Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Воронова, Юлия Геннадьевна

• Воронова, Юлия Геннадьевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Воронова, Юлия Геннадьевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Скалярные гиперболические уравнения

§1. Построение решения задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения

§2. Точное решение задачи Коши

§3. Краевые задачи для нелинейных гиперболических уравнений, интегрируемых по Дарбу

Глава 2. Метод каскадного интегрирования Лапласа для гиперболических систем уравнений

§4. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа

§5. Метод построения общего решения для двухкомпонентных систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами

Лапласа

§6. Алгоритм построения общего решения для п-

компонентной гиперболической системы уравнений

§8. Системы уравнений Эйлера-Пуассона

Глава 3. Задачи Гурса и Коши для гиперболических систем уравнений

§9. Задача Гурса для линейной гиперболической системы

уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа104 §10. Линеаризованные цепочки Тоды

§11. Задача Коши

§12. Задача Гурса для одной нелинейной гиперболической системы уравнений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа»

Введение

Изучение проблемы интегрирования гиперболических уравнений

вида

иху = F(x, у, и, их, иу), (0.1)

восходит к классическим работам таких математиков, как П.С. Лаплас, Ж. Лиувилль, С. Ли, Ж.Г. Дарбу, Э. Гурса, К.Г. Якоби. Например, французский математик П.С. Лаплас предложил метод нахождения общего решения специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, впоследствии именуемый "каскадным методом Лапласа". Данный метод использовал Ж.Г. Дарбу для отыскания интегралов и для выяснения интегрируемости заданного уравнения [55, 56, 65, 66]. Под интегрируемостью Дарбу подразумевал наличие у уравнения (0.1) нетривиальных х— и у— интегралов. Метод Дарбу интегрирования гиперболических уравнений (0.1) состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и дальнейшему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Но, в общем случае получение явных формул общего решения весьма затруднительно.

В более поздних исследованиях, в работах Гурса, Вессио (см. [60, 65, 66]) для нахождения интегралов стал использоваться алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям [60]).

Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметри-ями. Понятие симметрии впервые было введено в работах С. Л и и

Э.Нетер и служит фундаментом современной теории интегрируемости. Открытие в 1967 году метода обратной задачи рассеяния и появление класса солитонных уравнений позволило по-новому взглянуть на теорию интегрируемых систем. Стало ясно, что уравнения, интегрируемые при помощи метода обратной задачи рассеяния, обладают бесконечной иерархией высших симметрий. В последние три десятилетия в рамках симметрийного подхода были созданы эффективные алгоритмы решения классификационных задач и составлены исчерпывающие списки интегрируемых представителей для очень важных классов нелинейных уравнений в частных производных и их дискретных аналогов (см. [1, 13, 14, 30, 31, 39, 40, 41, 42, 52, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64]).

На сегодняшний день перспективным является подход, использующий метод каскадного интегрирования Лапласа применительно к линеаризованному уравнению (0.1) (см. [16, 20, 44, 49]). В рамках данного подхода уравнение вида (0.1) называется интегрируемым, если для его линеаризации происходит обрыв цепочки инвариантов Лапласа. Рассмотрение такого класса уравнений позволило в работе [17] получить полную классификацию гиперболических уравнений лиувиллевского типа. Также в работах Anderson J.M. [53], Kamran N. [54], Царева С.П. [50], Капцова О.В. [27], Жегалова В.И., Тихоновой O.A. [12] каскадный метод распространен на более общий класс гиперболических уравнений.

Настоящая диссертация посвящена обобщению каскадного метода Лапласа на системы гиперболических уравнений. Преобразования Лапласа для систем линейных уравнений, начали изучаться лишь в последнее время. Впервые идеи обобщения метода каскадного интегрирования Лапласа на системы гиперболических уравнений были изложены в 2001 г. в работе A.B. Жибера и В.В. Соколова [17]. В дальнейшем развитием данного метода занимались A.B. Жибер [18], В.В. Соколов [19], С.Я. Старцев [43, 45, 46], А.М. Гурьева [9]. Задача обобщения метода каскадного интегрирования на системы уравнений является очень важной на данный момент, поскольку активно используется для классификации нелинейных уравнений.

В данной работе также подробно рассмотрена задача определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изучении процессов сорбции и десорбции газов, процессов сушки и многих других задач.

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации. Введем понятия, обозначения и обговорим предположения, которыми будем пользоваться на протяжение всей работы.

Все рассмотрения ведутся в классе локально аналитических функций. В дальнейшем под буквой и будем понимать произвольное решение уравнения (0.1). Легко видеть, что всякая смешанная производная от и может быть выражена через переменные

X, у, и, Щ = их, Щ = ихх, • • ■ ) из = иххх, • • • ■> (0 2)

Я1\ — У/у, 112 ~ иру, . • • , из = иууу, ....

Данные переменные нельзя связать между собой, пользуясь уравнением (0.1) и его дифференциальными следствиями. Поэтому в дальнейшим во всех определениях и выкладках они считаются независимыми переменными. Само уравнение (0.1) будем записывать в виде

ВВи = Р{х, у, и, их, иу), (0.3)

где ^-операторы полных производных уравнения (0.1). Более формально, операторы Т) являются дифференцированиями в пространстве локально аналитических функций, каждая из которых зависит от конечного числа переменных (0.2). Эти дифференцирования задаются соотношениями

И{ик) = щ+1, 5(йк) = йк+1, и0 = щ = и, к = 0,1,2,...,

В1)и — Р(х,у, и, щ, щ), {0,Б] = 0.

