Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович

• Тихонов, Сергей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович

Введение

Часть 1. Типичные свойства действий групп Zd и Rd

1. Всюду плотность семейств действий специального вида

2. Типичные свойства действий группы

3. Свободные действия группы Rd

Часть 2. Типичные свойства действий дискретных абелевых групп

4. Типичные свойства действий группы Z°°

5. Типичные свойства действий групп Q^ и Q°°

6. Типичные свойства действий группы Ga

Часть 3. "Машина контрпримеров" Рудольфа, основанная на спектральной дизъюнктности

7. Общие сведения о перестановках конечных и счетных множеств

8. Централизаторы и факторы декартовых произведений

9. Аналоги примеров Рудольфа 83 Библиографические примечания 90 Предметный указатель 94 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность»

Актуальность темы. Множество называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных Gs-множеств. Свойство А действий некоторой группы типично, если выполняется для массивного множества действий. Будем говорить "Для типичного действия выполняется свойство А если свойство А типично. Исследование типичных свойств групп преобразований началось с работ Халмоша [16] и Рохлина [46] ("Теоремы о категориях").

В работах Степина [52] появились /с-перемешивающие преобразования, которые также типичны и обладают свойством сингулярности сверточных степеней их максимальных спектральных типов. В разные годы были получены типичность дизъюнктности преобразования своему обратному, дизъюнктно-сти всех степеней преобразования [7], типичность преобразования коммутирующего только с элементами слабого замыкания его степеней [18], типичность й^-действия, ненулевые элементы которого не сопряжены своим обратным [32]. В последнее время были получены результаты о том, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [19], (более того, несчетное число корней всех степеней [34]) является расширением конечной абелевой группы, [33], вкладывается в поток [6], и более того в несчетное множество потоков [53].

В [26] Рудольф построил "машину контрпримеров", которая позволяет получать преобразования с необычными свойствами. В своей конструкции оп использовал декартовы произведения очень специфического преобразования и их композиции с перестановками координат. Всего Рудольф построил 9 примеров. Леманчик и дель Юнко [20] показали, что большинство примеров можно построить используя декартовы произведения степеней типичного преобразования. Они сообщили, что умеют строить 6 из 9 примеров. Используемое ими типичное свойство является обобщением спектральных свойств «-перемешивания.

Цель работы. Исследовать типичные действия абелевых групп и построить примеры необычных действий опираясь на взаимную дизъюнктность сверточных степеней максимального спектрального типа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новы и состоят в следующем:

1) Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности действия вкладываемого в свободное ^-действие.

2) Получены примеры действий абелевых групп с необычными свойствами, в частности, пары Z^cftcTBiifi, всс элементы которых, соответствующие одному моменту времени эквивалентны, кроме двух.

3) Доказана вполне сингулярность для типичных действий группы Zd.

Свободность здесь понимается в смысле [33], то есть действие свободно, если не имеет двух одинаковых элементов.

Методы исследования. В работе используются спектральные и аппроксима-ционные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам в эргодической теории.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ в 2000-2003г.г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тихонов, Сергей Викторович, 2003 год

1. Akcoghi М. A., Chacon R. V., Schwartzbauer Т. Commuting transformations and mixing // Proc. Amer. Math. Soc.-1970.-Vol. 24.-Pp. 637-642.

2. Alpern S. Return times and congugates of an antiperiodic transformation // Ergodic th." and Dinamic Syst.-1981.—Vol. 1.-Pp. 135-143.

3. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J.—1951.—Vol. 3, no. 1. — Pp. 83-99.

4. Chacon R. Transformations having continuous specrum // J.Math, and Mech. — 1966. — Vol. 16, no. 5.— Pp. 399-415.

5. Dovmarowicz Т., Kwiatkowski J. Weak closure theorem fails for Z2-actions // preprint.

6. Ergodic transformations conjugate to thier inverses by involutions / G. R. Goodson, M. Lemanczyk, A. del Junco, D. J. Rudolph // Ergodic th. and Dyn. Syst. —1996. — Vol. 16. —Pp. 97-124.

7. Friedman N., Gabriel P., King J. L. An invariant for rigid rank-1 transformations If Ergodic Theory of Dynam.Systems. —1988. — Vol. 8. —Pp. 53-72.

8. Purstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in deophantine approximation // Math. Syst. Theory. —1967. — Vol. 1. —Pp. 1-49.

9. Glasner E., King J. L. A zero-one law for dynamical properties // Contemporary Mathematics. —1998. — Vol. 215.-Pp. 231-242.

10. Goodson G. R., Lemanczyk M. Transformations conjugate to their inverses have even essential values // Proc. of AMS. —1996. — Vol. 124.-Pp. 2703-2710.

11. Goodson G. R., Ryzhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems // J. Dyn. and Contr. Syst. —1997.—Vol. 3. —Pp. 321-341.

12. Hahn P., Parry W. Some characteristic properties of dynamical systems with quazi-discrete spectrum // Math. Syst.-1968.-Vol. 2.-Pp. 179-190.

13. Halmos P. Approximation theories for measure — preserving transformations 11 Trans. Amer. Math. Soc.— 1944.-Vol. 55, no. l.-Pp. 1-18.

14. Katznelson Y., Weiss B. Commuting measure preserving transformations // Israel J.Math. —1972.— Vol. 12.-Pp. 16-173.

15. King J. L. The commutant in the weak closure of the powers, for rank-1 transformations // Ergod. Th.Dinam. Sys. —1986.—Vol. 6. —Pp. 363-384.

