Точное решение методом гипергеометрических функций ряда задач математической и теоретической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Тарасов, Вячеслав Федорович

• Тарасов, Вячеслав Федорович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Тарасов, Вячеслав Федорович

Оглавление

Введение

Глава 1. Представления для ряда Аппеля Р2(х,у) в окрестности особой точки (1,1) и вблизи границы его области сходимости

Введение

§ 1. Вспомогательные сведения

§ 2. Некоторые известные представления для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2(х, у) в окрестности особой точки (1,1)

§ 4. Представления для функций Аппеля Р2(1,1) и Р3(1,1) и их взаимосвязь

§ 5. Точное аналитическое представление ряда Аппеля Р2(х,у) вблизи

границы его области сходимости

Глава 2. Многомерное уравнение Шрёдингера, мультипольные матричные элементы для БН-систем и свойства функции Аппеля Р2(х,у) в окрестности особой точки (1,1)

Введение

§ 1. Один класс гипергеометрических дифференциальных уравнений с

тремя параметрами и симметрия функции Аппеля Р2(1,1)

§ 2. Многомерное уравнение Шрёдингера для БН-систем

§ 3. Мультипольные матричные элементы для БН-систем и свойства

функции Аппеля Р2(х, у) в окрестности особой точки (1,1)

с учетом правил отбора через функции Горна Ф^х, у)

Глава 3. Представление некоторых физических интегралов с радиальными функциями Шрёдингера и Дирака через функции Аппеля Р2(х,у)

Введение

§ 1. Радиальные слетеровские и марвиновские интегралы с дискретными параметрами и их асимптотики

§ 2. Обобщение слетеровских и марвиновских интегралов и их представление через функции Аппеля Р2(х, у)

§ 3. Радиальные матричные элементы с дираковскими функциями в

теории тонкой и сверхтонкой структур водородоподобных систем

Глава 4. Разрешимость некоторых «модельных» уравнений в теории солитонов через гипергеометрические функции и два мно-

жества солитонов KdV и ELW

Введение

§ 1. Разрешимость «модельных» уравнений типа NLS, tp4, Brg и Hxl

через iFo-функции

§ 2. Разрешимость SG-уравнения через 2Р1~функцию

§ 3. Множества KdV и RLW и связанные с ними нелинейные преобразования и законы сохранения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точное решение методом гипергеометрических функций ряда задач математической и теоретической физики»

Введение

0.1. В данной диссертации рассматривается ряд вопросов, относящихся к теории гипергеометрических (г.-г.) функций от одной и двух переменных, к теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) и к некоторым т.н. «точно решаемым задачам» в математической и теоретической физике, а также к теории нелинейных волновых эволюционных уравнений (размерности 1 + 1). Такое объединение вопросов позволило по-новому взглянуть на некоторые известные факты из этих разделов математики и ее приложений и получить новые результаты.

Поэтому основная цель работы:

1) разработка метода г.-г. функций от одной и двух переменных и их новых свойств;

2) применение этого метода к некоторым разделам математики и ее приложений (а именно: к теории дифференциальных уравнений, к некоторым точно решаемым физическим задачам, где используются функции Шрёдингера и Дирака);

3) применение этого метода к ряду «модельных» задач в теории солитонов.

В связи с этим в главах 1-3 используются как известные, так и новые свойства функции Аппеля Е2(х, у), а в главе 4 — простые функциональные соотношения (в виде диаграмм) для смежных рЕч-функций от одной переменной. Отметим, кстати, что основным источником свойств функций Аппеля Е1-Е4, начиная с 1926 г. и до сих пор, является глубокая монография [31], а свойств г.-г. функций от одной переменной (к настоящему времени) — известные книги [1,32-36].

0.2. Результаты и доказательства в работе техничны, т.е. все они могут быть повторены, но некоторые из них «технически» трудоемки. В настоящем введении подобраны лишь основные результаты каждой из четырех глав.

В главе 1 даны представления для ряда Аппеля Е2(х,у) в окрестности О(С0) особой точки Со(1,1) и вблизи границы Г = гЮ2 его области сходимости Б2: |х| + |у| < 1 (см. рис. 1).

В § 1 содержатся вспомогательные сведения, необходимые для последующего изложения: определения функций Аппеля Е2 и Ез в виде двойных г.-г. рядов, интегральные представления типа Лапласа-Эрдёйи и Меллина-Бернса для Е2, преобразования П. Аппеля для Е2 и Е3, формулы приведения и рекуррентные соотношения для Е2, а также (кратко) определения функций П. Олссона Ер и Ерк и функций В. Еаргаро и Д. Онли (^1 и С^2 в виде г.-г. рядов от двух переменных.

Затем, в § 2, в хронологическом порядке даются некоторые известные

I

представления для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2(х, у) в О (Со): формулы П. Олссона (1965), Г. Хейне (1969), В. Гаргаро и Д. Онли (1971), К. Сада и Л. Райта (1976).

Далее, в § 3, доказывается (в теореме 1.3.1) новое свойство («зеркальная симметрия») функций Аппеля Р2(1,1) и Клаузена зР2(1) при замене ] |-> — ] — 1, ] £ 2, относительно центра ^ = —1/2 и при определенном наборе их параметров (см. рис. 2). Это свойство играет «ключевую роль» во многих последующих теоремах и приложениях (к физическим задачам), помогал обнаружить в них «скрытую» симметрию.

В § 4 сначала дается модификация указанных выше (в § 2) представлений для аналитического продолжения ряда Аппеля Р2 в Ц-окрестности («двухлучевая звезда» с центром в точке С0(1,1) и радиусом 8 Е (0,1), см. формулу (1.4.2)). Все эти модификации в пределе при 8 —У +0 точно совпадают с результатом теоремы 1.3.1, что доказывает их эквивалентность.

Затем, там же в § 4, доказывается, что: функция Аппеля Рз(1,1), как и Г2(1,1), также обладает свойством «зеркальной симметрии» и они взаимосвязаны между собой (см. теоремы 1.4.3-1.4.6).