Введем важные понятия симметрии и интеграла уравнения (0.3). Определение 0.1. Симметрией уравнения (0.3) порядка (п,т) называется функция / = /(х,у,и,Щ, . . . ,ип,йъ . . . ^т), ф 0, /йт ф 0,

удовлетворяющая уравнению

[ОЙ - ¿^Я - ЯьЯ -Fu)f = 0. (0.4)

Уравнение (0.4) называется определяющим уравнением. Определение 0.2. Функция и (х, у, и, щ,..., ип) называется х-интегралом для уравнения (0.3), если 5 (и) = 0. Функция Со (х,у,и,щ,... ,йт) называется у-интегралом для уравнения (0.3), если 0(й) — 0.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

В первой главе диссертации рассматриваются линейные гиперболические уравнения второго порядка с переменными коэффициентами вида

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0, (0.5)

интегрируемые каскадным методом Лапласа. Данный метод был неоднократно описан в классических (см. например [48, 60]) и современных работах (см. например [17, 27]). Поэтому приведем только основные положения данного метода необходимые для целостного изложения материала диссертации. Основу метода каскадного интегрирования Лапласа образуют инварианты Лапласа

..., /1_3, к-2, /г-1, Ь> = /¿ъ Ь>2, Из,...,

которые вычисляются посредством рекуррентной формулы

д2

Нп+1 = 2кп - Нп-1 - К), пЕ Ъ, (0.6)

исходя из "начальных значений" Но = ах + аЪ — с и ко = Ъу 4- аЬ — с, при этом кп = кп-\.

В первом параграфе диссертации для линейных скалярных гиперболических уравнений (0.5), для которых ряд инвариантов Лапласа обрывается с двух сторон, т.е. Нп = к-т = 0 для некоторых целых п, т,

получена явная формула решения краевой задачи с данными на характеристиках:

и{х, у0) = ф{х), и(хо, у) = ф{у), (0.7)

а именно [21, 32]:

и(х, у) = е \Dl-D • • • т^Б

к

/ Ь(г,у)сЙ-/ ап(х^)<И уо X

и2

-¡Ъ{Ь,уо)<И

х / Ьп-1(и„, Уо) / Ь„-2(ип-1, Уо)---/ Ни 1, уо)е и1 • • • (1и

ХО Хо Хо

■п

к к-т+1

В

/ а{х$)<И— / Ь-т(г,у)сИ У и2

еУ0 х° /к-т+1(ит)---/к(и1)х

Уо Уо

их

— / ап(хо^)сИ

Уа ^ (1щ • • • (1ит

Также рассмотрен случай неоднородного линейного гиперболического уравнения.

В параграфе 2 главы 1 приведены формулы для решения задачи Коши

и = /(х,у),

ди дп

(0.8)

(0.9)

АВ

в случае когда однородное уравнение, соответствующее уравнению (0.8), имеет нулевые инварианты Лапласа.

В третьем параграфе главы 1 рассматривается задача Гурса для уравнения

иху = /(х,у,и,их,иу), (0.10)

и(х,0,т) = ф(х,т), и(0,у,т) = ф{у,т), (0.11)

где краевые условия (0.11) зависят от параметра т. Для построения точного решения задачи (0.10), (0.11) используется метод сведения к динамической системе, идеи данного подхода были предложены в работе [28].

Используя данный метод, построено решение задачи Гурса [5]: и(х,у) — 1п (тф(х)ф(у)) = 0 при ху = О

для уравнений

иху = ихиу : и = 1п

иху - в

и = 1п

тф(х)ф(у)ф(0)ф(0) \ кф(х)ф(0) - ф(у)(ф(х) - ф(0))) '

4 тф(х)ф(у)

2 -т1фЮ(1г}ф(г)(и)

о о / /

иХу = еииу : и = 1п

тф(х)ф(у)ф(0)

\

тф{0) / фЦ)сИ

Также в 3 параграфе главы 1 построено решение уравнения Лиувил-

ля

и

иХу — в ,

(0.12)

зависящее от двух произвольных функций, которое определяется формулой

и = 1п [Ф(Х{х) + У(у), т)Х'(х)У(у)},

где функция Ф удовлетворяет уравнению

Ф Ф2

^рр р = ф

ф ф2 '

здесь р = Х(х) + У (у), а Х(х), У (^-произвольные функции.

От переменных (х, у) перейдем к переменным (£, £) в уравнение (0.12), тогда задача Коши для уравнения (0.12) имеет вид:

где функция £) = u(€ + t,£ — t). Решение данной задачи определяется

по формуле

г п г 1

О Ь -1 О

-\п{ + в(0) / ежр

о

+ Щ I ехР

I ^щт +

¿77+

ю

(¿77 > +1п2,

где з(£) решение задачи Коши:

✓К) - ^ -1) е^ = 6 |е_о = .(о).

Во второй главе диссертации рассматривается обобщение каскадного метода Лапласа на линейные системы уравнений вида

д2и ди .ди ,л „

—- + а— + Ь— + си = 0, 0.13

охду ох оу

где а, Ь, с - квадратные матрицы порядка п элементы которых суть функции переменных х и у, а и - столбец неизвестных и1, и2,... ,ип, прямолинейное обобщение метода Лапласа состоит в следующем. Главные инварианты Лапласа определяются формулами

да

#1 = — + оа- с ох

„ дь

и К\ = ——Ь ло — с, оу

(0.14)

а матрицы Щ при г > 1 находятся последовательно из системы уравнений

тгЩ + щЩ — Щщ-х = 0, оу

гт л дЬ ТТ . л п

1 = ду+ г = 1,2,...,

(0.15)

(0.16)

где ао = а. В скалярном случае эти формулы совпадают с формулами (0.6), задающими инварианты скалярного уравнения.

