внутреннего пространства и, следовательно, описывает нулевую вариацию эффективной гравитационной постоянной G. Используя результаты работы [60], доказано, что все эти решения устойчивы при т +ю.

35

3.2. Решения с нулевой вариацией гравитационной постоянной G

В этом параграфе получен класс решений системы уравнений (1.35), (1.36)

следующего вида:

(3.1)

Здесь 77 - хаббловский параметр, соответствующий /л-мерному фактор-пространству с m > 3, А - хаббловский параметр, соответствующий 1-мерному фактор-пространству / > 1. Разделим m-мерное фактор-пространство на произведение двух подпространств размерностей 3 и т-3 соответственно. Первое отождествляется с «нашим» трехмерным пространством, а второе рассматривается как (т — 3 + /) —мерное подпространство внутреннего пространства.

Для описания ускоренного расширения трехмерного подпространства (которое может описывать нашу Вселенную) положим, что

/V > О,

(3.2)

и наложим ограничение

(т — 3)7/ + /Л = О

(3.3)

для описания нулевой вариации эффективной гравитационной постоянной G.

Напомним, что эффективная гравитационная постоянная G = G'y/ в калибровке Бранса-Дикке-Йордана (или просто Йордана) [112] (см. также [ИЗ]) обратно пропорциональна объемному масштабному фактору внутреннего пространства ( см. [13, 31] и ссылки в там).

3. 7? 6'Z/./r (3.7) ирО(ЛИр<7Н(ЛИ(ЗО

(МЗОУИ/ЗОИНО) С 77, <7 (т — 3) —

36

час^ь яяу^реяяеао яобярос^раяс^яа рас^мряе^ся (мло^рояяо) с ^е яара^е^ро^ Хаббла Н. Ч^обы млбе^а^ь яоз^о^яых яояросоя о^яосм^ельяо ралбелеямя э^мх брух яобярос^раяс^я, .^ы расс^а^рмяае^ бля фмлмчесямх ярмло^еямм (я яа^у эяоху) яо^яая^яое яяу^реяяее яобярос^раяс^яо, ^. е. яолалае.^ я (7.2) М4 = ^ = = З1. Гая^е .^ы яолалае.^ яяу^реяяме

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Эрназаров, Кубантай Кочкорович, 2017 год

Литература

1. S. M. Carroll. Spacetime and geometry: An introduction to general relativity, San Francisco, USA: Addison-Wesley (2004), 513 p.

2. R. M. Wald. General relativity, The University of Chicago Press, Ltd., London (2010), 506 p.

3. K. A. Bronnikov, S. G. Rubin. Black Holes, Cosmology and Extra Dimensions,World Scientific Publishing Co Pte Ltd (2012), 400 p.

4. T. Kaluza, Zum Unitatsproblem in der Physik, // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.): 966-972 (1921).

https: //archive.org/details/sitzungsberichte 1921 preussi.

5. J. Kripfganz, Holger Perlt. Higher Dimensional Cosmology and the GaussBonnet Term // Acta Phys. Polon. B18, 12 pages (1987).

6. F. Muller-Hoissen. Dimensionally continued Euler forms: Kaluza-Klein cosmology and dimensional reduction // Classical and Quantum Gravity, V. 3, N. 4, (1986).

7. B. C. Paul, S. Mukherjee. Higher-dimensional cosmology with Gauss-Bonnet terms and the cosmological-constant problem // Phys. Rev. D 42, 2595 -Published 15 October 1990.

8. B. Zwiebach. Curvature squared terms and string theories // Phys. Lett. B 156, 315, (1985).

9. D. Gross, E. Witten. Superstrings modifications of Einstein's equations // Nucl. Phys. B 277, 1 (1986).

10. E.S. Fradkin, A.A. Tseytlin. Effective field theory from quantized strings // Phys. Lett. B 158, 316-322 (1985).

58

11. H. Ishihara. Cosmological solutions of the extended Einstein gravity with the Gauss-Bonnet term // Phys. Lett. B 179, 217 (1986).

12. K. Maeda. Stability and attractor in a higher-dimensional cosmology. II // Classical and Quantum Gravity, Volume 3, Number 4, (1986).

13. N. Deruelle. On the approach to the cosmological singularity in quadratic theories of gravity: the Kasner regimes // Nucl. Phys. B 327, 253-266 (1989).

14. K. Bamba, Z.-K. Guo, N. Ohta. Accelerating cosmologies in the Einstein-Gauss-Bonnet theory with dilaton // Prog. Theor. Phys. 118, 879-892 (2007). arXiv:0707.4334.

15. E. Elizalde, A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin and A.E. Filippov. Stationary vs. singular points in an accelerating FRW cosmology derived from sixdimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys. Lett. B 644, 1-6 (2007); hep-th/0611213.