В § 5 главы 1 получено точное аналитическое представление ряда Аппеля Р2(х, у) вблизи границы его области сходимости, т.е. на Г_: |х| + |у| = 1 — 8, 8 —+0, |х/у| < 1. Используя основную теорему 1.5.1, легко получить асимптотические разложения ряда Аппеля Р2(х,у) по параметру 8 = 1 — х — у —+0 любого порядка 0(^к), к ^ 1. Следствия из этой теоремы позволяют получить многие новые формулы приведения и рекуррентные соотношения для Р2(х,у) как на самой границе Г = сЮ2, так и, в частности, в граничной точке с0(1/2,1/2), которые можно затем использовать, например, в § 1 главы 3.

0.3. В главе 2 показана связь между одним классом г.-г. дифференциальных уравнений с тремя параметрами, многомерным уравнением Шрёдингера для БН-систем и мультипольными матричными элементами для БН-систем с новыми свойствами функции Аппеля Р2(х,у) в Ц-окрестности особой точки (1,1).

Так, в § 1 рассмотрено одно обобщенное г.-г. дифференциальное уравнение (2.1.1) с параметрами а, с и е. По параметру в, 2,з £ это уравнение «порождает» счётное множество (кратко, У-класс); его элементы У^с е V как «точки» можно разместить на графике симметрии функции Аппеля Р2(1,1) (см. рис. 2).

Дискретный спектр всех уравнений из У-класса Е = —А2/2 < 0, где

А = Z/(a+с/2 ) > О, не зависит от параметра s (см. теорему 2.1.1). Если сделать разбиение V-класса относительно «центра симметрии» s0 = —3/4, то имеем V = V_ U V+, где «точки» из V_ (s < s0) и V+ (s > s0) лежат на разных ветвях графика симметрии функции Аппеля F2(l, 1).

Показано, что асимптотика по параметру а (когда а —> со и А —> +0) «амплитуды» А решений уравнений из V_ и V+ разная (см. теорему 2.1.2), а именно: она имеет порядок ~ 1 /a2s+3/2 для V+ и 0(1) для V_ (т.е. не зависит от параметра а).

Далее с использованием метода ВКБ с заменой 1(1 + 1) ь->- (1 + 1/2)2 для уравнения Шрёдингера (s = 0) доказано, что данная замена фактически переводит «точку» Se (с s = 0) в другую «точку» с s = 1/2 (см. рис. 2). Как отмечается в [41] и [42], в этом случае «сохраняется» изоспектральность исходного оператора Шрёдингера и «улучшается» поведение радиальной функции Ф(г) в нуле и на бесконечности.

Третья модификация ВКБ-приближения для уравнения Шрёдингера (когда отбрасывается член 1(1+ 1)/2г2) сохраняет изоспектральность его оператора только при s = с/2 и s = 1 — с/2.

0.4. В § 2 рассмотрено многомерное уравнение Шрёдингера для DH-сис-тем, которое по параметру D ^ 1 «порождает» V'-счетное множество (см. теорему 2.2.1), которое вложено в V-класс, т.е. V' С V, если установить взаимосвязь между всеми параметрами этих множеств, полагая s = (3 — D)/2. Тогда «точки» DH-моделей (атомов водорода) также размещаются на графике симметрии функции Аппеля Рг(1,1) (см. рис. 2).

Если для V'-класса применить первую модификацию ВКБ-приближения с условием £ —> +0 (когда N fi), то получаем вырожденный V'-класс (см. теорему 2.2.2).

Если для комплексификации V'-класса сделать замены (2.2.3), то получаем V^-класс для случая непрерывного спектра (см. теорему 2.2.3), где постоянная |BD| — «амплитуда» вещественнозначной функции #o(kr) — имеет разное представление для четных и нечетных D ^ 1; этот факт, например, не отражен в [43,44].

0.5. В § 3 получены точные аналитические выражения для мультиполь-ных матричных элементов DH-систем, которые играют важную роль при решении многих кулоновских задач в пространствах разной размерности. Основная теорема 2.3.1 показывает, что исследование этих матричных элементов можно связать со свойствами функции Аппеля F2(x,y) в U-окрестности особой точки

^(к-10)(к-8)(к-6)х

(1,1) и обнаружить (тем самым) их «скрытую» симметрию.

Для сравнения можно привести очень громоздкие формулы Шерцера [75] для вычисления матричных элементов вида (nl|rk |.п1')зн, где 1 = п — 1,п—7 и k ^ — (1 + 1' + 2), которые даны в виде таблиц; например, имеем (с. 2833):

/ 71 М -л /пуг(2п + к~11)

(n, п — 7 | г |n,n-7)=(-j 2пГ(2п _ б)

х (к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)(к + 11)(к + 13) + + ¿(к - 8)(к - 6)(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)(к + 11)2п +

ZjVJ

+ |(к - 6)(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)(к + 9)2п(2п - 3) + + ^(к - 4)(к - 2)к(к + 3)(к + 5)(к + 7)2п(2п - 4)(2п - 5) +

0

1 5

+ у (к - 2)к(к + 3)(к + 5)2п(2п - 5)(2п - 6)(2п - 7) + + 6к(к + 3)2п(2п - б)(2п - 7)(2п - 8)(2п - .9) + + 2п(2п - 7)(2п - 8)(2п - 9)(2п - 10)(2п - 11)

«Аналогичным образом» проводятся вычисления матричных элементов вида (nl | гк | п1')зн с к £ [—8,5] в [68,69] иске [—16,13] в [73], а также в других работах [70-72].

0.6. В п. 3.3 доказано (см. теорему 2.3.2), что диагональные матричные элементы (uk)o имеют явную симметрию относительно точки ко = —3/2; поэто-

I

му их также можно «разместить» на графике симметрии функции Аппеля F2(l, 1) (см. рис. 2). Теорема 2.3.4 для величин (rk)o дает обобщение известного рекуррентного соотношения Пастернака-Крамерса (2.3.1) для (гк)зн- Этот результат связан с новыми свойствами функции Аппеля F2(l, 1) и Клаузена 3F2(1) (см. теорему 2.3.5).