Если Щ при г < к и щ при г < к — 1 уже известны, то из уравнения (0.15) определяется а затем из уравнения (0.16) - Нь+ь Однако, если det Н& = 0, то аи либо вообще не существует, либо определяется с точностью до ядра матрицы Я&. При этом выбор элемента из

ядра существенно влияет на факт существования и явные формулы для следующих инвариантов. Таким образом мы сталкиваемся с проблемой корректного определения цепочки инвариантов. Положим

хк = Нк ■ Нк-1 ..... #1, Ук = Кк-Кк. !•.... Кг. (0.17)

Далее высшие инварианты определим так: пусть матрицы Н\, Н2,..., Щ известны и уравнение

4-Хг + щХг - Х{а = о (Хг = ЩН... Нг) (0.18)

ду

имеет решение а,-, тогда положим

Ят = ~ Щ + + Я*' г'= 1?2' • • • (0'19)

Аналогично, если уже найдены элементы К\, К2,..., Кг и существует решение Ь{ уравнения

г\

—У{ + № - Уф = 0 (У{ = К\К{—\... Кх), (0.20)

то

= + [а'ь<] + к*' * =2' • • • (°-21)

Элементы Хг и У^ г = 2,3,... будем называть обобщенными инвариантами Лапласа. Справедливо следующее утверждение (см. [9, 17, 19]):

Теорема 0.1. Инвариант Лапласа Х{ системы (0.13) существует и определен однозначно тогда и только тогда, когда для всех к < % выполнены условия

+ (кегХ^ С кегХь (°-22)

+ (1тХк) С 1тХк. (0.23)

\дх

Таким образом мы рассматриваем уравнения (0.13) для которых происходит обрыв цепочек {Хк} и {Ук}, то есть таких для которых существуют целые п > 1 и т > 1, что Хп = 0 и Ут — 0.

Известно (см. например [60]), что, если скалярное уравнение (0.5) имеет решение

тп

аг

и

г=0

где Рг, г = 0,1,..., т - заданные функции, а X(^-произвольная функция, то найдется целое число г (0 < г < т) такое, что инвариант кг равен нулю, В четвертом параграфе главы 2 данной диссертации этот факт обобщается на системы уравнений типа (0.13) [23], [67]: Теорема 4.1. Пусть для системы уравнений (0.13) выполнены условия (0.22) и (0.23) для к = 1,2,... ,т и существует решение вида

т

дг

и

г—О

где Х(х)-столбец произвольных функций х1(х),... ,хп(х) переменного х, а ро,р\,... ,рт-заданные матрицы-функции переменных х и у, причем с1е1 рт -ф 0. Тогда обобщенный инвариант Лапласа Хт+1 = 0.

В параграфе 5 главы 2 рассматриваются двухкомпонентные системы уравнений (0.13) для которых найдутся г > 0 и 5 > 0, такие, что для всех г < г, ^ < в ее инварианты Лапласа Х{ и Yj существуют, однозначно определены и Хг = У3 = 0. Предположим, что инварианты Х\,..., Хк -невырожденные матрицы. Для таких систем уравнений построено общее решение, а именно [22]:

и =

где

х2-\1 + Ь)Х2

Ук =

У

V д ■ (д , (^--О'Л

\дх ^ фк+1 ) ' ' ' \дх ^ Фг-1 )

■фк+1 2/0

Фк+2

+ Ь)Х„

Р~

Ук, (0.24)

(0.25)

■ ■ (& + + И'З,

здесь Р- базис 1тХк+\, а ф - базис кегХк+\ выбраны таким образом,

что

(& + Ь)Р = 0' {§у+°)р = Рр + чЯ-

Функция г = т(х)ехр ( — / рсИ), т(х), И/Г(а;)-произвольные функции.

V УО )

Справедливы соотношения

ХгР = фгР, I = к + 1, к + 2, ... ,Г — 1,

Нк+1Р = НР, ХкР=Щ±Р + 11ХкЯ.

гг

Аналогично строится решение с использованием обобщенных инвариантов УьУ2,...,Ув_1.

В параграфе 6 главы 2 алгоритм построения общего решения обобщается на п-компонентные гиперболические системы уравнений вида (0.13) [26, 35].

В 7 параграфе главы 2 рассматриваются линейные гиперболические системы уравнений вида

-и + а—И + Ь—и + с1Г = 0, (0.26)

дхду дх ду

где а, Ь и с-постоянные матрицы второго порядка, [/-столбец неизвест-

т

ных (и1(х,у),и2{х,у)) . Получен общий вид обобщенных инвариантов Лапласа для линейных систем уравнений (0.26).

Теорема 7.1. Пусть инварианты Лапласа Н\, Щ,..., Нк уравнения (0.26) -невырожденные матрицы, а = 1- Тогда обобщенный

инвариант порядка п вычисляется по формуле

Хп = (а,Р)п-к~1Хк+1, п = к + 1,к + 2,...

здесь а = (аь а2), Р = (А, /?2), Нк+1 = аТ • (3.

Описаны системы уравнений (0.26), для которых обобщенные инварианты Лапласа есть нулевые матрицы и для них построено общее решение. Также проведена классификация систем уравнений третьего порядка с постоянными коэффициентами, у которых инвариант Н\ имеет ранг 2, а обобщенный инвариант Лапласа Х2 = 0.

В 8 параграфе главы 2 рассматриваются системы уравнений Эйлера-Пуассона:

д2и А ди В ди .

