Точное эволюционное уравнение и кинетика квантовых динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Казарян, Арменак Робертович

• Казарян, Арменак Робертович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казарян, Арменак Робертович

§I. Введение. §

2. Обобщённое Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних. §

3. Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона. §

4. Кинетика геликоидального движения. §

5. Стремление к равновесию в электрон-фононной системе §

6. Функции Грина в теории полярона

Заключение. Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точное эволюционное уравнение и кинетика квантовых динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем»

Основной задачей статистической механики является исследование систем многих взаимодействующих частиц, прежде всего последовательное микроскопическое описание фазовых переходов, эволюции и кинетики динамических систем. При последовательном исследовании макроскопических свойств многочастичных систем на основе микроскопического описания, исходным пунктом должны являться управляющие динамические уравнения или уравнение Лиувилля. Однако, зачастую для описания конкретных характеристик и свойств многочастичных систем не требуется знание полной функции распределения и исследования уравнения Лиувилля, а достаточко работать в рамках сокращённого описания, на основе кинетических уравнений для S -частичных функций распределения. При этом необходимо проводить математические исследования условий, при которых переход к сокращённому описанию является корректным. Такой подход впервые был развит в фундаментальной работе Н.Н.Боголюбова Ell, где была показана эквивалентность уравнения Лиувилля и цепочки уравнений для 5 -частичных функций распределения, были найдены и исследованы условия (принцип ослабления корреляций), прл которых первое уравнение цепочки Боголюбова переходит в кинетическое уравнение Больцмана 2j для одночастичной функции распределения. Первоначальный вывод кинетического уравнения, данный саглим Больцманом, носил полуинтуитивный характер и зиждился на гипотезе о вероятном числе столкновений. При это&! предполагалось, что все эффекты, связанные с корреляциями частиц, пренебрежимо малы. Естественно, что вопрос о рамках применимости кинетического уравнения Больцмана в таком подходе оставался открытым. В работе ZlJ показано, что для не очень малых интервалов времени, значительно больших времени столкновения, происходит синхронинизация функций распределения, заключающаяся в том, что все частичные функции распределения выше первой, начинают зависеть от времени только через одночастичную функцию распределения, взятую в тот же момент времени. Т.е. показана возможность сокращённого описания неравновесных процессов. Кроме того в рамках данного подхода, основанного на основньлс законах механики и принципе ослабления корреляций предложена схема нахождения поправок к уравнению Больцмана [3, менимости. По прошествии достаточно большого времени (времени релаксации) каж,дая изолированная макроскопическая система переходит в состояние статистического равновесия. Т.е.объект исследования равновесной статистической механики равновесное состояние является частным предельным состоянием макроскопической системы. Из общих соображений ясно, что описание и исследование предельного равновесного состояния должно быть значительно проще, чем описание и исследование тех процессов, в результате которых достигается это состояние. Однако, уже получение строгих и адекватных результатов в равновесной теории оказалось довольно сложной задачей, потребовавшей в каждом конкретном случае развитие мощных математических методов [5-12]. При этом сложнейшим оказался уже вопрос о существовании функции свободной энергии в термодинамическом пределе (/сх» ,у_>< i A//V-CoHJ i непосредственно связанный с устойчивостью материи £5, б, 1 2 1 7 Сложность этих задач связана как со сложностью гамильтонианов реальных систем, так и с самой проблемой вычисления термодинамических потенциалов и термодинамических средних по заданному гамильтониану. Эти обстоятельства вынуждают идти на упрощение ситуации. 4 и соответственно критерии его приВыделяя самые существенные особенности реальной системы и пренебрегая многочисленными деталями, по полному гамильтониану системы строится упрощённый гамильтониан, который описывает модель данной системы. Например, модельный гамильтониан теории сверхпроводимости (модель БКШ Боголюбова Zld-ZOj) получается редукцией из более общего гамильтониана Шрёлиха, гамильтониан Дикке f23j из полного гамильтониана, описывающего взаимодействие вещества с излучением. Интерес к модельным системам /обусловливается тем, что их изучение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач статистической механики и, в частности, для обоснования приближённых методов. Например, точное решение двумерной модели Изинга 24 29] сыграло большую роль при построении теории фазовых переходов и критических явлений, а точное решение модели БКШ Боголюбова теории сверхпроводимости дало значительный толчок дальнейшему развитию этой теории р 1 22]. Одной из интересных моделей квантовой теории поля, физики твёрдого тела и статистической физики является модель полярона [ЗО ЗЗ] электрона, движущегося в ионном кристалле с сопутствующей ему поляризацией. Повышенный интерес к этой модели обусловлен тем, что здесь оказались применимы методы квантовой теории поля [j34, 35]. При этом круг возникающих за,цач для этой модели, например нахождение эффективной массы квазичастицы, определение подвижности полярона |73б] и т.