0.7. В п. 3.4 на базе общей теоремы 2.3.1 получены явные выражения для дипольных (k = 1), квадрупольных (к = 2), октупольных (к = 3) матричных элементов и других высших мультиполей (к > 3) для DH-систем с учетом правил отбора (2.3.9) (см. теоремы 2.3.6-2.3.14). В частности, теорема 2.3.8 обобщает известную «формулу Гордона» (2.3.2) для ЗН-атома. В п. 3.6 приведено доказательство этой общей теоремы (см. теорему 2.3.17), которое основано на новой

I

формуле приведения для функции Аппеля F2(x,y) в U-окрестности особой точки (1,1)-

Далее, теорема 2.3.15 дает общее выражение для мультипольного матричного элемента вида (ni | rk | п1')б, где 1 — 1' = 0, =Fk. Доказательство этого резуль-

тата в п. 3.5 сводится к теореме 2.3.16, где даны новые формулы приведения для функции Аппеля F2(l,1).

0.8. В п. 3.7 (§ 3) рассмотрены .два тцпа ортогональности для функций fo = fNM(D,r) в L2(R+). Теорема 2.3.19 показывает, что ортогональность этих функций по параметрам N и fj, может быть связана с двумя новыми свойствами («ортогональности») функции Аппеля F2(x, у) в U-окрестности особой точки (1,1). Эта теорема обобщает для DH-систем известный результат для ЗН-атома, впервые полученный Пастернаком и Штернхаймером в 1962 г. [84], и дает ему новое объяснение. Пример 2.3.2 иллюстрируют эту теорему для D = 1,2 и 3.

0.9. В § 4 получены асимптотики (по параметру n' —S- оо) мультипольных матричных элементов для DH-систем (с учетом правил отбора), которые выражаются в общем случае через функции Горна Фг(х, у). Из общей теоремы 2.4.1 выведены явные формулы асимптотик для дипольных (к = 1), квадрупольных (к = 2) и октупольных (к = 3) матричных элементов; эти новые результаты, например, отсутствуют в литературе [39]—[66], [81], [82]. Примеры 2.4.1-2.4.3 иллюстрируют случаи к = 1,2 и 3 для ЗН-атома.

0.10. В главе 3 даны точные аналитические выражения для некоторых физических интегралов через функции Аппеля.F2(x,у), изучение которых также можно связать со свойствами функции Аппеля F2(x, у) в U-окрестности особой точки (1,1).

В § 1 рассмотрены слетеровские радиальные интегралы Rk(ll, 21; 12, 22), Gk(ll,22) и Fk(ll;22), которые часто называют соответственно общим, обменным и прямым (кулоновским) интегралами в теории атомных спектров [60,61,63]. Эти интегралы содержатся в «радиальной части» матричных элементов оператора энергии электростатического взаимодействия« Щ2 = l/ri2-

Общий интеграл Rk определяется в виде (3.1.2); он, согласно схеме (3.1.4), может быть преобразован в интегралы Gk и Fk- Если записать интегралы Rk, Gk и Fk в виде (3.1.10), их точное аналитическое выражение через функции Аппеля F2 дают соответственно теоремы 3.1.1-3.1.3.

Для сравнения отметим, что в литературе (см., например, [91,92]) общий интеграл Rk(ab, cd) представляется в виде пары пятикратных сумм, теоретическое изучение которых, очевидно, становится невозможным. Именно поэтому за основу вычисления общего интеграла Rk берется «численный эксперимент» на ЭВМ (с большим набором таблиц в зависимости от параметров этого интеграла); естественно, это приводит к весьма приближенным численным значениям

этих интегралов. Тем не менее, «визуальный обзор» этих таблиц позволил авторам в [92] найти несколько интересных «общих закономерностего (3.1.18) и (3.1.19) для интеграла Кк, но без объяснений. В работе автора [24] было доказано, что все эти и другие «закономерности» для интеграла Б* могут быть легко объяснены с учетом свойств функции Аппеля Р2(х, у) в Ц-окрестности особой точки (1,1) (см., например, теорему 3.1.6 и примеры из п. 1.3).

0.11. В п. 1.2 главы 3 дано (новое) альтернативное выражение для общего

' ' (з)

интеграла Ик через функции Аппеля Р2 и Лауричеллы Рд (см. теорему 3.1.5). Это представление для 11к получается, если внутренний интеграл в (3.1.2) свести к неполной гамма-функции Эйлера 7(х,у). В п. 1.3 даны примеры и некоторые соотношения для слетеровских интегралов.

0.12. В п. 1.4 главы 3 на основе общей теоремы 3.1.1 получены (точные) асимптотические формулы общего интеграла II к по одному и двум параметрам через функции Горна Ф1(х,у). Частные случаи теоремы 3.1.7 (см. примеры 3.1.14 и 3.1.15) согласуются с аналогичными случаями в [91].

0.13. В § 2 главы 3 дано обобщение слетеровских и марвиновских интегралов и их представления через функции Аппеля Р2. Как известно [63], марви-новские интегралы (3.2.1) и (3.2.2) содержатся в «радиальной части» матричных элементов операторов магнитных взаимодействия типа Их/51 и Н12'ч° (соответственно «спин-спин»и «спин-орбита»). Определение 3.2.1 дает (новый) «обобщенный слетеровский интеграл» типа Щ ' с ядром

д^.") = гк+/угк+^ Очевидно, что Т^0'1^ = Кк — обычный слетеровский интеграл (3.1.2). Определение (3.2.2) дает (новый) «общий слетеровский интеграл» типа с ядром ; в част-

ности, имеем: = 4 = = Ъ • (2к + 1)/(г* - г*) и т.д. Эти два

типа интегралов впервые введены в [24,27], для них также можно использовать схему преобразований (3.2.14), чтобы получить соответствующие «обменные» и «кулоновские» интегралы.