+ —— — + —— — = 0, (0.27)

дхду х + у дх х + у ду

в которой А, В-квадратные матрицы порядка п, а и = (и1, и2,..., ип)т-столбец неизвестных. Система уравнений (0.27) представляет собой обобщение скалярного уравнения Эйлера - Пуассона (см. например [48]). Найдены формулы для вычисления невырожденных инвариантов Лапласа и обобщенных инвариантов для п-компонентных систем уравнений Эйлера-Пуассона. Справедливо утверждение

Теорема 8.1. Невырожденные инварианты Лапласа и обобщенные инварианты для системы уравнений (0.27) вычисляются по формулам:

Нк = ^(В - к — 1 ){В - к) ...(В - 1)(А + к) (В - I)"1 ...(В - к)~\ Хк = Нк-...-Н0 = - к - 1)... (В - 1)(А + к)... (А + 1 )А,

Кт = -т- 1 )(А - т)... (А - 1 )(В + т)(А - I)"1 ...(А — т)~\

Ут = Кт-...-Ко= (х+у)2т+2 {А - т - 1)... (А - 1)(В + т)... (В + 1)В, при этом

ак+1 = ^(В - к - 1).. .(В - 1)(А + 2к + 2)(В - I)-1.. .(В - к - 1)~\ Ьгп+1 = ^-у(А-т-1)...(А-1)(В + 2т + 2)(А-1)-1...(А-т-1)-К

Получен список систем с нулевыми главными инвариантами Лапласа, найдены их решения.

В случае, когда ранг главного инварианта равен единице, преобразование вида и = Ту, где Т-невырожденная матрица, систему уравнений вида (0.27) приводит к аналогичной системе вида

д2у А ду В ду /п

+--г— +-— - 0, (0.28)

дхду х 4- удх х уду

где А — Т~1АТ, В = Т~1ВТ. Выбор преобразования позволяет считать, что матрица Но имеет вид:

/ 1 0 0 \

Я0= 1

(х + уУ

ООО

V о о о у

(0.29)

Справедливо следующее утверждение

Теорема 8.4. Пусть для системы уравнений (0.28) главный инвариант Но задается формулой (0.29), и выполнены условия существования и единственности обобщенных инвариантов (0.22) и (0.23). Тогда

обобщенные инварианты Лапласа для системы уравнений (0.28) вычисляются по формуле:

Хп = Йп .. .Но —

(;X + у)2(п+1)

( п - аи - о

г=1

О 0 0

у О О 0 у

Также выписаны системы уравнений, у которых обобщенный инвариант равен нулю, найдены их решения. Отметим, что в работах [8, 10] рассмотрены двухкомпонентные системы уравнений вида (0.27).

Третья глава посвящена задачам Коши и Гурса для линейных и нелинейных гиперболических систем уравнений.

В 9 параграфе главы 3 приводится схема построения решения задачи Гурса (0.13), (0.7) для линейной гиперболической системы уравнений в случае двухкомпонентной системы [22, 24, 25] и в случае п-компонентной [26].

В 10 параграфе главы 3 приведены явные формулы решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды серий Ап, Вп, Сп и £>п [33, 36, 37, 38].

В 11 параграфе рассматривается обобщенная задача Коши для системы линейных гиперболических уравнений

д2щ

дхду

п / \

г = 1,2, ...,п,

ди дп

«I¿Ь = <Р(Х>У)> БГ

= ф(х,у), (0.31)

АВ

где и = (их, г«2,..., -ип)т-неизвестная вектор-функция, п- нормаль к кри-

V

вой АВ, причем однородная система, соответствующая системе (0.30) имеет обобщенные инварианты Лапласа равные нулю, Хг = У3 = 0. Показано, что решение обобщенной задачи Коши (0.30), (0.31) сводится к решению задачи Гурса для системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа. В качестве примера рассматривается обобщен-

ная задача Коши для линеаризованной цепочки Тоды серии Л2 [3, 4, 34]:

{9\) ху + 2еид\ — еуд2 — О, (92)хУ - еи91 + 2еп92 = О,

г\

д\лв = <р(х, у), АВ = ^(ж,у), (0.33)

где д — {д1,д2)Т, и, г>-заданные функции, удовлетворяющие системе

иху + 2еи - еу = 0, ^ - еи + ге* = 0.

Построено точное решение задачи Коши (0.32), (0.33), а именно

Фо,Уо) = + | / [у®ду - (г$> - 2г,«а)у]ф-

РЯ (0.34)

-Ъ)Щ)д\6х, » = 1,2,

где у(г\ 1 = 1,2, имеют следующий вид:

Уо Уо

здесь функции

а(ж0, у) = у) + у) - 2иж(я;о, Уо) - глДжо, Уо),

/3(ж0, У) = 2г;х(д:о, у) + ^(яо, у) - 2ух(х0, у0) - гг^жо, Уо). В параграфе 12 главы 3 рассматривается система уравнений

у которой ёе^Ях • /Сх) = 0, огс!(#1, .^х) = 1 и цепочка обобщенных инвариантов Лапласа обрывается на втором шаге (см. [10]), где Н\, К\-главные инварианты линеаризации системы (0.35).

Для построения точного решения задачи Гурса системы уравнений (0.35) используется схема построения решения соответствующей задачи

для нелинейных гиперболических уравнений, рассмотренная в 3 параграфе главы 1.

Удалось вычислить высшие симметрии системы уравнений (0.35), а именно:

р = (Б + их)ф1 -ф2, д = ухф1 + ф2

и

I_____ _ I

р = йу-Иф1 + йуф2 + 2ф1, д = -Уу—Бф1 + ууф2 - 2ф1,

здесь ф1(х, т, \У, и>х, \¥х,...), ф2(х, ги, V/, гих, 1¥х,...) - произвольные х - интегралы, а ^(у, гй, IV, йоу, \¥у,...), ф2{у, й>, IV, гиу, \¥у,.. .)-произвольные у - интегралы.