д. не поддаются решению в рамках строгого подхода. Следует отметить, что рассмотрение данной модели в рамках неравновесной статистической физики £37 39} представляет как большую сложность, так и большой интерес. Большой интерес представляет строгий подход в неравновесной статистической механике, где получение точных результатов § 2. Обобщенное Боголюбовское эволюционное уравнение для двухвременных средних. Рассмотрим динамическую систему S взаимодействзщую с бозонным полем21» причём модельный гамильтониан полной системы [OjZj имеет вид здесь H(S) гамильтониан системы S» второй член описывает энергию свободного бозонного поля, а третий член гамильтониан взаимодействия. Уравнение движения для динамической переменной -(S ет вид имес учётом (2.1) уравнение (2.2) запишется как {кФШФА]]-4ФШд-ЛФ>5Щ Обозначим через Я) статистический оператор системы (2.3) (S,Zj в момент времени причём справедливо соотношение вида: 9:)to PCS) -юс), и в момент времени zf Здесь Ю() (2.4) описывает бозонное т.е. требование отсутствия взаимодействия между подсистемами поле, находящееся в состоянии статистического равновесия: a P S статистический оператор системы (5) Умножив обе части уравнения (2.3) на 0(Згс)Юо операцию ffp получим справа и взяв где (5c) произвольная операторная функция. Первый член правой части содержит только переменные динамической подсистемы S в то время как остальные члены явно содержат операторы бозонного поля. Для их исключения рассмотрим уравнения движения, которым они удовлетворяют: Принимая во внимание начальные условия ({;о)-вк получим Sff-i:) l II -bo Подставляя (2.7) в уравнение (2.5), получим VSp (МИМ) и S(i) Лемма. ycsy, t\tii,s,1\f(s-yju. (2.8) Для того чтобы исключить из правой части бозе-операторы Sjc.(-b) воспользуемся следующей леммой. и vCir) Для средних от произведений операторов -кШ на оператор R(S /От справедливы соотношения у-\ f" Sp к[Шв,2Ж U-i)Sp{fMs,2) 5р K(s,zfy)X)t A/ii Sp{kH)m,) 12 Доказательство. Заметим, что бозе-операторы 4 коммутируют с произвольными операторами динамической подсистемы L(S) Поскольку усреднение производится по начальному статистическому оператору всей системы, т.е. Ю-Ьа Р&ЮС)* имеем: Sp 1ф){ Sp R(5>z)S>cs)j Ю(2), Обозначим Sp R(Sj2/)f(S) Q,(Z) Д Py (2.) (S,z) Воспользовавшись определением iib) (2.7) имеем откуда при ±,(i;-to) fi следует, что Поэтому Полученное соотношение (S,S) даёт (S,S) Вводя обозначение Л/t -jif,if для чисел заполнения, получим утверждения леммы. Доказательство двух других соотношений аналогично. Если воспользоваться леммой, то получим, что справедливо следующее соотношение: (S,S) В то же время для -if) (2.9) справедливо представление с учётом последнего равенства имеем (2.10) Подставляя (2.10) в (2.9), получим Spji(i)[sd; Ы-ь, s*;7sr; ю-to Sw[f(Si);A,St)Jjg(s): ira fes; (2.II) Учитывая, что одновременные операторы динамической подсистемы S и бозонного поля 2 коммутируют, найдём (2.126) С учётом соотношений (2.II) и (2.12) второй член правой части уравнения (2.8) принимает вид {Z imiAtct, s,)-} (Bhmsc) (2.13) Действуя подобным образом, для последнего члена правой части Зфавнения (2.8) можно найти аналогичное представление. Используя эти представления, уравнение (2.8) окончательно можно записать в виде itJtltr--t) Заметим, что в полученное точное уравнение (2.15) операторы бозонного поля не входят явно. Правая часть зависит только от "траектории" системы S Аналогичньм образом можно получить и уравнение с исключёнными бозе-операторами, когда операторная функция 0(S стоит левее 17 хС J Это уравнение имеет вид -k 4 1ы.ут/\д]п -to Чо Из Зфавнений (2.14) и (2.15) при соответствующем выборе функций T(S+ И можно получать уравнения для двухвременных средних и функций Грина систем, описываемых гамильтонианом типа (2.1), т.е. для динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем. Заметим также, что уравнения (2.14) и (2.15) при (Stt) d. переходят в Боголюбовское эволюционное уравнение.§ 3. Приближение усреднённого импульса решётки и кинетические уравнения в теории полярона. Как уже было отмечено, зфавнения (2.14) и (2.15) при Q-(Sr-)— переходят в Боголюбовское эволюционное уравнение. Цель данного