Теорема 3.2.1 дает точное аналитическое выражение для коэффициента через функции Аппеля Р2. Как видно, она является более общей, чем теорема 2.1.1 для коэффициента Ь^* обычного интеграла Як-

В п. 2.4 главы 3 дан (новый) «обобщенный марвиновский интеграл» Б^'^ с ядром (3.2.20); в частности, имеем:

о(0Д) = з0к

— обычный (второй) марвиновский интеграл типа (3.2.2). Если для интеграла использовать схему преобразований (3.2.21), то можно получить соответствующие «обменные» и «кулоновские» интегралы (тем самым свести их вычисление к теореме 3.2.1). Теоре-

0.15. В § 3 главы 3 рассматриваются радиальные матричные элементы с дираковскими функциями £ и g в теории тонкой (ТС) и сверхтонкой (СТС) структур водородоподобных систем. Хорошо известно, что эти релятивистские интегралы (за исключением простейших случаев, например, «круговых орбита-лей») вычисляются приближенно [102-104,112,113] с использованием аппроксимации (3.3.25) через функции Бесселя. В результате чего для «согласования» теоретических и экспериментальных данных в теории тонкой и сверхтонкой структур вводятся т.н. «релятивистские поправочные множители» Г, II, Т, в и Б [102-104].

В данной работе все релятивистские интегралы типа (3.3.6)—(3.3.9) представляются точно аналитически через функции Аппеля Р2(х, у) (и поэтому отпадает необходимость учитывать указанные выше «поправки»).

В п. 3.2 дается (необходимая ниже) вспомогательная информация: в п. 3.2 (2) — рекуррентные соотношения для функций Р2 и зБ^ для j = 1 ± 1/2; в п. 3.2 (3) дается аналитическое представление функции Аппеля Р2(х, у) в «полюсной области» гамма-функции Эйлера Г^), < 0 нецелое. В этой области функция Аппеля представляется в виде «неориентируемого» ряда типа Р2(х, у) (см. лемму 3.3.2).

В п. 3.3 даны точные аналитические выражения для диагональных матричных элементов типа (гк)цц через функции Аппеля Р2(1,1) и Клаузена зР2(1). Доказано, что эти матричные элементы имеют «скрытую» симметрию относительно точки ко = —3/2, которая связана со свойством «зеркальной симметрии» функции Аппеля Р2(1,1) (см. теорему 3.3.1 и рис. 2).

В п. 3.4 даны точные аналитические выражения для диагональных матричных элементов типа (§|гк|Г)щ1 через функции Аппеля Р2(1,1) и Клаузена 3Р2(1). Доказано, что эти матричные элементы также имеют «скрытую» симметрию относительно точки ко = —1/2.

0.16. В п. 3.5 рассмотрены недиагональные матричные элементы двух типов (3.3.8) и (3.3.9). Вычисление этих матричных элементов вызывает наибольшие трудности при исследовании эффектов в теории ТС и СТС. Для этих матричных элементов получены точные аналитические представления через функции Аппеля Р2(х, у), когда Req > 0, и через Р2(х, у), когда < 0 нецелое.

В п. 3.6 (для сравнения) приведены некоторые наиболее часто употребляемые релятивистские интегралы в ТС и СТС-взаимодействиях, которые могут быть легко вычислены с помощью полученных теорем. Кроме того, рассмотрен

также кулоновский релятивистский интеграл (3.3.26), для которого в случае «круговых орбиталей» найдено точное выражение (3.3.27). В работе автора [25, § 16] рассмотрен общий случай интеграла (3.3.26) с ядром |г — ггде <т > 1.

0.17. В главе 4 впервые предлагается новый метод исследования некоторых «модельных» уравнений в теории солитонов с помощью г.-г. функций pFq-типа

I

[123-125].

Сначала, в § 1, показано, что такие известные «модельные» уравнения, как нелинейное уравнение Шредингера (NLS), уравнение с/?4, уравнение Бюргер-са (Brg) и уравнение Хаксли (Hxl) могут быть разрешены через iFo-функции. Доказано, что все эти уравнения «зарождаются» из «двухточечных» диаграммных соотношений этих функций, если их решения записать в виде у(х, t) = ш iF0(a; —; h). Тогда из простых алгебраических уравнений легко определяются основные характеристики уединенных волн: со > 0 — «амплитуда» волны, v > 0 — ее скорость, где а — параметр, определяющий «модификацию» волны, h(z) — «внутренняя» функция для iFo-функции, определяющая «профиль» волны.

В § 2 показана разрешимость уравнения «синус-Гор дона» (SG) через

/

гРх-функцию. Показано, что если для SG-уравнения в форме

у"-у = Ц1+Ь)/(1-Ь)2,

где ш = 4ez, h. = — e2z, z = k(x — vt), решение записать в г.-г. виде (4.2.2), то это уравнение можно «воссоздать» из «трехточечного» диаграммного соотношения (4.2.3).

В § 3 впервые рассмотрены два новых множества солитоно-подобных уравнений KxlV и RLW и связанные с ними нелинейные преобразования и законы сохранения.

В п. 3.1 доказаны три основные теоремы для этих множеств. Из теорем 4.3.1 и 4.3.2 следует, что множества KdV и RLW содержат уравнения типа KdV(r, а) и RLW(т. а), где т ^ 1 определяет порядок старшей производной по t в этих уравнениях, а параметр а > 0 — их «модификацию». Эти уравнения «обобщают» такие известные уравнения, как KdV, mKdV, BSQ, mBSQ, RLW к т.д. Теорема 4.3.3 показывает, что уравнения KdV(r, а) и RLW(r, а) «зарождаются» из «двухточечного» диаграммного соотношения для xFo-функции. Как было сказано выше, в этом случае (также) и и v находятся из простых алгебраических уравнений.

В п. 3.2 рассмотрены нелинейные преобразования Миуры и Гарднера и законы сохранения для KdV(l,а)-уравнения. Доказано, что преобразование Ми-

уры (4.3.6) «переводит» KdV-уравнение в mKdV-уравнение, только если в уравнении (4.3.1) выполняется условие ß + 35 = 0.