16. I.V. Kirnos, A.N. Makarenko. Accelerating cosmologies in Lovelock gravity with dilaton // Open Astronomy Journal 3, 37-48 (2010); arXiv: 0903.0083.

17. V.D. Ivashchuk. On anisotropic Gauss-Bonnet cosmologies in (n + 1) dimensions, governed by an n-dimensional Finslerian 4-metric // Grav. Cosmol. 16, No 2, 118-125, (2010); arXiv: 0909.5462.

18. V.D. Ivashchuk. On cosmological-type solutions in multidimensional model with Gauss-Bonnet term // International Journal of Geometric Methods in Modern Physics 7, No. 5, 797-819 (2010); arXiv: 0910.3426.

19. Zh-Y. Fan, B. Chen, H. Lu. Criticality in Einstein-Gauss-Bonnet gravity: gravity without graviton // European Physics Journal C, (2016) 76 :542.

59

20. D. Chirkov, S. Pavluchenko and A. Toporensky. Exact exponential solutions in Einstein-Gauss-Bonnet flat anisotropic cosmology // Mod. Phys. Lett. A 29, 1450093, (11pp.) (2014); arXiv:1401.2962.

21. A.G. Riess et al. Observational evidence from supernovae for an accelerating universe and a cosmological constant // The Astronomical Journal., 116, 10091038 (1998).

22. S. Perlmutter et al. Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae // The Astrophysical Journal, 517, 565-586 (1999).

23. K.A. Bronnikov , V.D. Ivashchuk and V.N. Melnikov. Time Variation of Gravitational Constant in Multidimensional Cosmology // Nuovo Cimento B 102, P. 209-215 (1998).

24. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. On Time Variation of Gravitational Constant in Superstring Theories. // Nuovo Cimento B. - 1988. - V. 102. - P. 131-138.

25. H. Dehnen, V.D. Ivashchuk, S.A. Kononogov, V.N. Melnikov. On time variation of G in multidimensional models with two curvatures. // Grav. Cosmol. - 2005. - V. 11. - No 4. - P. 340-344.

26. V.N. Melnikov. Models of G time variations in diverse dimensions. // Front. Phys. China. - 2009. - V. 4. - P. 75-93.

27. J.-M. Alimi, V.D. Ivashchuk, S.A. Kononogov, V.N. Melnikov. Multidimensional cosmology with anisotropic fluid: acceleration and variation of G. // Grav. Cosmol. - 2006. - V. 12. - No 2-3. - P. 173-178.

28. V.D. Ivashchuk, S.A. Kononogov, V.N. Melnikov, M. Novello. Nonsingular solutions in multidimensional cosmology with perfect fluid: aceleration and variation of G. // Grav. Cosmol. - 2006. - V. 12. - No 4. -P. 273-278.

29. V.D. Ivashchuk, S.A. Kononogov, V.N. Melnikov. Electric S-brane solution corresponding to rank-2 Lie algebras: acceleration and small variation of G. // Grav. Cosmol. - 2008. - V. 14. - No 3. - P. 235-240.

60

30. J.-M. Alimi, V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. An k-brane solution with acceleration and small enough variation of G. // Grav. Cosmol. - 2007. - V. 13. -No2-P. 137-141.

31. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. On Time Variations of Gravitational and Yang-Mills Constants in a Cosmological Model of Superstring Origin. // Grav. Cosmol. -2014. -V. 20. - No 1. -P. 26-29.

32. P. Loren-Aguilar, E. Garcia-Berro, J. Isem, Yu. A. Kubyshin. Time variation of G and a within models with extra dimensions // Classical and Quantum Gravity, Volume 20, Number 18, 2003.

33. W. J. Marciano. Time Variation of the Fundamental 'Constants' and Kaluza-Klein Theories // Phys.Rev.Lett. 52 (1984) 489,

DOI: 10.1103/PhysRevLett.52.489.

34. V. N. Melnikov. Variations of constants as a test of gravity, cosmology, and unified models // Grav. Cosmol., 13, No. 2, 81-100 (2007).

35. L. M. Stephenson. A possible annual variation of the gravitational constant // Proceedings of the Physical Society, Volume 90, Number 3, (1967).

36. R. Tomaschitz. Cosmic time variation of the gravitational constant // Astrophysics and Space Science, 271(2): 181-203, 2000.

37. T. Shinji. Matter density perturbations and effective gravitational constant in modified gravity models of dark energy // Physical Review D. 76,

(2007), arXiv: 0705.1032.

38. J.-P. Uzan. Varying Constants, Gravitation and Cosmology // Living Reviews in Relativity, December 2011, 14:2.

39. Y.-S. Wu, Z. Wang. The Time Variation of Newton's Gravitational Constant in Superstring Theories // Phys.Rev.Lett. 57 (1986) 1978,

DOI: 10.1103/PhysRevLett.57.1978.

