Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Картак, Вера Валерьевна

• Картак, Вера Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Картак, Вера Валерьевна

0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений.

0.2 Уравнения Пенлеве.

0.3 Содержание главы

0.4 Содержание главы

0.5 Содержание главы

1 Точечно-инвариантные классы обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

1.1 Преобразования производных.

1.2 Точечно-инвариантный класс.

1.3 Канонический вид уравнений (43).

1.4 Псевдотензорные поля.

1.5 Правила преобразования коэффициентов.

1.6 Вычисление точечных симметрий уравнения (59).

1.7 Уравнения (45), имеющие максимальную алгебру точечных симметрий.

2 Точечная классификация уравнений второго порядка вида у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S{x, у)у'3.

2.1 Основные классификационные параметры.

2.2 Случай общего положения.

2.3 Семь случаев промежуточного вырождения.

2.3.1 Первый случай

2.3.2 Второй случай.

2.3.3 Третий случай.

2.3.4 Четвертый случай.

2.3.5 Пятый случай.

2.3.6 Шестой случай.

2.3.7 Седьмой случай.

2.4 Случай максимального вырождения.

Проблема эквивалентности для уравнений Пенлеве

3.1 Уравнение Пенлеве 1.

3.2 Уравнение Пенлеве II.

3.3 Уравнения Пенлеве III-VI.

3.4 Уравнение Пенлеве IV.

3.4.1 Параметр 6=0.

3.4.2 Параметр 6^0.

3.5 Уравнение Пенлеве III.

3.5.1 Параметр а = 0.

3.5.2 Параметры а = 0 и с =

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений, исследование проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве»

0.1 Проблема эквивалентности. Точечно-инвариантные классы дифференциальных уравнений

Проблема эквивалентности представляет собой одну из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений. Вот почему она привлекала к себе внимание многих ученых [1]-[25], [47]-[49]. Классические работы, посвященные исследованию проблемы эквивалентности, принадлежат Р.Лиувиллю [1], С.Ли [2]-[3], А.Трессе [4]-[5] и относятся к концу XIX века.

Суть проблемы эквивалентности заключается в нахождении (или доказательстве существования) точечной замены переменных, переводящей одно дифференциальное уравнение в другое. Иногда ее понимают как описание класса эквивалентности некоторого дифференциального уравнения относительно точечных преобразований. Основой решения этой проблемы часто является построение инвариантов преобразований, а для этого необходимо, чтобы вид уравнения не менялся при действии на него точечных преобразований. Такие уравнения назовем принадлежащим точечно-инвариантному (замкнутому) классу дифференциальных уравнений.

Наиболее простым таким уравнением является следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка: у" = Р(х, у) + 3 Q(x, у)у' + 3 R(x, у)у'2 + S(x, у)у'\ (1)

Э.Картан ассоциировал уравнения (1) с уравнениями геодезических в пространствах проективной связности ([9]). Замкнутость класса уравнений (1) относительно невырожденных преобразований

X = х(х, у), у = у(х, у) (2) была отмечена в целом ряде работ, в том числе Дж. Томсена [10],

Г.Гриссома и др. [11], Н. X. Ибрагимова [12], В. С. Дрюма [13]

15], JI. А. Бордаг и В. С. Дрюма [16], JI. А. Бордаг и М.В.Бабича

17]-[18], Ю. Р. Романовского [19], С. Баско и М. Матсумото [20],

В. Н. Гусятниковой и В. А. Юмагужина [21], Р. А. Шарипова и

В. В. Дмитриевой [22]-[24].

В [25] Р. А. Шарипов и О. Н. Михайлов рассмотрели другой замкнутый класс уравнений второго порядка: = Р(х, у) + 4 Q(x, у) у' + 6 R(x, у) (у')2+ Y(x,y) - Х{х,у)у'

4S(x,y) {у'? + L{x,y){y'Y Y(x,y)-X(x,y)y> ' Он получил название точечного расширения класса (1).

Более сложный замкнутый класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка содержится в [17]: функция Рг0 есть полином пятого порядка по производной у'.

В работе [51], а также в Главе 1 настоящей диссертации найден точечно-инвариантный класс обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка. = -SX(x, у)у"2 + P(xt у)у"у'2 + Q(x, у)у" у'+ У Y(x,y)-X(x,y)y'

R(x,y)y" + +S(x,y)y'5 + L(x,y)y'4 Y(x,y) - X(x,y)yf

K(x, y)y,3 + +Af (a, y)y'2 + N(x, y)y' + T{x, y) Y{x,y) - X(x,y)y'

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, задаваемую некоторой матрицей А = А(ух,., уп) с ненулевым детерминантом, а также индексированным массивом Г: f Ai , f f pi W dt j\dx2 hh " дх dx)'

Эта система представляет собой расширение системы дифференциальных уравнений, описывающих явление диффузии гд ег-х „ at 'he* V ' d*J' t-1'---'nи является инвариантной относительно точечных замен переменных следующего вида (см. [53]): у1=у\у\.,у% r = v\v\~;vn).