Используя полученные симметрии, задача интегрирования системы (0.35) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

диь 1

= + их)ф1 - ф2 = йу-Щ1 + йуф2 + 2ф1,

ОТ и)

X

= ухф1 +ф2 = -Уу-Бф1 + Ууф2 - 2ф\

от ги

ди

ди дт

т-

-еи+уууф

уг 1

= еи+уйу—Бф1 + еи+уиуф2, дт и)

т^ = е^Уу-Бф1 - еи+уууф2, дт и)

здесь г-груиповой параметр. Построено решение данной системы уравнений, зависящее от 4 произвольных функций, которое позволяет получить точное решение задачи Гурса для системы уравнений (0.35) [6]

и |у=о= 1пр(х), у \у=0= 1пд(я), и |х=0= 1пр(у), у \х=0= 1пд(у),

а именно:

и = 1п

р{х)р{у)д( 0)

У X

р(0)д(0) + ]р№{ 1 " ехр{}рд^}) о о

q(x)q{y)p(0)exp{J pqd£}

i о

V = In ----- .

(pq-JpfqdO(exp{JpqdO - 1) + p{0)q(0) о 0

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [3, 4, 5, б, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 67].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2004, 2006, 2008 гг.).

2. Российская научно-техническая конференция "Мавлютовские чтения", посвященная 80-летию со дня рождения чл.-кор. РАН, профессора P.P. Мавлютова (Уфа, 2006 г.).

3. Всероссийская молодежная научная конференция, посвященная 75-летию УГАТУ (Уфа, 2007 г.).

4. Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.).

5. Международная конференция "Нелинейные уравнения и комплексный анализ" (оз. Банное, 2007, 2008 гг.).

6. 39-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2008 г.).

7. Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2008 г.).

8. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2008 г.).

9. 40-ая всероссийская молодежная школа-конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2009 г.).

10. Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего ( Москва, 2009 г.).

11. Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в

естествознании" (Уфа, 2010, 2012 гг.).

12. Международная конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений" (Уфа, 2009 г.).

13. Международная научная конференция "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013 г.).

14. Научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2008, 2010 гг.).

15. Научный семинар "Интегрируемые системы" отдела математической физики ИМ с ВЦ УНЦ РАН под руководством профессоров A.B. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2013 г.).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Васильевичу Жиберу за предложенную тему исследований, постоянное внимание, неоценимую помощь и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией.

Глава 1. Скалярные гиперболические уравнения

В данном главе для скалярных линейных уравнений (0.5), для которых ряд Лапласа обрывается с двух сторон, построены точные формулы решения задач Гурса и Коши. Рассмотрена задача Гурса для нелинейного уравнения

У'ху ~ /(•£) У! "Мх1 У'у), и{х, 0, т) = ф{х, г), и(0, у, г) = ф(у, т). Приведено решение задачи Коши для уравнения Лиувилля.

§1. Построение решения задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения

Пусть существуют такие п, тп € Н, что инварианты /гп = к-т = 0 для уравнения (0.5). В этом случае рассмотрим задачу Гурса: найти функцию и, удовлетворяющую уравнению

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0 (1.1)

и краевым условиям

и(хо, у) = (р(у), и(х, уо) = ф(х). (1.2)

Необходимо чтобы выполнялось условие согласования (р(уо) = ф{хо). Приведем кратко схему (см. [15]) построения решения уравнения (1.1). В силу того, что кп = 0, решение последнего можно записать в виде

X

X

- / &(*,?)& 1 I

1 / Ь(*,у) А

(1.3)

и = е х°

"П— 1

А из того, что к-т = 0 следует

- ¡а{хЛ)^1_ I _

и = е у° -В-—В

]_ __/ а{х$)<И

-В{и-те>* }.

(1.4)

к к-1

Для нахождения ип решим систему уравнений

(В + ап)ип = ип+ь (И + Ь)ип+1 - Нпип — О,

где ап = ап-1 — (\пНп-1)у. Учитывая, что Нп = 0, решение второго уравнения системы примет следующий вид:

- / Ь$,у)<И ип+1 = У(у)е *о

где У (у)- произвольная функция, зависящая от у. Рассмотрим частное решение при У {у) — 0, ип+\ = 0. Тогда решение первого уравнения системы будет иметь вид

у

— ап(х^)сИ

ип = Х(х)е ™

где Х(х)- произвольная функция, зависящая от х. Аналогично найдем и-т решая систему уравнений:

{В + Ъ-т)и-т = и-т-1, (В + а)и-т-1 - к-тП-т = 0,

где Ь-т = Ь-т+1 - (1п£_ш+1)а;. Рассматриваем решения вида

X

- / Ь-т{г,у)(И

и-т = У(у)е х°

Тогда общее решение уравнения (1.1) будем искать в виде суммы решений (1.3) и (1.4), где ип и и-т найденные нами частные решения. Подставляя их значения получим:

- / г>(г,з/)сй

и(х, у) = е *о ±В±В • • • г—В

Н

1гп-

— / а{хЛ)(И _

+е у°

1

к к—т+1

В

— / ап(х,Ь)(И+ / Ъ(Ь,у)скЬ

Х(х)е х°

+

- / Ь_то(£,у)сй+ / а(х,Ь)сИ

У(у)е х° У0

Для решения задачи Гурса удовлетворим краевым условиям (1.2):

+

-fb(t,y0)dt

ф{х) = е TT^D^D ■ ■ ■ т—D

h(x,y0) hi т

hn-

f b{t,y0)dt

X(x)e°

(1.6)

¿=0

где В®(х)- некоторые функции, зависящие от х. Для того чтобы найти функцию Х(х), перепишем (1.6) в виде:

D

hi(x,y0)

D

hn-

■D

f b(t,y0)dt

X(x)e°

(1.7)

/ b{t,yo)dt

= h(x,yo)e°

m

Ф)-ЕВ?(х)¥^(у o) i=0

Проинтегрируем данное равенство в пределах от :го до х:

«i

hi{x,y0)

D"

i

hn~:

■D

f b{t,y0)dt

X(x)e°

f b(t,y0)dt

= Jh(ui,yo)(f° i¡>(ui)dui+

Xo

m

n-1

+ E В}(х)УЩуо) + £ А}Х®(хо),

i=0 j=0

(1.8)

х / ъ(1,уо)<а

где В\(х) = — / К(и,уо)е° В®(и)(1и ,а Л] некоторые константы.