61

40. P.A.M. Dirac. The Cosmological constants // Nature 139 (1937) 323, DOI: 10.1038/139323a0.

41. P. A. M. Dirac. A New Basis for Cosmology // Proceedings of the Royal Society A, Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Volume 165, issue 921, 1938.

42. K. A. Bronnikov, S. A. Kononogov, V. N. Mel'nikov. Variations in the Gravitational Constant in General Theories of Gravitation // Measurement Techniques, Volume 57, Issue 11, pp 1255-1261, (2015).

43. V.D. Ivashchuk, A.A. Kobtsev. On exponential cosmological type solutions in the model with Gauss-Bonnet term and variation of gravitational constant // Eur. Phys. J. C 75, 177 (12 pages) (2015). arXiv:1503.00860.

44. E.V. Pitjeva. Updated IAA RAS Planetary Ephemerides-EPM2011 and Their Use in Scientific Research // Astron. Vestnik 47, No 5, 419-435 (2013), arXiv: 1308.6416.

45. G. Dotti, J. Oliva, R. Troncoso. Static solutions with nontrivial boundaries for the Einstein-Gauss-Bonnet theory in vacuum // Phys. Rev. D 82 (2010) 024002, arXiv:1004.5287 [hep-th].

46. K. Andrew, B. Bolen, Ch.A. Middleton. Solutions of higher dimensional Gauss-Bonnet FRW cosmology // General Relativity and Gravitation, December 2007, Volume 39, Issue 12, pp 2061-2071.

47. C. Charmousis, J.-F. Dufaux. General Gauss-Bonnet brane cosmology // Class. Quant. Grav. 19 (2002) 4671-4682, arXiv:hep-th/0202107.

48. C. Charmousis, A. Padilla. The instability of vacua in Gauss-Bonnet gravity // JHEP 0812 (2008) 038, arXiv:0807.2864 [hep-th].

62

49. S. Deser, Z. Yang. Energy and stability in Einstein-Gauss-Bonnet models // Classical and Quantum Gravity, vol. 6, p. L83-L87, (1989).

50. J. Eells. A generalization of the Gauss-Bonnet theorem // Trans. Amer. Math. Soc. , 92 (1959) pp. 142-153.

51. I.V. Fomin, S.V. Chervon. A new approach to exact solutions construction in scalar cosmology with a Gauss-Bonnet term // Mod.Phys.Lett. A32 (2017) no.25, 1750129.

52. X. H. Ge, S. J. Sin. Shear viscosity, instability and the upper bound of the Gauss-Bonnet // JHEP 0905, 051 (2009) [arXiv:0903.2527 [hep-th]].

53. M.T. Grisaru, D. Zanon. Sigma-model superstring corrections to the Einstein-Hilbert action // Physics Letters B, Volume 177, Issues 3-4, 18 September 1986, Pages 347-351.

54. M. Heydari-Fard, H. Razmi, M. Yousefi. Scalar-Gauss-Bonnet gravity and cosmic acceleration: Comparison with quintessence dark energy // International Journal of Modern Physics D 26, 1750008 (2017) [16 pages].

55. B. Kleihaus, J. Kunz, E. Radu. Generalized Weyl solutions in J = 5 EinsteinGauss-Bonnet theory: the static black ring // Journal of High Energy Physics, February 2010, 2010:92.

56. S. Lahiri. Anisotropic inflation in Gauss-Bonnet gravity // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, September 2016, 025.

57. B. Li, J.D. Barrow, D.F. Mota. Cosmology of modified Gauss-Bonnet gravity // Physical Review D 76:4, 2007.

58. A. Padilla. Surface terms and the Gauss-Bonnet Hamiltonian // Class.

Quantum Grav. 20 3129 (2003), [gr-qc/0303082].

63

59. T. Sotirou, E. Barausse. Post-Newtonian expansion for Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D, volume 75, (2007).

60. V.D. Ivashchuk. On stability of exponential cosmological solutions

with non-static volume factor in the Einstein-Gauss-Bonnet model // Eur. Phys. J. C 76, 431 (2016). arXiv:1607.01244v2.

61. D.J. Gross, J. H. Sloan. The quartic effective action for the heterotic string // Nucl. Phys. B 291, 41 (1987).

62. R.R. Metsaev, A.A. Tseytlin. Two loop beta function for the generalized bosonic sigma model // Phys. Lett. B 191, 354 (1987).

63. R.R. Metsaev and A.A. Tseytlin. Order alpha-prime (two loop) equivalence of the string equations of motion and the sigma model Weyl invariance conditions: dependence on the dilaton and the antisymmetric tensor // Nucl. Phys. B 293, 385 (1987).

64. E.S. Fradkin, A.A. Tseytlin. Effective action approach to superstring theory // Phys. Lett. B 160, 69-76 (1985).

65. El-N.A. Rami. 10-dimensional cosmology with Gauss-Bonnet gravity in generalized scalar-tensor theories from superstring theories // Braz. J. Phys. vol.40 no.2 Sao Paulo June 2010.