Аналогично, преобразование (4.3.10) «переводит» RLW-уравнение в mRLW-уравнение, только если в уравнении (4.3.2) выполняется условие ß+'SS/j, — 0, где ¡1 = -zx/zt = 1/v > 0.

Для того чтобы получить «локальные» законы сохранения для KdV(l,a) и RLW(l,a) уравнений, надо соответственно применить преобразование Гарднера (4.3.8) и его «аналог» — преобразование (4.3.13). В связи с этим отметим, что теоремы 4.3.4 и 4.3.5 для RLW(l,a) уравнения получены впервые в работе автора [125].

Замечание. Нумерация всех формул (а также теорем, лемм, следствий, определений и примеров) в каждом параграфе двойная (номер параграфа.номер формулы); если делается ссылка на другую главу, то впереди еще добавляется «номер» этой главы.

Результаты главы 1 данной диссертации опубликованы в работах автора [15-18], главы 2 — в [19-22], главы 3 — в [23-29], главы 4 — в [123-125].

Результаты диссертации докладывались на кафедральных научно-исследовательских семинарах: на механико-математическом, физическом и ВМиК факультетах МГУ им. М. В. Ломоносова, в Белорусском и Донецком государственных университетах, в Отделе математической физики и в Отделе статистической механики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. О результатах диссертации делались доклады на конференциях: 1) Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций (математические чтения памяти М. Я. Суслина) в Саратовском госпединституте им. К. А. Феди-на (1989); 2) ежегодные «Герценовские чтения» в РГПУ (г. Санкт-Петербург) в апреле 1989 Г.-1991 г.; 3) совместные заседания семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества в январе 1995 г. [123]; 4) Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» в МГУ (УМН. 1996. Т. 51. № 5. С. 197). Кроме того, по тематике диссертации автор был сору-ководителем «Договора о научно-техническом содружестве между НИИЯФ МГУ и БГТУ» в течение трех лет (1989-1991).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Тарасов, Вячеслав Федорович, 1998 год

Литература

[1] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. — М.: Наука, 1965.

[2] Olsson Р. О. М. Solutions in a special case of'the partial differential equations associated with the Appell function F2 // Arkiv for Fysik. — 1964. — Band 25, № 34. —P. 437-480.

[3] Olsson P. О. M. The Laplace transform of a product of two Whittaker functions // Arkiv for Fysik. — 1965. — Band 28, № 11. —P. 113-120.

[4] Olsson P. О. M. Certain solutions of the partial differential equations associated with Appell's hypergeometric function F2 // Arkiv for Fysik. — 1965. — Band 29, № 20. —P. 285-291.

[5] Olsson P. О. M. A hypergeometric function of two variables of importance in perturbation theory. I // Arkiv for Fysik. — 1965. — Band 30; № 14. —P. 187-191.

[6] Olsson P. О. M. A hypergeometric function of two variables of importance in perturbation theory. II // Arkiv for Fysik. — 1965. — Band 29, № 38. —P. 459-465.

[7] Olsson P. О. M. A higher order solution of the partial differential equations associated with Appell's hypergeometric function F2(a, bi, b2, ci, c2; x1; x2) // Arkiv for Fysik. — 1967. — Band 33, № 30. —P. 4331442.

[8] Almstrom H., Olsson P. О. M. Analytical properties of certain matrix elements // J. Math. Phys. — 1967. — V. 8. — P. 2013-2021.

[9] Olsson P. О. M. On the integration of the differential equations of five-parametric double-hypergeometric functions of second order //J. Math. Phys. — 1977. — V. 18, № 6. — P. 1285-1294.

[10] Hahne G. E. Analytic continuation of Appell's hypergeometric series F2 to the vicinity of the singular point x = 1, у = 1 // J. Math. Phys. — 1969. — V. 10, № 3. — P. 524-531.

[11] Gargaro W. W., Onley D. S. Matrix elements of relativistic electrons in a Coulomb field // J. Math. Phys. — 1970. — V. 11, № 4. — P. 1191-1197.

[12] Gargaro W. W., Onley D. S. Real and virtual radiation electron-nucleus scattering // Phys. Rev. C. — 1971. — V. 4, № 4. — P. 1032-1043.

[13] Sud К., Wright L. E. A new analytic continuation of Appell's hypergeometric series F2 // J. Math. Phys. — 1976. — V. 17, № 9. — P. 1719-1721.

[14] Sud K., Wright L. E., Onley D. S. Radial integrals with finite energy loss for Dirac-Coulomb functions // J. Math. Phys. — 1976. — V. 17, № 12. — P. 2175-2181.

[15] Тарасов В. Ф. Некоторые свойства функции Аппеля F2 // Тезисы сообщ. Первой Всероссийской школы по основаниям математики и теории функций (Математические чтения памяти М. Я. Суслина). — Саратов: Госпединститут им. К. А. Федина, 1989. — С. 116.

[16] Тарасов В. Ф. Некоторые представления рядов функций Аппеля Fi и F2 вблизи границ их областей сходимости и в окрестности особой точки (1,1), свойство зеркальной симметрии функции Аппеля F3(l, 1) // Деп. в ВИНИТИ 5.4.91, № 1483-В91. — 61 с.

[17] Тарасов В. Ф. Зеркальная симметрия функций Аппеля F2 и F3 в особой точке (1,1)// Успехи мат. наук. — 1993. — Т. 48, № 3. — С. 203-204.

[18] Тарасов В. Ф. Представления для ряда Аппеля F2(x,y) в окрестности особой точки (1,1) и вблизи границы его области сходимости // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, № 2. — С. 669-689.

[19] Тарасов В. Ф. Один класс гипергеометрических дифференциальных уравнений с тремя параметрами и симметрия функции Аппеля F2(l, 1) // Успехи мат. наук. — 1995. — Т. 50, № 1. — С. 211-212.