16. King J. L. F. The generic transformation has roots of all orders // Colloquium mathematicurn. — 2000. — Vol. 84/85, no. 2.-Pp. 521-547.

17. Lemanczyk M., del Junco A. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Prvc.Amer.Math. Soc. -1992. — Vol. 115, no. 3.-Pp. 725-736.

18. Lemanczyk M., del Junco A. Simple systems are disjoint from gaussian systems // Studia Math. —1999.— Vol. 133, no. 3.-Pp. 249-256.

19. Newton D. Coaliscence and spectrum of automorphisms of lebesque space // Z. Wahr. Verw. Geb. —1971.— Vol. 19.-Pp. 117-122.

20. Omstein D. S. On the root problem in ergodic theory // Proc.Sixth Berkeley Sympos.Math.Statist.Probab. — 1972.-Vol. 2.-Pp. 347-356.

21. Ornstein D. S., Weiss B. Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups // J. d'Analyse Math. —1987.—Vol. 48.-Pp. 1-141.

22. Prikhodko A. A. Special representations of Zd-actions // J. of Dinam and Conrol Syst. —1996. — Vol. 2, no. 2. —Pp. 239-253.

23. Rudolph D. J. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications // J.AnaLMath. —1979. — Vol. 35.-Pp. 97-122.

24. Ryzhikov V. V. Joinings, intertwining operators, factors and mixing properties of dynamical systems I j Mat. sb.-1992.-Vol. 183, no. 3.-Pp. 133-160.

25. Ryzhikov V. V. Intertwinings of tensor products, and the stochastic centralizer of dynamical systems // Sbomik Math. —1997. — Vol. 188, no. 2.-Pp. 237-263.

26. Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dinamical sytems // Selected Russian Math. —1999. — Vol. 1, no. 1. —Pp. 13-24.

27. Ryzhikov V. V., Prikhod'ko A. A. Disjontness of convolutions for chakon's authomorphism // Col. Math.— 2000.-Vol. 84/85, no. l.-Pp. 67-74.

28. Thouvenot J. Quilques proprifetes des systems dinamiques qui sedecomposent en un produit de deux systems dont l'un est un schema de bernoulli // Isr. J. Math. —1975. —Vol. 21, no. 2-3. —Pp. 177-207.

29. Агеев О. H. О сопряженности группового действия своему обратному // Мат. заметки.—1989.— Т. 45.W3.-C. 3-11.

30. Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G / j ДАН.—2000.—Т. 374, Л* 4. —С. 439-442.

31. Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств J j Успехи мат. наук. — 2003. — Т. 58, Л* 1. —С. 177-178.

32. Вершит А. М. Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах // Успехи мат. наук. — 1964. — Т. 19, 1.-С. 210-212.

33. Каток А. В. Энтропия и аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ.—1967.—Т. 1, 1. —С. 75-85.

34. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1989.

35. Корнфельд И., Синай Я., Фомин С. Эргодическая теория. — Москва: Наука, 1980.

36. Куратовсхий К. Топология.—Москва: Мир, 1966.—Т. 1.

37. Малышев В. А. Почти инвариантные меры // Вест. Моск. Ун-та. —1964.—Т. 1, Л* 6. —С. 48-50.

38. Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Мат. заметки. —1969.—Т. 5, Л* 3.—С. 323-326.

39. Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прил.—1971. —Т. 5, Л* 3. — С. 75-79.

40. Приходъко А. А. Специальное представление апериодического автоморфизма пространства Лебега // Мат. заметки.—1995.—Т. 58, № 2. —С. 314-317.

41. Приходъко А. А. Разбиение на башни фазового пространства Z''-действия сохраняющего меру // Мат. заметки.—1999.-Т. 65, № 5. — С. 712-725.

42. Приходъко А. А., Рыжиков В. В. Максимальная лемма Рохлина-Халмоша-Альперна // Вест. Моск. Ун-та. —1996.—JV* 3. —С. 37-41.

43. Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат. наук.— 1949.-Т. 30, JY» 2.-С. 57-128.

44. Рохлин В. А. Общее сохраняющее меру преобразование есть перемешивание j j Мат. сборник.— 1949.-Т. 67, JV* 1.-С. 107-150.

45. Рыжиков В. В. Об ассиметрии каскадов // Труды мат.инст. им. Стеклова. —1997. — Т. 216.— С. 154-157.

46. Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем // Докл. Акад. Наук. — 1963. — Т. 150, № 6. —С. 1235-1237.

47. Степин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. —1967. — Т. 176, № 5. — С. 1023-1026.

48. Степин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Мат. заметки.— 1973. —Т. 13, № 3. —С. 403-^09.

49. Степин А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Мат. Известия.— 1986.— Т. 50, №4.-С. 801-834.

50. Степин А. М., Еременко А. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // ДАН. 2004. - Т. 394, № 6. — С. 739-742.

51. Степин А. М., Каток А. В. Аппроксимации в эргодической теории // Успех, мат. наук.— 1967.— Т. 22,JV*5.-C. 81-106.

52. Тихонов С. В. О связи метрических и спектральных свойств Z''-действий // Фундам. и прикл. математика. — 2002.—Т. 8, № 4.-С. 1179-1192.

53. Тихонов С. В. Типичное действие группы Ъл вкладывается в действие группы Jf1 // ДАН. — 2003.— Т. 391, Л» 1. —С. 26-28.

54. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. — Москва: Изд. Иностр.Литературы, 1959.