66. S. Nojiri, S.D. Odintsov. Introduction to modified gravity and gravitational alternative for dark energy // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 4, 115-146 (2007). arXiv:hep-th/0601213.

67. G. Cognola, M. Gastaldi and S. Zerbini. On the stability of a class of modified gravitational models // Int. J. Theor. Phys. 47, 898

(2008). https://doi.org/10.1007/s10773-007-9516-x .

64

68. G. Cognola, E. Elizalde, S. Nojiri, S.D. Odintsov and S. Zerbini. One-loop effective action for non-local modified Gauss-Bonnet gravity in de Sitter space // Eur. Phys. J. C 64(3), 483-494 (2009); arXiv: 0905.0543.

69. L. Amendola, Ch. Charmousis, S.C. Davis. Constraints on Gauss-Bonnet gravity in dark energy cosmologies // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, December 2006.

70. S. Capozziello, V. Faraoni. Beyond Einstein Gravity: A Survey of Gravitational Theories for Cosmology and Astrophysics, Springer Science & Business Media, 2010, p. 428.

71. S. Capozziello, M. Francaviglia, A. N. Makarenko. Higher-order GaussBonnet cosmology by Lagrange multipliers // Astrophys Space Sci (2014) 349:603-609 DOI 10.1007/s10509-013-1653-5.

72. E. Elizalde, A.N. Makarenko, V.V. Obukhov, K.E. Osetrin and A.E. Filippov. Stationary vs. singular points in an accelerating FRW cosmology derived from sixdimensional Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys. Lett. B 644, 1-6 (2007); hepth/0611213.

73.

Francisco S. N. Lobo. The dark side of gravity: Modified theories of gravity // arXiv:0807.1640 [gr-qc].

74. T. Koivisto, D.F. Mota. Gauss-Bonnet quintessence: background evolution, large scale structure and cosmological constraints // Phys.Rev. D, volume 75, pp. 023518 (2007).

75. T. Koivisto, D.F. Mota. Cosmology and astrophysical constraints of GaussBonnet dark energy // Phys. Lett. B, volume 644, pp. 104 (2007).

76. R. Myrzakulov, D. Saez-Gomez, A. Tureanu. On the ACDM Universe in f(G) gravity // Gen. Relativ. Gravit. 43, 1671 (2011); arXiv:1009.0902v2 [gr-qc].

65

77. A. Toporensky, P. Tretyakov. Power-law anisotropic cosmological solution in 5+1 dimensional Gauss-Bonnet gravity // Grav. Cosmol.

13, 207-210 (2007). arXiv:0705.1346.

78. I.V. Kimos, A.N. Makarenko, S.A. Pavluchenko and A. V. Toporensky. The nature of singularity in multidimensional anisotropic Gauss-Bonnet cosmology with a perfect fluid // General Relativity and Gravitation 42, 2633-2641 (2010); arXiv: 0906.0140.31.

79. S.A. Pavluchenko, A.V. Toporensky. A note on differences between (4 + 1)-and (5+l)-dimensional anisotropic cosmology in the presence of the Gauss-Bonnet term//Mod. Phys. Lett. A 24, 513-521 (2009).

80. C. Lanczos. A remarkable property of the Riemann-Christo ffe) tensor in four dimensions // Ann. Math. 39 (1938) 842. http://www.jstor.org/stable/1968467.

81. D. Lovelock, The uniqueness of the Einstein field equations in a fourdimensional space // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 33 (1): 54-70. (1969).

82. D. Lovelock. The Four-Dimensionality of Space and the Einstein Tensor // J. of Math. Phys., 13, pp. 874 (1972).

83. M. Kowalski, D. Rubin et al. Improved cosmological constraints from new, old and combined supernova datasets // Astrophys. J. 686(2), 749-778 (2008). arXiv:0804.4142.

84. F. Canfora, A. Giacomini, S. Willison. Some exact solutions with torsion in 5-d Einstein-Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D 76 (2007) 044021, arXiv:0706.2891 [gr-qc].

85. A. 1. Keskin, 1. Agikgoz. Unified solutions of extended Gauss-Bonnet gravity // Astrophysics and Space Science, December 2016, 361:391.

66

86. К. Uddin, J. Lidsey and R. Tavakol. Cosmological scaling solutions in generalised Gauss-Bonnet gravity theories // Gen. Relativ. Gravit. 41, 2725 (2009). https://doi.org/10.1007/sl0714-009-0803-Q.

87. N.M. Garcia, T. Harko, F. S. N. Lobo, J.P. Mimoso. Energy conditions in modified Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. Vol. 83, (2011).

88. A. A. Starobinsky. A new type of isotropic cosmological models without singularity // Physics Letters B. 91: 99-102, (1980).