[20] Тарасов В. Ф. Многомерное уравнение Шрёдингера для DH-систем // Успехи мат. наук. — 1995. — Т. 50, № 3. — С. 165-166.

[21] Tarasov V. F. Multipole matrix elements for DH-systems and their asymp-totics // Int. J. Modern Phys. B. — 1995. — V. 9, № 20. — P. 2699-2718.

[22] Тарасов В. Ф. Мультипольные матричные элементы и их асимптотики // Деп. в ВИНИТИ 12.4.89, № 2361-89. — 121 с.

[23] Тарасов В. Ф. Вычисление радиальных слетеровских интегралов с помощью функций Аппеля // Известия АН КазССР, серия физ.-матем. — 1980. — № 6. — С. 77-80.

[24] Тарасов В. Ф. Радиальные слетеровские интегралы с дискретными параметрами, их асимптотики и численные значения // Деп. в ВИНИТИ 2.11.89, № 6650-В89. — 145 с.

[25] Тарасов В. Ф. Некоторые физические функционалы с радиальными функциями Шрёдингера и Дирака и симметрия функции Аппеля F2 в особой точке (1,1) // Деп. в ВИНИТИ 20.2.92, № 583-В92,— 183 с.

[26] Tarasov V. F. Hydrogenic Slater radial integrals with discrete parameters and their asymptotics // Modern Phys. Lett. B. — 1994. — V. 8, № 23. — P. 1403-1416.

[27] Tarasov V. F. The generalization of Slater's and Marvin's integrals and their representations by means of Appell's functions F2(x, y) // Modern Phys. Lett. B. — 1994. — V. 8, № 23. — P. 1417-1426.

[28] Tarasov V. F. Radial matrix elements with Dirac's functions in the theory of fine and hyperfine structures in hydrogen-like systems // Int. J. Modern Phys. B. — 1996. — V. 10, № 20. — P. 2553-2576.

[29] Тарасов В. Ф. Интегральное преобразование Коши-Меллина для T(z) и его применение // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4, № 1. — С. 467-470.

[30] Miller W., jr. Symmetry and separation of variables. — London: Addison-Wesley PC, 1977 (with a Foreword by Richard Askey, p. XII).

[31] Appell P., Kampe de Feriet M. J. Functions hypergeometriques et hyper-spheriques. Polynomes d'Hermite. — Paris: Gauthier-Villars, 1926.

[32] Slater L. J. Generalized hypergeometric functions. — Cambridge Univ. Press, 1966.

[33] Exton H. Handbook of hypergeometric integrals. — Preston: Wiley, 1976.

[34] Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. —М.: ИЛ, 1963.

[35] Уиттекер Э. Е., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1963.

[36] Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.

[37] Нгуен Тхань Хай. Асимптотические разложения рядов F2, Gi, G2 и Н4 вблизи границ областей сходимости и их значения на границе // Известия АН БССР, серия физ.-матем. 1987. (Деп. в ВИНИТИ № 5355-В87. — 24 с.)

[38] Lai С. On the sum and reducible case of a certain Appell's function // Math. Stud. (India). — 1982. — V. 50. — P. 268-271.

[39] Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. — М.: Физматгиз, 1960.

[40] Фок В. А. Начала квантовой механики. — М.: Наука, 1976.

[41] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). — М.: Мир, 1965.

[42] Фреман Н., Фреман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967.

[43] Nieto M. M. Hydrogen atom and relativistic pi-mesic atom in N-space dimensions // Amer. J. Phys. — 1979. — V. 47, № 12. — P. 1067-1072.

[44] Березин Ф. А., Шубин M. А. Уравнение Шрёдингера. — M.: МГУ, 1983.

[45] Аллилуев С. П. К вопросу о связи «случайного» вырождения со «скрытой» симметрией системы // ЖЭТФ. — 1957. — Т. 33, № 1. — С. 200-203.

[46] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. — М.: Наука, 1966.

[47] Loudon R. One-dimensional hydrogen atom // Amer. J. Phys. — 1959. — V. 27. — P. 649-655.

[48] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. M. Квантовая механика. — М.: Физматгиз, 1963.

[49] Гостев В. Б., Гостев И. В., Френкин А. Р. Одномерная кулоновская задача. Дискретный спектр // Вестн. Моск. ун-та, серия 3. — 1987. — Т. 28, № 5. — С. 77-79.

[50] Гостев В. Б., Перес-Фернандес В. К., Френкин А. Р., Чижов Г. А. Одномерный атом водорода // Вестн. Моск. ун-та, серия 3. — 1989. — Т. 30, № 4. — С. 22-25.

[51] Boya L. J., Kmiecik M., Böhm A. Hydrogen atom in one dimension // Phys. Rev. A. — 1988. — V. 37, № 9. — P. 3567-3569.

[52] Lapidus I. R. Compressed one-dimensional "hydrogen atom" // Amer. J. Phys. — 1989.—V. 57.— P. 281.

[53] Zaslow В., Zandler M. E. Two-dimensional analog to the hydrogen atom // Amer. J. Phys. — 1967. — V. 35, № 12. —.P. 1Ц8-Ц19.

[54] Cisneros A., Mclnosh H. V. Symmetry of the two-dimensional hydrogen atom // J. Math. Phys. — 1969. — V. 10, № 2. — P. 277-286.

[55] Englefield M. J. Group theory and the Coulomb problem. — New York: Wiley, 1972.

[56] Chen A. C. Hydrogen atom as a four-dimensional oscillator // Phys. Rev. A. — 1980. — V. 22, № 2. — P. 333-335.

[57] Doren D. J., Herschbach D. R. Interdimensional degeneracies, near degeneracies and their applications // J. Chem. Phys. — 1986. — V. 85, № 8. — P. 4557-4562.

/

[58] Cizek J., Finitte F. N-dimensional hydrogen atom in an external spherically symmetric field // Theor. Chim. Acta. — 1987. — V. 72. — P. 497-506.