Хо

Докажем, что после того как к раз проинтегрируем выражение (1.7) будет верна формула

i-r—.D ■ ■ • j-^D

hk{x,yo) hn-1

/ b{t,y0)dt

X(x)e°

ui

x Uk u2 f b(t,y0)dt

= f hk-i(uk, yo) f hk-2(uk-i, yo )•■■/ h{ui, у0)е*° ■ • • duk+

Xq XQ XO

m n-1

+ E BÍ(x)Y®(y0) + E А*(х)Х®(хo),

i=0 j=0

(1.9)

где 1 < к < n — 1. B¿(x), Aj(x)~ некоторые новые функции от х. Данное равенство легко доказывается по индукции. При к = 1 (1.9) верно

в силу (1.8), далее умножим обе части выражения (1.9) на Нк{х,уо) и проинтегрировав в пределах от хо до х получим в точности формулу (1.9) при к = к +1. Следовательно равенство (1.9) верно, положим в нем к = п — 1, в итоге имеем:

X «1

- / ь(г,у0)(Н х ип и2 / ь(г,уо)(И Х(х) = е х° / Нп-\(ип, Уо) / Ьп-2(ип-Ъу0) ■■■ / Н(ииу0)ео х

Хо Хо Хо

т п—1

хфМйгц • • • + £ В?(х)уМ(у0) + £ А](х)Х®(х0).

(1.10)

Далее, положим в уравнение (1.5) х = Хо и удовлетворим вторым краевым условиям (1.2). Тогда найдем функцию У (у), путем последовательного интегрирования, также как и в случае нахождения функции Х(х). В итоге получим

у и1

- / а(хоЛ)сИ У и2 / а(хо,*)сЙ

У(у) = еу<> / к-т+1(х0,ит) / к(хо,щ)е*° ••• ¿ит+

Уо Уо

п тп-1

+ £<Ы*(г'}Ы + £ РТШЧуо),

г=0 ¿=0

(1.11)

где

У

- / а(х0Л)сИ У и2

к(х0,щ)

!г{хо,щ

Уо Уо

<■(!/) = е - ¡к-т+1(хо,ит)

и1

/ [а(хоЛ)сИ-ап(хоЛ)}с1Ь

Далее воспользуемся условием согласования (р(уо) — ф(хо). Подставим в выражение (1.5) х = хо,у = уо и выразим из данного равенства ХМ(х0):

т п—1

г—0 .7=0

(1.12)

где Щ, 0 < г < т, О < 3 < п — 1 некоторые постоянные. Подставляя значение (1.12) в выражение (1.11), имеем

У и1

- / а(х0^)сИ У и2 / а{хо,£)сЙ

У(у) = е™ /к-т+1(ит) --¡к(щ)е*° ^(и^йщ • • • (1ит-

Уо Уо

У

- / а{хо$)<И У и2

-Нп-1---Н(хо,уоЖхо)е уо / ♦ • • / ^^ХЛсхеиО х

Уо Уо

«1

¡[а{хо$)&-ап(хо,г)]сИ п-1 т-1

хеУ0 йщ--- ¿ит + £ ъШ{{)Ы + Е

г=0 3=О

(1.13)

здесь 7новые функции, получившиеся после подстановки и приведения подобных слагаемых. Далее подставляя (1.10) и (1.13) в (1.5) получим

и(х,у) = е - 1П1П...1П

х у

/ Ь{г,у)(И-]' ап{х,Ь)(И

У0 х

X ип и2 - / Ь(Ь,уо)&

х / Нп-1{ип, Уо) / /гп-2(ип-1,Уо) Н(и1,уо)е и* ф(щ)йи1 • • • йип

Хо Хо ХО

У

- / а(х,г)<И _

у х

/ а(х,г)(И- / Ь-т{Ь,у)(И У и2

/к-т+1(ит)---/к(и1)х

Уо Уо

+

У ( Щ

- / а(х(¡¿)(Ы . . - / ап(хо,*)<й ,

ш

+

П-1 ТП

+ Е + £

г=0 ^'=0

(1.14)

где г = 0,тг — 1, У^(г/0), 3 = 0,т, произвольные по-

стоянные. В силу единственности решения задачи Гурса, функции и^х,у), г = 0,п — 1 , У^х,у), з = 0, га, будут тождественно равны нулю. Тогда одно из представлений решения задачи (1.1), (1.2) будет иметь

вид

и(х,у) = е Ъ^-'-тЬ

В

/ Ь(Ь,у)сИ-} ап(х,Ь)(И У0 X

ип

и2

- / ЬЦ,у0)сИ

х / Нп-1 (ип, уо) / К-2{ип-ъ Уо) "■/ Ь(щ,уо)е и* • • • йи.