89. A. Toporensky, P. Tretyakov. De Sitter stability in quadratic gravity // Int. J. Mod. Phys. D 16, 1075 (2007). https://doi.org/10.1142/S0218271807010572.

90. G. Allemandi, A. Borowiec, M. Francaviglia. Accelerated cosmological models in Ricci squared gravity // Phys. Rev. D 70, 103503 - Published 5 November 2004.

91. T. Appelquist, A. Chodos, Peter G. O. Freund. Modem Kaluza-Klein Theories. Menlo Park, Cal.: Addison-Wesley, (1987), 619 p.

92

M. Brigante, H. Liu, R. C. Myers, S. Shenker and S. Yaida, Viscosity Bound Violation in Higher Derivative Gravity // Phys. Rev. D 77,126006 (2008); arXiv:0712.0805 [hep-th].

93. I.L. Buchbinder, S. Odintsov, L. Shapiro. Effective Action in Quantum Gravity / Taylor and Francis Group, 1992, 424 p.

94. M. H. Dehghani. Asymptotically (anti)-de Sitter solutions in Gauss-Bonnet gravity without a cosmological constant // Phys. Rev. D 70, 064019, (2004).

95. K.-L Maeda, N. Ohta. Cosmic acceleration with a negative cosmological constant in higher dimensions // JHEP 1406, 095 (2014). arXiv: 1404.0561.

67

96. K. S. Stelle. Classical Gravity With Higher Derivatives // Gen. Rel. Grav. 9, 353 (1978).

97. J. T. Wheeler. Symmetric solutions to the Gauss-Bonnet extended Einstein equations // Nucl. Phys. B 268 (1986) 737-746.

98. J. T. Wheeler. Symmetric solutions to the maximally Gauss-Bonnet extended Einstein equations // Nucl. Phys. B 273 (1986) 732-748.

99. D. G. Boulware, S. Deser. String-generated gravity models // Phys. Rev. Lett. 55 (1985) 2656-2660.

100. T. Damour, G. W. Gibbons, C. Gundlach. Dark Matter, Time Varying G, and a Dilaton Field // Phys.Rev.Lett. 64 (1990) 123-126,

DOI: 10.1103/PhysRevLett.64.123.

101. L. Amendola, P.S. Corasaniti, F. Occhionero. Time variability of the gravitational constant and type Ia supernovae // Phys. Rev. Lett. 52 (1984) 489.

102. J.D. Barrow, C. O'Toole. Spatial variations of fundamental constants // Mon.Not.Roy.Astron.Soc. 322 (2001) 585, DOI: 10.1046/j.1365-8711.2001.04157.x.

103. T. Damour, G.W. Gibbons, J.H. Taylor. Limits on the Variability of G Using Binary-Pulsar Data // Phys.Rev.Lett. 61 (1988) 1151-1154,

DOI: 10.1103/PhysRevLett.61.1151.

104. E. Gaztanaga, E. Garcia-Berro, J. Isern, E. Bravo, I. Dominguez. Bounds on the possible evolution of the gravitational constant from cosmological type Ia supernovae // Phys.Rev. D 65 (2002) 023506,

DOI: 10.1103/PhysRevD.65.023506.

68

105. D. Lowelock. The Einstein tensor and its generalizations // J. Math. Phys., 12, No. 3, 498-501 (1971).

106. A. Mardones, J. Zanelli, Lovelock-Cartan theory of gravity // Class. Quantum Grav. 8 1545, (1991).

107. A. Navarro, J. Navarro. Lovelock's theorem revisited // Journal of Mathematical Physics. 61: 1950-1956. arXiv:1005.2386, (2011).

108. P.A.R. Ade et al. [Planck Collaboration], Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific results, Astronomy and Astrophysics 571, A1 (2014); arXiv: 1303.5076.32.

109. S.A. Pavluchenko. On the general features of Bianchi-I cosmological models in Lovelock gravity // Phys. Rev. D 80, 107501 (2009); arXiv: 0906.0141.

110. S.A. Pavluchenko. Stability analysis of exponential solutions in Lovelock cosmologies // Phys. Rev. D 92, 104017 (2015); arXiv: 1507.01871.

111. D. Chirkov, S.A. Pavluchenko, A. Toporensky. Non-constant volume exponential solutions in higher-dimensional Lovelock cosmologies // Gen. Relativ. Gravit. 47: 137 (33 pages), (2015); arXiv: 1501.04360.

112. M. Rainer, A. Zhuk, Einstein and Brans-Dicke frames in multidimensional cosmology // Gen. Relativ. Gravit. 32, 79-104 (2000). arXiv:gr-qc/9808073.

113. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov. Multidimensional Gravity with Einstein Internal Spaces // Grav. Cosmol. 2 (3), 211-220 (1996); hep-th/9612054.