[59] Rose S. K. Exact solution of the nonrelativistic Schrodinger equation for the central screened Coulomb potential V(r) = — А/г + о-Дг+ /3) in N-dimensional // Hadronic J. — 1993. — V. 16, № 2. — P. 99-105.

[60] Кондон E., Шортли Г. Теория атомных спектров. — М.: ИЛ, 1949.

[61] Slater J. С. Quantum theory of atomic structure. V. 1, 2. — New York: McGraw-Hill, 1960.

[62] Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Т. 1-2. — М.: Мир, 1974.

/

[63] Юцис А. П., Савукинас А. Ю. Математические основы теории атома. — Вильнюс: Минтис, 1973.

[64] Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. — М.: Наука, 1979.

[65] Джадд Б., Вайборн Б. Теория сложных атомных спектров. — М.: Мир, 1973.

[66] Fraga S., Karwowski J., Saxena К. M. S. Handbook of atomic data. — New York: ESPC, 1976.

[67] Каразия Р. Введение в теорию рентгеновских и электронных спектров свободных атомов. — Вильнюс: Минтис, 1987.

[68] Bockasten К. Polarizability of Mg+2 derived from hydrogen-like terms of Mg II // Phys. Rev. — 1956. — V. 102, № 3. — P. 729-730.

[69] Bockasten K. Mean values of powers of the radius for hydrogenic electron orbits // Phys. Rev. A. — 1974. — V. 9, № 3. — P. 1086-1089.

[70] Blanchard P. A new recurrence relation for hydrogenic radial matrix elements // J. Phys. B. — 1974. — V. 7, № 9. — P. 993-1005.

[71] Deutsch С. Polarization model for the excited states of neutral Helium // Phys. Rev. A. — 1970. — V. 2, № 1. — P. 43-49.

[72] Starrus W. G., Hessels E. A., Arcuni P. W., Lundeed R. Laser spectroscopy of (V = 0, R = 1) 10F and (V = 0, R = 1) 10G states-of H2: a test of the polarization model // Phys. Rev. A. — 1988. — V. 38, № 1. — P. 135-151.

[73] Drake G. W. F., Swainson R. A. Expectation values of rp for arbitrary hydrogenic states // Phys. Rev. A. — 1990. — V. 42. — P. 1123-1126.

[74] Marxer H. Exact correspondence relationship for the expectation values of r-k for hydrogenlike states // Phys. Rev.'A. — 1991. — V. 44, № 3. — P. 1543-1548.

[75] Sherzer J. Evaluation of matrix elements (nl|r^|nl') for arbitrary ß // Phys. Rev. A. — 1991. — V. 44, № 5. — P. 2832-2835.

[76] Desclaux J. P. Relativistic Dirac-Fock expectation values for atoms with Z = 1 to Z = 120 // Atom Data к Nucl. Data Tables. — 1973. — V. 12, № 4. — P. 311-406.

[77] Ivanova E. P., Gulov A. V. Theoretical investigation of the Neon isoelectronic sequence // Atom Data к Nucl. Data Tables. — 1991. — V. 49, № 1. — P. 1-64.

[78] Waller I. Der Starkeffect zweiter Ordnung bei Wasserstoff und die Rydbergkor-rektion der Spektra von He und Li+ /•/ Zeit/ für Physik. — 1926. — B. 38, № 8. — S. 635-646.

[79] Van Vleck J. H. A new method of calculating the mean value of r-s for Keplerian systems in quantum mechanics // Proc. Roy. Soc. London. A. — 1934. — V. 143, № 850. — P. 679-681.

[80] Pasternack S. On the mean value of rs for Keplerian systems // Proc. Nat. Acad. Sci. — 1937. — V. 23. — P. 91-94. ,

[81 [82 [83

[84

[85

[86 [87 [88

[89 [90

[91

[92

[93

Kramers H. A. Quantum mechanics. — Amsterdam: Nord-Holland, 1957.

Мессиа А. Квантовая механика. Том 1. — M.: Мир, 1978.

Gordon W. Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom // Annalen der Physik. — 1929. — B. 2, № 5. — S. 1031-1056.

Pasternack S., Sternheimer R. M. An orthogonality of hydrogen-like radial functions // J. Math. Phys. — 1962. — V. 3, № 6. — P. 1280.

Feneuille S. Méthode de factorisation et régies de sélection sur certaines intégrales radiales hydrogénoides // C. R. Acad. Se. Paris. — 1970. — V. B271. — P. 992-994.

Armstrong L., jr. Group properties of radial wave-functions // J. de Physique. — 1970. — V. C4, № 11-12. — P. 4-17.

Armstrong L., jr. Group properties of hydrogenic radial functions // Phys. Rev. A. — 1971. — V. 3, № 5. — P. 1546-1550.

Swamy N. V. V. J., Kulkarni B. G., Biedenharn L. C. Evaluation of certain radial Coulomb integrals using symmetry properties of the Coulomb field // J. Math. Phys. — 1970. — V. 11, № 4. — P. 1165-1171.

Racah G. Group theory and spectroscopy. — Jerusalem: Univ. Press, 1951.

Левинсон И. Б., Никитин А. А. Руководство по теоретическому вычислению интенсивностей линий в атомных спектрах. — Л.: ЛГУ, 1962.

Гурчумелия А. Д., Сафронова У. И. Современные методы квантовой механики многих тел и теория атома. — Тбилиси: ТГУ, 1983.

Butler P. H., Minchin P. E. H., Wybourne В. G. Tables-of hydrogenic Slater radial integrals // Atomic Data. — 1971. — V. 3. — P. 153-168.

Marvin H. H. Mutual magnetic interactions of electrons // Phys. Rev. — 1947. — V. 71, № 2. — P. 102-110.

Варшалович Д. А., Москалев A. H., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.

[95] Юцис А. П. Уравнения Фока в многоконфигурационном приближении // ЖЭТФ. — 1952. — Т. 23, № 2. — С. 129-139.

[96] Юцис А. П., Цюнайтис Г. К. Самосогласованное поле Фока для конфигурации ls22p2 атома бериллия // ЖЭТФ. — 1952. — Т. 23, № 5. — С. 512-516.