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Казарян, Арменак Робертович

Заключение.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Дано обобщение метода исключения бозонных операторов на случай многовременных средних.

2. Получены точные эволюционные уравнения (2.14), (2.15) для двухвременных средних общего вида.

3. Дано новое доказательство леммы Боголюбова в теории динамических систем, взаимодействующих с бозонным полем.

4. Получено кинетическое уравнение (3.17) в теории полярона на на основе модели Фрёлиха в приближении усреднённого импульса решётки (З.б).

5. Доказано, что при определённых начальных распределениях в отсутствие внешнего электрического поля, решения полученного кинетического уравнения стремятся к равновесному максвелловс-кому распределению (при"£-> ).

6. Получены формулы (4.6) и (4.7), связывающие внешнее электрическое поле с кинематическими характеристиками электрона, обобщающие известные соотношения Фейнмана- Торнбера.

7. Получено точное уравнение для функций Грина (6.16) (с исключёнными бозонными операторами) в теории систем поляронного типа.

В заключение автор выражает глубокую благодарность академику Н.Н.Боголюбову за стимулирующее внимание к работе, профессору Н.Н.Боголюбову (мл.) и А.М.Курбатову за постоянное внимание и обсуждения, В.П.Силину и С.В.Пелетминскому за полезные замечания. Автор признателен также А.К.Зданьски, Д.П.Санковичу , А.Н.Кирееву и В.Н.Нескоромному за постоянные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казарян, Арменак Робертович, 1984 год

1. Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике.- М.-Л.: ГТТИ, 1946.- 119 с.

2. Больцман Л. Лекции по теории газов.- М.: ГИТЛ, 1956.- 556 с.3» Ghvh ST., ЫШиМск G. в. klyufcc 74. "Г СоАея Е. G. 0. Q*, dm&fy ZiO'Yl рМЛ MiJhiluti'c^ j-Mictcp-fb d&hM длб h&t с>ъгсуосивс^исст. . L&tt., p. М-тг.

3. Боголюбов Н.Н., Хацет Б.И. О некоторых математических вопросах теории статистического равновесия.- ДАН СССР, 1949, т.66, № 3, с.321 324.