114. F. Canfora, A. Giacomini, S.A. Pavluchenko, A. Toporensky. Friedmann dynamics recovered from compactified Einstein-Gauss-Bonnet cosmology, arXiv:1605.00041.

115. V.D. Ivashchuk, V.N. Melnikov, A.I. Zhuk, Nuovo Cimento B 104, No 5, 575-581, (1989).

69

Приложения

Приложение 1.

Основные соотношения для финслеровой 4-метрики

Здесь мы рассмотрим доказательство тождества (1.11) [17]. Разложим произведение 6 членов в определении 4-метрики (1.8) в сумму («степеней дельты» (5))

6

a=0

(П.1.1)

где

G

о ijkl

= 1, Gijkl =

-5ij - 5ik - 5il - 5jk - 5jl - 5kl<

, Gijkl - 5ij5ik5il5jk5jl5kl.

Получим

6

T - Gijkluiujukul - Ta, (П. 1.2)

a=0

где Ta — Gijkluiujukul.

Вычисление Ta дает следующий результат:

T0 —$4, T1 — -6S2S2, T2 — 3S2 + 12S1S3,

T3 — -S1S3-16S4, T4 —15S4, T5 — -6S4, T6 —S4 , (П.1.3)

где

Sk — Sk(u) — ^(ui)k, (П. 1.4)

i=1

70

k= 1,2,3,4.

Суммирование всех в (П.1.3) приводит к соотношению

T = G,jklu,ujukul = 5^ - + 3^2 + 85153 - 654. (П. 1.5)

Теперь докажем соотношение (1.29). Получим, что

6

Pi = G,jkiujuku' = ^P,°. (П.1.6)

а=0

где Р^" = C^ujukul, t = 1, ., и.

Вычисление Р^ дает следующие соотношения р.о=^з, p.1 = -3^2^f-3^i^2, р.2 = 353 + 352и' + 951(и')2,

Р^-^з-З^)2-^)3,

Р^4 = 15(и')3, Р^5 = -б(и')3, Р^6 = б(и')3, (П. 1.7)

t = 1,... ,ш

Суммирование по а всех Р^ в (П. 1.7) приводит к тождеству

Р; = 53 + 253 - 35152 + 3(52 - 53)и" + 651(и')2 - б(и')3, (П. 1.8)

t = 1, ., и, которое совпадает с (1.29). Это соотношение подразумевает Р;и* = Г , что согласуется с (П.1.2) и (П.1.6).

71

Приложение 2.

П.2.1 Точные решения в «чистой» модели Гаусса-Бонне

Положим = 0 и а2 0 , т.е. рассмотрим космологическую модель,

определяемую действием

^2 = ^2 J

(П.2.1)

Уравнения движения (1.23) в этом случае определяется в виде

где

(П.2.2)

(П.2.3)

2 ^2^мм = 0

Из-за тождества = 2^2 система уравнений (П.2.2) при 4 влечет

Г2 = 0

(П.2.4)

Очевидно, что система уравнений (П.2.2) для 4 эквивалентна на систему уравнений

ж^ = 0. (П.2.5)

Уравнения движения (1.26), (1.27) в этом случае выражается в виде

W = 0, (П. 2.6)

= 0, (П. 2.7)

t = 1,..., л. Соответственно (П.2.6) здесь А = 0.

Подставим ^ = 0 для всех t, или эквивалентно,

^ = Ct + c0, (П.2.8)

72

где с^ и Cg - постоянные, t = 1,..., ш И положим, что

п

3у = Го=^<е', (П.2.9)

t=1

т.е. здесь применяется модифицированная «гармоническая» временная переменная. Напомним, что в случае ^1 0 и = 0, выбор у = у0

соответствует гармонической временной переменной t [115].

Тогда уравнения (П.2.7) удовлетворяются тождественно и уравнение (П.2.6) дает нам следующее ограничение

^tjM^cJ'c^c; = 24 с^с^с^с^ = 0. (П. 2.10)

Таким образом, получено точное космологическое решение для модели Гаусса-Бонне (П.2.1), заданное метрикой (2.12) с функциями ^(t) и y(t) из (П.2.8) и (П.2.9), соответственно, и константами интегрирования с*, подчиняющимися (П.2.10).

П.2.2. Степенные решения

Рассмотрим решения с Хг=1 0.

Вводим синхронную временную переменную т = 1exp(ct + с0), где с = *Хг=1 , с0 = *Хг=1 с0, и определяем новые параметры как р* = ^/с , А = ехр[с0 + p^(lnc — с0)] . Получим степенные решение с метрикой

р = —dr 0 dr +

п

Л2Т2Р' dy* 0 dyS

t=1

(П.2.11)

где > 0 произвольные константы, и параметры р* подчиняются соотношениям

73

^р' = з,

t=1

= 24 y/pJp^p^

= 0.