Хо Хо Хо

■тг

+

- / а{хЛ)(И ___

/ а(х,г)<И- / Ь-гп(г,у)сИ У и2

еУ0 х° / к-т+1{ит) • • • / к(щ)х

Уо Уо

у

хе "1

щ

Г а(хоЛ)сИ I - / ап{хоЛ)<а

Фг) - ЩЩй^Ые -

• • • с1и

т

(1.15)

Рассмотрим частные случаи исходной задачи:

Пример 1. Пусть Н — к = 0, тогда решение задачи Гурса можно представить в виде

- / а(х,ь)м - / Ь(г,у)<а

и{х,у) — е У0 ф(х) + е х°

- / а(хоЛ)(И

(р(у) - е уо (р(Уо)

Пример 2. Пусть = к-\ = 0, тогда решение задачи Гурса дается формулой

у

— $ ах(х,Ь)йЬ I - / Ъ{Ь,уо)<11

и(х> У) = Щу)е 4 УоЖя) + е х° (Ь(ж, у) - &0, уо)-

)«1

* / Ъ{Ь,уо)<И

Г' '

Хо

к(хр,у) к{х,у)

е х°

УО

+

1

' к(х,у)

&

— / Ь-\{Ь,у)<И-/ а{хо,Ь)<И

е х°

УО

Хо

«1 / 2/о \

УО

> .

Отметим, что в работе [28], построено точное решение задачи Гурса для уравнения

п(п + 1) тхЩу) 2 (№+g(y)YU В заключении данного параграфа рассмотрим задачу Гурса в случае неоднородного линейного гиперболического уравнения:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Воронова, Юлия Геннадьевна, 2013 год

Литература

[1] Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметричный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

[2] Байков В.А., Жибер A.B. Уравнения математической физики // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. - 2003. -256 с.

[3] Воронова Ю.Г. О задаче Коши для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфимский математический журнал. - 2010. - Т. 2. - № 2. - С. 20 -26.

[4] Воронова Ю.Г. О задаче Коши для одной линейной гиперболической системы уравнений // Известия уфимского научного центра РАН. - 2012. - № 2. - С. 5 - 9.

[5] Воронова Ю.Г. Построение решения задачи Гурса для нелинейных гиперболических уравнений с интегралами первого и второго порядка / / Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". Уфа: РИЦ БашГУ. - 2012. - Т. 1. - С. 51 -58.

[6] Воронова Ю.Г., Жибер A.B. Симметрии и задача Гурса для системы уравнений иху = eu+vuy, vxy = —eu+vvy // Уфимский математический журнал. - 2013. - Т. 5. - № 3. - С. 20 - 27.

[7] Гареева Н. В., Жибер А. В. Интегралы второго порядка гиперболических уравнений и эволюционные уравнения // Труды международной конференции. г.Орел. - 1996. - С. 39 - 42.

[8] Гиззаткулова A.M., Жибер A.B. Системы уравнений Эйлера-Пуассона с нулевыми обобщенными инвариантами Лалпаса // Математические модели и методы их исследования. Труды международной конференции / Институт вычислительного моделирования СО РАН. Красноярск. - 2001. - Т. 1. - С. 169 - 175.

[9] Гурьева A.M., Жибер A.B. Инварианты Лапласа двумеризованных открытых цепочек Тоды // ТМФ. - 2004. - Т. 138. - № 3. - С. 401 -421.

[10] Гурьева А. М. Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. -2005. - 172 с.

[11] Жегалов В.И., Миронова J1.B. Об одной системе уравнений с двукратными старшими частными производными // Изв. вузов. Ма-тем. - 2007. - Т. 3. - С. 12 - 21.

[12] Жегалов В.И., Тихонова O.A. Каскадное интегрирование уравнений Бианки третьего порядка // Препринт НИИММ им. Н.Г.Чеботарева. Казан, гос. ун-т. - 2010. - 41 с.

[13] Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 33 - 54.

[14] Жибер A.B. Симметрии и интегралы нелинейных дифференциальных уравнений!I Дисс. . . . докт. физ.- мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. - 1994.

[15] Жибер A.B., Соколов В.В. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу// Учебное пособие: Изд-е Башкирск. ун-та. Уфа. - 1996. - 56 с.

[16] Жибер A.B., Соколов B.B. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. - Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995.

- № 2. - С. 51 - 65.

[17] Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1. -С. 63 - 106.

[18] Жибер A.B., Старцев С.Я. Интегралы, решения и существование преобразований Лапласа линейной гиперболической системы уравнений // Матем. заметки. - 2003. - Т. 74. - № 6. - С. 848 - 857.

[19] Жибер A.B., Соколов В. В., Старцев С.Я. Нелинейные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа// Москва, МГУ. -Международная конференция Тихонов и современная математика. Тезисы докладов секции функциональный анализ и дифференциальные уравнения. - 2006. - С. 305 - 306.

[20] Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. -1995. - Т. 343. - № 6. - С. 746 - 748.

[21] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.), Цирельман Н.М. Анализ термомеханических процессов на основе уравнения гиперболического типа// Уфа. УГАТУ. Российская научно-техническая конференция Мавлютовские чтения. Сборник трудов. - 2006. - Т. 3.

- С.84 - 90.

[22] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) О задаче Гурса для гиперболическиих систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Уфа.Вестник УГАТУ. - 2007. - Т. 9. -№3(21).-С. 136 - 144.

[23] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) О гиперболических системах уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Ла-

пласа // Труды Института математики и механики. УрО РАН. Екатеринбург. - 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 74 - 83.

[24] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Точные решения задачи Гурса для гиперболических систем уравнений с конечной цепочкой инвариантов Лапласа // Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак. - 2008. - Т. 1. - С. 89 - 93.

[25] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Точные решения краевых задач для линейных гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. - 2008. - С. 221 - 223.

[26] Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Алгоритм построения общего решения п-компонентной гиперболической системы уравнений с нулевыми инвариантами и краевые задачи // Уфимский математический журнал. - 2009. - Т. 1. - Я2 3. - С. 28 - 45.

[27] Капцов О.В Методы интегрирования уравнений с частными производными // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2009. - 182 с.