4. Боголюбов Н.Н., Петрина Д.Я., Хацет Б.И. Математическое описание равновесного состояния классических систем, основанное на каноническом формализме.- ТМФ, 1969, т.1, № 2, с.251-274.1. Ь^оХиЛоу ММ Оъсф . Ph&oz-jр.

5. Боголюбов Н.Н. Квазисредние в задачах статистической механики.» Дубна, 1963.- 123 с. (Припринт ОИЯИ P-I45I).

6. Боголюбов Н.Н.(мл.). Метод исследования модельных гамильтонианов,- М.: Наука, 1974.- 176 с.

7. Боголюбов Н.Н.(мл.), Садовников Б.И. Некоторые вопросы статистической механики.- М.: Высшая школа, 1975.- 352 с.

8. Боголюбов Н.Н.(мл.), Бранков Й.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.M., Тончев Н.С. Метод аппроксимирующего гамильтониана в статистической физике.- София: Изд-во БАН, 1981.- 246 с.

9. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты.- М.: Мир, 1971.- 367 с.13 • Vein Нош L OiM^pue^ глл^й> co^ifwcsAyticwi duri ty^pt-e ргыьЯ

10. L&e> 71 D.j Yang- C.M -tkwz^ ^ pf-jfaU OLntl ph<L$6 -frw-Ph%5. Rev., V.gg.

11. Ydn^ С. M? у: д 4- ef^tiv+bt oft and piui3£s ixanU&mJjl, icitfice a^l T&Hf1.ei E.j ЬгАсшШ^ j, J4u Сс^Шг^иук,сЖ4>£ee£u>jiS eOtd hwAl. Aolv. V.0

12. Дайсон Ф., Монтролл M., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы.- М.: Мир, 1973.- 375 с.

13. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости.- М.: Наука, 1970.- 311 с.

14. Боголюбов Н.Н;, Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в те- 61 ории сверхпроводимости.- М.: АН СССР, 1958.- 128 с.

15. ЫсМ R. И. УиихМ. Phyi. RWt) к 33,М9 p. зз-iuo.24. (УпЛас^ея be Glutted, ^kutCs^ticd^X, A ~TuJb -D-iyytuisiomii, Wodel иШкv, ьг, p. dLii-ме.

16. ZokuMz Tv /AaAtti D. C., L&S E. D^n^Uxm^ Ttty.

17. МснЫ ad Л Рпо4Лм Молу Em/mp^i. Rev. Mod. Phyj.d-VMj V.36, p.?S6-24-i<

18. Хуанг К. Статистическая механика.- М.: Мир, 1966.- 520 с.

19. Браут Р. Фазовые переходы.- М.: Мир, 1967.- 288 с.

20. Фишер М. Природа критического состояния.- М.: Мир, 1968.221 с.

21. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления.- М.: Мир, 1973.- 420 с.

22. Пекар С.И. Автолокализация электрона в диэлектрической инерционно поляризующейся среде.- ЖЭТФ, 1946, т.16, № 4, с.335-340.

23. Ландау Л.Д., Пекар С.И. Эффективная масса полярона.- ЖЭТФ, 1948, т.18, № 5, с.419 423.

24. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов.-М.-Л.: ГТТЛ, 1951.- 256 с.зз Н. с34ш>ги^ of Ш M^pmXtmAu-ctih^ ёШе. I.tyw^ru-l stiute at aJ^olt-Oz ^^ te^^/^e -ЪЛ&е^ъг. p^ ft ^ ± ^ щ J£^ p. % ^

25. Боголюбов H.H. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантованным полем.- УМЖ, 1950, т.2, 2, с.2-24.

26. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям.- М.: Мир, 1968.- 382 с.36. fbo^yipieuv UМы/алАЬ R v Jddt^ Cv РЛФътап- p Но-liiU^ otf ZlouT е&сЛъцгЛ in со СлдлШ. plup. рек ■13(>Я; V. -lZT-ju/liij p. ±00*1-101.1-.

27. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика.- М.: Мир, 1978.- т.1-405 е.; т.2-399 с.

28. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика.-М.: Наука, 1971.- 416 с.

29. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики.-М.; Наука, 1977.- 368 с.

30. B^U^ccJ-oV М М kiMstic e^tionl -tk pitchy StyUe^n. Ьм&ш^уп. - W р. ( Р^гинф J-J/l/R1. Eil-duzzzx

31. Боголюбов Н.Н.(мл.). Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем.- ТМФ, 1979,т.40, № I, с.77 94.

32. Боголюбов Н.Н., Боголюбов Н.Н.(мл.). Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем.-ЭЧАЯ, 1980, т.II, вып.2, с.245-300.

33. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р., Курбатов A.M.Точное эволюционное уравнение и кинетика поляронов. В кн.: Труды П Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики.- Дубна, 1981.- с.21-48 (сообщения ОИЯИ Д17-81-758).

34. JQетгШ 1 Т., BvsmjuC R. L imcltl and А^апйпелд, Тъсоп^р^г^б in

35. TkowJfob к. К, F^yipwn R. ас^мЫ, an e&cfivo+u In, & jU^UfZ- e^c^Uc in а ро&л, ся^а/,

36. Поляроны (сб. статей под ред. Фирсова В.А.).- М.: Наука, 1975,- 424 с.

37. Кочетов Е.А., Кулешов С.П., Смондырев М.А. Функциональный вариационный подход в теории полярона. В кн.: Труды П Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики .-Дубна, 1981.- с.70-93 (Сообщения ОИЯИ Д17-81-758).

38. Фейнман Р. Статистическая механика.- М.: Мир, 1975.- 407 с.51. 7, Т; Emt-Jid Kmthmsvi В\and Огс^лиг Qt /\jyiiute Omp&hcde, ikiobg, tkc ^.^Ьг/

39. РЧя&ет аф Ct /Я 1}г&лг1с£шг tdUk сь

40. JyMl. A easier*' tc ро&лоп- J. Afo fooi&tралМс^иЛиъ MtusU&w-* Rerrum)c£ on -the- c^ug^n of fAief ^ Зш^М- and p&bttMiMUio^а^Ыъ, d. в v. B£z3 p. -не.

41. Боголюбов Н.Н., Тябликов С.В. Запаздывающие и опережающие функции Грина в статистической физике.- ДМ СССР, 1959, т.126, № I, с.53-56.

42. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма.- М.: Наука, 1975.- 527 с.

43. Зубарев Д.Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике.- УВД, I960, т.71, № I, с.71-116.

44. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р., Курбатов A.M. Точное эволюционное уравнение и кинетика поляронов. В кн.: Тезисы П Международного симпозиума по избранным проблемам статистической механики.- Дубна, 1981.- с.8 (Сообщения ОИЯИ Д17-81-4П).

45. Казарян А.Р. К кинетическим уравнениям электрон-фононных систем.- ДАН СССР, 1981, т.258, № 2, с.336-340.

46. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р., Курбатов A.M., Нескоромный В.Н. Функции Грина в модели Дикке. I. Эволюционное уравнение.- ТМФ, 1983, т.54, № I, с.147 153.

47. Боголюбов Н.Н.(мл.), Казарян А.Р., Курбатов A.M., Нескоромный В.Н. Функции Грина в модели Дикке. П. Сверхизлучающее состояние.- ТМФ, 1984, т.59, №2, с.249-261.

48. ЬорбЛсу ММ. А.Улъал&а*. A.

49. Ъуууъп^Ь УМ Uyjuov^LOd еф XLoki, Упо^Ы cwuiadiw(r pt&k, ТъсеОе, (P^/mat ICTPlC/d3/23Sl