(П.2.12)

(П.2.13)

Это решение сингулярно для любого набора параметров [18]. Для н = 4,5 оно получено в [13].

Пример 1. Допустим ^ = 6 и р; 0, t = 1,..., 5. Тогда соотношения

(П.2.12) и (П.2.13) запишуттся в виде

р1+р2+р3 + р4 + р5 = 3,

(П. 2.14)

11111

р1р2рЗр4р5 [ + + + + ) = о.

хр1 р2 р3 р4 р5/

(П.2.15)

Положим р1 = х > 0,р2 = ^,р3 = z > 0,р4 = у < 0,р5

1

у'

Тогда получим

1 1 111

х +-)-z + y + - = 3, х +-I-+у + - = 0. (П. 2.16)

X у X z у

1

Вычитая второе соотношение в (П.2.16) из первого, получим z - - = 3, z =

1 (3 + V13) (z > 0). Для любого X > 0 существуют два решения у = у+(х) =

1 (—Л + V^2 — 4), где Л = х + 1 + 1>2.

Предложение. Лрм > 4 пе^рмка (П^.2.77) являемся ре^енмеп уравнений бвм^енмя (^.2.2), если м только если набор парапе^ров р = (р1, . ,р^) либо подчиняемся соомноменмя.п (Л^.2.72), (Л^.2.72), млм р =

(а, б, 0, ., 0), (а, 0, б, 0,..., 0) ..., сбе а, б - произвольные вещественные числа.

Доказательство: Уравнения движения (1.29) и (1.30), отвечающие метрике (П.2.11) с = Р /f (здесь а1 = 0 и а2 0) имеют вид

74

= ^tj^^P'P^P^P^ = 0,

(П.2.17)

- ^tj^^P^P^P^ = 0,

(П.2.18)

t = 1,...,%. Пусть ^ = л + 1^4 и

п 1 1

вУ.-3)у^ t=1 с,=-(в-В,)

(П.2.19)

t = 1, ., л.

При 4 система уравнений (П.2.17), (П.2.18) эквивалентна следующей

системе уравнений:

У

^ = 54 - 65^52 + 352 + 85153 - 654 = 24

р^р^р^р^ = о,

(П.2.20)

в = й - 3)(У1 - 3^1S2 + 2S3) = 6СУ1 - 3) У р^р" = о,

t<j<%

е, = (S1 - 3)р' [2(р')2 - 251Р* + ^2 - ^2] = о,

(П.2.21)

(П. 2.22)

t = 1,...,%. Здесь 5^ = 5^(р) = Х4=1(р^У^ и использовано тождество (1.38), и следующее тождество:

53 - 35152 + 253 = б^Р'Р^Р* =

У

t<j<%

ptpjp^,

(П.2.23)

6

где определяются в (П.2.11). При 51 = 3 получим решение, описывемое соотношениями (П.2.12) и (П.2.13).

Теперь рассмотрим другой случай: 51 3. Пусть к - число всех ненулевых

чисел среди р1,...,рУ При к = 0 получаем тривиальное решение (0, ..., 0). Пусть k > 1. Предположим, без потери общности, что р1,...,р^ отличны от нуля. При к = 1,2 все соотношения (П.2.20)-(П.2.22) удовлетворяются тождественно. Во всех трех случаях к = 0,1,2 решения имеют вид (a, b, 0, 0) (плюс перестановки).

75

Рассмотрим k > 3. Из (П.2.22) и 31 + 3 получаем

2(р')2 — 23^ +ЗЦ — 32 = 0

(П. 2.24)

t = 1, , к. Суммирование по t дает нам (2 — к)(32 — 3^) = 0 или 32 = 32. Тогда

мы получим из (П.2.21) З3 = ЗЦ и из (П.2.20): 34 = З4. Таким образом, мы получаем

Таким образом, мы получаем противоречие. Это означает, что для 31 + 3 мы имеем только решения с k < 2 вида (a, b, 0, 0) (плюс перестановки). Предложение доказано.

При D = 2, 3, 4 метрика (П.2.11) дает решение уравнений движения (П.2.2) для любго набора параметров р*.

П.2.3. Экспоненциальные решения

Теперь рассмотрим решения с Хг=1 С = 0 . Вводя синхронную временную переменную т = t exp(c0), где с0 = 1Хг=1с0 и определяя новые параметры = c^exp(—с0), = exp(c0) , мы получаем неособое космологическое решение с метрикой

^2g2+T^yt 0 ^yt,

р = —0 +

(П.2.25)

t=i

где > 0 произвольные постоянные, и параметры и* подчиняются

соотношениям

t=i

= 0,

(П.2.26)

= 24 у = 0.

(П.2.27)

76

Пример 2. Пусть Я = 6 и и; 0, t = 1,..., 5. Соотношения (П.2.26) и (П.2.27) в

этом случае выражаются

H1+u2+u3+u4+u5 = 0,

(П.2.28)

11111

и1^2^3^4^5 [ — + ^- + —г + — + —-) = 0.