[28] Лезнов А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва рядов теории возмущений // Интегрируемые системы БФАН СССР. Уфа. - 1982. - С. 34 -44.

[29] Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 21.

[30] Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. - Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

[31] Михайлов A.B., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. - 1987. - Т. 42. - № 4.

- С. 3 - 53.

[32] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Решение задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения интегрируемого каскадным методом Лапласа //Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа. - Б ГУ.

- 2004. - Т. 1. - С. 153 - 164.

[33] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Точные решения задачи Гурса для линеаризованных цепочек Тоды //Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии. Уфа. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2006. - Т. 2.

- С. 85 - 94.

[34] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Взаимосвязанный тепломассопе-ренос с гиперболическими уравнениями процесса // Всероссийская молодежная научная конференция "Мавлютовские чтения". Сборник трудов. Уфа. УГАТУ. - 2007. - Т. 3. - С. 84 - 90.

[35] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Построение решения линейной гиперболической системы уравнений // Труды XXXIX всероссийской молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург: УрО РАН. - 2008. - С. 143 -147.

[36] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Задача Гурса для линеаризованной цепочки Тоды серии Ап // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по мат-ке, физике и химии. Уфа: РИЦ БашГУ. - 2008. - Т. 1. - С. 47 - 52.

[37] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) Краевые задачи с данными на характеристиках для линеаризованных цепочек Тоды серий Ап и Вп

// Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ Баш-ГУ. - 2008. - № 1. - С. 146 - 155.

[38] Михайлова Ю.Г. (Воронова Ю.Г.) О задаче Гурса для линеаризованных цепочек Тоды серий Сп и Пп // Труды 40-й всероссийской молодежной школы-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. - 2009. - С. 160 - 165.

[39] Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения // Функц. анализ. - 1982.

- Т. 16. - № 4. - С. 86 - 87.

[40] Свинолупов С.И., Соколов В.В. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями // Деп.ВИНИТИ. - 1982. -С. 27 - 82.

[41] Свинолупов С.И. Йордановы алгебры и обобщенные уравнения Кортевега-де Фриза // ТМФ. - 1991. - Т. 87. - № 3. - С. 391 -403.

[42] Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация интегрируемых квазилинейных уравнений третьего порядка // Предпринт. - Уфа.

- 1986.

[43] Старцев С.Я, Об инвариантах Лапласа систем гиперболических уравнений // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. / Уфа: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. - 1996. - Т. 3. - С. 144 - 154.

[44] Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // Теоретическая и математическая физика. - 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

[45] Старцев С. Я. О построении симметрий систем уравнений лиувил-левского типа. Труды международной конференции// 3-14 сентября. ОГУ. г.Орел. - 2006. - Т. 1. - С. 117 - 122.

[46] Старцев С. Я. Метод каскадного интегрирования Лапласа для линейных гиперболических систем уравнений// Математические заметки. - 2008. - Т. 83. - № 1. - С.107 - 118.

[47] Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики // Москва: Наука. - 1972. - С. 128 - 139.

[48] Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных [/ М.: Изд. иностранной литературы. - 1957. - 442 с.

[49] Ферапонтов Е.В. Преобразования Лапласа систем гидродинамического типа в инвариантах Римана// Теоретическая и математическая физика. - 1997. - Т. 110. - № 1. - С. 86 - 98.

[50] Царев С.П. Факторизация линейных дифференциальных операторов с частными производными и метод Дарбу интегрирования нелинейных уравнений с частными производными //Теоретическая и математическая физика. - 2000. - Т. 122. - № 1. - С.144 - 160.

[51] Чекмарев Т.В. Формулы решения задачи Гурса для одной линейной системы уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. - 1982. - Т. 18. - вып 9. - С. 1614 - 1622.

[52] Шабат A.B., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Предпринт БФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с.

[53] Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. - 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

[54] Anderson J.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plane// Duke. Math. J. - 1997. - V.87. - № 2. - P. 265 - 319.

[55] Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. - Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

[56] Darboux G. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. - 1870. - V. 7. - P. 163 - 173.

[57] M.Gürses, A. Karasu Variable Coefficient Third Order KdV Type of Equations //J. Math.Phys. - 1995. - V. 36. - 3485.

[58] M.Gürses, A. Karasu, R. Turhan Nonautonomous Svinolupov Jordan KdV Systems // J. Phys. A. - 2001. - V. 34. - P. 5705-5711; arXiv:nlin/0101031vl [nlin.SI],

[59] M.Gürses, A. Karasu Integrable KdV Systems: Recursion Operators of Degree Four // Phys. Lett. A. - V. 214. - 1996. - P. 21 - 26 (1996); V. 251. - 1999. - P. 247 - 249; arXiv:solv-int/9811013vl (1998).

[60] Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order á deux variables indépendantes. - Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

[61] Habibullin I. Characteristic algebras of fully discrete hypersjlic tyoe equations // Symetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - no 1. - paper 023. - 9 pages. (2005) //arxiv:SI/0506027

[62] Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. On the classification of Darboux integrable chains //J. Math. Phys. 49 (2008) 102702.

[63] Habibullin I., Zheltukhina N. and Sakieva A. On Darboux-integrable semi-discrete chains // J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 434017.

[64] Svinolupov S.I. On the analogues of the Burgers Equation// Phys. Lett. A. - V. 135. 1. - 1989. - P. 32 - 36.

[65] Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. - 1939. - V. 18. - P. 1 - 61.

[66] Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. - 1942. - V. 21. - P. 1 - 66.

[67] Zhiber A.V., Mikhailova Yu.G (Voronova Yu.G) On Hyperbolic Systems of Equations with Zero Generalized Laplace Invariants // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl.l. - 2008. - S 154 - 164.