0.2 Уравнения Пенлеве

Рассмотрим следующюю классификационную задачу: нужно определить, существуют ли уравнения вида у" = F(x, у, у'), где функция F - рациональная относительно г/, алгебраическая относительно у и аналитическая относительно х, у которых все критические точки (и точки разветвления и существенные особенности) фиксированы, т.е. не являются перемещающимися особенностями.

Эта задача была решена П.Пенлеве и его учеником Б.Гамбье в начале XX века. Решение этой классификационной задачи приводит к 50 видам уравнений. Все эти 50 видов, за исключением б, интегрируются в известных функциях. Наиболее важными являются б неприводимых уравнений, которые являются источником новых трансцендентных функций. Новые трансцендентные функции, определяемые этими уравнениями, называются трансцендентными функциями Пенлеве, а сами уравнения носят названия уравнения Пенлеве. Причем последнее уравнение содержит первые пять уравнений, которые могут быть из него получены постепенным вырождением (см. [26]).

В настоящее время уравнения Пенлеве играют важную роль при решении ряда задач математической физики (см. [26], [30], [31], [50]). Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пенлеве является актуальным.

Эта задача привлекала к себе многих ученых. В работе [49] Н.Камран и др. привели необходимые и достаточные условия эквивалентности уравнения у" = F(x, у, у') первым двум уравнениям Пенлеве PI и PII относительно точечных преобразований специального вида х = ф(х), у = ф(х,у).

Проективные структуры, порожденные уравнениями класса (1), в том числе и уравнениями Пенлеве, исследованы в серии работ В.С.Дрюма, JI.А.Бордаг и М.В.Бабич [13]—[18]. В работе [18] найдены необходимые и достаточные условия, при которых уравнения вида у" = f{xi у) (3) сводятся точечными преобразованиями к уравнениям Пенлеве. Доказано, что уравнения Пенлеве можно записать в форме (3): у" = Рк(х,у), (4) где к = 1, .,6 - номер уравнения Пенлеве. Вид уравнений (3) сохраняют преобразования специального вида х = с J т2(x)dx + со, у — т(х)у + п(х), (5) где с, co-const, с ф 0, ш(ж), п(х) - некоторые функции от переменной ж, т(х) ф 0.

Согласно работе [18], для того, чтобы проверить, эквивалентно ли некоторое уравнение (1) одному из уравнений Пенлеве, нужно: 1) привести исходное уравнение (1) к виду (3); 2) выполнить замену переменных (5) и приравнять функцию f(x,y) из правой части преобразованного уравнения (3) соответствующей функции из правой части уравнения Пенлеве (4); 3) определить неизвестные функции т(ж), п(х) и константы с, с0. Если такие функции существуют, то уравнения эквивалентны.

Однако непосредственно использовать предложенный способ проверки эквивалентности уравнений не всегда удобно. Во-первых, уже на первом этапе, когда исходное уравнение нужно привести к виду (3), возникают трудности. Например, для уравнения Пенлеве VI такая задача не тривиальна. Во-вторых, для каждого конкретного уравнения нужно решать дифференциальные уравнения на неизвестные функции т(х), п(х) и константы с, с».

Способ проверки эквивалентности уравнений, предложенный нами в данной работе, универсален, и не требует дополнительного преобразования исходного уравнения (1). Он сводится к подстановке известных функций Р, Q, R, S из правой части уравнения (1) и их производных в ряд алгебраических равенств.

0.3 Содержание главы 1

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Картак, Вера Валерьевна, 2003 год

1. r. llouville Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur leurs applications, J. de L'Ecole Polytechnique, V. 59, 1889, Pp. 7-76

2. S.lle Vorlesungen liber continuierliche Gruppen, Teubner Verlag, Leipzig, 1893

3. S.lle Theorie der Transformationsgruppen III, Teubner Verlag, Leipzig, 19304.a. tresse Sur les invariants differenties des groupes continus de transformations, Acta Math., V. 18 Pp. 1-88, 1894

4. Э. К apt ан Пространства аффинной, проективной и конформной связности, Платон, Волгоград, 1997

5. G. thomsen Uber die topologischen Invarianten der Differen-tialgleichung y" = f(x,y)y'3+g(x,y)y'2+h(x,y)y'+k(x,y),AhhsLnd\un-gen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universitat, V. 7, 1930, Pp. 301-328

6. C.Grissom, G.Thompson and G.Wilkens Linearisation of Second Order Ordinary Differential Equations via Cartan's Equivalence Method, Diff. Equations, V. 77Pp. 1-15, 1989

7. N. Кн. ibragimov Elementary Lie group analisis and ordinary differential equations, Wiley series in mathematical methods in practice; Vol.4, John Wiley & Sons Ltd, England, 1999

8. B.C. ДРЮМА Геометрическая теория нелинейных динамических систем, препринт Института математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1986

9. В.С. дрюма О теории подмногообразий проективных пространств, определяемых дифференциальными уравнениями, Сборник статей, Институт математики с ВЦ АН Молдавской ССР, Кишинев, 1989, Pp. 75-87