уи1 и2 и3 и4 и5/

Положим и1 = X > 0,и2 =1 , и3 = 1,и4 = у < 0,и5 = ^ . Тогда получим

11

х +-+ 1 + у + - = 0,

л у

(П.2.29)

(П.2.30)

Для произвольного X > 0 существуют два решения (П.2.30): у = у±(х) = 1 (—Я ± V^2 — 4), где Я = X +1 + 1 > 3.

Примечание. Для D = 4, млм л = 3 ураененмя Эем^енмя (Л^.2.6), (Л^.2.7) еыиолнены мо^Эесмеенно Эля иромзеольных (глаЭннх) фунн^мн Д^(7) м y(t). Эмо согласуемся с мем фанмом, чмо е размерносмм D = 4 Эемсмеме (Л.2.7) являемся моиологмчеснмм мнеарманмом, а его еарма^мя мо^Эесмеенно раена нулю.

77

Приложение 3.

(1 + и) — расщепление

Рассмотрим метрику, определенную на X ^(^* = (t_, t+) - открытый

интервал в ^).

0 + ^^y(t)^y^ 0 dy*

(П.3.1)

Здесь (^^j(t)) - симметричная невырожденная матрица для любого t Е ^, которая гладко зависит от Функция y(t) - гладкая. Вычисления дают следующие ненулевые (тождественно) компоненты тензора Римана [17]

1

^0j0j = —^t00j = —^0tj0 = ^t0)0 = [—2^tj + 2X^tj + ^^^й ^^j],

(П.3.2)

1

(П.3.3)

t,y, й, Z = 1,2, ., л, где й 1 = (й^^) обратная матрица матрице й = (й^у).

Обозначим Л = —. Для ненулевых (тождественно) компонент тензора Риччи получим [17]

^00

11

(П.3.4)

1

^^_2^[2^tj + й^-(й^й^ — 2^) — 2й^й*%-]

(П.3.5)

ZJ = 1,2, .,л.

Скалярная кривизна выражается в виде [17]

1

^^e_2^[4tr(й.й_1) + tr(^й_1)(tr(^й_1) — 4ў) — 3tr(^й_1й.й_1)]. (П. 3.6)

78

/-функция

Функция / в (2.13) имеет следующий вид [17] (для у = 0):

/ = ^1/1 + ^2/2 ,

(П.3.7)

где

/1

п

= 2е-У+Уоу ^,

t=1

(П.3.8)

4

/2=3?

-3у+Уо

П /П\3

21(^^)3-3(У^^)У(^')2+(У^') t=1 \t=1 / j=1 \t=1 /

(П.3.9)

Функцию /2 можно переписать в виде:

4

/^зе-3^0^'^" ,

(П. 3.10)

где

= (Зуу - 1)(^ - 1)(Дд - 1) .

(П.3.11)

79

Приложение 4.

В главе 2 использованы определения

д = Я(и) = А = А(^) = (П.4.1)

Для изотропного случая

и = (и') = (Н....Н) (П.4.2)

получим

^ = л(л —1)(л —2)(л —3)^4, Л^ = (л —1)(л —2)(л —3)^3 (П.4.3)

Z = 1,...,%.

Теперь рассмотрим анзатц, который определяется двумя разными хаббловскими параметрами

и = (и') = (Н..Н,^.....Һ) (П.4.4)

где Н появляется раз и А появляется I раз, л = m + Z. В дальнейшем принимаем следующее соглашение для индексов: я, v,... = 1,..., m; ^,^, . = m + 1, ., л. Таким образом, и^ = # и и^ = ^. Получим [60]

Я = m(m — 1)(m — 2)(m — 3)#4 + 4m(m — 1)(m — 2)Z#3^.

+ 6m(m — 1)Z(Z — 1)^2^2 + 4mZ(Z — 1)(Z — 2)^^3

+ Z(Z — 1)(Z — 2)(Z — 3)^4 (П. 4.5)

и

^ ^ = (^ — 1)(^ — 2)(m — 3)^3 + 3(m — 1)(m — 2)Z^2^

+ 3(m — 1)Z(Z — 1)^^2 + Z(Z — 1)(Z — 2)^3, (П. 4.6)

Лд = m(m — 1)(m — 2)#3 + 3m(m — 1)(Z — 1)^2^ + 3m(Z — 1)(Z — 2)^^2 + (Z — 1)(Z — 2)(Z — 3)^3. (П. 4.7)

80

Обозначим также

= . (П.4.8)

Отметим, что 3^- = 3^ и 3;; = 0. Для изотропного случая получим

3;у = (л — 2)(л — 3)Я2, t + у. (П. 4.9)

Для анзатца (П.4.4) получим [60]