[97] Юцис А. П., Шугуров В. К., Цюнайтис Г. К. Триплетное расщепление термов атомов с двумя валентными 2р-электронами // ЖЭТФ. — 1952. — Т. 23, № 5. — С. 517-524.

[98] Шугуров В. К., Визбирайте Я. И., Юцис А. П. Триплетное расщепление термов атома углерода в конфигурации ls22s22p3p // ЖЭТФ. — 1953. — Т. 24, № 3. — С. 265-268.

[99] Cowan R. D. The theory of atomic structure and spectra. — Berkeley: Univ. of California, 1981.

[100] Dirac P. A. M. The quantum theory of the electron. I // Proc. Roy. Soc. A. — 1928. — V. 117. — P. 610-624.

[101] Dirac P. A. M. The quantum theory of the electron. II // Proc. Roy. Soc. A. — 1928. — V. 118. — P. 351-361.

[102] Schwartz C. Theory of hyperfine structure. I // Phys. Rev. — 1955. — V. 97, № 2. — P. 380-395.

[103] Schwartz C. Theory of hyperfine structure. II // Phys. Rev. — 1957. — V. 105, № 1. — P.173-183.

[104] Armstrong L., jr. Theory of hyperfine structure of free atoms. — New York: Wiley, 1971.

[105] Соколов А. А., Тернов И. M. Релятивистский электрон. — М.: Наука, 1974.

[106] Bodwin G. Т., Yennce D. R. Some recoil corrections to the hydrogen hyperfine spliting // Phys. Rev. D. — 1988. — V. 37, № 2. — P. 498-523.

[107] The hydrogen atom. Proceedings of the symposium, held in Pisa, Italy, June 30-July 2, 1988 / eds. G. F. Bassani, M, Inguscio and T. W. Hansch. — Berlin: Springer-Verlag, 1989.

[108] Pross H.-J., et al. Lamb-shift measurement in hydrogenic phosphorus // Phys. Rev. A. — 1993. — V. 48, № 3. — P. 1875-1892.

[109] Kühl Т. Exotic atoms — a new scope // Hyperfine Interactions. — 1993. — V. 78. — P. 221-230.

[110] Riis E., et al. Lamb-shifts and hyperfine structure in 6Li+ and 7Li+: theory and experiment // Phys. Rev. A. — 1994. — V. 49, № 1. — P. 207-220.

[111] Jin W. G., et al. Isotope shift and hyperfine structure in Lil and WI // Phys.

Rev. A. — 1994. — V. 49, № 2. — P. 762-769.

/

[112] Браун M. А., Гурчумелия А. Д., Сафронова У. И. Релятивистская теория атома. — М.: Наука, 1984.

[113] Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Наука, 1977.

[114] White Н. Е. Pictorial representation of the Dirac electron cloud for hydrogen-like atoms // Phys. Rev. — 1931. — V. 38, № 3. — P. 513-520.

[115] Cauchy L.-A. Exercices de Mathématiques. Vol. 2. — Paris: de Bure freres, 1827. — P. 91-92.

[116] Meilin Hj. Abriß einheitichen Theorie der Gamma- und der hypergeometrischen Funktionen // Math. Annalen. — 1910. —V. 68. — P. 305-337.

[117] Saalschütz L. Bemerkungen über die Gammafunctionen mit negativen Argumenten // Zeit, für Math, und Physik. — 1887. — V. 32, № 1-6. — P. 246-250.

[118] Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.

[119] Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны: методы решения и исследования нелинейных волновых эволюционных уравнений. — М.: Мир, 1985.

[120] Додд Е., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. ,

[121] Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. — М.: Мир, 1985.

[122] Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский JL П. Теория солитонов. Метод обратной задачи / под ред. С. П. Новикова. — М.: Наука, 1980.

[123] Тарасов В. Ф. Разрешимость некоторых нелинейных волновых эволюционных уравнений через pFq-функции // Успехи матем. наук. — 1995. — Т. 50, № 4. — С. 116.

[124] Тарасов В. Ф. Разрешимость некоторых точно решаемых солито-но-подобных уравнений через гипергеометрические функции // Фундаментальная и прикладная математика. — 1996. — Т. 2, № 4. — С. 1247-1255.

[125] Tarasov V. F. The KdV и RLW sets // Int. J. Modern Phys. B. — 1995. — V. 9, № 20. — P. 2689-2698.

[126] Burgers J. M. The nonlinear diffusion equation. — Dordrecht: Reidel, 1974.

[127] Huxley A. F. Muscle structure and theories of contraction // Progress in Biophysics and Biophysical Cemistry. —- 1957. — V. 7. — P. 255-318.

[128] Филиппов А. Т. Многоликий солитон. — M.: Наука, 1990.

[129] Позняк Э. Г., Попов А. Г. Уравнение синус-Гордона: геометрия и физика. — М.: Знание, 1991.

[130] Korteweg D. J., de Vries G. On the change of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. — 1895. — V. 39. — P. 422-443.

[131] Gardner C. S., Greene J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. — 1967. — V. 19. — P. 1095-1097.

[132] Miura R. M., Gardner C. S., Kruskal M. D. Korteweg-de Vries equation and generalisations. II. Existence of conservation laws and constants of the motion // J. Math. Phys. — 1968. — V. 9. — P. 1204-1209.

[133] Peregrine D. H. Calculation of the development of an undular bore //J. Fluid. Mech. — 1966. — V. 25. — P. 321-330.

[134] Benjamin T. B. The stability of solitary waves // Proc. Roy. Soc. London A. — 1972. — V. 328. — P. 153-183.

[135] Лэкс П. Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны // Математика. — 1969. — Т. 13, № 5. — С. 128-150.

[136] Солитоны в действии / под ред. К. Лонгрена и Э. Скотта. — М.: Мир, 1981.

[137] Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989.

[138] Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. — М.: Наука, 1985.

I

[139] Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1963.

[140] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981.