10. В.С. дрюма Геометрические свойства многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и фазовое пространство динамических систем с финслеровой метрикой, Теор. и Матем. Физика, V. 99(2), 1994, Pp. 241-249

11. M.V. Babich and L.A. Bordag Projective Differential Geometrical Structure ot the Painleve Equations, J. of Diff.Equations, V. 157 (2), September, 1999, Pp. 452-485

12. Ю.Р. Романовский Вычисление локальных симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка методом эквивалентности Картана, рукопись, Pp. 1-20

13. S.Bacso and M.Matsumoto On Finsler spaces of Douglas type. A generalisation of the notion of Berwald space, Publ. Math. Debrecen, V. 51 (3-4), 1997, Pp. 385-406

14. B.H. Гусятникова и В.А. Юмагужин Точечные преобразования и линеаризуемость обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, Матем. Заметки, V. 49 (1), 1991, Pp. 146-148

15. Dmitrieva V. V., Sharipov R. A. On the point transformations for the second order differential equations, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9703003, Pp. 1-14

16. Sharipov R. A. On the point transformations for the equation у" = P + 3Qy' + 3Ry'2 + Sy'3, Electronic archive at LANL (1997), solv-int #9706003, Pp. 1-35

17. Э.Л.айнс Обыкновенные дифференциальные уравнения, Научно-техническое издательство Украины, Харьков, 1939

18. Э.Камке Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Москва, Наука, 1976

19. Дмитриева В. В. О классификации уравнений Пенлеве-1 и Пенлеве-Н относительно точечных преобразований общего вида, Вестник Башкирского университета, V. 1 (I), Pp. 9-11, 1998

20. Дмитриева В. В. Критерий эквивалентности ОДУ второго порядка уравнениям Пенлеве I и II., Труды международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Вып.II. Дифференциальные уравнения, Pp. 58 -63, Уфа, 2000.

21. М. Абловиц, x. сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, Москва, 1987

22. А. R. Its and V. Yu. novokshenov The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations Lecture Notesin Mathematics, Vol. 1191, Springer-Verlag, New York/Berlin, 1986

23. А. П. НОРДЕН Пространства аффинной связности, Государственное издательство теоретической литературы, Москва-JIe-нинград, 1950

24. И. А. Схоутен и Д. Дж. СтроЙК Введение в новые методы дифференциальной геометрии, т.1, И. А. Схоутен Алгебра и учение о перенесении под ред. проф. Г. М. Шапиро, ОНТИ, Москва-Ленинград, 1939

25. Ю.И. МАНИН Рациональные кривые, эллиптические кривые и уравнение Пенлеве, МЦНМО МК НМУ, 1998

26. П. ОЛВЕР Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, Мир, Москва, 1989

27. М. В. ФЕДОРЮК Обыкновенные дифференциальные уравнения, Наука, Москва, 1985

28. Christopher M.Cosgrove Chazy classes IX-XII of third order differential equations, Research Report 98-23, 24 June 1998

29. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко Современная геометрия, Наука, Москва, 1976

30. Р.А.Шарипов Дифференциальная геометрия, Издание БашГУ, Уфа, 1996

31. Л.в.овсянников Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1978

32. Н.х.ибрагимов Группы преобразований в математической физике, Наука, Москва, 1983

33. А.В.Бочаров, А.М.Вербовецкий, А.М.Виноградов и др. (под ред. А.М.Виноградова и И.С.Красильщика), Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики, Факториал, Москва, 199744.с.стенберг Лекции по дифференциальной геометрии, Мир, Москва, 1970

34. Ш.Кобаяси и К.Номидзу Основы дифференциальной геометрии, т.1, Наука, Москва, 1981

35. Ш.Кобаяси и К.Номидзу Основы дифференциальной геометрии, т.Н, Наука, Москва, 1981

36. G. Grebot The Characterization of Third Order Ordinary Differential Equations Addmitting a Transitive Fiber-Preserving Point Symmtry Group, J. of Math. Analisis and Appl., V. 206, 1997, Pp. 364-388

37. V.A. Yumaguzhin Classification of 3rd order linear ODE up to equivalence, Differential Geometry and its Applications, V. 6, 1996, Pp. 343-350

38. N.Kamran, K.G.Lamb, W.F.Shadwick The local equivalence problem for d2y/dx2 = F(x,y,dy/dx and the Painleve trancen-dents, Journ. of Diff. Geometry, Vol.22, 1985, Pp.139-150.

39. Гладков А.В., Дмитриева В.В., Шарипов Р.А. О некоторых нелинейных уравнениях, сводящихся к уравнениям диффузионного типа, Теоретическая и математическая физика, Vol.123, No 1, 2000, Pp.26-37.

40. Дмитриева В.В. Точечные преобразования и уравнение Пенлеве IV, сборник трудов участников региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых поматематике и физике, Уфа, 2001, С.86-97.

41. Дмитриева В.В. Точечно-инвариантный класс ОДУ третьего порядка, содержащий уравнения Шази, Труды международного семинара-совещания "Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики" Уфа, 2002, С.78-83.